Лекция 6

«

Л Вы

я 6. Вы ы

ы

я

ы

я,

. ы.

ы (

)

,

A

Ax  x .

-

x

.

A,

x, 

A.

. ,

. Ч

,

-

Ax  x ,

.

Ax  x

( A  E) x  0 .

Э

x  0,

Э

det( A  E)  0 .

,

n 1 ,...,  n .

A -

.

.

»

n ё

, A, A. Э

x,  ,

,

A

c0 -

,

,

,

. .

A,

x,  -

x,

1 

A 1 .

.

,

,

.

,

ю ,

.

© . .

,

.

.

,

.

.

—

,

,

,

. Ч

cx , 

n

«

»

,

det( A  E)  0 ,

.

.

,

,

.

-

,

.

. . ,

A.

,

:

. . ы

ы

:

(PM — Power Method)

(

).

ё n.

A

xk x k  Ax k 1 , k  i . xik 1 x0

,

,

x 0  (1,1,...,1)T .

ё

x k 1 .

xk

ё

,

.

. ,

.

x k 1

,

Т

.

xik

xik 1

,

xik 1



xik  2

. .

, xk

(

xk xk © . .

(

, ,

.

.

k  1) , k  1) ). (

,

,

«

»

).

.

,

,

,

,

.

, ,

.Ч

.

ы

ы

:

я

ы

.

(SP — SМКХКr ProНuМt). : k

y  Ax

k 1

k

, 

( Ax k 1 , y k 1 ) (y

k 1

,y

k 1

)



( y k , y k 1 ) (y

k 1

,y

k 1

1 k , xk  y . ) yk

,

k  k 1   k 1 ,

 -

,

.

. ы

ы

: .

,

ы

, A,

 -

A 1 .

A

x k 1

A 1 ,

,

,

:

xk x k  A1 x k 1 , k  i . xik 1 x k  A1 x k 1

Ax k  x k 1 .

A 1 . © . .

A. ,

A, .

.

,

,

1 

«

, — Inverse Iteration).

»

LU-

,

.

(INVIT

, .

.



x0 ,

.

,

A

x0  1,

, xk ,

yk

:

A  Ey k  x k 1 , : xk 

.

E Э

x,

ы A

n

m

(

m

n

. SТnРuХКrТs —

AT A

AAT .

AA

A A )

,

AT A

m

n.

T

).

T

A A,

.

SVD-

( n

n

m

.

.

–

. U

). ы .

.

,

,

AAT .

: 1   2  ...   k . (

. SТnРuХКr VКХuО DОМomposТtТon):

.

Ч

A

A  UV T ,

m,

m

m

AT A = AAT

,

).

,

n

n<m,



A

AAT ,

A

A

© . .

AT A

.

T

 1   2  ...   k , n n m

AAT

n > m,

,

(

yk

yk .

.

я

(

1

V -

«

Ч

1

A

k

»

:

 cond ( A)  max .  min

Ч

. x -

.

, ,

cond (A)   , ,

,

:

x  cond ( A)b , , b -

 min = 0, ,

, (

). Э

.

):

,

,

x  6cond ( A) , Э .

 -

(

Ax  b

,

,

):

1 , k  n (2n  3)(4n  27) , n – (k  11)

* 

(

QR

x.

я ,

(

).

.

ы  

)



; ( ).

( (

MatLab ОТР() .

  

MatLab ordeig(), eigs()

© . .

,

.

.

.

.

,

,

Э ).