Programa de Licenciatura para Profesores sin Título Pedagógico en Lengua Extranjera
los cuantificadores. La séptima fórmula afirma la totalidad de las personas es amada por al menos una persona. Y la última afirma que hay al menos una persona que ama a todas las personas. El sentido distinto, en cada caso, que muestran las interpretaciones de las cuatro últimas fórmulas prueban que cuando los cuantificadores que forman el prefijo son universales y existenciales el orden es relevante y si es alterado se altera también las condiciones de verdad de las fórmulas correspondientes. Se dice que cuando una fórmula exhibe todos los cuantificadores adelante, independientemente del orden en que se encuentren, entonces está en forma normal prenex. Asimismo, si ocurre que en el prefijo todos los cuantificadores existenciales preceden a los cuantificadores universales, entonces está en forma normal de Skolem. Los ocho ejemplos anteriores están en forma normal prenex. Los ejemplos sexto y octavo son ejemplos de la forma normal de Skolem. Las fórmulas tercera y cuarta ilustran, además, el caso en el que el número de cuantificadores universales es igual a cero.
12.9 Formalización del cuadro de Boecio en el lenguaje PMP Un ejemplo de la proposición A del cuadro de Boecio es la afirmación física ´Todos los cuerpos que se someten a la acción del calor se dilatan. En esta afirmación hay dos predicados monádicos. El primero x es un cuerpo sometido a la acción del calor y el segundo x se dilata. Al primero lo escribimos como P( x ) al segundo como Q ( x ), siguiendo convenciones antes establecidas. Un aspecto adicional a considerar es que toda afirmación general universal del tipo de A es interpretada como hipotética en el sentido de que no es posible constatar que todos los individuos de un conjunto tienen una propiedad cuando este conjunto es infinito. Y ocurre que en la formalización de las teorías científicas con frecuencia hay que postular que los dominios de interpretación son conjuntos infinitos, como, por ejemplo, el conjunto de los números naturales. Ello conduce a que se interprete que la estructura interna de una proposición A es condicional y a que pueda ser adecuadamente parafraseada como sigue: Para todo objeto x, si x tiene la propiedad P, entonces x tiene la propiedad Q. Ello nos conduce a la siguiente fórmula: (A)
(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x )
Una afirmación del tipo E también es en el lenguaje PMP una fórmula general universal de estructura interna condicional por la misma razón que antes expusimos. Manteniendo la misma interpretación de los predicados P y Q, la afirmación Ningún cuerpo sometido a la acción del calor se dilata puede ser parafraseada así: Para todo objeto x, si x tiene la propiedad de ser sometido a la acción del calor, entonces x no tiene la propiedad de dilatarse. Esto da lugar a la siguiente fórmula: (E)
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(∀ x ) ( P ( x ) → ∼ Q ( x ))