§ 5. Tóm tắt Chương 2
65
−~2 ∆θ,ϕ ψ(θ, ϕ) = L2 ψ(θ, ϕ).
(2.82)
Ở đây ta chưa giải phương trình này (xem cách giải ở chương VI) mà chỉ đưa ra kết quả về trị riêng và hàm riêng của nó: b) Trị riêng:
√ ℓ(ℓ + 1),
(2.83)
ψ(θ, ϕ) = Yℓm (θ, ϕ) = Pℓm (cos θ)eimϕ ,
(2.84)
L2 = ~2 ℓ(ℓ + 1) hay L = ~ trong đó ℓ có các giá trị khả dĩ là 0, 1, 2, 3... c) Hàm riêng:
trong đó Pℓm (cos θ) được gọi là đa thức Legendre liên kết (xem phần phụ lục). 4.5
HỆ THỨC GIAO HOÁN GIỮA CÁC TOÁN TỬ
Các hệ thức giao hoán cần nhớ (a) [ˆ xj , xˆk ] = 0
(b) [ˆ pj , pˆk ] = 0
(c) [ˆ pj , xk ] = −i~δjk ˆ j , xˆk ] = i~ϵjkℓ xˆℓ (e) [L
(d) [f (x), pˆx ] = i~ ∂f∂x(x) ˆ j , pˆk ] = i~ϵjkℓ pˆℓ (f) [L
ˆj, L ˆ k ] = i~ϵjkℓ L ˆℓ (g) [L
ˆj, L ˆ 2] = 0 (h) [L
Trong các hệ thức trên ϵjkℓ được gọi là tensor Levi-Civital. Tensor này có giá trị bằng 0 khi có ít nhất 2 chỉ số trùng nhau và có giá trị bằng ±1 khi 3 chỉ số phân biệt nhau. Cụ thể như sau: { +1, khi các hoán vị của j, k, ℓ tuân theo chiều kim đồng hồ ϵjkℓ = −1, khi các hoán vị của j, k, ℓ tuân theo chiều kim đồng hồ §5
TÓM TẮT CHƯƠNG 2
• Khái niệm xác suất trong phép đo một đại lượng động lực là rất quan trọng để mô tả tính chất thống kê trong cơ lượng tử. Xác suất để đo đại