Теория и примерни задачи
Комбинаторика Понятието множество е основополагащо в дискретната математика, както за повечето математически теории, и за него не даваме дефиниция. Казваме, че е зададено множеството М, ако са определени обектите, от които то е съставено и които наричаме негови елементи. Множества, които имат краен брой елементи, се наричат “крайни”. Например: множеството от учениците в един клас. Множества, които имат неизброим брой елементи, се наричат “безкрайни”. Например множествата от числата: естествените числа – N = {1, 2, ,3, 4, …}; целите числа – Z ={…, -2,-1, 0, 1, 2, …}; точките в равнината. Множество, което няма нито един елемент се нарича “празно” и се отбелязва с . Комбинаториката е сред най-старите и силно развити математически теории, които причисляваме към дискретната математика. Крайното множество от елементи наричаме генерална съвкупност. Обектите, с който се занимава комбинаториката наричаме, комбинаторни конфигурации. Комбинаторни конфигурации строим от елементи на някое крайно множество, комбинирайки ги по зададени правила. В областта на комбинаториката са се оформили две области: изброителна комбинаторика и структурна комбинаторика. Основен проблем на изброителната комбинаторика е по зададено множество и правила за комбиниране, да се намери броя на получаващите се комбинаторни конфигурации. Разглеждат се правила, при които комбинаторните конфигурации да бъдат краен брой. Важен теоретичен въпрос е, при зададени правила за комбиниране на елементите да се изведат свойствата на получаване на комбинаторни конфигурации – структурна комбинаторика. Основните правила на изброителната комбинаторика са: Правило за събиране Ако елементът а може да бъде избран по m различни начина, a елементът b –по n различни начина, изборът на а или b може да се извърши по m + n начина. Правилото за събиране може да се обобщи за повече от две множества. Трябва броят на всички обекти да е равен на сбора от броя им в отделните групи. Правило за умножение Ако елементът а може да бъде избран по m начина и при всеки избор на а елементът b може да бъде избран по n начина, то изборът на наредената двойка (а,b) може да стане по m.n начинa. Правилото за умножение може да се обобщи за намиране броя на наредени тройки обекти, наредени четворки обекти.
Съединения се наричат групи или редици от елементи на едно или няколко крайни множества, съставени по определено правило. Броят на елементите, включени в дадено съединение, определя неговия клас Когато съединенията са съставени от различни елементи, казваме, че те са съединения без повторения. Съединенията биват: а) съединения с наредба, при които редът на елементите е от значение – пермутации, вариации; б) съединения без наредба, при които редът на елементите е без значение – комбинации. Пермутации без повторение Определение Нека е дадена множеството М={1, 2, 3, …, n}. Пермутации от n елемента от множеството М се наричат такива съединения, във всяко от които влизат всички дадени елементи и съединенията се различават само по реда на елементите. Броят на всички възможни начини на подреждане на n елементи, т.е. броя на пермутациите от n елемента се означава с Pn . Брой на пермутациите Нека P1 , Р2 , Р3 , Р4 , ..., Рn – 1 , Рn са съответно броят на пермутациите от 1, 2, 3, 4, ...., n–1,n елемента. От един елемент се образува една пермутация (Р1 = 1). От два елемента се образуват две пермутации (P2 = 2.1). От три елемента – шест (P3 = 3.P2 , т.е. P3 = 3 . 2 . 1 = 3! = 6). По същия начин получаваме, че от 4 елемента могат да се съставят P4 = 4.Р3 пермутации, т. е. Р4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4! = 24. За да намерим броя на пермутациите от n елемента, ще вземем предвид, че на първо място може да се постави всеки от n-те елемента. При всеки избор на един от тези елементи останалите n – 1 елементи могат да се разположат по Рn – 1 начина. Тъй като всеки от n-те елемента може да бъде първи, съгласно правилото за умножение получаваме, че броят Рn на всички пермутации е Pn = n.Pn– 1 . От Р1 = 1, Р2 = 2 .1=2.P1 =2!, Р3 = 3 .2 . 1=3.P2 =3!, Р4 = 4 . 3 . 2 . 1 =4.P3 =4! и т.н. по индукция се получава, че Рn = n!. Следователно броят Pn на пермутациите от n елемента е равен на произведението от първите n естествени числа, т.е. Pn = n!.
Примери: 1. Трима ученика седят на една пейка. Намерете по колко начина може да стане това. Решение: Р3 = 3! = 1.2.3 = 6. 2. По колко различни начина могат на се подредят 7 души в редица? Решение: Р7 = 7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040. 3. Колко петцифрени числа могат да се образуват от цифрите 0, 1, 2, 3, и 4. Решение: От 5 цифри могат да се съставят Р5 = 5! = 1.2.3.4.5 = 120 числа. От тях Р4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 ще започват с 0, т.е. те са четирицифрени. Следователно броят на търсените числа е Р5 – Р4 =120 – 24=96. 4. Дадено е множеството M={1, 2, 3}. Изведете пермутациите от елементите на това множества. Решение: За това множество могат да се образуват Р3 = 3! = 6 пермутации. Пермутациите са : (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1). 5. Дадено е множеството M={*, #, &, @}. Изведете пермутациите от елементите на това множества. Решение: За това множество могат да се образуват Р4 = 4! = 24 пермутации. Пермутациите са : (*, #, &, @) (#, *, &, @) (&, *, #, @) (@, *, #, &) (*, #, @, &) (#, *, @, &) (&, *, @, #) (@, *, &, #) (*, &, @, #) (#, &, *, @) (&, #, *, @) (@, #, *, &) (*, &, #, @) (#, &, @, *) (&, #, @, *) (@, #, &, *) (*, @, &, #) (#, @, *, &) (&, @, *, #) (@, &, *, #) (*, @, #, &) (#, @, &, *) (&, @, #, * ) (@, &, #, *). 6. Дадено е множеството M={Ани, Ива, Мая}. Изведете пермутациите от елементите на това множества. Решение: За това множество могат да се образуват Р3 = 3! = 6 пермутации. Пермутациите са :(Ани, Ива, Мая) (Ива, Ани, Мая) (Мая, Ани, Ива) (Ани, Мая, Ива) (Ива, Мая, Ани) (Мая, Ива, Ани). Това са всички възможности да се подредят приятелките, сядайки върху пейка. Може да видите: (отваряне на прозорчето за генериране на пермутации)
Комбинации без повторение Определение Нека е дадена множеството М={1, 2, 3, …, n}. Комбинации без повторение от nелемента от k-ти клас се наричат такива съединения, всяко от които съдържа по k различни елемента от дадените n и се различават едно от друго с поне един елемент. Поредността на избраните елементи е без значение, така че множествата с еднакви елементи представляват една и съща комбинация. Броят на различните комбинации без повторение от n-елемента от k-ти клас се означава с C (n, k ) или Cnk и е равен на биномния коефициент n над k. Броят на комбинациите от n-елемента от k-ти клас е: C (n, k ) Cnk
n! n.(n 1).(n 2). ... (n k 1) k!.(n k )! k .(k 1).(k 2). ... .3.2.1
Примери: 1. Колко изпитни билета с по два въпроса могат да се съставят от конспект от 25 въпроса. Решение: Комбинациите са
2 C25
25.24 300 на брой. 2!
2. Нека М = {1, 2, 3}. Разпишете всички комбинации без повторение на дадените елементи от 2-ри клас (комбинации от тип C (3,2) или C32 ). 3.2 Решение: Комбинациите са C32 3 на брой. 2! Това са (1, 2), (1, 3), (2, 3). 3. Нека М = {a, b, c, d}. Разпишете всички комбинации без повторение на дадените елементи от 2-ри клас (комбинации от тип C (4,2) или C42 ). 4.3 6 на брой. Решение: Комбинациите са C42 2! Това са (a, b) (b, c) (c, d) (a, c) (b, d) (a, d). Може да видите: (отваряне на прозорчето за генериране на комбинации)
Вариации без повторение Определение Нека е дадена множеството М={1, 2, 3, …, n}. Вариациите без повторение на n елемента от k-ти клас (k < n) се наричат такива съединения, всяко от които съдържа по k различни елемента от дадените n и се различават едно от друго или по елементите, или по реда на елементите. Разликата между вариациите и пермутациите на елементите на някакво множество е единствено в това, че в една вариация не е задължително да участват всички елементи на множеството. Ясно е, че всяка пермутация е вид вариация (от n елемента n-ти клас), докато обратното не е вярно. Формула за броя на вариациите Броят на различните вариации от n елемента от k-ти клас се означава с Vnk . Вариациите се различават по елементите си, следователно в множеството от вариации се съдържат всички комбинации Cnk . Различават се и по подредбата на елементите. Следователно за всяка от комбинациите може да се създадат всички пермутации от участващите елементи Pk . Тогава броят на вариациите е: n! n! Vnk Cnk . Pk . k! n.n 1. n 2. ... . (n k 1) k!. (n k )! (n k )! Примери: 1. По колко различни начина могат да се заемат първите три места в спортна дисциплина, в която се състезават общо 16 отбора? Решение: Три от 16 отбора ще се класират (комбинациите са C163 ), но те магат да се наредят по различни начини (наредбата е множеството от пермутации на три елемента Р3 ). Следователно възмажностите за заемане на първите три места са равни на броя на вариациите V163 . Вариациите са V163 16 .15.14 3360 на брой. 2. Нека М = {1, 2, 3}. Разпишете всички вариации без повторение на дадените елементи от 2-ри клас (комбинации от тип V (3,2) или V32 ). Решение: Вариациите са V32 3. 2 6 на брой. Това са (1, 2), (1, 3), (2, 3) (2, 1), (3, 1), (3, 2). Може да видите: (отваряне на прозорчето за генериране на вариации)