GeoGebra for lærere by Universitetsforlaget

Henning Bueie

Programvaren blir grundig presentert i boken. Forfatteren gir mange eksempler på bruk av det induktive prinsippet i innlæring av begreper. Et eget kapittel handler om hvordan denne typen programvare kan brukes på eksamen. Til sist er det inkludert en separat oppgavedel som er tilpasset Kunnskapsløftet. Oppgavedelen kan brukes direkte på elever i ungdomsskolen.

Dette er en nyttig bok for lærerstudenter og lærere som underviser i matematikk etter gjeldende læreplaner.

Henning Bueie er høgskolelektor i matematikk og statistikk ved Høgskolen i Lillehammer og lektor i realfag ved Åretta ungdomsskole. Han har mange års undervisningserfaring i matematikk og statistikk. Bueie har i en årrekke brukt dynamisk programvare aktivt i undervisningen og har vært tilknyttet Norsk GeoGebra-institutt som ressursperson.

ISBN 978-82-15-01860-7

GeoGebra G e G b for llærere eo r re

GeoGebra for lærere er godt illustrert og delt inn i mange små delkapitler, slik at temaene er lett tilgjengelige. De fleste delkapitlene har øvingsoppgaver direkte knyttet til det presenterte lærestoffet.

Henning Bueie

GeoGebra er den mest utbredte dynamiske matematikkprogramvaren for pedagogisk bruk i skolen. Denne boken gir en lett forståelig innføring i GeoGebra for lærere i ungdomsskole og videregående skole.

GeoGebra for lærere 1 3°

. 397 d

-1 -1

B C

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 2 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 1 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

GeoGebra for lærere

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 2 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 3 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Henning Bueie

GeoGebra for lærere

UNIVERSITETSFORLAGET

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 4 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

© Universitetsforlaget 2011 ISBN 978-82-15-01860-7 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel. Forfatteren har mottatt støtte fra Det faglitterære fond. Henvendelser om denne utgivelsen kan rettes til: Universitetsforlaget AS Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo www.universitetsforlaget.no Omslag: Endre Barstad Sats: Laboremus Oslo AS Trykk og innbinding: AIT Otta AS Boken er satt med: Adobe Garamond 11,5/14 pkt. Papir: 100 g Arctic Matt 1,0

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 5 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Innhold

Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapittel 1 Introduksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Teoretisk forankring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Historikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dynamiske tilnærminger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Det induktive prinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Refleksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 12 13 15 17

Kapittel 2 Innføring i GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Generelt om GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Skrivemåte i inntastingsfeltet – syntaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lagring, eksportering og utskrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 21 23

Kapittel 3 Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Punkter og koordinatsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tegning av grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Skalere og zoome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Regne ut funksjonsverdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Verditabell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Finne skjæringspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Finne toppunkt, bunnpunkt og nullpunkt . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 29 30 32 32 35 36

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 6 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Innhold

3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15

Tangenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamiske tilnærminger til funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . Animering av funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Animering av integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andre funksjonstyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 38 39 41 41 44 46 46

Kapittel 4 Konstruksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Punkt, linje og sirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Konstruksjon av 90° vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Konstruksjon av 60° vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Halvering av vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Nedfelling av normal fra et punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Midtnormal til et linjestykke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Avsetting av mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Konstruksjon av parallell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Konstruksjon av trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Konstruksjonsforklaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 51 52 54 55 56 58 60 62 64

Kapittel 5 Dynamisk geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Vinkelsummen i en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Omkrets og areal av rektangel, kvadrat og trekant . . . . . . . . . . 5.3 Pytagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sirkler og trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Definisjon av sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Arealsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Enhetssirkelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Sinuskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Periferivinkelsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 67 69 71 73 74 76 78 79

Kapittel 6 Symmetrier, tesseleringer og perspektivtegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Speilingssymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Rotasjonssymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Parallellforskyvning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 85 87

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 7 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Innhold

6.4 6.5

Tesselering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Perspektivtegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Kapittel 7 Analytisk geometri med dynamiske geometriverktøy . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Avstandsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Parabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Kjeglesnitt, hyperbel og ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 94 96

Kapittel 8 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Parameterfremstillinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 101 103 104 105

Kapittel 9 Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Sentralmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Spredningsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Kvartiler og boksplott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Korrelasjon og regresjonslinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Binominalkoeffisient og binomisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Generering av datamateriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 107 109 110 111 112 114 115 116

Kapittel 10 GeoGebra og eksamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Kunnskapsløftet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Vurderingsprinsipper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Eksamensoppgaver, løsninger og vurderingskriterier . . . . . . . .

119 119 121 122

Kapittel 11 Oppgavedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Utforsking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Koordinatsystem og algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Geometriske figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 129 129 130 132 133

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 8 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Innhold

11.6 Symmetri og speiling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 11.7 Ettpunkts perspektivtegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 11.8 Geometriske figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Vedlegg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Vedlegg 1 â&#x20AC;&#x201C; menyoversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Vedlegg 2 â&#x20AC;&#x201C; noen Latex-kommandoer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Litteraturliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Stikkordregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 9 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Forord GeoGebra for lærere er skrevet som en innføringsbok i den dynamiske matematikkprogramvaren GeoGebra. Boken er skrevet med tanke på fremtidige lærere eller lærere som underviser i matematikk etter gjeldende læreplaner. I tillegg til å presentere programvaren GeoGebra har boken mange eksempler på bruk av det induktive prinsippet i innlæring av begreper. For å gjøre innlæringen så lett tilgjengelig som mulig er boken godt illustrert og delt inn i mange små delkapitler. De fleste delkapitlene har oppgaver knyttet til det presenterte lærestoffet. Siste delen av boken omhandler hvordan de sentrale myndigheter vurderer bruk av denne typen programvare til eksamen. Boken inneholder også en egen oppgavedel som er beregnet på elever i grunnskolen. Jeg har naturlig nok måttet ta noen valg når det kommer til eksempler og teori jeg presenterer. De har blitt tatt på bakgrunn av mange års undervisningserfaring på grunnskole-, videregående og høyskolenivå. Flere har vært behjelpelige med eller hatt betydning for skrivearbeidet. En takk går til professor Markus Hohenwarter som gav meg tillatelse til å skrive denne boken, og til Utdanningsdirektoratet som gav meg tillatelse til å bruke eksempler fra deres eksamensmateriell. Videre vil jeg takke min gode venn og kollega lektor Terje Idland ved Ski videregående og høgskolelektor Audun Rojahn Olafsen ved Høgskolen i Østfold som har vært konsulenter for boken. I tillegg må lektor Ole Reenaas og matematikkmiljøet på Åretta ungdomsskole nevnes for godt samarbeid gjennom mange år. En takk går også til avdelingsadministrasjonen til Øk. Org. ved HIL for god praktisk tilrettelegging i skriveprosessen. Jeg er svært takknemlig overfor min kone, norsklektor Elisabeth Lønning Bueie, som fikk meg til å skrive denne boken, og som i tillegg har fungert som språkkonsulent. Lillehammer, mai 2011 Henning Bueie

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 10 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 11 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 1

Introduksjon

1.1 Teoretisk forankring På første del av 1900-tallet var det behavioristisk læringsteori som var dominerende. Dette ble også grunnlaget for den første bruken av datamaskinene i undervisning, da som «læringsmaskiner» eller hva en i dag kaller «programmert læring» (Fuglestad, 1999). Dette ble kjennetegnet ved at en passende stimulus gav respons som igjen ble forsterket gjennom belønning. Basert på dette prinsippet var mange programmer bygd på drill- og treningsprinsipper (op.cit.). Som en reaksjon på den mekaniske behaviorismen ble fokus etter hvert dreid mot elevenes indre tankeprosesser også i forhold til bruk av datamaskiner. Som i andre fagfelt gjorde kognitiv læringsteori sitt inntog også her. Dette førte til et sterkere ønske om å kunne bruke datamaskiner ut fra et konstruktivistisk læringssyn (op.cit.). Mange begreper har dukket opp i kjølvannet av at en har gått vekk fra synet på datamaskinen som en «øvelse- og drillmaskin». Det ene begrepet er «generic organizer» (Tall, 1989). I dette begrepet ligger tanken om at datamaskinen kan oppleves som et miljø eller en mikroverden for elevene, der de kan manipulere med eksempler og moteksempler av et spesielt matematisk konsept, eller relatert til et system av konsepter. Dørfler (1993) trekker frem at tankeprosessene våre støtter seg til konkrete representasjoner som bilder og/eller fysiske og/eller mentale modeller. Han trekker frem at IKT kan gi den enkelte hjelp til å konstruere og bruke de mentale modellene. Da blir de kognitive modellene overført til systemet bestående av brukeren, datamaskinen og konteksten rundt, og er mentale modeller distribuert over kognitive verktøy. Dørfler (op.cit.) ser også faren med dette og trekker frem at konkrete mentale modeller kan virke begrensende for tenkningen. Evnen til å kunne bytte mellom modeller blir derfor viktig. Videre så vil en PC

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 12 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 1

aldri inneholde alle egenskapene til et begrep, og fleksibilitet i modellbruken blir derfor viktig. Konkrete modeller omtaler Dørfler (op.cit.) som prototyper. Han mener at det er viktig å utstyre elevene med prototyper, og nevner for eksempel at geometriske figurerer er gode eksempler på det. Dersom læreren tegner et kvadrat, vil det være en prototype for elevene, men prototypens kvalitet er avhengig av å se bort ifra det spesielle. Dette er ikke bestemt av objektet i seg selv, men trenger støtte utenfra, noe som for eksempel GeoGebra kan gi.

1.2 Historikk Bruk av datamaskinen i matematikkfaget har av mange blitt forbundet med behavioristiske stimuli–respons-tilnærminger, der datamaskinen har blitt sett på som et velegnet verktøy for å stille spørsmål til elevene og respondere ved å gi tilbakemelding på elevenes svar. Men dynamiske programvarer i matematikkfaget har vært i bruk i flere tiår. Denne typen didaktiske hjelpemidler har ikke slått særlig gjennom i Norge før nå i de senere årene. Et av de første programmene som hadde et dynamisk tilsnitt, var Seymour Paperts program LOGO. Det ble utviklet på 60-tallet og baserte seg på at elevene skulle gi kommandoer til en skilpadde i form av å oppgi faktorer som antall steg og retning, for så i etterkant å kunne se hvordan skilpadden på skjermen beveget seg i forhold til kommandoene. På 80-tallet startet utviklingen av Cabri i Frankrike. Målet var å lage et program, en slags skisseblokk, der elevene kunne undersøke egenskaper og utforske sammenhengene mellom geometriske objekter. Det var flere franskmenn som var involvert i utviklingen av programvaren, men de sentrale aktørene må kunne sies å være Jean-Marie Laborde, Philippe Cayet, Yves Bauluc og Franck Bellemain. I 1988 ble Cabri første gang brukt i undervisningen, og i desember samme år ble programmet publisert. Etter publisering har det blitt utviklet videre, og i den grad det er i bruk i dag, så er det Cabri II. Dagens utgave av konstruksjonsverktøyet har blitt brukt i geometriundervisningen i grunnskolen, på videregående samt universitets- og høgskolenivå. I tillegg så har det blitt brukt som et verktøy i forskningsarbeid. I den senere tid har også Cabri 3D kommet ut på markedet. Det fins en rekke konstruksjonsprogrammer som gir mulighet for å utforske geometrien, og å eksperimentere og studere egenskaper ved geometriske figurer. Eksempler på slike programmer utover Cabri er The Geomter’s Sketchpad,

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 13 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Introduksjon

GeoExplorer, Geometrix, GeoNext, The Geomtery Supposer-serien, Wingeom og GeoGebra. Graftegningsverktøy har det eksistert et stort spekter av i mange tiår. I dag er både programmene Graph og WinPlot fritt tilgjengelige og i bruk. I Norge er det GeoGebra som de senere årene har markert seg tydeligst som dynamisk programvare. Programmet har i hovedsak blitt utviklet det siste tiåret av den tyske professoren Markus Hohenwarter og en gruppe programmerere. Navnet GeoGebra har sitt opphav i Geometry og Algebra. Programmet har svært mange kvaliteter. Antageligvis så er hovedårsaken til at programmet har fått såpass stor utbredelse så fort, at det er lett tilgjengelig og gratis. I tillegg så har Norsk GeoGebra-institutt (NGI) ved NTNU i Trondheim vært flinke til å formidle kurs og å videreutdanne ressurspersoner. Senteret drifter også nettstedet www.geogebra.no som inneholder mye opplæringsmateriell. GeoGebra fins tilgjengelig på en rekke språk. I Norge er det lansert både i en nynorsk- og bokmålsversjon. GeoGebra kombinerer egenskapene til den dynamiske geometriprogramvaren og egenskapene til graftegningsverktøy. En av programmets mange styrker er lav inngangsterskel. I tillegg har programmet nå etter hvert fått anvendelser innen både funksjonslære, geometri og statistikk, og da naturligvis også i krysningspunktene mellom disse fagfeltene. Programmet er i stadig utvikling, og det jobbes både med å få integrert CAS (ventet i august 2011) og en egen versjon som har 3D-egenskaper.

1.3 Dynamiske tilnærminger When we say we educate children it sounds like something we do to them. That’s not the way it happens. We don’t educate them. We create contexts which they will learn (Papert, sitert i Pease, 1989).

En av de klareste fordelene med dynamisk geometriprogramvare er de dynamiske egenskapene til konstruksjonene man kan lage i for eksempel GeoGebra. Det er spesielt i forhold til innlæring av begreper disse fordelene kommer klart frem. Fuglestad (1999) begrunner dette med at bare å presentere definisjoner ikke er egnet til å lære elevene nye begreper: Det trengs erfaringer, utforsking og eksperimentering med sammenhenger slik at begrepene og navn på dem oppleves meningsfulle. En lekefase der elevene gjør erfaringer gir nyttig bakgrunn før definisjoner innføres.

Fuglestad trekker også frem at elevene både må få mulighet til å utforske eksempler som faller inn under definisjonen, og de som faller utenfor. Det bør

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 14 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 1

stimuleres til å danne hypoteser og utforske videre. Misoppfatninger utfordres gjennom ny videre eksperimentering. Johnsen (1995) trekker også frem det dynamiske aspektet. Nå kan elevene få mulighet til å utforske euklidsk geometri på datamaskinen, og med litt hjelp gjenoppdage viktige teoremer. Dette vil senere kunne gi grunnlag for formelle bevis. Geometri bør presenteres slik at det logiske aspektet vektlegges, og da kan elevene få hjelp til å formulere sine egne «bevis» og arbeide som «matematikere» (op.cit.). Flere forskere har beskjeftiget seg med utforskningsaspektet. Goldenberg, Cuoco og Mark (1998) trekker også frem dette som viktig i begrepsinnlæringen. Spesielt elevenes muligheter til å høste seg erfaringer med invarianter blir fremhevet, men før de kan begynne å lete etter invarianter i geometriske konstruksjoner, må elevene ha utviklet evnen til å se konstruksjonens enkelte bestanddeler. «They must first develop the ability to take apart in the mind, and see the individual elements» (op.cit., s. 7). De dynamiske egenskapene til denne typen programvare blir også satt i høysetet av Presmeg (1999). Et diagram representerer bare et enkelttilfelle, men for at elevene skal ha mulighet til å generalisere, må de få erfaring fra flere tilfeller. En studie gjennomført på ungdomsskoleelever viste at dynamiske egenskaper var svært effektive i så henseende. Laborde (1995) trekker frem tre aspekter ved den dynamiske utforskningen av geometriske figurer. Det ene aspektet er at elevene kan bruke det at alt henger sammen i konstruksjonen som et kriterium for å vurdere om den er riktig gjort. Det andre er utforskning av geometriske figurer ved å trekke i dem, og på denne måten for eksempel oppdage at et kvadrat er et spesialtilfelle av et rektangel. Det siste aspektet er muligheten for å sjekke validiteten av konstruksjonene i etterkant. For eksempel så kan elevene sjekke at konstruksjonen av en rombe er riktig, ved å kontrollere at diagonalene i romben forholder seg normalt også når figuren blir dratt i, selv om romben ikke ble konstruert med utgangspunkt i denne egenskapen. Selv om den dynamiske egenskapen til GeoGebra er svært tilgjengelig, er det likevel et minimum av ferdigheter som må beherskes før en kan ta egenskapen i bruk for fullt. We know that to successfully explore a geometry problem with dynamic software, students must be able to verify, conjecture, generalise, communicate, prove and make connections (Chazan, 1990, s. 630).

Chazan (op.cit.) viste i sin studie at elevene rett og slett må lære å forske. Dette medfører å lære, å legge merke til, å stille spørsmål samt å kunne undersøke sammenhenger.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 15 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Introduksjon

En annen som ser utfordringer med det dynamiske aspektet i dynamisk programvare, er Laborde (1992). Hun gjør et poeng av at en visualisering av en dynamisk prosess mens elevene er passive, er til liten hjelp. Det er først når forandringen analyseres aktivt av elevene, at geometriske kunnskaper oppnås. Johnsen (1995) deler også dette synet. Hun poengterer også at elevene selv må begrunne, resonnere, navngi egenskaper og bevise. Chrysanthou (2008) trekker i sin masteroppgave frem læreren som en faktor i bruk av digitale verktøy. Hun gir et eksempel på hvordan GeoGebra kan brukes til utforskning av konstanten π i en barneskoleklasse, og poengterer at IKT ikke er et mål i seg selv, men må brukes på riktig måte for at det skal fremme læring. For å få til dette må lærerne beherske verktøyet.

1.4 Det induktive prinsippet Enkelte refererer til den induktive og deduktive metoden som måten læreren underviser på, mens andre refererer til måten elevene lærer på. I praksis dreier det seg om begge deler (Imsen, 1998). Imsen (op.cit.) gir følgende forklaring på hva som ligger i en induktiv prosess: Induktiv framgangsmåte innebærer at elevene først får presentert eksempler på fenomenet. Ut fra eksemplene skal elevene selv, med mer eller mindre hint fra læreren, trekke ut (abstrahere) den felles relasjonen og generalisere gjennom formulering av regelen (op.cit., s. 192).

En annen definisjon er: Induction can be defined as the process whereby regularities or order are detected and, inversely, whereby apparent regularities, seeming generalizations, are disproved or falsified. To put it more generally, one can state that the process of induction takes place by detecting commonalities through a process of comparing. In this context, comparing means stating similarities and differences (Klauer, 1996, s. 37).

En lignende forklaring av begrepet som gis, er at den induktive metoden er undervisningsmetoden som består i at man lar elevene slutte seg til regler og allmenne begreper ut fra fakta og iakttagelser (Solvang, 1992). Elevene plasseres i en problemsituasjon der løsningen fører til ny kunnskap på et mer abstrakt nivå. Det blir her viktig at alle elevene i gruppen, både de sterke, middels og svake, får mulighet til å være aktive i den induktive fasen (op.cit.).

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 16 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 1

Induktiv metode

Deduktiv metode

Konkrete situasjoner

Formulering av regelen

Abstrahering og generalisering

Forklaring og eksempler

Formulering av regelen

Anvendelse i oppgaver (Imsen, 1998)

Figuren viser hvilke nivåer en induktiv prosess går gjennom før den avsluttes. Den induktive prosessen starter med at elevene får presentert en del konkrete situasjoner, før de så på bakgrunn av disse abstraherer og generaliserer. Elevene kan så forsøke å formulere en regel. Mange har høstet seg erfaringer med bruk av induktive arbeidsmåter. Bjuland (1998) trekker frem at det er viktig at det settes av god tid til induktive arbeidsformer dersom dette skal benyttes. Han poengterer også at selve begrepsinnlæringen er en tidkrevende prosess. Imsen (1998) ser både svakheter og styrker med den induktive metoden. For det første mener hun at den induktive metoden et stykke på vei tilfredsstiller kravene om at elevene skal være aktive, oppleve problemer og finne ut av tingene på egen hånd. Det andre hun viser til, er at det må settes av god tid hvis en skal bruke induktive arbeidsformer i stor utstrekning. Hun trekker også frem at det ofte bare er de flinkeste elevene som kommer frem til den formulerte regelen, resten skjønner ofte ikke hva den går ut på. Ferrara mfl. (1986) presenterer resultater fra forskning som underbygger det samme. Forskning på elevers bruk av avkreftelser og bekreftelser under induktive resonnementer (Butera, 2005) viser at når en kilde med høy status kommer med utsagn, er mengden avkreftelser veldig lav. Når en kilde med lav status kommer med utsagn, er mengden forslag veldig stor og antallet avkreftelser tilsvarende stort. Den naturlige motparten til den induktive metoden er den deduktive metoden. Den kjennetegnes ved at den har sitt utgangspunkt der den induktive metoden slutter, nemlig med formulering av regelen. Deretter er det vanlig å gi elevene en del oppgaver og eksempler på hvordan regelen brukes, før elevene så selv får

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 17 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Introduksjon

bruke den på konkrete tilfeller. Induktive og deduktive prosesser går ofte hånd i hånd. Med det menes at en kan oppleve at induktive prosesser der en har kommet frem til en regel, følges av deduktive prosesser der regelen anvendes. Et eksempel som billedliggjør forskjellen mellom det induktive og det deduktive prinsippet, kan være den berømte Fibonacci-tallfølgen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … En oppgave i det induktive prinsippets ånd kunne være: «Hva blir det neste tallet i tallfølgen? Formuler en forklaring på utviklingen i tallfølgen med dine egne ord.» For hvert nytt tall elevene får se i tallfølgen, blir det lettere for dem å finne et system i tallutviklingen. Det deduktive prinsippet baserer seg gjerne på at en presenterer en regel, formel eller sammenheng for elevene, for så å be dem om å anvende den på og sjekke om den stemmer med eksempler. I forhold til Fibonacci-tallfølgen og det deduktive prinsippet ville et spørsmål kunne være: «Du finner et tall i tallfølgen ved å legge sammen de to foregående tallene. Sjekk at dette stemmer og finn det neste tallet i tallrekken» (Bueie, 2010). Imsen (1998) trekker frem følgende aspekter ved den deduktive metoden. Fordelene er at det ofte er mindre tidkrevende, og i større grad gir mulighet for å bygge kognitive bruer gjennom verbal formidling. Det problematiske er at det lett kan gå over i mekanisk pugging, slik at det ikke oppnås forståelse og spenningsmomentet i undervisningen lett forsvinner, og elevene blir sittende passive og reseptive.

1.5 Refleksjoner Gjennom denne boken vil bruksområder for GeoGebra bli presentert. Det vil bli vist hvordan elevene kan tegne grafer bare ved å skrive funksjonsuttrykket rett inn i et formelvindu. Kritikere av dette vil kanskje kunne hevde at det er med på å passivisere elevene og gjøre dem ute av stand til å tegne grafer på papir. Dersom en rendyrker denne måten å tegne grafer på i en innlæringsfase, så kan det hende kritikerne har rett. Digitale graftegningsverktøy bør brukes i kombinasjon med tradisjonelle metoder i innlæringsfasen. Men det å kunne tegne grafer digitalt gjør også at en raskere kan komme seg over i en fase der en kan bruke grafen og gjennomføre drøftinger i forhold til den. Graftegning på papir er tidkrevende og ofte unøyaktig. Det er viktig at elevene også rekker å bruke grafen til praktisk problemløsning, slik at en unngår at graftegning blir en instrumentell aktivitet uten praktiske anvendelser. Innen klassisk skolekonstruksjon har også GeoGebra fine anvendelser. Retningslinjene for vurdering av konstruksjonsoppgaver sier at de vil bli vurdert på

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 18 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 1

samme måte som når konstruksjoner er gjort med passer og linjal. Noen vil kanskje hevde at det virker mer tungvint å konstruere klassisk med GeoGebra på grunn av alle hjelpelinjene og hjelpesirklene som kommer frem. Dette er det mye riktig i, men dersom en lærer elevene å skjule disse hjelpelinjene/sirklene underveis, vil det fremstå som veldig likt å konstruere på papiret og digitalt, bortsett fra at GeoGebra viser hele sirkelen i konstruksjonen. Det er ikke sikkert at dette er noen ulempe, for mange elever konstruerer med passer uten noen spesiell forståelse av at de utnytter sirkelens egenskaper når de konstruerer. Det dynamiske aspektet gjør dynamisk programvare til et kraftfullt didaktisk instrument både i forhold til innlæring av nye begreper, og i forhold til å forstå problemstillinger. Denne muligheten, som blir grundig presentert i boken, gir en ny innfallsport til mye matematikk der det før ikke var så lett å begrunne og argumentere for elevene på en slik måte at de forstod. Ta for eksempel Pytagoras’ setning. Tenk å kunne demonstrere alle tilfellene av a 2 + b2 = c2 i stedet for å måtte nøye seg med å illustrere triplene 3, 4 og 5 eller eventuelt 6, 8 og 10, som det i mange tilfeller blir til at en rekker før en begynner å regne. Det er klart at en demonstrasjon av alle tilfellene av a 2 + b2 = c2 ikke vil kunne fungere som et bevis i matematisk forstand, men som en illustrasjon og et kraftig induktivt verktøy fungerer det svært godt. Det samme kan vi tenke oss ved innlæring av sammenhengen mellom det generelle lineære uttrykket y = a ⋅ x + b og grafen. Hvilke konsekvenser har endringer av verdiene til a og b for utseendet på grafen? Tradisjonelt har kanskje læreren lagt pekestokken eller tavlelinjalen på et koordinatsystem tegnet opp på tavlen for å vise at endringer av a varierer stigningstallet, og endringer av b flytter skjæringen med yaksen. Men nå kan altså også dette demonstreres dynamisk, og elevene har mulighet til å gjøre disse endringene selv på sin egen datamaskin.

Oppgave En lærer som ikke har erfaring med bruk av datamaskin i matematikkfaget ber deg fortelle litt om noen fordeler og ulemper ved bruk av dynamisk programvare. Hvilke momenter vil du nevne?

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 19 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 2

Innføring i GeoGebra

2.1 Generelt om GeoGebra GeoGebra kan lastes ned fra Internett på www.geogebra.org. Her får du mulighet til å velge om du vil kjøre GeoGebra som en applikasjon i nettleseren, eller installere programmet lokalt på maskinen. Dersom du kjører GeoGebra som en applikasjon, blir det ikke installert. Webstart kan også vanligvis ta en del lengre tid, så det er å anbefale å installere programmet på datamaskinen. Skjermbildet i GeoGebra består av fem hovedområder.

Verktøylinje

Algebrafelt

Inntastingsfelt

Grafikkfelt

Regneark

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 20 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 2

Algebrafeltet viser egenskapene til objektene som er i grafikkfeltet, i tillegg vil verdier vi tilordner variabler også komme opp her. Dersom vi for eksempel tegner en funksjon, vil funksjonsuttrykket komme opp i algebravinduet. I grafikkfeltet vises punkter, linjer, grafer og diagrammer. Vi har ofte mulighet til å ta tak i objektene i grafikkfeltet ved å dra i dem med muspekeren. Da kan vi manipulere direkte i figurene våre. Regnearkvinduet fungerer ganske likt et vanlig regneark, men styrken til denne delen av programmet er nok først og fremst som et verktøy i relasjon til et av de andre skjermvinduene. I inntastingsfeltet skrives tall, variabeltilordninger, utregninger, formler, kommandoer med mer inn. Merk at mot høyre i inntastingsfeltet er det en liten meny hvor en kan velge spesielle symboler, funksjoner eller kommandoer. Verktøylinjen inneholder en knapperad der vi har mulighet til å velge en rekke forskjellige verktøy, for eksempel plassere punkter eller tegne en linje. Merk at dersom du klikker på den lille trekanten nederst i høyre hjørne på knappene, så får du frem en undermeny som inneholder enda flere valgmuligheter. To andre knapper på verktøylinjen som det kan være greit å være klar over, er symbolene for angre og gjenopprett. Du finner dem tilgjengelige helt til høyre på verktøylinjen. Over verktøylinjen finner du en menylinje som gir muligheter som lagre, åpne, skrive ut, eksportere og lignende. På denne verktøylinjen har vi også mulighet til å velge innstillinger. På figuren vises hvordan en endrer innstillingen fra to desimaler til tre.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 21 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Innføring i GeoGebra

En annen innstillingsmulighet som er svært viktig å kjenne til, spesielt når det kommer til store konstruksjoner, er muligheten en har for å slå av automatisk punktbenevning.

Oppgave Gjør deg kjent med verktøylinjen.

2.2 Skrivemåte i inntastingsfeltet – syntaks Inntastingsfeltet har stort sett de samme krav til skrivemåte som gjelder for både regneark og vanlige kalkulatorer. Det vil si at multiplikasjonssymbolet skrives som asterisk: *, mens divisjonssymbolet skrives som skråstrek: /. Desimalskilletegnet komma (,) er i GeoGebra erstattet med punktum. Dette fordi at komma brukes som skilletegn i punktkoordinater, mellom parametere i kommandoer og mellom elementer i lister. Skal vi for eksempel regne ut

2,1⋅ 3, 7 med GeoGebra, taster vi inn dette i inntastingsfeltet. 1, 4

Resultatet av utregningen kommer da opp i algebrafeltet og tilordnes variabelen a.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 22 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 2

Gjør vi flere utregninger, så vil de tilordnes variabelen b, og så videre. Dette forutsatt at variabelnavnene er ledige. Potenser markeres med cirkumflex: ^. Det betyr at dersom vi skal regne ut 3 5 , så taster vi inn 5^3. Kvadratrot kan vi taste inn på to måter. Skal vi regne ut kvadratroten av 81, så kan vi enten skrive inn sqrt(81) eller vi kan benytte m

oss av sammenhengen a n = n a m og dermed skrive inn 81^(1/2). Merk at parentesen må være med. For ordens skyld kan en nevne at resultatet av utregningene i begge tilfellene skal bli 9. Parenteser har en viktig funksjon for å angi regnerekkefølge. (2+3)^2 vil gi 25 som svar, da det inni parentesen vil bli regnet ut først, for så deretter å bli opphøyd i andre. Merk også at –1^2 er noe annet enn (–1)^2. –1^2 gir –1 som resultat og 2+7 (–1)^2 gir 1 som resultat. For utregning av brøken så må en taste inn 1+ 2 2+3 5+ 2 (2+7)/(1+2). Dersom det er snakk om å regne ut , må dette tastes + 3−1 6 − 2 inn som (2+3)/(3–1)+(5+2)/(6–2). 2 Innskriving av brudne brøker som 3 gjøres slik: (2/3)/(5/7). 5 7 Store tall kan tastes inn på standardform. Dette er arbeidsbesparende i en del sammenhenger. 2,4 millioner kan raskt tastes inn slik: 2.4E6. Da kommer tallet 24000000 opp i algebravinduet. GeoGebra har innbygd en rekke funksjoner som for eksempel logaritmer og trigonometriske funksjoner. Disse finner du tilgjengelig i menyen til høyre for inntastingsfeltet. Det er også mulig å taste inn disse direkte. Skal en for eksempel finne cosinusverdien til 45°, så taster en inn cos(45°). Gradtegnet er viktig å ta med for å angi at vinkelen er angitt i grader, for grunninnstillingen i GeoGebra er radianer. Skal vi gå motsatt vei, slik at vi står med for eksempel cosinusverdien 0,5, må vi taste acos(0.5)/°. Igjen må gradsymbolet være med for å angi at vi vil ha svaret oppgitt i grader.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 23 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Innføring i GeoGebra

Vi kan også utføre enkel faktorisering. Dette gjøres ved å skrive inn «faktoriser[3x+9]» eller «faktoriser[x^2+6x+9]». Merk at det kun er mulig å faktorisere uttrykk med x i på denne måten. Motsatt, altså fra faktorisert uttrykk over til polynom, kan vi gå ved for eksempel å bruke kommandoen «polynom[(x+3)^5]». Merk at det også er mulig å henvise direkte til en funksjon ved for eksempel å skrive «polynom[f]», dersom det er funksjonen «f(x)» vi ønsker å skrive om.

Oppgave Bruk formellinjen og regn ut a)

(2 + 3 ) 2

b) −22 + ( −2 )

2 + 4 4 −1 − 2 3+ 2 d) Vinkelen når cosinusverdien er ≈ 0,6. c)

Faktoriser e) x 2 + 2 x + 1

2.3 Lagring, eksportering og utskrift Når vi har gjort en oppgave eller laget ferdig en modell i GeoGebra, kan vi velge å lagre den, ta en utskrift eller eksportere en bildefil eller eventuelt lage en webapplet av den. La oss ved et eksempel se på hvordan dette enkelt kan gjøres. Vi lager en modell som skal illustrere sammenhengen mellom en sirkels radius og sirkelens areal. Det første vi gjør er å ta bort aksekorset og tegne inn en sirkel i grafikkfeltet. Aksekorset tas bort ved å høyreklikke i grafikkfeltet og markere ut ‘Akser’. Deretter måler vi radius ved å velge måleverktøyet gjennom å klikke på sentrum og etterpå sirkelperiferien.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 24 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 2

Da vil radius komme opp i tallform på skjermen. Høyreklikk på avstand AB i algebrafeltet, velg ‘Gi nytt navn’ og skriv inn «radius». På menyen der vi fant avstands- og lengdemålingsverktøyet, ser en at vi også har mulighet til å måle areal. Dette gjøres ved å velge arealmålingsverktøyet og klikke på sirkelperiferien. Da vil arealet komme frem både i grafikkfeltet og i algebrafeltet. Merk at en nå kan ta tak i enten punkt A eller B og endre på sirkelens plassering og sirkelens størrelse. Dette vil få direkte konsekvens for sirkelens areal. I tillegg til disse opplysningene så ønsker vi en tekst på skjermen som forteller den som skal se på denne modellen, at det er mulig å dra i punkt A eller B. Dette kan vi gjøre ved å velge ‘Sett inn tekst’.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 25 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Innføring i GeoGebra

Når teksten er satt inn, slår vi av visningen av algebravinduet.

Det endelige resultatet kan da for eksempel se slik ut.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 26 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Kapittel 2

For å lagre denne filen velger du Fil → Lagre og kaller filen det du måtte ønske. Merk at GeoGebra-filer får filetternavnet «.ggb». Utskrift tar du ved å velge Fil → Forhåndsvis utskrift → Skriv ut. Dersom en ønsker å lime inn modellen en har laget i for eksempel Word, velger en Fil → Eksporter → Grafikkfeltet til utklippstavlen. Da blir det som er i grafikkfeltet liggende på utklippstavlen, og det kan limes inn i Word på vanlig måte. Dersom en kun er interessert i et utsnitt av grafikkfeltet, markerer en først utsnittsområdet, før en så går frem på tilsvarende måte. Noen ganger kan det være formålstjenlig å gjøre modellen tilgjengelig for andre på Internett. Da velger en Fil → Eksporter → Dynamisk ark som webside. Da blir du spurt om å skrive inn en passende tittel og hvilket navn webfilen skal ha. Det er også nødvendig å gå inn i arkfanen ‘Avansert’ og markere ‘ggb Fil & jar Filer’. Når vi nå eksporterer, vil GeoGebra lagre modellen som en html-fil, og i tillegg lagre alle filene som må være med. Modellen kan nå legges ut på Internett eller ut på en læringsplattform som Fronter eller It’s learning. Alle filene som blir produsert, må være med i overføringen.

Oppgave Lag en modell som viser sammenhengen mellom en sirkels diameter og omkrets. Lagre modellen, ta utskrift av den og forsøk å eksportere den som en webapplet. Eksporter den gjerne til en læringsplattform.

0000 101410 GeoGebr#5BBFEC.book Page 2 Tuesday, July 19, 2011 2:11 PM

Henning Bueie

Dette er en nyttig bok for lærerstudenter og lærere som underviser i matematikk etter gjeldende læreplaner.

ISBN 978-82-15-01860-7

GeoGebra G e G b for llærere eo r re

Henning Bueie

GeoGebra for lærere 1 3°

. 397 d

-1 -1

B C