54
Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử
trong đó α là một số phức. ˆ = ∑ an Aˆn là (4) Nếu Aˆ là Hermite thì khai triển của hàm toán tử F (A) n
Hermite nếu và chỉ nếu hệ số an là thực. 3.8
TOÁN TỬ NGHỊCH ĐẢO VÀ TOÁN TỬ ĐƠN NGUYÊN
a) Toán tử nghịch đảo: Ta gọi Aˆ−1 là nghịch đảo của toán tử tuyến tính Aˆ nếu ta có hệ thức ˆ Aˆ−1 Aˆ = AˆAˆ−1 = I,
(2.49)
trong đó Iˆ là toán tử đơn vị, đó là phép toán không làm thay đổi hàm khi nó ˆ tác dụng: I|ψ⟩ = |ψ⟩. ˆ −1 là nghịch đảo của b) Thương của 2 toán tử: Giả sử có tồn tại toán tử B ˆ thương của hai toán tử là: B, ˆ Aˆ Iˆ ˆ −1 và I Aˆ = B ˆ −1 A. ˆ = Aˆ = AˆB ˆ ˆ ˆ B B B
(2.50)
ˆ thì tương đương với nhân Aˆ Như vậy, chia một toán tử Aˆ cho một toán tử B ˆ −1 . Nói chung AˆB ˆ −1 ̸= B ˆ −1 A. ˆ cho B c) Toán tử đơn nguyên: Một toán tử Uˆ được gọi là đơn nguyên (unitary) ˆ nếu nghịch đảo của nó bằng liên hợp của nó: Uˆ † = Uˆ −1 hay Uˆ Uˆ † = Uˆ Uˆ −1 = I. Ta có thể chứng minh rằng tích của hai toán tử đơn nguyên cũng là toán tử đơn nguyên: ˆ hay (Uˆ Vˆ )† = Thật vậy: (Uˆ Vˆ )(Uˆ Vˆ )† = (Uˆ Vˆ )(Vˆ † Uˆ † ) = Uˆ (Vˆ Vˆ † )Uˆ † = Uˆ Uˆ † = I, (Uˆ Vˆ )−1 . 3.9
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ HERMITE
Toán tử Hermite khảo sát trong cơ học lượng tử có các tính chất sau: a) Tính chất 1: Trị riêng của toán tử Hermite là thực. Chứng minh: Ta xét toán tử Aˆ có trị riêng ai (không suy biến) ứng với hàm