CAPITULO 02/A
1/8/05
18:32
Página 125
125
Distribuciones de frecuencias bidimensionales
con lo cual, sustituyendo la igualdad anterior en la expresión del momento bidimensional con respecto al origen de orden (r, s) de la distribución bidimensional, se tiene que h
ar,s
k
Σ Σx
i 1 j 1
h
r i
· yjs · fij
k
Σ Σx
i 1 j 1
h
r i
· yjs · fi· · f·j
k
Σ x · f · Σ y · f , i 1
r i
i·
j 1
s j
·j
siendo la última igualdad resultado de agrupar términos afines. En consecuencia, si X e Y son independientes, se cumple: ar,s ar,0 · a0,s.
2.18
Dada una distribución de frecuencias bidimensional (xi, yj; fij), obténgase la expresión del momento bidimensional con respecto a las medias de orden (r, s) en el caso de que las variables X e Y sean independientes.
SOLUCIÓN Aplicando la condición de independencia entre las variables X e Y, fij fi· · f·j, para cualesquiera i y j, a la expresión del momento bidimensional con respecto a las medias de orden (r, s) de la distribución bidimensional, obtenemos que h
mr,s
k
h
k
Σ Σ (x x) · (y y) f Σ Σ (x x) · (y y)
i 1 j 1
i
r
j
s
ij
i
i 1 j 1
r
j
s
fi· · f·j.
Agrupando términos semejantes, resulta que, si X e Y son independientes, entonces,
Σ h
mr,s
2.19
i 1
Σ (y y) f m k
(xi x )r fi· ·
j 1
j
s
·j
r,0
· m0,s.
¿Cuánto vale la covarianza de una distribución de frecuencias bidimensional (xi, yj; fij), cuando X e Y son variables independientes?