Это полезно знать
в мир
информатики
№ 173
Двоичная система у... древних египтян Вы, конечно, знаете, что двоичная система счисления — основа работы компьютеров. А известны ли вам другие примеры использования этой системы? В нашем журнале приводилось несколько таких примеров — штриховое кодирование информации о товаре [1], кодирование марок фотопленок [2] и даже — приготовление пиццы [3]. Оказывается, двоичную систему применяли (конечно, сами того не понимая) древние египтяне. Для умножения двух натуральных чисел они использовали методику, в которой для вычислений достаточно было уметь складывать, вычитать и умножать на 2. Делалось это так. В двух колонках записывались два числа: 1 и один из сомножителей. Затем в каждой следующей строке под ними записывались числа, в 2 раза большие. Так продолжалось до тех пор, когда в первой колонке получалось число, большее второго множителя. Пример для нахождения произведения 17 на 21: 1 2 4 8 16 32
21 42 84 168 336
февраль 2012 / ИНФорматика
60
21 × 1 21 × 2 21 × 4 21 × 8 21 × 16
или
13 18 6 36 3 72 1 144
После того как в первой колонке получим 1, деление и умножение прекратим. Далее найдем в первой колонке четные числа и вычеркнем строки с ними:
Результат в данном случае получался сложением чисел в правой колонке, которым в левой соответствуют числа 16 и 1: 336 + 21 = 357 (проверьте на калькуляторе, что 17 × 21 = 357). Почему? Ответ такой. 1. Значения в правой колонке можем записать так: 21 42 84 или 168 336
Похожий метод умножения использовали русские крестьяне (поэтому его называют “крестьянским”). Проиллюстрируем этот метод на примере нахождения произведения 13 на 18. Нарисуем таб лицу, в первой колонке которой запишем число 13, а во второй — 18 (см. ниже). Далее каждое следующее число в первой колонке получаем из предыдущего делением нацело на 2, а во второй колонке — умножением предыдущего на 2:
21 × 20 21 × 21 21 × 22 21 × 23 21 × 24
2. Переведем число 17 в двоичную систему методом выделения максимальной степени двойки. 21 = 16 + 1, то есть 1710 = 100012. Теперь умножим 17 на 21, но записав число 17 в так называемой “развернутой форме”: 17 × 21 = (1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + + 1 × 20) × 21 или 17 × 21 =(24 + 20) × 21 = 21 × 24 + 21 × 20. 3. Учитывая последнее равенство, для нахождения произведения 17 на 21 во второй колонке “основной ” таблицы необходимо сложить числа в строках, соответствующих числам 16 и 1, что мы и сделали при вычислениях ранее.
13 6 3 1
18 36 72 144
Искомое произведение равно сумме оставшихся во втором столбце чисел: 18 + 72 + 144 = 234 (проверьте!).
Задания для самостоятельной работы
1. Как можно объяснить результат, получаемый при “крестьянском” методе умножения? 2. Покажите, что результат, получаемый при “древнеегипетском” и при “крестьянском” методах умножения, не зависит от порядка множителей. 3. Разработайте алгоритм умножения натуральных чисел, который основывался бы на троичной системе счисления (при этом использовались бы следующие операции: деление на 3 с остатком, умножение на 3 и сложение).
Литература
1. Кодирование информации о товаре. / “В мир информатики” № 55 (“Информатика” № 8/2005). 2. Двоичное кодирование информации в пленочных фотоаппаратах. / “В мир информатики” № 36 (“Информатика” № 37/2004). 3. Повар и пицца. / “В мир информатики” № 87 (“Информатика” № 5/2007).