Cours algebre smia s1

Universit´ e Choua¨ıb Doukkali - Facult´ e des Sciences El Jadida Fili` ere: SMIA

Module Alg` ebre 1 Structures Alg´ ebriques et Polynˆ omes

Responsable: A. Ha¨ıly

Table des mati` eres Chapitre 1. Notions sur la logique et les ensembles 1. Introduction 2. Notion de proposition 3. Pr´edicat et quantificateurs 4. N´egation d’un pr´edicat avec quantificateur 5. Connecteurs logiques 6. Raisonnements math´ematiques.

7. Inclusion et ´egalit´e d’ensembles 8. Ensemble d´efini par un pr´edicat 9. Op´erations sur les ensembles :

5 5 5 6 7 7 9 11 11 12

Chapitre 2. Correspondances et Applications 1. Couples et produit cart´esien 2. Correspondance 3. Applications 4. Injection, surjection, bijection 5. Famille d’´el´ements.

6. Relations binaires sur un ensemble 7. Relation d’´equivalence 8. Relation d’ordre

13 13 13 14 15 16 17 17 19

Chapitre 3. Ensembles finis et cardinaux 1. Ensemble N 2. Ensembles ´equipotents 3. Ensembles finis 4. Arrangements et combinaisons

21 21 22 22 23

Chapitre 4. Lois de composition interne 1. G´en´eralit´es sur les lois de composition interne 2. Associativit´e.

3. Commutativit´e.

4. El´ement neutre 5. El´ements r´eguliers.

6. El´ements sym´etrisables.

7. Morphismes 8. Loi quotient 9. Mono¨ıdes

25 25 26 27 27 28 28 29 29 30

Chapitre 5. Structure de groupe

33 3

1.

2.

3.

4.

D´efinitions et Propri´et´es g´en´erales Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe produit

33 34 35 36

Chapitre 6. Structure d’anneau 1. D´efinitions g´en´erales et exemples 2. Sous-anneaux et morphismes 3. Corps, corps de fractions d’un anneau int`egre.

39 39 40 41

Chapitre 7. Arithm´etique de Z 1. Relation de divisibilit´e 2. Division euclidienne 3. Nombres premiers 4. PGCD et PPCM 5. Factorisation 6. Algorithme d’Euclide 7. Arithm´etique modulaire

43 43 43 44 44 45 46 47

Chapitre 8. Nombres complexes 1. Construction 2. Module et argument

49 49 50

Chapitre 9. Polynˆomes `a une ind´etermin´ee 1. Op´erations sur les polynˆomes 2. Division euclidienne, divisibilit´e 3. Racines et multiplicit´es 4. Polynˆomes irr´eductibles 5. Plus Grand Commun Diviseur dans K[X].

6. Polynˆomes premiers entre eux 7. Factorisation 8. Division suivant les puissances croissantes

53 53 57 59 62 63 65 65 68

Chapitre 10. Fractions Rationnelles `a une ind´etermin´ee 1. D´efinitions et Propri´et´es g´en´erales 2. D´ecomposition d’une fraction rationnelles en ´el´ements simples.

69 69 71

Chapitre 11. Compl´ements sur les groupes 1. Groupes monog`enes, groupes cycliques 2. Th´eor`eme de Lagrange 3. Le groupe sym´etrique

75 75 75 77

Chapitre 12. Compl´ements sur les anneaux principaux 1. Id´eal d’un anneau 2. Anneaux principaux

81 81 81

Exercices

85 4

CHAPITRE 1

Notions sur la logique et les ensembles 1. Introduction La logique math´ematique s’int´eresse aux r`egles de construction de phrases math´ematiques correctes : propositions ou ´enonc´es, et aux r`egles permettant d’´etablir la v´erit´e de ces phrases.

Le but de ce chapitre est de rappeler et de compl´eter les notions fondamentales sur les ensembles et la logique.

La notion d’ensemble est une notion premi`ere, qu’on admet et qu’on ne peut pas d´efinir `a partir d’autres notions. Intuitivement, on peut consid´erer un ensemble E comme une ”collection” d’objets qui en sont les ´el´ements. On note x ∈ E pour dire que x appartient `a E ou que x est un ´ el´ ement de E. Certains ensembles de nombres sont suppos´es connus, aussi nous les consid´ererons d’une mani`ere syst´ematique, sans les red´efinir. On rapelle les notations usuelles : N, l’ensemble des nombres entiers naturels, N = {0, 1, 2, . . .}.

Z, l’ensemble des entiers relatifs, Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.

Q, l’ensemble des nombres rationnels, Q = { pq : p ∈ Z, q ∈ Z∗ } R, l’ensemble√des nombres r´eels contenant Q et les nombres irrationnels tels que 2, π, e.

C, l’ensemble des nombres complexes, C = {a + bi : a, b ∈ R}, o` u i2 = −1.

2. Notion de proposition Les ´enonc´es math´ematiques sont constitu´es de phrases qu’on appelle propositions ou assertions. Une proposition est un enonc´e qui peut ˆetre vrai ou faux. Par exemple ” 4 est un nombre pair” est une proposition vraie, ” 5 < 3” est une proposition fausse. A toute proposition P on attribue sa valeur de v´ erit´ e, 1 ou ”V” si elle est vraie et 0 ou ”F” si elle est fausse.

5

Deux propositions P et Q sont dites ´ equivalentes si elles ont la mˆeme valeur de v´erit´e (elles expriment alors le mˆeme contenu). On note P ≡ Q pour signifier que P et Q sont ´equivalentes. Ainsi, pour x ∈ N, les deux propositions P :00 x ≤ 700 et Q :00 x + 2 ≤ 900 , sont ´equivalentes.

Si P ≡ Q, on dira aussi que ”P est vraie, si et seulement si, Q est vraie”, ou que Q est une condition n´ecessaire et suffisante pour P .

N´ egation d’une proposition. A partir d’une proposition P on peut former sa n´egation nonP not´ee aussi ¬P , qui a la valeur de v´erit´e contraire `a celle de P , suivant la table de v´erit´e suivante : P ¬P 1 0 0 1 Par exemple la n´egation de x ∈ E est not´e x ∈ / E. La n´egation de x = y est x 6= y. ´ te ´ 2.1. P ≡ ¬(¬P ).

Proprie

3. Pr´ edicat et quantificateurs On appelle pr´ edicat ou forme propositionnelle, une proposition P (x, y, . . .), contenant des variables x, y, ... , et dont la valeur de v´erit´e d´epend de ces variables. ”x est pair” est un pr´edicat. (La variable ici est x).

Les pr´edicats sont souvent pr´ec´ed´es par des quantificateurs en lien avec les variables. On distingue deux types de quantificateurs : - Le quantificateur universel : ∀ (quelque soit ou pour tout). L’enonc´e ∀x ∈ E on a P (x), veut dire que tout x ∈ E v´erifie P (x).

Exemple : ∀x ∈ R, x2 ≥ 0.

- Le quantificateur existentiel : ∃ (il existe). L’´enonc´e ∃x ∈ E : P (x) veut dire qu’il existe x ∈ E qui v´erifie P (x).

Exemple : ∃x ∈ R : x2 = 2.

On utilise aussi parfois le symbole ∃! pour l’existence et l’unicit´e. ∃! x ∈ E : P (x), veut dire qu’il existe un seul x tel que P (x).

6

Exemple : ∃! x ∈ R+ : x2 = 2.

4. N´ egation d’un pr´ edicat avec quantificateur On a ¬(∀x ∈ E, P (x)) ≡ ∃x ∈ E : ¬P (x).

Exemple : la n´egation de 00 ∀x ∈ R, x2 ≥ 000 , est 00 ∃x ∈ R : x2 < 000 .

De mˆeme, ¬(∃x ∈ E : P (x)) ≡ ∀x ∈ E ¬P (x).

Un enonc´e peut contenir deux ou mˆeme plusieurs quantificateurs, l’ordre dans lesquels ils sont ´ecrits est important. Ainsi une assertion qui commence par ∀x, ∃y n’est pas n´ecessairement ´equivalente `a celle qui commence par ∃y, ∀x.

Exemple : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x ≤ y est vraie. ∃y ∈ R : ∀x ∈ R, x ≤ y est fausse.

Par contre, on a : ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, P (x, y) ≡ ∀y ∈ E, ∀x ∈ F, P (x, y) ∃x ∈ E, ∃y ∈ F : P (x, y) ≡ ∃y ∈ E, ∃x ∈ F : P (x, y) 5. Connecteurs logiques A partir de deux propositions P et Q on peut former d’autres propositions `a l’aide de connecteurs logiques : ∧, ∨, ⇒, ⇔, . . . .

La conjonction : P et Q, not´ee aussi P ∧ Q, qui est vraie seulement si les deux propositions P et Q sont vraies : P 1 1 0 0

Q P ∧Q 1 1 0 0 1 0 0 0

Par exemple : Soit x ∈ N, on consid`ere les propositions P :00 x | 2400 et Q :00 x ≤ 600 . P ∧ Q est vraie pour x = 1, 2, 3, 4, 6. ´ te ´s 5.1..

Proprie 7

1 - P ∧ Q ≡ Q ∧ P ; (P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R) ; P ∧ P ≡ P .

2 - Principe de non contradiction : P ∧ ¬P est toujours fausse.

Une th´eorie (ou un raisonnement) est dite contradictoire, si elle contient une proposition et sa n´egation qui soient toutes les deux vraies.

La disjonction P ou Q, not´ee aussi P ∨ Q qui est vraie si l’une au moins des propositions P et Q est vraie : P 1 1 0 0

Q P ∨Q 1 1 0 1 1 1 0 0

Exemple : dans l’exemple pr´ec´edent P ∨ Q est vraie pour x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24. ´ te ´s 5.2.

Proprie 1 - P ∨ Q ≡ Q ∨ P ; (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R) ; P ∨ P ≡ P 2 - Principe du tiers exclu : P ∨ ¬P est toujours vraie.

Proposition 5.3. Lois de De Morgan : ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ) ∨ (¬Q) ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ) ∧ (¬Q) L’implication P implique Q, not´ee aussi P ⇒ Q, est donn´ee par la table de v´erit´e : P 1 1 0 0

Q P ⇒Q 1 1 0 0 1 1 0 1

Proposition 5.4..

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q. 8

P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P (principe de contraposition). ¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q Exemple 5.1.

La proposition ∀x ∈ R : x ≤ 2 ⇒ x ≤ 4 est vraie. Sa n´egation est ∃x ∈ R : x ≤ 2 et x > 4 est fausse.

Double implication not´ee P ⇔ Q, c’est la proposition (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) : P 1 1 0 0

Q P ⇔Q 1 1 0 0 1 0 0 1

Remarque : Soient P et Q deux propositions. P ⇔ Q est vraie, si et seulement si, P ≡ Q. Aussi, on ´ecrira P ⇔ Q pour signifier que P ≡ Q. Remarques : 1 - On peut combiner plusieurs connecteurs logiques avec plusieurs propositions par exemple (P ∧ Q) ⇒ R ; (P ⇒ Q) ⇒ P , etc.

2 - Dans les expressions math´ematiques on adopte la simplification suivante : lorsqu’on ´ecrit P cel`a veut dire que P est vraie.

3 - Lorsque P ⇒ Q, on dira que si on a P alors on a Q ou que P entraˆıne Q.

6. Raisonnements math´ ematiques.

Les th´eories math´ematiques se basent sur un certain nombre de r´esultats admis qu’on appelle axiomes. Le but est, `a partir de ces axiomes et la logique, de d´emontrer des r´esultats vrais qu’on appelle th´ eor` emes, propositions, lemmes, propri´ et´ es , etc. . Les d´ emonstrations ou preuves de ces r´esultats, s’appuient sur des raisonnements logiques. Les principales m´ethodes de raisonnements sont les suivantes : 1 - Raisonnement par d´ eduction ou raisonnement direct : On veut montrer que P ⇒ Q. On suppose que P est vraie et avec une 9

succession d’implications, on montre que Q est vraie.

Exemple : Montrons que ∀x ∈ N, 4 | x ⇒ 2 | x. Supposons que 4 | x, on a x = 4.k, pour un k ∈ N. Donc x = 2.2.k = 2.k 0 avec k 0 = 2.k.

Par suite 2 | x.

2 - Raisonnement par contraposition : Pour montrer que P ⇒ Q, il est parfois plus simple de d´emontrer que non Q ⇒ nonP .

Exemple 1 : Montrons que ∀x ∈ N, 2 | x2 ⇒ 2 | x. Par contraposition, supposons que 2 - x et montrons que 2 - x2 . On a : x = 2k + 1 avec k ∈ N. Donc x2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2k 0 + 1, o` u k 0 = 2k 2 + 2k, 2 donc 2 - x .

Exemple 2 : pour montrer que ∀x ∈ R; x2 ∈ /Q⇒x∈ / Q, il est plus 2 facile de montrer que x ∈ Q ⇒ x ∈ Q. 3 - Raisonnement par l’absurde : Si on suppose qu’une propri´et´e P est fausse et qu’`a la fin du raisonnement on aboutit `a une contradiction, alors P est vraie. (une contadiction est une assertion du type Q et non Q).

Exemple : Montrons que

√

2∈ / Q, sinon, ∃x = p2 . q2

p ∈ q 2

Q, avec p, q ∈ N

premiers enre eux, tels que 2 = x2 = Donc 2q = p2 . Ce qui implique que 2 | p. On pose alors p = 2p0 . On a 2q 2 = 4p02 . Ce qui entraˆıne q 2 = 2p02 , ou encore 2 | q. On a 2 | p et 2 | q, ce qui est absurde car p et q sont suppos´es premiers entre eux.

4 - Raisonnement par contre-exemple : pour montrer que ∀x, P (x) est fausse on montre que ∃x non P (x).

Exemple : l’assertion ∀x ∈ N, 4 ≤ x est fausse car, par exemple, 2 ne v´erifie pas cette propri´et´e. C’est un contre-exemple.

5 - Raisonnement par r´ ecurrence : Soit P une propri´et´e, et n0 ∈ N. Si P (n0 ) est vraie et si ∀n ≥ n0 , P (n) ⇒ P (n + 1), alors ∀n ≥ n0 , P (n) est vraie.

Exemple : Pour n ∈ N, posons Sn = on a Sn = n(n+1) .

2

Pn k=0

k. Montrons que ∀n ∈ N,

Le r´esultat est vrai pour 0. On suppose que c’est vrai pour n (Hy+n+1 = poth`ese de r´ecurrence H.R). On a Sn+1 = Sn + n + 1 = n(n+1) 2 (n+1)(n+2) n (n + 1)( 2 + 1) = . Donc la propri´et´e est vraie pour n + 1. On 2 10

en d´eduit qu’elle est vraie pour tout n.

7. Inclusion et ´ egalit´ e d’ensembles Soient E et F deux ensembles . On dit que E est inclus dans F , not´e E ⊂ F , si ∀x ∈ E on a x ∈ F . On dit aussi que E est un sousensemble ou une partie de F .

La n´egation est E 6⊂ F . On a E 6⊂ F ⇔ ∃x ∈ E : x ∈ / F. Exemple : E = {0, 1, 2}, F = {1, 2, 3}, G = {0, 1, 2, 4} On a E ⊂ G mais E 6⊂ F . ´ te ´ 7.1. Si E ⊂ F et F ⊂ G alors E ⊂ G. Proprie Egalit´ e de deux ensembles : Soient E et F deux ensembles alors (E = F ) ⇔ (E ⊂ F et F ⊂ E) .

8. Ensemble d´ efini par un pr´ edicat : Soit P (x) un pr´edicat alors il existe un ensemble E = {x : P (x)}.

Exemple : E = {x ∈ N : x | 12} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Ensemble vide Il existe un ensemble qui ne contient aucun ´el´ement, l’ensemble vide, not´e ∅.

Proposition 8.1. Pour tout ensemble E on a ∅ ⊂ E Preuve. Sinon, ∃x ∈ ∅ : x ∈ / E. Absurde car ∃x ∈ ∅ est fausse.

Singleton et paire : Soient x, y deux objets math´ematiques distincts. Il existe un ensemble {x} contenant seulement x appel´e singleton de l’´el´ement x et un ensemble contenant x et y not´e {x, y}, appel´e paire de x et y.

Ensemble des parties d’un ensemble : Soit E un ensemble. Il existe un ensemble not´e P(E) dont les ´el´ements sont les sous-ensembles de E. P(E) = {A : A ⊂ E}.

11

Exemple : Si E = {a, b}, alors P(E) = {∅, {a}, {b}, E}.

9. Op´ erations sur les ensembles : Soient E et F deux ensembles, on d´efinit : La r´ eunion : de E et F , E ∪ F = {x : x ∈ E ou x ∈ F } (lire E union F ).

L’intersection : de E et F , E ∩ F = {x : x ∈ E et x ∈ F }. (lire E inter F ).

Deux ensembles dont l’intersection est vide sont dits disjoints. ´ te ´s 9.1.

Proprie Soient A, B, C trois ensembles, alors : i - A ∪ A = A, A ∪ B = B ∪ A, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C). ii - A ∩ A = A, A ∩ B = B ∩ A, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C). iii - A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

Diff´ erence de deux ensembles E et F , E\F = {x ∈ E : x ∈ / F }. (lire E moins F ).

Si A ⊂ E, on d´efinit le compl´ ementaire de A dans E par A¯ ou A A ou CE , A = E\A. On a : E\F = E ∩ F . c

´ te ´s 9.2. (Lois de De Morgan) Proprie Soient A et B deux parties d’un ensemble E, alors : i - A ∪ B = A ∩ B. ii - A ∩ B = A ∪ B. Diff´ erence sym´ etrique de deux ensembles E et F , E∆F = (E\F ) ∪ (F \E). On a : E∆F = (E ∪ F )\(E ∩ F ).

12

CHAPITRE 2

Correspondances et Applications 1. Couples et produit cart´ esien On appelle couple form´e par deux ´el´ements x et y l’expression (x, y) telle que (x, y) = (x0 , y 0 ) ⇔ x = x0 et y = y 0 . x est la premi`ere composante ou premi`ere projection du couple. y est la deuxi`eme composante ou deuxi`eme projection du couple.

Soient E et F deux ensembles. Le produit cart´ esien E × F est l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F .

Si E = F , E × E est not´e parfois E 2 .

On d´efinit de mˆeme les triplets (x, y, z), les quadriplets (x, y, z, t), et plus g´en´eralement les n-uplets (x1 , x2 . . . , xn ). Ainsi que les produits cart´esiens E × F × G, E × F × G × H, et plus g´en´eralement E1 × E2 × . . . En .

2. Correspondance On appelle correspondance, la donn´ee d’un triplet φ = (E, F, G) o` u E et F sont deux ensembles et G une partie de E × F .

E est appel´e l’ensemble de d´ epart de φ, F est l’ensemble d’arriv´ ee. G est le graphe de φ.

Si (x, y) ∈ G, y est une image de x par φ, x est un ant´ ec´ edent de y par φ.

Exemple : E = {0, 1, 2, 3}, F = {a, b, c}, G = {(0, b), (0, c), (2, a), (3, a)}.

Le domaine de d´ efinition de φ est l’ensemble Dφ = {x ∈ E : ∃y ∈ F, (x, y) ∈ G}.

13

On appelle fonction une correspondance dans laquelle tout ´el´ement de l’ensemble de d´epart poss`ede au plus une image.

Exemple : Soit E = F = R, G = {(x2 , | x |) ∈ R2 }. Alors G est le graphe d’une fonction. Son domaine de d´efinition est R+ .

3. Applications Une application f : E → F est une correspondance (E, F, G) telle que ∀x ∈ E, ∃!y ∈ F : (x, y) ∈ G. i.e. tout ´el´ement de E poss`ede une et une seule image.

On note F E ou F(E, F ) l’ensemble de toutes les applications de E dans F .

Une application est compl´etement d´efinie par son ensemble de d´epart, son ensemble d’arriv´ee et l’image de chaque ´el´ement de l’ensemble de d´epart. Ainsi deux applications f et g sont ´egales si elles ont mˆeme ensemble de d´epart, mˆeme ensemble d’arriv´ee et pour tout ´el´ement x dans l’ensemble de d´epart on a f (x) = g(x).

Exemple : on a une application f : R → R, d´efinie par : ½ f (x) =

2x2 − 3x + 1 si x ≤ 1 1 , sinon. |x−1|

Soit E ⊂ F . L’application ı : E → F , d´efinie par ı(x) = x, s’appelle l’injection canonique de E dans F . Si E = F , l’application IE : E → E, IE (x) = x, not´ee aussi IdE , est appel´ee l’application identique de E ou identit´ e de E. Soit f : E → F une application. A ⊂ E. L’application f|A : A → F , d´efinie par f|A (x) = f (x)∀x ∈ A, est appel´ee la restriction de f , `a A. On dit aussi que f est un prolongement de f|A .

Tr`es souvent, par abus de notation, une application et sa restriction sont d´esign´ees par le mˆeme symbole. Ainsi, l’application x 7→ sin x, d´esigne aussi bien l’application sinus R → R, que cette application de [0, 2π] dans R. Compos´ ee de deux applications : Soient f : E → F , g : F → G, la compos´ee de g et de f est l’application g ◦ f : E → G, d´efinie par 14

g ◦ f (x) = g(f (x)).

Exemple : Soient f, g : R → R, d´efinies par f (x) = x2 et g(x) = x+1 ∀x ∈ R. On a g ◦ f (x) = x2 + 1, f ◦ g(x) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

Noter que f ◦ g 6= g ◦ f .

Proposition 3.1. Soit f : E → F une application f ◦ IE = f et IF ◦ f = f .

Soient f : E → F , g : F → G, h : G → H, trois applications : on a : (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).

- Soit f : E → F une application, A une partie de E, B une partie de F .

- On appelle image directe de A par f l’ensemble f (A) = {y ∈ F : ∃x ∈ E, y = f (x)}.

- On appelle image r´ eciproque de B par f l’ensemble f −1 (B) = {x ∈ E : f (x) ∈ B}.

Exemple : Soit f : R → R d´efinie par f (x) = x2 . On a f (R) = R+ , f −1 ({4}) = {2, −2}, f −1 ({−1}) = ∅.

4. Injection, surjection, bijection - Soit f : E → F une application : f est dite injective si ∀x, x0 ∈ E, f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 . i.e. tout ´el´ement de F admet au plus un ant´ec´edent.

On dit que f est une injection de E dans F . f est dite surjective, si tout y ∈ F admet un ant´ec´edent dans E. On dit que f est une surjection de E sur F . f est dite bijective, si tout ´el´ement de F poss`ede un et un seul ant´ec´edent. f est bijective, si et seulement si, elle est injective et surjective.

Exemples : 15

1 - L’application N → N, n 7→ n + 1, est injective non surjective. (0 n’a pas d’ant´ec´edent).

2 - L’application f : N → N, d´efinie par f (0) = 0 et f (n) = n − 1, si n ≥ 1, est surjective non injective. ´ore `me 4.1. Soit f : E → F une application : The 1 - f est bijective ⇔ il existe une application g : F → E telle que g ◦ f = IE et f ◦ g = IF .

Lorsque c’est le cas, l’application g est unique on la note gf −1 , on l’appelle l’application r´ eciproque de f . De plus, f −1 est bijective et −1 −1 (f ) = f .

2 - Soient f : E → F et g : F → G deux bijections, alors g ◦ f est bijective et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .

Exemple : L’application f√: R+ → R+ , f (x) = x2 est bijective. Sa bijection r´eciproque est x 7→ x.

5. Famille d’´ el´ ements.

Soit E un ensemble. On appelle famille d’´el´ements de E index´ee par un ensemble I, toute application I → E ; i 7→ xi . On note la famille par (xi )i∈I , o` u xi ∈ E. I est appel´e l’ensemble d’indices.

Cas particulier : lorsqu’on prend I = N, ou une partie de N, une famille d’´el´ements de E est alors appel´ee une suite d’´el´ements de E. Par exemple : x0 , x1 , . . . , xn , . . ..

Soit (Ai )ı∈I une famille de parties d’un ensemble E, i.e. Ai ⊂ E, ∀i ∈ I. On appelle r´eunion de la famille, l’ensemble ∪ı∈I Ai = {x ∈ E : ∃i ∈ I, x ∈ Ai }.

Cas particulier, si I = {1, 2}, ∪ı∈I Ai = {x ∈ E : x ∈ A1 ou x ∈ A2 } = A1 ∪ A2 .

Exemple : ∪n∈N ] − n, n[= R. 16

On appelle intersection de la famille, l’ensemble ∩ı∈I Ai ={x ∈ E : ∀i ∈ I, x ∈ Ai}.

Cas particulier, si I = {1, 2}, ∩ı∈I Ai = {x ∈ E : x ∈ A1 et x ∈ A2 } = A1 ∩ A2 .

Exemple : ∩n∈N∗ [− n1 , n1 ] = {0}.

6. Relations binaires sur un ensemble Une relation binaire R sur E est la donn´ee d’une correspondance (E, E, G). On note xRy, pour signifier que (x, y) ∈ G. Exemple 6.1. Relation de divisibilit´e Dans Z on d´efinit la relation de divisibilit´e not´ee | par : ∀x, y ∈ Z, x | y ⇔ ∃k ∈ Z : y = kx.

D´ efinition : Soit E un ensemble muni d’une relation binaire R. R est dite r´ eflexive si ∀x ∈ E on a : xRx. R est dite sym´ etrique si ∀x, y ∈ E on a : xRy ⇒ yRx. R est dite antisym´ etrique si ∀x, y ∈ E on a : xRy et yRx ⇒ x = y.

R est dite transitive si ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz ⇒ xRz. 7. Relation d’´ equivalence R est dite une relation d’´ equivalence si elle est r´eflexive, sym´etrique et transitive.

Soit (E, R) un ensemble muni d’une relation d’´equivalence R. Pour x ∈ E, on appelle classe de x modulo R l’ensemble x¯ = {y ∈ E : yRx}. Notons que x¯ = y¯ ⇔ xRy. Exemple 7.1.

1 - Dans un ensemble non vide E, la relation d’´egalit´e x = y, est une relation d’´equivalence.

2 - Soit n ∈ N. Dans Z, on d´efinit la relation xRy ⇔ n|x − y, qu’on note encore x ≡ y (mod n). On l’appelle relation d’´equivalence modulo n. C’est une relation d’´equivalence. Pour tout k ∈ Z, on a 17

k¯ = k + nZ = k + nZ. 3 - Soit f : E → F une application. La relation xRy ⇔ f (x) = f (y) est une relation d’´equivalence.

Proposition 7.1. Deux classes d’´equivalences sont ou bien disjointes ou bien confondues.

Preuve. Soit R une relation d’´equivalence. Supposons que x¯ ∩ y¯ 6= ∅.

Soit z ∈ x¯ ∩ y¯, on a z ∈ x¯ donc xRz et z ∈ y¯, donc zRy. Il en r´esulte que xRy, d’o` u x¯ = y¯.

L’ensemble quotient de E par R est l’ensemble not´e E/R des classes d’´equivalences modulo R. C’est une partition de E : les classes sont non vides, deux `a deux disjointes et leur r´eunion est E. L’application π : E → E/R, x 7→ x¯ est une surjection appel´ee surjection canonique.

Exemple 7.2.

L’ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulo n, est not´e Z/nZ. En utilisant la division euclidienne, on montre que Z/nZ = {¯0, ¯1, . . . , n − 1} ´ore `me 7.2. (D´ecomposition canonique d’une application). Soit The E un ensemble muni d’une relation d’´equivalence R, F un ensemble et f : E → F une application. Les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) Il existe une application f¯ : E/R → F telle que f = f¯ ◦ π, o` u π : E → E/R est la surjection canonique. (ii) ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ f (x) = f (y).

De plus, lorsqu’elle existe, f¯ est unique.

On interpr`ete ce th´eor`eme en disant qu’il existe une application f : E/R → F unique telle que le diagramme suivant soit commutatif. f- F

E @

6 f

π@

@ R @

18

E/R

8. Relation d’ordre Une relation binaire ≺ sur E est dite relation d’ordre si elle est r´eflexive, antisym´etrique et transitive. Le couple (E, ≺) est dit ensemble ordonn´e.

Deux ´el´ements x et y sont dits comparables, si x ≺ y ou x ≺ y.

Un ordre est dit total si deux ´el´ements quelcoques sont comparables.

Un ordre qui n’est pas total est dit partiel.

Soit (E, ≺) un ensemble ordonn´e. On appelle chaˆıne de E, toute partie de E totalement ordonn´ee.

Exemple 8.1.

1 - Dans R, les relations x ≤ y et x ≥ y, sont des relations d’ordre total.

2 - Dans N, la relation x divise y (x | y), est une relation d’ordre partiel.

3 - Soit E un ensemble. La relation d’inclusion ⊂ dans P(E) est une relation d’ordre. Si E contient au mois deux ´el´ements, cet ordre est partiel.

Soit A une partie d’un ensemble ordonn´e (E, ≺). Un ´el´ement M (resp. m) est dit majorant (resp. minorant ) de A si ∀x ∈ A, on a x ≺ M (resp. m ≺ x).

Lorsqu’un majorant (resp. un minorant) appartient `a A (ce qui n’est pas toujours le cas ), on dit que c’est le plus grand ´el´ement de A (resp. plus petit ´el´ement de A. Exemple 8.2.

Dans (R, ≤), l’intervalle [0, 1[ poss`ede un plus petit ´el´ement qui est 0. Tout r´eel sup´erieur `a 1 est un majorant de [0, 1[, mais [0, 1[ ne poss`ede pas de plus grand ´el´ement.

19

CHAPITRE 3

Ensembles finis et cardinaux 1. Ensemble N ´ore `me 1.1. Toute partie non vide de (N, ≤) poss`ede un plus The petit ´el´ement.

Preuve. Soit A une partie non vide de N. Notons E l’ensemble de tous les minorants de A. E n’est pas vide car 0 ∈ E. Montrons qu’il existe n0 ∈ E tel que n0 + 1 ∈ / E. Sinon, ∀n ∈ E, on a n + 1 ∈ E. Ceci impliquerait que E = N. Ce qui est absurde. Soit alors n0 ∈ E tel que n0 + 1 ∈ / E. Montrons que n0 ∈ A. Sinon, n0 < x, ∀x ∈ A, entraˆınant n0 + 1 ≤ x ∀x ∈ A, c’est `a dire n0 + 1 ∈ E, c’est une contradiction.

Par suite, n0 ∈ A. Comme n0 est un minorant de A, c’est le plus petit ´el´ement de A. ´ore `me 1.2. (Division euclidienne dans N). Soient a, b ∈ N, The avec b 6= 0. Alors il existe q, r ∈ N, uniques tels que a = bq + r et 0 ≤ r < b. q et r sont appel´es respectivement quotient et reste de la division euclidienne de a par b.

Preuve. Soit E = {a − bs ∈ N : s ∈ N}, E 6= ∅, il suffit de prendre s = 0. Donc E poss`ede un plus petit ´el´ement r. Montrons que r < b.

Sinon, a − b(q + 1) = a − bq − b = r − b. Donc a − b(q + 1) ∈ E, ce qui contredit la minimalit´e de r.

Unicit´e : Supposons que a = bq + r = bq 0 + r0 et 0 ≤ r, r0 < b . Supposons que r 6= r0 . On peut supposer que r < r0 , alors b(q − q 0 ) = r0 − r.

Donc b | r0 − r, ce qui est absurde, car r0 − r ≤ r0 . Donc r = r0 et q = q 0 .

Exemple : Le quotient et le reste de la division euclidienne de 17 par 5 sont 3 et 2, car 17 = 5 · 3 + 2.

Proposition 1.3. Toute partie major´ee non vide de N poss`ede un plus grand ´el´ement.

21

Preuve. Soit E une partie major´ee non vide de N. Consid´erons l’ensemble F ⊂ N des majorants de E. Alors F poss`ede un plus petit ´el´ement m. Montrons que m ∈ E. Sinon, ∀n ∈ E, n < m. Il en r´esulte que m − 1 est un majorant de E, une contradiction. Donc m ∈ E. 2. Ensembles ´ equipotents Deux ensembles E et F sont dits ´equipotents, E eq F , s’il existe une bijection E → F .

On a : i - E eq E. ii - si E eq F alors F eq E. iii - si E eq F et F eq G alors E eq G. 3. Ensembles finis Un ensemble E est dit fini s’il existe n ∈ N, tel que E soit ´equipotent `a {1, . . . , n}. L’entier n est alors unique et il est appel´e cardinal de E ou le nombre d’´el´ements de E. On le note card(E).

L’ensemble vide est fini et son cardinal est ´egal `a z´ero.

Un ensemble fini E de cardinal n, peut s’´ecrire E = {x1 , x2 , . . . , xn }.

Un ensemble qui n’est pas fini est dit infini.

L’ensemble N est infini.

Proposition 3.1. Soit E un ensemble, alors les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) E est fini. (ii) Il existe n ∈ N, et une surjection {1, . . . , n} → E. (iii) Il existe n ∈ N, et une injection E → {1, . . . , n}.

Proposition 3.2. Soient E et F deux ensembles tels que E soit fini et f : E → F une application. Alors : 22

1 - f (E) est fini et cardf (E) ≤ cardE. 2 - cardf (E) = cardE ⇔ f est injective.

3 - Si E et F sont finis et cardE = cardF , alors les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) f est injective. (ii) f est surjective. (iii) f est bijective.

Proposition 3.3. Soient E et F deux ensembles finis. Alors les ensembles E ∪ F , E × F , F E , P(E) sont finis et : card(E ∪ F ) = cardE + cardF − card(E ∩ F ). cardE × F = cardE.cardF . cardF E = (cardF )cardE . cardP(E) = 2cardE .

4. Arrangements et combinaisons D´ efinition. Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entier non nul. On appelle p-arrangement tout injection de {1, 2, . . . , p}.

Proposition 4.1. Le nombre de p-arrangements dans un ensemble de cardinal n est ´egal `a n!

Apn = (n − p)!

Si n = p, alors tout p-arrangement est une bijections, on dit alors que c’est une permutation.

Corollaire 4.2. Le nombre de permutations d’un de cardinal n est ´egal `a n!.

D´ efinition. Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entier non nul. On appelle p-combinaison toute partie de E de cardinal p.

23

Proposition 4.3. Le nombre de p-combinaisons dans un ensemble de cardinal n est ´egal `a n!

Cnp = p!(n â&#x2C6;&#x2019; p)!

24

CHAPITRE 4

Lois de composition interne 1. G´ en´ eralit´ es sur les lois de composition interne Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne, en abr´eg´e l.c.i, sur E, toute application E × E → E ; (x, y) 7→ x ∗ y.

On note (E, ∗), l’ensemble E muni de ∗. L’´el´ement x ∗ y est appel´e le compos´ e de x par y.

Certains symboles sp´eciaux sont utilis´es pour les lois de composition internes par exemple : ∗ (´etoile), + (plus), · (point),> (T´e), ⊥ (Truc), etc..

Exemple 1.1.

1 - Sur l’ensemble des entiers naturels N, on a les lois +, addition ; et ×, la multiplication. La soustraction n’est pas une l.c.i.

2 - Sur P(X), ensemble des parties d’un ensemble X, on a les op´erations : intersection (A, B) 7→ A ∩ B, r´eunion (A, B) 7→ A ∪ B, diff´erence (A, B) 7→ A\B, qui d´efinissent des l.c.i .

3 - Soit X un ensemble, dans l’ensemble des applications de X dans lui-mˆeme, F(X, X), la composition des applications 00 ◦00 est une loi de composition interne.

Lorsque l’ensemble E est fini, E = {x1 , . . . , xn }, on peut dresser la table de la loi ∗. C’est un tableau carr´e de la forme suivante : Â∗ x1 ... xj ... xn x1 x1 ∗ x1 . . . x1 ∗ x j . . . x1 ∗ xn .. . xi .. .

xi ∗ x1 . . .

xn xn ∗ x1 . . .

xi ∗ xj

...

xi ∗ xn

xn ∗ xj . . .

xn ∗ xn

25

Exemple 1.2.

On consid`ere la loi ∗ sur E = {a, b, c} d´efinie par la table : Â∗ a b c

a b a b

b b a b

c a b c

D´ efinition. Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. Une partie A de E est dite stable par ∗ si ∀x, y ∈ A on a : x ∗ y ∈ A. On peut alors munir A de la restriction de la loi ∗ sur A. C’est la loi induite par ∗ sur A. Exemple 1.3.

1 - L’ensemble des entiers pairs est stable dans (N, +).

2 - L’ensemble des nombres entiers impairs n’est pas stable dans (N, +).

2. Associativit´ e.

Soit E un ensemble muni d’une l.c.i.∗ . On dit que la loi ∗ est associative, si ∀x, y, z ∈ E, on a (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Exemple 2.1. l’addition et la multiplication sont associatives dans N, Z, Q, R, C. Exemple 2.2.

L’intersection, la r´eunion, la diff´erence sym´etrique ∆, sont associatives dans P(X).

Exemple 2.3.

La loi ◦ est associative dans F(X, X).

Exemple 2.4.

La soustraction n’est pas associative dans Z. 26

3. Commutativit´ e.

Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i. On dit que ∗ est commutative, si ∀x, y ∈ E, on a x ∗ y = y ∗ x.

Exemple 3.1. l’addition et la multiplication sont commutatives dans N, Z, Q, R, C. Exemple 3.2.

L’intersection, la r´eunion, la diff´erence sym´etrique ∆, sont commutatives dans P(X).

Exemple 3.3.

Si X contient au mois deux ´el´ements, la loi ◦ n’est pas commutative dans F(X, X).

Exemple 3.4.

La soustraction n’est pas commutative dans Z. 4. El´ ement neutre Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i. On dit que e est un ´el´ement neutre pour ∗, si ∀x ∈ E, on a x ∗ e = e ∗ x = x.

Proposition 4.1. Toute loi de composition interne poss`ede au plus un ´el´ement neutre.

Preuve. Soient e et e0 deux ´el´ements neutres de (E, ∗). Alors e ∗ e0 = e = e0 .

Exemple 4.1.

0 est l’´el´ement neutre de + dans N, Z, Q, R, C. Exemple 4.2.

1 est l’´el´ement neutre de × dans N, Z, Q, R, C. Exemple 4.3.

27

Dans P(X), ∅ est l’´el´ement neutre de la r´eunion et de la diff´erence sym´etrique. X est l’´el´ement neutre de l’intersection.

Exemple 4.4.

L’application identique IX est l’´el´ement neutre de (F(X, X), ◦).

Exemple 4.5.

La soustraction dans Z, ne poss`ede pas d’´el´ement neutre.

5. El´ ements r´ eguliers.

Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i. ∗. Un ´el´ement a ∈ E est dit r´egulier ou simplifiable `a gauche (resp. `a droite) si : ∀x, x0 ∈ E, a ∗ x = a ∗ x0 (resp.x ∗ a = x0 ∗ a) ⇒ x = x0 a est dit r´egulier ou simplifiable, s’il est r´egulier `a gauche et `a droite.

Exemple 5.1.

Dans (N, +), tout ´el´ement est r´egulier.

Exemple 5.2.

Dans (N, ×), tout ´el´ement non nul est r´egulier, mais 0 n’est pas r´egulier.

6. El´ ements sym´ etrisables.

Soit ∗ une loi sur E poss`edant un ´el´ement neutre e, un ´el´ement x de E est dit sym´etrisable ou inversible `a gauche (resp. `a droite), s’il existe x0 ∈ E tel que x0 ∗ x = e (resp. x ∗ x0 = e). x0 est appel´e alors un inverse ou un sym´etrique `a gauche (resp. `a droite) de x . x est dit sym´etrisable ou inversible , s’il l’est `a gauche et `a droite.

Exemple 6.1.

Les ´el´ements sym´etrisables de (Z, ×) sont 1 et −1.

28

7. Morphismes Soient E et F deux ensembles munis respectivement de deux lois ∗ et ⊥. On appelle morphisme ou homomorphisme de (E, ∗) dans (F, ⊥), toute application f : E → F telle que ∀x, y ∈ E on a : f (x ∗ y) = f (x) ⊥ f (y).

Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Un endomorphisme de (E, ∗) est un morphisme (E, ∗) → (E, ∗).

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Exemple 7.1.

L’application (N, +) → (N, ×), n 7→ 2n est un morphisme.

Proposition 7.1. Le compos´e de deux morphismes est un morphisme. La r´eciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.

Lorsqu’il existe un isomorphisme entre (E, ∗) et (F, ⊥), on dit que (E, ∗) est isomorphe `a (F, ⊥) qu’on note (E, ∗) ∼ = (F, ⊥). Les deux lois ont alors les mˆemes propri´et´es.

8. Loi quotient Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une loi ∗. Une relation d’´equivalence R sur E est dite compatible avec ∗, si ∀x, y, x0 , y 0 ∈ E, xRy et x0 Ry 0 ⇒ x ∗ x0 Ry ∗ y 0 .

Exemple 8.1.

La relation xRy ⇔ n | y − x est une relation d’´equivalence compatible avec la loi + et × dans Z. ´ore `me 8.1. Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une loi ∗ et R une The relation d’´equivalence sur E compatible avec ∗. Sur l’ensemble quotient E/R, on d´efinit une loi ∗¯ par ∀¯ x, y¯ ∈ E/R, x¯ ∗ y¯ = x ∗ y. De sorte que, la surjection canonique π : (E, ∗) → (E/R, ∗¯), soit un morphisme.

La loi ∗¯ est appel´ee la loi quotient de ∗ par R. Exemple 8.2.

Soit n ∈ N. La relation x ≡ y, (mod n) est compatible avec + et ×, ce qui permet de d´efinir, par passage au quotient, des lois + et × 29

sur Z/n.Z. ∀¯ x, y¯ ∈ Z/n.Z, on a : x¯ + y¯ = x + y,

et

x¯ · y¯ = x · y

Proposition 8.2. Soit E un ensemble muni d’une loi ∗ et ∗¯ une loi quotient par une relation d’´equivalence R. Si ∗ est associative ou commutative, il en est de mˆeme de ∗¯.

Si ∗ poss`ede un ´el´ement neutre e, alors e¯ est l’´el´ement neutre de ∗¯.

Si x poss`ede un sym´etrique y ` a gauche (resp. `a droite), alors y¯ est un sym´etrique `a gauche (resp. `a droite) de x¯. ´ore `me 8.3. (D´ecomposition canonique d’un morphisme) Soit The E un ensemble muni d’une loi ∗ et d’une relation d’´equivalence R compatible avec cette loi. F un ensemble muni d’une loi ⊥ et f : E → F un morphisme telle que ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ f (x) = f (y). Alors il existe un morphisme f¯ : E/R → F unique telle que f = f¯ ◦ π.

9. Mono¨ıdes On appelle mono¨ıde, un couple (E, ∗) o` u E est un ensemble muni d’une l.c.i. ∗ associative et poss´edant un ´el´ement neutre e.

Si de plus la loi ∗ est commutative, le mono¨ıde est dit commutatif.

Exemple 9.1.

1 - N muni de l’addition est un mono¨ıde dont l’´el´ement neutre est 0.

2 - N muni de la multiplication est un mono¨ıde d’´el´ement neutre 1.

3 - Soit E un ensemble alors (P(E), ∪) est un mono¨ıde dont l’´el´ement neutre est Ø et (P(E), ∩) est un mono¨ıde dont l’´el´ement neutre est E. 4 - Soit X un ensemble. L’ensemble F(X, X) des applications f : X → X muni de la composition des applications est un mono¨ıde dont l’´el´ement neutre est IX , l’application identique de X. Exemple 9.2. (Exemple important) Dans Z/n.Z, on d´efinit les lois + et × par : ∀¯ x, y¯ ∈ Z/n.Z, on pose : 30

x¯ + y¯ = x + y et x¯.¯ y = x.y Ces expressions ne d´ependent pas de x et y, mais seulement de leurs classes d’´equivalences, et on a : 1 - (Z/n.Z, +) est un mono¨ıde commutatif dans lequel tout ´el´ement est sym´etrisable.

2 - (Z/n.Z, ×) est un mono¨ıde commutatif.

Proposition 9.1. Dans un mono¨ıde tout ´el´ement sym´etrisable `a gauche (resp. `a droite) est r´egulier `a gauche (resp. `a droite).

Proposition 9.2. Soit (E, ∗) un mono¨ıde.

1 - Si x est sym´etrisable, alors il poss`ede un seul sym´etrique not´e x−1 .

De plus x−1 est sym´etrisable et (x−1 )−1 = x.

2 - Si x, y sont deux ´el´ements sym´etrisables, alors x∗y est sym´etrisable et (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 .

Notation additive et notation multiplicative.

Tr`es souvent on utilise, pour les mono¨ıdes, deux types de notations : - la notation multiplicative, qui est la plus g´en´erale, la loi de composition est not´ee ·, le compos´e de x et y est not´e xy, l’´el´ement neutre e ou 1, l’inverse de x est not´e x−1 .

- la notation additive + en g´en´eral reserv´ee au cas commutatif. La compos´ee de x et y est not´ee x + y, l’´el´ement neutre est not´e 0, le sym´etrique de x est not´e −x, on l’appelle aussi l’oppos´e de x.

Remarque. Souvent, par abus de langage et de notation, et lorsqu’il n’y a pas de confusion sur la loi, on notera E le mono¨ıde (E, ·).

D´ efinition. Soit E un mono¨ıde d’´el´eQ ment neutre e. Pour x1 , x2 , . . . , xn ∈ E on note le compos´e deP ces ´el´ements ni=1 xi = x1 .x2 . . . xn . Dans le cas d’une loi additive +, ni=1 xi = x1 + x2 + · · · + xn .

Puissance d’un ´ el´ ement Soit E un mono¨ıde d’´el´ement neutre e.

Pour x ∈ E on d´efinit les puissances de x par r´ecurrence de la mani`ere 31

suivante. x0 = e, xn+1 = xn x.

En notation additive xn est not´e nx.

Proposition 9.3. Soit E un mono¨ıde. Pour tous x, y ∈ E et n, m ∈ N, on a : 1 - xn+m = xn xm .

2 - xnm = (xn )m .

3 - Si xy = yx, on a : (xy)n = xn y n .

4 - Si x est sym´etrisable de sym´etrique x−1 , alors xn est sym´etrisable de sym´etrique (x−1 )n .

32

CHAPITRE 5

Structure de groupe 1. D´ efinitions et Propri´ et´ es g´ en´ erales Un groupe est un mono¨ıde dans lequel tout ´el´ement est sym´etrisable.

Lorsque la loi du groupe est commutative, on dit que le groupe G est commutatif ou ab´ elien.

Un groupe G est dit fini, si l’ensemble sous-jacent est un ensemble fini. Le cardinal de G est appel´e ordre de G il est not´e o(G) ou |G|.

Exemple 1.1.

1 - (Z, +) est un groupe ab´elien infini. On l’appelle le groupe Z. 2 - (Q, +), (R, +), (C, +) sont des groupes ab´eliens.

3 - (Q∗ , ×), (R∗ , ×), (C∗ , ×) sont des groupes ab´eliens.

4 - (Z∗ , ×), n’est pas un groupe.

5 - (Z/n.Z, +) est un groupe ab´elien fini.

Proposition 1.1. Dans un groupe tout ´el´ement est r´egulier.

Proposition 1.2. Soit (E, ·) un mono¨ıde d’´el´ement neutre e. On note U (E) l’ensemble des ´el´ements inversibles de E. Alors (U (E), ·) est un groupe.

Exemple 1.2.

1 - (Groupe des bijections d’un ensemble). Soit X est un ensemble, l’ensemble des bijections de X dans lui-mˆeme muni de la loi ◦ est un groupe, on le note B(X). Si X contient au moins deux ´el´ements, B(X) n’est pas commutatif. De plus, si X est fini de cardinal n, alors o(B(X)) = n!.

33

2 - Lorsque X = {1, 2, . . . , n}, ce groupe est not´e Sn . On l’appelle le groupe sym´ etrique de degr´e n. Ses ´el´ements sont appel´es les permutations `a n ´el´ements. Son ordre est ´egal `a n!.

Toute permutation σ ∈ Sn sera not´ee : µ ¶ 1 2 ... i ... n σ= σ(1) σ(2) . . . σ(i) . . . σ(n) Exemple 1.3. µ ¶ 1 2 3 4 5 6 σ= ∈ S6 .

2 5 6 1 4 3 S3 est un groupe fini d’ordre 6 comprenant : I = 1 2 ( 2 1 33 ).

( 11 22 33 ), r1 = ( 12 23 31 ), r2 = ( 13 21 32 ), s1 = ( 11 23 32 ) , s2 = ( 13 22 31 ) , s3 =

La table de ce groupe est de la forme : Â◦

I

I

I

r1 r2 s1 s2 s3

r1 r2 s1 s2 s3

r1 r2 r1 r2 r2 I I r1 s2 s3 s3 s1 s1 s2

s1 s1 s3 s2 I

s2 s2 s1 s3 r1

r2 I r1 r2

s3 s3 s2 s1 r2 r1 I

2. Sous-groupes D´ efinition : Soit G un groupe, H un sous-ensemble de G , H 6= Ø.

On dit que H est un sous-groupe de G, lorsque H est une partie stable de G, qui v´erifie les axiomes d’un groupe pour la l.c.i. induite par celle de G. Proposition 2.1. Soient G un groupe et H ⊂ G. Les assertions suivantes sont ´equivalentes : 1 - H est un sous groupe de G. 2 - H 6= Ø, ∀(a, b) ∈ H 2 , ab ∈ H et ∀a ∈ H, a−1 ∈ H. 3 - H 6= Ø et ∀(a, b) ∈ H 2 , ab−1 ∈ H. 34

Remarque : 1 - Si H est un sous-groupe de G, alors H admet le mˆeme ´el´ement neutre que G. 2 - Tr`es souvent, pour montrer qu’un ensemble muni d’une loi est un groupe, on montre que c’est un sous-groupe d’un groupe donn´e.

Exemple 2.1.

1 - Soit G un groupe d’´el´ement neutre e, alors {e} et G sont deux sous-groupes de G dits triviaux.

2 - Soit n ∈ N. L’ensemble nZ = {n.k ∈ Z : k ∈ Z}, est un sousgroupe de Z. 3 - Z est un sous-groupe de (R, +).

4 - N n’est pas un sous-groupe de Z. Proposition 2.2. Soit (G, ·) un groupe et (Hi )i∈I une famille de sous-groupes de G. Alors ∩i∈I Hi est un sous-groupe de G. Notons que la r´eunion de deux sous-groupes n’est pas n´ecessairement un sous-groupe. ´ore `me 2.3. Soit H un sous-ensemble de Z. Alors H est un The sous-groupe de Z, si et seulement si, il existe n ∈ N : H = nZ 3. Morphismes de groupes D´ efinition (Rappel) Soient G, G0 deux groupes et f : G → G0 une application. On dit que f est un morphisme de groupes si ∀x, y ∈ G on a f (xy) = f (x)f (y).

Un groupe G est dit isomorphe `a un groupe G0 , s’il existe un isomorphisme G → G0 . On note alors G ∼ = G0 .

Exemple 3.1.

0

1 - Soient G, G deux groupes d’´el´ements neutres respectivement e 0 et e . On peut toujours d´efinir un morphisme dit trivial θ de G dans G0 par θ(x) = e0 , ∀x ∈ G. 35

2 - Soit G un groupe. L’application identique IG : G → G est un endomorphisme de G. Si H est un sous groupe de G, l’injection canonique i : H → G, i(x) = x est un morphisme de groupes.

3 - Soit G un groupe, g ∈ G. L’application φg : Z → G, d´efinie par φg (n) = g n (si n < 0, g n = (g −n )−1 ), est un morphisme de groupes.

4 - L’application exponentielle exp : (R, +) → (R∗+ , ×). est un isomorphisme, dont l’isomorphisme inverse est le logarithme naturel. Ainsi on a (R, +) ∼ = (R∗+ , ×).

0

Proposition 3.1. Soient G, G deux groupes d’´el´ements neutres 0 respectivement e et e et f un morphisme de G dans G0 . Alors, 1 - f (e) = e0 .

2 - f (x−1 ) = (f (x))−1 , ∀x ∈ G. 3 - L’image d’un sous-groupe de G est un sous-groupe de G0 . En particulier, f (G) est not´e Imf , c’est l’image de f .

4 - L’image r´eciproque d’un sous-groupe de G0 est un sous-groupe de G. En particulier f −1 ({e0 }) = {x ∈ G : f (x) = e0 } est appel´e le noyau de f et on le note Kerf .

0

Proposition 3.2. Soient G, G deux groupes d’´el´ements neutres 0 respectivement e et e et f un morphisme de G dans G0 . Alors, f est surjective ⇔ Imf = G0 f est injective ⇔ Kerf = {e} 4. Groupe produit D´ efinition. Soient G1 , . . . , Gn une famille finie de groupes. On appelle loi produit, la loi d´efinie sur l’ensemble G = G1 ×G2 ×. . .×Gn par : (x1 , x2 , . . . , xn )(y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn ) ´ore `me 4.1. Soient G1 , . . . , Gn une famille finie de groupes.

The Muni de la loi produit , G = G1 × G2 × . . . × Gn est un groupe appel´e produit direct de la famille G1 , . . . , Gn .

36

- Si chaque groupe Gi est ab´elien, alors leur produit est aussi ab´elien.

Dans Rn , la loi + d´efinie par (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) munit Rn une structure de groupe.

37

CHAPITRE 6

Structure d’anneau 1. D´ efinitions g´ en´ erales et exemples D´ efinition. Un anneau est un triplet (A, +, ·) constitu´e d’un ensemble A muni de deux lois : une addition + et une multiplication · telles que : - (A, +) soit un groupe ab´elien d’´el´ement neutre not´e 0.

- (A, ·) est un mono¨ıde d’´el´ement neutre not´e 1 appel´e unit´e de A .

- La multiplication est distributive par rapport `a l’addition, i.e. ∀x, y, z ∈ A on a : x(y + z) = xy + xz et (y + z)x = yz + zx.

L’anneau est dit commutatif quand sa multiplication est comutative.

Exemple 1.1.

1 - Z; Q; R; C munis de l’addition et de la multiplication usuelles sont des anneaux commutatifs.

2 - (Z/nZ, +, ·) est un anneau commutatif fini.

3 - Anneau fonctionnel : Soit I un ensemble et A un anneau. On note F(I, A), l’ensemble des applications de I dans A que l’on munit des lois + et . par : ∀f, g ∈ F (I, A), ∀i ∈ I f + g(i) = f (i) + g(i) et f g(i) = f (i)g(i).

(F(I, A), +, ·) est un anneau.

4 - Anneau des matrices. Soit M2 (R) = {( ac db ) : a, b, c, d ∈ R}, sur lequel on d´efinit les lois + et · par : µ

a b c d

¶

µ +

a 0 b0 c0 d0

¶

µ =

39

a + a 0 b + b0 c + c0 d + d 0

¶

µ

a b c d

¶ µ 0 0 ¶ µ 0 ¶ a b aa + bc0 ab0 + bd0 . = c0 d 0 ca0 + dc0 cb0 + dd0

Alors (M2 (R), +, ·) est un anneau non commutatif.

L’´el´ement neutre de l’addition est la matrice nulle 0 = ( 00 00 ). L’´el´ement neutre de la multiplication est la matrice identique I = ( 10 01 ).

Proposition 1.1. Soit A un anneau.

1 - ∀a ∈ A, on a 0.a = a.0 = 0.

2 - Si a ∈ A on note −a l’oppos´e (pour la loi +) de a. On a : (−a) · b = a.(−b) = −ab et (−a) · (−b) = ab.

3 - Si ab = ba, alors ∀n ∈ N, on a : (a + b)n =

Pn k=0

Cnk ak bn−k o` u Cnk =

n! k!(n−k)!

et

P k n−1−k an − bn = (a − b)( n−1 ) k=0 a b En particulier, 1 − bn = (1 − b)(1 + b + b2 + . . . + bn−1 ).

D´ efinition. Un anneau A 6= {0} commutatif est dit int`egre si ∀x, y ∈ A, on a xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.

1 - (Z, +, ·) est un anneau int`egre.

2 - (Z/4Z, +, ·) n’est pas int`egre car ¯2.¯2 = ¯4 = ¯0, mais ¯2 6= ¯0.

D´ efinition. Soit A un anneau. Un ´el´ement a ∈ A est dit inversible `a gauche ou `a droite s’il l’est dans le mono¨ıde (A, ·). L’ensemble des ´el´ements inversibles de A est not´e U (A) c’est un groupe pour la multiplication.

2. Sous-anneaux et morphismes D´ efinition. Soit A anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous anneau lorsque B 6= Ø, stable par + et · et (B, +, ·) est un anneau d’´el´ement neutre 1A .

40

Proposition 2.1. Soit A un anneau, B ⊂ A. Alors B est un sousanneau de A, si et seulement si, 1A ∈ B, ∀x, y ∈ B on a : x − y ∈ B et xy ∈ B. Exemple 2.1.

1 - Z est un sous-anneau de R. 2 - {¯0, ¯2, ¯4} ⊂ Z/6.Z est stable par par les lois de Z/6.Z. De plus c’est un anneau d’unit´e ¯4 pour ces lois, mais ce n’est pas un sous-anneau de Z/6.Z au sens de la d´efinition adopt´ee.

D´ efinition. Soient A et B deux anneaux. Un morphisme d’anneaux de A dans B est une application f de A dans B telle que, ∀x, y ∈ A on a: 1 - f (x + y) = f (x) + f (y).

2 - f (xy) = f (x)f (y).

3 - f (1A ) = 1B .

Exemple 2.2.

1 - Si B est un sous-anneau de A, l’inclusion i : B → A est morphisme d’anneaux.

2 - Soit A un anneau. L’application Z → A ; n 7→ n1A est un morphisme d’anneaux.

3. Corps, corps de fractions d’un anneau int` egre.

D´ efinition. Un corps est un anneau (K, +, ·) tel que K = 6 {0} ∗ et dans lequel tout ´el´ement non nul est inversible (i.e. (K , ·) est un groupe).

Proposition 3.1. Tout corps commutatif est un anneau int`egre.

Exemple 3.1.

1 - Q, R et C, sont des corps pour leurs op´erations usuelles + et ×.

2 - Z n’est pas un corps.

41

´ore `me 3.2. Soit n ∈ N, alors (Z/nZ, +, ·) est un corps, si et The seulement si, n est un nombre premier.

D´ efinition. Soit (K, +, ·) un corps. Un sous-corps est un sousensemble non vide F stable par les lois de K et qui est un corps pour les lois induites.

Proposition 3.3. Soit K un corps. F est un sous-corps de K, si et seulement si, 0, 1 ∈ F , et ∀x, y ∈ F , x−y ∈ F et pour y 6= 0, xy −1 ∈ F .

Exemple 3.2.

1 - Q est un sous-corps de R qui est un sous-corps de C. √ √ 2 - Q[ 2] = {a + b 2 ∈ R : a, b ∈ Q} est un sous-corps de R. D´ efinition. Soit A un anneau int`egre. On appelle corps de fractions de A, tout corps K tel qu’il existe un morphisme injectif i : A → K v´erifiant ∀x ∈ K, ∃a, b ∈ A : b 6= 0 et x = i(a)i(b)−1 ´ore `me 3.4. Tout anneau int`egre A poss`ede un corps de fracThe tions unique `a un isomorphisme pr`es.

Construction. On consid`ere l’ensemble A×A∗ sur lequel on d´efinit une relation ∼ par (x, y) ∼ (z, t) ⇔ xt = yz. On montre que ∼ est une relation d’´equvalence. On note K l’ensemble quotient, ses ´el´ements, qui sont les classes modulo ∼, sont not´es x/y.

Sur K, on d´efinit les lois + et · par : x/y + z/t = (xt + yz)/yt

et

x/y · z/t = xz/yt.

Ces op´erations sont bien d´efinies (ne d´ependent pas des repr´esentants des classes), (K, +, ·) est un corps commutatif et l’application i : A → K d´efinie par i(x) = x/1 est un morphisme injectif d’anneaux qui v´erifie les conditions du th´eor`eme pr´ec´edent.

Exemple 3.3.

1 - Q est le corps de fractions de Z. √ √ 2 - Q[ 2] est le corps de fractions de Z[ 2].

42

CHAPITRE 7

Arithm´ etique de Z 1. Relation de divisibilit´ e (Rappel). Soient n, m ∈ Z, on dit que m divise n ou que m est un diviseur de n ou que n est un multiple de m, qu’on note m | n, s’il existe k ∈ N, tel que n = km. l’entier k est alors not´e

n , m

c’est le quotient de n par m.

On pose mZ = {km ∈ Z}, l’ensemble des multiples de m. On a m | n ⇔ nZ ⊂ mZ. Propri´ et´ es : ∀n ∈ Z, n|n. ∀n, m ∈ Z, n|m et m|n ⇒ m = ±n. ∀n, m, p ∈ Z, n|m et m|p ⇒ n|p. ∀n, a, b ∈ Z, si n|a et m|b alors n|a + b.

On note Dn , l’ensemble des diviseurs positifs de n.

Exemple : D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

2. Division euclidienne ´ore `me 2.1. Soient a, b ∈ Z, avec b > 0. Alors il existe q, r ∈ Z, The uniques tels que a = bq + r et 0 ≤ r < b. q et r sont appel´es respectivement quotient et reste de la division euclidienne de a par b.

Exemple : Le quotient et le reste de la division euclidienne de -23 par 6 sont - 4 et 1, car −23 = 6 · −4 + 1.

43

Remarquons que par b est ´egal `a 0.

b | a ⇔ le reste de la division euclidienne de a

3. Nombres premiers Un nombre entier p est dit premier, s’il est diff´erent de ±1 et ses seuls diviseurs sont ±1 et ±p.

Exemple : 2, 3, 5, 7, ... sont premiers. 1, 9, 15 ne sont pas premiers. ´ore `me 3.1. Tout entier > 1 est divisible par un nombre preThe mier.

Preuve. Soit n > 1 et A l’ensemble des entiers > 1 qui divisent n.

A est une partie non vide de N (n ∈ A), donc A poss`ede un plus petit ´el´ement p. Montrons que p est premier. Soit d > 1 un diviseur de p. On a d ≤ p. Or d | n. D’o` u, par minimalit´e de p, d = p. ´ore `me 3.2. (Euclide) Il existe une infinit´e de nombres preThe miers.

Preuve. Soit p un nombre premier. Posons n = p! + 1. Alors n est divisible par un nombre premier q. Montrons que q > p. Sinon, q ≤ p et q | p!, ce qui est absurde car q | p! + 1 Donc, pour tout nombre premier p, il existe un nombre premier q plus grand que p.

Commentaire : A l’heure actuelle, on connait tr`es peu de choses sur la distribution des nombres premiers.

4. PGCD et PPCM Soient m, n deux entiers. On appelle PGCD de m et n not´e m ∧ n, le plus grand ´el´ement de Dm ∩ Dn .

Exemple : D126 = {1, 2, 3, 6, 7, 18, 21, 42, 63, 126}, D90 = {1, 2, 3, 5, 6, 15, 18, 45, 90}.

On a 126 ∧ 90 = 18.

On appelle PPCM de m et de n le plus petit multiple commun positif `a m et `a n, qu’on note m ∨ n.

Exemple. Le PPCM de 12 et de 15 est 60.

44

´ore `me 4.1. Soient a, b deux entiers, d = a ∧ b et m = a ∨ b, The alors : aZ + bZ = dZ et aZ ∩ bZ = mZ. Corollaire 4.2. Soient a, b deux entiers, d = a ∧ b. Alors il existe u, v ∈ Z : ua + vb = d.

D´ efinition. Deux entiers m, n sont dits premiers entre eux, si m ∧ n = 1.

Exemple : 6 et 35 sont premiers entre eux.

Si p est un nombre premier et n ∈ Z, alors ou bien p | n ou bien p ∧ n = 1.

Proposition 4.3. Soient a, b ∈ Z et d ∈ N. Alors d = a ∧ b, si et seulement si, d | a, d | b et ad et db sont premiers entre eux. ´ore `me 4.4. (Bezout) m et n sont premiers entre eux, si et The seulement si, il existe α, β ∈ Z : αm + βn = 1. ´ore `me 4.5. (Gauss) Soient a, b, c tois entiers tels que a | bc et The a ∧ b = 1. Alors a | c.

Corollaire 4.6. Soit p un nombre premier et a1 , a2 , . . . , an des entiers tels que p | a1 · a2 · . . . · an . Alors il existe i tel que p | ai . ´ore `me 4.7. Soient a1 , a2 , . . . , an des entiers premiers entre eux The deux `a deux. Si ai | b, ∀i = 1, . . . , n, alors a1 · a2 · . . . · an | b.

5. Factorisation ´ore `me 5.1. Tout entier non nul et 6= ±1, s’´ecrit de mani`ere The mk 1 m2 unique sous la forme n = ²pm u ² = ±1 et p1 , . . . , pk sont 1 p2 . . . pk , o` des nombres premiers positifs distincts.

Preuve. Existence par r´ecurrence. Si n est premier, il n’y a rien `a d´emontrer. Si n n’est pas premier, alors il divisible par par un nombre premier p, on applique alors l’hypoth`ese de r´ecurrence `a n/p. mk s1 s2 st 1 m2 Unicit´e, par r´ecurrence, si n = pm 1 p2 . . . pk = q1 q2 . . . qt ∈ N. D’apr`es le corollaire 4.6, il existe i tel que p1 | qism , donc p1 = q1 . On

45

applique alors l’hypoth`ese de r´ecurrence `a n/p1 .

Exemple : 1260 = 2·630 = 22 ·315 = 22 ·3·105 = 22 ·32 ·35 = 22 ·32 ·5·7.

Remarque : alors qu’on connait des algorithmes assez rapides pour tester si un nombre tr`es grand est premier ou non, il n’existe pas avec les ordinateurs actuels de m´ethode suffisament rapide pour factoriser des nombres de quelques centaines de chiffres.

Cette propri´et´e (difficult´e de la factorisation), est utilis´ee dans certains proc´ed´es cryptographiques (m´ethode RSA) : mots de passe dans les r´eseaux informatiques, messages secrets, etc....

La factorisation permet de d´eterminer le PGCD et le PPCM de deux entiers. ´ore `me 5.2. Si m = ps11 ps22 . . . pskk et n = pt11 pt22 . . . ptkk , o` The u si , ti ∈ lk l1 l2 N (eventuellement nuls), alors m ∧ n = p1 p2 . . . pk o` u li = min{si , ti }, hk h1 h2 et m ∨ n = p1 p2 . . . pk o` u hi = max{si , ti } Exemple. 180 = 22 · 32 · 5, 42 = 2 · 3 · 7. On a : 180 ∧ 42 = 2 · 3 = 6, 180 ∨ 42 = 22 · 32 · 5 · 7 = 1260.

6. Algorithme d’Euclide Lemme 6.1. Soient a, b, q ∈ Z. Alors : a ∧ b = b ∧ (a − bq). ´ore `me 6.2. (Algorithme d’Euclide) : The Soient a, b ∈ N. On d´efinit la suite d’entiers positifs r0 , r1 , . . ., par : r0 = a, r1 = b.

On suppose rn−1 et rn d´efinis : Si rn = 0 on pose rn+1 = 0.

Si rn 6= 0, on d´efinit rn+1 comme ´etant le reste de la division euclidienne de rn−1 par rn .

Alors : 46

1 - Il existe n tel que rn = 0.

2 - Le dernier reste non nul est ´egal au PGCD de a et b.

Exemple 6.1.

Soit `a d´eterminer le PGCD de 1386 et 1274 a b r q 1386 1274 112 1 1274 112 42 11 112 42 28 2 42 28 14 1 28 14 0 2 Le dernier reste non nul est 14, c’est le PGCD cherch´e.

7. Arithm´ etique modulaire On rappelle que dans Z/nZ, on a n | m ⇔ m ¯ = ¯0, cette remarque permet parfois de traiter les questions de divisibilit´e d’une fa¸con plus simple, en utilisant les propri´et´es de l’anneau (Z/nZ, +, ·) Exemple 7.1.

Montrons que ∀n ∈ N, on a 7 | 32n+1 + 2n+2 .

Posons un = 32n+1 + 2n+2 . Dans Z/7Z, on a u¯n = ¯32n+1 + ¯2n+2 = 9 · ¯3 + ¯2n · ¯4. ¯n

Or ¯9 = ¯2, donc u¯n = ¯2n · ¯3 + ¯2n · ¯4 = ¯2n · (¯3 + ¯4) = ¯0.

Soit n un entier naturel, l’ensemble des ´el´ements inversibles de (Z/nZ, ·) est un groupe not´e Un .

Proposition 7.1. Soit k un entier, alors k¯ ∈ Un ⇔ k est premier avec n.

Si ak + bn = 1, alors k¯−1 = a ¯.

L’ordre de Un est ´egal au nombre d’entiers premiers avec n et inf´erieurs `a n. On note ce nombre φ(n). On l’appelle l’indicateur d’Euler de n.

47

´ore `me 7.2. Soit (G, ·) un groupe ab´elien fini d’ordre n et d’´el´ement The neutre e, alors ∀x ∈ G, xn = e. ¯ φ(n) = ¯1.

Corollaire 7.3. ∀k¯ ∈ Un , on a (k) Proposition 7.4. Soit p un nombre premier. Alors φ(p) = p − 1 et on a (Fermat) ∀a ∈ Z, p | ap − a.

Th´ eor` eme ”chinois”. ´ore `me 7.5. Soient m1 , m2 , . . . , ms des entiers premiers entre The eux deux `a deux, a1 , a2 , . . . , as des entiers quelconques. Alors il existe au moins un entier x tel que x ≡ ai mod mi , ∀i = 1, . . . , s.

De plus si x0 est une solution, alors ∀x ∈ Z, x est solution, si et seulement si, m | x − x0 , o` u m = m1 m2 . . . ms .

Exemple 7.2.

D´eterminons les entiers dont le reste de la division euclidienne par 7 est est 4 et le reste de la DE par 11 est 2.

Notons x un tel entier. Alors x ≡ 4 (mod 7) et x ≡ 2 (mod 11).

Comme 7 et 11 sont premiers entre eux, une solution existe d’apr`es le th´eor`eme chinois.

On a x = 7α + 4 ≡ 2 (mod 11). Donc 7α ≡ −2 ≡ 9 (mod 11). Or 7 est inversible modulo 11, son inverse est ¯8. Car ¯7 · ¯8 = 56 = ¯1 (mod 11).

Donc α ≡ 8 · 9 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11). En conclusion, x = 7(6 + 11λ) + 4 = 77λ + 46. Le plus petit entier naturel solution est donc 46.

Remarque. Dans le th´eor`eme chinois, l’inverse de m1 modulo m2 peut ˆetre d´etermin´e en utilisant l’algorithme d’Euclide.

48

CHAPITRE 8

Nombres complexes 1. Construction ´ore `me 1.1. Il existe un corps (C, +, ·) v´erifiant les propri´et´es The suivantes : 1 - C contient un sous-corps K isomorphe R (qu’on identifie `a R).

2 - Il existe un ´el´ement i ∈ C tel que i2 = −1 et tout ´el´ement z de C s’´ecrit de mani`ere unique sous-la forme z = a + bi, o` u a, b ∈ K. Tout corps qui v´erifie 1 et 2 est isomorphe `a C par un isomorphisme qui laisse fixes les ´el´ements de R. Preuve. Sur R2 on d´efinit les lois + et · par ∀(a, b), (c, d) ∈ R2 : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), et (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)).

On v´erifie que (R2 , +, ·) est un anneau commutatif. L’´el´ement neutre de + est (0, 0), l’´el´ement neutre de · est (1, 0). De plus, tout ´el´ement (a, b) 6= (0, 0) est inversible d’inverse. (a, b)−1 = ((a2 + b2 )−1 a, −(a2 + b2 )−1 b) Donc R2 est un corps commutatif pour ces op´erations, on le note C. On pose K = R × {0}. Alors K est un sous-corps de C isomorphe `a R. Dans toute la suite, le corps K sera identifi´e `a R. On note i = (0, 1), alors i2 = (−1, 0) = −(1, 0) = −1 et ∀z ∈ C, on a z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (b, 0)i = a + bi.

D´ efinition. Si z = a + bi ∈ C, avec a, b ∈ R, a est appel´e partie r´eelle de z not´e Re(z), b est la partie imaginaire de z not´ee Im(z).

Proposition 1.2. l’application ¯ : C → C, z = a+bi 7→ z¯ = a−bi, appel´ee conjugaison complexe, est un automorphisme de C et on a : 49

∀z ∈ C : z¯ = z, si et seulement si, z ∈ R. De plus on a z + z¯ = 2Re(z), z − z¯ = 2Im(z)i 2. Module et argument Definition. Soit z = a + bi√un nombre√complexe. On appelle module de z le nombre r´eel | z |= a2 + b2 = z z¯. ´ore `me 2.1. Le module v´erifie les propri´et´es suivantes : The 1 - | z |= 0 si et seulement si, z = 0 2 - | zz 0 |=| z || z 0 |.

3 - | z + z 0 |≤| z | + | z 0 |.

4 - || z | − | z 0 || ≤ | z − z 0 |.

D´ efinition. Soit z = a + bi ∈ C∗ , tel que | z |= a2 + b2 = 1. On appelle argument de z tout nombre r´eel θ tel que cos θ = a et sin θ = b.

Si θ est un argument de z alors θ + 2kπ est aussi un argument de z. L’argument, Argz, est donc d´efini modulo 2π.

- Soit z ∈ C∗ . On appelle argument de z, un argument de

z . |z|

Il en r´esulte que z =|z| (cos θ + i sin θ), o` u θ est un argument de z. ´ore `me 2.2. Soient z, z 0 ∈ C∗ .

The Alors Arg(zz 0 ) = Argz + Argz 0 . (mod2π).

(Formule de Moivre) Soit z =| z | (cos θ + i sin θ) ∈ C∗ , alors pour tout n ∈ N on a : z n =| z |n (cos nθ + i sin nθ) D´ efinition. Soit z = a + bi ∈ C, on appelle exponentielle de z le nombre complexe ez = ea (cos b + i sin b) not´e aussi exp z.

Exemple 2.1. exp iπ = −1.

50

´ore `me 2.3. Soient z, z 0 ∈ C∗ . Alors on a ; The exp(z + z 0 ) = exp z. exp z 0 , et exp(−z) = (exp(z))−1 .

Pour tout θ ∈ R on a : cos θ =

eiθ +e−iθ 2

51

, et sin θ =

eiθ −e−iθ .

2i

CHAPITRE 9

Polynˆ omes ` a une ind´ etermin´ ee 1. Op´ erations sur les polynˆ omes ´ore `me 1.1. Soit A un anneau commutatif. Alors il existe un The anneau not´e A[X], contenant A comme sous-anneau et un ´el´ement X appel´e ind´etermin´ee, tels que P tout ´el´ement P de A[X] s’´ecrit de mani`ere u ak ∈ A sont nuls `a partir unique sous la forme : P = k∈N ak X k , o` d’un certain indice n .

(A[X], +, ·) est appel´e anneau des polynˆ omes `a une ind´etermin´ee X a coefficients dans A. ` Construction. Soit A un anneau commutatif et B l’ensemble des suites P = (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .) d’´el´ements de A qui s’annullent `a partir d’un certain rang.

Sur B on d´efinit les lois : Pour tous P = (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .), Q = (b0 , b1 , . . . , bm , 0, 0, . . .).

• Une addition ”+” : P + Q = R = (c0 , c1 , . . . , cq , 0, 0, . . .) avec ci = ai + bi .

•P Une multiplication ” · ” P Q = S = (d0 , d1 . . . , dp , 0, 0 . . .) avec dn = nk=0 ak bn−k .

De plus, on munit B d’une loi externe : pour tout α in A, on pose αP = (αa0 , αa1 , . . . , αan , 0, 0, . . . ).

Alors on montre que (B, +, ·) est un anneau. L’´el´ement neutre de + ´etant la suite nulle : 0 = (0, 0, . . . ). L’´el´ement neutre de · ´etant la suite (1, 0, 0, . . .) .

On pose X = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .), on a X k = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .), o` u 1 est dans la position k + 1 et les autres coefficients sont nuls.

Soit P = (a0 , a1 , a2 , . . . , an , 0, 0, . . .), alors : 53

P = (a0 , 0, 0, . . .) + (0, a1 , 0, . . .) + . . . + (0, 0 . . . , an , 0, 0 . . .)

D’o` u P = a0 (1, 0, 0, . . .)+a1 (0, 1, 0, . . .)+. . .+an (0, 0 . . . , 1, 0, 0 . . .).

On note alors P = a0 +a1 X+. . .+an X n = o` u ak = 0, si k > n.

Pn k=0

ak X k =

P k∈

k N ak X ,

Cette ´ecriture est unique puisque P est d´etermin´e par les coefficients ak .

Sous cette forme, les op´erations de A[X] s’´ecrivent : Soient P =

P

k N ak X et Q =

P

k∈

P +Q=

X (ak + bk )X k k∈

P ·Q=

N

X k∈

o` u ck =

Pk i=0

k N bk X , alors

k∈

N

ck X k

ai bk−i

Notons que l’ind´etermin´ee peut aussi ˆetre not´ee Y, Z, T, ....

P k ∗ D´ efinition. Soit P = k∈N ak X . L’entier n = max{k ∈ N : ak 6= 0}, est appel´e degr´ e de P , on le note degP . Par convention deg 0 = −∞.

On utilise les relations : ∀n ∈ N −∞ ≤ n

et

−∞ + n = n + (−∞) = −∞,

Exemple 1.1.

1 - 2X 3 + 2X 4 + 1 + X ∈ Z[X] est un polynˆome de degr´e 4.

2 - Les polynˆomes de degr´e 0 sont les ´el´ements non nuls de A. On les appelle les polynˆomes constants. Les polynˆomes de degr´e 1 sont de la forme aX + b, avec a 6= 0.

P Si P = k∈N ak X k ∈ A[X], chaque terme ak X k est appel´e monˆ ome de degr´e k de P , ak est le coefficient de ce monˆome. On dit que P est unitaire ou normalis´ e si le coefficient du monˆome du plus haut degr´e non nul est 1.

54

Dans toute la suite, on suppose que l’anneau de base est un corps commutatif K ´ore `me 1.2. La fonction degr´e v´erifie les propri´et´es suivantes : The 1 - deg(P + Q) ≤ max(degP, degQ).

2 - degP Q = degP + degQ. ´ore `me 1.3. K[X] est un anneau int`egre. De plus, les ´el´ements The inversibles (pour la multiplication), dans K[X], sont les polynˆ ome constants non nuls e de deux polynˆ omes. Soient PnCompos´ PnP, Q ∈kK[X], avec P = k ome P ◦ Q = k=0 ak Q est appel´e comk=0 ak X ∈ K[X]. Le polynˆ pos´e de P et Q (dans cet ordre) et qu’on note aussi P (Q).

Exemple 1.2.

Soient P = X 2 − 3X + 2, Q = X − 1, dans R[X]. P ◦ Q = (X − 1)2 − 3(X − 1) + 2 = X 2 − 2X + 1 − 3X + 3 + 2 = X 2 − 5X + 6.

Pn k Fonctions polynˆ omes. Soit P = ∈ K[X] un pok=0 ak X lynˆome. On appelle fonction polynˆ o me associ´ e e ` a P l’application Pn k ˜ ˜ P : K → K, d´efinie par P (x) = k=0 ak x , ∀x ∈ K. Proposition 1.4. Soient P et Q deux polynˆ omes `a coefficients dans un corps K. Alors : ˜ P.Q g = P˜ .Q, ˜ P ˜ ^ P^ + Q = P˜ + Q, ◦ Q = P˜ ◦ Q. Dans la suite, et pour simplifier les notations, on notera P (x) l’image de x par P˜ .

Remarque : Il faut se garder de confondre polynˆome et fonction polynˆome. En effet, ces deux notions sont diff´erentes et il peut mˆeme arriver qu’un polynˆome soit non nul alors que sa fonction polynˆome est identiquement nulle. Par exemple, pour K = Z/2.Z, le polynˆome P = X 2 + X est non nul alors que x2 + x = ¯0, pour x = ¯0 et pour x = ¯1. Donc P˜ = 0.

55

P Polynˆ ome d´ eriv´ ee Soit P = nk=0 ak X k ∈ K[X], on appelle polynˆome d´eriv´e de P , le polynˆome not´e P 0 ∈ K[X] d´efini par n X 0 P = kak X k−1 k=0

Exemple 1.3.

Soit P = X 5 + X 4 + 2X + 1 ∈ R[X], P 0 = 5X 4 + 4X 3 + 2.

Remarques.

1 - Le d´eriv´e d’un polynˆome constant est le polynˆome nul.

2 - On a toujours degP 0 < degP . f0 co¨ıncide avec la d´eriv´ee de Pe, connue 3 - Lorsque P ∈ R[X], P dans le cours d’analyse.

Proposition 1.5. Soient P, Q ∈ K[X], alors : 1 - (P + Q)0 = P 0 + Q0 , et ∀λ ∈ K, (λP )0 = λ.P 0 2 - (P Q)0 = P 0 Q + P Q0 .

3 - (P n )0 = nP n−1 .P 0 .

4 - (P ◦ Q)0 = (P 0 ◦ Q).Q0 .

D´ eriv´ ee d’ordre sup´ erieurs et formule de Taylor. On d´efinit, inductivement, la d´eriv´ee d’ordre k de P ∈ K[X] de la mani`ere suivante : P (0) = P, P (k+1) = (P (k) )0 .

Proposition 1.6. Si P =

Pn k=0

1 - P (k) (0) = k!ak .

2 - P (n) = n!an .

3 - P (m) = 0, ∀m > n.

56

ak X k , de degr´e n, alors :

Proposition 1.7. (Formule de Leibnitz). Soient P, Q ∈ K[X], alors ∀n ∈ N, on a : (P.Q)(n) =

Pn k=0

Cnk P (k) Q(n−k) . (avec la convention P (0) = P ).

´ore `me 1.8. Soient P ∈ K[X] de degr´e n et α ∈ K. Alors il The existe coefficients a0 , . . . , an ∈ K uniques tels que : P (X) =

n X

ak (x − α)k

k=0

´ore `me 1.9. (Formule de Taylor) Soient P un polynˆ The ome `a coefficients dans K = R, ou C et α ∈ K alors : P (X) =

n X P (k) (α)

k!

k=0

R´eciproquement, si P (X) = ∀k = 0, 1 . . . , n.

Pn k=0

(x − α)k

ak (x − α)k , alors ak =

P (k) (α) , k!

Exemple 1.4.

Soit P = X 4 − X 3 + 3X + 1 ∈ Q[X] et a = 1.

P 0 = 4X 3 − 3X 2 + 3, P 00 = 12X 2 − 6X, P 000 = 24X − 6, P 0000 = 24.

P (1) = 4, P 0 (1) = 4, P 00 (1) = 6, P 000 (1) = 18, P 0000 (1) = 24.

La formule de Taylor donne : P = 4 + 4(X − 1) + 2!6 (X − 1)2 +

18 (X 3!

− 1)3 +

24 (X 4!

− 1)3 .

P = 4 + 4(X − 1) + 3(X − 1)2 + 3(X − 1)3 + (X − 1)4 .

La formule de Taylor permet de d´evelopper un polynˆome suivant les puissances de (X − α). (En Analyse, au voisinage de α).

2. Division euclidienne, divisibilit´ e ´ore `me 2.1. (Division euclidienne).

The Soient K un corps commutatif. A, B ∈ K[X] tels que B 6= 0. Alors il existe Q, R uniques tels que A = BQ + R et degR < degB. 57

Q, R sont respectivement appel´es quotient et reste de la division euclidienne de A par B. Preuve.

• Unicit´e : si A = BQ1 + R1 = BQ2 + R2 , alors B(Q1 − Q2 ) = R2 − R1 . Supposons que Q1 6= Q2 , alors Q1 − Q2 6= 0, et : degB+deg(Q1 −Q2 ) = deg(R2 −R1 ) ≤ max(degR1 , degR2 ) < degB, ce qui est absurde. Donc Q1 = Q2 et R1 = R2 .

• Existence : On proc`ede par r´ecurrence sur degA. Posons A = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 et B = bm X m + bm−1 X m−1 + . . . + b1 X + b0 , o` u n = degA et m = degB. Si n = 0, 1, . . . , m − 1, on prends Q = 0 et R = A. Soit n ≥ m. Supposons la propri´et´e vraie pour les polynˆomes de n−m degr´e < n. Soit A un polynˆome de degr´e n. Le polynˆome A−b−1 B m X est de degr´e < n. L’hypoth`ese de r´ecurrence implique qu’il existe deux n−m polynˆomes G, R tels que A−b−1 B = BG+R, avec degR < degB. m X −1 n−m On a alors A = B(G + bm X ) + R. Il suffit alors de prendre n−m Q = G + b−1 . m X

Exemple 2.1.

Soit `a effectuer la division euclidienne dans Q[X] de A = 2X 4 + 5X − X 2 + 2X + 1 par B = 2X 2 − 3X + 1. On dispose les calculs de la fa¸con suivante.

3

2X 4 +5X 3 −X 2 +2X +1 4 3 −2X +3X −X 2 −− −− −− −− −− 8X 3 −2X 2 +2X +1 −8X 3 +12X 2 −4X −− −− −− 2 10X −2X +1 −10X 2 +15X −5 −− −− 13X −4

2X 2 − 3X + 1 −−−−−−− X 2 + 4X + 5

On peut donc ´ecrire A = B · (X 2 + 4X + 5) + 13X − 4.

58

Proposition 2.2. Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Le reste de la division euclidienne de P par X − α est ´egal `a P (α).

Exemple 2.2.

Soit P = X n + X − 1. Le reste de la division euclidienne de P par X − 1 est ´egal `a P (1) = 1.

D´ efinition. Soient A, B ∈ K[X]. On dit que B divise A ou que A est divisible par B ou que A est un multiple de B, s’il existe C ∈ K[X] tel que A = B.C. On note B | A. Exemple 2.3.

Dans l’exemple pr´ec´edent P = A − R = 2X 4 + 5X 3 − X 2 − 11X + 5 est divisible par B = 2X 2 − 3X + 1, car A − R = B.Q. Proposition 2.3. Soient A, B ∈ K[X]. Alors A | B, si et seulement si, le reste de la division euclidienne de B par A est nul.

3. Racines et multiplicit´ es D´ efinition . Soit α ∈ K. On dit que α est racine de P si P (α) = 0.

On dit aussi que α est un z´ero de P , ou que α est solution de l’´equation P (x) = 0.

Exemple 3.1.

1 - Les racines de X 2 − 3X + 2 dans R sont 1 et 2.

2 - Le polynˆome X 2 + 1 n’a pas de racine dans R. Ses racines dans C sont i et −i.

3 - Les polynˆomes constants non nuls n’ont pas de racines.

4 - Tous les ´el´ements de K sont racines du polynˆome nul.

Exemple 3.2. Racines ni`emes d’un nombre complexe 1- Soit u un nombre complexe non nul d’argument θ. Alors le polynˆome X n − u poss`ede exactement n racines distinctes qui sont p θ + 2kπ θ + 2kπ n | u |(cos( ) + i sin( )) n n 59

k = 0, . . . , n − 1. Ces racines sont appel´ees racines n-i`eme de u.

2 - Lorsqu’on prend u = 1, on obtient les racines n-i`eme de l’unit´e.

2kπi ) + i sin( 2kπ )=e n ξ0 = 1, ξ1 , . . . , ξn−1 , o` u ξk = cos( 2kπ n n Par exemple, les racines cubiques de l’unit´e sont :1, j = − 12 + √ et j = j 2 = − 12 − 23 i. Notons que j 2 + j + 1 = 0.

√ 3 i 2

3 - Soit α une racines ni`eme quelconque de u, alors les racines ni`emes de u sont αξ0 , αξ1 , . . . , αξn−1 . √ 3 Par exemple, 2 est racine de X 3 − 2. Les racines de ce polynˆome √ √ √ 3 3 3 sont 2, j 2, ¯j 2.

Proposition 3.1. Soit P ∈ K[X]. Alors α ∈ K est racine de P , si et seulement si, X − α | P .

Proposition 3.2. Soit P ∈ K[X]. Alors des ´el´ements α1 , α2 , . . . , αk distincts de K sont racines de P , si et seulement si, (X − α1 ) · (X − α1 ) · . . . · (X − αk ) | P . ome de degr´e n. Alors Proposition 3.3. Soit P ∈ K[X] un polynˆ P admet au plus n racines dans K. Proposition 3.4. Soit P ∈ K[X] un polynˆ ome de degr´e ≤ n. Si P admet n + 1 racines distinctes dans K, alors P = 0.

Proposition 3.5. Soient A, B ∈ K[X], deux polynˆ omes de degr´e ≤ n. S’il existe n + 1 ´el´ements distincts x1 , x2 , . . . , xn+1 de K tels que A(xi ) = B(xi ), ∀i = 1, . . . , n + 1, alors A = B. ´ore `me 3.6. Soit K un corps infini (Par exemple R ou C).

The Alors l’anneau des polynˆ omes K[X] est isomorphe `a l’anneau des fonctions polynˆ omes sur K. D´ efinition . Soit α ∈ K une racine de P . On appelle multiplicit´e de α, le plus grand entier k tel que (X − α)k | P . i.e. (X − α)k | P mais (X − α)k+1 - P .

60

Une racine de multiplicit´e 1 est dite racine simple. Une racine qui n’est pas simple est dite multiple.

Une racine de multiplicit´e 2,3,4,..est dite racine double, triple, quadruple, ....

Proposition 3.7. Soit α ∈ K = Q, R, C. Alors α est racine de multiplicit´e k, si et seulement si, P (α) = P 0 (α) = . . . = P (k−1) (α) = 0 et P (k) (α) 6= 0.

Exemple 3.3.

Soit P = X 4 − (a + 4)X 3 + (4a + 5)X 2 − (5a + 2)X + 2a ∈ R[X], o` u a ∈ R. On a : P (1) = 0. D´eterminons la multiplicit´e de cette racine.

On a P 0 = 4X 3 − 3(a + 4)X 2 + 2(4a + 5)X − (5a + 2), P 0 (1) = 4 − 3(a + 4) + 2(4a + 5) − (5a + 2) = 0.

P 00 = 12X 2 −6(a+4)X +2(4a+5), P 00 (1) = 12−6(a+4)+2(4a+5) = 2a − 2.

Si a 6= 1, P 00 (1) 6= 0, 1 est racine double de P .

Si a = 1, P 00 (1) = 0, P 000 = 24X − 30, P 000 (1) 6= 0, ce qui entraˆıne que 1 est racine triple de P .

La division euclidienne de P par (X − 1)2 donne comme quotient (X − a)(X − 2). ´ore `me 3.8. (d’Alembert-Gauss). Tout polynˆ The ome non constant de C[X] poss`ede au moins une racine dans C. Ce th´eor`eme que nous admettons ici, a ´et´e d´emontr´e de plusieurs fa¸cons, mais toutes ces d´emonstrations font appel, dans une certaine mesure, `a des r´esultats de l’Analyse (limites, continuit´e, ...). Il n’existe pas de preuve purement alg´ebrique. Ce fait ne doit pas surprendre, puisque C est construit `a partir de R dont la construction fait appel aux outils de l’Analyse (suites de Cauchy, notion de coupure, ..).

Notons aussi que ce th´eor`eme affirme l’existence de racines sans d´ecrire une m´ethode exacte pour les calculer. Pour les polynˆomes de degr´e ≤ 4, il existe des m´ethodes de d´etermination des racines sousforme de radicaux. Par exemple, pour un polynˆome du second degr´e u X 2 + aX + b, les racines s’expriment par la formule α = 12 (−a ± δ), o` 61

δ 2 = a2 − 4b. Des formules analogues, mais plus compliqu´ees, existent aussi pour les polynˆomes de degr´e 3 et 4, elles ont ´et´e ´etablies par les math´ematiciens du 16`eme et 17`eme si`ecle, puis s’ensuivirent des recherches de formules g´en´erales sur la r´esolution de l’´equation du cinqui`eme degr´e `a l’aide de radicaux. Au milieu du 19 si`ecle, les travaux d’Abel et de Galois, mirent fin `a ces recherches. Le premier `a montr´e la non existence de telles formules, le second a donn´e une condition n´ecessaire et suffisante de r´esolubilit´e par radicaux. (Cette condition utilise les propri´et´es d’un groupe associ´e au polynˆome). Un exemple de polynˆome dont les racines ne peuvent pas s’exprimer par radicaux est P = X 5 − 5X + 1.

Noton enfin que, dans beaucoup de probl`emes pratiques (en physique et en ing´eni´erie) on a affaire `a des polynˆomes sur R ou C (Par exemple la recherche des valeurs propres des matrices). Les coefficients des polynˆomes obtenus ne sont connus qu’avec une certaine incertitude, ce qui donne toute la l´egitimit´e au calcul approch´e des racines par des m´ethodes de l’analyse num´erique.

4. Polynˆ omes irr´ eductibles D´ efinition. Deux polynˆomes P et Q sont dits associ´es, s’il existe λ ∈ K∗ , tel que P = λQ. Proposition 4.1. Soient P, Q ∈ K[X]. Alors P et Q sont associ´es, si et seulement si, P | Q et Q | P .

D´ efinition. Un polynˆome P est dit irr´eductible s’il est non constant et ses seuls diviseurs sont les constantes et les polynˆomes qui lui sont associ´es.

En d’autres termes, P est irr´eductible s’il ne peut pas ˆetre d´ecompos´e en produit de deux polynˆomes de degr´es < degP .

Exemple 4.1.

1 - Sur tout corps commutatif, les polynˆomes de degr´e 1 sont irr´eductibles.

2 - Le polynˆome X 2 + 1 est irr´eductible sur R mais non sur C. 3 - Le polynˆome X 4 + 1 est irr´eductible sur Q mais non sur R. Remarques. Les exemples pr´ec´edents montrent que la propri´et´e d’irr´eductibilit´e est relative au corps de base.

62

´ore `me 4.2. Les seuls polynˆ The omes irr´eductibles sur C sont les polynˆ omes de degr´e 1.

Proposition 4.3..

1 - Soit P ∈ R[X]. Si α ∈ C est une racine de P , alors α ¯ est aussi racine de P de mˆeme multiplicit´e que α.

2 - Tout polynˆ ome r´eel de degr´e impair poss`ede au moins une racine r´eelle. ´ore `me 4.4. Les seuls polynˆ The omes irr´eductibles sur R sont l’un des types suivants : 1 - les polynˆomes de degr´e 1, aX + b, (a 6= 0).

2 - les polynˆomes de degr´e 2, aX 2 +bX +c `a discriminant b2 −4ac < 0, strictement n´egatif.

5. Plus Grand Commun Diviseur dans K[X].

Proposition 5.1. Soient A, B, Q ∈ K[X]. Alors ∀P ∈ K[X] on a : P | A et P | B, si et seulement si, P | B et P | (A − BQ). ´ore `me 5.2. Soient A, B ∈ K[X], alors il existe un polynˆ The ome unitaire unique D tel que : (i) D divise A et B. (ii) Si P est un polynˆ ome qui divise A et B, alors P divise D. D est appel´e plus grand diviseur commun (PGCD) de A et B. On le note A ∧ B. Exemple 5.1.

A = (X − 1)2 (X − 3)(X + 5)3 , B = (X − 1)3 (X − 2)(X + 5). Alors A ∧ B = (X − 1)2 (X + 5) Proposition 5.3. Soient A, B, Q ∈ K[X]. Alors : A ∧ B = B ∧ (A − BQ).

63

´ore `me 5.4. Soient A, B ∈ K[X] et D = A ∧ B. Alors il existe The U, V ∈ K[X] tels que U A + V B = D. ´ore `me 5.5. Algorithme d’Euclide : The Soient A, B ∈ K[X]. On d´efinit la suite de polynˆ ome R0 , R1 , . . ., par : R0 = A, R1 = B. On suppose Rn−1 et Rn d´efinis : Si Rn = 0 on pose Rn+1 = 0.

Si Rn 6= 0, on d´efinit Rn+1 comme ´etant le reste de la division euclidienne de Rn−1 par Rn .

Alors : 1 - Il existe n tel que Rn = 0.

2 - Le dernier reste non nul est ´egal au PGCD de A et B multipli´e par un coefficient non nul.

Remarque. On peut, `a chaque ´etape, pour simplifier les calculs et travailler avec des polynˆomes unitaires, multiplier le reste obtenu par un coefficient non nul.

Exemple 5.2.

D´eterminons le PGCD de A = X 4 + X 3 − 3X 2 − 4X − 1 et B = X + X 2 − X − 1.

3

On pose R0 = A et R1 = B. Le reste de la D.E. de R0 par R1 est R2 = −2X 2 − 3X − 1 On peut prendre R2 = 2X 2 + 3X + 1.

Le reste de la D.E de R1 par R2 est R3 = − 34 X − 43 . On peut prendre R3 = X + 1.

Le reste de la division euclidienne de R2 par R3 est nul. Donc le PGCD de A et B est R3 = X + 1.

64

6. Polynˆ omes premiers entre eux D´ efinition. Deux polynˆomes sont dits premiers entre eux, si leurs seuls diviseurs communs sont les polynˆomes constants. ´ore `me 6.1. (Bezout).

The Soient K un corps commutatif. A, B ∈ K[X] sont premiers entre eux, si et seulement si, il existe U, V ∈ K[X], tels que U A + V B = 1. ´ore `me 6.2. Soient K ⊂ C un corps commutatif. A, B ∈ K[X] The sont premiers entre eux , si et seulement si, ils n’ont pas de racine commune dans C. Exemple 6.1.

Les polynˆomes (X − 1)(X 2 + 2) et X 5 + 2X 2 + 1 sont premiers entre eux.

Proposition 6.3. Soient A, B ∈ K[X] et D ∈ K[X] un polynˆ ome A B unitaire. Alors D = A ∧ B, si et seulement si, D | A, D | B et D et D sont premiers entre eux. ´ore `me 6.4. (Gauss).

The Soient K un corps commutatif. A, B, C ∈ K[X]. Si A | BC et A est premier avec B alors A | C. ´ore `me 6.5. Soient K un corps commutatif. P un polynˆ The ome irr´eductible. Si P divise A1 · A2 · . . . · An , alors P divise au mois l’un des Ai . ´ore `me 6.6. . Soient K un corps commutatif. P1 , P2 . . . , Pk des The polynˆ omes premiers entre eux deux `a deux qui divisent A ∈ K[X]. Alors le produit P1 P2 . . . .Pk divise A. 7. Factorisation ´ore `me 7.1. (Factorisation sur un corps quelconque). Soit K un The corps commutatif, alors tout polynˆ ome non constant A de K[X] s’´ecrit de mani`ere unique sous-la forme A = λP1k1 P2k2 . . . Psks 65

o` u les polynˆ omes Pi sont irr´eductibles unitaires et λ ∈ K. ´ore `me 7.2. ( Factorisation dans C[X]). Tout polynˆ The ome non constant de C[X] s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme : P = λ(X − α1 )k1 (X − α2 )k2 . . . (X − αs )ks o` u λ ∈ C est le coefficient dominant de P et α1 , α2 , . . . αs sont les racines de P de multiplicit´es respectives k1 , k2 , . . . , ks , avec k1 + k2 + . . . + ks = degP .

D´ efinition. Un polynˆome de K[X], o` u K est un corps commutatif quelcoque, est dit scind´e, s’il est produit de polynˆomes du premier degr´e.

Corollaire 7.3. Tout polynˆ ome non constant de C[X] est scind´e. ´ore `me 7.4. ( Factorisation dans R[X]). Tout polynˆ The ome non constant de R[X] s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme : P = λ(X − α1 )k1 . . . (X − αt )kt (X 2 + β1 X + γ1 )m1 . . . (X 2 + βs X + γs )ms o` u λ ∈ R est le coefficient dominant de P , α1 , α2 , . . . αt sont les racines (r´eelles) de P de multiplicit´es respectives k1 , k2 , . . . , kt et les coefficients r´eels βi , γi v´erifient βi2 − 4γi < 0, i = 1, . . . , s.

Remarques.

1 - La factorisation dans C[X] se r´eduit `a la recherche des racines et leurs multiplicit´es.

2 - La factorisation dans R[X] peut ˆetre obtenue `a partir de celle de C[X] en regroupant les racines complexes non r´eelles qui sont conjugu´ees suivant la formule (X − z)(X − z¯) = X 2 − 2Re(z)X+ | z |2 .

Exemple 7.1.

Factoriser P = X 5 − X 3 + 2X 2 − 6X + 4 dans C[X] et dans R[X] sachant que 1 est racine de P .

On a P (1) = 0, P 0 = 5X 4 − 3X 2 + 4X − 6, P 0 (1) = 0, P 00 = 20X 3 − 6X + 4, P 00 (1) = 18 6= 0. Donc 1 est racine double de P . La division euclidienne de P par (X −1)2 donne : P = (X −1)2 (X 3 +2X 2 +2X +4).

66

Remarquons que X 3 + 2X 2 + 2X + 4 = (X + 2).X 2 + (X + 2).2 = (X + 2)(X 2 + 2).

Puisque X 2 + 2 est irr´eductible sur R, on a la factorisation : X 5 − X 3 + 2X 2 − 6X + 4 = (X − 1)2 (X + 2)(X 2 + 2) dans R[X]. √ √ X 2 + 2 = (X + i 2)(X − i 2) dans C[X]. On a : √ √ X 5 − X 3 + 2X 2 − 6X + 4 = (X − 1)2 (X + 2)(X + i 2)(X − i 2) dans C[X].

Factorisation de X n − 1 dans C[X] et dans R[X].

Ls racines complexes de X n − 1 sont les racines n`emes de l’unit´e ξ0 , ξ1 , . . . , ξn−1 , dans C. Ce sont des racines simples. Donc, dans C[X], on a : Xn − 1 =

n−1 Y

(X − ξk )

k=0

Dans R[X], on cherche d’abord les racines r´eelles de X n − 1. Deux cas se pr´esentent : - Si n est pair, 1 et −1 sont racines, parn ailleurs le conjugu´e de ξk Q 2 −1 (X − ξk )(X − ξn−k ). est ξn−k , d’o` u :X n − 1 = (X − 1)(X + 1) k=1 - Si n est impair, seul 1 est racine r´eelle de X n − 1. D’o` u: n−1 Q 2 X n − 1 = (X − 1) k=1 (X − ξk )(X − ξn−k ).

Finalement, n −1 2

X n − 1 = (X − 1)(X + 1)

Y

(X 2 − 2 cos

k=1

2kπ X + 1) si n est pair. n

n−1

X n − 1 = (X − 1)

2 Y

(X 2 − 2 cos

k=1

2kπ X + 1) si n est impair. n

Exemple 7.2.

1 - X 4 −1 = (X 2 −1)(X 2 +1) = (X −1)(X +1)(X 2 +1), dans R[X].

X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i), dans C[X].

67

2 - X 3 − 1 = (X − 1)(X 2 + X + 1) dans R[X].

X 3 − 1 = (X − 1)(X − j)(X − ¯j) dans C[X] (j = − 12 + i

√

3 ).

2

3 - X 6 − 1 = (X 3 − 1)(X 3 + 1).

X 6 − 1 = (X − 1)(X 2 + X + 1)(X + 1)(X 2 − X + 1), dans R[X].

X 6 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − j)(X − ¯j)(X + j)(X + ¯j).

8. Division suivant les puissances croissantes ´ore `me 8.1. Soit K un corps commutatif, p un entier naturel, A The et B deux polynˆ omes de K[X] tels que b0 6= 0. Alors il existe un couple unique (Q, R) de polynˆ omes de K[X] tels que l’on ait A = BQ+X p+1 R, et degQ ≤ p.

Q et R sont respectivement appel´es quotient et reste de la division suivant les puissances croissantes `a l’ordre p, de A par B. Exemple 8.1.

On prend A = 2X + 3X 2 − X 3 et B = 1 + 2X − X 2 dans R[X] et p = 4.

2X +3X 2 −X 3 −2X −4X 2 −− −− −− 2 −X −X 3 2 X +2X 3 −− X3 −X 3

+2X 4 −− +2X 4

−−

1 + 2X − X 3 −−−−−−− 2X − X 2 + X 3

−X 5 −− −− +2X 4 −X 5 −2X 4 +X 6 −− −− −X 5 +X 6

On peut donc ´ecrire A = B.(2X + X 2 + X 3 ) + X 5 (−1 + X).

68

CHAPITRE 10

Fractions Rationnelles ` a une ind´ etermin´ ee 1. D´ efinitions et Propri´ et´ es g´ en´ erales D´ efinitions. Soit K un corps commutatif. On appelle corps des fractions rationelles `a une ind´etermin´ee, le corps, not´e K(X), des fractions de l’anneau int`egre K[X].

Tout ´el´ement F de K(X) est appel´e fraction rationnelle et s’´ecrit A F = B , o` u A, B ∈ K[X] avec B 6= 0. A et B sont respectivement appel´es num´erateur et d´enominateur de F .

Noter que l’´ecriture F = ou une forme de F .

A B

n’est pas unique. C’est une repr´esentation

Exemple 1.1.

1-

√ X 4 + 2X 3 +1 X 3 −X+7

2-

X 2 −X+1 X 3 −X+i

∈ R(X).

∈ C(X).

3 - Pour K = Z/5Z,

X 2 −¯ 2X+¯ 1 X 3 −X+¯ 4

∈ K(X).

On rappelle que les lois + et · sont d´efinies par, si F = alors :

F +G= Si F =

A B

AD + BC , BD

et F.G =

6= 0, alors A 6= 0 et F −1 =

A B

et G =

C , D

AC BD

B A

D´ efinition. Soit F une fraction rationnelle. On appelle une repreA , o` u A, B ∈ sentation irr´eductible de F , toute repr´esentation F = B K[X] sont premiers entre eux.

Proposition 1.1. Toute fraction rationnelle poss`ede une repr´esentation irr´eductible.

69

C A Si F = B = D sont deux repr´esentations irr´eductibles de F , alors ∗ il existe λ ∈ K : C = λA et D = λB.

Exemple 1.2.

Soient A = X 6 − X 4 + X − 1, B = X 7 + X 4 + X 3 − 2X − 1, A ∈ R(X).

F =B En utilisant l’algorithme d’Euclide, on montre que le PGCD de A et B est ´egal `a X 3 − 1 et on a : A = (X 3 − 1)(X 3 − X + 1) 3 −X+1 et B = (X 3 − 1)(X 4 + 2X + 1). Par suite F = XX4 +2X+1 est une repr´esentation irr´eductible de F .

A D´ efinition. On appelle degr´e d’une fraction rationnelle F = B , l’entier relatif degF = degA − degB. On verifie qu’il ne d´epend pas de la repr´esentation de la fraction rationnelle.

Proposition 1.2. La fonction degr´e v´erifie, ∀F, G ∈ K(X) : deg(F + G) ≤ max(degF, degG) deg(F.G) = degF + degG A Proposition 1.3. Pour toute fraction rationnelle F = B , il existe un polynˆ ome E et une fraction rationnelle G uniques tels que degG < 0 et F = E + G.

E est appel´e la partie enti`ere de F . C’est le quotient de la division euclidienne de A par B. D´ efinition. Soit F =

A B

une fraction rationnelle irr´eductible.

1 - On appelle pˆ ole de F toute racine de son d´enominateur B. 2 - On dit que α ∈ K est un pˆole de multiplicit´e k si α de F si α est une racine de multiplicit´e k de B. Un pˆole simple est un pˆole de multiplicit´e 1.

3 - Si on note ∆ l’ensemble des pˆoles, on appelle fonction rationA(x) nelle associ´ee `a F , la fonction F˜ d´efinie sur K\∆ par F˜ (x) = B(x) .

Exemple 1.3.

70

2

X +X+1 1 - Soit F = (X+1) erifie d’abord que c’est une 2 (X 2 +1) ∈ R(X). On v´ forme irr´eductible. En effet, le num´erateur et le d´enominateur n’ont pas de racine commune. On a alors −1 est un pˆole double de F .

Si on consid`ere cette fraction dans C(X), on a deux autres pˆoles i et −i, ce sont des pˆoles simples.

2

X +3X+2 2 - Soit F = (X+1)(X 2 +1)2 ∈ R(X). Cette forme n’est pas une forme irr´eductible de F , X + 1 est un facteur commun au num´erateur et au d´enominateur, en simplifiant on trouve F = (XX+2 2 +1)2 . Ainsi −1 n’est pas un pˆole de F .

2. D´ ecomposition d’une fraction rationnelles en ´ el´ ements simples.

D´ efinition. On appelle ´el´ement simple dans K(X) toute fraction sous forme irr´eductible : QPn , o` u Q est un polynˆome irr´eductible unitaire et degP < degQ. Proposition 2.1. Soit G un ´el´ement simple de K(X).

Si K = C, alors G =

a (X−α)n

o` u a ∈ C.

a u a, α ∈ R, ou bien G = Si K = R, ou bien G = (X−α) n o` a, b, c, d ∈ R et c2 − 4d < 0.

aX+b , (X 2 +cX+d)n

´ore `me 2.2. Toute fraction rationnelle irr´eductible de degr´e < 0 The se d´ecompose de mani`ere unique en somme d’´el´ements simples.

A Plus pr´ecis`ement, si F = B est irr´eductible, avec B = Qn1 1 Qn2 2 . . . Qnk k , la factorisation de B en produit de polynˆ omes irr´eductibles unitaires, alors il existe une famille unique de polynˆ omes Pij , avec 1 ≤ i ≤ k et 1 ≤ j ≤ ni tels que :

ki k X X Pij F =E+ (Qi )j i=1 j=1

o` u E est la partie enti`ere de F et degPij < degQi Remarque.

71

1 - Pour d´ecomposer une fraction rationnelle en ´el´ements simples, il est n´ecessaire de factorisr le d´enominateur.

2 - D’une fa¸con g´en´erale, on peut obtenir les coefficients des polynˆomes Pij de la d´ecomposition, en r´eduisant au mˆeme d´enominateur et en comparant les deux expressions de F . On obtient alors un syst`eme lin´eaire qu’on peut r´esoudre.

Exemple 2.1.

4

X −3X+1 Soit F = (X−1) 2 (X 2 +2) . La division euclidienne donne comme partie enti`ere E = et on a :

√ √ Dans C[X], (X − 1)2 (X 2 + 2) = (X − 1)2 (X 2 − i 2)((X 2 + i 2), Donc, la d´ecomposition en ´el´ements simples dans C(X) est de la forme :

F (X) =

a b c d √ + √ + + 2 X − 1 (X − 1) X −i 2 X +i 2

a, b, c, d ∈ C. Dans R(X) F (X) =

a0 b0 c0 X + d0 + + X − 1 (X − 1)2 X2 + 2

A ∈ K(X), une fraction rationnelle sousD´ efinition. Soit F = B forme irr´eductible, et α un pˆole de F de multiplicit´e k. On appelle partie pˆolaire de F associ´ee `a α la fraction :

a1 a1 ak + + ... + X −α X −α (X − α)k qui figure dans la d´ecomposition de F .

Le coefficient a1 est appel´e r´esidu de f au pˆole α, on le note Res(F, α).

A ∈ K(X), une fraction rationnelle Proposition 2.3. Soit F = B sous-forme irr´eductible, et α un pˆole simple de F , alors

A(α) B 0 (α) Qm Si B = i=1 (X − αi ) est scind´e et toutes ces racines sont simples, alors la fraction F se d´ecompose sous la forme : Res(F, α) = ((X − α) · F )(α) =

72

F =E+

m X A(αi ) 1 B 0 (αi ) X − αi i=1

o` u E est la partie enti`ere de F .

Exemple 2.2.

X+1 1 - La fraction F = (X+2)(X eductible, de 2 +X+1)2 ∈ R(X), est irr´ partie enti`ere nulle. F poss`ede 2 comme seul le pˆole dans R, c’est un pˆole simple. La d´ecomposition de F dans R(X) est de la forme :

a1 a2 X + a3 a4 X + a5 = 2 + X +2 X + X + 1 (X 2 + X + 1)2 ai ∈ R, i = 1, . . . , 5.

F =

Posons A = X + 1 et B = (X2)(X 2 + X + 1)2 , alors on a : a1 = ((X + 2)F )(−2) = (X 2X+1 (−2) = −1 . +X+1)2 9 2 - Soit n ∈ N∗ , F = X n1−1 . F est une fraction irr´eductible, tous ces pˆoles, les racines n`emes de l’unit´e ξ0 , ξ1 , . . . , ξn−1 , dans C sont simples.

Donc dans C(X) on a : n−1

X 1 1 1 = Xn − 1 B 0 (ξi ) X − ξi i=0 o` u B = X n − 1.

B 0 (ξi ) = nξin−1 = nξi−1 , d’o` u: n−1

X ξi 1 1 = Xn − 1 n X − ξi i=0

73

CHAPITRE 11

Compl´ ements sur les groupes 1. Groupes monog` enes, groupes cycliques Soit (G, ·) un groupe. L’ensemble gr< x >= {xk : x ∈ Z} est un sous-groupe de G appel´e sous-groupe engendr´e par x.

Un groupe G est dit monog`ene, s’il existe x ∈ G tel que G = gr < x >. Un groupe est dit cyclique, s’il est monog`ene et fini. ´ore `me 1.1. Soit G = gr < g > un groupe monog`ene. On The consid`ere l’application φg : (Z, +) → (G, ·), d´efinie par φg (n) = g n , alors : 1 - φg est un morphisme surjectif de groupes.

2 - φg est injectif, si et seulement si, G est infini. On a alors G ∼ = Z. 3 - Si G est fini d’ordre n , alors G ∼ = (Z/nZ, +). L’entier n est alors le plus petit entier non nul tel que g n = e.

2. Th´ eor` eme de Lagrange Proposition 2.1. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On d´efinit la relation R sur G par : xRy ⇔ xy −1 ∈ H. Alors R est une relation d’´equivalence appel´ee relation d’´equivalence ou de congruence a gauche modulo H. ` Si x ∈ G, la classe `a gauche modulo H est x¯ = Hx. On note (G/H)g , l’ensemble quotient pour cette relation d’´equivalence.

Preuve.

R´eflexivit´e : On a xx−1 = e ∈ H, donc xRx. 75

Sym´etrie : Si xRy, on a xy −1 ∈ H, yx−1 = (xy −1 )−1 ∈ H. Donc yRx. Transitivit´e : Soient x, y, z ∈ G, tels que xRy et yRz, alors xy −1 ∈ H et yz −1 ∈ H. Donc xz −1 = xy −1 yz −1 ∈ H. En conclusion, R est une relation d’´equivalence.

Soit x ∈ G, alors y ∈ x¯ ⇔ xy −1 ∈ H ⇔ ∃h ∈ H : yx−1 = h ⇔ ∃h ∈ H : y = hx ⇔ y ∈ Hx. Exemple. Soit G = Z et H = nZ, o` u n ∈ N. xRy ⇔ x − y ∈ nZ. Il s’ensuit que R est la relation de congruence modulo n. ´ore `me 2.2 (Lagrange). Soit G un groupe fini et H un groupe The de G. Alors o(G) = o(H).[G : H], o` u [G : H] d´esigne le cardinal de l’ensemble quotient (G/H)g . En particulier, l’ordre de H divise celui de G. [G : H] est appel´e l’indice de H dans G.

Preuve. Supposons que G est fini, alors l’ensemble quotient (G/H)g pour la relation d’´equivalence pr´ec´edente est fini. Posons (G/H)g = {Hx1 , Hx2 , . . . , Hxk }. On a G = Hx1 ∪ Hx2 ∪ . . . ∪ Hxk et o(G) = Pk equivalence sont deux `a deux disi=1 card (Hxi ), car les classes d’´ jointes.

Montrons que toutes les classes ont le mˆeme cardinal, ´egal `a o(H).

On consid`ere l’application f : H → Hx, y 7→ yx. Alors f est une bijection, donc card(Hx) = o(H). Il en r´esulte que card(Hxi ) = o(H), pour tout i = 1, . . . , k. Donc o(G) = k · o(H).

Proposition 2.3. Soit G un groupe fini d’ordre n d’´el´ement neutre e. Alors ∀g ∈ G, on a g n = e.

Preuve. Soit H = {e, g, . . . , g m−1 } = gr < g >. On a o(H) = m et g = e. Donc, d’apr`es le th´eor`eme de Lagrange, m | n. Posons n = ms avec s ∈ N. Alors g n = g ms = g ms = e. m

Exemple. Dans le groupe S3 , qui est d’ordre 6, on a ∀σ ∈ S3 , σ6 = I 76

3. Le groupe sym´ etrique .

D´ efinitions 1 - Soit σ ∈ Sn . Dans E = {1, 2, . . . , n}, on d´efinit une relation iRj ⇔ ∃k ∈ N : j = σ k (i). Alors R est une relation d’equivalence. Ses classes d’´equivalences sont appel´ees les orbites suivant σ, ou σ-orbites.

Une orbite est dite triviale si elle est r´eduite `a un seul ´el´ement. Cet ´el´ement est fixe par σ.

2 - On appelle cycle une permutation poss´edant une seule orbite non triviale. Cette orbite est alors appel´ee le support du cycle, son cardinal est la longueur du cycle. On dit que σ est un k-cycle o` u k est sa longueur.

On note le cycle de support {a1 , a2 , . . . , ak }, c = (a1 , a2 , . . . , ak ), avec c(ai ) = ai+1 , pour i = 1, . . . k − 1 et c(ak ) = a1 . Les autres ´el´ements sont inchang´es.

3 - On appelle transposition un cycle de longueur 2.

Exemple 3.1. µ ¶ 1 2 3 4 5 6 1 - Soit σ = . Alors les orbites de σ sont 2 5 6 1 4 3 {1, 2, 5, 4} et {3, 6}. µ ¶ 1 2 3 4 5 2, poss`ede les orbites {2, 5, 3} {1} et {4}. C’est 1 5 2 4 3 un 3-cycle.

3 - S3 est constitu´e par l’identit´e I, trois transpositions (12), (13), (23) et deux cycles (123) et (132).

D´ efinition. Deux cycles sont dits disjoints ou ind´ependants, si leurs supports sont disjoints.

Proposition 3.1..

Deux cycles disjoints commutent. ´ore `me 3.2..

The 77

1 - Toute permutation non identique est la compos´ee de fa¸con unique (` a l’ordre des facteurs pr´es) de cycles deux `a deux disjoints.

2 - Toute permutation est un produit (non n´ecessairement unique) de transpositions.

Pratique de d´ ecomposition d’une permutation. Soit σ ∈ Sn est une permutation, pour la d´ecomposer en cycles ind´ependants, on consid`ere ses orbites non triviales Ω1 , . . . , Ωm . Chaque orbite Ωi = {ai1 , . . . , aik }, donne lieu `a un cycle ci = (ai1 . . . aik ), tel que ci (ais ) = ais+1 pour s = 1, . . . k−1, et ci (aik ) = ai1 . On ´ecrit alors σ = c1 ◦. . .◦cm .

Pour chaque cycle on a : (a1 . . . ak ) = (a1 a2 ) ◦ (a2 a3 ) . . . ◦ (ak−1 ak ).

Ce qui permet de d´ecomposer σ en transpositions.

Exemple 3.2. µ ¶ 1 2 3 4 5 6 7 8 Soit σ = ∈ S8 . Les orbites non tri4 5 8 3 6 2 7 1 viales de σ sont : {1, 4, 3, 8} et {2, 5, 6} et on a : σ = (1, 4, 3, 8) ◦ (2, 5, 6) = (14) ◦ (43) ◦ (38) ◦ (25) ◦ (56).

Proposition 3.3. Soit σ une permutation de E = {1, 2, . . . , n}, τ = (a, b) une transposition. On note σ 0 = τ ◦ σ, m le nombre de σorbites et m0 celui des σ 0 -orbites. Alors : - Si a, b appartiennent `a la mˆeme σ-orbite on a : m0 = m + 1.

- Si a, b appartiennent `a deux σ-orbites diff´erentes, on a m0 = m−1.

D´ efinition. Soit σ ∈ Sn . On appelle signature de σ, le nombre ²(σ) = (−1)n−m ∈ {−1, 1} o` u m est le nombre de σ-orbites. ´ore `me 3.4. Soit n ≥ 2, l’application signature ² : Sn → The ({−1, 1}, ×) σ 7→ ²(σ), est un morphisme surjectif de groupes tel que pour toute transposition τ on a ²(τ ) = −1.

Le noyau de ² est le sous-groupe An , des permutations dites paires.

An est appel´e le groupe altern´e de degr´e n. Son ordre est ´egal `a n!2 .

Une permutation est paire (resp. impaire), si et seulement si, elle se d´ecompose en un nombre pair (resp. impair) de transpositions.

78

Exemple 3.3.

1 - Dans l’exemple 3.2, on a σ est un produit de 5 transpositions.

Donc ²(σ) = (−1)5 = −1, c’est une permutation impaire.

2 - La signature d’un k-cycle est ´egale `a (−1)k−1 .

3 - On a A4 = {I, (123), (132), (124), (142), (234), (243), (134), (143), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

79

CHAPITRE 12

Compl´ ements sur les anneaux principaux 1. Id´ eal d’un anneau Soit A un anneau commutatif. On appelle id´eal de A, un sousensemble non vide I de A qui est un sous-groupe de (A, +) et tel que ∀a ∈ A, ∀x ∈ I on a : ax ∈ I. Proposition 1.1. Soit A un anneau , I ⊂ A est un id´eal de A si et seulement si, 0 ∈ I, ∀a ∈ A, ∀x, y ∈ I on a : x + y ∈ I et ax ∈ I. Exemple 1.1. {0} et A sont des id´eaux dits id´eaux triviaux de A. Exemple 1.2.

Soit u ∈ A, l’ensemble Au = {au ∈ A : a ∈ A} est un id´eal de A appel´e id´eal principal engendr´e par u. On le note aussi (u).

Exemple 1.3.

Les id´eaux de Z sont principaux.

Exemple 1.4.

Le noyau de tout morphisme d’anneaux est un id´eal.

Proposition 1.2. 1 - L’intersection d’une famille quelconque d’id´eaux est un id´eal.

2 - La somme de deux id´eaux, I et J : I +J = {x+y : x ∈ I, y ∈ J} est un id´eal.

2. Anneaux principaux Un anneau A est dit principal, s’il est int`egre (commutatif) et tout id´eal de A est principal.

81

Exemple 2.1. L’anneau Z est principal.

´ore `me 2.1. Si K un corps commutatif, alors l’anneau K[X] The est un anneau principal.

Remarque. Z[X] n’est pas principal. On montre que {P ∈ Z[X] : 2|P (0)} est un id´eal non principal de Z[X].

Soit A un anneau int`egre, a, b ∈ A. 1 - On dit que a divise b, notation a|b, ou que a est un diviseur de b ou que b est un multiple a, s’il existe c ∈ A tel que b = ac.

Ce qui est ´equivalent `a (b) ⊂ (a). O` u (u) d´esigne l’id´eal principal engendr´e par u.

2 - On dit que a et b sont associ´es si a|b et b|a.

Ce qui est ´equivalent `a (b) = (a), ou ∃ ² ∈ A inversible : a = ²b 3 - Soit p ∈ A non inversible. On dit que p est irr´eductible dans A si tout diviseur de p est ou bien inversible ou bien associ´e avec p.

4 - p ∈ A non inversible est dit premier, si ∀a, b ∈ A on a : p|ab ⇒ p|a ou p|b.

On a : si p est premier alors p est irr´eductible. La r´eciproque est fausse en g´en´eral.

5 - Soient a, b ∈ A. Un ´el´ement d de a est dit Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de a et b, si : d divise a et b et tout diviseur commun `a a et b divise d.

Un ´el´ement m de A est dit Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de a et b, si m est un multiple de a et b et tout multiple de a et b est divisible par m.

6 - Deux ´el´ements a et b sont dits premiers entre eux si les seuls diviseurs communs `a a et `a b sont les ´el´ements inversibles.

´ore `me 2.2. Soit A un anneau principal, alors : The 82

1 - Pour tout a, b dans A il existe d un PGCD et m un PPCM d´efinis par : (a) + (b) = (d) et (a) ∩ (b) = (m).

2 - a et b sont premiers entre eux, si et seulement si, il existe u, v ∈ A tels que ua + vb = 1 (B´ezout). ´ore `me 2.3 (Gauss). Soit A un anneau principal, a, b, c ∈ A. The Si a | bc et a est premier avec b alors a | b. ´ore `me 2.4. Soit A un anneau principal p un ´el´ement de A, The alors les assertions suivantes sot ´equivalentes : (i) p est irr´eductible. (ii) p est premier et p 6= 0.

Exemple 2.2.

Les ´el´ements irr´eductibles dans Z sont les nombres premiers. (il existe une infinit´e de nombres premiers).

Exemple 2.3.

Les polynˆomes irr´eductibles dans C[X], sont les polynˆomes du premier degr´e.

Exemple 2.4.

Les polynˆomes irr´eductibles dans R[X], sont les polynˆomes du premier degr´e et les polynˆomes du deuxi`eme degr´e a discriminant strictement n´egatif .

83

Exercices Exercice 1.

Soient P, Q et R trois propositions.

1 - Montrer que : P ⇒ (Q ⇒ R) ≡ (P ∧ Q) ⇒ R 2 - Si les trois propositions : P ∨ Q, P ⇒ R et Q ⇒ R sont vraies, alors R est vraie.

Exercice 2.

On d´efinit le connecteur logique ⊕ dit ” ou exclusif”, de la mani`ere suivante : si P et Q sont deux propositions : P ⊕Q ≡ (P ∨Q)∧¬(P ∧Q).

1 - Dresser la table de v´erit´e de ⊕.

2 - Montrer que P ⊕ Q ≡ ¬(P ⇔ Q).

3 - Montrer que pour trois propositions P, Q et R on a : (i) - (P ⊕ Q) ⊕ R ≡ P ⊕ (Q ⊕ R). (ii) - P ∧ (Q ⊕ R) ≡ (P ∧ Q) ⊕ (P ∧ R).

4 - Soient E un ensemble, A, B ⊂ E. On rappelle que A∆B = (A\B) ∪ (B\A). Montrer que A∆B = {x ∈ E : (x ∈ A) ⊕ (x ∈ B)}.

5 - Soient A, B, C trois parties de E. Montrer que (A∆B)∆C = A∆(B∆C).

A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C).

Exercice 3.

85

1 - Montrer par r´ecurrence que ∀n ∈ N, on a : n X 1 k(k − 1) = (n(n − 1)(n + 1)) 3 k=0 2 - Montrer par r´ecurrence que, 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisible par 111, quelque soit n ∈ N. (Indication : utiliser le fait que 1000=9.111+1).

Exercice 4.

On d´efinit les cinq ensembles suivants : A1 A2 A3 A4 A5

= = = = =

{(x, y) ∈ R2 , x + y < 1} {(x, y) ∈ R2 , | x + y | < 1} {(x, y) ∈ R2 , | x | + | y | < 1} {(x, y) ∈ R2 , x + y > −1} {(x, y) ∈ R2 , | x − y | < 1}

1 - Repr´esenter ces cinq ensembles.

2 - En d´eduire une d´emonstration g´eom´etrique de (| x + y |< 1 et | x − y |< 1) ⇔| x | + | y |< 1

Exercice 5.

Soit E un ensemble et f : E → P(E), une application quelconque.

On pose A = {x ∈ E : x ∈ / f (x)}.

1 - En raisonnant par l’absurde, montrer que A ne poss`ede pas d’ant´ec´edent par f .

2 - D´eduire de 1, qu’il n’existe pas de surjection de E sur P(E).

86

Exercice 6.

Soient f : E → F une application. A et B deux parties de E, C et D deux parties de F .

1 - Montrer que f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B), et que f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).

2 - Montrer que f −1 (C∪D) = f −1 (C)∪f −1 (D), et que f −1 (C∩D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D).

3 - Montrer que, ∀A, B ⊂ E, f (A∩B) = f (A)∩f (B) ⇔ f est injective.

Exercice 7.

Soient f : E → F et g : F → G deux applications. Montrer que : g ◦ f injective ⇒ f injective. g ◦ f surjective ⇒ g surjective.

Exercice 8.

Donner un exemple d’application de R dans lui mˆeme injective et non surjective, puis un exemple d’application surjective et non injective.

Exercice 9.

Soient P = {z ∈ C : Imz > 0}, o` u Imz d´esigne la partie imaginaire de z. D = {z ∈ C :| z |< 1}.

1 - Montrer que ∀z ∈ P ,

z−i z+i

∈ D.

2 - Soit l’application f : P → D, d´efinie par f (z) = Montrer que f est une bijection et d´eterminer f −1 .

z−i , z+i

∀z ∈ P .

Exercice 10.

Dans l’ensemble C des nombres complexes, on d´efinit la relation R par : ∀z, z 0 ∈ C, zRz 0 ⇔| z |=| z 0 |. Montrer que R est une relation d’´equivalence et d´eterminer ses classes.

Exercice 11.

Soient E et F deux ensembles, R une relation d’´equivalence sur E et S une relation d’´equivalence sur F . Dans E × F on d´efinit une 87

relation T par : (x, y)T (x0 , y 0 ) ⇔ xRx0 et ySy 0 1 - Montrer que T est une relation d’´equivalence sur E × F .

2 - Etablir une bijection entre (E × F )/T et E/R × F/S. Exercice 12.

Soient (E, ≺), (F, ≺), deux ensembles ordonn´es. On d´efinit sur E × F une relation R de la fa¸con suivante :∀(x, y), (x0 , y 0 ) ∈ E × F , alors :

(x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ (x 6= x0 et x ≺ x0 ) ou (x = x0 et y ≺ y 0 )

1 - Montrer que R est une relation d’ordre sur E × F , appel´ee ordre lexicographique.

2 - Montrer que si et que si (E, ≺), (F, ≺) sont totalement ordonn´es, alors il en est de mˆeme de (E × F, R).

Exercice 13.

Sur E = Q2 , on d´efini la loi ⊥ par : (a, b) ⊥ (a0 , b0 ) = (aa0 , ba0 + b0 ).

Citer les propri´et´es de cette loi. On ´etudiera en particulier les ´el´ements sym´etrisables.

Exercice 14.

Montrer que l’application r´eciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.

Exercice 15.

Soit E = R\{1}. Pour x, y ∈ E, on pose x ? y = x + y − xy.

1 - Montrer que ? d´efinit une L.C.I sur E. 2 - Montrer que l’application f : (R∗ , ×) → (E, ?) d´efinie par f (x) = 1−x, est un isomorphisme. En d´eduire que (E, ?) est un groupe ab´elien.

88

3 - Pour n ∈ N, on d´efinit x?n , par r´ecurrence, de la mani`ere suivante : x?0 = 0 et x?(n+1) = x?n ? x. Calculer 2?2008 .

Exercice 16.

Sur R on d´efinit une loi de composition interne > par : ∀x, y ∈ R, x>y = x + y − 3x3 y 3 1 - Montrer que > est commutative et admet un ´el´ement neutre.

2 - Montrer qu’i existe un ´el´ement ayant au moins deux sym´etriques.

3 - Montrer que la loi > n’est pas associative.

Exercice 17.

Dire si les ensembles suivants sont des mono¨ıdes pour la multiplication des entiers.

1 - E = {x = a2 + b2 ∈ N : a, b ∈ N}.

2 - F = {x = a2 + b2 + c2 ∈ N : a, b, c ∈ N}.

Exercice 18.

Donner un exemple de mono¨ıde contenant un ´el´ement sym´etrisable `a gauche mais non sym´etrisable `a droite.

(Indication : Consid´erer le mono¨ıde (F(N, N), ◦), des applications de N dans lui-mˆeme).

Exercice 19.

1 - Les ensembles suivants munis des lois indiqu´ees sont-ils des groupes ? a - L’ensemble des r´eels positifs muni de l’addition. b - L’ensemble des r´eels positifs muni de la multiplication.

2 - On note P(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E. Pour lesquelles des lois ∩, ∪ ou ∆, P(E) est-il un groupe ?

Exercice 20.

89

On rappelle que la loi + d´efinie sur Z2 par : (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) munit Z2 d’une structure de groupe, appel´ee groupe produit.

Soient a, b ∈ Z. Montrer H = {(x, y) ∈ Z2 : ax + by = 0}, est un sous-groupe de Z2 .

Exercice 21.

Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G, si et seulement si, H ⊂ K ou K ⊂ H. Exercice 22.

Soit E un ensemble, P(E) l’ensemble des parties de E. Montrer que (P(E), ∆, ∩) est un anneau commutatif.

Exercice 23.

1 - Dire si les ensembles suivants sont des sous-anneaux de R. √ A = {a + b 2 ∈ R : a, b ∈ Z}. √ B = {a + b 3 2 ∈ R : a, b ∈ Z}.

2 - Montrer que D = {a + bi ∈ C : a, b ∈ Z}, o` u i2 = −1, est un sous-anneau de C. Trouver ses ´el´ements inversibles.

3 - Soit α ∈ C. Donner une condition n´eceesaire et suffisante sur α pour que E = {a + bα ∈ C : a, b ∈ Q}, soit un sous-anneau de C. Exercice 24.

Un anneau A est dit anneau de Boole si ∀x ∈ A, on a : x2 = x.

Soit A un anneau de Boole.

1 - Montrer que ∀x ∈ A, on a : x + x = 0 et que A est commutatif.

2 - Montrer que si A contient au moins trois ´el´ements, alors il n’est pas int`egre.

Exercice 25.

90

1 - Soit n un entier naturel non nul et k ∈ Z. Montrer que k¯ est inversible dans (Z/nZ, +, ·), si et seulement si, k est premier avec n.

2 - En d´eduire que (Z/nZ, +, ·) est un corps, si et seulement si, n est un nombre premier.

Exercice 26.

Soit (A, +, ·) un anneau . On d´esigne par 0, l’´el´ement neutre de (A, +) et par 1, l’´el´ement neutre de (A, ·). On dit que a ∈ A est nilpotent s’il existe k ∈ N tel que ak = 0.

1 - Montrer que si a et b sont nilpotents et que ab = ba, alors a + b est nilpotent.

2 - Montrer que si a est nilpotent alors 1 − a est inversible. Calculer alors son inverse.

3 - Trouver les ´el´ements nilpotents de Z/10Z et de Z/12Z. Exercice 27.

√ √ Montrer que Q[ 2] = {a + b 2 ∈ R : a, b ∈ Q} est le corps de √ fractions de Z[ 2].

Exercice 28.

Soit K = (Z/2Z, +, ·). On d´efinit les lois + et · sur K 2 par : (x, y) + (z, t) = (x + y, z + t) (x, y).(z, t) = (xz + yt, xt + yz + yt) Montrer que (K 2 , +, ·) est un corps commutatif.

Exercice 29.

1 - Dans R[X], effectuer la division euclidienne de X 5 +2X 2 +X +1 par X 3 + X + 1.

2 - Soient a, b ∈ K et P ∈ K[X]. D´eterminer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b). (On distinguera le cas a 6= b du cas a = b).

91

3 - D´eterminer le reste de la division euclidienne de (X − 3)2n + (X − 2)n − 2 par X 2 − 5X + 6.

4 - D´eterminer le reste de la division euclidienne de (cos θ+X. sin θ)n par X 2 + 1.

Exercice 30.

Montrer que pour tout P ∈ K[X] on a P (X) − X divise P (P (X)) − X. Exercice 31.

Pour quelles valeurs de n, le polynˆome (X n + 1)n − X n est-il divisible par X 2 + X + 1 ?

Exercice 32.

Trouver dans R[X] tous les polynˆomes divisibles par leurs d´eriv´es.

Exercice 33.

Soit Pn (X) = 1 + X + 2!1 X 2 + . . . +

1 Xk k!

+ ... +

1 Xn n!

∈ R[X].

Montrer que Pn ne poss`ede pas de racine multiple.

Exercice 34.

Factoriser P = (X + i)n − (X − i)n dans C[X]. En d´eduire l’expression de : m Y

(4 + cotg2

k=1

kπ ) m+1

Exercice 35.

Montrer que 1 est une racine triple du polynˆome r´eel X 2n −nX n+1 + nX − 1, pour tout entier naturel ≥ 1. n−1

Exercice 36.

D´eterminer n pour que le polynˆome (X + 1)n − X n − 1 admette une racine multiple.

Exercice 37.

92

Trouver un polynˆome P ∈ R[X] de degr´e 7 tel que 1 soit racine d’ordre au moins 4 de P (X) + 1 et −1 racine d’ordre au moins 4 de P (X) − 1.

Exercice 38.

Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur p et q pour que le polynˆome X 3 + pX + q poss`ede une racine multiple et d´eterminer cette racine.

Exercice 39.

Factoriser le polynˆome X 4 + 1 dans C[X] et dans R[X].

Exercice 40.

Soit α une racine de P = X 4 +X 3 +X 2 +X +1. On pose β = α + α1 .

1 - Montrer que β est racine d’un polynˆome du second degr´e de Q[X] que l’on d´eterminera.

2 - En d´eduire l’expression de β puis celles de cos 2π et sin 2π par 5 5 radicaux.

Exercice 41.

Factoriser le polynˆome suivant dans R[X].

Pn = 1 + X + 2!1 X(X + 1) + . . . +

1 X(X n!

+ 1)...(X + n − 1)

Exercice 42.

Factoriser le polynˆome X n+2 − 2X n+1 + X n − nX 2 + 2nX − n dans C[X], sachant que’il poss`ede 1 comme racine multiple.

Exercice 43.

Montrer que le polynˆome r´eel X 5 − 5X + 1 poss`ede 3 racines r´eelles et deux racines complexes conjugu´ees.

Exercice 44.

1 - Factoriser X 4 − 10X 2 + 1 dans R[X] et dans Q[X].

2 - Montrer qu’un polynˆome irr´eductible dans Q[X] ne peut pas poss`eder des racines multiples dans C. 93

Exercice 45.

1 - Soit P = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Z[X]. Montrer que si x ∈ Z est racine de P alors a − x | P (a), pour tout a ∈ Z. En particulier, montrer qu’on a x | a0 .

2 - Trouver les racines enti`eres de P = X 6 + X 5 − 3X 4 + 3X 3 − 16X 2 + 2X − 12, puis factoriser ce polynˆome.

Exercice 46.

Soit P = X 6 + X 5 + 3X 4 + 2X 3 + 2X 2 + X + 1 ∈ R[X].

1 - Montrer que P et P 0 ne sont pas premiers entre eux.

2 - En d´eduire une factorisation de P .

Exercice 47.

D´ecomposer en ´el´ements simples sur R et C les fractions rationnelles suivantes :

A=

X2 + 1 2 X5 − X3 − X2 , B = , C = X(X 2 − 1) (X − 1)(X − 2)(X − 3) X2 − 1

D=

4X 3 X3 + 1 3 X4 + 1 , E = , F = , G = (X 2 + 1)2 (X − 1)4 X3 + 1 (X 2 + 1)(X − 1)2

H=

1 X 1 , I = , J = (X − 1)6 X (X 6 − 2X 3 cos θ + 1 X8 + X4 + 1

Exercice 48.

Soit P = (X − α1 )(X − α2 )...(X − αn ) un polynˆome poss´edant n racines distinctes.

1 - Soit x qui n’est pas une racine de P . Simplifier 2 - Soient α1 , α2 , α3 les racines de X 3 − 3X − 1.

Calculer

1 1 1 + + 2 − α1 2 − α2 2 − α3

Exercice 49.

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Pn

1 i=1 x−αi .

Soit P un polynˆome de degr´e n ayant n racines α1 , α2 , . . . , αn distinctes. Montrer que pour tout entier k : 0 ≤ k ≤ n − 2, on a : n X i=1

αik =0 P 0 (αi )

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