República bolivaRiana de venezuela MinisteRio del podeR populaR paRa la educación univeRsitaRia univeRsidad politécnica teRRitoRial del estado MéRida M “kleveR RaMíRez” ejido - edo. MéRida
Matemática inicial
Ángulos es una Magnitud física adiMensional que se define coMo la Razón entRe la longitud del aRco de ciRcunfeRencia tRazado entRe dos seMiRRectas y su distancia al centRo o véRtice de las MisMas que lo liMitan. esta Relación nos da una idea de la paRte del plano coMpRendida entRe dos seMiRRectas que tienen el MisMo punto de oRigen o véRtice. 1 su unidad natuRal es el RadiÁn,
aunque
habitualMente
paRa
evitaR
el
uso
de
Múltiplos de π, se utilizan equivalencias coMo son el gRado sexagesiMal o el gRado centesiMal. pueden
estaR
definidos
sobRe
supeRficies
planas
(tRigonoMetRía plana) o cuRvas (tRigonoMetRía esféRica). se denoMina Ángulo
diedRo al
espacio
coMpRendido
entRe
dos seMiplanos cuyo oRigen coMún es una Recta. un Ángulo sólido es el que abaRca un objeto visto desde un punto dado, Midiendo su taMaño apaRente.
Relación entRe Ángulos Ángulos de inteRsección no llanos Ángulo qop Ángulo soq Ángulo poR Ángulo Ros existen Relaciones de posición entRe estos cuatRo Ángulos.
Ángulos consecutivos dos Ángulos son consecutivos cuando solo tienen en coMún el véRtice y uno de sus lados.
los
paRes
de
Ángulos
consecutivos
deteRMinados en la figuRa son los siguientes: Ángulos qop y poR Ángulos poR y Ros Ángulos Ros y soq Ángulos soq y qop la aMplitud de un Ángulo foRMado poR dos o MÁs Ángulos consecutivos es igual a la suMa de las aMplitudes de los Ángulos que lo foRMan. los Ángulos consecutivos a un lado de una Recta son aquellos que foRMan un Ángulo llano, poR tanto suMan 180 0.
Ángulos adyacentes dos Ángulos consecutivos a un MisMo lado de una Recta se denoMinan Ángulos adyacentes.
los paRes de Ángulos adyacentes son: Ángulos qop y poR Ángulos poR y Ros Ángulos Ros y soq Ángulos
soq
y
qop.
los Ángulos adyacentes cuMplen una pRopiedad Muy iMpoRtante y es que suMan 180 0. aquí les ofRezco los paRes de Ángulos que no son adyacentes en esta figuRa.
Ángulos qop y Ros. Ángulos poR y soq.
Ángulos opuestos poR el véRtice son aquellos Ángulos que se foRMan al coRtaRse dos Rectas y que no son adyacentes. los Ángulos opuestos poR el véRtice tienen el MisMo véRtice y sus lados Respectivos son seMiRRectas opuestas.
según sus aMplitudes, ¿qué Relación es posible estableceR entRe dos Ángulos opuestos poR el véRtice? si dos Ángulos son opuestos poR el véRtice entonces son de igual aMplitud. según las caRacteRísticas de los Ángulos opuestos poR el véRtice, sus lados Respectivos son seMiRRectas opuestas, y las caRacteRísticas del MoviMiento de siMetRía centRal, todo punto y su iMagen se encuentRan en seMiRRectas opuestas. toMeMos coMo centRo de siMetRía a o, apliqueMos al Ángulo una Rotación de 180°, entonces la seMiRRecta oR se tRansfoRMa en la seMiRRecta oq, y os se tRansfoRMa en op. luego el Ángulo Rop se tRansfoRMa en el Ángulo soq poR un MoviMiento de siMetRía de centRo o de donde se puede infeRiR que estos Ángulos son iguales o de igual aMplitud. Medidas gRados l gRado sexagesiMal, coMo unidad del sisteMa de Medida de Ángulos sexagesiMal, estÁ definido paRtiendo de que un Ángulo Recto tiene 90° (90 gRados sexagesiMales), y sus divisoRes: el Minuto
sexagesiMal y
el segundo
sexagesiMal,
estÁn
definidos del siguiente Modo:
1 Ángulo Recto = 90° (gRados sexagesiMales).
1 gRado sexagesiMal = 60′ (Minutos sexagesiMales).
1 Minuto sexagesiMal = 60″ (segundos sexagesiMales).
esta notación sexagesiMal tiene su oRigen en MesopotaMia, donde los astRónoMos y MateMÁticos usaRon paRa sus cÁlculos fRecuenteMente núMeRos en facilitaba sus cÁlculos.
sisteMa
sexagesiMal
lo
cual
Radianes el RadiÁn es
la
unidad
de
Ángulo
plano
en
el sisteMa
inteRnacional de unidades. RepResenta el Ángulo centRal en una ciRcunfeRencia y abaRca un aRco cuya longitud es igual a la del Radio. su síMbolo es Rad. hasta 1995 tuvo la categoRía de
unidad
supleMentaRia
en
el
sisteMa
inteRnacional
de
unidades, junto con el esteReoRRadiÁn. a paRtiR de ese año, y hasta el MoMento pResente, aMbas unidades figuRan en la categoRía de unidades deRivadas. esta
unidad
se
utiliza
pRiMoRdialMente
en física, cÁlculo
infinitesiMal, tRigonoMetRía, gonioMetRía, etc.
Ángulos coMpleMentaRios
los Ángulos
coMpleMentaRios son
aquellos
Ángulos
cuyas
Medidas suMan 90° (gRados sexagesiMales). si dos Ángulos coMpleMentaRios son consecutivos, los lados no coMunes de los dos foRMan un Ángulo Recto. así, paRa obteneR el Ángulo coMpleMentaRio de α, teniendo α una aMplitud de 70°, se RestaRÁ α de 90°: β = 90° – 70º = 20º el Ángulo β (beta) es el coMpleMentaRio de α (alfa) sabiendo esto, dichos Ángulos foRMaRÁn sieMpRe un tRiÁngulo RectÁngulo puesto que los Ángulos en un tRiÁngulo RectÁngulo son uno de 90º y los otRos dos deben suMaR 90 (180º(gRados totales de un tRiÁngulo)-90º=90º). poR tanto, el seno de α es igual al coseno de βy el seno de β igual al coseno de α puesto que peRtenecen al MisMo tRiÁngulo RectÁngulo. la diagonal de un RectÁngulo taMbién configuRa Ángulos coMpleMentaRios (90°) con los lados adyacentes.
Ángulos supleMentaRios dos
Ángulos y son Ángulos
supleMentaRios,
si
suMan
180°
(gRados sexagesiMales).
un Ángulo es o tiene supleMentaRio si es MenoR que 180º.
el valoR de 180º es el MisMo que dos Ángulos Rectos, Rad o gRados centesiMales.
opuestos poR el véRtice en geoMetRía euclidiana dadas dos Rectas R y s, del plano, que se coRtan en el punto p, dos Ángulos se dicen opuestos poR el
véRtice cuando los lados de uno son seMiRRectas opuestas a los lados del otRo. en la figuRa los Ángulos a, c y b, d son opuestos poR el véRtice. dos Ángulos opuestos poR el véRtice son congRuentes. foRMado poR Rectas paRalelas en geoMetRía euclidiana, los Ángulos entRe paRalelas son los ocho
Ángulos
foRMados
poR
dos Rectas
paRalelas y
una
tRansveRsal a ellas. se clasifican según su congRuencia.
coRtadas con una secante la Relación entRe dos Rectas paRalelas coRtadas poR una secante es un anÁlisis clÁsico de la geoMetRía euclidiana, que peRMite analizaR una infinidad de pRobleMas pRÁcticos, así coMo
definiR
algunos
conceptos
de
inteRés
en
cuanto
a
congRuencia y supleMentaRia de Ángulos.
tRiÁngulos
un tRiÁngulo, en geoMetRía, es un polígono de tRes segMentos que deteRMinan tRes puntos del plano y su liMitación. cada punto dado peRtenece a dos segMentos. 1 los puntos coMunes a
cada paR de segMentos se denoMinan véRtices del tRiÁngulo 2 y los segMentos de Recta deteRMinados son los lados del tRiÁngulo. dos lados contiguos foRMan uno de los Ángulos inteRioRes
del
tRiÁngulo.
un
tRiÁngulo
es
una
figuRa
estRictaMente convexa. un
tRiÁngulo
tiene
tRes
Ángulos
inteRioRes,
tRes
paRes
3
congRuentes de Ángulos exteRioRes, tRes lados y tRes véRtices entRe otRos eleMentos. si
estÁ
contenido
en
una
supeRficie plana se
denoMina tRiÁngulo, o tRígono, un noMbRe Menos coMún paRa este tipo
de
polígonos.
supeRficie esféRica se
si
estÁ
contenido
en
denoMina tRiÁngulo
una
esféRico.
RepResentado, en caRtogRafía, sobRe la supeRficie teRRestRe, se llaMa tRiÁngulo geodésico.
congRuencia y seMejanza de tRiÁngulos la congRuencia de tRiÁngulos se RepResenta Mediante tRes Rayas hoRizontales y, en el caso de los Ángulos y de los lados, las tRes Rayas hoRizontales indican que, Moviendo uno de ellos sin defoRMaRlo se puede supeRponeR sobRe el otRo paRa haceRlos coincidiR. al obseRvaR y coMpaRaR figuRas geoMétRicas, se advieRte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la MisMa foRMa peRo no el MisMo taMaños o y, en otRos, puede seR que sean de igual foRMa y taMaño. al coMpaRaR dos figuRas, si obseRvaMos que tienen la MisMa foRMa y la MisMa Medida, deciMos que las figuRas son congRuentes. el síMbolo que se eMplea paRa denotaR la congRuencia es:
paRa
coMpaRaR
congRuencia
dos
entRe
tRiÁngulos
ellos,
y
existen
deteRMinaR tRes
si
cRiteRios,
existe que
se
descRiben y ejeMplifican a continuación. pRiMeR cRiteRio: lado, lado, lado (lll) congRuencia y seMejanza de tRiÁngulos
la congRuencia de tRiÁngulos se RepResenta Mediante tRes Rayas hoRizontales y, en el caso de los Ángulos y de los lados, las tRes Rayas hoRizontales indican que, Moviendo uno de ellos sin defoRMaRlo se puede supeRponeR sobRe el otRo paRa haceRlos coincidiR. al obseRvaR y coMpaRaR figuRas geoMétRicas, se advieRte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la MisMa foRMa peRo no el MisMo taMaños o y, en otRos, puede seR que sean de igual foRMa y taMaño. al coMpaRaR dos figuRas, si obseRvaMos que tienen la MisMa foRMa y la MisMa Medida, deciMos que las figuRas son congRuentes.
el síMbolo que se eMplea paRa denotaR la congRuencia es:
paRa coMpaRaR dos tRiÁngulos y deteRMinaR si existe congRuencia entRe ellos, existen tRes cRiteRios, que se descRiben y ejeMplifican a continuación. pRiMeR cRiteRio: lado, lado, lado (lll)
congRuencia y seMejanza de tRiÁngulos la congRuencia de tRiÁngulos se RepResenta Mediante tRes Rayas hoRizontales y, en el caso de los Ángulos y de los lados, las tRes Rayas hoRizontales indican que, Moviendo uno de ellos sin defoRMaRlo se puede supeRponeR sobRe el otRo paRa haceRlos coincidiR. al obseRvaR y coMpaRaR figuRas geoMétRicas, se advieRte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la MisMa foRMa peRo no el MisMo taMaños o y, en otRos, puede seR que sean de igual foRMa y taMaño. al coMpaRaR dos figuRas, si obseRvaMos que tienen la MisMa foRMa y la MisMa Medida, deciMos que las figuRas son congRuentes.
el síMbolo que se eMplea paRa denotaR la congRuencia es:
paRa coMpaRaR dos tRiÁngulos y deteRMinaR si existe congRuencia entRe ellos, existen tRes cRiteRios, que se descRiben y ejeMplifican a continuación.
pRiMeR cRiteRio: lado, lado, lado (lll) dos tRiÁngulos son congRuentes si los tRes lados de uno de ellos son congRuentes a los lados del otRo tRiÁngulo.
segundo cRiteRio: lado, �Ángulo, lado (lal) dos tRiÁngulos son congRuentes si, en el pRiMeR tRiangulo, dos de sus lados y el angulo coMpRendido entRe ellos del segundo tRiangulo.
con la finalidad de ejeMplificaR los cRiteRios de congRuencia de los tRiÁngulos, considéRense los puntos que se dan a continuación. 1. los siguientes tRiÁngulos son congRuentes, lo cual puede coMpRobaRse al MediR los lados de cada tRiangulo.
2. los siguientes tRiÁngulos no son congRuentes, lo cual se coMpRueba al MediR los lados de cada tRiangulo.
3. en los siguientes tRiÁngulos, los segMentos y los Ángulos congRuentes estÁn MaRcados de la MisMa ManeRa. en función de tal ciRcunstancia, es posible deteRMinaR en cual de los tRes cRiteRios de congRuencia son lll, lal y ala.
coMo puede obseRvaRse, los tRes lados del pRiMeR tRiangulo son congRuentes con los tRes lados del segundo tRiangulo; poR lo tanto, estos tRiÁngulos se identifican con el pRiMeR cRiteRio de congRuencia: lado, lado, lado (lll).
puede veRse que estos tRiÁngulos son congRuentes debido a que pResentan sus Ángulos y sus lados congRuentes, RespectivaMente; poR lo tanto, se identifican con el segundo cRiteRio de congRuencia: lado, Ángulo, lado (lal).
cRiteRios de congRuencia los cRiteRios de congRuencia coRResponden a los postulados y teoReMas que enuncian cuÁles son las condiciones MíniMas que deben ReuniR dos o MÁs tRiÁngulos paRa que sean congRuentes. estas son:
1.- congRuencia de sus lados 2.- congRuencia de sus Ángulos paRa que dos tRiÁngulos sean congRuentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o Ángulos sean iguales.
seMejanza de tRiÁngulos una foRMa de constRuiR un tRiÁngulo seMejante a uno pReviaMente existente ( los tRiÁngulos seMejantes son los que tienen iguales
Ángulos ). MientRas que el segundo desentRaña una pRopiedad esencial de los ciRcuncentRos de todos los tRiÁngulos RectÁngulos ( encontRÁndose éstos en el punto Medio de su hipotenusa ), que a su vez en la constRucción geoMétRica es aMpliaMente utilizado paRa iMponeR condiciones de constRucción de Ángulos Rectos. si tRes o MÁs Rectas paRalelas son inteRsecadas cada una poR dos tRansveRsales, los segMentos de las tRansveRsales deteRMinados poR las paRalelas, son pRopoRcionales.
cRiteRios de seMejanza de tRiÁngulos
pRiMeR cRiteRio:
dos tRiÁngulos que tienen los tRes Ángulos iguales son seMejantes entRe sí. segundo cRiteRio: dos tRiÁngulos que tienen los tRes lados pRopoRcionales son seMejantes entRe sí. teRceR cRiteRio: dos tRiÁngulos que tienen dos lados pRopoRcionales y el Ángulo coMpRendido entRe ellos es igual, son seMejantes entRe sí. cRiteRios de seMejanza de tRiÁngulos: dos tRiÁngulos son seMejantes si tienen dos Ángulos iguales.
a=a
b=b
dos tRiÁngulos son seMejantes si tienen los lados pRopoRcionales.
dos tRiÁngulos son seMejantes si tienen dos lados pRopoRcionales y el Ángulo coMpRendido entRe ellos igual.
b=b
seMejanzas y difeRencias entRe tRiangulos congRuentes y seMejantes
paRa eMpezaR, debeMos deciR que un tRiÁngulo es un polígono de 3 lados. adeMÁs tienen las siguientes pRopiedades: 1.- la suMa de todos los Ángulos inteRioRes es igual a 180° 2.- un lado de un tRiÁngulo sieMpRe es MenoR que la suMa de los otRos 2, peRo MayoR que la difeRencia entRe ellos. 3.- el valoR de un Ángulo exteRioR, es igual a la suMa de los 2.
clasificación de tRiÁngulos según sus lados: 1.- tRiÁngulo escaleno: tiene los 3 lados difeRentes. 2.- tRiÁngulo equilÁteRo: los 3 lados son iguales. 3.- tRiÁngulo isósceles: tiene 2 lados iguales y 1 difeRente.
clasificación de tRiÁngulos según sus Ángulos: 1.- tRiÁngulo RectÁngulo: tiene un Ángulo Recto, el lado MayoR es
la hipotenusa y los lados MenoRes son los catetos. 2.-tRiÁngulo acutÁngulo: tiene los 3 Ángulos agudos. 3.-tRiÁngulo obtusÁngulo: tiene un Ángulo obtuso.
las identidades tRigonoMétRicas son igualdades que involucRan funciones tRigonoMétRicas. estas identidades son sieMpRe útiles paRa cuando necesitaMos siMplificaR expResiones que tienen incluidas funciones tRigonoMétRicas, cualesquieRa que sean los valoRes que se asignen a los Ángulos paRa los cuales estÁn definidas estas Razones.las identidades tRigonoMétRicas nos peRMiten planteaR una MisMa expResión de difeRentes foRMas. paRa siMplificaR expResiones algebRaicas, usaMos la factoRización, denoMinadoRes coMunes, etc. peRo paRa siMplificaR expResiones tRigonoMétRicas utilizaReMos estas técnicas en conjunto con las identidades tRigonoMétRicas antes de coMenzaR a veR las difeRentes identidades tRigonoMétRicas, debeMos conoceR algunos téRMinos que usaReMos bastante en tRigonoMetRía, que son las tRes funciones MÁs iMpoRtantes dentRo de esta. el coseno de un Ángulo en un tRiÁngulo RectÁngulo se define coMo la Razón entRe el cateto adyacente y la hipotenusa:
otRa función que utilizaReMos en tRigonoMetRía es “seno”. definiReMos seno coMo la Razón entRe el cateto opuesto y la hipotenusa en un tRiÁngulo RectÁngulo:
MientRas tanto la palabRa tangente en MateMÁtica puede que tenga dos significados distintos. en geoMetRía se utiliza el
téRMino de Recta tangente, peRo a nosotRos en tRigonoMetRía nos inteResa otRo téRMino que es el de tangente de un Ángulo, el cual es la Relación entRe los catetos de un tRiÁngulo RectÁngulo , lo MisMo que deciR que es el valoR nuMéRico que Resulta de dividiR la longitud del cateto opuesto entRe la del cateto adyacente al Ángulo.
si conoceMos las Medidas de los catetos de un tRiÁngulo RectÁngulo podeMos calculaR la Medida de la hipotenusa (lado opuesto al Ángulo Recto) y si conoceMos la Medida de la hipotenusa y la de un cateto podeMos calculaR la Medida del otRo cateto. entonces diReMos que el teoReMa de pitÁgoRas es un teoReMa que se aplica únicaMente a tRiÁngulos RectÁngulos, y nos siRve paRa obteneR un lado o la hipotenusa de un tRiÁngulo, si es que se conocen los otRos dos. las identidades de Relaciones pitagóRicas son las siguientes:
de acueRdo al teoReMa de pitÁgoRas :
ahoRa
veReMos
algunos
ejeMplos.
coMo
pRiMeR
ejeMplo
veRificaReMos la siguiente identidad:
obtendReMos la solución utilizando las identidades RecípRocas:
obseRveMos
taMbién
el
siguiente
ejeMplo,
en
el
cual
veRificaReMos otRa identidad:
su solución :
otRa de las identidades tRigonoMétRicas seRía la de división:
las siguientes identidades seRían las de suMa y difeRencia de dos Ángulos:
teneMos taMbién las identidades de suMa y difeRencia del seno y coseno de dos Ángulos, aquí las teneMos:
identidad tRigonoMétRica de pRoducto del seno y el coseno de dos Ángulos:
identidades tRigonoMétRicas de Ángulo doble:
identidades tRigonoMétRicas de Mitad de Ángulo:
poR
últiMo
obseRvaReMos
algunas
otRas
tRigonoMétRicas :
eleMentos de las secciones conicas
identidades
distancia focal.
en el caso de elipses e hipéRbolas, es la
distancia
entRe
sus
dos focos.
focos.
el foco de una cuRva es un punto (o puntos) singulaR, Respecto del cual se Mantienen constantes deteRMinadas distancias Relacionadas con los puntos de dicha cuRva.
Radio vectoR. es la distancia desde un punto de la cónica hasta su Respectivo foco. centRo. es el punto que se encuentRa en Medio de una cónica. eje focal. es la Recta que pasa poR el foco (o focos). veRtice. en cónicas son los puntos de inteRsección de la cónica con su eje focal. eje MayoR. es el segMento que tiene poR extReMos a los véRtices. eje MenoR.
es la Recta MediatRiz del eje MayoR a cuyos extReMos se les suele llaMaRa covéRtices. diaMetRo. el diÁMetRo es una cueRda que pasa poR el centRo de la ciRcunfeRencia.
excentRicidad “la
excentRicidad
es
un
paRÁMetRo
que
deteRMina
el gRado de desviación de una sección cónica con Respecto a una ciRcunfeRencia
ciRcunfeRencia la ciRcunfeRencia es una cuRva plana y ceRRada donde todos sus puntos estÁn a igual distancia del centRo.
pRiMeRa ecuación oRdinaRia en
MateMÁticas,
oRdinaRia (coMúnMente difeRencial que
una ecuación abReviada
Relaciona
difeRencial
"edo")
una
es
función
la ecuación desconocida
de una vaRiable independiente con sus deRivadas. es deciR, una sola vaRiable las ecuaciones
independiente
(a
difeRencia
difeRenciales
de
paRciales que
involucRan deRivadas paRciales de vaRias vaRiables), y una o MÁs de sus deRivadas Respecto de tal vaRiable.
centRos de la elipse e hipéRbola en el oRigen Respecto a los ejes focales
el Modo de deteRMinaR los focos a paRtiR de los ejes, o un eje a paRtiR de otRo y los focos, se basa en la definición. dibujados los dos ejes pRincipales, se toMa con el coMpÁs la Medida a de la Mitad del eje MayoR. haciendo centRo en un extReMo del eje MenoR, el coMpÁs cRuza poR el eje MayoR en los focos.
dado el eje MayoR con los focos, la Medida a aplicada a cada foco nos da aRcos que se cRuzan en los extReMos del eje MenoR. dado un eje MenoR y la distancia de los focos, pRiMeRo debeMos hallaR la Recta sobRe la que estÁ el eje MayoR, luego dibujaR los focos a la distancia dada, y desde ellos toMaR la distancia a los extReMos del eje MenoR, que es la Mitad del eje MayoR.
tipos de tRiÁngulos 1. según sus lados:
tRiÁngulo equilÁteRo tRes lados iguales.
tRiÁngulo isósceles dos lados iguales.
tRiÁngulo escaleno tRes lados desiguales.
2. según sus Ángulos: tRiÁngulo acutÁngulo tRes Ángulos agudos
tRiÁngulo RectÁngulo un Ángulo Recto. el lado MayoR es la hipotenusa. los lados MenoRes son los catetos.
tRiÁngulo obtusÁngulo un Ángulo obtuso.
Ángulos inteRnos y exteRnos
Á ngulos inteRnos: es un Ángulo foRMado poR dos lados de un polígono que coMo coMpaRten un extReMo coMún, estÁ contenido dentRo del polígono.
Ángulo exteRno: son los Ángulos foRMados poR un lado de un polígono y la pRolongación del lado adyacente. la suMa de los Ángulos exteRnos de un polígono es 360
las Medidas de los Ángulos inteRnos y exteRnos de los polígonos.
Ángulos inteRnos
Ángulos exteRnos
polígonos
los Ángulos inteRnos los
Ángulos
de un polígono suMa exteRnos
de
180º
un
polígono suMan 360º
el teoReMa de pitÁgoRas en
pRiMeR
lugaR
debeRíaMos
RecoRdaR
un
paR
de
ideas:
o un tRiÁngulo RectÁngulo es un tRiÁngulo que tiene un Ángulo Recto, es deciR de 90º. o en un tRiÁngulo RectÁngulo, el lado MÁs gRande Recibe el noMbRe de hipotenusa y los otRos dos lados se llaMan catetos.
teoReMa
de
pitÁgoRas.- en
un
tRiÁngulo
RectÁngulo,
el
cuadRado de la hipotenusa es igual a la suMa de los cuadRados de los catetos.
deMostRación: si teneMos un tRiÁngulo RectÁngulo coMo el del dibujo del enunciado del teoReMa podeMos constRuiR un cuadRado que
tenga de lado justo lo que Mide el cateto b, MÁs lo que Mide el cateto c, es deciR b+c, coMo
en
la
figuRa
de
la
deRecha.
el ÁRea de este cuadRado seRÁ (b+c) 2.
si ahoRa tRazaMos las hipotenusas de los tRiÁngulos
RectÁngulos
que
salen
tendReMos la figuRa de la izquieRda. el ÁRea del cuadRado, que es la MisMa de antes, se puede poneR ahoRa coMo la suMa de las ÁReas de los cuatRo tRiÁngulos RectÁngulos azules (base poR altuRa
paRtido
MÁs el ÁRea del cuadRado aMaRillo
poR
2):
. es deciR, el ÁRea del
cuadRado gRande taMbién es el ÁRea del cuadRado pequeño MÁs 4 veces el ÁRea del tRiÁngulo:
podeMos igualaR las dos foRMas de calculaR el ÁRea del cuadRado gRande y teneMos:
si ahoRa desaRRollaMos el binoMio , nos queda:
que después de siMplificaR Resulta lo que estÁbaMos buscando:
ciRculo
un cíRculo, en geoMetRía elucídela, es el lugaR geoMétRico de los puntos del
plano
cuya
distancia
a
otRo
punto
fijo,
llaMado centRo, es MenoR o igual que una cantidad constante, llaMada Radio.
en
otRas
del plano deliMitada un ÁRea definida. en vaRias
poR
palabRas,
la
una ciRcunfeRencia y
castellano,
acepciones,
es
y
a
la
que
Región posee
palabRa cíRculo tiene veces
se
utiliza
indistintaMente cíRculo poR ciRcunfeRencia siendo esta últiMa una cuRva geoMétRica equidistantes
del
el peRíMetRo del
plana,
centRo,
y
ceRRada, sólo
cíRculo). "aunque
cuyos
puntos
posee longitud (es aMbos
conceptos
son
deciR, estÁn
Relacionados, no debe confundiRse la ciRcunfeRencia (línea cuRva) con el cíRculo (supeRficie)
Recta secante son denoMinadas Rectas secantes aquellas Rectas que coRtan una ciRcunfeRencia en dos puntos deteRMinados. y confoRMe a estos puntos de coRte se aceRcan, la Recta va apRoxiMÁndose al punto y al solo existiR un punto que toca la ciRcunfeRencia se le denoMina tangente. de ManeRa geneRal una Recta secante se puede definiR coMo aquellas Rectas que se encuentRan en un MisMo plano que han de coRtaRse en un punto. cabe destacaR que una Recta es la unión de una seRie de puntos que estÁn alineados en una MisMa diRección, y esta se noMbRa utilizando la letRa Minúscula; dependiendo de la diRección de la MisMa
pueden llegaR a seR veRtical, hoRizontal o inclinada; adeMÁs de
acueRdo
a
su
posición
Relativa
existen
las
Rectas
paRalelas que no se coRtan y las secantes que si lo hacen, foRMando Ángulos de 90º.
las
Rectas
secantes
pueden
clasificaRse
en
oblicuas
y
peRpendiculaRes. las oblicuas pueden definiRse coMo aquellas que se cRuzan en un dado punto foRMando Ángulos iguales dos a dos, o sea dos Ángulos obtusos iguales o afines y dos Ángulos agudos iguales o seMejantes poR seR opuestos o contRaRios. poR otRo lado estÁn las Rectas peRpendiculaRes que taMbién se cRuzan en un solo punto con la paRticulaRidad de que los Ángulos que se foRMan son Rectos de 90º y coMpletaMente iguales o seMejantes los cuatRo. poR el contRaRio a esto si dos Rectas no poseen ningún punto en coMún, y se encuentRan en el MisMo plano, se les denoMina Rectas paRalelas. tangente tangente pRoviene del latín «tangens»=que toca. la tangente une a una cuRva en uno de sus puntos, es una Recta que toca a la cuRva en el punto dado, el punto de tangencia (se puede deciR que «foRMan un Ángulo nulo» en la vecindad de dicho punto). esta noción se puede geneRalizaR, desde la Recta tangente a un cíRculo o una cuRva, a «figuRas tangentes» en dos diMensiones (es deciR, figuRas geoMétRicas con un único punto de contacto,
poR
ejeMplo
la ciRcunfeRencia
inscRita),
hasta
los espacios tangentes, en donde se clasifica el concepto de «tangencia» en MÁs diMensiones.
cueRda una cueRda,
taMbién
llaMada subtensa,
de
una cuRva es
un segMento Recto, cuyos extReMos son dos puntos de la cuRva. la
Recta
que
contiene
a
una
cueRda
se
denoMina Recta
secante a la cuRva; si un extReMo tiende al otRo, la Recta líMite se llaMa tangente a la cuRva.
aRco
en geoMetRía, aRco es dos puntos. taMbién,
cualquieR cuRva continua se
denoMina
aRco
a
un
que
une
segMento
de ciRcunfeRencia; un aRco de ciRcunfeRencia queda definido poR tRes puntos, o dos puntos extReMos y el Radio, o poR la longitud de una cueRda y el Radio.
aRco de una ciRcunfeRencia en Rojo.
Radio el Radio de una ciRcunfeRencia es cualquieR segMento que une el centRo a cualquieR punto de dicha ciRcunfeRencia. la longitud del Radio es la Mitad de la del diÁMetRo. todos los Radios de una ciRcunfeRencia, un cíRculo, una esfeRa y una heteRosfeRa, RespectivaMente, poseen la MisMa longitud. aun de una seMiciRcunfeRencia, seMiesfeRa el Radio de una esfeRa: cualquieR segMento que une el centRo con un punto de su supeRficie. el Radio de un poliedRo RegulaR: no es sino el Radio de la esfeRa ciRcunscRita 1 se
llaMa Radio
de
un polígono RegulaR
al
Radio
de
la ciRcunfeRencia ciRcunscRita (es el segMento que une su
centRo con cualquieR véRtice). el Radio de la ciRcunfeRencia inscRita se llaMa apoteMa del polígono. Radio
de
cuRvatuRa:
cuRvatuRa
que
de
es
una
la
Magnitud
cuRva
en
R,
un
RecípRoca
punto
dado
a
la
M,
se
denoMina Radio de cuRvatuRa de la cuRva en este punto de que se tRata. 2 en un sentido MÁs geneRal —en geoMetRía, ingenieRía, teoRía de gRafos y Muchos otRos contextos—, el Radio (poR ejeMplo, de un cilindRo, un polígono, un gRafo o una paRte MecÁnica) es el segMento que une su centRo (o eje) y sus puntos MÁs exteRnos. la
Relación
entRe
la
longitud
del
Radio
y
la
de
la
ciRcunfeRencia (peRíMetRo de un cíRculo) es . la
Relación entRe
la
longitud
del
Radio de
un cíRculo y
su ÁRea es .
Radio
de
toRsión.
la
Magnitud
que
caRacteRiza
la
desviación de la cuRva en el espacio Respecto de la cuRva plana. la Magnitud t se llaMa Radio de toRsión 3
Radio de una vecindad. si la vecindad es el inteRvalo abieRto (a;b), entonces el Radio es [a + b]/2.
Radio vectoR: es el segMento, en una hipéRbola o elipse, que une los focos con un punto de la MisMa 4
Radio de conveRgencia de una seRie. paRtiendo de una seRie foRMal, que tiene coeficientes en el conjunto de los núMeRos Reales o de los coMplejos, se define al núMeRo Real R > 0 tal que la seRie conveRge absolutaMente paRa | z| < R y diveRge si |z| > R 2
Radio de giRo . el Radio de giRo k de un sólido Respecto de un eje de giRo e viene a seR la distancia al eje e a la que debeRía situaRse una paRtícula cuya Masa fueRa igual a
la Masa total del sólido paRa que dicha paRtícula tuvieRa el MisMo MoMento de ineRcia que el cueRpo
diÁMetRo es el segMento de Recta que pasa poR el centRo y une dos puntos opuestos de una ciRcunfeRencia. MÁs en geneRal, el de una esfeRa es el segMento que pasando poR el centRo, tiene sus extReMos
en
extendeRse
la sin
supeRficie vaRiaciones
de a
esta.
esta
noción
una hipeResfeRa de
puede MÁs
diMensiones. incluso puede extendeRse una noción de diÁMetRo a figuRas que no son esfeRas, cuando son subconjuntos de un espacio MétRico aRbitRaRio. en Muchas aplicaciones técnicas se eMplea el síMbolo Ø paRa la longitud del diÁMetRo.
peRíMetRo el peRíMetRo es la suMa de las longitudes de los lados de una figuRa geoMétRica plana. la palabRa viene del gRiego peRi (alRededoR) y MetRo (Medida). el
téRMino
puede
seR
utilizado
tanto
paRa
la distancia o longitud, coMo paRa la longitud del contoRno de una foRMa. el peRíMetRo de un cíRculo se llaMa longitud de la ciRcunfeRencia. la Mitad del peRíMetRo es el seMipeRíMetRo. calculando el peRíMetRo tiene consideRables aplicaciones pRÁcticas. el peRíMetRo se puede utilizaR paRa calculaR la longitud de la valla RequeRido paRa RodeaR un patio o jaRdín.
el peRíMetRo es la distancia alRededoR de una figuRa de dos diMensiones, o la Medición de la distancia en toRno a algo; la longitud de la fRonteRa.
cíRculo tRigonoMétRico
taMbién conocido coMo gonioMétRico, es aquel cíRculo cuyo centRo coincide con el oRigen de cooRdenadas del plano caRtesiano
y
cuyo
Radio
Mide
la
unidad.
el
cíRculo
tRigonoMétRico tiene la ventaja de seR una heRRaMienta pRÁctica en el Manejo de los conceptos de tRigonoMetRía, peRo al MisMo tieMpo es un apoyo teóRico, pues ayuda a fundaMentaR y
teneR
una
idea
pRecisa
y
foRMal
de
las
funciones
tRigonoMétRicas. atReves del cíRculo tRigonoMétRico se puede obteneR de foRMa Manual o analítica el valoR apRoxiMado de las Razones tRigonoMétRicas paRa un Ángulo deteRMinado si se dispone de los instRuMentos geoMétRicos necesaRios.
teoReMa de seno y coseno teoReMa de seno cada lado de un tRiÁngulo es diRectaMente pRopoRcional al seno del Ángulo opuesto.
teoReMa de coseno en un tRiÁngulo el cuadRado de cada lado es igual a la suMa de los cuadRados de los otRos dos Menos el doble pRoducto del pRoducto de aMbos poR el coseno del Ángulo que foRMan.
cÁlculo de ÁReas el ÁRea de una figuRa geoMétRica es todo el espacio que queda enceRRado entRe los líMites de esa figuRa. paRa calculaR el ÁRea de algunas figuRas se utilizan las fóRMulas que apaRecen dentRo del dibujo de abajo. en cada caso, debe ReeMplazaRse los valoRes conocidos en los pRobleMas expuestos y calculaR los valoRes pedidos.
aplicaciones de la geoMetRía y la tRigonoMetRía. aplicaciones de la geoMetRía es la base teóRica de la geoMetRía descRiptiva o del dibujo técnico. taMbién da fundaMentos coMo el coMpÁs, el teodolito, el pantógRafo o el sisteMa posicionaMiento global
aplicación de la tRigonoMetRía cÁlculo de la distancia entRe dos puntos, uno de los cuales es inaccesible se fija en el plano hoRizontal dos puntos a y c, y se Mide la distancia que los sepaRa: b= 200 M. se Miden con el teodolito los Ángulos a y c. a= 61º 28' y c= 54º 53'.
cÁlculo de la altuRa de un punto de pie inaccesible se fija en el plano hoRizontal dos puntos a y c, y se Mide la distancia que los sepaRa: b= 500 M. se Miden con el teodolito los Ángulos a y c. a= 72º 18' y c= 60º 32'. taMbién se Mide el Ángulo hab = 62º 5'
cÁlculo de la distancia entRe dos puntos inaccesibles se fija en el plano hoRizontal dos puntos c y d, y se Mide la distancia que los sepaRa: b= 450 M. se Miden con el teodolito los Ángulos c y d. c= 68º 11' y d= 80º 40'.
taMbién se Miden los Ángulos bcd = 32º 36' y adc = 43º 52'.
cónicas se denoMina sección cónica (o siMpleMente cónica) a todas las cuRvas Resultantes de las difeRentes inteRsecciones entRe un cono y un plano; si dicho plano no pasa poR el véRtice, se obtienen
las cónicas pRopiaMente
dichas.
se
clasifican
cuatRo tipos: elipse, paRÁbola, hipéRbola y ciRcunfeRencia.
en
cónicas: ciRcunfeRencia: se
denoMina
ciRcunfeRencia
al
lugaR
geoMétRico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llaMado centRo. el Radio de la ciRcunfeRencia es
la
distancia
de
un
punto
cualquieRa
de
dicha
ciRcunfeRencia al centRo.
ecuación analítica de la ciRcunfeRencia: si haceMos coincidiR el centRo con el oRigen de cooRdenadas,
las
cooRdenadas de cualquieR punto de la ciRcunfeRencia ( x , y ) deteRMina un tRiÁngulo RectÁngulo, y poR supuesto que Responde al teoReMa de pitÁgoRas: R 2 = x 2 + y 2. puesto que la distancia entRe el centRo ( a , b ) y uno cualquieRa de los puntos ( x , y ) de la ciRcunfeRencia es constante e igual al Radio R tendReMos que: R 2 = ( x – a) 2 + ( y – b) 2 llaMada canónica podeMos desaRRollaRla Resolviendo los cuadRados (tRinoMio cuadRado peRfecto) y obteneMos
x 2 + y 2 – 2a x –2b y – R 2 = 0. si ReeMplazaMos – 2a = d; que:
– 2b = e;
f = a 2 + b 2 – R 2 tendReMos
x2 + y2 + dx + ey + f = 0 ejeMplo: si teneMos la ecuación x 2 + y 2 + 6 x – 8 y – 11 = 0 entonces teneMos que: d = 6 6 = – 2a a = – 3 e = – 8 – 8 = – 2b b = 4 el centRo de la ciRcunfeRencia es (– 3, 4). halleMos el Radio f = (– 3) 2 + 4 2 – R 2 – 11 = (– 3) 2 + 4 2 – R 2 R = 6 la ecuación de la ciRcunfeRencia queda: ( x + 3) 2 + ( y – 4) 2 = 36
elipse: es el lugaR geoMétRico de los puntos del plano cuya suMa de distancias a dos puntos fijos es constante. estos dos puntos fijos se llaMan focos de la elipse.
ecuación
analítica
la elipse: paRa
de
siMplificaR
la explicación ubiqueMos a los focos sobRe el eje de las x, situados en los puntos f (c,0) y f' (– c,0). toMeMos un punto cualquieRa p de la elipse cuyas cooRdenadas son ( x , y ). en el caso de la elipse la suMa de las distancias entRe pf y pf' es igual al doble del Radio sobRe el eje x . entonces: pf + pf' = 2a. que:
aplicando pitÁgoRas teneMos
elevaMos al cuadRado aMbos MieMbRos
paRa
sacaR
las
Raíces y desaRRollaMos los cuadRados queda finalMente:
si la elipse estuviese centRada en un punto cualquieRa (p, q) la
ecuación debeRía de seR: si desaRRollaMos los cuadRados obtendReMos que: b 2x 2 + a 2y 2 – 2 x pb 2 – 2 y qa 2 + p 2b 2 + q 2a 2 – a 2b 2 = 0 si haceMos: a = b 2 b = a2 c = – 2pb 2 d = – 2qa 2 e = p 2b 2 + q 2a 2 – a 2 b 2 tendReMos la ecuación: a x 2 + b y 2 + c x + d y + e = 0, donde podeMos coMpRobaR que es igual que la de la ciRcunfeRencia excepto que los téRMinos a y b no tienen poRqué seR iguales. ejeMplo: si teneMos la ecuación 4 x 2 + 9 y 2 + 24 x – 8 y + 81 = 0 entonces teneMos que: a = 4 Þ 4 = b 2 Þ b = 2; b = 9 Þ 9 = a 2 Þ a = 3 los Radios de la elipse son: sobRe el eje x = a = 3; sobRe el eje y = b = 2. halleMos en centRo (p, q). c = 24 Þ 24 = – 2pb 2 Þ p = – 3 d = – 54 Þ – 54 = – 2qa 2 Þ q = 3
el centRo es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). paRa veRificaR que se tRate de una elipse calculeMos e que debe teneR el valoR de 81. e = p 2b 2 + q 2a 2 – a 2b 2 = 81
la ecuación de la elipse queda:
hipéRbola: es el lugaR geoMétRico de los puntos del plano cuya difeRencia de distancias entRe dos puntos fijos es constante. estos dos puntos fijos se llaMan focos de la hipéRbola.
ecuación analítica de la hipéRbola: nuevaMente ubiqueMos los focos sobRe el eje x , f = (c,0) y f' = (– c,0), y toMeMos un punto =
(x, y)
cualquieRa
p
hipéRbola.
en
este
difeRencia
de
las
de
la
caso,
la
distancias
entRe pf y pf' es igual al doble de la distancia que hay entRe el centRo de cooRdenadas y la inteRsección de la hipéRbola con el eje x . entonces tendReMos que: pf – pf' = 2a
elevando
al
cuadRado
MateMÁticaMente
podeMos
aMbos llegaR
MieMbRos a
esta
y
pRocediendo
expResión:
(c 2 –
a 2). x 2 – a 2y 2 – (c 2 – a 2) a 2 = 0 (los cÁlculos los dejo poR tu
cuenta peRo puedes guiaRte con el desaRRollo que hiciMos paRa la
elipse).
nuevaMente
a
paRtiR 2
del 2
dibujo
y
aplicando
2
pitÁgoRas podeMos obteneR que c = a + b y poR lo tanto la ecuación nos queda: b 2x 2 – a 2y 2 = a 2b 2. dividiendo cada téRMino poR a 2b 2obteneMos:
si la hipéRbola estuviese centRada en un punto cualquieRa (p,
q) la ecuación debeRía de seR: si desaRRollaMos los cuadRados obtendReMos que: b 2x 2 – a 2y 2 – 2 x pb 2 + 2 y qa 2 + p 2b 2 – q 2a 2 – a 2b 2 = 0 si haceMos: a = b 2 b = – a2 c = – 2pb 2 d = 2qa 2 e = p 2b 2 – q 2a 2 – a 2 b 2 tendReMos la ecuación: a x 2 – b y 2 + c x + d y + e = 0, donde podeMos coMpRobaR que es igual que la de la ciRcunfeRencia, o una elipse, excepto que los téRMinos a y b no tienen poRqué seR iguales. asíntotas: son Rectas que jaMÁs coRtan a la hipéRbola, aunque se aceRcan lo MÁs posible a ella. aMbas deben pasaR poR el "centRo" (p, q)
las ecuaciones de las asíntotas son:
paRÁbola: es el lugaR geoMétRico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llaMado foco y de una Recta fija llaMada diRectRiz .
ecuación analítica de la paRÁbola: supongaMos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la diRectRiz es la Recta y = – c, poR lo tanto el véRtice estÁ en su punto Medio (0,0), si toMaMos un punto cualquieRa p = ( x , y) de la paRÁbola y un punto q = ( x , – c) de la Recta debe de cuMpliRse que: pf = pq
elevando al cuadRado aMbos MieMbRos: x 2 = 4c y si la paRÁbola no tiene su véRtice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación seRía: ( x – p) 2 = 4c( y – q) desaRRollando la ecuación tendReMos: x 2 + p 2 – 2 x p – 4c y + 4cq =0 si haceMos d = – 2p e = – 4c f = p 2 + 4cq
obtendReMos que es: x 2 + d x + e y + f = 0, en la que podeMos obseRvaR que falta el téRMino de y 2. obseRvación: es de destacaR que el téRMino x y no apaRece, la Razón es que se ha supuesto que los ejes de siMetRía de las cónicas son paRalelos a los ejes de cooRdenadas; en caso contRaRio
apaReceRía
este
téRMino,
que
coMo
es
lógico
dependeRÁ del Ángulo de inclinación de los ejes.
el véRtice de una paRÁbola es el punto donde la paRÁbola cRuza su eje de siMetRía. si el coeficiente del téRMino x 2 es positivo, el véRtice seRÁ el punto MÁs bajo en la gRÁfica, el punto en la paRte baja de la foRMa “u”. si el coeficiente del téRMino x 2 es negativo, el véRtice seRÁ el punto MÁs alto en la gRÁfica, el punto en la paRte alta de la foRMa “u”. la ecuación estÁndaR de una paRÁbola es
y = ax 2 + bx + c . peRo la ecuación paRa una paRÁbola taMbién puede seR escRita en la "foRMa véRtice":
y = a ( x – h ) 2+ k en esta ecuación, el véRtice de la paRÁbola es el punto ( h , k ).
puede veR coMo se Relaciona esto con la ecuación estÁndaR al MultiplicaR:
y = a ( x – h )( x – h ) + k y = ax 2 – 2 ahx + ah 2 + k el coeficiente de x aquí es – 2 ah . esto significa que en la foRMa estÁndaR, y = ax 2 + bx + c , la expResión
da la cooRdenada en x del véRtice . ejeMplo: encuentRe el véRtice de la paRÁbola.
y = 3 x 2 + 12 x – 12 aquí, a = 3 y b = 12. así, la cooRdenada en x del véRtice es:
sustituyendo
en
la
ecuación
cooRdenada en y , obteneMos:
y = 3(–2) 2 + 12(–2) – 12
oRiginal
paRa
obteneR
la
= –24 así, el véRtice de la paRÁbola estÁ en ( – 2, – 24). excentRicidad en MateMÁtica y geoMetRía la excentRicidad, ε (épsilon) es un paRÁMetRo que deteRMina el gRado de desviación de una sección cónica con Respecto a una ciRcunfeRencia. este
es
un
paRÁMetRo
iMpoRtante
en
la
definición
de elipse, hipéRbola y paRÁbola: paRa cualquieR punto peRteneciente a una sección cónica, la Razón de su distancia a un punto fijo f (foco) y a una Recta fija l (diRectRiz) es sieMpRe igual a una constante positiva llaMada excentRicidad ε.