Elasticidad
Hugo Medina Guzmán
Δax 0,01 = = 1 × 10− 4 , a 100 Δa y 0,006 =− = −6 × 10− 5 a 100
Δh S = , para el diámetro h Y ΔD Δh S = −σ = −σ D h Y ΔV Δh ΔD El cambio de volumen es = = +2 V h D S S S − 2σ = (1 − 2σ ) , por lo tanto Y Y Y S S πD 2 h ΔV = (1 − 2σ )V = (1 − 2σ ) Y 4 Y b) ΔV es igual a cero cuando (1 − 2σ ) = 0 ⇒ σ = 0,5
a) Para la altura
Haciendo un análisis de los cambios de longitudes: El esfuerzo en x es mayor y la longitud en x aumenta mientras que en y disminuye, siendo el esfuerzo en y menor, se puede concluir que el esfuerzo en x es de tracción y el esfuerzo en y es de compresión. b) El paralelepípedo esta sujeto a esfuerzo por cuatro caras, como se muestra en la figura siguiente:
c) Para la mayoría de metales con un valor de aproximado a 0,3:
σ
ΔV S S = [1 − 2(0,3)] = 0,4 V Y Y Para el corcho, con un valor de σ aproximado a
0,0:
Sea S el esfuerzo sobre cada una de las caras laterales. La deformación del lado horizontal ax es:
Δax 400 200 = +σ = 1 × 10− 4 a Y Y
ΔV S S = [1 − 2(0,0)] = V Y Y
Para el caucho, con un valor de 0,5:
(1)
aproximado a
ΔV S = [1 − 2(0,5)] = 0,0 V Y
La deformación del lado horizontal a y es:
Δa y 200 400 =− −σ = −0,6 × 10− 4 a Y Y
σ
(2)
Ejemplo 34. El sólido de la figura está sometido a los esfuerzos de compresión y tracción mostrados en las direcciones x y z, respectivamente. Determine cual será el esfuerzo (S’) en la dirección y, tal que la deformación unitaria en esa dirección sea nula. Datos: S = esfuerzo, Y = módulo de Young, σ = módulo de Poisson.
Restando (1) + (2)/2, obtenemos:
400 100 300 − = 0,7 × 10− 4 ⇒ = 0,7 × 10− 4 Y Y Y 300 ⇒ Y= = 4,28 x 106 N/m2 0,7 × 10− 4 Reemplazando el valor de Y en (1):
400 200 +σ = 1 × 10− 4 ⇒ 6 6 4,28 × 10 4,28 × 10 4 + 2σ = 4,28 ⇒ σ = 0,14 Ejemplo 33. a) Calcule la deformación volumétrica durante la extensión elástica de una barra cilíndrica sometida a tracción axial. El material es isótropo y la deformación se supone pequeña. b) ¿Para qué valor del módulo de Poisson, el alargamiento ocurre sin cambio de volumen? c) El módulo de Poisson de la mayoría de metales es aprox. 0,3. El del corcho, aprox. 0,0 y el del caucho cercano a 0,5. ¿Cuáles son las deformaciones volumétricas de esos materiales al someterlos a una compresión elástica ε < 0 ? Solución.
19
Solución.
Para que la deformación unitaria en la dirección y sea nula, se debe cumplir: