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Nota de Aceptaci贸n: ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

__________________________________ Firma del Presidente del Jurado

__________________________________ Firma del Jurado

__________________________________ Firma del Jurado

Armenia, 29 de Septiembre de 2005


Texto de la Dedicatoria _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ __________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ __________________________________________


AGRADECIMIENTOS _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________


35(6(17$&,21 Nos es muy grato presentarles a los estudiantes y profesionales de topografía el presente texto, que es el resultado de un gran trabajo de consulta y compilación bibliográfica de la información dispersa en distintos medios como libros, manuales e Internet, sobre el área de planimetría. En este libro recogimos la experiencia como estudiantes del programa de topografía de la Universidad del Quindío y el conocimiento de un gran profesional como lo es el topógrafo y fotogrametrista GILBERTO GÓMEZ GÓMEZ; que nos permite tener una visión de las necesidades del estudiante de dicho programa y de otros de la misma institución. Para hacer que este sea amplio en conceptos, criterios y conocimientos de las técnicas propias de los procesos planimetritos. De esta forma la finalidad del documento es servir de facilitador, apoyo y herramienta de mejoramiento de las dinámicas de enseñanza y aprendizaje de dicha materia. Ya que pensamos que el desarrollo lógico y claro de la sustentación teórica, con ejemplos prácticos y una descripción apropiada de las técnicas de trabajo, lograra aclarar y afianzar las nociones básicas adquiridas, haciéndolo una alternativa de consulta muy interesante para el estudiante. Así pues en el texto se pueden encontrar todos los temas necesarios para la comprensión de la planimetría; divididos es 8 capítulos. El capítulo 1(Preámbulo) en el que están aquellos conocimientos de matemáticas esenciales para entender las ideas relacionadas con la planimetría. El capítulo 2 (Medidas y Errores) contiene la explicación de la teoría de errores a través de una perspectiva sencilla, apropiada al nivel del estudiante. El capítulo 3 (Teodolito) se encuentran las características de composición, funcionalidad y las nociones de manejo de los tránsitos. Capítulo 4 (Ángulos) allí se tienen la tipologia de ángulos, sus relaciones y la manera de medirlos. Capítulo 5 (Distancias) en el encontramos la clasificación de las distancias y los diversos sistemas de medición empleados en los trabajos planimetricos. El capítulo 6 (Poligonales) allí se reúnen los conocimientos de geometría para explicar la clasificación de las poligonales topográficas; en este también encontramos la explicación teórica de los procedimientos y criterios del levantamiento de poligonales con transito. Capítulo 7 (Levantamientos) en el están las descripciones de los procesos técnicos de trabajo en levantamientos planimétricos y la forma lógica de llevar a cabo cada trabajo para obtener los mejores resultados. Capítulo 8 (Cálculos) están las explicaciones imprescindibles de los cálculos que permiten llevar la información obtenida en campo a una serie de datos que pueden ser utilizados en la localización de proyectos constructivos, medición de tierras, etc.


&217(1,'2

35(6(17$&,21 35($0%8/2

*HRPHWUtD 1.1.2 El Punto 1.1.3 La Línea 1.1.4 Recta – Segmento 1.1.5 Ángulos 1.1.6 Triángulos 1.1.7 Cuadriláteros 1.1.8 Polígonos 1.1.9 Circunferencias 1.1.10 Áreas $OJHEUD 1.2.1 Función de primer grado 1.2.2 Función cuadrática – resolución de ecuaciones 1.2.3 Sistemas de ecuaciones *HRPHWUtD$QDOtWLFD 1.3.1 Coordenadas polares 1.3.2 Coordenadas rectangulares o cartesianas 1.3.2.1 Distancia entre 2 puntos 1.3.3 Línea recta 1.3.3.1 Posición relativa entre dos rectas 1.3.3.2 Angulo entre líneas 1.3.4 Cónicas 1.3.5 Coordenadas rectangulares en el espacio 7ULJRQRPHWUtD3ODQD 1.4.1 Longitud de arco 1.4.2 Funciones trigonometricas 1.4.2.1 Función seno 1.4.2.2 Función cóseno 1.4.2.3 Función tangente 1.4.5 Identidades trigonometricas básicas (VFDODV

SiJV

1 1

0(','$6<(5525(6  2.1 Comparaciones cualitativas 2.2 Comparaciones cuantitativas

SiJV 37

2.3 Concepto de Medida 2.3.1 Propiedades de una Medida 2.3.2 Formas de Medir 2.3.2.1 Contar 2.3.2.2 Medición directa 2.3.2.3 Medición indirecta 2.4 Distribución Normal

16

2.5 Precisión y Exactitud 2.5.1 Precisión 2.5.2 Exactitud 2.6 Incertidumbre de las medidas 2.7 Tipos de Errores: 2.7.1 Sistemáticos 2.7.2 Aleatorios

17 2.8 Causas de Errores: Naturales Instrumentales Personales 2.9 Error Real 2.10 Error Relativo 2.11 Cifras Significativas 2.12 Estimación de una medida directa 2.13 Valor más Probable 29

32

2.14 Determinación del EMC 2.14.1 Aplicaciones de Error Medio Cuadrático en topografía 2.14.1.1 Observación igual Valor de Certeza: Error Serie Error Medio 2.14.1.2 Observación Diferente Valor de Certeza: Media Ponderada EMP

52


7(2'2/,72  3.1 Disposición de los ejes del tránsito 3.2 Base nivelante 3.3 Nivel tubular 3.4 Sensibilidad del nivel tubular

SiJV 55

3.5 Alidada o montante 3.6 Limbos 3.6.1 Vernier o nonio 3.7 Sistemas de fijación o movimiento lento 3.8 Sistemas de compensación vertical 3.9 Sistemas de lecturas de limbos 3.9.1 Lectura simple 3.9.2 Lectura por coincidencia 3.9.3 Microscopio a escala 3.9.4 Microscopio con micrómetros

4.3 Ángulos verticales 4.4 Medición de ángulos 4.4.1 Medición utilizando el tránsito 4.4.1.1 Medida sencilla 4.4.1.2 Método de repeticiones 4.4.1.3 Método de reiteraciones

 ',67$1&,$6  5.1 Métodos medición de Distancias Horizontales 5.1.1 Medición a pasos 5.1.2 Medición con odómetro 5.1.3 Medición con cinta Alineación Verticalidad Ubicación de puntos Anotaciones Cintas usadas actualmente 5.1.4Mediciones Horizontales en terreno inclinado

3.10 Telescopio 3.10.1 Ocular 3.10.2 Retícula 3.10.3 Sistema de enfoque 3.10.4 Objetivo 3.11 Controles y errores del tránsito 3.11.1 Error de inclinación del eje vertical 3.11.2 Error de falta de perpendicularidad entre el eje vertical y el eje basculante 3.11.3 Error de colimación 3.11.4 Error de puntería 3.11.5 Error de graduación 3.12 Teodolitos electrónicos 3.12.1 Medición automática de limbos 3.13 Fuentes de error en trabajo con tránsito y estación total. 3.13.1 Instrumentales 3.13.2 Naturales 3.13.3 Personales È1*8/26  4.1 Ángulos horizontales 4.1.1 Azimut 4.1.2 Rumbo 

4.1.3 Ángulo horario 4.1.4 Ángulo contrahorario 4.1.5 Deflexiones 4.2 Relaciones entre ángulos 4.2.1 Azimut - contrazimut 4.2.2 Azimut – rumbo 4.2.3 Rumbo – azimut 4.2.4 Azimut – deflexiones 4.2.5 Deflexiones – azimut 4.2.6 Ángulo horario – deflexiones 4.2.7 Ángulo horario – deflexiones – azimut

SiJV

103 109

5.2 Medición de distancias inclinadas 5.3 Causas del error de medición con cinta 5.4 Medición óptica de distancias 5.4.1 Errores en la medición óptica de distancias 76 79

5.5 Estadía de invar. 5.6 Medición electrónica de distancias 5.7 Medición de ángulos empleando la cinta Método del seno Método del coseno Método del tangente

133


32/,*21$/(6  6.1 ClasificaciĂłn 6.1.1 Poligonal abierta 6.1.2 Poligonal cerrada 6.1.3 Poligonal establecida por radiaciones desde una estaciĂłn 6.2 Poligonales con trĂĄnsito 6.2.1 Ă ngulo horario o contrahorario 6.2.2 MĂŠtodo del azimut 6.2.3 Deflexiones /(9$17$0,(1726  7.1 Levantamientos con cinta 7.1.1 Levantamientos de poligonales con cinta

SiJV 137

142

8.4 CĂĄlculo de coordenadas

145

8.5 CĂĄlculo de ĂĄreas 8.5.1 MĂŠtodos grĂĄficos PlanĂ­metro de puntos PlanĂ­metro polar Papel milimetrado Ă reas por descomposiciĂłn en triĂĄngulos 8.5.2 MĂŠtodos analĂ­ticos MĂŠtodo de gauss MĂŠtodo de coordenadas polares MĂŠtodo de los trapecios MĂŠtodo de Simpson

7.3 Levantamientos con trĂĄnsito 7.4 CronologĂ­a del trabajo de una poligonal

8.6 OmisiĂłn de datos de una poligonal 8.6.1 Longitud y rumbo de un lado. 8.6.2 Longitud de un lado y rumbo de otro. 8.6.3 Longitud de dos lados. 8.6.4 Rumbo de dos lados.

7.5 Trabajo en Campo 7.5.1 SelecciĂłn del mĂŠtodo 7.5.2 Anotaciones de campo 7.5.3 SelecciĂłn de puntos de estaciĂłn 7.5.4 Estacionando el trĂĄnsito 7.5.5 OrientaciĂłn

&$/&8/26  8.1CĂĄlculo de proyecciones ProyecciĂłn meridiano ProyecciĂłn paralelo 

SiJV

8.3 MĂŠtodos de ajuste 8.3.1 MĂŠtodo de la brĂşjula 8.3.2 MĂŠtodo del trĂĄnsito 8.3.3 MĂŠtodo XY 8.3.4 MĂŠtodo de Crandall

7.2 Levantamientos con brĂşjula y cinta 7.2.1 Levantamientos de detalles con brĂşjula

7.6 Procedimiento con trĂĄnsito 7.6.1 Angulo Horario o ContraHorario 7.6.2 MĂŠtodo Azimut 7.6.3 Deflexiones 7.6.4 Radiaciones 7.6.5 Intersecciones 7.6.6 ReferenciaciĂłn

8.2 CĂĄlculos de comprobaciĂłn 8.2.1 Cierre angular 8.2.2 Error de cierre 8.2.3 PrecisiĂłn en poligonales

*/26$5,2  %,%/,2*5$)Ă&#x2039;$

159 163

190 201 211


35(È0%8/2 

En este capítulo se hará un repaso de conceptos y elementos de álgebra, geometría, geometría analítica, trigonometría y escalas; para hacer más sencillo el entendimiento de los conceptos topográficos que se van a estudiar en el transcurso del libro.

0DWHPiWLFDVXVDGDVHQWRSRJUDItD Veamos ahora algunos axiomas, corolarios y fórmulas necesarios en los cálculos y ejercicios topográficos.

*(20(75,$ El vocablo geometría, tiene sus orígenes en las raíces griegas, JHR que significa tierra y PHWUtD que viene de PHWUyQ que significa medida, por lo tanto podemos inferir que la geometría es la ciencia de medir la tierra. Se dice también que la geometría es la parte de las matemáticas que trata de las propiedades y medidas de la extensión, estudiando la forma y dimensiones de las figuras geométricas. ¾ La H[WHQVLyQ es la medida del espacio ocupada por un cuerpo. ¾ Una figura geométrica es un espacio cerrado por puntos, líneas o superficies. Ahora veamos unos axiomas y corolarios muy importantes en geometría sobre líneas, ángulos, triángulos, polígonos y circunferencia.

(O3XQWR Solo tiene posición, no posee longitud, anchura, ni espesor. Es la unidad básica de todas las figuras (dimensión cero).

/tQHDV Podemos concebir la línea como la huella que deja un punto en movimiento, teniendo longitud y dirección pero sin poseer anchura ni espesor (dimensión dos). Existen varios tipos de líneas: a) Línea recta:.líneas sin curvas b) Línea curva: línea sin partes rectas. c) Línea mixta: Posee partes rectas y partes curvas. d) Línea quebrada: También llamada poligonal, es la que esta formada por segmentos de recta unidos por sus extremos.


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

TambiÊn podemos clasificar las líneas de acuerdo con su posición: ž

LĂ­nea horizontal

ž

LĂ­nea vertical

ž

LĂ­nea oblicua

+DEOHPRVGHODV5HFWDV ž ž ž ž ž ž

La recta es â&#x20AC;&#x153;ilimitadaâ&#x20AC;?, se considera prolongada indefinidamente. Dos rectas solo se cortan en un solo punto o son coincidentes. Dos rectas son paralelas si a pesar de prolongarlas indefinidamente nunca se llegan a cortar. Si dos rectas se cortan, sus perpendiculares tambiĂŠn lo harĂĄn. La lĂ­nea recta es la distancia mĂĄs corta entre dos puntos. Una semirecta o rayo es una porciĂłn de recta que se forma cuando sobre una recta se traza un punto que la divide en dos semirectas.

+DEOHPRVGHO6HJPHQWR Se llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos de una recta. ž ž ž ž ž

Todo segmento tiene una longitud > 0. Dos segmentos son consecutivos si tienen un punto extremo en comĂşn. Dos segmentos son iguales si tienen la misma longitud. Dos segmentos son colĂ­neales si se encuentran en la misma recta. Dos segmentos son adyacentes, si son colĂ­neales y consecutivos al mismo tiempo.

3ODQR Lo podemos entender como la huella que deja una lĂ­nea al desplazarse, teniendo longitud y ancho, sin presentar espesor (dimensiĂłn dos). Un plano es aquel que puede contener una lĂ­nea recta en toda su extensiĂłn. Un plano con curvatura es una superficie

(VSDFLR Cuando desplazamos un plano se genera el espacio, en el que tenemos longitud, ancho y profundidad (dimensiĂłn tres)

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Capitulo 1: Preámbulo ÈQJXORV Un ángulo es la intersección de dos rayos o semirrectas. Los rayos se llaman lados del ángulo y el punto de unión recibe el nombre de vértice. Un ángulo se obtiene por la rotación de un rayo alrededor de su origen y lo podemos identificar por tres letras donde la del centro corresponde al vértice y las otras a puntos cualquiera de las semirrectas, también podemos identificarlos utilizando letras del alfabeto griego en su interior. )LJXUD

Existen cuatro elementos básicos que determinan un ángulo, estas son: ) ) ) )

Lado origen El sentido de giro Magnitud vértice

¾ Un ángulo recto es aquel que tiene sus lados perpendiculares entre sí, su medida es de 90°. ¾ Un ángulo agudo tiene una abertura menor a la de un ángulo recto, su medida está entre 0° y 90°. ¾ Un ángulo obtuso es aquel con una abertura mayor a la de un ángulo recto, su medida esta dada entre 90° y 180°. ¾ Un ángulo con una abertura de 180° es denominado ángulo llano, esta formado por semirrectas opuestas. ¾ Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es igual a 90°. ¾ Ángulos suplementarios son los que cuya suma es igual 180°. ¾ Ángulos explementarios, son aquellos que sumados miden 360°. ¾ Alternos internos: Son los internos no adyacentes a diferente lado de la secante. ¾ Alternos externos: Son los externos no adyacentes a diferente lado de la secante. ¾ Los ángulos que comparten el vértice y uno de sus lados es común, y además sus lados no comunes son colíneales, reciben el nombre de ángulos adyacentes. ¾ Los ángulos congruentes son los que tienen la misma medida; al superponerlos coinciden sus lados. ¾ Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales o suplementarios. ¾ Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado y el vértice en común. ¾ Dos ángulos que posee sus lados respectivamente paralelos, son iguales o suplementarios. ¾ Dos rectas que son cortadas por una secante, forman ocho ángulos que dos a dos se denominan: alternos externos, alternos internos, correspondientes y suplementarios.

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Planimetría________________________________________________________________ ž Correspondientes: uno interno y otro externo, no adyacentes al mismo lado de la secante ž Dos rectas que se cortan forma cuatro ångulos iguales, dos a dos que se llaman opuesto por el vÊrtice.

)LJXUD

Opuestos por el vĂŠrtice: Correspondientes: Alternos internos: Alternos externos: Al cortar dos rectas paralelas, U y V, por otra recta secante W ILJXUD los ĂĄngulos que nombramos anteriormente son iguales dos a dos en el mismo orden que en los reglones anteriores:

)LJXUD

ž ž ž

La magnitud de un ĂĄngulo solo depende de la mayor o menor abertura de sus lados y no de la longitud de ĂŠstos. La lĂ­nea que divide un ĂĄngulo en dos partes iguales se llama bisectriz. Dos ĂĄngulos iguales tienen complementos y suplementos iguales.

7ULiQJXORV Es una figura geomĂŠtrica que posee seis elementos; tres lados y tres ĂĄngulos. Partes de un triĂĄngulo

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$%6***,'0


Capitulo 1: Preámbulo a) Lados: Son las líneas que lo limitan. b) Vértices: son el lugar donde se unen los lados.

Los triángulos los podemos clasificar según sus ángulos o sus lados ¾ Equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados iguales.

¾ Isósceles: Es aquel que posee dos lados iguales.

¾ Escaleno: Es aquel en el que todos sus lados son desiguales.

6HJ~QVXViQJXORV ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

7ULiQJXORUHFWiQJXOR: Es aquel que tiene su ángulo mayor recto o de 90°. 7ULiQJXORDFXWiQJXOR: Es aquel en el que los tres ángulos son agudos. 7ULDQJXORREWXViQJXOR: Es aquel que tiene su ángulo mayor obtuso o mayor de 90°. 7ULDQJXORREOLFXiQJXOR: Puede ser acutángulo u obtusángulo. 7ULiQJXORHTXLiQJXOR: Este posee sus tres ángulos iguales.

)LJXUD 

Estudiemos ahora los principios fundamentales sobre FRQJUXHQFLD de triángulos

¾ Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados (L) y el ángulo (A) incluido de uno son respectivamente iguales al del otro. (LAL) ¾ Si un en un triangulo rectángulo los catetos son respectivamente congruentes a los catetos de otro triángulo rectángulo entonces estos son congruentes. (LAL). ¾ Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado incluido de uno es igual a los dos ángulos y el lado del otro triángulo. (ALA)

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Planimetría________________________________________________________________ ž Si en un triångulo rectångulo uno de sus ångulos agudos y su cateto adyacente son congruentes a los del otro triangulo rectångulo estos son congruentes entre sí. (ALA) ž Dos triångulos son congruentes si los lados de uno son iguales a los lados del otro triångulo. (LLL) ž Dos triångulos son congruentes si dos de sus ångulos y un lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ångulos y un lado incluido del otro.(AAL) ž En un triangulo isósceles los ångulos de la base son iguales, siendo la base el lado de magnitud diferente. 0HGLDWUL]: Es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado en un triångulo. El punto de intersección de las mediatrices recibe el nombre de circuncentro.

)LJXUD 

0HGLDQD: Es el segmento trazado desde un vĂŠrtice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de intersecciĂłn de las medianas de un triĂĄngulo recibe el nombre de baricentro.

)LJXUD 

El EDULFHQWUR corta las medianas en un punto situado a 2/3 de su longitud a partir del vĂŠrtice.

$0 = 2 $1 3 2 %0 = %2 3 &0 = 2 &3 3 )LJXUD 

%LVHFWUL]: Es la recta notable que divide un ĂĄngulo interno en dos ĂĄngulos iguales. El punto de intersecciĂłn de estas rectas recibe el nombre de incentro. $OWXUD: Se llama base de un triĂĄngulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vĂŠrtice a la base opuesta o su prolongaciĂłn se llama altura. Un triĂĄngulo tiene, pues, tres bases D, E, F, y tres alturas correspondientes, ha, hb y hc. En un triĂĄngulo rectĂĄngulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide:

K2 = P Ă&#x201A; Q

Esta relaciĂłn se conoce como teorema de la altura Las tres alturas de un triĂĄngulo (o sus prolongaciones) se cortan en )LJXUD 

6

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Capitulo 1: Preámbulo un punto llamado RUWRFHQWUR. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior. En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. Figura 9.

)LJXUD

3URSLHGDGHVGHORViQJXORVGHXQWULiQJXOR

¾ En un triángulo isósceles la mediana trazada desde el ángulo formado por los lados iguales; es bisectriz, altura, mediatriz y mediana a mismo tiempo. ¾ La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º. ¾ La suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°. ¾ En los triángulos en general, se cumple que a mayor lado se opone un mayor ángulo, y a menor lado se opone un menor ángulo. ¾ En todo triángulo se cumple, que solo uno de sus ángulos puede ser recto u obtuso. ¾ Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios. ¾ La medida de cualquiera de los ángulos exteriores de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interno no adyacentes a él. ¾ En un triangulo cualquiera, uno de sus lados sea el que sea es menor que la suma de los otros dos lados y mayor a su diferencia. 8QDSURSLHGDGHVSHFLDOGHOWULiQJXOR

¾ La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado y su medida es la mitad de éste. +DEOHPRVGHODVHPHMDQ]DGHWULiQJXORV ¾ Dos triángulos en los cuales sus tres ángulos sean congruentes entre sí, son iguales o semejantes. ¾ Si dos triángulos poseen ángulos respectivamente iguales son semejantes. ¾ Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo congruente comprendido por lados proporcionales.

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Planimetría________________________________________________________________ ž Dos triångulos son semejantes cuando tienen sus lados homólogos proporcionales.

&XDGULOiWHURV

Figura de cuatro lados; Son cuadrilåteros: los paralelogramos, cuadrados, rombos, rectångulos y trapecios. ž Un paralelogramo es un cuadrilåtero que tiene sus lados opuestos iguales y paralelos, como lo son el cuadrado, el rombo, y el rectångulo. ž Las diagonales de un paralelogramo se bisecan y dividen el paralelogramo en dos triångulos congruentes, igual sucede en el rombo, el cuadrado y el rectångulo. ž En el cuadrado todos los ångulos y los lados son iguales. ž En el rectångulo los ångulos son iguales y su medida es de 90°, los lados opuestos son iguales.

)LJXUD

ž En el rombo, los cuatro lados son iguales y sus ångulos opuestos son iguales (dos de ellos mayores de 90°). ž Las diagonales de un rombo se cortan formando un ångulo recto.

)LJXUD 

ž En el paralelogramo los lados opuestos son paralelos e iguales y sus ångulos opuestos son iguales

)LJXUD 

ž En los paralelogramos dos ångulos consecutivos son suplementarios. ž Un trapecio es un cuadrilåtero que tiene dos lados paralelos.

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Capitulo 1: Preåmbulo ž En el trapecio la altura es la separación entre las bases.

)LJXUD 

ž La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados no paralelos es igual a la semisuma de las bases.(base media)



3ROtJRQRV Polígono es una figura plana que esta formada por los lados y los puntos que unen dichos lados. ž La GLDJRQDOde un polígono es un segmento que une dos vÊrtices no adyacentes. ž Existen polígonos regulares, irregulares, convexos, no convexos o estrellados. ž 3ROtJRQRUHJXODU es aquel que tiene sus ångulos y sus lados iguales.

)LJXUD 

ž 3ROtJRQRFRQYH[R es aquel que tiene por lo menos un ångulo interno mayor de 180°. ž 3ROtJRQR QRFRQYH[R es aquel en el que sus ångulos internos son menores de 180°. ž à ngulo de deflexión de un polígono es aquel que se forma por uno de sus lados y la prolongación del inmediatamente anterior.

)LJXUD 

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Planimetría________________________________________________________________ ž La suma de los ångulos de GHIOH[LyQ de un polígono es de 360°.

ž 3ROtJRQRHVWUHOODGRes en el que dos o mås de sus lados se cursan. 9HUILJXUD

)LJXUD 

ž El ångulo de deflexión es suplementario al ångulo interior adyacente. ž La suma de los iQJXORV LQWHUQRV de un polígono es igual a (n-2)180°, n es el número de vÊrtices. ž La suma de los iQJXORVH[WHUQRV de un polígono es igual a (n+2) 180°. ž Un vÊrtice solo puede tener dos segmentos de recta de un polígono. ž El perímetro de un polígono es igual a la suma de las magnitudes de sus lados.



&LUFXQIHUHQFLD Curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto interior fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el cĂ­rculo (superficie), aunque ambos conceptos estĂĄn estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cĂłnicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersecciĂłn de una superficie cĂłnica con un plano perpendicular a su eje.

)LJXUD 

Cualquier segmento rectilĂ­neo que pasa por el centro y cuyos extremos estĂĄn en la circunferencia se denomina diĂĄmetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento rectilĂ­neo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de

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Capitulo 1: PreĂĄmbulo circunferencia es la parte de ĂŠsta delimitada por dos puntos. Angulo en el centro es aquel cuyo vĂŠrtice es el centro de circunferencia y cuyos lados son dos radios. El centro de la circunferencia es centro de simetrĂ­a, y cualquier diĂĄmetro es eje de simetrĂ­a. Una semicircunferencia es cada una de las partes determinadas por el diĂĄmetro. Un sector circular es una porciĂłn de cĂ­rculo determinada por dos radios y un arco. El semicĂ­rculo es una porciĂłn de cĂ­rculo limitada por la semicircunferencia. La corona circular es figura plana comprendida entre dos cĂ­rculos concĂŠntricos.

)LJXUD 

3RVLFLRQHV5HODWLYDVGHXQD5HFWD\XQD&LUFXQIHUHQFLD Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si no se cortan (no tienen ningĂşn punto en comĂşn), tangentes si sĂłlo se tocan en un punto (punto de tangencia), y secantes si tienen dos puntos comunes.

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia. 3RVLFLRQHV5HODWLYDVGHGRV&LUFXQIHUHQFLDV

Dos circunferencias tambiÊn pueden no tocarse, ser tangentes o ser secantes, según tengan ninguno, uno o dos puntos comunes, respectivamente. Sin embargo, se pueden precisar mås las posiciones relativas de dos circunferencias según la distancia entre sus centros, G, y las longitudes de sus radios, r1 y r2: ž ([WHULRUHV: si no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

ž 7DQJHQWHV H[WHULRUHV: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

ž 6HFDQWHV: si tienen dos puntos comunes.

ž 7DQJHQWHVLQWHULRUHV: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

ž Interior una a la otra: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.

ž ConcÊntricas: si tienen el mismo centro.

Ademås: ž Dos circunferencias solo se cortan en dos puntos no lo hacen en mås. ž Por tres puntos que no se encuentren colíneales (línea recta), se puede hacer pasar una circunferencia. ž Cuando dos circunferencias son secantes, la línea que une los centros es perpendicular a la cuerda común en su punto medio. ž Todo radio perpendicular a una cuerda la biseca, lo mismo que al arco que Êsta subtiende. ž En un circulo o en círculos iguales, dos ångulos iguales en el centro comprenden arcos iguales; a mayor ångulo mayor arco. TambiÊn cuerdas iguales subtienden ångulos iguales.

&LUFXQIHUHQFLDV\3ROtJRQRV La circunferencia inscrita en un polĂ­gono regular es la que tiene su centro en el del polĂ­gono y es tangente a todos sus lados. Su radio es igual a la apotema11 del polĂ­gono.

1

Apotema: perpendicular trazada desde el centro de un poligono regular a uno cualquiera de sus lados

12

$%6***,'0


Capitulo 1: Preámbulo Los triángulos, aunque no sean regulares, tienen siempre circunferencia inscrita (tangente a sus tres lados) y circunscrita (que pasa por sus tres vértices).

 ÈQJXORVHQOD&LUFXQIHUHQFLD

Un ángulo central de una circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de ésta. La medida de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice está sobre ella y cuyos lados la cortan en sendos puntos. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

)LJXUD 

Un ángulo seminscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice, 9, está sobre ella, uno de sus lados la corta y el otro es tangente en 9. La medida de un ángulo seminscrito es la mitad de la del arco que abarca.

)LJXUD 

En una circunferencia, un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la misma. Su medida es la mitad de la suma de la medida del arco que abarcan sus lados con el arco que abarcan sus prolongaciones.

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 13


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD 

Un ĂĄngulo exterior a una circunferencia es el que tiene su vĂŠrtice en el exterior de la misma. Su medida es la semidiferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

)LJXUD 

Ă&#x2C6;UHDV Es la superficie comprendida dentro de un perĂ­metro. Podemos definirla tambiĂŠn como la extensiĂłn de una superficie.

14

$%6***,'0


Capitulo 1: Preámbulo 7DEOD OLEURWRSRJUDItDSODQDGH/HRQDUGRFDVDQRYD

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 15


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Ă&#x2C6;/*(%5$

(FXDFLRQHVOLQHDOHVFXDGUiWLFDV\VLVWHPDVGHHFXDFLRQHV  (FXDFLyQGHSULPHUJUDGR

La ecuaciĂłn de primer grado tambiĂŠn conocida como ecuaciĂłn lineal es la siguiente: AX + BY + C = 0 Donde A y B son los coeficientes des las variables X y Y, siendo C el termino independiente Otra forma de presentar este tipo de funciĂłn es:

\=â&#x2C6;&#x2019;

$ % Donde conociendo un valor de x se puede conocer su correspondiente en y. [â&#x2C6;&#x2019; % &

 )XQFLyQ&XDGUiWLFD Es el segundo tipo de funciĂłn algebraica y esta definido por una ecuaciĂłn de segundo grado. y = ax2 + bx + c Donde a, b y c son constantes y aâ&#x2030; 0. ResoluciĂłn de Ecuaciones CuadrĂĄticas Para resolver una ecuaciĂłn de segundo grado o ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, existen mĂŠtodos grĂĄficos que no son tan precisos. Por tal razĂłn se utilizan mĂŠtodos como el de descomposiciĂłn en factores, el cual tiene el inconveniente de no poderse utilizar en todas las ocasiones; encontrĂĄndose un mĂŠtodo mas practico para darle soluciĂłn a una ecuaciĂłn de segundo grado este recibe el nombre de ecuaciĂłn cuadrĂĄtica.

â&#x2C6;&#x2019; E Âą E2 â&#x2C6;&#x2019; 4DF [= 2D

Veamos a continuación como darle solución a un sistema de 2 ecuaciones simultåneas. TambiÊn para darle solución a un problema de este tipo existen diferentes mÊtodos como: ž MÊtodo de reducción ž MÊtodo de sustitución ž MÊtodo de igualación ž MÊtodo de determinantes En este capitulo solo trataremos el mÊtodo de determinantes por ser un mÊtodo practico y muy preciso a la hora de dar solución a un sistema de ecuaciones simultaneas. El mÊtodo de determinantes consiste en formar matrices con los coeficientes de las incógnitas y los tÊrminos independientes de la siguiente forma:

16

$%6***,'0


Capitulo 1: PreĂĄmbulo $[%\ & '[ (\ )

[=

&

$ & $) â&#x2C6;&#x2019; &' ' ) \= = $ % $( â&#x2C6;&#x2019; %' ' (

%

) ( &( â&#x2C6;&#x2019; %) = $ % $( â&#x2C6;&#x2019; %' ' (

Este mĂŠtodo tambiĂŠn lo podemos emplear para sistemas de tres ecuaciones simultĂĄneas de la siguiente forma:

$[ %\&] ' ([)\*] + ,[ -\.M / *(20(75Ă&#x2039;$$1$/Ă&#x2039;7,&$ Rama de la geometrĂ­a en la que las propiedades de las lĂ­neas rectas, las curvas y las figuras geomĂŠtricas se representan mediante expresiones algebraicas y numĂŠricas (ecuaciones). Se suele llamar geometrĂ­a cartesiana a la geometrĂ­a analĂ­tica. La geometrĂ­a analĂ­tica se ocupa de dos tipos clĂĄsicos de problemas. El primero es: dada la descripciĂłn geomĂŠtrica de un conjunto de puntos, encontrar la ecuaciĂłn algebraica que cumplen dichos puntos. El segundo tipo de problema es: dada una expresiĂłn algebraica, describir en tĂŠrminos geomĂŠtricos el lugar geomĂŠtrico de los puntos que cumplen dicha expresiĂłn. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geomĂŠtrico de los puntos que satisfacen [2 + \2 = 9.

6LVWHPDGHFRRUGHQDGDVFDUWHVLDQR

)LJXUD

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 17


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ En matemĂĄticas se utiliza este sistema para dar la posiciĂłn de un punto en un plano. Que es un arreglo de rectas reales que llamamos ejes, uno de estos se considera el primario y el otro es el secundario, dicho ejes se interceptan en un punto al que denominamos origen de coordenadas (0,0), separando los valores positivos y negativos en cada eje. En este sistema la direcciĂłn de una lĂ­nea se da por medio de un ĂĄngulo medido del eje primario al secundario que recibe el nombre de pendiente. 

&RRUGHQDGDVSRODUHV

Sistema para especificar la situación de un punto refiriÊndolo a un ångulo y a una distancia desde un punto fijo que se denomina polo y la distancia al punto dado se llama radio vector; el ångulo indica la posición del radio vector con relación a la línea inicial. Para escribir las coordenadas en sistema polar de cualquier punto, se escribe primero la distancia (D) y luego el ångulo (θ) encerrados entre parÊntesis y separados por una coma como lo podemos apreciar en el ejemplo siguiente: (D , θ)

(4 , 90°) o en la siguiente forma para expresarlo en radianes (4 , Ď&#x20AC;/2)

&RRUGHQDGDVFDUWHVLDQDV

)LJXUD

Un caso especial de coordenadas cartesianas utiliza como sistema de referencia, es el del sistema de ejes RUWRJRQDOHV, tambiĂŠn llamados sistema de ejes coordenados rectangulares. Existiendo un eje primario (x) y un eje secundario (y). 

)LJXUD 

18

$%6***,'0


Capitulo 1: Preámbulo

En la grafica anterior podemos ver los dos ejes ortogonales, el eje de las X o eje de las abscisas y el eje de las Y o eje de las ordenadas. Cuando vamos a dar la posición de un punto debemos tener en cuenta que cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes dando las distancias del punto a cada uno de los ejes (abscisa, ordenada). Así si quisiéramos localizar un punto lo que tendríamos que ser, es contar en el eje de las x en numero de unidades que indica la abscisa y por este punto trazar una línea paralela al eje de las y, luego contar la unidades determinadas por la ordenada y trazar una línea paralela al eje x por dicho punto. En la figura 1, el punto $ (5,4).

7$%/$'(6,*12'(/26&8$'5$17(6 CUADRANTE ABSCISA ORDENADA I + + II + III IV + En el caso de topografía se trabaja con un sistema NE donde el eje que aparece de primero es el eje primario, en el cual los cuadrantes están nombrados conservando el sentido del eje primario al secundario. En el sistema europeo se trabaja como YX

Norte

I

IV

Este III

II

)LJXUD

Ya en éste sistema las coordenadas se escriben (N,E) y la dirección de una línea no se da a través de la pendiente sino de un azimut (Az); medido a partir del eje de las nortes en sentido de las manecillas del reloj.

'LVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRV Para conocer la distancia entre dos puntos, de los cuales conocemos sus coordenadas empleamos la siguiente formula: En el sistema X,Y

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 19


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

( < 2 â&#x2C6;&#x2019; <1 ) 2 + ( ;

Distancia = En el sistema Norte â&#x20AC;&#x201C; Este

Distancia =

(1

2

2

â&#x2C6;&#x2019; 1 1)2 + ((

â&#x2C6;&#x2019; ; 1)2

2

â&#x2C6;&#x2019; (1)2

5HODFLyQHQWUHVLVWHPD3RODU\5HFWDQJXODU 

El sistema polar y rectangular se encuentran relacionados por las siguientes formulas que permiten conocer la proyecciĂłn de una lĂ­nea sobre los ejes empleando el ĂĄngulo que hace con el eje primario y la longitud de la lĂ­nea de referencia. X(AB) = AB cos Îą PM(AB) = AB cos Az

Y(AB) = AB sen Îą PP(AB) = AB sen Az

X(AB) y Y(AB) son las proyecciones en el sistema coordenado XY. PM(AB) y PP(AB) son las proyecciones en el sistema coordenado NE. La direcciĂłn de la lĂ­nea se determina mediante la fĂłrmula:

Îą = arc tan {Y(AB) / X(AB)}

Az = arc tan {PP(AB) / PM(AB)}

En esta formula se debe tener en cuenta los signos:

QXPHUDGRU > 0 â&#x2021;&#x2019; (

QXPHUDGRU < 0 â&#x2021;&#x2019; : GHQR min DGRU > 0 â&#x2021;&#x2019; 1 GHQR min DGRU < 0 â&#x2021;&#x2019; 6

+ = 1( +

â&#x2C6;&#x2019; = 6( +

â&#x2C6;&#x2019; = 6: â&#x2C6;&#x2019;

+ = 1: â&#x2C6;&#x2019;

NOTA: Cuando empleamos las coordenadas para calcular la direcciĂłn de una lĂ­nea es muy comĂşn que se cometa el error de confundir el sentido en que se pretende hacerlo, presentĂĄndose problemas en el reemplazo de las variables en la fĂłrmula, por ejemplo:

20

$%6***,'0


Capitulo 1: PreĂĄmbulo

)LJXUD 

Si pretendemos calcular la direcciĂłn (A;B), se reemplaza en la formula de la siguiente forma:

Si pretendemos calcular la direcciĂłn (B;A), el reemplazo serĂ­a de la siguiente forma:

 /D/tQHD5HFWD

)LJXUD

En general, una lĂ­nea recta se puede representar siempre utilizando una ecuaciĂłn lineal en dos variables, [ e \ de la forma A[ + B\ + C = 0. Siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la lĂ­nea recta que pasa por $ y % cumplen la ecuaciĂłn lineal [+\ = 5; en general, $[ + B\ = -C. Casos especiales: â&#x20AC;˘ Si A=0, la ecuaciĂłn se convierte en BY + C = 0 y la grĂĄfica es una recta paralela al eje X.

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 21


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ â&#x20AC;˘ Si B= 0, se tiene que AX +C = 0 y su grafica es una recta que corta al eje X y es paralela al eje Y. â&#x20AC;˘ Si C= 0, la ecuaciĂłn queda AX +BY = 0, y la grĂĄfica es la de una recta que pasa por el punto origen. Cuando la lĂ­nea estĂĄ representada por la ecuaciĂłn

\=â&#x2C6;&#x2019;

$ % [â&#x2C6;&#x2019; % &

El segundo tĂŠrmino es una cantidad constante, correspondiendo en la ecuaciĂłn a las unidades en el eje de las ordenadas de una recta que pasa por el origen aumentadas o disminuidas en C/B segĂşn el signo que posea este termino. La pendiente de una lĂ­nea la podemos definir como la tangente que la lĂ­nea forma con el eje de las X tomando el ĂĄngulo en sentido horario y se puede calcular empleando la siguiente formula:

Para encontrar la ecuaciĂłn que pase por dos puntos determinados podemos emplear Y2 â&#x20AC;&#x201C; Y1 = m (X2 â&#x20AC;&#x201C; X1) EcuaciĂłn Punto-Pendiente (MHPSOR Encontrar la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los puntos A (1,4) y el punto B (5,0).

P=

0â&#x2C6;&#x2019;4 5 â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2021;&#x2019;

m = â&#x2C6;&#x2019;1

Y2 â&#x20AC;&#x201C; Y1 = m (X2 â&#x20AC;&#x201C; X1) â&#x2021;&#x2019; <

Y2 â&#x20AC;&#x201C; 4 = â&#x2C6;&#x2019;1 (X2 â&#x20AC;&#x201C; 1) â&#x2021;&#x2019; Y= â&#x2C6;&#x2019;X + 1 + 4 â&#x2021;&#x2019;

; 

La forma punto â&#x20AC;&#x201C; punto: la ecuaciĂłn de la recta que pasa por P1(X1,Y1) y P2(X2,Y2) esta dada por el siguiente determinante:

Si desarrollamos la determinante de los elementos de su primera fila obtenemos: X (Y1 â&#x20AC;&#x201C; Y2 ) â&#x20AC;&#x201C; Y(X1 â&#x20AC;&#x201C; X2) + (X1Y2 â&#x20AC;&#x201C; X2Y1) = 0 Que es equivalente a (Y â&#x20AC;&#x201C; Y1 )(X2 â&#x20AC;&#x201C; X1) â&#x20AC;&#x201C; (X â&#x20AC;&#x201C; X1)(Y2 â&#x20AC;&#x201C; Y1) = 0 y, si X2 â&#x20AC;&#x201C; X1 â&#x2030;  0, es equivalente a la ecuaciĂłn punto â&#x20AC;&#x201C; pendiente. Si X1 = X2, entonces ha de ser verdadero que Y1 â&#x20AC;&#x201C; Y2 â&#x2030;  0, en consecuencia, la ecuaciĂłn punto-punto se reduce a X=X1 que es una ecuaciĂłn de una recta vertical.

22

$%6***,'0


Capitulo 1: Preámbulo 3RVLFLRQHV5HODWLYDVGHGRVUHFWDV ¾ Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. m1 = m2 ó

α1 = α2 ó Az1 = Az2

¾ Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a –1.

P1 P 2 = −1 ó Tan α1 Tan α2 = −1 ó Tan Az1 Tan Az2 = −1 

¾ Dos rectas coinciden si tienen la misma pendiente y en común el intercepto con el eje Y.

$QJXORHQWUH/tQHDV Para determinar el ángulo que existe entre líneas que se interceptan, se puede aplicar la siguiente ecuación:

/$6&21,&$6 Se les denomina cónica debido a que se forman cuando un cono es cortado por planos en distintas posiciones. Un conjunto de puntos se dicen que son de una cónica, si satisfacen una propiedad geométrica (la distancia de uno de ellos a un punto fijo es proporcional a la distancia del punto a la línea fija).

&LUFXQIHUHQFLD

)LJXUD



Es el lugar geométrico de los puntos (x,y) de un plano que cumplen la condición geométrica de estar a la misma distancia de un punto llamado centro y su ecuación es: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 con centro en coordenadas (h,k)

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 23


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

x2 + y2 = r2 Si

cuando el centro esta en (0,0)

= 90Âş la intersecciĂłn del plano con la superficie cĂłnica es una circunferencia.

(OLSVH

)LJXUD

)LJXUD

Es el conjunto de puntos (x, y) cuya suma de las distancias a dos puntos fijos distintos (focos) es constante, o sea igual. La recta que une los focos y que corta a la elipse en dos punto (vĂŠrtices) se llama eje mayor y su punto medio es el centro de la elipse la lĂ­nea perpendicular a el eje mayor que pasa por el centro es el eje menor:

d1 + d2 = .

)LJXUD 

La ecuaciĂłn general de una elipse, con centro en (h,k) y ejes mayor y menor de longitudes 2a y 2b , donde a > b, es:

El eje mayor es horizontal

24

$%6***,'0


Capitulo 1: Preámbulo

En éste los focos se encuentran a c unidades del centro, con Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje ; coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje < coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:

3DUiEROD La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos (x,y) del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

)LJXUD

Además del foco, ), y de la directriz, G, en una parábola destacan los siguientes elementos: ¾ Eje, H Vértice, 9 ¾ Distancia de ) a G, S

)LJXUD

La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje. Veamos ahora la ecuación de la parábola

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

(y â&#x20AC;&#x201C; k)2 = 4a (x â&#x20AC;&#x201C; h) con centro en (h,k) Con el eje paralelo a x y abierta a la derecha Foco = (a + h, k) Abierta a la Izquierda

(y â&#x20AC;&#x201C; k)2 = â&#x20AC;&#x201C;4a (x â&#x20AC;&#x201C; h) Foco = (h â&#x20AC;&#x201C; a, k)

Abierta Arriba

(x â&#x20AC;&#x201C; h)2 = 4a (y â&#x20AC;&#x201C; k)

con centro en (h,k) y el eje paralelo a y. Foco = (h, k + a)

Abierta Abajo

(x â&#x20AC;&#x201C; h)2 = â&#x20AC;&#x201C;4a (y â&#x20AC;&#x201C; k) Foco = (h. k â&#x20AC;&#x201C; a)

Con Centro en el origen Y2 = 4aX , foco en (a, 0) Y2 = â&#x20AC;&#x201C;4aX , foco en (â&#x20AC;&#x201C;a, 0) X2 = 4aY , foco en (0, a) X2 = â&#x20AC;&#x201C;4aY , foco en (0, â&#x20AC;&#x201C;a)



&RRUGHQDGDVHQHOHVSDFLR &DUWHVLDQDV

A los ejes coordenados utilizados en geometrĂ­a plana se les adiciona un tercer eje Z perpendicular a los dos iniciales, concurriendo dichos ejes en un punto que es tomado como origen de coordenadas. Cada dos ejes forman un plano que se denomina plano de coordenadas y se designa por las letras que representan los ejes que lo conforman, de esta manera los planos serĂĄn XY, YZ, ZX, donde para cada uno existe un eje primario que esta dado por la primera letra o para el caso de topografĂ­a aunque son NE, EH y HN. Tenemos pues que el espacio quedara dividido en ocho octantes Para dar la posiciĂłn de un punto en el espacio se emplean entonces tres coordenadas determinadas que son (X, Y, Z) y recĂ­procamente ningĂşn otro punto puede tener las mismas tres coordenadas. 9HUILJ 2

Tema ExtraĂ­do del libro MatemĂĄticas para Ingenieros y TĂŠcnicos. R. Doerfling

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$%6***,'0


Capitulo 1: Preámbulo 'LVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRV Al igual que en el plano es posible Para conocer la distancia entre dos puntos por medio de sus coordenadas Aplicando:

'LVW . =

(<2 − <1 ) 2 + ( ; 2 − ; 1 ) 2 + ( = 2 − = 1 ) 2

)LJXUD

&RRUGHQDGDV3RODUHVHQHOHVSDFLR

La situación de un punto en el espacio con relación a los tres ejes coordenados rectangulares puede definirse también por las siguientes magnitudes: radio vector, o distancia r entre el punto y el origen de coordenadas, el ángulo ϕ que es vertical formado con el eje Z y el ángulo horizontal α que la proyección del radio formada en el plano X,Y hace con el eje de las X, así pues estos tres valores se denominan coordenadas polares en el espacio y se escriben ( α , ϕ , U ). Para señalar todos los puntos del espacio se necesita para α toda la graduación desde 0º a 360º, para el ángulo ϕ tan solo de 0º a 180º y para r todos los valores desde 0 hasta ∞ . En estas coordenadas (o) es el polo, (ox) el eje polar y (oz) el eje del polo. La relación entre las coordenadas polares y las rectangulares de un punto en el espacio se deducen de la figura 26 y son:

[ = UVHQϕ cos α

\ = UVHQϕVHQα

] = U cos ϕ

Recíprocamente teniendo en cuenta los signos de X,Y,Z

U = + ; 2 +< 2 + =2

VHQα =

cos ϕ =

= U

cos α =

;

+ ; 2 +< 2

<

+ ; 2 +< 2

(FXDFLyQ*HQHUDOGHOSODQR Todo plano que se encuentre en el espacio quedara perfectamente definido por medio de la siguiente ecuación:

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ $[%\&]'  Donde A, By C son constantes; X,Y y Z son variables y D es el termino independiente que nos indica las unidades que el plano esta por encima o por debajo del origen. Observemos unos casos especiales de las ecuaciones del plano: â&#x20AC;˘ A=0 entonces la ecuaciĂłn queda By + Cz + D = 0, asĂ­ la normal al plano y el eje X serĂĄn perpendiculares por lo tanto el plano serĂĄ paralelo a dicho eje. â&#x20AC;˘ B=0 la ecuaciĂłn queda Ax + Cz + D = 0; la normal al plano y el eje Y serĂĄn perpendiculares y el plano por ende serĂĄ paralelo al eje Y. â&#x20AC;˘ C=0 tenemos que Ax + By + D = 0, donde la normal al plano queda perpendicular al eje Z y el plano por tal razĂłn serĂĄ paralelo a este eje. â&#x20AC;˘ D=0 la ecuaciĂłn queda definida como Ax + By + Cz = 0 y representa a un plano que pasa por el origen. â&#x20AC;˘ Si son dos los coeficientes que estĂĄn nulos ya se A, B o C, o sea el plano serĂĄ paralelo al plano formado por los dos ejes que faltan en la ecuaciĂłn; esto quiere decir que el plano serĂĄ perpendicular al eje correspondiente a la coordenada que queda en la ecuaciĂłn.

(FXDFLyQGHXQDOtQHDHQHOHVSDFLR

)LJXUD

Una lĂ­nea en el espacio esta definida por la propiedad geomĂŠtrica de que dos planos se cortan segĂşn una recta nos dicen que dos ecuaciones de primer grado en (x,y,z) determinan una recta en el espacio.

 $1 [ + %1 \ + &1 ] + '1 = 0   $2 [ + %2 \ + & 2 ] + '2 = 0 Donde $, %, & y ' son 4 números reales fijos

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$%6***,'0


Capitulo 1: PreĂĄmbulo Cada una de estas ecuaciones representa un plano, luego los valores de las coordenadas (x,y,z) que satisfagan simultĂĄneamente a las dos ecuaciones corresponderĂĄn a puntos comunes a los dos planos, es decir a la recta de intersecciĂłn de los mismos.

75,*2120(75Ă&#x2039;$3/$1$ Rama de la matemĂĄtica que estudia las propiedades y aplicaciones de las funciones circulares o trigonomĂŠtricas.

/RQJLWXGGH$UFR En una circunferencia de radio (R) un ångulo central θ radianes determina un arco de longitud (s), el cual podemos calcular:

s=rθ

)XQFLRQHV7ULJRQRPpWULFDV

)LJXUD

Las funciones trigonomĂŠtricas, son relaciones que existen entre los ĂĄngulos y los lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo; las cuales son: seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan) que son las bĂĄsicas Para comenzar a hablar de estas veamos primero el teorema de PitĂĄgoras, el cual nos dice que la magnitud de su

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Planimetrรญa________________________________________________________________ hipotenusa, (lado mรกs largo), al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus otros lados. c = hipotenusa a= cateto opuesto b= cateto adyacente

F =D E 





)XQFLyQVHQR 

Como vemos en el grafico al comienzo de la pagina, dado el รกngulo ฮธ del triangulo se puede decir que el seno de este es igual a la razรณn entre su lado opuesto y la hipotenusa del triรกngulo

VHQฮธ =

)XQFLyQFRVHQR

D F

Para el caso del mismo grafico, el coseno del รกngulo ฮธ es igual a la razรณn de su lado adyacente con la hipotenusa del triรกngulo

cos ฮธ =

)XQFLyQWDQJHQWH

E F



La tangente del รกngulo ฮธ, es igual a la razรณn del lado opuesto con el lado adyacente del triangulo

tan ฮธ =

D E

Existen otras funciones como lo son la funciรณn cotangente que es el inverso multiplicativo de la funciรณn tangente, la funciรณn secante que es el inverso multiplicativo del coseno y la funciรณn cosecante que es el inverso de la funciรณn seno. 6LJQRGHODVIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVGHDFXHUGRDOFXDGUDQWH 

FXDGUDQWH IXQFLyQ VHQฮธ FRVฮธ WDQฮธ FRWฮธ VHFฮธ FVFฮธ



,

,,

,,,

,9

     

     

     

     

127$ Es de gran importancia mencionar que la anterior tabla nos muestra los signos de acuerdo a la disposiciรณn de los cuadrantes para las matemรกticas, pero en topografรญa la disposiciรณn es diferente los cuadrantes estรกn numerados en sentido horario a diferencia que en las matemรกticas lo estรกn en sentido contra-horario, por tal motivo los signos cambian un poco, quedando de la siguiente forma 

30

$%6***,'0


Capitulo 1: Preåmbulo FXDGUDQWH IXQFLyQ VHQθ FRVθ WDQθ FRWθ VHFθ FVFθ



/H\GHVHQRV

1(

6(

6:

1:

     

     

     

     



En todo triĂĄngulo los lados son proporcionales al seno del ĂĄngulo opuesto

D E F = = sin $ sin % sin &

/H\GHFyVHQRV

)LJXUD

En todo triĂĄngulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ĂĄngulo que forman.



D 2 = E 2 + F 2 â&#x2C6;&#x2019; 2E F cos $

En todo triangulo se cumple tambiĂŠn que el coseno de cualquier ĂĄngulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que loa forman menos el cuadrado del lado opuesto, sobre el doble producto de los lados que forman el ĂĄngulo.

)LJXUD



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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ ,GHQWLGDGHVWULJRQRPpWULFDVEiVLFDV Veamos algunas de las identidades trigonomĂŠtricas esenciales para el topĂłgrafo 

sec( Ď&#x2021; ) =

1 cos( Ď&#x2021; )

csc( Ď&#x2021; ) =

1 VHQ( Ď&#x2021; )

tan( Ď&#x2021; ) =

sin( Ď&#x2021; ) cos( Ď&#x2021; )

cot( Ď&#x2021; ) =

1 tan( Ď&#x2021; )

Ă&#x2C6;QJXORVRSXHVWRV 

VHQ(â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = â&#x2C6;&#x2019; VHQ( Ď&#x2021; )



tan(â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = â&#x2C6;&#x2019; tan( Ď&#x2021; )

cos(â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = cos( Ď&#x2021; ) cot(â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = â&#x2C6;&#x2019; cot( Ď&#x2021; )

DVHQĎ&#x2021; + E cos Ď&#x2021; = D 2 + E 2 â&#x2039;&#x2026; VHQ( Ď&#x2021; â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022; )  Ď&#x2022; = â&#x2C6;&#x2019; arctan(E ) D





7HRUHPDGH3LWiJRUDV

VHQ 2 ( Ď&#x2021; ) + cos 2 ( Ď&#x2021; ) = 1 

tan 2 ( Ď&#x2021; ) + 1 = sec 2 ( Ď&#x2021; ) 

cot ( Ď&#x2021; ) + 1 = csc 2 ( Ď&#x2021; ) 2

,GHQWLGDGHVGHVXPDGHiQJXORV



sin( Ď&#x2021; Âą \ ) = sin( Ď&#x2021; ) cos( \ ) Âą cos( Ď&#x2021; ) sin( \ )

cos( Ď&#x2021; Âą \ ) = cos( Ď&#x2021; ) cos( \ ) # sin( Ď&#x2021; ) sin( \ )

tan( Ď&#x2021; Âą \ ) =

tan( Ď&#x2021; ) Âą tan( \ ) 1 # tan( Ď&#x2021; ) tan( \ )

,GHQWLGDGHVSDUDiQJXORVFRPSOHPHQWDULRV 

sin(90 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = cos( Ď&#x2021; ) cos(90 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = sin( Ď&#x2021; ) tan(90 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = cot( Ď&#x2021; ) csc(90 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = sec( Ď&#x2021; ) sec(90 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = â&#x2C6;&#x2019; csc( Ď&#x2021; ) cot(90 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021; ) = tan( Ď&#x2021; )

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Capitulo 1: Preámbulo (6&$/$6 Se denomina escala (E) a la relación constante que existe entre una longitud que es medida en un plano y su correspondiente longitud medida en el terreno. Matemáticamente se puede expresar con la siguiente fórmula:

( 37

Las escalas pueden ser de reducción o de ampliación las escalas de ampliación nos permiten dibujar objetos pequeños para verlos de mayor tamaño, y las escalas de reducción nos permiten llevar objetos grandes a tamaños mas pequeños ya sea en dibujos o en maquetas. Un ejemplo de una escala de ampliación es 3cm = 0.00001m o 1/0.0003 = 3333/1 Existen dos tipos de escalas, numérica o gráfica (VFDOD QXPpULFD Para este tipo de escala existen dos clases: la escala verbal que presenta unidades como 1cm = 1Km y la escala fraccionaria que no presenta unidades. (VFDODYHUEDOEs la escala en donde se emplean las unidades para especificar, la relación que se presenta entre las medidas realizadas en el terreno y sus correspondientes dibujadas en el plano, ejemplos: 2cm : 10m 1in :1M 1cm : 7.50m (VFDODV IUDFFLRQDULDV Es aquella que se representa por medio de una fracción, que tiene como numerador una unidad, los ejemplos de ésta son 1/1000, 1/200, 1/3300. Estas escalas se pueden leer como una unidad medida en el plano representa D unidades en el terreno.

( '

Igualando las dos razones que se tiene hasta el momento de escala se puede expresar de la siguiente manera: Donde

' 37

P = unidades medidas en el plano T = unidades medidas en el terreno D = denominador de la escala 1RWDPara que una escala verbal pueda se utilizada en cálculos se debe transformar dicha escala a una de tipo fraccionaria, haciendo uso del método de conversión de unidades: Eje: 1cm : 33m Para eliminar las unidades debemos convertir los 33m a centímetros así:

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

Quedando de esta forma que la escala verbal es igual a: 1cm : 3300cm por lo tanto la escala fraccionaria es 1/ 3300 1RWD  para pasar una escala de ampliaciĂłn a una forma fraccionaria solo se debe aplicar la formula general de escala, por ejemplo si tomamos la escala con la que se dio ĂŠl ejemplo de escalas de ampliaciĂłn (3cm = 0.00001m) y queremos expresarla en forma fraccionaria debemos hacer:

Como no se pueden operar cantidades de diferente unidad se debe convertir los 0.00001m a cm y luego realizar la operaciĂłn.



Quedando la escala fraccionaria asĂ­: 3333/1 (VFDODVJUDILFDVLa escala grĂĄfica es una lĂ­nea recta dividida en tramos que corresponden a cierto nĂşmero de unidades de longitud en el terreno. Estas escalas nos son muy Ăştiles ya que nos permiten conocer la longitud de una lĂ­nea en un plano directamente sin tener que aplicar fĂłrmulas como las que se vieron anteriormente y ademĂĄs cuando se reduce o se amplia un plano la escala grafica sufre el mismo cambio o variaciĂłn. quiere decir que se conserva la relaciĂłn del plano y el terreno Siendo a si, no es necesario hacer otra escala sino que ĂŠsta se pude seguir utilizando.

Muestra el empleo de las escalas graficas en cartografĂ­a y topografĂ­a &RQVWUXFFLyQGHHVFDODVEl proceso de construcciĂłn de una escala grafica es simple; utilizando la formula 7 3ĂŽ' se calcula la longitud que en el papel representa un nĂşmero adecuado de metros o de kilĂłmetros, de acuerdo con la magnitud de la escala que se este construyendo.

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Capitulo 1: Preámbulo Ejemplo: Dibujar la escala grafica correspondiente a la escala numérica 1: 100.000, sobre una línea de 11cm

Con esto ya se sabe que 1cm en el papel representa 1Km del terreno. En el momento de dibujar la escala se deja 1cm a la izquierda para dibujar lo que se denomina como cabeza o talón, que es una fracción de la escala que se encuentra dividida en partes más pequeñas que el cuerpo de 10cm como lo vemos en la figura

Muestra la escala grafica de 1:100.000

(VFDODVGLDJRQDOHVEs un tipo de escala grafica que por la características de su construcción nos permiten medir subdivisiones de la unidad mas pequeña de la escala, con una precisión considerable. Para comprender mejor miremos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos un plano a escala 1/500, y queremos construir un a escala que además de permitirnos medir los metros, nos de la posibilidad de medir las décimas de metro; lo que se tiene que hacer es trazar una línea base del cuerpo en escala 1:500 que nos represente 50m y un talón de 10m que para esta escala seria dos centímetros a la izquierda. Luego se trazan una líneas perpendiculares a cada división de la línea base (cuerpo y talón), éstas líneas también con una magnitud de 10m, el paso siguiente es dibujar una paralelas a la línea base que crucen las líneas perpendiculares cada metro como vemos en la figura x. como ya se dijo la parte del talón debe ir en fracciones mas pequeñas de la escala para este caso lo dividiremos cada metro, tanto en la línea de la base como en la línea superior y las numeramos en la forma que se ve en el grafico; ésta divisiones comienzan a ser unidas dos a dos por medio de diagonales, quedando unidas en

Esta forma la división cero de la base con la división uno de la línea superior, la división uno de la base con la dos de la línea superior. El fundamento de estas escalas es que al trazar las diagonales en el talón, lo que estamos generando son triángulos semejantes con las líneas paralelas a la base, que hacen que si se bajaran líneas perpendiculares a la base que pasen por el punto de corte, dividirían los segmentos de él talón exactamente en decímetros ver grafico anterior.



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0(','$6<(5525(6

El hombre comienza a adentrarse en el mundo de las mediciones casi en el mismo momento en el que desarrolla su uso de razón, aunque no se de cuenta que lo está haciendo, debido a que es en éste mismo instante donde comienza realizar comparaciones; compara lo que tiene con lo que tiene otros niños, compara sus características físicas con las de otros, etc. Y es que con el hecho de comparar se puede decir que esta midiendo, porque el lenguaje de la medida es el lenguaje de la comparación. ¿Quien puede hablar de que nunca a hecho una comparación? si es que en las cosas mas simples lo hacemos; pensemos en dos personas que van caminando, una de estas comienza a adelantarse, esta persona le dice a la otra que camina muy lento y la otra persona le responde es que su paso es mas largo que el mío, esta persona acaba de hacer una comparación y a si el ser humano compara muchas cosas mas; como la calidad de diferentes objetos, su estado, su durabilidad, el precio, las dimensiones y otras mas. Se concluye por lo tanto que el hombre que realiza una comparación está midiendo, aunque no implique la presencia de valores numéricos precisos. Conociendo que el proceso de medida toma como base la comparación, es de gran importancia dar mas claridad a dicho concepto y esto lo haremos a través de conocer que tipo de comparaciones existen y sus características.

&RPSDUDFLRQHVFXDOLWDWLYDV Como se dijo antes, cuando comparamos dos objetos en forma general, lo que en realidad estamos haciendo es tomar una cualidad que se encuentra presente en los dos y que además nos da una base de comparación para confrontarlas. Como por ejemplo el brillo de dos laminas de metal o el peso de dos ladrillos, etc. Por tanto una forma de realizar una comparación cualitativa, seria tomar el grado de dicha propiedad en cual quiera de los dos objetos y usarla como patrón o unidad de medida para compararla con el otro. Como ejemplo podríamos comparar la intensidad de color de los dos ladrillos que vemos en la grafica. Tomando como patrón o base de comparación el ladrillo A, podríamos decir lo siguiente:

a) El ladrillo B es mas oscuro que al A b) El ladrillo B no tiene un color tan claro como el ladrillo A

&RPSDUDFLRQHVFXDQWLWDWLYDV

)LJXUD

Cuando deseamos medir una propiedad física de un objeto lo primero que debemos hacer es observar e identificar dicha propiedad, saber que vamos a medir, ya que esto trae implicaciones al


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ momento de escoger una unidad de medida y tambiĂŠn el con que se va a medir el grado de semejanza y de diferencia del objeto con el patrĂłn; es en ĂŠste momento donde entran a jugar ideas como las, de cantidad, de posiciĂłn, de cambio y de direcciĂłn. El punto de origen y la direcciĂłn del cambio son ideas importantes que usamos al comparar y al medir. Una conciencia de variaciĂłn o cambio en una propiedad fĂ­sica implica tambiĂŠn una conciencia del estado original desde el cual a cambiado dicha propiedad. Incluyen tambiĂŠn la conciencia del cambio en una direcciĂłn como opuesta al cambio en otra direcciĂłn. (Tomado del libro Medida de la Nacional Council of Teachers of Mathematics) Analizando los ejemplos anteriores podemos ver la importancia o necesidad de tener un punto de origen o punto de referencia desde el cual medir, para tener mayor claridad miremos el siguiente caso. Supongamos una habitaciĂłn cuyo suelo estĂĄ cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura, tomando una baldosa como unidad, y contando el nĂşmero de baldosas medimos la superficie de la habitaciĂłn, 30 baldosas. En la figura inferior, la medida de la misma superficie da una cantidad diferente 15 baldosas.

)LJXUD



La medida de una misma magnitud fĂ­sica (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se han empleado distintas unidades de medida. Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una Ăşnica unidad de medida para una magnitud dada, de modo que la informaciĂłn sea comprendida por todas las personas.

&RQFHSWRGHPHGLGD

Por mediciĂłn entendemos el proceso sistemĂĄtico o tĂŠcnica por la cual asignamos un nĂşmero a una propiedad fĂ­sica de un objeto o conjunto de objetos para representar esas cantidades, con propĂłsitos de comparaciĂłn de dicha propiedad con otra similar tomada como patrĂłn Hl resultado de la medida se expresa con un nĂşmero y una unidad, dependiendo esta Ăşltima del patrĂłn que se haya escogido. En planimetrĂ­a se trabaja con medidas de ĂĄngulos verticales y/o horizontales y distancias verticales y horizontales. El primer paso en el proceso de la ejecuciĂłn de dichas medidas, es como ya se habĂ­a dado a entender con anterioridad, la definiciĂłn de las unidades con que se desea trabajar, el segundo es la selecciĂłn del mĂŠtodo o procedimiento por el cual se efectuaran tales medidas, el tercero es la construcciĂłn de un modelo matemĂĄtico que simplifica la realidad fĂ­sica de los componentes de la medida. Como resultado de los dos primeros pasos se obtienen observaciones o lecturas que se procesan de acuerdo al modelo para obtener los valores requeridos. Los datos obtenidos deben ser los necesarios y solidarios con el modelo para que ĂŠste sea aplicable.

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Capitulo 2: Medida y Errores Un ejemplo sencillo de esto se presenta cuando se desea conocer el área de una figura trigonométrica como el triángulo; en este caso una persona podría medir todos los lados del triangulo y aplicar el modelo matemático del semiperímetro para determinar el área, no le sería posible emplear un modelo como el del seno del ángulo por que la información que posee no es pertinente (no funciona para el modelo).

3URSLHGDGHVGHXQDPHGLGD

En el campo de las matemáticas solo podemos llamar medición al proceso que cumpla las siguientes propiedades. ¾ La medida del conjunto debe ser igual a la suma de las medidas de todas sus partes. Por ejemplo si tuviésemos que medir la distancia entre dos puntos y para ello contáramos solo con una cinta de 10m lo que nos llevaría a medir por tramos para luego sumarlos y obtener el resultado, este debería ser igual, a si lo hiciéramos con una cinta que cubriera toda la distancia ¾ La medida de nada debe ser cero

¾ La medida de una parte de algo no debe ser mayor que la medida del todo. Por ejemplo la medida de medio ángulo es menor que la medida de todo el ángulo. A esta propiedad la llamamos “monotonía” teniendo en cuenta las propiedades anteriores, se puede decir que la propiedad tres es lo mismo que decir que las medidas expresadas por números no negativos ¾ Al repetir una medida debemos obtener los mismos resultados, En cualquier trabajo de medición, si la medida se hace de cierto modo bajo determinadas condiciones físicas, la teoría dice que el resultado debe cumplir con esta propiedad. Claro que en la realidad no se cumple llevándonos a pensar en la incertidumbre de las medidas cosa que estudiaremos mas adelante.

)RUPDVGHPHGLU

Son una gran cantidad de cosas o de propiedades físicas las que el hombre puede medir, pero todas estas no permiten ser medidas de la misma forma debido a las condiciones de medida y a la precisión que se requiere. Las formas o procesos de medida se clasifican de la siguiente manera: ¾ Contar

¾ Medición directa

¾ Medición indirecta

&RQWDU

Esta forma de medir se basa en los números cardinales que nos permiten decir la cantidad de elementos presentes en un conjunto, así por ejemplo se podría expresar el número de mesas que hay en un restaurante luego de contarlas. También se pueden conocer otras cosas a través de contar como conocer las dimensiones de un cuadrado como el que vemos en el dibujo solo conociendo las dimensiones de uno de los rectángulos internos y contando cuantas veces este se repite dentro de dicho cuadro

1

Tomado del libro Medida de la Nacional Council of Teachers of Mathematics

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

Dimensiones de un cuadro interno 2 cm de largo por 1.2 cm, para determinar las dimensiones contarĂ­amos que por un lado tiene tres rectĂĄngulos y estos tiene por ese lado una dimensiĂłn de 2 cm por lo tanto el cuadro tiene 6 cm de lado )LJXUD

0HGLFLyQGLUHFWD Esta forma de medida consiste en realizar una comparaciĂłn directa entre una unidad que se asume como patrĂłn de medida y lo que se piensa medir, por ejemplo si queremos conocer la estatura de una persona, ĂŠsta persona se coloca al lado de una cinta mĂŠtrica que se encuentra en posiciĂłn vertical y se realiza la comparaciĂłn. Este proceso es una medida relativa porque los nĂşmeros de la magnitud dependen de la unidad seleccionada y esta selecciĂłn es un tanto arbitraria.

0HGLFLyQLQGLUHFWD Es aquella medida en la cual no es posible efectuar en forma sencilla la mediciĂłn directa, esto se presenta en algunas situaciones como por ejemplo cuando se desea medir la altura a la cual vuela un aviĂłn o la altura de un edificio bastante elevado, por lo tanto para llegar al resultado es necesario la aplicaciĂłn de un modelo matemĂĄtico y instrumentos ingeniosos que faciliten la obtenciĂłn de otra informaciones que despuĂŠs de ser procesadas con el modelo, dando el resultado esperado. Otra situaciĂłn donde se aplica la mediciĂłn indirecta es cuando se quieren medir las propiedades de algunos objetos que no son obtenibles por mediciĂłn directa: temperatura, velocidad, peso, densidad, etc. En dichas situaciones se hace la medida con instrumentos en los cuales el resultado se logra por la lectura en una pantalla o la posiciĂłn de una aguja Ă­ndice la cual nos permiten registrar la cantidad de dichas fuerzas fĂ­sicas sobre una escala numĂŠrica.

'LVWULEXFLyQQRUPDO 

Atendiendo a las necesidades de las profesiones en las cuales se trabaja con medidas u observaciones, de determinar el comportamiento de estas y las precisiĂłn con que se obtienen los resultados de medidas, se estable que los datos que son producto de lecturas o medidas, como las que se efectĂşan en topografĂ­a, tienen la caracterĂ­stica de ser variables aleatorias continuas, ya que pueden tomar cualquier valor fraccionario en un rango determinado de valores, desde que sean posibles y probables dentro de dicho rango, en el cual existen un numero infinito de posibilidades; claro estĂĄ que no se pueden seĂąalar todos los valores posibles con su probabilidad, pudiendo solo tomar los valores que permita la precisiĂłn con que se estĂĄn realizando las observaciones. Un ejemplo que nos permite entender con mayor facilidad este concepto, es el siguiente: Pensemos en un dado de juegos de azar; este tiene los nĂşmeros del uno al seis, si le preguntamos a una persona que elija un nĂşmero para ver si al lanzar el dado, el numero escogido cae, y esta persona nos contesta que piensa que caerĂĄ el nĂşmero siete, lo primero que podemos pensar es que

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Capitulo 2: Medida y Errores no es posible que éste caiga; por la sencilla razón de que se encuentra fuera del rango del dado, no cumpliendo así con las características para considerarse como un valor acertado para el intervalo o rango que se esta manejando. Al lazar un dado en repetidas ocasiones los valores obtenidos siempre serán números diferentes, pero que están presentes en el dado, esto es debido a cambios en las condiciones de cada lanzamiento, que no pueden ser controladas; de forma similar se presentan cuando realizamos mediciones con distintos instrumentos y distintos medidores, en las cuales se encuentran resultados distintos; a estos cambios es a lo que denominamos errores aleatorios. El comportamiento de estos resultados se ha logrado caracterizar estableciendo ciertas leyes de distribución, llamadas distribuciones normales. La distribución normal es una distribución de probabilidad continua que agrupa los datos igualmente alrededor de la media o valor más probable, esta se representa por la grafica de una función, que es una curva en forma de campana denominada, curva de probabilidad, campana de Gauss o curva de error, ésta curva nos ilustra en forma sencilla la manera en que se presentan los resultados de las observaciones o en otras palabras la dispersión de dichos datos (área bajo la curva de la grafica que tiene como limite en las abscisas los puntos de inflexión), en ella podemos encontrar como abscisas los valores del error y como ordenadas la frecuencia de ocurrencia de los errores.

)LJXUD

Una grafica de distribución normal nos proporciona la siguiente información: 9 9 9

La forma simétrica en se encuentran distribuidos los valores respecto a un valor central o más probable. La forma en que se propagan o dispersan los valores obtenidos. Se puede inferir la precisión de los resultados de la medidas (una curva alta y estrecha representa una buena precisión, una curva baja y ancha nos indica una pobre precisión).

Veamos los gráficos que ilustran el tercer punto.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ En este grafico podemos observar varias distribuciones, que tienen el mismo valor central pero diferente dispersiĂłn. La curva de color morado nos muestra una distribuciĂłn para una serie de medidas con una muy buena precisiĂłn y una curva de color magenta, baja y ancha que nos indica que tienen una pobre precisiĂłn. Las distribuciones de color violeta y verde son funciones de dispersiĂłn intermedia por tanto no son de precisiĂłn intermedia. )LJXUD

NOTA: Las curvas de distribuciĂłn que observamos anteriormente tiene la caracterĂ­stica de tener un mismo valor central, pero presentan dispersiones diferentes, que nos pueden indicar como estĂĄn los resultados de las medidas efectuadas (ver concepto de desviaciĂłn normal). Por lo tanto para complementar se puede decir que un conjunto de observaciones se encuentran normalmente distribuidas cuando cumplen con las siguientes condiciones: â&#x20AC;˘

En el intervalo de Âą (este valor es la abscisa del punto de inflexiĂłn) se encuentran concentrados el 68.26% de los datos, esto quiere decir que si tomamos el valor mas probable y le sumamos o le restamos la desviaciĂłn estĂĄndar se crea un intervalo en el que se deben encontrar el 68.26% de los datos que se obtuvieron en el proceso de mediciĂłn.

â&#x20AC;˘

En el intervalo de se toman

â&#x20AC;˘

En el intervalo Âą 3 se deben concentrar el 99.7% de los datos o resultado de la observaciones realizadas.

Âą

se encuentran concentrados el 95.4% de los datos, significa que si

Se puede decir que la probabilidad de que un resultado se desviĂŠ de la media en mĂĄs de tres veces la desviaciĂłn estĂĄndar (siendo esta el alejamiento que existe entre el valor medio y los lĂ­mites de los intervalos descritos anteriormente) es de casi 1 entre 400, y en mĂĄs de cuatro veces, del alrededor de 1 entre 10000. AsĂ­, cuando el resultado se desvĂ­a en una cantidad grande de la media es posible que se halla operado en circunstancias poco usuales y que el resultado no pertenezca a la misma distribuciĂłn normal. En este caso es razonable rechazar la observaciĂłn dudosa, practica usual si la desviaciĂłn de la media es mayor que tres veces la desviaciĂłn estĂĄndar.

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Capitulo 2: Medida y Errores

3UHFLVLyQ\H[DFWLWXG En la mayoría de las ocasiones las personas creen que precisión y exactitud son sinónimos, técnicamente en la realidad esto no es cierto, estos dos términos expresan cosas muy diferentes cuando estamos hablando en un lenguaje como en el de topografía, donde ya dejan de ser sinónimos para convertirse en conceptos que nos permitan calificar la calida de las medidas.

3UHFLVLyQ

La precisión la podemos definir como el grado de refinamiento y uniformidad de los resultados cuando se realiza una medida. Esta nos da una indicación de la dispersión de los valores en una cantidad medida, varios valores agrupados entre si constituyen un conjunto de medidas mas preciso, que otro con valores mas dispersos. En otras palabras la precisión está relacionada con la calidad de los procesos de medida.

)LJXUD La precisión se encuentra muy relacionada con la mínima división de la escala del instrumento de medida y con el estado del instrumento mismo. Para entender mejor lo que es la precisión analicemos el siguiente ejemplo:

En la (ILJ se muestran los impactos de los disparos de un tirador, que a pesar de no atinarle al blanco, muestra una uniformidad en sus resultados ya que estos se agrupan alrededor de un centro de gravedad, todos han quedado en la misma zona repartidos en tal forma que hay la misma cantidad a izquierda y a derecha, arriba y abajo, que además existe mayor cantidad de impactos cerca al centro y menos hacia los extremos (periferia). De lo anteriormente dicho se puede inferir que la precisión nos da una idea de la calidad del manejo de un instrumento para la obtención de un resultado.

([DFWLWXG

De la exactitud podemos decir que es el grado de acercamiento a la verdad o sea que es la cercanía entre el valor medido (Vm) de una magnitud y el valor verdadero (Vv) de esta. Por lo tanto la exactitud de una medida se refiere a la cercanía entre Vm y Vv, una diferencia pequeña significa gran exactitud y viceversa. El verdadero valor de una cantidad rara vez se conoce por lo tanto la diferencia o error y la exactitud son también desconocidos. Debido a que la exactitud como ya dijimos es indeterminada en la practica necesitamos de otros conceptos que nos permitan determinar la calidad de una medida, es decidir entre varias cual es la mejor. La precisión nos permite hacer este juicio. Para comprender mejor lo que es exactitud recordemos el ejemplo anterior: ILJ

En éste se ve que el centro de gravedad de de los impactos está desplazado del centro de la diana, abajo y a la derecha, lo que equivale a la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero; la discrepancia que existe en el ejemplo se debe a unos errores que se denominan sistemáticos.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD D 

)LJXUD E 

)LJXUD F 

De los ejemplos anteriores (9HUILJ D  E  F

se puede concluir que una medida es mas precisa en cuanto menores son los errores accidentales, y mĂĄs exacta cuando mĂĄs reducidos son los errores sistemĂĄticos y ademĂĄs que: 1. Los errores positivos y negativos de la misma magnitud, tienen aproximadamente la misma frecuencia, de manera que su suma tiende a cero. 2. Los pequeĂąos errores son mas frecuentes que los grandes.

3. Los grandes errores como (impactos del grafico F) son escasos.

,QFHUWLGXPEUHGHODVPHGLGDV

Todas las ciencias experimentales se fundamentan en la experiencia, y ĂŠsta a su vez en la determinaciĂłn cuantitativa de las magnitudes pertinentes. En definitiva, todas las ciencias precisan de la medida, ya sea directa o indirecta de magnitudes fĂ­sicas. Las medidas nunca permiten obtener el â&#x20AC;&#x153;verdadero valorâ&#x20AC;? de la magnitud que se mide. Esto es debido a multitud de razones. Las mĂĄs evidentes son las imperfecciones, inevitables en un cierto grado, de los aparatos y de nuestros sentidos. El â&#x20AC;&#x153;verdadero valorâ&#x20AC;? de una magnitud no es accesible en la realidad y por ello resulta mĂĄs adecuado hablar en algunas de un valor teĂłrico (Vt) o de estimaciones, medidas o aproximaciones del valor de una magnitud. Independientemente de estas consideraciones, en el ĂĄmbito de la topografĂ­a se sabe que no tiene sentido hablar del YHUGDGHUR YDORUGHXQDPDJQLWXG, sino sĂłlo de la SUREDELOLGDG de obtener uno u otro valor en una determinada medida.

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Capitulo 2: Medida y Errores La consecuencia de las consideraciones anteriores, es que toda medida es incierta o está dotada de un cierto grado de incertidumbre. Es esencial estimar ésta incertidumbre, primero porque el conocimiento de la incertidumbre aumenta la información que proporciona la medida, y segundo, porque este conocimiento permite manejar las medidas con la prudencia que dicta el conocimiento de la confianza que nos merecen. Cuando se exprese el resultado de una medida es pues necesario especificar WUHV elementos: número, unidad e incertidumbre. La ausencia de alguna de ellas elimina o limita la información que proporciona.

(UURUHV El significado de la palabra “error” no es muy preciso, puesto que con frecuencia autores diferentes lo emplean con sentidos diferentes. En un sentido amplio puede considerarse el error como una estimación o cuantificación de la incertidumbre de una medida o sea de la diferencia entre un Vm y un Vv o Vt. Cuanto más incierta sea una medida, tanto mayor será el error que posee la misma. 6XHOHQGLVWLQJXLUVHGRVWLSRVGHHUURUHVHUURUHVVLVWHPiWLFRV\DFFLGHQWDOHV.

(UURUHVVLVWHPiWLFRV

Es una discrepancia que surge al momento de medir por el empleo de un método inadecuado, un instrumento defectuoso (falta de calibración) o bien por usarlo en condiciones (ambientales) para las que no estaba diseñado, éste no tiene que ver con la calidad del trabajo. Es aquel que, en iguales condiciones, afectan el resultado con la misma magnitud y con el mismo signo (positivo o negativo). Por ejemplo, emplear una regla metálica a una temperatura muy alta, puede introducir un error sistemático si la dilatación del material hace que su longitud sea mayor que la estándar. En este caso, todas las medidas pecarán (sistemáticamente) por defecto. Medir una magnitud con un instrumento graduado a una escala, suponiendo por equivocación que está graduado en otra, introduce también un error sistemático en la medida que en este caso se debe a fallas de observador. Los errores sistemáticos deben ser eliminados, en lo posible, ya sea teniéndolos en cuenta en el momento de realizar los caculos o empleando métodos de medición apropiados y instrumentos que se encuentren calibrados o empleándolos para las condiciones que fueron fabricados

127$Una medida tiene mayor cercanía al resultado real, cuando en el proceso de medición no se presentan errores sistemáticos. Realmente en algunas ocasiones los errores sistemáticos se toman como equivocaciones que se consideran como evitables. Estos no tienen que ver con la calidad del trabajo (MHPSORV

) Error de calibración del instrumento de medida.

) Posición incorrecta de la aguja (Error de índice). ) Colocar el índice donde no corresponde.

) Mala calibración de aparatos electrónicos (Distanciómetro).

) Errores de construcción del instrumento (excentricidad de círculos graduados). 2

Tomado de las notas de clase. Errores. Profesor Gilberto Gómez Gómez.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ ) Condiciones ambientales inadecuadas (humedad, temperatura, luminosidad, etc.).

) TĂŠcnicas imperfectas (procedimientos no adecuados, como asumir siempre que el hilo medio del retĂ­culo va a ser siempre igual ala altura instrumental. ) Modelo matemĂĄtico incorrecto (se aplica la formula no adecuada). ) TeorĂ­as incorrectas.

(UURUHVDFFLGHQWDOHV Estos son los que llamaremos simplemente errores en el sentido tĂŠcnico de la palabra. Son incertidumbres debidas a numerosas causas incontrolables e imprevisibles que hacen que los resultados obtenidos no cumplan con la cuarta propiedad de las medidas. Los errores accidentales, parecen fruto del azar, y por ello reciben el nombre de aleatorios. Pueden ser debidos a la acumulaciĂłn de muchas irregularidades sistemĂĄticas o bien pueden provenir de variaciones incontrolables a un nivel muy pequeĂąo de las condiciones de observaciĂłn. Esto quiere decir que estos errores son provocados por irregularidades de la atmĂłsfera al medir, fallas pequeĂąas de nuestros sentidos, o por problemas inevitables en la construcciĂłn de los instrumentos. Aunque la presencia de los errores accidentales no pueda evitarse, estos se pueden considerar como compensables. 127$En una medida cuando los errores aleatorios son pocos es por que ĂŠsta presenta la medida presenta una buena precisiĂłn. (MHPSORV

) Errores de apreciaciĂłn (lectura en las escalas).

) Errores por cambio de temperatura en el sitio de trabajo. ) Errores inducidos por el viento.

) Asentamiento del trĂ­pode (terrenos blandos).

) Falta de definiciĂłn (al dar lĂ­nea con la plomada).



) Errores de manipulaciĂłn de la cinta.

&DXVDVGHHUURUHV Existen tres causas debido a las cuales se presentan los errores al efectuar mediciones, y se clasifican de la siguiente manera:

ž (UURUHV1DWXUDOHV Son causados por variaciones del viento, la temperatura, la humedad, la presión atmosfÊrica, la refracción atmosfÊrica, la gravedad y la declinación magnÊtica. Un ejemplo es una cinta de acero cuya longitud varía con los cambios de temperatura.

ž (UURUHV ,QVWUXPHQWDOHV Estos se deben a imperfecciones en la construcción o ajuste de los instrumentos y del movimiento de sus partes individuales. Por ejemplo, las graduaciones sobre una escala pueden no estar perfectamente espaciadas o la escala puede estar torcida.

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Capitulo 2: Medida y Errores El resultado de muchos errores instrumentales pueden reducirse, e incluso eliminarse, adoptando procedimientos adecuados o aplicando correcciones calculadas. ¾ (UURUHV3HUVRQDOHV Estos tienen su origen principalmente en las limitaciones propias de los sentidos humanos, tales como la vista, el oído y el tacto. Por ejemplo, existe un error pequeño en el valor medido de un ángulo horizontal cuando el hilo vertical de la retícula del anteojo de un teodolito no queda perfectamente alineado sobre el objetivo.

(UURUUHDO

Por motivos ya expuestos, y por su propia naturaleza, no es posible determinar exactamente un error. En el mejor de los casos, puede llegarse a una estimación de ese error. Se llama error real (Er) a la diferencia entre el valor medido (Vm) y el valor verdadero (Vv) de la respectiva magnitud:

(D = 9P − 9Y

En la práctica puede tomarse como valor verdadero al hallado a través de un cálculo estadístico de un gran número de mediciones, que se adopta como valor convencional (Vc).

(DF = 9P − 9YF

De las fórmulas anteriores se desprende que el error absoluto será positivo cuando se mida en exceso y negativo cuando se lo haga en defecto. El valor del error absoluto no nos da una idea clara de la bondad de la medición efectuada. Por ejemplo, es muy distinto cometer un error de 10cm al medir 13200m, que al medir 220m. Esto implica probabilidad

que la magnitud medida se encuentra en un intervalo con una determinada

9P = [ ± δ [ (XQLGDG )

([ − δ [, [ + δ [ )

Con una medida logramos acotar el intervalo de valores en los que se encuentra la magnitud que pretendemos medir, pero siempre con una determinada probabilidad. Es evidente que el error expresado por es una magnitud de la misma clase que la medida y se expresa por tanto con la debe ser mucho misma unidad. También es claro que en las medidas de calidad normal el error es siempre positivo; éste es el que llamamos error menor que el valor nominal, [. Por definición absoluto.

(UURUUHODWLYR Tiene también interés el error relativo, que se define como la razón entre el número de unidades en el (error absoluto) y el número de unidades en la medida |x|.

(U =

δ[ [

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Planimetría________________________________________________________________ Ejemplo: Se realizo una medida de 14.5 cm, esto nos manifiesta que la precisión de la medida es de 0.1 cm. Por tal motivo el måximo error posible serå ½ de 0.1cm entonces el error relativo es igual:

(U =

0.05FP = 0.003 14.5FP

En medidas de una cierta calidad, el error relativo debe ser mucho menor que la unidad. Frecuentemente se expresa multiplicado por 100, con lo que aparece en tanto por ciento del valor medido:

(U (% ) =

&LIUDVVLJQLILFDWLYDV

δ[ Ă&#x2014; 100% [

Se considera que las cifras significativas de un nĂşmero son aquellas que tienen significado real o aportan alguna informaciĂłn. Las que no lo son aparecen como resultado de los cĂĄlculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un nĂşmero vienen determinadas por su error. Cuando nos referimos a trabajos de topografĂ­a o de otras profesiones donde tengan gran importancias el acotamiento de estos es de gran relevancia esta frase: Son cifras significativas aquellas que ocupan una posiciĂłn igual o superior al orden o posiciĂłn del error permisible por la precisiĂłn. Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5.392,3412 m con un error de 0,6 m. El error es por tanto del orden de dĂŠcimas de metro. Es evidente que todas las cifras del nĂşmero que ocupan una posiciĂłn PHQRU que las dĂŠcimas no aportan ninguna informaciĂłn. En efecto, ÂżquĂŠ sentido tiene dar el nĂşmero con precisiĂłn de diezmilĂŠsimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el nĂşmero serĂĄn por tanto las que ocupan la posiciĂłn de las dĂŠcimas, unidades, decenas, etc, pero QR las centĂŠsimas, milĂŠsimas y diezmilĂŠsimas. Cuando se expresa un nĂşmero debe evitarse siempre la utilizaciĂłn de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusiĂłn. Los nĂşmeros deben redondearse de forma que contengan sĂłlo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminaciĂłn de cifras no significativas de un nĂşmero. Una Ăşltima forma de expresar el error de un nĂşmero consiste en afirmar que todas sus cifras son significativas. Esto significa que el error es del orden de media unidad de la Ăşltima cifra que se muestra. Por ejemplo, si el resultado de una medida de longitud es de 5.432,8 m, y afirmamos que todas las cifras son significativas, quiere decirse que el error es del orden de 0,5 m, puesto que la Ăşltima cifra mostrada es del orden de las dĂŠcimas de metro. ÂżCĂłmo pueden determinarse las cifras significativas a partir del nĂşmero que expresa el error?. Hay que tener siempre presente que todo error es una estimaciĂłn y estĂĄ por tanto sujeto a su vez a una incertidumbre, generalmente grande. Por esto no tiene sentido especificarlo con excesiva precisiĂłn. Salvo casos excepcionales, se expresarĂĄ con XQDVRODFLIUDVLJQLILFDWLYD. 127$: La tendencia a la mĂĄxima precisiĂłn cuando no es necesaria es tambiĂŠn un equivoco porque lleva a la perdida de tiempo y dinero.

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Capitulo 2: Medida y Errores

(VWLPDFLyQGHOHUURUGHXQDPHGLGDGLUHFWD Cuando realizamos una medida y al repetirla obtenemos el mismo valor, esto no es necesariamente un indicio de que la medida esta bien efectuada. Obtener exactamente el mismo valor al repetir la medida es un indicio de que el instrumento es muy "fiel", pero tanta fidelidad lo que pone de manifiesto es una falta de "sensibilidad" en el instrumento de medida. La estimaciĂłn del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, es importante que el observador sea experimentado y asĂ­ pueda estimar con buena aproximaciĂłn cuĂĄl es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar de donde proviene un error que su propio valor. Sin embargo, la aplicaciĂłn de algunos mĂŠtodos estadĂ­sticos permite estimar en gran medida errores aleatorios.

9DORUPiVSUREDEOH 

Como se hablo cuando se trato el tema del error real, para poder determinar este, es necesario encontrar un valor que remplace el valor verdadero y con tal fin se emplea el valor mĂĄs probable que se calcula con la media aritmĂŠtica de los resultados de las mediciones Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de minimizar los errores aleatorios, los resultados obtenidos son [ [  [Q se adopta como mejor estimaciĂłn del valor verdadero, el valor medio , que viene dado por = Valor mĂĄs probable o media Ă&#x2014; = NĂşmero de observaciones = el valor de cada observaciĂłn El valor medio, se aproximarĂĄ tanto mĂĄs al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el nĂşmero de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la prĂĄctica, no debe pasarse de un cierto nĂşmero de medidas. En general, es suficiente con diez, e incluso podrĂ­an bastar cuatro Ăł cinco. Cuando la sensibilidad del mĂŠtodo o de los aparatos utilizados es pequeĂąa comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repeticiĂłn de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, estĂĄ claro que el valor medio coincidirĂĄ con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repeticiĂłn de la medida y del cĂĄlculo del valor medio, por lo que VRODPHQWHVHUiQHFHVDULRHQHVWHFDVRKDFHUXQDVRODPHGLGD.

'LVSHUVLyQ\HUURU'HVYLDFLyQHVWiQGDU De acuerdo con la teorĂ­a de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias. Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersiĂłn de los valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la mediciĂłn son muy parecidos, es lĂłgico pensar que el error es pequeĂąo, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Se toma como la mejor y la mĂĄs apropiada estimaciĂłn del error, la desviaciĂłn media, es decir, el valor medio de la diferencia de los datos respecto al valor central. Sin embargo, como los datos difieren tanto por defecto como por exceso del valor medio, tal desviaciĂłn se aproximarĂ­a a cero. Para evitarlo suele tomarse, no el valor medio de las desviaciones, sino el valor medio de las desviaciones al cuadrado. De esta forma todos los sumandos son positivos. Para que la unidad de este nĂşmero sea homogĂŠnea con la de los datos, se extrae la raĂ­z cuadrada. El valor resultante se conoce como HUURUPHGLRFXDGUiWLFR definido por = error medio cuadrĂĄtico = Valor mĂĄs probable o media = NĂşmero de observaciones = el valor de cada observaciĂłn /DLGHQWLILFDFLyQGHOHUURUGHXQYDORUH[SHULPHQWDOFRQHOHUURUFXDGUiWLFR REWHQLGRGHQ PHGLGDVGLUHFWDVFRQVHFXWLYDVVRODPHQWHHVYiOLGRHQHOFDVRGH TXH HO HUURU FXDGUiWLFR VHD PD\RU TXH HO HUURU LQVWUXPHQWDO HV GHFLU TXH DTXpOTXHYLHQHGHILQLGRSRUODUHVROXFLyQGHODSDUDWRGHPHGLGD Tomado del ArtĂ­culo TeorĂ­a de Errores. (Departamento de FĂ­sica Aplicada, E.U.I.T.I y T.) Universidad del PaĂ­s Vasco.

Es evidente, por ejemplo, tomando el caso mĂĄs extremo, que si el resultado de las Q medidas ha sido el mismo, el error cuadrĂĄtico, de acuerdo con la formula serĂĄ cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental serĂĄ el error de la medida. Adoptando un criterio pesimista, podrĂ­a decirse que el error es la semidiferencia entre el valor mĂĄximo y el mĂ­nimo.

'RQGH [ â&#x2C6;&#x2019; [ = 9DULDQ]D (Y)

(

L

)

Cuando el nĂşmero de datos es pequeĂąo, suele preferirse el cĂĄlculo de la desviaciĂłn normal por la ecuaciĂłn:

La primera suele llamarse desviaciĂłn estĂĄndar de poblaciĂłn, y la segunda desviaciĂłn estĂĄndar muestral. Uno de los motivos de preferir la segunda, es que cuando medimos una sola vez, el resultado de la ecuaciĂłn es 6 = 0 / 0 , es decir un nĂşmero indefinido. Efectivamente, midiendo una magnitud una sola vez, no tenemos informaciĂłn alguna sobre su error, y por lo tanto ĂŠste debe permanecer indefinido. Sin embargo la segunda expresiĂłn conducirĂ­a a un error nulo.

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Capitulo 2: Medida y Errores Las dos expresiones se emplean, aunque en la práctica, y si el número de medidas es grande, la diferencia entre emplear una u otra es muy pequeña. La más empleada es la segunda.

$SOLFDFLRQHVGHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHQWRSRJUDItD 

Las aplicaciones del concepto de desviación estándar en topografía son muchísimas y como sabemos los trabajos topográficos son basados en las medidas de distancias y ángulos, las cuales implican errores de tipo aleatorio por tal motivo se han desarrollado formas de tratarlo empleando dicho concepto, ahora bien en topografía podemos hablar de observaciones de igual valor de certeza u observaciones de diferente valor de certeza, siendo así no podemos tratarlos de igual forma, vemos como se aplica el error medio cuadrático para el tratamiento de las observaciones.

2EVHUYDFLRQHVGHLJXDOYDORUGHFHUWH]D (UURUGHODVHULH 



En topografía se realizan diferentes tipos de medidas y como se ha dicho en párrafos anteriores ninguna está libre de error, como por ejemplo las distancias de una poligonal que como ideal debíamos expresarlas con su magnitud y error respectivamente; si queremos el error total aplicamos el concepto de error que es la suma de todos los errores de una serie de datos obtenidos, este concepto puede ser expresado en forma matemática de la siguiente forma:

(VXPD = [12 + [22 +  [Q2

En el caso en que se puedan considerar que todos los datos de la serie poseen un mismo error o , esto quiere decir que las medidas son homogéneas y es posible expresarlas matemáticamente de la siguiente forma:

(VXPD = ( Q

Veamos el ejemplo más común que es el de una poligonal de la cual conocemos sus cinco ángulos y que determinamos que para cada medida se hace presente un error de 1’, se podría decir que el error de la suma es igual a:

(VXPD = 1’ 5 = 2.2’

(UURUGHODPHGLD

Como se ha hablado en partes anteriores para determinar el valor mas probable de una serie de medidas u observaciones repetidas se emplea la media aritmética, debiéndose tener en cuenta que esta media también tiene errores, ya que al realizar la sumatoria de las medidas, para luego dividirla en el número de observaciones. Se tiene en cada una de ellas un error, se puede decir que el error de la media es igual a tomar el error de suma de los datos y dividirla en el número de repeticiones hechas. Luego reemplazando en error de la suma por su equivalencia en el error de la serie, se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:

(PF [ =

(PF Q

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ La importancia del error de la media radica en que nos permite estimar la calidad del error medio cuadrĂĄtico de los resultados obtenidos de las medidas.

2EVHUYDFLRQHVGHGLIHUHQWHYDORUGHFHUWH]D 

Anteriormente tratamos las observaciones que presentaban la caracterĂ­stica de tener un mismo valor de certeza; pero existe una gran cantidad de operaciones realizadas por los topografos que no cumplen esta condiciĂłn por lo tanto para estimar o determinar elementos como el valor mas probable y error medio cuadrĂĄtico se deben integrar a los conceptos anteriormente visto la idea del peso de las observaciones.

3HVRGHODVPHGLGDV

Podemos definir como peso de una observaciĂłn, el valor numĂŠrico que se le asigna a los resultados de una cantidad de medidas para indicar la precisiĂłn o calidad con que fueron obtenidas cada una de ellas, esto nos indica que para este caso las medidas son heterogĂŠneas. El peso se expresa con un nĂşmero positivo inversamente proporcional a un factor que nos permite inferir la precisiĂłn de las observaciones, siguiendo con ĂŠsta idea se puede afirmar que el mejor factor empleado es el error medio cuadrĂĄtico. Donde Âľ es un valor teĂłrico de la magnitud real desconocida, por tal motivo el peso de una o varias mediciones heterogĂŠneas se expresa asĂ­:

3=Z=

Âľ (PF 2

Donde C es igual a un nĂşmero entero constante, de unidades iguales al error medio cuadrĂĄtico, si las magnitudes son del mismo genero; en un caso contrario no poseen unidades. En la mayorĂ­a de las ocasiones este valor es reemplazado por 1.

3=Z=

0HGLDSRQGHUDGD

1 (PF 2

Como ya se ha hablado, en caso de las medidas heterogĂŠneas de cualquier magnitud es menester tambiĂŠn determinar el valor mas probable de un conjunto de medidas, pero dicho valor depende en este momento del peso que posea cada una de estas, ya que al hacerse presente el concepto de peso este causa el valor mas probable se encuentre mas cercano en un rango determinado a la medida que presente mayor peso. Ya que es necesario tener en cuenta los pesos de las observaciones para calcular la media esta queda expresada matemĂĄticamente asĂ­:

[=

(UURUGHODPHGLDSRQGHUDGD

[1 S1 + [ 2 S 2 +  [ Q S Q Q

Al igual que en las observaciones de igual valor de certeza existe un error y la forma de determinarlo, en las observaciones o en las medidas heterogĂŠneas tambiĂŠn se puede determinar este valor empleando la siguiente formula, en la cual tambiĂŠn se tiene en cuenta los pesos. (PS =

â&#x2C6;&#x2018; (3Y ) â&#x2C6;&#x2018; 3(Q â&#x2C6;&#x2019; 1) 2

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7(2'2/,72 En los trabajos de levantamientos, son esenciales las mediciones de distancias y/o ángulos y con este fin son empleados diferentes instrumentos, entre los que se encuentra el teodolito. Este instrumento fundamentalmente se emplea para la medición de ángulos, por esto toma el nombre genérico de (goniómetro) (gonia Æ ángulo y metrón Æ medida). Los goniómetros que se utilizan en topografía; son de plano horizontal o de plano vertical y los que pueden trabajar en ambos planos se denominan goniómetros universales, este instrumento lo conocemos como teodolito o tránsito.

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItDSODQD /HRQDUGR&DVDQRYD0DWHUD

Los tránsitos en su forma mas simple están compuestos de una base nivelante (parte fija), la alidada (parte móvil) que gira sobre un eje vertical y un telescopio, que rota sobre un eje horizontal generando un plano vertical. Por ser este un goniómetro universal se encuentra provisto de un círculo vertical y un círculo horizontal.


PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________ El inventor del termino teodolito â&#x20AC;&#x153;fue Leonard Dignesâ&#x20AC;? quien escribiĂł de la descripciĂłn del instrumento en un texto con el nombre de The Construction of an Instrument Topographical Surveing Most Commodioly for all Manner of Measurations. Dicha descripciĂłn fue publicada en el siglo XVI por su hijo Thomas; a partir de este momento los topĂłgrafos ingleses dedicaron sus esfuerzos al desarrollo de dicho instrumento, los teodolitos que resultaron de ĂŠste esfuerzo eran muy grandes con cĂ­rculos horizontales de 3 ft de diĂĄmetro. El tamaĂąo de estos limbos se debe a la relaciĂłn que existe entre el tamaĂąo del cĂ­rculo y la precisiĂłn de medida angular ya que al ser mĂĄs grandes permiten que se puedan marcar mĂĄs divisiones en ĂŠl. Como no se habĂ­a desarrollado hasta el momento sistemas Ăłpticos de lectura, era necesario utilizar cĂ­rculos muy grandes para obtener una buena precisiĂłn, otra caracterĂ­stica de los primeros teodolitos es que no poseĂ­an limbo vertical por lo tanto no se podĂ­an efectuar mediciones angulares verticales. Los teodolitos continuaron evolucionando y se construyeron equipos mas pequeĂąos que conservaban la precisiĂłn de medida angular y en algunos se mejoraba, adicionalmente se les logro colocar cĂ­rculos verticales, estos equipos se les denomino trĂĄnsitos. En la actualidad encontramos equipos con sistemas de lectura completamente electrĂłnicos y con otros aditamentos que hacen mas fĂĄcil y aligeran el trabajo del topĂłgrafo, claro que estos instrumentos siguen conservando sus finalidades iniciales. 9 9 9 9 9

Medir y trazar ĂĄngulos verticales Medir y trazar ĂĄngulos horizontales Trazar alineamientos MediciĂłn Ăłptica de distancias MediciĂłn electrĂłnica de distancias.

'LVSRVLFLyQGHORVHMHVGHOWUDQVLWR En los trĂĄnsitos para garantizar la mediciĂłn exacta de los ĂĄngulos verticales tanto como horizontales y la mediciĂłn Ăłptica de distancias, ĂŠste debe cumplir unas condiciones en la disposiciĂłn de los ejes, estas son: 1. el eje vertical (vv) debe ser perpendicular a el eje del nivel (LL) 2. el eje vertical (vv) debe ser perpendicular al eje horizontal o basculante (HH) 3. el eje horizontal (HH) debe ser perpendicular al eje de punterĂ­a (zz) Debido al el trabajo continuo con los instrumentos, estas disposiciones pueden cambiar, por lo cual se debe estar realizando un control del estado del instrumento. Cuando en esta revisiĂłn se encuentren diferencias suficientemente grandes para que reduzcan la calidad de las observaciones se deben llevar acabo las correcciones pertinentes.

)LJXUD7RPDGDGH/HLFD *HR6\VWHPV0DQXDOGH(PSOHR 7

Las condiciones 1 y 3 pueden ser corregidas por los topĂłgrafos de diferentes formas que veremos mĂĄs adelante, la condiciĂłn 2 solo puede ser corregida en fĂĄbrica por un especialista. Por esto cuando trabajamos con un equipo asumimos que esta condiciĂłn se cumple siempre.

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Capitulo 3: Teodolito

%DVHQLYHODQWH Es la parte del transito que descansa, sobre el plato del trípode, provista de una placa de acoplamiento, dicha placa puede tener dos sistemas de fijación al trípode, uno de estos es el sistema de tornillo ( ILJ  E

o el sistema de bayoneta ( ILJ  D

 También tiene unos tornillos de nivelación montados sobre la placa y un nivel circular o de blanco. Todo este conjunto puede ser calado en posición horizontal con ayuda de los tornillos de nivelación y un nivel circular (calado aproximado) o con un nivel tubular que se encuentra en la alidada. Al mover los tornillos podemos cambiar la inclinación de la base hasta lograr colocar la burbuja del nivel quede dentro de sus reparos centrales y así asegurar que la base del transito se encuentra en posición horizontal. Existen dos sistemas de tornillos para la base nivelante: 9 Sistema de tornillos verticales 9 Sistema de tornillos horizontales

)LJXUD D 7RPDGDGH &DUWLOODV.HUQ

)LJXUD E  7RPDGDGH/HLFD*HR6\VWHPV 0DQXDOGH(PSOHR7( 5 

En el sistema de tornillos verticales; estos están dispuestos en un numero de tres tornillos para equipos europeos y cuatro tornillos en equipos de construcción americana que se encuentra colocados o montados en una cruceta, donde los extremos redondeados del tronillo operan en unos bujes fijos a la placa de acoplamiento, en este sistema el tornillo es fijo y lo que se mueve es la parte superior de la base modificando la altura instrumental. El sistema de tornillos horizontales es completamente distinto, en este los tornillo utilizan unas piezas giratorias cuyo centro de rotación es distinto al centro de la figura esto hace que se genere un pequeño movimiento vertical de la base, teniendo así la propiedad de que este sistema no modifica la altura instrumental y se elimina cualquier posibilidad de juego entre las piezas del sistema que si se presenta en el sistema de tornillos verticales. ()LJ 

En la base nivelante se hacen presentes unos dispositivos para el centrado como el gancho en el tornillo de fijación al trípode, para la poner la plomada, plomada óptica, que esta compuesto de un ocular y un prisma que nos permiten apuntar verticalmente cuando la base se encuentra nivelada y el sistema de centrado láser en algunos equipos actualmente. )LJXUD7RPDGDGH&RXUVGH 7RSRPpWULH*HQHUDOH

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

1LYHOWXEXODU Como ya vimos el nivel tubular estos nos ayuda a nivelar el transito, consiste en un tuvo de cristal con unas divisiones en su parte superior que se encuentran uniformemente espaciadas llamadas reparos; este cilindro contiene su parte interior una fracciĂłn de arco de toro, asĂ­ pues que si hiciĂŠramos un corte longitudinal a un nivel en su parte interior se verĂ­a un arco de circulo.

D 

)LJXUD

E 

El arco de toro se encuentra casi lleno de ĂŠter sulfĂşrico o alcohol y el espacio restante se encuentra lleno de aire formĂĄndose asĂ­ una burbuja que siempre ocupa la parte mĂĄs alta de dicho arco. Utilizando esta propiedad es que podemos asegurar la nivelaciĂłn del instrumento, (ILJ   en la parte (E de dicha grafica se, encuentra un nivel montado en una base que estĂĄ inclinada un ĂĄngulo alfa a la izquierda, por su propiedad la burbuja del nivel se desplaza a la derecha buscando la parte mas alta del mismo, en la parte D de la grafica vemos la misma base pero con un ĂĄngulo de inclinaciĂłn alfa igual a cero, por lo tanto la burbuja se encuentra en el centro del arco que en este caso es la parte mas alta de ĂŠl, por tal motivo si se pasase un recta tangente por el punto medio de la curva interior del nivel, esta lĂ­nea serĂĄ horizontal con respecto a la vertical (eje del nivel). Para esta clase de niveles existen dos sistemas de apreciaciĂłn, el nivel tubular de divisiĂłn aparente ILJ D

 y el nivel de coincidencia  ILJ  este es un sistema muy ingenioso de disposiciĂłn de prismas que nos permite yuxtaponer la imagen de la mitad izquierda y la derecha del nivel; cuando estas dos imĂĄgenes coinciden la base queda completamente nivelada (calada en la horizontal).

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItDSODQD /HRQDUGR&DVDQRYD0DWHUD

6HQVLELOLGDGGHOQLYHOWXEXODU

Esta dada por el radio de curvatura del arco de toro, miremos la (ILJ , en este encontramos dos niveles con radios de curvatura diferente que se encuentra inclinados en un mismo ĂĄngulo alfa, nivel de la parte E  se ve mas desplazado que D , ya que su radio de curvatura es mayor de allĂ­ podemos inferir que la sensibilidad del nivel es directamente proporcional al radio de curvatura.

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Capitulo 3: Teodolito

D 

)LJXUD

E 

La precisiĂłn del centrado en un nivel de divisiĂłn aparente esta dada por 1/5 del intervalo de la separaciĂłn entre los reparos (2mm) por tanto la precisiĂłn de este es de 0.4 mm en el caso de nivel de coincidencia el centrado es de 1/40 del intervalo de separaciĂłn, esto quiere decir que tiene una precisiĂłn de 0.05mm aproximadamente.

$OLGDGD 

Esta parte del instrumento esta formada por la base superior y el montante; en la base se encuentran el circulo horizontal graduado (limbo), los sistemas de fijaciĂłn y movimiento lento de dicho limbo. El montante es el encargado de sustentar el eje horizontal o de alturas, por medio de dos soportes verticales, dentro de estos soporte verticales encontramos tambiĂŠn el circulo graduado vertical, los sistemas de fijaciĂłn y de moviendo vertical de ĂŠste, las disposiciones de prismas para la lecturas de los limbos, el microscopio de lectura y los dispositivos de compensaciĂłn de colimaciĂłn vertical. La alidada gira alrededor de su eje vertical, por tal razĂłn cuando el instrumento se encuentra en posiciĂłn horizontal (nivelado), el telescopio montado sobre ĂŠste generan un plano perpendicular al eje vertical del aparato. Ya se hablo que dentro de todo este conjunto existen unos cĂ­rculos graduados a los que llamamos limbos, veamos ahora que son estos dispositivos y en que consiste cada una de las partes nombradas.



/LPERV Son unas escalas circulares que permiten la mediciĂłn directa de grados y de mĂşltiplos de 5, 10, 15, 20, 30 minutos; en sus comienzos dicho dispositivos eran hecho de metal ILJ , en la actualidad son de cristal y se puede leer por medio de unos sistemas Ăłpticos de los cuales hablaremos mas adelante.

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________ Los limbos en el transito, comprenden dos placas que se encuentran concĂŠntricas y superpuestas, una de ellas esta fija y las otra mĂłvil junto con todo el conjunto (base â&#x20AC;&#x201C;montante). En los trĂĄnsitos de tipo repetidor existe un sistema de pinzas que permite fijar el limbo horizontal, en una posiciĂłn determinada, a la placa mĂłvil y que ĂŠste gire tambiĂŠn. Esto se emplea cuando se hace necesario visar a un punto con un ĂĄngulo determinado; la otra posibilidad de llevar a cabo dicha operaciĂłn es visar a el punto dejar fijo el instrumento y mover el limbo haciendo uso de un tornillo que nos permite este movimiento, a estos equipos los llamamos reiteradores; en este sistema lo que hace el tornillo es servir de piùón y hacer que la placa donde se encuentra montado el limbo horizontal se mueva como lo vemos en la ILJ

)LJXUD7RPDGDGHH[SRVLFLRQHVGH HTXLSRVHQ,QWHUQHW

Como ya lo dijimos los limbos no permite leer los grados y unos mĂşltiplos de minutos, existen algunos trabajos donde se requiere mas precisiĂłn angular, para esto se emplea un elemento que es denominado nonio o vernier.  )LJXUD6LVWHPDGHOHMHYHUWLFDOGHO 77RPDGDGH)ROOHWRV:LOG

9HUQLHURQRQLR 

La agudeza visual del ojo del humano no le permite la apreciaciĂłn directa de divisiones menores a la menor divisiĂłn de la regla o limbo que este utilizando. Por esto el matemĂĄtico y astrĂłnomo portuguĂŠs Pedro Nunes, se ingenio un dispositivo para precisar los valores de dichas apreciaciones; ĂŠste dispositivo fue perfeccionado por el geĂłgrafo francĂŠs Pierre vernier de allĂ­ el nombre que este toma. Para las mediciones de tipo angular se emplean unos arcos secundarios que se encuentran en posiciĂłn concĂŠntrica con respecto a las escalas principales o limbos. )XQGDPHQWRGHOYHUQLHU

En los teodolitos antiguos el sistema de lectura esta dividido en grados enteros, y estos a su vez se encuentran sub-divididos en 2, 3, 4 y 6 partes; los cuales son 30, 20, 15 y10 minutos respectivamente. Para mejorar la precisiĂłn de las lecturas se utiliza una escala secundaria que permite determinar la diferencia entre las divisiones de la escala principal y la divisiĂłn que ĂŠsta posee. Dichas escalas secundarias se encuentran divididas en Q partes que corresponden a Q partes de la escala principal, o sea que cada una de la divisiones del nonio tiene una magnitud L menor a la del limbo en la fracciĂłn de apreciaciĂłn buscada.

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Capitulo 3: Teodolito La apreciación del nonio viene dada por:

3=

P Q

Donde P es la división mas pequeña de él limbo y Q es el numero de Divisiones del nonio

Si queremos leer un vernier debemos tener en cuenta: • •

El cero del nonio indica las cantidades enteras del limbo La graduación del nonio que coincide con una de la escala principal indica la fracción adicional

(MHPSOR Vamos a construir un sistema de lectura que nos permita, con el nonio, leer a 10” en un limbo de 10’. formula 3 = P , determinamos el número de divisiones del nonio, entonces:

Procedimiento: Construimos un segmento de limbo con la graduación indicada de 10’ utilizando la

Q

 10 min×  60VHJ. 1 min  10 × 60  3= ⇒ = 60 'LYLVLRQHV 10VHJ 10 Puesto que estamos trabajando con un nonio directo se cuentan 59 divisiones de la regla principal (el limbo), es decir n-1 divisiones y se divide en 60 partes es decir n divisiones.  ILJ 

)LJXUD7RPDGD$SXQWHV3ODQLPHWUtD -XOLiQ*DU]yQ%

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

1RQLRLQYHUWLGR Es aquel en el que el nĂşmero de divisiones es una menos que el de divisiones del segmento correspondiente de la escala principal, por ejemplo: Q divisiones del vernier tendrĂĄn la longitud L igual a Q divisiones de la escala; en consecuencia cada divisiĂłn del vernier serĂĄ mas larga que una de la escala principal P .

6LVWHPDVGHILMDFLyQ\PRYLPLHQWROHQWR 

En los trabajos de topografĂ­a se hace necesario fijar el transito en una posiciĂłn cualquiera, para esto el equipo se encuentra dispuesto de unos sistemas de abrazadera, la cual ejerce una presiĂłn en la secciĂłn de cono donde gira el montante o el telescopio, impidiendo asĂ­ estos movimientos. El sistema se opera por medio de unos tornillos a los que denominamos radiales; ya que se encuentran dispuestos en el transito en posiciĂłn radial con respecto a los limbos ILJ , sin embargo luego de fijar, ya sea la alidada o el telescopio, se le puede imprimir un movimiento pequeĂąo a ĂŠl conjunto (abrazadera y cono interior), moviendo un tornillo que denominamos tangencial, por su posiciĂłn tangente con respecto al limbo del sistema que se estĂĄ moviendo, por ejemplo si el sistema que este fijo es el del movimiento del telescopio, el tornillo de movimiento fino estarĂĄ tangente al limbo vertical. En este sistema lo que hace el tornillo es que al moverlo como si lo estuviĂŠramos apretando este empuja un tope, que se encuentra situado en la punta de un brazo que viene desde la abrazadera, con un movimiento muy suave debido a que al frente del tornillo, al otro lado del tope, se encuentra un resorte que resiste el movimiento del tornillo, por eso cuando ĂŠl movimiento del tornillo es en sentido contrario el resorte hace que el sistema se devuelva empujando el tope. ILJ  Nota:

En estos sistemas presentan algo a lo que denominamos juego; siendo este la separaciĂłn que existe entre la rosca de la tuerca y la rosca del tornillo, que es la que permite que una se mueva con respecto al otro. Esta caracterĂ­stica de los sistemas mecĂĄnicos causa que se presenten errores que pueden afectar la precisiĂłn de la mediciĂłn de los ĂĄngulos



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Capitulo 3: Teodolito

6LVWHPDVFRPSHQVDFLyQGHFROLPDFLyQYHUWLFDO Los equipos antiguos tenĂ­an un nivel tubular, que se utilizaba para asegurar que la lĂ­nea de Ă­ndice del cĂ­rculo vertical quedara paralela al eje Ăłptico cuando ĂŠste estuviera en horizontal, antes de cada medida. En la actualidad para no tener que realizar esta operaciĂłn tan molesta y que demoraba los trabajos, se emplean unos dispositivos que reflejan la inclinaciĂłn del eje vertical para compensarlo. Esto fue desarrollado por la empresa Askania de BerlĂ­n, despuĂŠs de la segunda guerra mundial. El primer sistema consistĂ­a en un pĂŠndulo compensador, en el que la lectura se efectĂşa a travĂŠs de un arreglo Ăłptico, con un prisma unido a un pĂŠndulo, que cuando el teodolito se encuentra inclinado con respecto a la vertical, el pĂŠndulo actĂşa en direcciĂłn opuesta a la de la inclinaciĂłn; esta influencia nos ayuda a que la lectura que se obtiene en el Ă­ndice no cambie debido a la inclinaciĂłn del eje vertical y se correcta.

)LJXUD7RPDGDGH'RFXPHQWRV.HUQ

En general estos sistema de compensaciĂłn tiene unos intervalos de acciĂłn grandes pero lo mejor es realizar una correcta nivelaciĂłn de transito para asĂ­ ayudar a todo el conjunto en su operaciĂłn y evitar que en casos donde el compensador estĂŠ fallando se presenten errores por ĂŠsta causa, aunque no sean de una gran magnitud. Por ejemplo Cuando el sistema de nivelaciĂłn solo se encuentra apoyado de un nivel de blanco, el cual tiene una precisiĂłn del centrado de Âą 3 minutos el rango de acciĂłn del compensador va a ser ĂŠsta. Luego del sistema de pĂŠndulo se desarrollaron otros sistemas compensadores de tipo liquido, en esto se emplea un liquido que tiene la propiedad de siempre ocupar la posiciĂłn horizontal, por esto cuando el eje vertical se encuentra realmente en posiciĂłn vertical, la superficie del liquido (aceite de silicio) es paralela a la base del recipiente que lo contienen y los rayos de luz pasan sin sufrir desviaciĂłn. Si en caso contrario el eje vertical se encontrara inclinado, el liquido formara el mismo ĂĄngulo de inclinaciĂłn con la base del recipiente (ILJ ) hace que la visual que el topĂłgrafo hace para la lectura, se desviĂŠ en un ĂĄngulo KDFLDODYLVXDOFRUUHFWDHOĂĄngulo HVLJXDOD Â&#x2014;-  GRQGHÂ&#x2014;HVHO Ă­ndice de refracciĂłn del liquido

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Planimetrรญa_____________________________________________________________

)LJXUD&RPSHQVDGRUOLTXLGR:LOG7$ 7RPDGR'RFXPHQWRV:LOG

6LVWHPDVGHOHFWXUDGHOLPERV Para poder efectuar la lectura de los limbos que se encuentran dentro del transito, existen una serie de prismas y lentes que tiene el propรณsito de iluminar y llevar la imรกgenes de los limbos y los verniers a unos dispositivos que denominamos microscopios de lectura; que son en los que se ven las imรกgenes de los limbos y los vernier en escalas mas grandes; de estos se encuentra de dos tipos: microscopio a escala y microscopio con nonio รณptico (micrรณmetro). En los trรกnsitos los microscopios puede venir en el montante o a un lado del telescopio y de acuerdo con el sistema de medida del instrumento mostrar diferente cosas. En los transito se presentas dos sistemas de lectura, uno es el de lectura simple y el otro es el de lectura por coincidencia.

)LJXUD7RPDGDGHH[SRVLFLRQHVGH HTXLSRVHQ,QWHUQHW

6LVWHPDGHOHFWXUDVLPSOH

En este solo se lleva acabo la lectura en un lado del limbo, ya que los sistemas de lentes y prismas esta dispuesto solo para llevar la imagen de un lado ILJ/tQHDGHFRORUD]XO Los equipos que

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Capitulo 3: Teodolito presenten este sistema son utilizados en trabajo que requieran poca precisiĂłn debido a que en ellos una eventual excentricidad del limbo generarĂ­a errores en las lecturas.

6LVWHPDGHOHFWXUDSRUFRLQFLGHQFLD 

En Êste el sistema óptico de lectura permite ver simultåneamente en el microscopio dos lugares diametralmente opuestos del limbo (uno 180° mås que el otro), lo que equivaldría a realizar una lectura con el microscopio a derecha del transito y una a izquierda ILJ  se eliminan así los errores de excentricidad.

)LJXUD7RPDGDGH'RFXPHQWRV.HUQ'.0$

Para efectuar una lectura en este sistema se opera de la siguiente forma: como ya se dijo en el microscopio se ven simultĂĄneamente las dos partes del circulo (ILJ  GRQGHFRQ FRORUURMRVHSXHGHQDSUHFLDUHO YLDMH GH ORV UD\RV TXH LOXPLQDQ HO OLPER KRUL]RQWDO \ GH FRORU DPDULOOR ORV GHO FLUFXOR YHUWLFDO  una con numeraciĂłn de derecha a izquierda y la otra con numeraciĂłn de izquierda a derecha, por eso cuando giramos el transito se ve un desplazamiento en sentido contrario de las imĂĄgenes en el microscopio , entonces las divisiones que se observan deben hacerse coincidir, para esto se mueve el tambor del micrĂłmetro, al efectuar este operaciĂłn una se mueve en un sentido y la otra en sentido contrario por ende solo se necesita que cada una se desplace la mitad de la separaciĂłn inicial para encontrarse, esto es a lo que denominamos un desplazamiento a medio camino, que es registrado por el micrĂłmetro.

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

7RPDGRGH'RFXPHQWRV.HUQ

)LJXUD

7RPDGRGHO&RXUV7RSRPpWULH*HQHUDOH

0LFURVFRSLRDHVFDOD 

En este microscopio se pueden ver las imĂĄgenes de los limbos vertical y horizontal al mismo tiempo y fuertemente aumentadas, proyectadas sobre una escala dividida en 60â&#x20AC;&#x2122;, en la que cada trazo del limbo sirve de seĂąal de lectura, ILJ  )LJXUD3DQWDOODGHOHFWXUDGHO:LOG7 'RFXPHQWRV:LOG

0LFURVFRSLRFRQPLFUyPHWUR 

Este sistema de microscopio es el que manejan los sistemas de lectura por coincidencia. Al igual que en el anterior se pueden ver las imĂĄgenes de los dos limbos. Pero imprimiendo movimiento al botĂłn del micrĂłmetro que se encuentra en uno de los montantes se pueden llevar las divisiones del limbo principal dentro de uno trazos de Ă­ndice o hacer coincidencia, donde dicho desplazamiento es registrado por el micrĂłmetro, y lo leemos en minutos y segundos en una de la ventanas del microscopio.

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Capitulo 3: Teodolito En los equipos de lectura por coincidencia existe un botón que se llama conmutador  ILJ , con el que podemos cambiar la imagen en él microscopio de las dos partes del círculo horizontal por la imagen del círculo vertical y viceversa.



)LJXUD/HFWXUDGHFLUFXORV:LOG77RPDGD'HO7HRGROLWR\6X(PSOHR



7HOHVFRSLR 

Es la parte del transito que nos permite hacer las visuales a puntos lejanos, desde el punto de estación, éste se encuentra dispuesto de un ocular o retícula, un dispositivo de enfoque y un objetivo.

)LJXUD

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

2FXODU Es la parte del telescopio que se antepone al ojo del observador, que presenta una disposiciĂłn de lentes la imagen del objeto que se encuentra a la distancia. Un ejemplo de un ocular la podemos apreciar en la ILJXUD Los oculares poseen las siguientes caracterĂ­sticas: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Aumento visual Campo visual

5HWtFXOD Es una placa de cristal sobre la cual se encuentran grabados un trazo vertical y otro horizontal ILJ  que nos permiten realizar la punterĂ­a a los puntos que se visen, en esta placa es donde se forma la imagen generada por los rayos que atraviesan el objetivo.

)LJXUD7RPDGRGH)ROOHWRV.HUQ '.0$

En algunos equipos la mitad inferior del la retĂ­cula presenta un doble trazo para facilitar y encuadrar con mayor exactitud el hilo de la plomada o las seĂąales muy lejanas. En otros equipos se pueden encontrar unos trazos horizontales mĂĄs pequeĂąos (hilo superior, hilo inferior) que son empleados para medida estadimĂŠtricas de distancias.

Nota: en algunas ocasiones los hilos no se ven de manera nĂ­tida cuando se estĂĄn efectuando visuales, para solucionar esto se mueve el anillo dividido en dioptrĂ­as, ILJ  hasta procurar que el retĂ­culo se vea de forma clara.

6LVWHPDGHHQIRTXH En la actualidad este conjunto se encuentra en el interior del telescopio en los primero teodolitos era diferente, ya que ellos presentaban enfoque externo. El conjunto se encuentra constituido por una lente que toma el nombre de lente de enfoque y un cilindro desplazable dentro del telescopio que contiene dicha lente; el dispositivo que nos da la posibilidad de mover dicho cilindro los denominamos botón de enfoque. La finalidad de Êl desplazamiento de la lente es procurar que la imagen se forme de forma nítida sobre el plano focal del retículo; debiÊndose cumplir que al mover ligeramente la cabeza, el retículo y la imagen no debe desplazarse uno con respecto a la otra. Los dispositivos para generar el movimiento del cilindro pueden ser de dos diferentes tipos: el primero consta de un conjunto de piùón y cremallera ILJ.  . En este el botón se encuentra en uno de los montantes, al imprimirle movimiento a Êste el piùón actúa sobre la cremallera que se encuentras unida al cilindro haciÊndola mover. El segundo sistema consiste en dos cilindros uno

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Capitulo 3: Teodolito con rosca interna y otro adentro del telescopio con rosca externa, por esto es que al imprimirle movimiento al cilindro expuesto el segundo se mueve con respecto a éste.

2EMHWLYR

Es un conjunto de lentes ILJ que se encuentra frente al objeto visado (espacio objeto) con la función de captar la luz procedente de éste y dirigirla al resto del sistema. Las características del objetivo son: • Luminosidad • Campo visual

&RQWURO\HUURUHVGHOWUDQVLWR 

)LJXUD7RPDGRGHOIROOHWRSULQFLSLRVGHWRSRJUDItDOHLFDJHRV\VWHP

(UURUGHLQFOLQDFLyQGHOHMHYHUWLFDO Este se presenta cuando no se cumple la condición 1del apartado de disposición de los ejes del tránsito, dicha inclinación se da, ya que aunque por construcción el eje vertical es perpendicular al plato, el nivel que se encuentra montado en dicho plato no esta en posición adecuada o sea esta inclinado y al calar la burbuja se presenta la inclinación del eje vertical. Para disminuir la influencia de éste error se debe realizar un proceso de nivelación del instrumento que consiste: Ya con el instrumento fijo en el trípode y correctamente centrado se comienza a efectuar el proceso de nivelación; si el equipo se encontrara en perfectas condiciones cuando se efectúa el primer paso del proceso y se gira el instrumento 180º, la burbuja debería permanecer calada. Si esto no sucede de esta forma es por que se presenta dicho error y es igual a la mitad del desvió observado en el nivel.

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItDSODQD /HRQDUGR&DVDQRYD0DWHUD

 (UURU GH IDOWD GH SHUSHQGLFXODULGDG HQWUH HO HMH YHUWLFDO \ HO HMH EDVFXODQWH 

Cuando falla la condiciĂłn dos de la fig. 2 que antes nombramos, se presenta este error que causa una desviaciĂłn de las visuales con respecto a la vertical. Para determinar si un equipo se ve afectado por tal error, se debe estacionar el transito correctamente frente a una edificaciĂłn YHUILJXUD para visar a un punto A en una parte alta de la pared, luego barrer sobre la vertical para marcar un punto B, despuĂŠs se lleva el transito a posiciĂłn II se visa al punto A y barre para buscar al B, si cuando hacemos esta visual no coincide con B es por que se presenta el error y la visual se desplaza a un punto C; el plano vertical que pasa por el punto medio entre B y C, del cual A hace parte es la visual correcta.

)LJXUD7RPDGRGHOIROOHWRSULQFLSLRVGHWRSRJUDItDOHLFDJHRV\VWHP

Es importante comprender que la desviaciĂłn introducida por dicho error no es constante y aumenta con amplitudes de ĂĄngulos muy pequeĂąas o muy grades con respecto a la lĂ­nea de cenit â&#x20AC;&#x201C; nadir. Este error puede ser reducido por visuales dobles pero a un mismo ĂĄngulo de altura o corregido en el taller por un especialista con instrumental necesario.

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Capitulo 3: Teodolito

(UURUGHFROLPDFLyQ Este se presenta cuando la condición tres de la fig. 2 no es cumplida. El error de colimación horizontal es el error en dicho ángulo divido a la falta de perpendicularidad del eje ZZ y el eje HH. Este puede ser corregido por procedimientos de campo y unos cálculos. Para determinar si se presenta el error de colimación se debe visar a un punto A que se encuentra por conveniencia a una distancia mayor a 150m, con el telescopio en posición I registrando el ángulo. Luego se lleva el equipo a posición II y se visa de nuevo al punto A. esta nueva lectura menos 180º debe ser igual a la lectura inicial, teniendo en cuenta la precisión que puede ser exigida al instrumento. Si no se presenta de esta forma es porque el transito sufre de colimación horizontal. La diferencia entre el ángulo inicial y el segundo ángulo dividido en dos da la magnitud del error de colimación. Un procedimiento de campo para corregir la influencia del error de colimación es trabajar con visuales dobles (posición I y II) en las cuales se anotan los resultados obtenidos y la media de estos es igual al ángulo correcto. El error de colimación horizontal se debe a un desplazamiento en el trazo vertical del retículo en horizontal y el error de colimación vertical es causado por el desplazamiento del trazo horizontal en la vertical. En este caso se pude emplear el mismo método para minimizar la influencia del error o ser corregido dicho desplazamiento por un especialista en el laboratorio. )LJXUD

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItDSODQD /HRQDUGR&DVDQRYD0DWHUD

Existen otros errores que se deben conocer, estos son:

(UURUGHSXQWHUtD

Debido a las condiciones atmosféricas, en algunas ocasiones cuando se observa por un telescopio parece como si el objeto visado estuviera vibrando o se deformase, esto causa que se presente errores en el proceso de puntería, que pueden ser minimizados visando varias veces al mismo punto. Un aspecto importante es asegurarse que las visuales se encuentren exentas de paralaje1. La forma de lograr asegurar que no exista paralaje es aclarar los trazos del retículo sobre la imagen del objeto 1

Paralaje: es le cambio aparente en la posición de un objeto visto sobre un fondo mas distante, cuando se cambia el punto de observación (diccionario técnico de ingeniería civil universidad de Medellín)

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________ y enfocar hasta lograr que al desplazar la cabeza no se note ningĂşn tipo de movimiento entre la entre los trazos del retĂ­culo y la imagen.

(UURUGHJUDGXDFLyQ

Esto es causado por imperfecciones en la graduaciĂłn de los limbos en fĂĄbrica. El efecto de dicho errores puede ser reducido empleando mĂŠtodos de mediciĂłn de ĂĄngulos como el de repeticiones y reiteraciones2. Es de gran importancia realizar la aclaraciĂłn de que la precisiĂłn de medida angular no se aumenta solo con aumentar el numero de n repeticiones de una punterĂ­a, debido a que la condiciones atmosfĂŠricas, las del observador y el instrumento tambiĂŠn imponen limites, de allĂ­ que para un numero n de observaciones que se ven afectadas por un Emc el error de la media es igual:

(P =

(PF Q

Para comprender mejor esto es recomendable acercarse a la lectura del capitulo de errores. Si pensamos que el error de la media es funciĂłn del nĂşmero de observaciones para un error medio cuadrĂĄtico determinado. Podemos inferir para un equipo establecido hasta que punto se puede llegar a obtener un aumento en la precisiĂłn con un aumento en el nĂşmero de repeticiones. Si se grafica dicha funciĂłn ILJ se pude apreciar que por mĂĄs que se aumente el numero de repeticiones, o sea, asĂ­ n Â&#x2019; QXQFDVHva a lograr que el Em sea igual a cero.

7HRGROLWRVHOHFWUyQLFRV

)LJXUD

En la actualidad los teodolitos Ăłptico mecĂĄnicos que anteriormente fueron descritos, han sido remplazados por la generaciĂłn de teodolito electrĂłnicos, en los que la medida angular ya no requiere que el topĂłgrafo lleve acabo procesos como los de lectura en los micrĂłmetros, ya que en este tipo de equipos solo se necesita leer la magnitud del ĂĄngulo en un tablero electrĂłnico donde se encuentran al mismo tiempo los valores de los ĂĄngulos vertical y horizontal. Dicho equipos incluyen tambiĂŠn funciones novedosas como estar dispuestos de sistemas que permiten cambiar el sentido en que son medidos los ĂĄngulos, poner el cero en cualquier posiciĂłn con solo hundir un botĂłn y grabar todos los datos obtenidos en el campo en una memoria que posee el instrumento y ser descargados en un PC para ser procesados. En realidad estos instrumentos cumplen las mismas funciones de los equipos Ăłptico mecĂĄnicos solo cambia el sistema de mediciĂłn angular antiguo por uno automĂĄtico. 2

MĂŠtodos explicados en el capitulo de ĂĄngulos

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Capitulo 3: Teodolito

)LJXUD7RPDGDGHH[SRVLFLRQHVGH7RSRPHWUtDHQ,QWHUQHW

0HGLFLyQDXWRPiWLFDHQORVOLPERV

Los instrumentos de este tipo que se encuentran en el mercado pueden poseer dos clases de codificadores que son los encargados de procesar la información obtenida de los círculos absolutos o incrementales. Los codificadores absolutos presentan un patrón de código que garantiza una respuesta digital única para el incremento del desplazamiento. La serie de graduaciones diametralmente opuestas del círculo se proyectan juntas y por medio de un plato plano paralelo y se hacen coincidir con un micrómetro fotoeléctrico, que registra el apagado y encendido de la iluminación del circulo. La acción del micrómetro, la lectura y el almacenamiento del código del círculo, se llevan en un proceso y por ultimo es evaluado el círculo de lectura burda para obtener el resultado final. Los codificadores incrementales trabajan bajo un principio de conteo entre el inicio y el final del desplazamiento total del limbo, es por esta razón que en esta clase de sistemas es necesario conocer el valor del inicio de medición. Todo el conjunto se encuentra compuesto de una fuente de luz infrarroja, una lente, dos pares de fotodiodos3 diametralmente opuestos, uno de ellos fijo que es el que representa el punto de ceros en la escala, el otro gira solidario con el telescopio. Durante el proceso de medición el círculo se encuentra iluminado por dicha luz que luego de atravesar la lente y la trama analizadora llega a la trama del círculo, donde es reflectada y proyectada sobre los fotodiodos que registran las continuas interrupciones causadas por las tramas graduaciones, generándose así una onda cuadrada en el fotodiodo. El ángulo final es derivado de dos mediciones; la medición burda y la medición fina, la primera se obtiene del conteo del número de graduaciones desde que la marca de referencia pasa por el primer fotodiodo hasta antes de que la misma marca pase por el segundo fotodiodo, la segunda se extrae de la diferencia de fase entre las ondas en los dos fotodiodos; este proceso se lleva acabo en forma simultanea en los dos pares de fotodiodos para eliminar los errores de excentricidad del circulo. 3

Fotodiodos: son sensores fotosensibles que exploran el circulo

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

)LJXUD7RPDGDGH)ROOHWRV:LOG

Dado que el sistema de mediciĂłn de ĂĄngulos es incremental, los cĂ­rculos no llevan ni cĂłdigos ni nĂşmeros. Antes de comenzar la mediciĂłn se pone el cĂ­rculo horizontal en ceros o a un valor de libre elecciĂłn haciendo uso del teclado, que tambiĂŠn permite indicar ĂĄngulos tanto en sentido horario como viceversa. Un ejemplo de este sistema se puede encontrar en el teodolito wild T2002 el cual permite medir ĂĄngulos a la dĂŠcima de segundo (0.1â&#x20AC;?), con un error medio cuadrĂĄtico de 0.5â&#x20AC;?.

)XHQWHVGHHUURUHQWUDEDMRVFRQWUDQVLWR\HVWDFLyQWRWDO 

Los errores que se cometen cuando se esta trabajando con transito, teodolito o estaciones totales se deben a imperfecciones instrumentales, fenĂłmenos naturales o limitaciones personales, vĂŠamolos con detenimiento.

(UURUHV,QVWUXPHQWDOHV

/RV QLYHOHV GH DOLGDGD HVWiQ GHVDMXVWDGRV Si las directrices de los niveles de la alidada no son perpendiculares al eje vertical, este Ăşltimo no estarĂĄ en posiciĂłn correcta cuando se hallen centradas las burbujas de dichos niveles. Esta condiciĂłn ocasiona una inclinaciĂłn del eje vertical, introduciendo un error en los ĂĄngulos medidos, tanto horizontales como verticales, que no pueden eliminarse promediando lecturas con el anteojo en posiciĂłn directa o inversa cuando se miden ĂĄngulos horizontales. En el caso de los ĂĄngulos verticales estos errores varĂ­an con la direcciĂłn en que se apunte el instrumento, para eliminar el error es necesario observar el error de Ă­ndice vertical para cada visual. 

/D OtQHD GHFROLPDFLyQ QR HV SHUSHQGLFXODU DO HMH KRUL]RQWDO Si se presenta esta condiciĂłn, al invertir el anteojo para realizar una visual atrĂĄs o hacia delante, esta lĂ­nea genera un cono cuyo eje coincide con el eje horizontal o de alturas del instrumento, como por ejemplo cuando se van a prolongar lĂ­neas o para medir ĂĄngulos de deflexiĂłn. AsĂ­ mismo, cuando el ĂĄngulo de inclinaciĂłn de la visual hacia atrĂĄs no es igual al de la visual hacia delante, los ĂĄngulos horizontales medidos serĂĄn incorrectos. Estos errores se eliminan con un doble centrado (en el caso de la prolongaciĂłn de una recta), o promediando nĂşmeros iguales de lecturas en posiciĂłn directa o inversa.

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Capitulo 3: Teodolito (O HMH KRUL]RQWDO QR HV SHUSHQGLFXODU DO HMH YHUWLFDO Esta situación hace que la línea de colimación describa un plano inclinado al invertir el anteojo y, por tanto, si las visuales hacia atrás y hacia delante tienen ángulos diferentes de inclinación, originan ángulos horizontales con error. Los errores por esta causa pueden eliminarse promediando un número igual de lecturas directas e inversas. (UURU GH tQGLFH HQ HO FLUFXOR YHUWLFDO Cuando el eje de la visual es horizontal, debe leerse un ángulo vertical de cero grados o u ángulo cenital de 90° o de 270°; de otra manera se tiene un error de índice, igual se presenta cuando se esta midiendo un ángulo horizontal. Este error puede eliminarse calculando la medida de un número igual de ángulos verticales (o cenitales) leídos en los modos directo e inverso. ([FHQWULFLGDGGHORVFHQWURV esta condición se presenta cuando el centro geométrico del círculo graduado horizontal (o vertical) no coincide con su centro de rotación. Los errores debido a estos por lo general son pequeños. En los tránsitos, las lecturas en el círculo vertical no pueden corregirse cuando se tienen este tipo de error. (UURUHV SRU JUDGXDFLyQ LPSHUIHFWDV GHORV GHORVFtUFXORVSi las graduaciones alrededor de la circunferencia de un círculo horizontal o vertical no son uniformes, se obtendrán medidas angulares erróneas. Por el común estos errores son muy pequeños, pero en trabajos de alta precisión pueden reducirse a una magnitud despreciable distribuyendo las lecturas en el círculo graduado (método de repeticiones o reiteraciones). Excentricidad de los círculos o verniers: Si las lecturas en los verniers A y B difieren exactamente 180° en todas las posiciones, los círculos son concéntricos y los verniers están en su posición correcta. Si las lecturas difieren una cantidad constante diferente de 180°, los verniers están desalojados y es mejor usar solamente el vernier A. Si la diferencia no es constante existe excentricidad de los platos. Las lecturas deben tomarse en varias posiciones del círculo y promediarse los resultados de los verniers A y B.

(UURUHV1DWXUDOHV

 9LHQWR El viento hará vibrar el transito y moverá su plomada. Es necesario proteger el instrumento con un resguardo y hasta suspender las observaciones en trabajos de precisión cuando hay días de viento. En estos casos ayuda mucho la plomada óptica. &DPELRV GH WHPSHUDWXUD Las diferencias de temperatura ocasionan dilatación desigual de diversas partes del instrumento. Esto ocasiona que las burbujas se desplacen o se presente una expansión desigual del telescopio, lo que puede conducir a observaciones erróneas.

5HIUDFFLyQ La refracción desigual desvía la visual y puede ocasionar una ondulación aparente en le objeto observado. Es conveniente mantener la línea visual bastante arriba del terreno y evitar dirigir visuales muy próximas a edificios, chimeneas y hasta arbustos grandes aislados en espacios generalmente abiertos.

$VHQWDPLHQWRVGHOWUtSRGH El peso de un teodolito o un nivel fijo puede ocasionar que se claven o penetren demasiado las patas de un trípode en terreno blando. Cuando en un trabajo hay que cruzar por terrenos pantanosos deben hincarse estacas para sostener la patas del trípode, y el trabajo en cada estación debe realizarse en el tiempo mas corto posible.

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Planimetrรญa_____________________________________________________________ (UURUHV3HUVRQDOHV

(OLQVWUXPHQWRQRHVWDFHQWUDGRH[DFWDPHQWHVREUHHOSXQWR Esta situaciรณn produce un error en todos los รกngulos medidos desde un mismo punto cuya magnitud varรญa con la direcciรณn y inversamente a la longitud de la misma. Debe verificarse a intervalos la posiciรณn de la plomada comรบn o de la plomada รณptica, para asegurarse que permanecerรก centrada y que el instrumento esta precisamente sobre el punto. 

/DVEXUEXMDVGHORVQLYHOHVQRHVWiQSHUIHFWDPHQWHFHQWUDGDVDeben revisarse las burbujas con frecuencia, pero NUNCA se debe renivelar entre una visual hacia un punto inicial y hacia un punto final. 8VR LQFRUUHFWR GH ORV WRUQLOORV GH ILMDFLyQ \ ORV WRUQLOORV WDQJHQFLDOHV El observador debe formarse buenos hรกbitos de manipulaciรณn y ser capaz de identificar los diversos tornillos fijadores y los tangenciales, al tacto y sin tener que mirarlos. El ajuste final de los tornillos tangenciales se hace siempre con un giro positivo para evitar el resorteo. Los tornillos de fijaciรณn deben apretarse solo una vez y no tocarlos de nuevo para asegurarse que estรกn bien apretados. (QIRTXH GHILFLHQWH Para que no haya error por paralaje es necesario enfocar correctamente el ocular sobre los hilos reticulares y el objetivo sobre un punto visado. Los objetos a visar deben situarse lo mรกs cerca posible del centro del campo visual. 9LVXDOHVGLULJLGDVFRQGHPDVLDGRFXLGDGR El verificar y volver a revisar la posiciรณn del ajuste de la retรญcula sobre una mira es una perdida de tiempo y produce resultados menos eficaces que los de una observaciรณn rรกpida.

76

$%6***,'0


$1*8/26



En topografía principalmente en el área de Planimetría, es muy importante la medición y el trabajo con ángulos, ya que es uno de los elementos que nos permite dar la posición de un punto en el espacio. Los ángulos pueden ser clasificados como: ángulos de plano horizontal y de plano vertical Entre los ángulos de plano horizontal: Azimut (Az) Rumbo(R) Angulo horizontal (Ah) Deflexión (D)

Contra-Azimut (CAz) Contra-Rumbo (CR) Angulo contrahorario (ACh)

Ángulos de plano vertical Cenital

Nadiral

Origen en el Horizonte

7LSRVGHiQJXORV ÈQJXORV+RUL]RQWDOHV $]LPXW $]  Es el ángulo horizontal medido en sentido de las manecillas del reloj a parir de la norte Los Azimut pueden ser Verdaderos, Magnéticos o Supuestos. La NS verdadera o geográfica es paralela al eje de rotación de la tierra. La NS magnética es dada por la aguja de la brújula, y la norte sur asumida es una dirección cualquiera tomada como referencia.

)LJXUD


Planimetría________________________________________________________________

Az (AB) = 83° 33’ El Az (BA) = Az (AB) + 180° = 83° 33’ + 180° = 263° 33’  127$1LQJ~Q$]LPXWSXHGHVHUQHJDWLYRORYROYHPRVSRVLWLYRVXPiQGROHƒ

El Az (BA) = 241° 12’ El Az(AB) = Az(BA) - 180° = El Az(AB) = 241° 12’ - 180° = 61° 12’



El Az(AB) = 86° 25’ El Az(BA) = Az(AB) + 180° = El Az(BA) = 86° 25’ + 180° = 266° 25’

80

$%6***,'0


Capitulo 4: Ángulos

5XPERV 5  

Los rumbos representan un sistema para designar las direcciones de las líneas. El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo medido entre la línea Norte-Sur de referencia hacia el Este o el Oeste. Al igual que el azimut, el rumbo puede ser geográfico, magnético o asumido. Los angulos de este tipo se notan con las letras, N o S indicando el origen desde el cual se mide, un numero que indica la magnitud del ángulo y la letra E o W que indica el sentido en que se mido el ángulo, esta es la forma convencional como se indica el cuadrante en que esta ubicado el ángulo. Existen cuatro casos especiales para la nomenclatura de los rumbos que son: R (AB): N 00° E = R: N 00° W = R (AB): N R (AB): S 00° E = R: S 00° W = R (AB): S R (AB) N 90° E = S 90° E = R (AB): E R (AB): N 90° W = R: S 90° W = R (AB): W

Para obtener el contra rumbo de una línea, solo es necesario intercambiar las letras N por S y E por W o viceversa, sin modificar para nada la magnitud del ángulo. El rumbo OA es N60°E, el rumbo OB es S29°E, el rumbo es S55°W, el rumbo OD es N32°W.

N

Meridiano de Referencia

D 32°

W

60°

A

E

O

55° C

S 29°

B

)LJXUD

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 81


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

Ă&#x2C6;QJXOR+RUDULR $K 

)LJXUD

Como su nombre lo indica es el ångulo medido en la dirección a las manecillas del reloj. Varía de 0° a 360° y puede ser ångulo exterior o ångulo interior. Si se hace referencia a un polígono.

Ă ngulo Interno

Ă ngulo Externo 274° 10â&#x20AC;&#x2122; 240° 09â&#x20AC;&#x2122; 91° 54â&#x20AC;&#x2122;

83° 04â&#x20AC;&#x2122;

97° 23â&#x20AC;&#x2122;

87° 39â&#x20AC;&#x2122; 293° 39â&#x20AC;&#x2122;

272° 2â&#x20AC;&#x2122;

)LJXUD

Un ĂĄngulo interior son los ĂĄngulos que quedan dentro de un polĂ­gono cerrado. Puede efectuarse una verificaciĂłn de los valores obtenidos, (revisar capitulo del preĂĄmbulo parte de polĂ­gonos) Un ĂĄngulo exterior son los ĂĄngulos que quedan por fuera de un polĂ­gono cerrado, son los explementarios de los ĂĄngulos interiores. Este ĂĄngulo tambiĂŠn tiene verificaciĂłn, (revisar capitulo del preĂĄmbulo tema polĂ­gonos)

82

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos

Ă&#x2C6;QJXOR&RQWUD+RUDULR $&K  Como su nombre lo indica es el ĂĄngulo medido en la direcciĂłn opuesta a las manecillas del reloj. VarĂ­a de 0° a 360° y puede ser ĂĄngulo exterior o ĂĄngulo interior.

Ă ngulo Interno

Ă ngulo Externo

97° 23â&#x20AC;&#x2122;

240° 09â&#x20AC;&#x2122; 91° 54â&#x20AC;&#x2122;

83° 04â&#x20AC;&#x2122;

274° 10â&#x20AC;&#x2122;

272° 2â&#x20AC;&#x2122;

87° 39â&#x20AC;&#x2122;

)LJXUD

293° 39â&#x20AC;&#x2122;



'HIOH[LRQHV Es el ĂĄngulo que forman en un vĂŠrtice la prolongaciĂłn del lado anterior y el lado siguiente. Se miden ya sea hacia la derecha (el sentido de las manecillas y se considera positivo) o hacia la izquierda (sentido opuesto de las manecillas, considerado como negativo). Los ĂĄngulos de )LJXUD deflexiĂłn son siempre menores de un ĂĄngulo llano y el sentido del giro se define anexando una D o una I al valor numĂŠrico. Este sistema es especialmente adecuado para polĂ­gonos abiertos como los que se emplean en estudios de vĂ­as de comunicaciĂłn.

)LJXUD

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 83


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Las deflexiones tambiĂŠn tienen comprobaciĂłn angular, la sumatoria algebraica (â&#x2C6;&#x2018;) de las deflexiones debe ser igual a 360°. Para realizar operaciones con ĂĄngulo de deflexiĂłn se recomienda que todas se consideren derechas, asĂ­ por ejemplo, una deflexiĂłn izquierda de 60° corresponde a una derecha de 300°.

5HODFLRQHVHQWUHiQJXORV 

,QWURGXFFLyQ 



En los trabajos que realiza un topĂłgrafo en el campo casi siempre se trabaja determinado Azimutes o rumbos, pero a la hora del trabajo de oficina puede ser necesario otro tipo de ĂĄngulos para presentar la informaciĂłn que se obtuvo en el campo, por esta razĂłn es de vital importancia conocer las relaciones que existen entre los diversos tipos de ĂĄngulos empleados en topografĂ­a.

$]LPXW\FRQWUDD]LPXW





El contra â&#x20AC;&#x201C;azimut de una lĂ­nea es igual al azimut de la misma lĂ­nea tomada en el sentido contrario o tomada desde el otro extremo.

El contra- azimut de una línea obedece a la siguiente ecuación. CAz (AB) = Az (BA) + 180°, si pasa de 360º se le resta 360°

)LJXUD

Ejemplo: Teniendo el Az de la línea (1,2) igual a 140º, hallar su respectivo CAz. CAz (AB) = Az (BA) + 180°

&$] = 140Âş +180Âş = 220Âş

)LJXUD

84

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos

5HODFLyQ$]LPXW5XPER En el primer cuadrante el Az es igual al rumbo, así pues que si tenemos un Az de 70º, el rumbo de dicha línea es igual a N 70° E.

)LJXUD([WUDtGR $SXQWHV3ODQLPHWUtD -XOLiQ*DU]yQ

En el segundo cuadrante o en el cuadrante SE , el azimut arranca desde la norte quedando entre 90° y 180° a diferencia de el rumbo que es medido a partir del sur por lo tanto el rumbo en este cuadrante queda definido por la siguiente formula:

5 Â&#x192;$]

En el tercer cuadrante el azimut arranca desde la norte quedando entre 180° y 270°, el rumbo queda definido por 5 $=Â&#x192;, debido a que el rumbo arranca desde el Sur al oeste. Para el cuarto cuadrante se emplea la siguiente formula: 5

Â&#x192;$=

(MHPSOR *Determinar el rumbo de la lĂ­nea (A,B) si el azimut de estas es de 240° R/ Como el azimut esta en el tercer cuadrante debemos aplicar 5 $=Â&#x192; !5 $%  Â&#x192;Â&#x192; Â&#x192; !5 6Â&#x192;: * Determine el rumbo de una lĂ­nea que posee un azimut de 50° R/ como el azimut esta ubicado entre 0Âş y 90Âş, entonces R= AZ $] Â&#x192;Â&#x;

5 1Â&#x17E;(

 

* Determine el rumbo de una lĂ­nea que posee un azimut de 320° R/ como el azimut esta ubicado entre 270Âş y 360Âş, entonces R= 360Âş - Az 5 Â&#x17E;$]Â&#x;



5 Â&#x17E;Â&#x17E; Â&#x17E;Â&#x; 5 1Â&#x17E;:

5HODFLyQUXPERD]LPXW Como la relaciĂłn rumbo â&#x20AC;&#x201C; azimut es basada en el mismo principio anterior, tenemos que:

)LJXUD7RPDGR $SXQWHV3ODQLPHWUtD -XOLiQ*DU]yQ

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 85


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ *Calcule el azimut de una lĂ­nea que tiene un rumbo de N 40° W 5 Â&#x192;$= !$= Â&#x192;5 !$= Â&#x192;Â&#x192; Â&#x192; *Calcule el azimut de una lĂ­nea que tiene un rumbo de S 05° E 5 Â&#x17E;$] !$= Â&#x192;5 !$= Â&#x192;Â&#x192; Â&#x192;Â&#x;

$] Â&#x17E;

Con ĂŠste mismo fin podemos emplear la siguiente formula que tiene las caracterĂ­stica de ser mucho mas practica.

$] =

HQW4 Ă&#x2014; cos 5 + (4 Ă&#x2014; 180 ) 2

4 &XDGUDQWH 5

5XPER

5HODFLÂľQ$]LPXWÂą'HIOH[LRQHV Para el cĂĄlculo de las deflexiones podemos colocar los azimutes en un orden secuencial y aplicar la siguiente formula:

D = Azs â&#x20AC;&#x201C;Aza DONDE: Azs = Azimut siguiente Aza =Azimut anterior DD =DeflexiĂłn derecha

)LJXUD

Ejemplo: Halle la deflexión correspondiente para: Az(3, 4) = 330°, Az(4, 5) = 120° D = 120° - 330° => D = 210º I como las deflexiones no son mayores a 180º, entonces a 360º le restamos D.

)LJXUD

D4 = 360Âş - 210Âş = 150Âş D 1

Tomado. TopografĂ­a AnalĂ­tica.1ÂŞ EdiciĂłn. Gonzalo JimĂŠnez Cleves, Gilberto GĂłmez GĂłmez.

86

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos (MHUFLFLRV3URSXHVWRV

Â&#x2122; Hallar la DeflexiĂłn en el punto 8, si el Az (7,8) es de 50° y el Az (8,9) es de 100°. 5HVSXHVWDÂ&#x192;' Â&#x2122; Hallar la DeflexiĂłn en el punto 7, si el Az (6,7) es de 20° y el Az (7,8) es de 350°. 5HVSXHVWDÂ&#x192;, Â&#x2122; Hallar la DeflexiĂłn en el punto 24, si el Azimut 22,23 es de 30° y el Az (23,24) es de 350°. 5HVSXHVWD1RVHSXHGHUHDOL]DU

5HODFLyQ'HIOH[LyQÂą$]LPXW 

Cuando a diferencia se requiere calcular el azimut siguiente, teniendo los datos de azimut anterior y la deflexiĂłn del punto comĂşn a las dos lĂ­neas, basta con sumarle dicha deflexiĂłn al azimut anterior y tendremos el azimut siguiente. $]V $]D'

1. Ejemplo

)LJXUD

Az1,2 = 40° Deflexión en 2 = 60° D Az (2,3) = ? Deflexión en 3 = 50° I Az (3,4) = ? $]VLJ  $]$QW 'HIOH[LyQ 

Â&#x2122; Cuando la DeflexiĂłn es derecha utilizamos ( + ). Â&#x2122; Cuando la DeflexiĂłn es izquierda utilizamos ( - ).

Az Sig (2,3) = 40° + 60° â&#x2021;&#x2019; Az (2,3) = 100° Az Sig (3,4) = 100° - 50° â&#x2021;&#x2019; Az (3,4) = 50°

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 87


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ 2. Ejemplo Az (7,8) = 30° DeflexiĂłn en 8 = 140° I Az 8,9 = ? Az Sig (8,9) = 30° - 140° = -110° â&#x2021;&#x2019; -110° + 360° â&#x2021;&#x2019; Az 8,9 = 250° Como se observa en el ejemplo anterior la deflexiĂłn es mayor que el azimut anterior, por lo tanto en la ecuaciĂłn, fue necesario sumarle un giro completo (360°) al azimut siguiente, esto para volverlo positivo. (MHUFLFLRV3URSXHVWRV

Â&#x2122; Hallar el Az (8,9); sabiendo que el Az (7,8) es 200° y la DeflexiĂłn en 8 es de 50° D. 5HVSXHVWDÂ&#x192; Â&#x2122; Hallar el Az (19,20); Sabiendo que el Azimut (18,19) es de 70° y la DeflexiĂłn en 19 es 50° I. 5HVSXHVWDÂ&#x192; Â&#x2122; Hallar el Az de la lĂ­nea (1,2); sabiendo que la DeflexiĂłn en 2 es de 73° 18â&#x20AC;&#x2122; y el Az (2,3) es 238° 43â&#x20AC;&#x2122;. 5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś

Ă&#x2C6;QJXORKRUDULRÂąGHIOH[LyQ 

)LJXUD

La relaciĂłn entre el ĂĄngulo horario y la deflexiĂłn estĂĄ dada por la siguiente formula:

' $KÂ&#x17E; 

Ejemplo: Basados en el grafico anterior se tiene que el Ah es igual a 250Âş calcular la deflexiĂłn en dicho punto. '



Â&#x17E;Â&#x17E; Â&#x17E;



88

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos

Ă&#x2C6;QJXOR+RUDULRÂą'HIOH[LyQÂą$]LPXW 1. Ejemplo

)LJXUD

Az (A,B) = 80° Ah en B = 220° Az (B,C) = ? Â&#x2122; Cuando el ĂĄngulo horario es mayor de 180°, hallamos la diferencia entre los dos ĂĄngulos y obtenemos la deflexiĂłn. Â&#x2122; Cuando el ĂĄngulo horario es menor de 180°, hallamos la deflexiĂłn sumando ambos ĂĄngulos. 'HIOH[LyQ $K Â&#x192;

D = (220°-180Âş) = 40° â&#x2021;&#x2019; Az2 = 80° + 40Âş = 120Âş â&#x2021;&#x2019; $] Â&#x17E;

2. Ejemplo Az (1,2) =100° AH (2) = 70° Az (2-3) = ? D = (70º + 180º) = 250°

)LJXUD

$]   $]  '   100Âş + 250Âş =350Âş â&#x2021;&#x2019; $]   Â&#x17E;

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 89


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ (MHUFLFLRV3URSXHVWRV

Â&#x2122; Hallar el Azimut 5,6; sabiendo que el Azimut 4,5 es 70° y el Ang. Horario en 5 es de 200°. 5HVSXHVWDÂ&#x192; Â&#x2122; Hallar el Azimut 21,22; Sabiendo que el Azimut 20,21 es de 200° y el Ang. Horario en 21 es 220°. 5HVSXHVWDÂ&#x192; Â&#x2122; Hallar el Azimut de la lĂ­nea 1,2; sabiendo que el Ang. Contra-Horario en 2 es de 93° y el Azimut 2,3 es 237°. 5HVSXHVWDÂ&#x192; Â&#x2122; Hallar el Ang. Horario en el punto 3, si el Azimut 2,3 es de 125° 32â&#x20AC;&#x2122; y el Azimut 3,4 es de 327° 15â&#x20AC;&#x2122;.5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś

Ejemplo Completar el Siguiente cuadro utilizando los conocimientos obtenidos en el presente capitulo: /tQHD 1â&#x20AC;&#x201C;2

$] Â&#x192;

5 N60°E

&5 S60°W

&$] 240°

3WR 2

$+ 260°

$&+ 100°

'HIO 80° D

2â&#x20AC;&#x201C;3

140°

S 40° E

1Â&#x192;:

320°

3

270°

90°

90° D

3â&#x20AC;&#x201C;4

230°

S 50° W

N50E

50°

4

Â&#x192;

60°

120° D

4â&#x20AC;&#x201C;1

350°

N10° W

S10°E

170°

1

250°

110°

Â&#x192;'

1â&#x20AC;&#x201C;2

60°

(n+2)x180

(n-2)x180

â&#x2C6;&#x2018;

360°

360°

ComprobaciĂłn

1080

127$ Cuando trabajamos con ĂĄngulos horarios o contrahorarios es muy importante especificar el origen, debido a que si no tenemos esto en cuenta, pueden presentarse inconvenientes con el sentido de los mismos e incurrir en errores que daĂąen todo el trabajo realizado. Es conveniente tambiĂŠn recordar que el azimut, contra-azimut, rumbo son para lĂ­neas y las deflexiones, ĂĄngulos horarios y ĂĄngulos contra-horarios son para puntos o estaciones.



(MHUFLFLRV3URSXHVWRV Completar los siguientes cuadros: /tQHD $] 5ER &5ER 1â&#x20AC;&#x201C;2 Â&#x192; 2â&#x20AC;&#x201C;3

&$]

:

3XQWR 2

$&+

'HIO

3

3â&#x20AC;&#x201C;4

4

4â&#x20AC;&#x201C;1

1

1â&#x20AC;&#x201C;2

$+

Â&#x192; Â&#x192;,

ComprobaciĂłn

90

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos

/tQHD 1â&#x20AC;&#x201C;2 2â&#x20AC;&#x201C;3

$]

5ER

&5ER 6Â&#x192;:

&$]

Â&#x192;

3XQWR 2

$+

4



4â&#x20AC;&#x201C;1

1

Â&#x192;

1â&#x20AC;&#x201C;2

$]

5ER

&5ER

&$] Â&#x192;

3WR 2 3

3â&#x20AC;&#x201C;4

4

1â&#x20AC;&#x201C;2

Â&#x192;,

ComprobaciĂłn

2â&#x20AC;&#x201C;3

4â&#x20AC;&#x201C;1

'HIO

3

3â&#x20AC;&#x201C;4

/tQHD 1â&#x20AC;&#x201C;2

$&+

Â&#x192;

$+

$&+

'HIO Â&#x192; '

Â&#x192;

1 ComprobaciĂłn

Graficar y calcular la siguiente poligonal cerrada: Azimut 1,2 = 38° 25â&#x20AC;&#x2122;; DeflexiĂłn en el punto 2= 75° 22â&#x20AC;&#x2122; D; DeflexiĂłn en el punto 3= 85° 10â&#x20AC;&#x2122; D; DeflexiĂłn en el punto 4= 93° 15â&#x20AC;&#x2122; D; DeflexiĂłn en el punto 5= 67° 48â&#x20AC;&#x2122; D. Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122;

El R de la lĂ­nea (3,4) y (4,5) El Az de la lĂ­nea (2,3) y (5,1) El Ah en el punto 1 y 4 El CR de la lĂ­nea (2,1) y (4,3) El CAz de la lĂ­nea (1,2) y (3,4) El ACh en el punto 3 y 5

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 91


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ 3UREOHPDV Convertir los Azâ&#x20AC;&#x2122;s (a partir de la Norte) a Rumbos. Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122;

32° 05â&#x20AC;&#x2122; 129° 17â&#x20AC;&#x2122; 25â&#x20AC;? 237° 48â&#x20AC;&#x2122;; 295°. 123° 48â&#x20AC;&#x2122; 243° 12â&#x20AC;&#x2122; 346° 23â&#x20AC;&#x2122; 40â&#x20AC;?. 73° 50â&#x20AC;&#x2122; 27â&#x20AC;? 28° 17â&#x20AC;&#x2122; 32â&#x20AC;? 168° 22â&#x20AC;&#x2122; 05â&#x20AC;?.

Convertir los Rumbos (a partir de la Norte) a Azimut y calcular el ĂĄngulo, menor de 180°, entre rumbos sucesivos. Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122;

N37° 15â&#x20AC;&#x2122;E S51° 32â&#x20AC;&#x2122;E S24° 31â&#x20AC;&#x2122;W N56° 14â&#x20AC;&#x2122;W. N63° 50â&#x20AC;&#x2122;E S45° 28â&#x20AC;&#x2122;E S9° 54â&#x20AC;&#x2122;W N90° 00â&#x20AC;&#x2122;W. N00° 00â&#x20AC;&#x2122;E N57° 28â&#x20AC;&#x2122; 16â&#x20AC;?E S2° 17â&#x20AC;&#x2122; 46â&#x20AC;?W S 88° 29â&#x20AC;&#x2122;W.

Calcular el Az de la lĂ­nea (CD). Â&#x2122; Az (AB) = 86° 20â&#x20AC;&#x2122;; Ah ABC = 76° 53â&#x20AC;&#x2122;, Ah . BCD = 257° 10â&#x20AC;&#x2122;. Â&#x2122; R (AB) = S41° 22â&#x20AC;&#x2122;W; Ah ABC = 138° 47â&#x20AC;&#x2122;, Ah. BCD = 185° 50â&#x20AC;&#x2122;. Para el Az (DE) = 197° 28â&#x20AC;&#x2122; 42â&#x20AC;?, y los ĂĄngulos a la derecha DEF y EFG son de 39°28â&#x20AC;&#x2122;50â&#x20AC;? y de 275°10â&#x20AC;&#x2122;08â&#x20AC;?, respectivamente. Calcular el rumbo de FG.

Dados los ĂĄngulos de deflexiĂłn de la siguiente poligonal cerrada, calcule los Azimutes. El rumbo AB es N75°21â&#x20AC;&#x2122;W. Los ĂĄngulos de deflexiĂłn son B = 83°12â&#x20AC;&#x2122;I; C = 96°48â&#x20AC;&#x2122;I; D = 49°59â&#x20AC;&#x2122;I; E = 45°33â&#x20AC;&#x2122;I; F = 38°22â&#x20AC;&#x2122;D; y A = 122°50â&#x20AC;&#x2122;I. 

92

$%6***,'0


Capitulo 4: Ángulos

ÈQJXORVYHUWLFDOHV Un ángulo vertical es la diferencia de dirección entre dos líneas que se cortan, situadas en un plano vertical. Como se le usa comúnmente en topografía, es el ángulo hacia arriba o hacia abajo del plano horizontal que pasa por el punto de observación. A los ángulos que se miden hacia arriba del plano horizontal se les llama DOWXUDV o iQJXORV GH HOHYDFLyQ y son positivos. A los medidos hacia abajo se les llama iQJXORV GH GHSUHVLyQ y son negativos. Algunos teodolitos están diseñados para que las lecturas en el círculo )LJXUD7RPDGDGH3ULQFLSLRV vertical sean ángulos GHWRSRJUDItD/HLFD*HRV\VWHP cenitales. Un ángulo cenital se mide en un plano vertical del cenit a otro punto. La relación entre ángulos con origen en el horizonte y cenitales esta dada por la ecuación:

= ƒD

En donde z y α son ángulos cenitales y verticales, respectivamente. Otro tipo de ángulo es el Nadiral, que queda directamente abajo del observador, o sea, exactamente opuesto al cenit. Y su valor también varía entre 0° y 360°.

)LJXUD7RPDGDGHO/LEURWRSRJUDILDSODQD /HRQDUGR&DVDQRYD0

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 93


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Ejemplo: Se tiene un ĂĄngulo cenital de 282°15â&#x20AC;&#x2122;42â&#x20AC;?. Hallar el vertical (Îą) correspondiente. Z = 90° - Îą â&#x2021;&#x2019; se debe tener en cuenta que el ĂĄngulo cenital se obtuvo con el transito en posiciĂłn inversa. Îą = 282°15â&#x20AC;&#x2122;42â&#x20AC;? â&#x20AC;&#x201C; 270° Â&#x; Îą = 12°15â&#x20AC;&#x2122;42â&#x20AC;?

(MHUFLFLRV3URSXHVWRV Un asta de bandera tiene 90´ alto, se ata con sogas, cada una a la cima del asta y a una clavija en la tierra con una inclinaciĂłn de 30° a la vertical. Encuentre las longitudes de las sogas y las distancias de las clavijas hasta el pie del asta.5HVSXHVWDIWIW Desde la cima de un mĂĄstil de una nave con 75 pies de alto, el ĂĄngulo de depresiĂłn de un objeto es 20°. Encuentre la distancia del objeto a la nave. 5HVSXHVWDIW Una torre tiene una elevaciĂłn de 60° desde un punto al norte y tiene 45° desde un punto al sur. Si los dos puntos estĂĄn 200 metros separados entre sĂ­, encuentre la altura de la torre y la distancia de cada punto de observaciĂłn a la torre. 5HVSXHVWDPPP Un barco esta a 1.500â&#x20AC;&#x2122; de la pata de talud de un precipicio vertical. A la cima del precipicio y a la cima de un edificio que estĂĄ en el borde del precipicio, se observaron los siguientes ĂĄngulos de elevaciĂłn 30° y 33° respectivamente. Encuentre la altura del edificio. 5HVSXHVWDIW Un palo vertical de 3 m se utiliza para los lanzamientos largos, enterrado en el piso produce una sombra del sol de 1.75 m. ÂżCuĂĄl es el ĂĄngulo elevaciĂłn al sol? 5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś X y Y empiezan caminando en las direcciones N17°W y N73°E; encuentre su distancia entre si despuĂŠs de tres horas y la direcciĂłn de la lĂ­nea que los une. SĂ­ X camina a 3 Km por hora y Y a 4 Km por hora. 5HVSXHVWDNP6Â&#x192;Âś(

0HGLFLyQGHiQJXORV

Para medir un ĂĄngulo existen tres formas de hacerlo las cuales son: GrĂĄficamente AnalĂłgicamente (indirecta) Directamente Estas se ven limitadas de acuerdo con la precisiĂłn requerida y con el instrumental que se tenga a la mano. Para medir un ĂĄngulo podemos utilizar un transportador sobre un dibujo o grĂĄfico de dicho ĂĄngulo, una cinta, con la cual medimos algunos elementos de un triĂĄngulo y empleando conocimientos bĂĄsicos de geometrĂ­a y trigonometrĂ­a para calcular el ĂĄngulo correspondiente, tambiĂŠn podemos medir ĂĄngulos empleando una brĂşjula, la cual nos da los rumbos o azimutes de las lĂ­neas y realizando una diferencia de estos podemos obtener el ĂĄngulo formado por ellas, y por supuesto el transito no se podĂ­a quedar fuera de este capitulo ya que el transito como se hablĂł en

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$%6***,'0


Capitulo 4: Ángulos capítulos anteriores fue creado con el fin de medir ángulos de manera mas precisa y de una forma mas ágil.

0HGLFLyQGHiQJXORVXWLOL]DQGRHOWUDQVLWR

Como ya se había hablado antes en un capítulo anterior el tránsito o teodolito es un instrumento que nos permite medir ángulos con muy buena precisión y de una manera fácil y rápida. Ahora veremos como trabajar con tal instrumento para obtener un mejor desempeño en las labores de campo.



0HGLFLyQVHQFLOOD Para medir un ángulo empleando un tránsito, colocamos este en el vértice del ángulo, por ejemplo: si vamos a medir el ángulo COE, estacionamos el transito en O y dependiendo del tránsito si es repetidor o reiterador, buscamos colocar los círculos graduados en 0° para luego visar al punto C en una forma aproximada, de manera que el retículo vertical quede un poco a la izquierda de la señal, se bloquea el movimiento horizontal y con el tornillo de movimiento lento horizontal se hace el punteo definitivo del jalón, plomada o señal colocada en ese punto, siguiendo este procedimiento se “ataca” desde el mismo lado la aproximación y se minimiza el “juego” entre los engranajes del sistema,. En ese momento se suelta el movimiento horizontal del tránsito y se gira o se barre con el telescopio hasta hacer que el retículo vertical del teodolito coincida con la señal en punto E, repitiendo el proceso de puntería que anteriormente fue descrito. Por último se lee el limbo que antes se encontraba en 0° y se anota la lectura.

&RQVHMRVLPSRUWDQWHVDODKRUDGHPHGLUXQiQJXOR: 1. Se debe visar cerca de los objetos que se visan con la intención de que el recorrido con el movimiento lento sea menor. 2. Los últimos giros de los tornillos de movimiento fino (tornillos tangenciales) debe buscarse que sean en el sentido de las manecillas del reloj, comprimiendo así los resortes que se oponen al movimiento.  Cuando se esté leyendo un limbo y/o nonio debe procurarse colocar el ojo directamente sobre la graduación de la coincidencia para evitar de esta manera la SDUDODMH  Los niveles de la base del transito deben estar centrados antes de medir cualquier ángulo, pero no debe moverse entre una observación final y una inicial cuando medimos un ángulo por repeticiones si podemos nivelar la base cuando vamos a visar de nuevo el primer punto.  Cuando se van a visar varios ángulos desde un punto sin mover el círculo horizontal, el topógrafo deberá visar a un punto que él tome como referencia y debe leer el ángulo a ese punto. Si se vuelve a leer al mismo punto que fue tomado como referencia, de esta manera podemos constatar si existe cualquier movimiento accidental del círculo horizontal.  Siempre que se doble o se lea un ángulo más de una vez, si el tránsito está corregido, las lecturas no deben discrepar en más de lo que sea la aproximación del nivel; si se ratifica esta diferencia es un signo que nos indica la descorrección o desajuste del instrumento. En topografía existen unos métodos que le permiten al topógrafo obtener mejores resultados durante la medida de un ángulo o que le permiten mejorar su precisión. Estos métodos de observación son empleados dependiendo del instrumento y de la precisión establecida.



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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

0pWRGRGH5HSHWLFLRQHV

)LJXUD

El mÊtodo de repeticiones es empleado cuando se trabaja con trånsitos que estån provistos de un sistema de fijación del círculo o limbo horizontal, este consiste en que el ångulo que se va a medir es repetido un número de veces en forma acumulativa, sin anotar lecturas intermedias solo anotando una lectura inicial, una lectura de control y una lectura final. En la aplicación de este mÊtodo existen varias formas de operar las cuales denominamos de la siguiente forma: ž Acumulando en posición directa ž Acumulando en posición inversa ž Acumulando y borrando en posición directa ž Acumulando en directa y borrando en inversa

$FXPXODQGRHQ'LUHFWD El procedimiento de campo es el siguiente:

Estacionados en un vĂŠrtice )LJ  se hace punterĂ­a a la seĂąal ubicada en el punto (P1) y se efectĂşa la primera lectura (LI), luego aflojamos el tornillo de movimiento horizontal del trĂĄnsito y el sistema de fijaciĂłn del limbo, se barre en el sentido de las manecillas del reloj a la seĂąal en el punto (P2) y se hace la lectura sobre este punto, siendo esta una lectura intermedia (Lâ&#x20AC;&#x2122;), que solo nos sirve como una lectura para conocer aproximadamente las magnitud del ĂĄngulo. A continuaciĂłn se fija el cĂ­rculo con la lectura (Lâ&#x20AC;&#x2122;) y se sigue girando en el sentido horario para realizar una nueva observaciĂłn a la )LJXUD7RPDGRGHWHRGROLWR\6XHPSOHR seĂąal inicial, aflojamos el tornillo de movimiento horizontal y el limbo y se barre para hacer una nueva punterĂ­a a la segunda seĂąal. En esta forma se sigue trabajando hasta completar el nĂşmero de repeticiones establecido y hacer la lectura final sobre el segundo punto (LF). A esto es a lo que se le conoce como una serie. Cuando se esta trabajando con el mĂŠtodo de repeticiones lo que se busca para mejorar la precisiĂłn de la medida es realizar un numero de series determinado, pero teniendo en cuenta que se debe

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Capitulo 4: Ángulos repartir las lecturas iniciales de cada serie en todo el limbo horizontal del transito, objetivo que se logra tomando 180° del limbo y dividiéndolo entre el numero de series que se quieren ejecutar. Como por ejemplo: Si se quieren realizar tres series de repeticiones dividimos 180° / 3 series, lo que nos da un valor de 60°, el cual se le sumara a la lectura inicial de la primera serie para conocer la lectura inicial de la segunda serie y luego volver a sumarle 60° para conocer la lectura inicial de la tercera serie; supongamos que la lectura inicial de la primera serie es igual a 10° 20’ 00”, por lo tanto la lectura inicial de la segunda serie es igual a 10°20’00” + 60°= 70°20’00” y la lectura inicial de la tercera serie será de 130°20’00”. Para obtener el ángulo después de haber hecho todo el proceso basta con aplicar la siguiente fórmula / – L1) / n. Siendo muy importante conocer el número de grados que nos proporciona la lectura de control (L’) para saber si es necesario adicionarle 360° un múltiplo de 360° antes de dividir en n (número de repeticiones), esto depende si se dio un giro completo o más de un giro al momento de efectuar la repetición. NOTA: el método de repetición nos permite elevar la precisión de una medida con el instrumento en más o menos cinco veces, debido a que el error en lectura queda subdividido y se minimiza el efecto de los errores en graduación en el círculo horizontal.

 &iOFXORSDUD5HSHWLFLRQHV

1. Se va a medir un ángulo entre dos líneas que están abiertas 20°11’17”, con un aparato de aproximación al 01’. Los 17” no se podrán apreciar con una medida simple, pero cada vez que se gira el transito, quedan incluidos y se van acumulando hasta sumar un minuto, o excederlo. Est. (∆) 1

2 3 3 3 3

Telescopio

Repetición

Lectura

Observación

D D D D D

0 1 2 3 4

00° 00’ 20° 11’ (17”) 40° 22’ (34”) 60° 33’ (51”) 80° 44’ (68”)

Lect. Inicial Primera lect. Segunda lect. Tercera lect. Cuarta lect.

La cuarta lectura medida: 80° 44’ (68”), se leerá 80° 45’. Así, el ángulo repetido 4 veces, la última lectura arrojó un minuto más, y su valor obtenido será: 80° 45’: 20° 11’ 15” 4 Que se aproxima más al valor verdadero, y se obtuvieron segundos con el mismo aparato. Se entiende que al valor verdadero que desconocemos, no se llega salvo en casos especiales de múltiplos de segundos que acumulen minutos cerrados, pero si se logra un valor más aproximado a la realidad.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ $' =

8O â&#x2C6;&#x2019; /L Q

Donde 8O es la Ăşltima lectura, /Les la lectura inicialy Q es el nĂşmero de repeticiones. Con este procedimiento la aproximaciĂłn del aparato se divide entre el nĂşmero de repeticiones, es decir, aumenta la aproximaciĂłn. Pero como al girar el aparato varias veces en el mismo sentido, por la fracciĂłn del limbo se puede arrastrar algo la graduaciĂłn, esto hace que se pierda la aproximaciĂłn despuĂŠs de varios giros, por lo que se recomienda que el nĂşmero de repeticiones sea de: 5 a 7.

2. Est. (â&#x2C6;&#x2020;) 1

2 3 3

Telescopio

RepeticiĂłn

Lectura

ObservaciĂłn

D D D

0 1 5

00° 00â&#x20AC;&#x2122; 50° 10â&#x20AC;&#x2122; 250° 51â&#x20AC;&#x2122;

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final

Telescopio

RepeticiĂłn

Lectura

ObservaciĂłn

D D D

0 1 5

50° 30â&#x20AC;&#x2122; 200° 10â&#x20AC;&#x2122; 78° 51â&#x20AC;&#x2122;

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final

Angulo Definitivo =  250° 51â&#x20AC;&#x2122; = Â&#x192;Âś´ 5 3. Est. (â&#x2C6;&#x2020;) P

Q R R

Â&#x2122; $QJXORGH&RQWURO3ULPHUDOHFWÂąOHFW,QLFLDO El ĂĄngulo de control nos define el ĂĄngulo definitivo. Angulo de Control: 200° 10â&#x20AC;&#x2122; - 50° 30â&#x20AC;&#x2122; = 149° 40â&#x20AC;&#x2122;

98

$%6***,'0


Capitulo 4: Ángulos ™ 1ƒGH9XHOWDV$QJXORGH&RQWURO[1~PHURGHUHSHWLFLRQHV N° de Vueltas: número de veces que pasa el aparato por 360°. N° de Vueltas: 149º 40'×5 =

$' =

748º 20' = 2.078 ≈ 2 YXHOWDV = 720º 360º

(8O + QY )− /L Q

(78º51'+720º )− 50º30' = 149º 40’12" $' = 5

4. Est. (∆) A

B C C

Telescopio

Repetición

Lectura

Observación

D D D

0 1 5

200° 20’ 330° 14’ 129° 51’

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final

™ $QJXORGH&RQWURO3ULPHUDOHFW±OHFW,QLFLDO Angulo de Control: 330° 14’ - 200° 20’ = 129° 54’ ™ 1ƒGH9XHOWDV$QJXORGH&RQWURO[1~PHURGHUHSHWLFLRQHV N° de Vueltas:129° 54’ x 5 = 649° 30’+ 200° 20’ = 849° 50’ = 2.36 ≈ 2 vueltas 360°

$' =

$' =

(8O + QY )− /L Q

(129º51'+720º )− 200º 20' = 129º54’12" 5

(MHUFLFLRSURSXHVWR Est. (∆) M

N O O

Telescopio

Repetición

Lectura

Observación

D D D

0 1 6

300° 00’ 100° 50’ 185° 01’

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final

5HVSXHVWDƒ¶´

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ $FXPXODQGR\%RUUDQGR

Est. (â&#x2C6;&#x2020;) P

Telescopio

RepeticiĂłn

Lectura

ObservaciĂłn

D D D D

0 1 5 10

100° 51â&#x20AC;&#x2122; 200° 20â&#x20AC;&#x2122; 238° 17â&#x20AC;&#x2122; 100° 52â&#x20AC;&#x2122;

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final 1 set Lect. Final 2 set

Q R R Q

Â&#x2122; $QJXORGH&RQWURO3ULPHUDOHFWÂąOHFW,QLFLDO Angulo de Control: 200° 20â&#x20AC;&#x2122; - 100° 51â&#x20AC;&#x2122; = 99° 29â&#x20AC;&#x2122; Â&#x2122; 1Â&#x192;GH9XHOWDV$QJXORGH&RQWURO[1~PHURGHUHSHWLFLRQHV N° de Vueltas:99° 29â&#x20AC;&#x2122; x 5 = 497° 25â&#x20AC;&#x2122;+ 100° 51â&#x20AC;&#x2122; = 598° 16â&#x20AC;&#x2122; = 1.66 â&#x2030;&#x2C6; 1 vuelta 360°

$' =

(8O + QY )â&#x2C6;&#x2019; /L Q

$'1VHW =

(238Âş17'+360Âş )â&#x2C6;&#x2019; 100Âş51' = 99Âş 29â&#x20AC;&#x2122;12"

$' 2 VHW =

(238Âş17'+360Âş )â&#x2C6;&#x2019; 100Âş52' = 99Âş 29â&#x20AC;&#x2122;

5

5

Promedio Ă ngulo Definitivo: Â&#x192; Âś´ 

100

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos (MHUFLFLRVSURSXHVWRV  1. Az MN : 257° 38â&#x20AC;&#x2122; 02â&#x20AC;? Ang. CH. N-Mâ&#x20AC;&#x201C;O : 149° 31â&#x20AC;&#x2122; 30â&#x20AC;? Est. (â&#x2C6;&#x2020;) M

N O O N

Telescopio

RepeticiĂłn

Lectura

ObservaciĂłn

D D D D

0 1 5 10

210° 28â&#x20AC;&#x2122; 30â&#x20AC;? 138° 45â&#x20AC;&#x2122; 00â&#x20AC;? 211° 51â&#x20AC;&#x2122; 30â&#x20AC;? 210° 29â&#x20AC;&#x2122; 00â&#x20AC;?

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final 1 set Lect. Final 2 set

Telescopio

RepeticiĂłn

Lectura

ObservaciĂłn

D D D D

0 1 4 8

210° 34â&#x20AC;&#x2122; 300° 47â&#x20AC;&#x2122; 211° 26â&#x20AC;&#x2122; 210° 35â&#x20AC;&#x2122;

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final 1 set Lect. Final 2 set

5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś´ 2. Est. (â&#x2C6;&#x2020;) 1

2 3 3 2

5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś´

5HSODQWHR

Ejemplo: 1. El ĂĄngulo BAC es de 50° 12â&#x20AC;&#x2122; 56â&#x20AC;?, y la distancia A-C es de 980 m. Realizar el replanteo del ĂĄngulo con un transito T-16 de aproximaciĂłn al minuto.

Est. (â&#x2C6;&#x2020;) A

Â&#x2122; $' =

$' =

B C C

Telescopio

RepeticiĂłn

Lectura

ObservaciĂłn

D D D

0 1 5

00° 00â&#x20AC;&#x2122; 50° 12â&#x20AC;&#x2122; 251° 01â&#x20AC;&#x2122;

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final

8O â&#x2C6;&#x2019; /L Q 251Âş51'â&#x2C6;&#x2019;00Âş 00' = 50Âş12â&#x20AC;&#x2122;12â&#x20AC;&#x2122; 5

La correcciĂłn angular (Îą ):

50° 12â&#x20AC;&#x2122; 56â&#x20AC;? - 50° 12â&#x20AC;&#x2122; 12â&#x20AC;? 00° 00â&#x20AC;&#x2122; 44â&#x20AC;?

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 101


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ CorrecciĂłn lineal: CCâ&#x20AC;&#x2122;= d x tan Îą CCâ&#x20AC;&#x2122;= 980m x (tan 00° 00â&#x20AC;&#x2122; 44â&#x20AC;?) = 0.21 m

B

A C Îą:44â&#x20AC;?

0.21m Câ&#x20AC;&#x2122;

Ejemplo: 2. Realizar el replanteo del ĂĄngulo de 70° 40â&#x20AC;&#x2122; 02â&#x20AC;? medido con un transito T-16 de aproximaciĂłn al minuto, y una distancia de 1100 m. Est. (â&#x2C6;&#x2020;) A

$' =

B C C

Telescopio

RepeticiĂłn

Lectura

ObservaciĂłn

D D D

0 1 5

00° 00â&#x20AC;&#x2122; 70° 40â&#x20AC;&#x2122; 353° 21â&#x20AC;&#x2122;

Lect. Inicial Primera lect. Lect. Final

353Âş 21Âş â&#x2C6;&#x2019;00Âş 00' = 70Âş 40â&#x20AC;&#x2122;12" 5

La correcciĂłn angular (Îą ):

70° 40â&#x20AC;&#x2122; 02â&#x20AC;? - 70° 40â&#x20AC;&#x2122; 12â&#x20AC;? - 00° 00â&#x20AC;&#x2122; 10â&#x20AC;? CorrecciĂłn lineal: CCâ&#x20AC;&#x2122;= d x tan Îą CCâ&#x20AC;&#x2122;= 1100m x (tan 00° 00â&#x20AC;&#x2122; 10â&#x20AC;?) = 0.05 m

B

A Câ&#x20AC;&#x2122; Îą:10â&#x20AC;?

0.05m C

102

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos (MHUFLFLRVSURSXHVWRV

Â&#x2122; Replantear el ĂĄngulo de 220° 05â&#x20AC;&#x2122; 33â&#x20AC;? a una distancia de 990m. Las repeticiones con un origen de 300° 20â&#x20AC;&#x2122; y 6 veces acumulado. 5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś´&&Âś P Â&#x2122; Un ĂĄngulo A,B,C de 52° 36â&#x20AC;&#x2122; 12â&#x20AC;? tiene que trazarse con un transito de aproximaciĂłn a los 30â&#x20AC;?, despuĂŠs de tomar una vista atrĂĄs al punto A se marco el punto C a 500 m con un ĂĄngulo de 52° 36â&#x20AC;&#x2122;, el ĂĄngulo A,B,C fue medido 6 veces por repeticiĂłn. /)$QJ&RQWURO[ 1Â&#x192;YXHOWDV/, $SUR[(TXLSR 5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś´&&Âś P

Â&#x2122; Se desea replantear un tramo de vĂ­a entre el PC N° 15, el PI 16 y el PT 17, la deflexiĂłn en el PI 16 es de 68° 17â&#x20AC;&#x2122; 46â&#x20AC;? I; si se mira para el punto 15 con un ĂĄngulo de 115° 28â&#x20AC;&#x2122; 30â&#x20AC;? y se hacen 5 repeticiones con un transito K0S. ÂżCuĂĄl serĂĄ la distancia a medir en el PT 17 para replantear dicho ĂĄngulo, si la tangencia es de 928m? 5HVSXHVWDÂ&#x192;Âś´&&Âś  P

0pWRGRGH5HLWHUDFLRQHV En general el mĂŠtodo de reiteraciones tiene el mismo fin que el de repeticiones, se diferencia en que el mĂŠtodo de reiteraciones se utiliza en trĂĄnsitos de tipo reiterador y asegura que se distribuya la medida sobre todo el circulo graduado, ya que cada ĂĄngulo es medido en posiciĂłn directa e inversa, los ĂĄngulos de origen se calculan dividiendo 180Âş por n numero de reiteraciones, sumĂĄndole este resultado al origen anterior. OrĂ­genes segĂşn el nĂşmero de reiteraciones: Cuando se esta trabajando con el mĂŠtodo de reiteraciones lo que se busca para mejorar la precisiĂłn de la medida es realizar un numero de series determinado, pero teniendo en cuenta que se deben repartir las lecturas iniciales de cada serie en todo el limbo horizontal del transito, objetivo que se logra tomando 180° y dividiĂŠndolo entre el numero de series que se quieren realizar. Como por ejemplo: para tres reiteraciones Ă&#x17D; 180Âş / 3 = 60Âş entonces los orĂ­genes son 00Âş, 60Âş y 120Âş

7HO 2 3 4 5 6

' 00° 00° 00° 00° 00°

, 90Âş Ă&#x2020; 270° 60Âş Ă&#x2020; 240° 45Âş Ă&#x2020; 225° 36Âş Ă&#x2020; 216° 30Âş Ă&#x2020; 210°

'

,

'

,

120° 90° 72° 60°

135Âş Ă&#x2020; 315° 108Âş Ă&#x2020; 288° 90Âş Ă&#x2020; 270°

144° 120°

150Âş Ă&#x2020; 330°

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 103


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD

Veamos el protocolo que se emplea para medir entre dos seĂąales. 1. Para comenzar con el trabajo se visa y se hace punterĂ­a a la primera seĂąal, colocando un ĂĄngulo de partida de 00Âş00â&#x20AC;&#x2122;+ una lectura en segundos mayor a cero, lo cual se hace empleando el botĂłn de desplazamiento del circulo que nos da la posibilidad de tener cualquier lectura de partida. 2. Se suelta el tornillo del movimiento horizontal del transito y se barre para hacer punterĂ­a en la segunda seĂąal donde se efectĂşa la lectura despuĂŠs de realizar la coincidencia para comprobar la lectura se hace una nueva coincidencia y se lee otra vez y registrar en la cartera los valores. 3. Se transita y se la da un giro de 180° al transito para visar de nuevo a la segunda seĂąal, donde ya en posiciĂłn II se realizan de nuevo las dos lecturas registrĂĄndolas en la cartera. 4. Barrer en esta posiciĂłn para hacer la observaciĂłn a la primera seĂąal y efectuar las lecturas sobre esta y anotar los valores obtenidos. 5. Teniendo el transito en posiciĂłn inversa y punteando a la primera seĂąal, se coloca ĂŠste en el segundo origen (en inversa). 6. Barrer a la segunda seĂąal puntear y registra las lecturas 7. Se transita y se da un giro de 180Âş para quedar de nuevo en posiciĂłn directa se puntea y se anota los resultados. 8. Barrer a la primera seĂąal, para realizar el punteo y el registro de las lecturas correspondientes Este mĂŠtodo anteriormente descrito, minimiza el efecto de los errores de graduaciĂłn que puedan existir en el instrumento.

104

$%6***,'0


Capitulo 4: Ángulos Cuando se está trabajando en la medida de ángulos por reiteraciones se debe realizar la operación con sumo cuidado para evitar errores como: ¾ ¾ ¾ ¾

equivocarse de tornillo tangencial dándole vueltas al que no corresponde. olvidarse fijar el tornillo del movimiento horizontal del tránsito. leer equivocadamente el vernier o escala horizontal. equivocarse de vernier en el momento de realizar la lectura.

&iOFXORSDUD5HLWHUDFLRQHV Intervalos: 180° N° set ,17(59$/26 , 

G°= 180° N°set M’= 600” N°set

Trabajo de 5 set: para Topografía Normal 1: Directa: 05° 28’ 30” 2: Directa: 41° 28’ 30” 3: Directa: 77° 28’ 30” 4: Directa: 113° 28’ 30” 5: Directa: 149° 28’ 30” Intervalos: 180° ⇒ N° set

I = 180° ⇒ I= 36° 00’ 00” 5

Trabajo de 5 set: para Topografía Mayor Precisión 1: Directa: 05° 28’ 30” 2: Directa: 41° 30’ 30” 3: Directa: 77° 32’ 30” 4: Directa: 113° 34’ 30” 5: Directa: 149° 36’ 30” Intervalos: 180° ⇒ N° set

I = 180° ⇒ I= 36° 00’ 00” 5

I = 600” ⇒ I= 00° 02’ 00” 5

Intervalos: 600° N° set 5

I= G + M= 36° 02’ 00”

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 105


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Ejemplo: Replantear el ĂĄngulo de 78° 25â&#x20AC;&#x2122; 16â&#x20AC;?, para controlar la base de una torre de conducciĂłn elĂŠctrica; utilizar: Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122; Â&#x2122;

4 set Equipo THEO 10A con precisiĂłn a los 10â&#x20AC;? Ă?ndice de confiabilidad = 75% LI= 25° 10â&#x20AC;&#x2122; 15â&#x20AC;? Longitud 1-3: 45m

Intervalos: 180° â&#x2021;&#x2019; N° set

I = 180° â&#x2021;&#x2019; I= 45° 00â&#x20AC;&#x2122; 00â&#x20AC;? 4

Intervalos: 600° â&#x2021;&#x2019; N° set

I = 600â&#x20AC;? â&#x2021;&#x2019; I= 00° 02â&#x20AC;&#x2122; 30â&#x20AC;? 4

I= G + M= 45° 02â&#x20AC;&#x2122; 30â&#x20AC;? Vmp: 78° 25â&#x20AC;&#x2122; 16â&#x20AC;? Aprox. = 78° 25â&#x20AC;&#x2122; 20â&#x20AC;? (VW â&#x2C6;&#x2020;

7HOHVF

/HFWXUD

3URPHGLR

3URP',

'LIHUHQ

Ă&#x2030;QJXOR3DUFLDO

Ă&#x2030;QJXOR'HILQLWLYR



   

' , ' ,

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

   

   

   

 Â&#x192;¡Âľ  

   



   

, ' , '

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

   

   

   

 Â&#x192;¡Âľ  



   

' , ' ,

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

   

   

   

 Â&#x192;¡Âľ  

    Â&#x192;¡Âľ    



  

, ' ,

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

  

  

  



'

Â&#x192;¡Âľ







 Â&#x192;¡Âľ 1R VHWLHQHHQ FXHQWD 

   

Ă?ndice de Confiabilidad = 3 set = 75% La correcciĂłn angular (Îą ):

78° 25â&#x20AC;&#x2122; 20.0â&#x20AC;? - 78° 25â&#x20AC;&#x2122; 25.7â&#x20AC;? - 00° 00â&#x20AC;&#x2122; 5.7â&#x20AC;?

106

$%6***,'0


Capitulo 4: Ă ngulos CorrecciĂłn lineal: CCâ&#x20AC;&#x2122; = d x tan Îą CCâ&#x20AC;&#x2122;= 45m x (tan 00° 00â&#x20AC;&#x2122; 5.7â&#x20AC;?) = 0.001m

(MHUFLFLR3URSXHVWR Replantear el ĂĄngulo de 01° 06â&#x20AC;&#x2122; 10â&#x20AC;?, utilizar: Â&#x2122; 4 set Â&#x2122; Equipo KM-1 con precisiĂłn a los 10â&#x20AC;? Â&#x2122; Ă?ndice de confiabilidad = 75% Â&#x2122; LI= 00° 00â&#x20AC;&#x2122; 10â&#x20AC;? Â&#x2122; Longitud A-C: 300m 5HVSXHVWD Â&#x192;Âś´&&Âś P (VW â&#x2C6;&#x2020;

7HOHVF

/HFWXUD

3URPHGLR

3URP',

'LIHUHQ

Ă&#x2030;QJXOR3DUFLDO

Ă&#x2030;QJXOR'HILQLWLYR

$

% % & &

' , ' ,

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

   

   

   

   

   

$

% % & &

, ' , '

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

   

   

   

   

   

$

% % & &

' , ' ,

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

   

   

   

   

   

$

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, ' ,

Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ Â&#x192;¡Âľ

  

  

  

  

  

&

'

Â&#x192;¡Âľ











Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 107


',67$1&,$6 La medición de distancias es la base de la topografía. Aún cuando en un levantamiento los ángulos pueden leerse con buena precisión utilizando un equipo muy refinado, por lo menos tiene que medirse la longitud de una línea para complementar la medición de ángulos en la localización de los puntos. En planimetría, la distancia entre dos puntos significa su distancia horizontal. Si los puntos están a diferente elevación, su distancia es la longitud horizontal comprendida entre las líneas de plomadas que pasan por los puntos.

0pWRGRVGHPHGLFLyQGHGLVWDQFLDVKRUL]RQWDOHV En topografía las magnitudes lineales se obtienen utilizando métodos muy diversos: Gráfica, analítica, medición directa o por medición indirecta. La medición gráfica de distancias se lleva a cabo en planos a escala ya existentes utilizando escalimetros, reglas entre otros. Las distancias entre puntos se pueden obtener por medio de cálculos analíticos basados en información de coordenadas de los puntos extremos de la línea de la cual se quiere determinar su magnitud. La medición de distancia en forma indirecta presenta gran variedad de métodos, uno de estos es determinar la distancia basados el la información de ángulos de un triángulo (triangulación), la medición óptica (estadimetría) en la cual con la aplicación de una formula se obtiene la distancia entre puntos, la aplicación de los EDM y cálculos a partir de coordenadas obtenidas con GPS. Todos estos métodos son del tipo de medición indirecta. En particular, el sistema dependiente de satélites, llamado *OREDOSRVLWLRQLQJ6\VWHP (GPS) que se traduce como Sistema de Posicionamiento Global, está reemplazando rápidamente a todos los demás sistemas. Ello se debe a diversas ventajas, pero lo más notable es su precisión y eficiencia. Los tipos de medición directa son aquellos en los que se tiene que recorrer el terreno directamente entre los dos puntos establecidos.

1. A Pasos 2. Con Odómetro 3. Con Cinta


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

0HGLFLyQD3DVRV Las distancias evaluadas a pasos son suficientemente precisas para muchos fines en topografĂ­a, ingenierĂ­a, geologĂ­a, agricultura. Las medidas a pasos se usan para detectar equivocaciones de consideraciĂłn, que pueden ocurrir en mediciones de distancias hechas con mĂŠtodos de mayor precisiĂłn. Medir a pasos consiste en contar el nĂşmero de pasos que abarca una cierta distancia. Esto se logra convenientemente recorriendo a pasos naturales, de ida y vuelta, una distancia horizontal medida con anterioridad, por lo menos de 300m de longitud, y dividiendo )LJXUD la distancia conocida entre el nĂşmero promedio de pasos. Para distancias cortas se necesita conocer la longitud de cada paso, pero es conveniente saber tambiĂŠn el nĂşmero de pasos dados en 100 m para verificar distancias largas. La mediciĂłn a pasos es una de las tĂŠcnicas mĂĄs valiosas aprendidas en topografĂ­a, ya que tiene muchas aplicaciones prĂĄcticas y no necesita de equipo alguno. (MHPSOR

/RQJ0HGLGD

30

( . )&RQVWDQWH =

1~PHURGHSDVRV 38 39 37 36 38 37 39 39

3URPHGLRGH3DVRV

&RQVWDQWH P 

37.88

0.79

/RQJ .0HGLGD Pr RP.3DVRV

¢4XpORQJLWXGVHUHFRUULyVLVHFRQWySDVRV"

( . )&RQVWDQWH =

/RQJ .0HGLGD â&#x2021;&#x2019; Pr RP.3DVRV

Long. Medida = 0.79m x 123

(K) Constante x Prom. pasos = Long. Medida â&#x2021;&#x2019;

â&#x2021;&#x2019; /RQJ0HGLGD P

¢&XiOVHODNVLHQXQDGLVWDQFLDGHPVHFRQWDURQSDVRV"

( . )&RQVWDQWH =

/RQJ .0HGLGD Pr RP.3DVRV

â&#x2021;&#x2019; .=

130.50P 150

110

â&#x2021;&#x2019;

N P

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias

0HGLFLyQFRQ2GyPHWUR Un odĂłmetro convierte el nĂşmero de vueltas de una rueda de circunferencia conocida en una distancia. Este sirve para medir longitudes reales, por tal motivo se deben medir sobre terrenos mas menos planos; por ejemplo las medidas obtenidas con un odĂłmetro instalado en un vehĂ­culo son adecuadas para ciertos levantamientos preliminares en los trabajos de ubicaciĂłn de vĂ­as o caminos. TambiĂŠn sirven como verificaciĂłn aproximada de las medidas hechas mediante otros mĂŠtodos. Existe otro tipo de ruedas medidoras que sirven para determinar distancias cortas, principalmente sobre lĂ­neas curvas. Los odĂłmetros dan distancias que deben corregirse a la horizontal si el terreno tiene una pendiente pronunciada fĂĄcilmente determinable. 'LVWDQFLD 1Â&#x192;GHYXHOWDV[ORQJLWXGGHODFLUFXQIHUHQFLD

)LJXUD7RPDGDGHO OLEUR7RSRJUDItDSODQD /HRQDUGR &DVDQRYD0

Longitud de circunferencia = 2 x Ď&#x20AC; x r

(MHPSOR Halle la distancia entre dos estaciones de autobĂşs, con los siguientes datos obtenidos con un odĂłmetro. N° de vueltas = 230 DiĂĄmetro = 1.10 m Distancia = 230 x ( 2 x Ď&#x20AC; x 0.55 m)

â&#x2021;&#x2019;

'LVWDQFLD P

(MHPSOR Calcula la longitud medida con un odĂłmetro cuya longitud de circunferencia es de 1.50 m y dio 48 vueltas. Distancia = 1.50 m x 48 (MHUFLFLRVSURSXHVWRV

â&#x2021;&#x2019;

'LVWDQFLD P

ÂżCuĂĄntas vueltas hay que dar con un odĂłmetro de long. de circunferencia 0.78 m, para medir 423 m? 5HVSXHVWDYXHOWDV ÂżQuĂŠ longitud se midiĂł con un odĂłmetro, cuyo radio de circunferencia es 0.46 m y marcĂł 175 vueltas? 5HVSXHVWDP

ÂżQuĂŠ longitud se midiĂł con un odĂłmetro, cuya ĂĄrea de circunferencia es de 0.158 m2 y registrĂł 215 vueltas? 5HVSXHVWDP

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 111


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

0HGLFLRQHVFRQ&LQWD La mediciĂłn de una lĂ­nea horizontal con cinta se basa en aplicar directamente la longitud conocida de ĂŠsta sobre la lĂ­nea cierto nĂşmero de veces. La mediciĂłn con cinta se efectĂşa en seis pasos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

AlineaciĂłn AplicaciĂłn de tensiĂłn Verticalidad UbicaciĂłn de puntos Lectura de la cinta Registro de la distancia

$OLQHDFLyQ

)LJXUD

Medir una lĂ­nea empleando jalones exige una marcaciĂłn en forma bien definida en ambos extremos, y tambiĂŠn en puntos intermedios, si fuera necesario, para asegurarse que no hay obstrucciones a las visuales. El cadenero de adelante se alinea en su ubicaciĂłn por la del cadenero de atrĂĄs (o con la ayuda de un teodolito, para mayor exactitud). El cadenero de atrĂĄs debe sostener el extremo de la cinta con la marca de ceros sobre el primer punto, ĂŠl cadenero de adelante que sostiene el otro extremo, es alineado por el primero. Para tener resultados precisos la cinta debe estar en lĂ­nea recta y los extremos sostenidos a la misma altura. Se aplica una tensiĂłn especĂ­fica, generalmente entre 10 y 25lbs. Para mantener una fuerza uniforme, cada cadenero sujeta la cinta por sus extremos, mantiene los antebrazos pegados al cuerpo y se sitĂşa mirando al frente en ĂĄngulo recto con la lĂ­nea. En esta posiciĂłn, el cadenero queda fuera de la lĂ­nea visual; en estas condiciones solo necesita inclinar un poco el cuerpo para sostener, disminuir o aumentar la tensiĂłn.

9HUWLFDOLGDG La maleza, los arbustos, los obstĂĄculos y las irregularidades del terreno pueden hacer imposible tender la cinta sobre el terreno. En vez de ello, los cadeneros marcan cada extremo de una medida colocando el hilo de una plomada contra la graduaciĂłn respectiva de la cinta y asegurĂĄndolo con el pulgar. El cadenero de atrĂĄs sostiene la plomada sobre un punto fijo mientras el cadenero de adelante marca la cinta.

112

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias

8ELFDFLyQGH3XQWRV

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR 7RSRJUDItDSODQD /HRQDUGR &DVDQRYD0

Una vez que la cinta se ha alineado y tensado correctamente, y el cadenero de atrás esta sobre el punto; el cadenero de adelante clava entonces un piquete exactamente en oposición a la marca cero de la cinta )LJ D\E VRQLQFRUUHFWRV . El punto donde se clavó el piquete se verifica repitiendo la medición, hasta estar seguro de su ubicación correcta )LJ F

. Después el cadenero de atrás se traslada al punto marcado y el otro cadenero se dirige hacia adelante para marcar otro tramo.

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItD SODQD/HRQDUGR&DVDQRYD0

$QRWDFLyQ 

Un trabajo preciso de campo pueden estropearlo las anotaciones hechas sin cuidado. Después de haber obtenido una medida parcial de cinta en el extremo final de una línea, se debe determinar el número de cintadas completas contando los piquetes. Si bien los procedimientos de medición con cinta son, al parecer, relativamente sencillos, es difícil obtener a partir de ellos alta precisión. La técnica de medición con cinta es una habilidad que puede enseñarse y aprenderse mejor por demostraciones directas y prácticas de campo.

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 113


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

&LQWDVXVDGDVDFWXDOPHQWH

&LQWDVSDUD,QJHQLHURV\7RSyJUDIRV EstĂĄn cintas se fabrican con lamina de acero de Âź a 3/8 de pulgadas de ancho y pesan de 2 a 3 lbs. Las cintas mĂŠtricas tienen longitudes estĂĄndar de 30, 60, 100 y 150m. Todas pueden enrollarse en un carrete. &LQWDV ,QYDU EstĂĄn cintas se fabrican con un acero de nĂ­quel especial (35% de nĂ­quel y 65% de acero), para reducir cambios en su longitud debido a variaciones de la temperatura. El coeficiente de expansiĂłn o contracciĂłn tĂŠrmica es solo de 1/30 a 1/60 del correspondiente a una cinta ordinaria de acero. El metal es suave y algo inestable. Esta debilidad de las cintas invar, aunada a su costo unas diez veces mayor que el de las cintas comunes. Una variedad relativamente nueva, la cinta Lovar, tiene propiedades y un costo intermedio entre los de las cintas de acero comĂşn y las cintas invar.

&LQWDVGH7HOD R0HWiOLFDV  Estas se fabrican con lienzo de alta calidad de 5/8 de plg de ancho, con finos alambres de cobre entretejidos longitudinalmente para darles resistencia adicional e impedir su alargamiento excesivo. Las cintas metĂĄlicas comĂşnmente usadas son de 10, 20, 30 y 50 m de largo y vienen enrolladas en carretes cerrados.

&LQWDV GH )LEUD GH 9LGULR Estas cintas pueden conseguirse en una gran variedad de tamaĂąos y longitudes, y vienen generalmente enrolladas en un carrete. Pueden usarse para los mismos tipos de trabajo que las cintas metĂĄlicas.

0HGLFLRQHV+RUL]RQWDOHV(Q7HUUHQR,QFOLQDGR En mediciones con cinta en terrenos inclinados, es prĂĄctica normal sostener la cinta horizontal y usar una plomada en uno o, quizĂĄ, en ambos extremos. Es difĂ­cil mantener quieto el hilo de la plomada desde una altura mayor que la del pecho de una persona. El viento agrava este problema y puede ser imposible lograr exactitud en el trabajo. Cuando no puede mantenerse la cinta horizontal en una distancia sin tener que aplomar desde una altura mayor que la de los hombros, se mide por tramos parciales que se van sumando hasta alcanzar la longitud completa. Este procedimiento es llamado 0HGLFLyQ(VFDORQDGD. En todos los casos se nivela la cinta a ojo, debiendo tener presente siempre que se tiende a poner demasiado bajo el extremo aplomado de la cinta al ir cuesta abajo. Es preferible medir cuesta abajo que pendiente arriba por dos razones. Al hacerlo en la primera forma, el punto de atrĂĄs puede sostenerse firmemente sobre un objeto fijo mientras se aploma en el otro extremo. Al medir cuesta

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$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias arriba, es posible sostener con firmeza la cinta en el punto de adelante, en tanto que en el de atrás es vacilante la colocación.

)LJXUD

0(',&,Ï1'(',67$1&,$6,1&/,1$'$6 Al determinar la distancia entre dos puntos situados en una pendiente pronunciada, en vez de utilizar la cinta en tramos cortos puede ser conveniente medir sobre la inclinación y calcular la componente horizontal. Esto también requiere evaluar el ángulo α de inclinación, o bien, la diferencia de elevación G. En la figura 7, se ve que si el ángulo α se determina, la distancia horizontal puede calcularse a partir de la relación.

)LJXUD

'K /FRVα

Donde 'K es la distancia entre los puntos, / es la distancia inclinada entre estos y α es el ángulo vertical de la línea medido desde la horizontal, el cual se determina generalmente con un nivel Abney de mano, un tránsito o teodolito. Si se mide la diferencia de elevación G entre los extremos de la cinta con ayuda de un nivel, la distancia horizontal se puede calcular usando la siguiente expresión resultante de la aplicación del teorema de Pitágoras:

+ = O2 − G 2 Otra fórmula aproximada, obtenida a partir del primer término de una expansión binomial del teorema de Pitágoras, y que puede usarse para convertir las distancias inclinadas en horizontales, es la siguiente:

G2 DSUR[  + = /− 2/

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ En la ecuaciĂłn, el tĂŠrminoG  / es igual a C en la figura anterior, y es una correcciĂłn que debe sustraerse de la longitud inclinada medida para determinar la distancia horizontal. 

(MHPSOR Se midiĂł una distancia de 575.28 pie de largo de una pendiente uniforme. El ĂĄngulo de la pendiente se midiĂł y se encontrĂł que su valor era de 6°22â&#x20AC;&#x2122;. ÂżCuĂĄl es la distancia horizontal? 

H = L cos Îą

â&#x2021;&#x2019;

â&#x2021;&#x2019; + SLH

H = 575.28 pie x (Cos 6°22â&#x20AC;&#x2122;)

(MHPSOR Se midiĂł una distancia de 290.43 pies entre A y B sobre una pendiente uniforme. Las elevaciones medidas de A y B fueron de 865.2 y 891.4 pies, respectivamente. ÂżCuĂĄl es la distancia horizontal entre A y B? Diferencia de ElevaciĂłn = 891.4 â&#x20AC;&#x201C; 865.2 = 26.2 pie

+ = O2 â&#x2C6;&#x2019; G 2 â&#x2021;&#x2019; + = /â&#x2C6;&#x2019;

G2 â&#x2021;&#x2019; 2/

+ = (290.43) 2 â&#x2C6;&#x2019; (26.2) 2 â&#x2021;&#x2019; + SLH

+ = 290.43 â&#x2C6;&#x2019;

(26.2) 2 2 Ă&#x2014; 290.43

â&#x2021;&#x2019;

+ SLH

 &$86$6 '( (5525 (1 /$ 0(',&,�1 '( ',67$1&,$6 &21 &,17$ Existen tres clases de errores en la ejecución de mediciones con cinta: ž Errores Instrumentales: una cinta puede usarse con una longitud diferente de su longitud graduada nominal, ya sea por defecto de fabricación, por reparación. ž Errores Naturales: la distancia horizontal entre las graduaciones extremas de una cinta varía a causa de los efectos de la temperatura, del viento y del peso de la propia cinta. ž Errores Personales: se puede presentar descuidos en la colocación de piquetes, en la lectura de la cinta o en el manejo general del equipo. Los tipos frecuentes de errores que se presentan al medir con cinta pueden ser instrumentales, naturales y subjetivas. Algunas de ellas producen errores sistemåticos, en tanto que otras dan lugar a errores aleatorios.

/RQJLWXGLQFRUUHFWDGHODFLQWD Es uno de los errores sistemĂĄticos mĂĄs comunes y mĂĄs graves. Los fabricantes de longimetros no garantizan, por lo general que las cintas de acero tengan exactamente su longitud nominal. La longitud real se obtiene comparando la cinta en cuestiĂłn con una certificada o una distancia medida con la cinta certificada. Un mĂŠtodo alternativo para efectuar correcciones por longitud incorrecta de la cinta, consiste en calcular, primero, que tanto mĂĄs larga o mĂĄs corta es una cinta; luego se multiplica dicho valor por el numero de cintadas completas que hay

116

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias en la medida de la línea. Desde el punto de vista practico, el efecto de cualquier error es hacer incorrecta la longitud de la cinta empleada. (UURU = Vm – Vn Vm = Valor medido Vmp = Valor nominal

Error = 20 m – 20.05 m ⇒ Error = -0.05m Error total = -0.05m x 5 cintadas

⇒ Error total = -0.25m

Corrección total = +0.25m

Distancia Real AB = 100m + 0.25m = P

¾ El error es negativo y la corrección es positiva ¾ El error es positivo y la corrección es negativa

 (MHPSOR Se midió una distancia de 1450 m, con una cinta de 30m, dicha cinta fue patronada resultando su medida 30.04m. ¿Calcular el error total, corrección total y la longitud real? Error = 30 m – 30.04 m ⇒ Error = -0.04m por cintada 1450 = 48 cintadas + 3.3m 30

− 0.04   ⇒ Error total = -1.92 + (-0.004) ⇒ (UURU7RWDO = (− 0.04 × 48F int DGDV ) + 3.3P × 30   Error total = -1.92

Corrección total = +1.92

Distancia Real = 1450m + 1.92m = P

(MHPSOR Se tomo la distancia entre los puntos B y C su valor fue de 1200m con una cinta de 20m; y debido a tanto uso, su patrón resulto ser 20.07m. ¿Calcular el error por cintada, error total, corrección total y la distancia entre los puntos B y C? Error = 20 m – 20.07 m ⇒ Error = -0.07m por cintada 1200 = 60 cintadas 20

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 117


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

Error total = (-0.07 x 60 cintadas) â&#x2021;&#x2019; Error total = -4.2m CorrecciĂłn total = +4.2m Distancia Real = 1200m + 4.2m = P

Otra forma de calcular el error producido por la longitud de la cinta es aplicando la siguiente:

OY GY 1 = /Q GP

OY = /RQJLWXG 9HUGDGHUD

/Q = /RQJLWXG 1R min DO

GY = 'LVW. 9HUGDGHUD GP = 'LVW. 0HGLGD

Esta formula tambiĂŠn se puede utilizar para replantear medidas. (MHPSOR Una distancia de 81.90m fue medida con una cinta de 30m, que mide 30.01m. ÂżCuĂĄl es la distancia correcta?

OY GY = /Q GP

â&#x2021;&#x2019;

OY GY = /Q GP

â&#x2021;&#x2019;

30.01P GY â&#x2021;&#x2019; = 30P 81.90P

GY = 81.93P

(MHPSOR Se desea replantear una distancia de 48.77m con una cinta de 30m, que en realidad tiene una longitud de 29.99m. ÂżCuĂĄnto se debe leer?

29.99P 48.77 P â&#x2021;&#x2019; = 30P GP

GP = 48.78P

7HPSHUDWXUDVDQRUPDOHV Las cintas de acero se normalizan a 68° F (20° C) por lo general. Una

temperatura mayor o menor que este valor ocasiona un cambio de longitud que debe tomarse en consideración. El coeficiente de dilatación y contracción tÊrmica del acero usado en cintas ordinarias es aproximadamente de 0.00000645 por unidad de longitud por grado Fahrenheit, y de 0.0000116 por unidad de longitud por grado Celsius. Los errores debidos a los cambios de temperatura son sistemåticos y tienen el mismo signo si la temperatura es siempre superior a 68° F, o siempre inferior a este valor. Cuando la temperatura es mayor al valor normal durante una parte del tiempo empleado en medir una línea larga, e inferior a este el resto del tiempo, los errores tienden a compensarse parcialmente. Sin embargo, las correcciones deben calcularse y aplicarse. Los efectos de la temperatura son difíciles de evaluar; la brillantez solar, la sombra, el viento, la evaporación del agua en una cinta mojada y otras condiciones, hacen incierta la temperatura de la cinta.

Ct = 0.000012 (T-To) DH Ct= CorrecciĂłn por temperatura T= Temperatura a la cual se trabajo To= Temperatura establecida DH= Distancia a corregir 1

Tomada del libro Surveying. Jack B.Evett.

118

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias Coeficiente de dilataciĂłn = 0.000012 por unidad de longitud por grado Celsius 0.00000645 por unidad de longitud por grado Fahrenheit (MHPSOR Se realizo un alineamiento para una vĂ­a fĂŠrrea, este alineamiento se hizo por secciones con la misma cinta, pero a diferente temperatura. Los siguientes son los datos de las secciones medidas:  (100m a 15°C);  (70m a 20°C);  (150m a 25°C);  (200m a 30°C);  (210m a 35°C);  (230m a 38°C). Calcular la correcciĂłn de cada secciĂłn, la correcciĂłn total y la distancia del alineamiento. 1. Ct = 0.000012 (15°-20°) x 100m = -0.006m 2. Ct = 0.000012 (20°-20°) x 70m = 0 3. Ct = 0.000012 (25°-20°) x 150m = 0.009m 4. Ct = 0.000012 (30°-20°) x 200m = 0.024m 5. Ct = 0.000012 (35°-20°) x 210m = 0.038m 6. Ct = 0.000012 (38°-20°) x 230m = 0.050m CorrecciĂłn Total (â&#x2C6;&#x2018;) = 0.115m â&#x2C6;&#x2018; de distancias = 960m Distancia del alineamiento = 960m + 0.115m = P

(MHPSOR La longitud de registrada de una lĂ­nea medida a 30.5°F con una cinta de acero que tiene 100.00 pie de longitud a 68°F fue de 872.54 pie. ÂżCuĂĄl es la longitud corregida de la lĂ­nea? Ct = 0.00000645 (30.5° - 68°) x 872.54 pie = -0.21 pie Longitud de la lĂ­nea = 872.54 pie â&#x20AC;&#x201C; 0.21 pie = SLH 

7HQVLyQLQFRUUHFWD Cuando una cinta de acero se hala con una tensiĂłn mayor que la normal se alarga. Por el contrario, si se hala con una fuerza menor que la normal, mostrara na longitud menor que la estĂĄndar. El modulo de elasticidad del material de la cinta regula la cantidad alargada. Los errores debidos a tensiĂłn incorrecta pueden ser sistemĂĄticos o aleatorios. La tensiĂłn aplicada aun por un cadenero experimentado es a veces mayor o menor que el valor deseado. &7 =

(7 â&#x2C6;&#x2019; 7& ) Ă&#x2014;/ $(

En donde: 7 WHQVLyQDSOLFDGDDODFLQWDDOPRPHQWRGHODPHGLFLyQHQNJ 7F WHQVLyQGHFDOLEUDFLyQHQNJ / ORQJLWXGGHODPHGLGDHQP $ iUHDGHODVHFFLyQWUDQVYHUVDOHQFP ( PyGXORGHHODVWLFLGDGGH<RXQJ3DUDHODFHUR( [ NJFP



(MHPSOR 

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 119


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ ÂżCuĂĄl debe ser la correcciĂłn por tensiĂłn que debe aplicarse a una medida de longitud L=43,786m, tomada con una cinta calibrada para una tensiĂłn Tc = 4,5 kg, de secciĂłn transversal A = 0,036m2 si al momento de la medida se aplicĂł una T = 9 kg?.

&7 =

(9 â&#x2C6;&#x2019; 4.5) Ă&#x2014; 43.786 0.036 Ă&#x2014; 2.1[10 6

CT = + 0,003 m Luego la distancia real serĂĄ DR = 43,786 + 0,003 = 43,789 m DR = 43,789 m

&DWHQDULD Una cinta de acero no esta apoyada en toda su longitud, cuelga de sus extremos

formando una catenaria; un ejemplo de tal caso es el cable de un puente colgante. La catenaria acorta la distancia horizontal entre las graduaciones extremas, ya que la longitud de la cinta permanece sin cambio. El efecto de catenaria puede disminuirse (aplicando mayor tensiĂłn), pero no eliminarse, a menos que se apoye la cinta en toda su longitud. Si bien la aplicaciĂłn de la tensiĂłn normal permite eliminar de hecho la necesidad de efectuar correcciones tanto para la tensiĂłn como para la catenaria, este recurso no es muy comĂşn, debido a que la tensiĂłn requerida es a menudo demasiado grande como para que su aplicaciĂłn resulte conveniente.

: 2 Ă&#x2014; '+ && = â&#x2C6;&#x2019; 243 2 Cc= CorrecciĂłn por catenaria W= peso DH= Longitud de la cinta Constante = 24 P= tensiĂłn aplicada

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItD SODQD/HRQDUGR&DVDQRYD0

(MHPSOR Se tiene una cinta de 30m, con un peso de w = 1.2kg y que esta sostenida en sus extremos, si se le aplica una tensiĂłn de 2kgf. ÂżCuĂĄl serĂĄ la correcciĂłn por catenaria?

&& = â&#x2C6;&#x2019;

: 2 Ă&#x2014; '+ 243 2

â&#x2021;&#x2019;

&& = â&#x2C6;&#x2019;

(1.2) 2 Ă&#x2014; 30 â&#x2021;&#x2019; 24(2) 2

120

&&

P

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias

(MHPSOR Se tiene una cinta de 20m, con un peso de w = 0.68kg y que esta sostenida en sus extremos, si se le aplica una tensión de 5.5kgf. ¿Cuál será la corrección por catenaria?

: 2 × '+ && = − 243 2

(0.68) 2 × 20 && = − ⇒ 24(5.5) 2

&&

P

'HVDOLQHDFLyQ: Si uno de los extremos de la cinta queda desalineado o si se atora la cinta en algún 

obstáculo, se presenta un error sistemático. Los errores derivados de la desalineación no pueden ser sino sistemáticos en cuanto a su efecto, y siempre hacen que la longitud registrada sea mayor que la distancia real. 

&G =

G2 2 × '+

Cd= corrección de la desalineación d= Desviación de la cinta Constante = 2 DH= longitud de la cinta

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItDSODQD /HRQDUGR&DVDQRYD0

(MHPSOR Se midió con una cinta de 30m, se obtuvo una desviación de la línea de 20cm. Calcular la desalineación. 

G2 ⇒ &G = 2 × '+

(0.2P) 2 &G = 2 × 30P

G2 &G = 2 × '+

G = &G (2 × '+ ) ⇒

&G P

(MHPSOR Se realizo una medida con una cinta de 20m y se obtuvo una corrección de 0.001m. ¿Calcular el desalineamiento? ⇒

G = (0.001)(2 × 20) ⇒ G P

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 121


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

/U PÂąPâ&#x2021;&#x2019; /U P ,QFOLQDFLyQ El error que ocasiona una cinta inclinada en el plano vertical es igual al derivado por la desviaciĂłn de esta en el plano horizontal. Los errores debido a la falta de horizontalidad de una cinta son sistemĂĄticos y hacen que la longitud registrada siempre sea mayor que la longitud real.

&L =

K2 2 Ă&#x2014; '+

Ci= CorrecciĂłn de inclinaciĂłn H= Desnivel de la cinta Constante = 2 DH= longitud de la cinta

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItD SODQD/HRQDUGR&DVDQRYD0

(MHPSOR Se realizo una medida con una cinta de 30m, se obtuvo un desnivel de 0.30m. ÂżCalcular la correcciĂłn de altura y el valor mĂĄs probable? 

&L =

K2 2 Ă&#x2014; '+

â&#x2021;&#x2019;

&L =

(0.30P) 2 â&#x2021;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 30P

&L P

 (OYDORUPDVSUREDEOH 9PS HVLJXDOPÂąPâ&#x2021;&#x2019;

9PS P

(MHPSOR Se realizo una medida en la cual se obtuvo una correcciĂłn de inclinaciĂłn (Ci) de 0.003m y un desnivel de 0.40m. ÂżCalcular la longitud de la cinta? 

122

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias &L =



K2 2 × '+

'+ =

K2 2 × &L

'+ =

(0.40P) 2 ⇒ 2 × 0.003P

'+ P

/HFWXUDLQFRUUHFWDRLQWHUSRODFLyQ El proceso de apreciar centésimos en cintas graduadas solo en decimos, o bien, milésimos en cinta graduadas en centésimos, es llamado interpolación. Los errores debido a esta causa son aleatorios sobre la longitud de la línea. Pueden reducirse mediante la lectura cuidadosa, o empleando una lupa o una escala pequeña para determinar la última cifra.

0HGLFLyQySWLFDGHGLVWDQFLDV El proceso de medición óptica de distancias consiste en deducir la distancia a partir de un ángulo paraláctico y de una base L. De acuerdo con el elemento conocido existen dos métodos.

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItD SODQD/HRQDUGR&DVDQRYD0

Los elementos se encuentran relacionados con la distancia por medio de la siguiente expresión matemática, que se puede deducir del grafico:

tan ω / 2 =

//2 //2 ⇒'= ⇒ ' = / / 2 cot ω / 2 ' tan ω / 2

Cuando es conocido (fijo), se encuentra definido por los trazos horizontales en el retículo, donde G es la separación entre ellos, y por medio de ellos se obtiene la longitud de la base L (diferencia del trazo superior y la del trazo inferior) generada por la intersección de los trazos con la imagen de la mira situada en el punto visado, debiéndose cumplir que la línea de visual que pasa por el hilo medio del transito se perpendicular a la base. ILJ  La constante (K) está dada por el intervalo entre los trazos; que son escogidos de tal manera que ½ cot   VH LJXDO D  R D  que son los valores más comunes, siendo así, al remplazar en la formula queda:

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 123


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ '=/. Para las visuales horizontales En terrenos con pendiente se debe inclinar el telescopio un ĂĄngulo al horizonte para poder realizar la lectura por lo tanto la distancia se obtiene por medio de la siguiente ecuaciĂłn: ahora queda:

' = / . cos 2 Ď&#x2022;

)LJWRPDGDGHOOLEURHOHPHQWRVGHWRSRJUDItDGH$QWRQLRSHVWDQD

En el grafico anterior se ve en el dibujo encerrado en la circunferencia que los valores leĂ­dos en al mira son la hipotenusa de unos triangulo rectĂĄngulo formados por la posiciĂłn ideal de la mira y la posiciĂłn real, para conocer el valor de L en la posiciĂłn ideal de la mira multiplicamos SRU FRV \ VH obtiene de esta forma la distancia inclinada correcta la cual puede ser convertida en horizontal PXOWLSOLFDQGRGHQXHYRSRUFRV  (VGHJUDQLPSRUWDQFLDUHFRUGDUTXHHOFRVGHO ĂĄng. vertical) HVLJXDODOVHQGHOQDGLUDO\FHQLWDO \  Nota: con los equipos de constante 50 se puede obtener una mayor precisiĂłn que con los de constante 100 y esto se encuentra sustentado en que si se llegase a cometer un error en la lectura de la mira; supongamos de un milĂ­metro, para el primer equipo esto representarĂ­a un error en distancia de 5cm y para el segundo seria de 10cm. Si lo que se desea obtener es la diferencia de elevaciĂłn aplicamos la siguiente formula Para cualquier tipo de ĂĄngulo vertical:

â&#x2C6;&#x2020;+ = 1 / 2 /. VHQ 2Ď&#x2022; El cuando se trabaja en estadimetrĂ­a de mira vertical; es ideal que la altura instrumental se proyecte sobre la mira (fig. 12), con el fin de formar un paralelogramo que nos garantiza que la distancia inclinada y la lĂ­nea de visual sean paralelas y de igual magnitud.

124

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias Cuando por motivos que no se pueden remediar no es posible proyectar la altura instrumental en la mira, se puede emplear una formula para corregir el ángulo vertical para la proyección en la cual se puede ver la mira; a esta formula se le conoce como la formula del error T – O, para el cálculo de distancias:

H=

(7 − 2 ) cos ϕ 'L VHQ1’’



e = excentricidad Di = distancia calculada con al ángulo sin corregir áng. de corrección por posición ideal de la mira T = altura instrumental O = proyección hm sobre la mira

Existen tres casos cuando medimos distancias inclinadas. •

(T-O) = 0 En este la altura instrumental es proyectada en la mira y no existe problema con el cálculo

(T – O) < 0 La línea de visual es proyectada en la mira por encima de la altura instrumental. Luego de hallar la excentricidad, se le suma o resta a éste, dependiendo de su tipo: o o o

$QJ . FHQLWDO ( β ) + H $QJ . QDGLUDO (θ ) − H $QJ . YHUWLFDO SRVLWLYR (ϕ ) − H o $QJ . YHUWLFDO QHJDWLYR(ϕ ) + H

(T – O) > 0 La línea de visual es proyectada por debajo del valor de la altura instrumental. Se presenta una variación en el proceso de corrección a causa de la nueva posición de la proyección, veamos:

o o o

$QJ . FHQLWDO ( β ) − H $QJ . QDGLUDO (θ ) + H $QJ . YHUWLFDO SRVLWLYR (ϕ ) + H o $QJ . YHUWLFDO QHJDWLYR(ϕ ) − H

El error del (T – O) tiene una mayor incidencia cuando se miden desniveles. El error se corrige haciendo un pequeño cambio ala formula de desnivel:

∆+ = 1 / 2 /. VHQ 2ϕ + (7 − 2)

(UURUHVHQODPHGLFLyQySWLFDGHGLVWDQFLDV • • • • •

Error de apreciación en la lectura de la tercera cifra decimal a la mira vertical. Salvo en mediciones de distancias con mira vertical de “invar” y micrómetro óptico, en la lectura a un a mira vertical la tercera cifra decimal se determina a ojo con una apreciación de hasta 1 mm. Error de graduación de la mira. Error por temperatura.

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 125


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Error introducido por las articulaciones para el pliegue de las miras o por el desajuste de las miras de enchufe. Error por refracciĂłn de la visual. Error por la evaporaciĂłn del aire. Se detecta en la parte inferior de la mira por efecto de la humedad y el calor. Error instrumental por inexactitud en la determinaciĂłn de K. Este error se considera despreciable debido a la precisiĂłn de las tĂŠcnicas de construcciĂłn de los instrumentos. Error de inclinaciĂłn de la mira.

Muchos de los errores mencionados anteriormente pueden reducirle considerablemente, realizando un proceso de mediciĂłn cuidadoso y teniendo en cuenta las siguientes indicaciones: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Utilizar nivel esfĂŠrico de mano para la verticalizaciĂłn de la mira. Tomar las lecturas a la mira a una altura del suelo donde no se afecten por el movimiento del aire por evaporaciĂłn. No hacer lecturas en horas de mucho calor. No tomar lecturas a distancias mayores de 100 a 120 m. Ajustar periĂłdicamente las articulaciones de la mira.

(VWDGtDGHLQYDU .

Conociendo la longitud de la base L = 2m la cual es fija y teniendo estacionada (nivelada y centrada) lo mas perpendicular posible a la lĂ­nea de visual del equipo con ayuda de un visor Ăłptico la estadĂ­a. Se mide el ĂĄngulo paralĂĄctico entre las seĂąales que tiene la mira invar2, que para el caso es horizontal. Cuando remplazamos el valor conocido de la longitud de la mira en la formula vista al comienzo del tema, nos queda que la distancia es:

'K = cot Ď&#x2030; / 2

)LJXUD7RPDGDGHOOLEURHOHPHQWRV GHWRSRJUDItDGH$QWRQLRSHVWDQD 2

La mira invar. Es un instrumento de precisiĂłn empleado en la mediciĂłn de distancias horizontales, esta construida de una aleaciĂłn de acero y niquel.

126

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias Si observamos la ILJ nos podemos dar cuenta que para este método de medición de distancias no es necesario hacer corrección a la horizontal, ya que lo que se esta midiendo es un diedro que va a ser el mismo ángulo a cualquier altura. La precisión obtenida en al medición de distancias por este método depende de la precisión angular del teodolito y la mayor distancia que se puede medir esta relacionada con el poder separador del equipo.

0pWRGRVLPSOHPHQWDGRVGHDFXHUGRDODGLVWDQFLDDPHGLU

E ω tan = 2 2 '+ ⇒

'+ =

E

2 ω tan

2

'+ = E × cot ω 2 2

Hallar la longitud (A,B)

 E  2 '7 =  ω  tan 1  2

  E   2 + ω   tan 2   2

   ⇒  

'7 = E × cot ω1 + E × cot ω 2 2 2

(

)(

)

Hallar la longitud (A,B)

 E   E      2 2 '7 =  +    tan ω1   tan ω 2   2  2 '+ '+ ⇒ 'LVW. $& = tan β = ___ tan β 'LVW. $& tan θ =

'+

'LVW. &% ___

⇒ 'LVW. &% =

'+ tan θ

'7 = 'LVW. $& + 'LVW. &%

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 127


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUDWRPDGDGHOOLEURHOHPHQWRVGHWRSRJUDItDGH$QWRQLRSHVWDQD



Para determinar el cĂĄlculo de distancias tenemos en cuenta: K = 100 y 50 L = Hs â&#x20AC;&#x201C; Hi

+P =

+V â&#x2C6;&#x2019; +L 2

Ambos Equidistantes de Hm.

'+ = N .O.VHQ 2 β Ă&#x2C6;QJXOR&HQLWDO  '+ = N .O. cos 2 Ď&#x2022; Ă&#x2C6;QJXOR9HUWLFDO  â&#x2C6;&#x2020;K = N .O. cos 2 β Ă&#x2C6;QJXOR&HQLWDO

2 â&#x2C6;&#x2020;K = N .O.VHQ2Ď&#x2022; Ă&#x2C6;QJXORYHUWLFDO  2

 (MHPSOR Halle la distancia horizontal entre los puntos P y R; utilizando los siguientes datos obtenidos en el campo. Hs = 1.385 L= Hs â&#x20AC;&#x201C; Hi â&#x2021;&#x2019;

Hi = 0.452

= 105Âş 28â&#x20AC;&#x2122;

K = 50

L = 0.933

'+ = N .O.VHQ 2 β â&#x2021;&#x2019; '+ [[ VHQÂ&#x17E;Âś  â&#x2021;&#x2019; '+ P

128

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias (MHPSOR Calcular el ĂĄngulo vertical y el ĂĄngulo cenital con los siguientes datos: DH = 128.50m

L = 1.463

'+ = N .O.VHQ 2 β â&#x2021;&#x2019;

'+ = VHQ 2 β â&#x2021;&#x2019; N Ă&#x2014;O

'+ = N .O. cos 2 Ď&#x2022; â&#x2021;&#x2019;

K = 100

'+ = cos 2 Ď&#x2022; â&#x2021;&#x2019; N Ă&#x2014;O

Â&#x17E;Âś´ &HQLWDO  Â&#x17E;Âś´ 9HUWLFDO

'+ = VHQβ N Ă&#x2014;O '+ = cos Ď&#x2022; N Ă&#x2014;O

â&#x2021;&#x2019; β = VHQ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2021;&#x2019; Ď&#x2022; = cos â&#x2C6;&#x2019;1

'+ N Ă&#x2014;O '+ N Ă&#x2014;O

(MHPSOR Calcular â&#x2C6;&#x2020;K de las dos formas si tenemos: Hm = 3.258

Hi = 2.151

= +10Âş25â&#x20AC;&#x2122;

= 79Âş 35â&#x20AC;&#x2122; K = 100

+V = 2 +P â&#x2C6;&#x2019; +L â&#x2021;&#x2019; +V / 

â&#x2C6;&#x2020;K = N .O.VHQ2Ď&#x2022; â&#x2021;&#x2019; 2

â&#x2C6;&#x2020;K = 50 Ă&#x2014; 2.214 Ă&#x2014; (2( VHQ + 10Âş 25â&#x20AC;&#x2122;)) â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;K = 40.03P 2

â&#x2C6;&#x2020;K = N .O. cos 2 β â&#x2021;&#x2019; 2

â&#x2C6;&#x2020;K = 50 Ă&#x2014; 2.214 Ă&#x2014; (2(cos 79Âş35' )) 2

â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;K = 40.03P

0HGLFLyQHOHFWUyQLFDGHGLVWDQFLDV Se conoce como la aplicaciĂłn de los equipos MED; que es la sigla con que se designa a esta serie de instrumentos que utilizan emisiones de ondas electromagnĂŠticas como medio medidor de distancias. Hace algunos aĂąos estos equipos comenzaron a remplazar a los instrumentos y mĂŠtodos convencionales debido a la gran precisiĂłn de medida y a la facilidad del trabajo con ellos, al principio no eran muy utilizados principalmente por el costo que implicaban y por el tamaĂąo, siendo asĂ­, era ilĂłgico emplearlos para trabajos que no exigieran tales precisiones; pero debido al avance de la tecnologĂ­a que logro reducir su tamaĂąo y hasta se llego a incorporarlos en los propios trĂĄnsitos (distanciometros), estos en la actualidad son los instrumentos mas empleados para la realizaciĂłn de levantamientos. )LJXUD&DWiORJRV/HLFD

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItD SODQD/HRQDUGR&DVDQRYD0

El principio fundamental del funcionamiento de los EDM consiste en al emisiĂłn de una onda electromagnĂŠtica desde un extremo de la lĂ­nea a medir por medio de un emisor a un reflector ILJ  que se encuentra en el otro extremo de la lĂ­nea, luego la onda despuĂŠs de ser reflejada vuelve a un receptor en este proceso se determina el intervalo de tiempo W que demoro la onda en ir y volver; siendo este el parĂĄmetro de medida. Conociendo la velocidad de la onda electromagnĂŠtica utilizada se puede calcular el espacio recorrido. Para comprobar si existen errores; una misma seĂąal se envĂ­a al reflector por dos canales diferentes, la primera seĂąal se denomina canal de apoyo y la segunda canal informativo o canal de mediciĂłn.

)LJXUD 7RPDGDGHOOLEUR7RSRJUDItD SODQD/HRQDUGR&DVDQRYD0

En el receptor se lleva acabo la comparaciĂłn de la seĂąal de apoyo y la seĂąal de informaciĂłn, de acuerdo al parĂĄmetro fĂ­sico ya establecido W, en otras palabras se compara los resultados de cada una de las seĂąales. En general estos equipos nos permiten medir la distancia inclinada por lo que se hace necesario tener el ĂĄngulo de inclinaciĂłn SDUDSRGHUUHDOL]DUODFRUUHFFLĂłn a la horizontal, ILJ([WUDtGDGH PDQXDOHVGHHTXLSRVOHLFD aplicando las siguientes formulas:

'K = 'L cos Ď&#x2022; o 'K = 'L VHQβ

'RQGH'LHVODGLVWDQFLDLQFOLQDGD ĂĄngulo vertical y ĂĄngulo cenital. Para el trabajo ideal con el distanciĂłmetro se debe cumplir de formar un paralelogramo, al tener el prisma a la misma altura instrumental; si esto no se puede logra tambiĂŠn se introduce un error de (Tâ&#x20AC;&#x201C;O) para el distanciĂłmetro que puede ser calculado con: H =

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(7 â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 'L VHQ1â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;

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Capitulo 5: Distancias

)LJXUDWRPDGDPDQXDOHVGHHTXLSRV/HLFD*HRV\VWHP

Los EDM pueden ser clasificados de acuerdo con el tipo de onda electromagnĂŠtica utilizada como medio medidor; en base a esto podemos encontrar equipos de microondas, luz visible (lĂĄser) e infrarrojos. Los equipos que en la actualidad se conocen como estaciones total, se encuentran provistos de unos sistemas operativos que se encargan de realizar el proceso de cĂĄlculo de distancias inclinadas, transformaciĂłn a la horizontal y calcular desniveles, que son mostrados en una pantalla como lo vemos en la figura 19.

)LJXUD7RPDGDPDQXDOHVGHHTXLSRV/HLFD *HRV\VWHP

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 131


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Uno de los Ăşltimos avances de esta tecnologĂ­a es la eliminaciĂłn de los reflectores, permitiĂŠndose realizar el proceso de reflexiĂłn sobre cualquier superficie empleando un lĂĄser dentro de un rango de distancia dispuesto para el equipo, ILJ este sistema es ideal para realizar mediciones en lugares donde es muy complicado colocar el prisma.

)LJXUD7RPDGDGHO)ROOHWR /HLFD'HHVWDFLRQHVWRWDOHV736 VHLHV

Estas estaciones totales al tener el sistema de emisor y receptor integrado en el equipo, solo presentan un elemento al que llamamos ojo que en estos sirve de emisor y receptor, a diferencia de los instrumentos antiguos donde se necesitaban dos ojos. ILJ 

)LJXUD7RPDGDGHO)ROOHWR/HLFD'H HVWDFLRQHVWRWDOHV736VHLHV

0HGLFLyQGHiQJXORVHPSOHDQGRODFLQWD

Para trabajar utilizando la cinta como ya se dijo es importante el conocimiento en geometrĂ­a y trigonometrĂ­a, debido a que el fundamento de el trabajo es formar triĂĄngulos empleando el vĂŠrtice de el ĂĄngulo para luego medir sus lados con la cinta y calcular el ĂĄngulo a travĂŠs de los mĂŠtodos de el seno, el coseno y el mĂŠtodo de la tangente.

0pWRGRGHOVHQR Este mĂŠtodo consiste en medir, sobre los lados que conforman el ĂĄngulo, una distancia la cual denominaremos con la letra (r) y unir los puntos finales de los segmentos (r), que tienen la caracterĂ­stica de ser iguales â&#x20AC;&#x153;ver figuraâ&#x20AC;?, la distancia entre estos dos puntos reciben el nombre de cuerda (c). DespuĂŠs de realizar este proceso tenemos como resultado un triĂĄngulo isĂłsceles en el cual la altura es igual a la mediana y a la bisectriz, permitiĂŠndonos resolver el problema empleando la siguiente formula:

132

$%6***,'0


Capitulo 5: Distancias

)LJXUD

0pWRGRGHOFRVHQR

En este método también es necesario medir unas distancias sobre los lados que forman el ángulo, pero con la diferencia de que no es necesario que sean iguales, luego se mide la cuerda y lo que tenemos como resultado es un triangulo cualquiera el cual puede ser resuelto aplicando la ley de los cósenos para calcular el ángulo correspondiente ILJ .

D 2 = E 2 + F 2 − 2EF × cos $

)LJXUD

0pWRGRGHODWDQJHQWH

Como hemos visto en los otros métodos tenemos que medir 3 distancias en este solo necesitamos medir 2, debido a que la idea es formar un triangulo rectángulo aprovechando los lados que forman el ángulo, para esto medimos una distancia (r) sobre uno de los lados y del punto final de el segmento (r) se traza una perpendicular al lado opuesto hasta que se intercepte con el y medimos esa distancia la cual será denominada con (h)



tan α = tan α =

K U

K U

)LJXUD

NOTA: Estos método solo se pueden emplear en las ocasiones que los lados formen ángulos entre 0° y 180°, es importante también aclarar que son utilizados en trabajos que no requieran demasiada precisión y que necesiten un desarrollo rápido, debido a la característica de estos de ser métodos ágiles de toma de información.

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32/,*21$/(6 En preámbulo se había hablado de las poligonales desde el punto de vista de la geometría; ahora es necesario mirar desde una nueva perspectiva o en otras palabras hablar de las poligonales en el contexto de topografía. En topografía debemos visualizar las poligonales como una sucesión de puntos (estaciones) que se encuentran ligadas entre si por ángulos y distancias.

&ODVLILFDFLyQ

 La clasificación de los poligonales se puede hacer de acuerdo con determinadas características de éstas, pero en este documento mostraremos una clasificación que se basa en la forma de las poligonales, existiendo así poligonales abiertas y cerradas.



3ROLJRQDODELHUWD 

)LJXUD

Es aquella poligonal sin comprobación por cierre; debido a que los errores lineales o angulares no pueden ser detectados, en la cual su punto de inicio y su punto de llegada son diferentes. Atendiendo a esto, el punto inicio puede ser de coordenadas conocidas, pertenecer a una línea base donde sus dos extremos tienen coordenadas conocidas o pueda estar orientada. Por lo tanto la única comprobación posible en este caso, consistirá en repetir las mediciones o volverla a levantar en sentido contrario ()LJ  Cuando se esta situado en un punto la dirección de la norte se puede determinar: realizando observaciones solares, observaciones a estrellas o empleando instrumentos como la brújula, el giroscopo. En la actualidad existe un sistema que nos permite conocer la posición de cualquier punto en la superficie terrestre y haciendo uso de esto formar una línea base de la cual conocemos las coordenadas de sus extremos y con estas determinar el azimut de esta línea.


PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

3ROLJRQDOFHUUDGD

 En este tipo de itinerario los lados cierran formando un polĂ­gono, esto quiere decir que su punto de inicio coincide en posiciĂłn con el final; siendo posible realizar un control de acuerdo a una condiciĂłn geomĂŠtrica de sus ĂĄngulos. Para el trabajo con estas poligonales se debe efectuar una previa orientaciĂłn de la lĂ­nea inicial.

)LJXUD

Existe un tipo de poligonal que a pesar de que su punto de inicio no es igual al punto de llegada se considera cerrada, por estar ligada a una lĂ­nea base de azimut conocido y llegar a otra lĂ­nea de iguales caracterĂ­sticas; previamente establecidas. Al igual que la poligonal cerrada en sĂ­ misma, ĂŠste tipo de poligonal tiene control en el sentido de que el azimut de la lĂ­nea de llegada deducido de los ĂĄngulos de la poligonal debe coincidir con el azimut ya establecido.

3ROLJRQDOHVWDEOHFLGDSRUUDGLDFLRQHVGHVGHXQDHVWDFLyQ  Es la poligonal formada desde un punto de estaciĂłn que no pertenece a ella, en el cual sus vĂŠrtices son materializados empleando visuales lanzadas desde esa estaciĂłn. Existe un control angular en la estaciĂłn por cierre al horizonte, pero carece de control en distancia.



1RWDcomo la finalidad de las poligonales es la de densificar la red de puntos, generada por las triangulaciones. Esto hace que las caracterĂ­sticas de este caso especial de poligonal se convierta )LJXUD en un mĂŠtodo no conveniente en comparaciĂłn a la poligonaciĂłn que ofrece una mayor flexibilidad en la localizaciĂłn de los puntos, esto tambiĂŠn implica que se haga necesario tener un control efectivo en distancias y ĂĄngulos, lo cual se logra empleando las poligonales cerradas con control externo o desarrollando una red de poligonales dentro de una poligonal cerrada. ()LJ

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Capitulo 6: Poligonales

)LJXUD

En algunos trabajos de gran extensión es recomendable establecer una red de poligonales dentro de una poligonal cerrada, para así tener una forma de acceder a lugares de los cuales se requiere tomar información, que no pueden ser vistos desde las estaciones de la poligonal. Es recomendable que las poligonales internas inicien en un punto de la poligonal base y llegar a otro punto de la misma. En los trabajos de poligonales se debe evitar: ) El cruce de polígonos, sin enlace en su intersección. ) Los polígonos paralelos y contiguos sin enlace entre si. ) Distancia exageradamente cortas en polígonos muy largos. Todas estas recomendaciones se deben a los problemas que se hacen presentes al efectuar algunos cálculos; en el primer caso, por ejemplo la poligonal a pesar de cumplir todas sus características no posee área, para el segundo y tercero es muy complicado estimar los posibles lados donde existan errores y los cálculos de ajuste se complican debido a que los métodos no funciona bien.

3ROLJRQDOHVFRQWUiQVLWR 

Existen una serie de métodos en los cuales se hace uso del tránsito para medir los elementos de una poligonal. Estos métodos tienen una parte operativa que varía debido al tipo de transito. 1. Ángulos horarios (Ah) o contra horarios (ACh) 2. Azimut (Az) 3. Deflexiones (D)

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________

Ă&#x2C6;QJXORVKRUDULRV $K RFRQWUDKRUDULRV $&K  

En este tipo de levantamiento no se hace necesario darle vueltas de campana al anteojo del trĂĄnsito (transitar). El trabajo se realiza solo barriendo los ĂĄngulos en el sentido de la graduaciĂłn del trĂĄnsito.

)LJXUD

 9HQWDMDV

TeĂłricamente este mĂŠtodo tiene las siguientes ventajas y desventajas

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Se evita el error de colimaciĂłn horizontal del transito al no transitar para pasar de la visual atrĂĄs a la visual adelante. Por ser un mĂŠtodo fĂĄcil se hace evidente que existe menos riesgos de cometer errores en el sistema operativo (olvidar transitar). Se hace fĂĄcil la comprobaciĂłn de la magnitud medida. El error por centrado, por punteo tanto atrĂĄs como adelante, por lectura del cĂ­rculo atrĂĄs o adelante, se hace local, esto nos dice que no se propaga.

'HVYHQWDMDV  â&#x20AC;˘

No permite una comprobaciĂłn inmediata, en el aspecto angular en el caso de una poligonal cerrada. Cuando se llegue al final se debe comprobar si cumple esta condiciĂłn geomĂŠtrica:

â&#x2C6;&#x2018; int = (Q + 2)â&#x2039;&#x2026; 180Âş â&#x2C6;&#x2018; ([W = (Q â&#x2C6;&#x2019; 2)â&#x2039;&#x2026; 180Âş Para las poligonales cerradas entre puntos preestablecidos se emplea la siguiente fĂłrmula:

$] GH OOHJDGD = $] VDOLGD + [β ]â&#x2C6;&#x2019; Q â&#x2039;&#x2026; 180Âş 1 Donde [β ] es la suma de los Ah o ACh y n es el nĂşmero de ĂĄngulos medidos. â&#x20AC;˘

Al momento de calcular las coordenadas de las estaciones es necesario realizar la conversiĂłn de ĂĄngulos horarios o contra-horarios a azimut. 1

Tomada del libro TopografĂ­a y FotogrametrĂ­a en la prĂĄctica moderna. Carl â&#x20AC;&#x201C; Olof Ternryd

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Capitulo 6: Poligonales

0pWRGRGHO$]LPXW Para trabajar por este método se hace necesario conocer el rumbo o el azimut de la primera línea; esto se puede llevar a cabo con los instrumentos diversos. La esencia de este método es trasladar el azimut del inicio de la poligonal hasta el final de la misma. El procedimiento no cambia si se trabaja en una poligonal de sentido horario o contra-horario.



Ventajas y desventajas del método: )LJXUD

9HQWDMDV 

• •

Se tiene una verificación inmediata del cierre angular en poligonales cerradas y poligonales cerradas entre puntos preestablecidos. Se tiene los azimut de todas las líneas por lo tanto no es necesario realizar conversiones angulares y este ángulo registrado sirve para el cálculo de coordenadas.

'HVYHQWDMDV 

• •

Como la mecánica de este método tiene más pasos, esto causa que se llegue a olvidos en los pasos y por lo tanto a equivocaciones. Debido a que es necesario transitar se puede agregar a la medida del ángulo, el error de colimación horizontal que tenga el transito, si es que tiene.  Ya que los tránsitos están dispuestos para el trabajo en posición directa o D esto causa que cuando pasamos a posición II o inversa todos los botones o tornillos queden en posición contraria dificultando el manejo del transito y por ende el trabajo del topógrafo.

)LJXUD

Como se puede ver las últimas desventajas de este método son causadas por el cambio de posición del tránsito de inversa a directa. Para contrarestar esto se emplea un tipo de levantamiento que se denomina de contraazimut, donde no se hace necesario transitar.

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PlanimetrĂ­a_____________________________________________________________ Una de las desventajas de este procedimiento es que como se emplea el valor angular anteriormente medido para realizar la visual atrĂĄs, el error que se encuentra introducido en ĂŠsta, se propaga desde el segundo punto hasta el final.

'HIOH[LRQHV  

)LJXUD

Es importante recordar que como en este procedimiento lo que obtenemos son deflexiones se debe incluir la letra que indica el sentido de giro, ya sea a derecha o izquierda, para facilitar el procedimiento en el campo se pueden barrer todos los ĂĄngulos en el sentido de la graduaciĂłn del limbo horizontal del transito, asĂ­ los ĂĄngulos pasen de 180Âş, en el trabajo de oficina podemos saber si es izquierda o derecha teniendo en cuenta que para valores menores a 180Âş el sentido de la deflexiĂłn es igual al de la graduaciĂłn del transito y para valores mayores en el otro sentido. La comprobaciĂłn en poligonales cerradas se hace empleando

â&#x2C6;&#x2018; '' â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; ',

= 360Âş

En poligonales abiertas el control es: $] GH OOHJDGD = $] VDOLGD +

(

9HQWDMDV

â&#x2C6;&#x2018; '' â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; ', )

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Los errores cometidos en un vĂŠrtice no se propagan. Se hace fĂĄcil la comprobaciĂłn visual del ĂĄngulo medido.

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

No se puede realizar una comprobaciĂłn angular inmediata. Como es necesario transitar esto hace que se pueda cometer la equivocaciĂłn de olvidar transitar. Al ser necesario transitar, se puede ver incluido el error de colimaciĂłn horizontal al pasar de una posiciĂłn a otra, en el momento de la transiciĂłnde una vista atrĂĄs a una adelante. Se puede cometer la equivocaciĂłn de confundir o olvidar anotar el signo de alguna deflexiĂłn. Ya que los trĂĄnsitos estĂĄn dispuestos para el trabajo en posiciĂłn directa o D, esto causa que cuando pasamos a posiciĂłn inversa o I, todos los botones o tornillos que en posiciĂłn contraria dificultando en manejo del transito y por ende el trabajo del topĂłgrafo.

'HVYHQWDMDV 

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

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/(9$17$0,(1726 Los levantamientos son procesos de mediciones para obtener información (coordenadas X, Y y/o N, E) que nos permitan describir una realidad en un plano a escala, un modelo digital de terreno (MDT), un modelo digital de elevación (MDE), o un sistema de información geográfico o topográfico (SIG o SIT) . Los levantamientos se encuentran apoyados en poligonales para la localización de detalles. Siendo muy claro que en cualquiera de la circunstancia lo que se requiere medir son ángulos y distancias que nos permitan dar la posición espacial de algunos objetos topográficos que componen la zona de estudio. En capítulos anteriores hemos estudiado instrumentos y métodos para obtener estos elementos, sabiendo entonces que para medir distancias podemos emplear la medición a pasos, la cinta, la estadimetría y los equipos MED, y que para medir ángulos se utiliza la cinta, la brújula o el transito. Podemos definir de esta forma que la combinación de dichos instrumentos nos proporcionan métodos o sistemas de trabajo como: levantamientos con cinta, con brújula y cinta o con transito los cuales se pueden apoyar de la cinta, la estadimetría y los MED.

/HYDQWDPLHQWRVFRQFLQWD Se emplea la cinta tanto para la medición de distancia como para la medición de ángulos, para lograr este fin se aplican los procedimientos de trabajo para dichos, instrumentos que ya se estudiaron en el capitulo de distancias. Los levantamientos con cinta son utilizados en trabajos donde la precisión requerida es baja, como en trabajos de reconocimiento; donde para la precisión que se necesita no se justifica el empleo de instrumentos y métodos con los que el trabajo se hace mas complicado.

/HYDQWDPLHQWRVGHSROLJRQDOHVFRQFLQWD En los levantamientos de poligonales empleando la cinta, es importante recordar como se procede con éste instrumento para la determinación de los ángulos; los métodos empleados para este fin que ya se estudiaron anteriormente, solo permiten obtener la amplitud de ángulos menores a 180º. Miremos un ejemplo para que se entienda. )LJXUDREWHQLGDGH$SXQWHV En el vértice 1 se puede medir con cinta 3ODQLPHWUtD-XOLiQ*DU]yQ% el ángulo interno, en el vértice 2 no es posible medir el ángulo interno debido a que es mayor de 180º; por lo que se mide el ángulo externo y se puede obtener el que se necesita utilizando la relación 360º = ángulo interno mas ángulo externo.


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ La cinta no es empleada para levantamientos de detalles de gran tamaĂąo, ya que es muy incomodo y poco preciso realizar todas la mediciones angulares necesarias para localizar los detalles, por tal razĂłn se trabaja apoyado en otros instrumentos (jalones, plomadas, escuadra de topĂłgrafo o primas) y mĂŠtodos, como el de abscisa y ordenadas, que facilitan y aligeran el trabajo. El mĂŠtodo de abscisas y ordenadas consisten el establecer perpendiculares que pasen por el punto a levantar desde un alineamiento generado con anterioridad o desde el lado de una poligonal. YHUILJ.

)LJXUD7RPDGDGHO 7HRGROLWR\VX(PSOHR

/HYDQWDPLHQWRVFRQEU~MXOD\FLQWD Con los instrumentos anteriores se tenĂ­an los inconvenientes de ser muy lento para grandes levantamientos de detalles, poco precisos y ademĂĄs los ĂĄngulos obtenidos deben ser trasformados en rumbos o azimuts para el proceso de dibujo. Con el empleo de la brĂşjula se corrigen muchas de estas dificultades, ya que es un instrumento con el que se obtiene el rumbo o azimut de las lĂ­neas directamente, teniendo la ventaja de ser de fĂĄcil manejo. Los levantamientos con brĂşjula se emplean mucho para mapeos rĂĄpidos, trabajos de geologĂ­a o en situaciones donde el trabajo con el transito se vuelve muy complicado o no es posible, siendo mas fĂĄcil realizar un trabajo cuidadoso con la brĂşjula; teniendo en cuenta las variaciones que se presentan en la direcciĂłn de la norte magnĂŠtica. Por ejemplo para el caso de la declinaciĂłn magnĂŠtica; que es el ĂĄngulo formado por la componente de la lĂ­nea que sigue la inducciĂłn magnĂŠtica de la tierra sobre el plano N,E y la NV o traza del meridiano del sitio. La declinaciĂłn magnĂŠtica varia de un lugar a otro; es negativa cuando la aguja imantada se encuentra al oeste de la NV o NG y positiva cuando estĂĄ al este, el ĂĄngulo formado se le debe sumar a todos los ĂĄngulos obtenidos a partir de ĂŠsta, para llevarlos a tener como origen la NV, pero cuando la declinaciĂłn es al oeste del meridiano se le debe restar a todos los ĂĄngulos para lograr el mismo fin. La declinaciĂłn magnĂŠtica sufre de unas variaciones que pueden ser: seculares, anuales o diurnas las cuales

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Capitulo 7: Levantamientos permiten ser determinadas para realizar la corrección, por ejemplo para el caso de las anuales por medio de mapas isogónicos. Dichas correcciones son posibles debido a que la declinación se mantiene constante para una zona de levantamientos más o menos limitada. Existen variaciones que se conocen como de atracción local; se les denomina de esta forma debido a que no son homogéneas en todos los puntos de estación en una poligonal; haciendo que las visuales de ligadura de los vértices de la poligonal sufran cambios diferenciales. Para poder determinar la presencia de dicho fenómeno y poder corregirlo, se hacen visuales para obtener los rumbos de ida y vuelta, siendo la diferencia entre ellos la desviación introducida por causa de la atracción local, se aprecia el procedimiento en la figura 3.

)LJXUD

/HYDQWDPLHQWRVGHGHWDOOHVFRQEU~MXOD Los levantamientos de detalles con brújula se puede llevar acabo por métodos como el método de coordenadas polares (radiaciones), el método de intersecciones visuales, este método no solo se usa para la localización de punto con base en otro, sino para saber la posición del observador dentro de un plano cuando se esta trabajando en lo que se puede denominar relleno de información.

/HYDQWDPLHQWRVFRQWUDQVLWR En los levantamientos que se requiere mejor precisión se emplea el transito lógicamente para mejorar la precisión de la medidas angulares (ver métodos de medición angular capitulo de ángulos) y además llevar a cabo los trabajos con mayor rapidez al aplicar de forma mas fácil los métodos de localización de detalles; como coordenadas polares o intersecciones. El transito se puede apoyar para la medición de distancias con cinta, y hacer que el trabajo con ésta sea mas preciso debido a que se hace de forma mas confiable el proceso de alineación de la cinta a longitudes mayores. También puede emplearse para la medición de distancias la mira (estadimetría) y los distanciometros. Los levantamientos que hacen uso de este tipo de equipos los denominamos taquimétricos por la gran información que se obtiene en poco tiempo así pues que en la actualidad con la utilización de los medidores electrónicos de distancias (MED) se ha acelerado el trabajo y mejorado la precisión de las medidas lineales.



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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

&URQRORJtDGHOWUDEDMRGHXQDSROLJRQDO Cuando se desea realizar un trabajo con poligonales se debe de tener en cuenta los pasos del siguiente diagrama:

75$%$-2'(&$032 En el trabajo de campo se deben tener en cuenta muchos elementos para lograr que ĂŠste sea exitoso. Por ejemplo el primer aspecto es el de preparar los elementos de trabajo: como el transito, cinta, plomadas, jalones, miras si se piensa trabajar por estadimetrĂ­a y comprobar en que estado se encuentran para la mediciĂłn (revisiĂłn del equipo). Los pasos siguientes son la selecciĂłn del mĂŠtodo para el levantamiento, despuĂŠs se piensa en las anotaciones, ya que estas deben ir de acuerdo con el mĂŠtodo. Son importantes tambiĂŠn la selecciĂłn de los puntos de estaciĂłn, la orientaciĂłn y la referenciaciĂłn, veamos en que consiste cada una.

6HOHFFLyQGHOPpWRGR La selecciĂłn del mĂŠtodo es muy importante por que es en ĂŠsta instancia donde elegimos el mĂŠtodo que mejor se adapte al trabajo que se piensa realizar, Es el momento donde comparamos las ventajas y desventajas de cada mĂŠtodo (sistema operativo) para escoger el indicado para el fin propuesto.

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Capitulo 7: Levantamientos

$QRWDFLRQHVGHFDPSR Las anotaciones de campo tienen una importancia especial, ya que son estas el registro del trabajo realizado en campo, si tales anotaciones son incorrectas o incompletas, se perderá de alguna forma el tiempo invertido en hacer medidas muy precisas. Para lograr tener unas anotaciones de campo muy buenas estas deben de tener las siguientes características y ser realizadas en las siguientes condiciones: • • • • • •

• •

Contener un registro completo de las medidas realizadas Debe de tener los diagramas, los croquis y observaciones pertinentes Deben de ser legibles Cuando se están realizando las observaciones, en ese momento debe de ser anotadas No hacer anotaciones en hojas sueltas y de desecho para ser transcritas posteriormente ya que esto puede llevar a cometer equivocaciones. Es muy recomendado hacer las anotaciones en pares, que quieres decir esto que para las anotaciones de una hoja exista un dibujo a lado donde aparezca el elemento que fue observado y el numero de la anotación que le corresponde a dicho elemento, esto ayuda a facilitar los procesos de calculo y dibujos Aunque todas las anotaciones diagramas y croquis se hacen a mano libre es recomendable siempre llevar una regla que nos permita hacer dibujos de mejor calidad No debe borrarse en una cartera las anotaciones incorrectas, es preferible trazar una línea sobre el dato y escribir el valor correcto

127$ En la actualidad hay equipos como las estaciones totales, estas poseen carteras digitales incorporadas que ayudad a facilitar el trabajo, ya que guardan en la menoría, los datos de distancia y ángulo asegurando que no existan equivocaciones de anotación. Es importante de todas formas este sistema sea apoyado por un croquis o bosquejo hecho por el topógrafo. 

6HOHFFLyQGHSXQWRVGHHVWDFLyQ 

Cuándo se llega el lugar de trabajo la primera labor del topógrafo y sus ayudantes es la de realizar un reconocimiento del terreno y determinar los lugares adecuados para la materialización de estaciones. Es claro que estos lugares deben de tener unas características especiales que los hagan adecuados, veamos cuales son: ™ Si pensamos trabajar con transito y cintas, sabemos que los tránsitos permiten medir ángulos con gran precisión, y por tanto las medidas lineales deben de estar acordes con esta precisión; como las medidas lineales se hacen a lo largo de una superficie por eso las condiciones de la superficie deben facilitar estas medidas como vemos en la graficas a continuación. En la ILJ se muestra una superficie no muy adecuada a diferencia de la ILJ , vemos mejores condiciones

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD

)LJXUD

Â&#x2122; Cuando se trabajar con mira vertical es prudente no hacer visuales a la mira, a distancias muy cortas, ni tampoco a distancias muy exageradas ya que se puede hacer difĂ­cil interpolaciĂłn en la lectura de la mira y por lo tanto introducir errores. Estas tambiĂŠn implican la dificultad de bisecar la imagen del hilo de la plomada con los retĂ­culos del anteojo del transito haciendo que se disminuya la precisiĂłn del trabajo. Â&#x2122; Debe procurarse que los puntos de estaciĂłn puedan ser observados en forma clara, esto quiere decir que deben de estar situados en forma tal que permitan tomar ĂĄngulos desde otros puntos para poder asĂ­ controlar el trabajo hecho.

)LJXUD

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Capitulo 7: Levantamientos Â&#x2122; como la mayorĂ­a de los trabajos con poligonales son base para la toma de detalles, se debe buscar que los puntos de estaciĂłn queden cerca y permitan visuales a estos puntos de detalle como: postes, ĂĄrboles, parĂĄmetros de construcciĂłn, cercas, etc.

(VWDFLRQDQGRHOWUiQVLWR Para dejar un transito en estaciĂłn o listo para medir, es necesario de desarrollar una serie de operaciones sucesivas las cuales son: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Colocar el trĂ­pode Montar el transito Centrado NivelaciĂłn

&RORFDUHOWUtSRGH Es el primer paso ha ejecutar; se aflojan los tornillos de las pastas del trĂ­pode, las extendemos hasta una altura necesaria y apretamos los tornillos, se abren las patas del trĂ­pode colocĂĄndolas alrededor del punto (taco de madera con puntilla, mojĂłn, etc.), de tal forma que el trĂ­pode quede lo mas estable posible, como lo vemos en la figura que esta al lado.

Como observamos en la figura lo que se busca es que la fuerza que actĂşa en las patas del trĂ­pode, lo haga en direcciĂłn de las mismas Uno de los aspectos primordiales es el de lograr que la plataforma del trĂ­pode quede, en lo posible, directamente sobre del punto y horizontal como lo apreciamos en la ILJ , para lo cual se juega con la longitud variable de la patas del trĂ­pode; solo cuando estemos seguros de que la plataforma estĂŠ nivelada y casi centrada podemos clavar las patas del trĂ­pode.

)LJXUD7RPDGDGHO0DQXDOGH(PSOHR 7

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ 0RQWDUHO7UiQVLWR Sacamos con cuidado el transito de la caja, lo montamos sobre la plataforma y lo atornillamos hasta que quede firme sobre el trĂ­pode que se encuentra aproximadamente centrado y con su plataforma horizontal. Se aconseja que el transito quede a la altura de la barbilla, esto con el fin que durante el trabajo se puede manejar libremente el equipo, sin presentarse incomodidades al tomar las visuales. Es importante mencionar que el transito no debe ser trasladado o trasportado montado sobre el trĂ­pode si lo llevamos de una forma inclinada ya que se puede presentar un accidente y daĂąarse el equipo al caerse y la razĂłn principal esta sustentada en que el eje central del aparato puede daĂąarse debido al peso de mismo instrumento ya que este tiende a doblarlo, pero si podemos llevarlo procurando que se lleve en forma vertical o en la caja, que es lo mas indicado como lo vemos en la figura de abajo.

)LJXUD7RPDGDGHO 0DQXDOGH(PSOHR7

)LJXUD7RPDGDGHO0DQXDOGH (PSOHR7

&HQWUDGR

Anteriormente se menciono que debĂ­amos centrar el trĂ­pode, pero cuando ya tenemos el transito sobre ĂŠl es necesario realizar un centrado final para asegurar que el eje vertical del transito coincida con la vertical del punto; este centrado lo podemos efectuar moviendo una de la patas del trĂ­pode a la vez hasta logra que la plomada caiga sobre la puntilla o marca, la otra forma de hacerlo es aflojar un poco el transito de la base y moverlo para lograr el centrado, pero solo se puede efectuar cuando el movimiento o el desplazamiento que hay que efectuar es muy pequeĂąo. )LJXUD7RPDGDGHO0DQXDOGH (PSOHR7

En la actualidad ya no se utiliza la plomada para el centrado del transito o estaciĂłn total, si no que se emplean lo que se conocen como plomadas Ăłpticas y plomadas lĂĄser

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Capitulo 7: Levantamientos

1LYHODFLyQ

)LJXUD7RPDGDGHO0DQXDOGH (PSOHR7

Es el ultimo paso ha realizar y muy importante teniendo el transito sobre el trípode giramos el anteojo hasta que el nivel tubular del aparato quede alineado con dos tornillos de nivelación.

2ULHQWDFLyQ

)LJXUD7RPDGDGHO0DQXDOGH(PSOHR 7



El proceso de orientación se basa, en que a través de distintos métodos podamos conocer la dirección de la norte en un punto y en base a esta realizar el proceso de orientación de una poligonal. El motivo de hablar de orientación es como se ha dicho, el transito no es un instrumento que nos permita conocer Azimuts directamente y por tal razón es necesario hacer la orientación llevar acabo este proceso. La orientación se puede efectuar a través de instrumentos que nos permitan conocer la dirección norte, sur como lo son: La brújula que nos ayuda a determinar los rumbos o azimut magnético de una línea, observaciones astronómicas o un giróscopo que nos daría a conocer la NS verdadera; existen otras formas de darle orientación a una poligonal pero tiene la característica de que por no se obtiene directamente de la dirección la línea norte sur, si no que podemos emplear dos puntos de una red topográfica o geodesica, de la cual conocemos sus coordenadas, para calcular el azimut de esa línea en ese sistema y apoyarnos en el para orientar nuestro trabajo. En la actualidad los avances tecnológicos nos han proporcionado la oportunidad de materializar puntos y conocer sus coordenadas absolutas, empleando los sistemas de Posicionamiento Global

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ GPS que utilizan seĂąales desde satĂŠlites para dar la ubicaciĂłn espacial de un punto cualquiera con gran precisiĂłn en el posicionamiento horizontal.

Veamos los elementos y el protocolo de pasos que se deben realizar para la orientaciĂłn de una poligonal con brĂşjula: Elementos â&#x20AC;˘ jalĂłn de madera. â&#x20AC;˘ BrĂşjula de mano. â&#x20AC;˘ Plomada. â&#x20AC;˘ Estacas. â&#x20AC;˘ Puntillas Protocolo 1. Se ubica el primer delta con su respectiva estaca y puntilla. 2. Nos ubicamos sobre el delta con el jalĂłn de madera, sujetando la brĂşjula ubicamos la direcciĂłn de la norte magnĂŠtica. 3. Alineamos el jalĂłn que sostiene el auxiliar en esta direcciĂłn, para que este ubique la estaca con su respectiva puntilla. 4. Luego de tener situada la direcciĂłn de la norte magnĂŠtica, armamos el equipo sobre el delta, se mira al punto sobre dicha direcciĂłn en ceros del cĂ­rculo horizontal del instrumento. 5. Se libera el movimiento horizontal del transito y se barre en cualquier direcciĂłn a un punto siguiente. 6. De esta forma los ĂĄngulos tomados desde el delta se encuentran orientados respecto a la NM. A continuaciĂłn se describirĂĄn cada uno de los procesos de levantamientos de poligonales con transito (el protocolo de campo) y nombraremos los instrumentos necesarios: ) Ă ngulos horarios (AH) o contra horarios (CH) ) Azimut (Az) ) Deflexiones (D)

(OHPHQWRV 

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Teodolito o estaciĂłn. BrĂşjula. Plomadas. Jalones. Estacas. Puntillas Cinta mĂŠtrica. Mira vertical o prisma. Pintura. Maceta. Machete.

$X[LOLDUHV â&#x20AC;˘ dos cadeneros (como mĂ­nimo). â&#x20AC;˘ Anotador. 

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Capitulo 7: Levantamientos

3URFHGLPLHQWRVFRQ7UiQVLWR 3URWRFRORV  ÈQJXORVKRUDULRVRFRQWUDKRUDULRV 

1. Se estaciona el tránsito en el punto P1 que se ve en la ILJ . 2. Se orienta la poligonal. 3. Se estaciona el instrumento en el P2, se mira al punto anterior en directa (PI o CI) con ceros en el limbo. 4. Se barre el ángulo al punto siguiente P3; si el equipo es dextrorsum el ángulo obtenido es horario. 5. Se hace la visual al punto P3 y se registra el ángulo. 6. Los pasos cuatro y cinco se repiten para los puntos siguientes hasta llegar al punto final en una poligonal abierta o para volver al punto de partida en una cerrada Se recomienda que el lado origen sea el anterior; si estamos en el P5 el lado origen debe ser (P4-P5).

 1RWD La lectura “CERO” que se inscribe en el círculo horizontal debe hacerse con cuidado y en este orden: • 00° 00’ 00’’ ( o un poco mas, dependiendo de la apreciación del círculo) • Registrar en cartera (si trabaja con estación, simplemente oprime el botón 0 set que permite poner los ceros sin error debido a que el sistema comienza a contar en cualquier parte del círculo).

)LJXUD

Los ángulos de una poligonal pueden ser medidos con gran exactitud y precisión con una sola repetición en las dos posiciones del anteojo. Con este fin agreguemos un paso al protocolo anterior: 4.1 Se transita para volver a mirar al punto P1 en posición II (CD), y luego se libera el movimiento horizontal del transito para visar al punto P3 y registrar el ángulo. La mitad de esta segunda lectura es el ángulo definitivo para los cálculos.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

0pWRGRGHO$]LPXW 

1. Se estaciona el trĂĄnsito en el punto P1 2. Se orienta la poligonal. 3. Se arma el trĂĄnsito en el punto siguiente P2, se mira al punto anterior en posiciĂłn inversa (PII o CD) con el azimut de la lĂ­nea (P1, P2) inscrito en el CH, se transita. 4. Se suelta el tornillo de movimiento lento horizontal y barre el ĂĄngulo al punto siguiente P3 realizando la punterĂ­a y registrando el ĂĄngulo. 5. Los pasos tres y cuatro se repiten para los puntos siguientes hasta llegar al punto final en una poligonal abierta o para volver al punto de partida en una cerrada.

)LJXUD

Nota: un procedimiento que evita transitar, es el de contra azimut en el que se mira al punto anterior en posiciĂłn directa y con el contra azimut de la lĂ­nea para efectuar el paso cuatro normalmente. ILJ .

)LJXUD

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Capitulo 7: Levantamientos

'HIOH[LRQHV 

1. Se estaciona el trĂĄnsito en el punto P1. 2. Se orienta la poligonal 3. Se estaciona el instrumento en el punto siguiente P2, se realiza una visual atrĂĄs al punto P1 con ceros en el limbo horizontal y en posiciĂłn inversa. 4. Se transita, se barre al punto siguiente P3 y registrar el ĂĄngulo. 5. Lo hecho en los pasos tres y cuatro se repite en todos los puntos siguientes. Un ejemplo grafico de lo dicho esta en la ILJ a continuaciĂłn.

)LJXUD

Nota: para facilitar el procedimiento en el campo se pueden barrer todos los ĂĄngulos en el sentido de la graduaciĂłn del limbo horizontal del transito, asĂ­ los ĂĄngulos pasen de 180Âş, en el trabajo de oficina podemos saber si es izquierda o derecha teniendo en cuenta que para valores menores a 180Âş el sentido de la deflexiĂłn es igual al de la graduaciĂłn del transito y para valores mayores en el otro sentido. Para los levantamientos de detalles ya dijimos que se emplean los mĂŠtodos de radiaciones e intersecciones que describiremos a continuaciĂłn.

5DGLDFLRQHV

En este mĂŠtodo encontrĂĄndose el transito estacionado en un punto de coordenadas conocidas se realizan las visuales a los puntos que se quieren localizar, se registra el ĂĄngulo y las distancias desde el vĂŠrtice al punto a levantar. (ILJ . Este mĂŠtodo presenta la ventaja de que la localizaciĂłn de los puntos es efectuada desde un solo punto o vĂŠrtice y si se comete una equivocaciĂłn esta quedara aislada y no afectara las demĂĄs mediciones ya sea las del mismo punto o las de otros vĂŠrtices.

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Nota: En este mĂŠtodo de localizaciĂłn de detalles las radiaciones se toman luego de realizar la medida de los ĂĄngulos de la poligonal, debido a que en el tiempo que se emplea para la toma de detalles se presentan movimientos en el equipo que pueden afectar la posiciĂłn del transito y causar que la mediciĂłn del ĂĄngulo de la poligonal no sea correcta.

,QWHUVHFFLRQHV

)LJXUD

Para la localizaciĂłn por intersecciones se deben realizar visuales desde dos puntos distintos de coordenadas conocidas ya sea de una poligonal o una red de triangulaciĂłn topogrĂĄfica. En este proceso se miden los ĂĄngulos a dicho punto, estos pueden ser ĂĄngulos horarios o azimuts, y como conocemos la distancia entre los vĂŠrtices de la poligonal se puede solucionar el triangulo que se forma empleando los teoremas de los triĂĄngulos1. Este mĂŠtodo es ideal para localizar puntos que son inaccesibles.

1

Ver preĂĄmbulo parte de trigonometrĂ­a los teoremas del seno y coseno

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Capitulo 7: Levantamientos 1. Se estaciona el transito en el punto P1 de coordenadas conocidas. 2. Se visa al punto Q de coordenadas desconocidas, en posición directa y con un ángulo inicial de 0º 0’. 3. Se suelta el circulo horizontal del equipo y se barre un ángulo horario (AH) hasta el punto P2 de coordenadas conocidas, registrando el ángulo obtenido. 4. Se estaciona el instrumento en el punto siguiente P2, se realiza una visual al punto Q de coordenadas desconocidas, en posición directa y con un ángulo inicial de 0º 0’. 5. Se suelta el circulo horizontal del equipo y se barre un ángulo horario (AH) hasta el punto P1 de coordenadas conocidas, registrando el ángulo obtenido.

5HIHUHQFLDFLyQ La referenciación es muy importante en los trabajos de levantamientos por que le permite al topógrafo dejar puntos fuera de la poligonal con coordenadas conocidas que le dan la posibilidad de volver a localizar puntos que se hayan perdido o desplazado, a esto es lo que denominamos replanteo2. Como la finalidad de la referenciación son trabajos de replanteo se debe de realizar este tipo de labor en una forma cuidadosa (mediciones con gran cuidado) y con anotaciones muy claras y precisas ya que en la mayoría de las ocasiones las personas que desarrollan el trabajo de replanteo no son los mismos topógrafos que realizaron el levantamiento. Veamos como se hace la referenciación de un punto: Como la idea de la referenciación es que estos puntos no haga parte de la poligonal, sean durables aun más que los puntos del proyecto, se trabaja con mojones de concreto, que pueden colocarse en línea con el punto que se desea referenciar, esto con el fin de que se conozca de dicha línea su rumbo o azimut y las distancias entre los tres puntos que la conforman. Luego estando estacionado en uno de estos puntos se pueda mirar al punto de la poligonal y barre o transita para prolongar la línea y medir una distancia del punto a localizar como lo podemos ver en la ILJ , es importante también conocer la dirección de dicha línea.

)LJXUD

En algunos casos para garantizar mejor precisión al localizar el punto que se esta replanteando se disponen cuatro puntos de la forma que se ve en la )LJ  5HSODQWHR: es el proceso mediante el cual se hace verificación de la posición de puntos anteriormente localizados.

2

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD

Los puntos de referenciaciĂłn deben de tener las siguientes caracterĂ­sticas: 9 deben de ser puntos durables. 9 Se busca que sean puntos alejados de la acciĂłn que proyecta para que no se vean afectados 9 Las distancias del punto del proyecto a su referencia y de referencia a referencia no deben de ser muy corta, esto porque como se dijo antes las visuales a cortas distancias presentan un grado de precisiĂłn menor en el sentido de la coincidencia del retĂ­culo con la lĂ­nea de plomada 9 Deben de ser puntos localizados con buena precisiĂłn, tanto en las medidas lineales como en las angulares.

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&Ă&#x2C6;/&8/26 En los trabajos de topografĂ­a se efectĂşan cĂĄlculos para procesamiento de informaciĂłn, de comprobaciĂłn y ajustes. Los datos obtenidos en el campo son resultados de procesos de mediciĂłn de ĂĄngulos y distancias, estos datos se emplean para determinar coordenadas que son el primer paso para procesos numĂŠricos posteriores como cĂĄlculo de ĂĄreas, trabajos de particiones, generaciĂłn de sistemas de informaciĂłn, entre otros.

&iOFXORGHSUR\HFFLRQHV

Para el cĂĄlculo de coordenadas cartesianas a partir de los datos obtenidos en campo, previamente se calculan las proyecciones (referidas a los ejes coordenados) de los lados de una lĂ­nea poligonal, sea esta cerrada o abierta.

3UR\HFFLyQPHULGLDQR El valor de la proyecciĂłn meridiano (PM) de un vector de poligonal se calcula asĂ­: 

30 = ' cos $]

3UR\HFFLyQSDUDOHOR El valor de la proyecciĂłn paralelo (PP) de un vector de poligonal se calcula asĂ­:

33 = ' VHQ$]

&iOFXORVGHFRPSUREDFLyQ 

&LHUUHDQJXODU 

Como ya sabemos en las poligonales los elementos a medir son ĂĄngulos y distancias por tal motivo la precisiĂłn de estas se ve afectada por los errores accidentales que se presentan en la mediciĂłn de esas magnitudes, debido a innumerables causas En el caso de los ĂĄngulos podemos encontrar la discrepancia existente ya sea para las poligonales cerradas comparando la sumatoria de los ĂĄngulos internos o externos medidos con la condiciĂłn geomĂŠtrica QÂą [Â&#x17E; Â&#x2122;,QWHUQRV y (n + 2) x 180Âş = Â&#x2122; ([WHUQRV R HQ SROLJRQDOHV DELHUWDV FRQ FRQWURO WRWDO VH ORJUD REWHQHU HO HUURU GH FLHUUH comparando el azimut de llegada con el azimut teĂłrico. Para las poligonales podemos establecer unas especificaciones de medida de la siguiente forma:



1. Para el caso de levantamiento que no exigen una precisiĂłn muy elevada se puede decir que la precisiĂłn esta dado por la multiplicaciĂłn de la precisiĂłn angular del transito y el numero de vĂŠrtices de la poligonal. Tenemos entonces:

( DQJ < DQ


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________  Para el caso de levantamiento de precisiĂłn se puede establecer que la precisiĂłn esta dada por la multiplicaciĂłn de la precisiĂłn angular del instrumento y la raĂ­z cuadrada del numero de vĂŠrtices 

( DQJ < D(Q)1 / 2

Las especificaciones anteriormente descritas nos permiten determinar si el trabajo cumple o no con las condiciones de precisiĂłn angular Ejemplo: En un levantamiento que no requiere una gran precisiĂłn, se obtuvo un error de cierre angular es de 00Âş 03`empleando la primera formula vista se puede establecer si el trabajo cumple con la exigencia DQ; donde el a = 10``, n = 7 y ( DQJ = 00Âş02â&#x20AC;&#x2122;.

DQ = 10' ' (7 ) = 00Âş 01â&#x20AC;&#x2122;10â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;

( DQJ < DQ â&#x2021;&#x2019; 00Âş 02' > 00Âş 01â&#x20AC;&#x2122;10â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; En el resultado anterior se ve que el error angular es mayor y por lo tanto trabajo realizado no cumple la condiciĂłn. Se puede inferir que se ha cometido un error grande (equivocaciĂłn) y es necesario rectificar los ĂĄngulos medidos. Si en el caso anterior el error de cierre angular fuera de 00Âş01â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; y la especificaciĂłn la misma 00Âş01`10`` entonces:

( DQJ < DQ â&#x2021;&#x2019; 00Âş 01' < 00Âş 01â&#x20AC;&#x2122;10â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; Es porque el trabajo esta dentro de las especificaciones y se continua al paso siguiente.

(UURUGHFLHUUH 



Es la discrepancia de posiciĂłn determinada por las coordenadas de dos puntos, ya sea para el caso de una poligonal cerrada el punto de partida y llegada o el punto de llegada y el punto de coordenadas conocidas en una poligonal abierta. En toda poligonal cerrada sobre si misma o cerrada entre puntos de control de posiciĂłn conocida (amarrada), se debe cumplir que: La sumatoria algebraica de las componentes (las dos proyecciones) de la lĂ­nea que va del primer punto al Ăşltimo debe ser igual a la suma algebraica de las diferencias entre las coordenadas sobre los respectivos ejes, es decir: En tal caso el error de cierre es igual a la hipotenusa del triangulo que forman los segmentos dirigidos 16 y (: ILJ . Si utilizamos para el cĂĄlculo el

16y (:

la formula a emplear es la siguiente:

(F = δ 16 2 â&#x2C6;&#x2019; δ (: 2 Si utilizamos las coordenadas del punto uno y las de punto uno prima, la formula es:

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Capitulo 8: CĂĄlculos

(F =

{1 (1)â&#x2C6;&#x2019; 1 (1â&#x20AC;&#x2122;)}2 + {( (1)â&#x2C6;&#x2019; ( (1â&#x20AC;&#x2122;)}2

)LJXUD

(F =

{30 (1,1â&#x20AC;&#x2122;)}2 + {33(1,1â&#x20AC;&#x2122;)}2 

En el caso de un poligonal cerrada sobre si misma, 1 1â&#x20AC;&#x2122; => la diferencia es 0 En la prĂĄctica los dos valores no son iguales por los errores inherentes a las medidas, pero su valor debe ser inferior a la tolerancia permitida. La direcciĂłn de la lĂ­nea de cierre se determina por la fĂłrmula: = arc tan (PP / PM) En el trabajo de poligonales abiertas ODGLIHUHQFLDGHO 1 \ODVXPDWRULDGH30ÂśVHVLJXDOFHUROR PLVPRTXHODGLIHUHQFLDGH ( \ODVXPDWRULDGH33ÂśV

δ 16 = â&#x2C6;&#x2020;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; 30 = 0 δ 6: = â&#x2C6;&#x2020;( â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; 33 = 0

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD

3UHFLVLyQHQSROLJRQDOHV 

Los errores de cierre angular y lineal (o posicional) solo los causan errores aleatorios, en las mediciones despuĂŠs de que se ha eliminado todos los errores sistemĂĄticos significativos; estos errores de cierre son, entonces, proporcionales a los respectivos errores estĂĄndar EmcA y EmcD de las medidas. Respecto a los errores de cierre en poligonales cerradas, los errores estĂĄndar en mediciones angulares y de distancias se pueden expresar en la forma (PF $ = ( Q y (PF ' = ( Q donde n es el nĂşmero de vĂŠrtices claro que en la practica, para el caso del error de cierre lineal esta mĂĄs ligado en la longitud de la poligonal. 

0e72'26'($-867( 

Ya que entendemos el error del cierre lineal (vector entre las coordenadas definitivas y las provisionales). Y que tenemos el criterio anteriormente visto para el cierre angular pedemos pensar en el ajuste de las poligonales, el cual podemos efectuar por diversos mĂŠtodos, entre los mas conocidos. â&#x2122;Ś â&#x2122;Ś â&#x2122;Ś â&#x2122;Ś

BrĂşjula Transito Crandall XY (Ormsby)

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Capitulo 8: CĂĄlculos

0pWRGRGHODEU~MXOD Consiste en asegurar que se cumpla la condiciĂłn de cierre de poligonales. Y para esto se basa en que los errores n los levantamientos son accidentales y varĂ­an con la raĂ­z cuadrada de la longitud de los lados directamente por lo que se aplican correcciones proporcionales a la longitud de los lados del polĂ­gono y que los errores angulares tienen efectos semejantes a los de las medidas lineales. Este mĂŠtodo lo aplicamos cuando creamos que los errores presentes son tanto en el ĂĄngulo como en la distancia, ya que este mĂŠtodo cambia las proyecciones de tal modo que la azimut y las distancias son cambiadas. Las formulas aplicadas para obtener la correcciĂłn de proyecciones son las siguientes:

 δ 30  & 30 =   Ă&#x2014; '+  / 

 δ 33  & 33 =   Ă&#x2014; '+  / 

Las correcciones se aplican asĂ­:

30& = 30 â&#x2C6;&#x2019; & 30 33& = 33 â&#x2C6;&#x2019; & 33

0pWRGRGHOWUDQVLWR 

Este mĂŠtodo lo empleamos cuando pensamos que los posibles errores presentes en el trabajo de campo estĂĄn en distancia, ya que el mĂŠtodo se corrige proporcionalmente a las proyecciones N y E de tal forma que la longitud de los lados de la poligonal cambia ligeramente, pero las Azimut permanecen prĂĄcticamente iguales. TambiĂŠn al igual que el MĂŠtodo de la BrĂşjula se basa en que los errores en los levantamientos son accidentales, pero en este se asume que las medidas angulares son mĂĄs precisas que las lineales. Las formulas a aplicar son las siguientes:

 δ 30 & 30 =    â&#x2C6;&#x2018; 30  δ 33 & 33 =    â&#x2C6;&#x2018; 33

  Ă&#x2014; 30  

  Ă&#x2014; 33  

Las correcciones se aplican asĂ­:

30& = 30 L â&#x2C6;&#x2019; & 30 33& = 33L â&#x2C6;&#x2019; & 33

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Nota: En algunas ocasiones, puede ser necesario cambiar ligeramente alguna de las correcciones, para cumplir que la sumatoria de correcciĂłn en PM y la sumatoria de las correcciones PP deben ser iguales al error en PM o N y el error en PP o E respectivamente, pero esto es debido a que se trabaja con el redondeo a cifras significativas. Generalmente estos cambios se realizan a los valores mĂĄs grandes.

0pWRGR;< 2UPVE\  A este mÊtodo se le conoce como mÊtodo Ormsby, y actúa sobre las distancias sin modificar los ångulos, al igual que el mÊtodo del transito. El mÊtodo consiste en asignarle una letra a cada lado de la poligonal de acuerdo con su orientación o dicho de otra forma dependiendo del cuadrante en que se encuentre. X: cuadrante NE y SW, direcciones 0° y 180°. Y: cuadrante SE y NW, direcciones 90° y 270°.

Luego de asignarle la letra a cada lado de la poligonal y teniendo la PM y las PP, realizamos la sumatoria en valor absoluto de los tĂŠrminos en x e y de cada una de las proyecciones, obteniendo asĂ­ una sumatoria de las PM en x (ÎŁPMx), una sumatoria de las PM en y (ÎŁPMy), una sumatoria de las PP en x (ÎŁPPx) y una sumatoria de las PP en y (ÎŁPPy). El paso siguiente es el de armar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas (x e y) donde los tĂŠrminos independientes son PM y PP. La forma de armar estos sistemas de ecuaciones es el siguiente: a) Tomo los tĂŠrminos independientes de las ecuaciones en calor absoluto | 30_  _ 33_ y se observa cual es el termino de mayor valor a la ecuaciĂłn que posee este termino la llamo primaria y el signo del termino independiente me define los signos de los otros tĂŠrminos de esa ecuaciĂłn; a la otra la llamo secundaria y mantengo para los tĂŠrminos en X el signo del termino independiente de la ecuaciĂłn primaria, que se cambia para los valores de Y. Por lo tanto existen dos casos:

1. δ 30 > δ 33 â&#x2C6;&#x2018; 30[ + â&#x2C6;&#x2018; 30\ = δ 30  δ 30 > 0 â&#x2021;&#x2019;   â&#x2C6;&#x2018; 33[ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2018; 33\ = δ 33 

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; 30[ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2018; 30\ = â&#x2C6;&#x2019;δ 30  δ 30 < 0 â&#x2021;&#x2019;   â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; 33[ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2018; 33\ = δ 33 

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Capitulo 8: CĂĄlculos 2.

δ 30 < δ 33 â&#x2C6;&#x2018; 33[ + â&#x2C6;&#x2018; 33\ = δ 33  δ 33 > 0 â&#x2021;&#x2019;   â&#x2C6;&#x2018; 30[ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2018; 30\ = δ 30 

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; 33[ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2018; 33\ = â&#x2C6;&#x2019;δ 33  δ 33 < 0 â&#x2021;&#x2019;   â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; 30[ + â&#x2C6;&#x2018; 30\ = δ 30  Ya teniendo el sistema de dos ecuaciones lo resolvemos para obtener los coeficientes de [ e \ Teniendo los coeficientes de x e y podemos calcular las correcciones de PM y PP aplicando las siguientes formulas:

&[ = 3 . [

Cx = correcciĂłn de tĂŠrminos en x Cy = correcciĂłn de tĂŠrminos en y P = proyecciĂłn meridiana o paralela en valor absoluto

&\ = 3 . \

Es muy importante darle a cada correcciĂłn el signo que le toca de acuerdo con el origen (en las formulas) que pueden ser PM y PP y de acuerdo con la letra que le corresponde por lado a que pertenece. Por ultimo para obtener las proyecciones corregidas aplicamos lo siguiente:

30& = 30 â&#x2C6;&#x2019; &30 33& = 33 â&#x2C6;&#x2019; &33

Un chequeo que se puede realizar para determinar si el proceso esta bien hecho es que la sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas en PM y PP son igual a cero.

0pWRGRGH&UDQGDOO Este permite realizar el ajuste de las longitudes de la poligonal sin alterar sus azimuts. Esta basado en la teorĂ­a de mĂ­nimos cuadrados. Veamos los pasos para realizar un ajuste por dicho mĂŠtodo: 1. se calculan las proyecciones ( PM , PP) 2. se obtiene los valores de L2 , D2 , LD , para cada una de las proyecciones, con las siguientes formulas:

/2 =

30 2 '+

'2 =

33 2 '+

/' =

33 Ă&#x2014; 30 '+

3. se efectĂşa la sumatoria de cada uno de los elementos anteriormente calculados, (Â&#x2122;/2, Â&#x2122; D2, Â&#x2122; LD). 4. Determinamos el valor de A y B por medio de las formulas que aparecen a continuaciĂłn:

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 169


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ $= %=

δ 33(â&#x2C6;&#x2018; /' )â&#x2C6;&#x2019; δ 30 (â&#x2C6;&#x2018; ' 2 )

(â&#x2C6;&#x2018; / â&#x2C6;&#x2018; ' )â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2018; /' ) 2

2

2

δ 30 (â&#x2C6;&#x2018; /' )â&#x2C6;&#x2019; δ 33(â&#x2C6;&#x2018; /2 )

(â&#x2C6;&#x2018; / â&#x2C6;&#x2018; ' )â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2018; /' ) 2

2

2

5. calculamos el valor de las correcciones, reemplazando numeral 2 y 4 en las siguientes formulas:

los valores obtenidos en el

& 30 = $./2 + %./'

& 33 = $./' + %.' 2

6. las proyecciones corregidas las determinamos con:

33F = 33 + & 33

30F = 30 + & 30 Los mĂŠtodos de TrĂĄnsito, BrĂşjula y Crandall se pueden aplicar al hacer los cĂĄlculos utilizando los programas de cĂĄlculos topogrĂĄficos conocidos en el mercado actual. Ejemplo: teniendo la siguiente cartera de poligonal realizar el ajuste por los mĂŠtodos, brĂşjula, transito, XY. Est P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P1

Ang. Hor.

Dist. Hor.

PM

PP

224Âş 23â&#x20AC;&#x2122; 166Âş 52â&#x20AC;&#x2122; 140Âş 40â&#x20AC;&#x2122; 91Âş 30â&#x20AC;&#x2122; 84Âş 01â&#x20AC;&#x2122; 89Âş 42â&#x20AC;&#x2122; 35Âş 25â&#x20AC;&#x2122; 353Âş 30â&#x20AC;&#x2122; 307Âş 47â&#x20AC;&#x2122; 311Âş 50â&#x20AC;&#x2122; 269Âş 30â&#x20AC;&#x2122;

94.52 95.92 84.52 76.72 66.72 41.64 30.94 37.18 68.77 175.46 21.92

-67.57 -93.41 -65.38 -2.01 6.95 0.23 25.22 36.94 42.13 117.33 -0.19

-66.09 21.79 53.56 76.69 66.35 41.64 17.93 -4.22 -54.35 -130.46 -21.92

δ 30 = +0.24

δ 33 = +0.92 (F = 0.97

N 1000.00 932.43 839.02 773.64 771.63 778.59 778.82 804.03 840.98 883.11 1000.44 1000.25

E 1000.00 933.91 955.70 1009.26 1085.96 1152.31 1193.95 1211.88 1207.66 1153.31 1022.86 1000.94

PerĂ­metro: 794.31 Estaciones: 11

*S = 1 / 816

170

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos $MXVWHSRUEU~MXOD En el cuadro a continuación encontramos los datos calculados de las correcciones a las proyecciones, las proyecciones corregidas y las coordenadas obtenidas luego del proceso. CPM

CPP

PMC

PPC

0.03 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.02 0.05 0.01

0.11 0.11 0.10 0.09 0.08 0.05 0.04 0.04 0.08 0.20 0.02

-67.60 -93.44 -65.41 -2.03 6.93 0.22 25.21 36.93 42.11 117.28 -0.20

-66.20 21.68 53.46 76.60 66.27 41.59 17.89 -4.26 -54.43 -130.66 -21.94

CPM

CPP

PMC

PPC

-0.04 -0.05 -0.03 0.00 0.00 0.00 0.01 0.02 0.02 0.06 0.00

-0.11 0.04 0.09 0.13 0.11 0.07 0.03 0.00 -0.09 -0.22 -0.03

-67.61 -93.46 -65.42 -2.01 6.95 0.23 25.21 36.92 42.11 117.27 -0.19

-66.20 21.75 53.47 76.56 66.24 41.57 17.90 -4.22 -54.44 -130.68 -21.95

N 1000.00 932.40 838.96 773.55 771.52 778.45 778.67 803.88 840.81 882.92 1000.20 1000.00

E 1000.00 933.80 955.48 1008.94 1085.54 1151.81 1193.40 1211.29 1207.03 1152.60 1021.94 1000.00

N 1000.00 932.39 838.93 773.51 771.50 778.45 778.68 803.89 840.81 882.92 1000.19 1000.00

E 1000.00 933.80 955.55 1009.02 1085.58 1151.82 1193.39 1211.29 1207.07 1152.63 1021.95 1000.00

$MXVWHSRUWUDQVLWR

$MXVWHSRU;< 

En el cuadro agregamos una columna en la cual se indica la letra que le pertenece a la proyección de acuerdo al cuadrante. La ecuación primaria corresponde a las proyecciones paralelo, tenemos entonces que estas quedan dispuestas:

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 171


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

(66,09 + 66,35 + 41,64 + 17,93 + 21,92); + (21,79 + 53,56 + 76,69 + 4,22 + 54,35 + 130,46)< = 0.94 (67,57 + 6,95 + 0,23 + 25,22 + 0,19); â&#x2C6;&#x2019; (93,41 + 65,38 + 2,01 + 36,94 + 42,13 + 117,33)< = 0.25 Al reducir tĂŠrminos:

213,93 ; + 341,07 < = 0.94

100,16 ; â&#x2C6;&#x2019; 357,20 < = 0.25 Obtenemos los valores de X e Y:

; = 3.81 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019;3 < = 3.68 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019;4

X Y Y Y X X X Y Y Y X

CPM

CPP

PMC

PPC

0,25 -0,03 -0,02 0,00 0,03 0,00 0,09 -0,01 -0,02 -0,04 0,00

0.25 0.01 0.02 0.03 0.25 0.15 0.07 0.00 0.02 0.05 0.08

-67.82 -93.38 -65.36 -2.01 6.92 0.23 25.13 36.95 42.15 117.37 -0.19

-66.34 21.78 53.54 76.66 66.10 41.49 17.86 -4.22 -54.37 -130.51 -22.00

N 1000.00 932.18 838.80 773.44 771.43 778.35 778.58 803.71 840.66 882.81 1000.19 1000.00

E 1000.00 933.66 955.44 1008.98 1085.64 1151.74 1193.23 1211.09 1206.87 1152.50 1022.00 1000.00

&iOFXORGHFRRUGHQDGDV 

El cĂĄlculo de coordenadas es determinar la posiciĂłn de puntos en el plano cartesiano y se logra de una manera sencilla, teniendo las coordenadas de un punto origen que debe ser el punto inicial, las coordenadas del segundo punto son:

1L 

(L

1L  Â&#x201C;30

(L Â&#x201C;33

172

$%6***,'0


Capitulo 8: CĂĄlculos

&iOFXORGHiUHDV 

Uno de los valores a calcular mas comĂşnmente es el ĂĄrea de un predio, este valor puede determinarse grĂĄfica o matemĂĄticamente. MĂŠtodos matemĂĄticos: utilizando las coordenadas cartesianas mediante un arreglo adecuado de los datos:

0pWRGRVJUiILFRV DescomposiciĂłn en figuras geomĂŠtricas, mĂŠtodo de la tira, mĂŠtodo de la cuadrĂ­cula, red de puntos o planĂ­metro de puntos, planĂ­metro polar, planĂ­metro de carro, etc.

3ODQtPHWURGHSXQWRV

El planĂ­metro de puntos es una cuadricula de puntos espaciados de una manera uniforme y dibujada sobre un material transparente. Para determinar el ĂĄrea de una figura plana empleando ĂŠste tipo de planĂ­metro, se coloca sobre el dibujo a escala, se cuentan los puntos que estĂĄn dentro del perĂ­metro y sobre ĂŠl; para lograr una buena mediciĂłn el nĂşmero de puntos se cuenta unas tres veces y luego se promedia el resultado.

)LJXUD7RPDGDGH$SXQWHV3ODQLPHWUtD -XOLiQ*DU]yQ%

Para calcular el resultado se relaciona la densidad de puntos por la unidad de ĂĄrea en el papel con la escala de ĂĄreas. (MHPSOR Se desea determinar el ĂĄrea de dos secciones A y B de una vĂ­a en un plano a escala 1:1250, en las cuales se obtuvieron 46 y 45 puntos respectivamente, luego de realizar la media del resultado de los conteos con un planĂ­metro de 4 puntos por centĂ­metro cuadrado.

46 = 11.5 FP 2 4

1 FP = 1250 FP â&#x2021;&#x2019; 1 FP = 12.5 P



1FP 2 = 156.25P 2 11.5FP 2 = ; $

45 = 11.25FP 2 4

1FP 2 = 156 .25 P 2 11.25FP 2 = ; %

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 173


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

; $ = 1796.9 P 2 ; % = 1757.8 P 2

(MHPSOR Se desea determinar el volumen entre dos secciones A y B de una vĂ­a con longitud de 20m, en un plano a escala horizontal 1:1234 y escala vertical 1:333, en las cuales se obtuvieron 46 y 45 puntos respectivamente, luego de realizar la media del resultado de los conteos con un planĂ­metro de 4 puntos por centĂ­metro cuadrado.

1 FP = 1234 FP â&#x2021;&#x2019; 1 FP = 12.34 P

1 FP = 333 FP â&#x2021;&#x2019; 1 FP = 3.33 P

46 = 11.5 FP 2 4

45 = 11.25FP 2 4

Ď&#x2021; = 472.53 P 2 \ = 462.26 P 2



YROXPHQ =

 472.53P 2 + 462.26P 2 $Ď&#x2021; + $\ Ă&#x2014; / â&#x2021;&#x2019; YROXPHQ =  2 2 

YROXPHQ = 9347.9P 3

  Ă&#x2014; 20P â&#x2021;&#x2019; 

3ODQtPHWURSRODU 

)LJXUD

El planĂ­metro polar es un instrumento que nos permite calcular ĂĄreas de figuras planas cerradas, por un proceso de integraciĂłn mecĂĄnica, al recorrer su perĂ­metro dibujado en un plano a escala conocida a partir del nĂşmero de vueltas que da una rueda especialmente graduada que tiene el instrumento por debajo .Dicha rueda gira registrando una cantidad proporcional al ĂĄrea de la figura.

174

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos El planímetro se encuentra compuesto de: un polo que es el que fijamos en el momento de medir, un brazo polar que es el que pivota sobre el polo y tiene en el la unidad integradora la cual está formada por el disco integrador que se encuentra conectado al tambor primario dividido en 100 partes para obtener lecturas de 1/1000 de revolución del circulo integrador mediante un nonio; otro indicador nos da el numero de vueltas completas del circulo. Los planímetros pertenecen a los instrumentos llamados integradores, y se fundan en la propiedad de que el área barrida por una barra de longitud fija es proporcional al camino recorrido por una ruedita de eje paralelo a la barra. Un planímetro puede ser usado de dos formas: • •

Con el polo dentro de la figura. Con el polo fuera de la figura.

Con el polo dentro de la figura la forma de trabajo es la siguiente: 1. Se fija el papel para que durante el proceso de medida éste no se mueva. 2. Situar el planímetro de tal forma que durante todo el recorrido sobre la línea de contorno el instrumento no quede ni demasiado abierto, ni demasiado cerrado. 3. Nos aseguramos de que el punto fijo lo esta en realidad y marcamos un punto en el papel que va a ser el punto de partida y llegada del circuito con el planímetro. Sobre este punto es donde se sitúa la marca de la lupa que se encuentra en el brazo trazador y leer en nonio para anotar la lectura. 4. Se recorrer la línea de contorno en el sentido de las manecillas del reloj con la mayor precisión posible hasta llegar de nuevo al punto de que se partió donde realizamos la lectura final. 5. La diferencia entre las dos lecturas multiplicada por el factor de escala, nos proporciona del valor del área. Para el trabajo con el polo afuera se repiten los mismos pasos que en el procedimiento anterior. Esta forma de empleo del planímetro es más aconsejable que la anterior aunque no se puedan medir áreas tan grandes como las que se miden con el método del polo dentro de la figura. En los planímetros de tipo mecánicos que son convencionales se debe tener en cuente que para cada medida de área se debe aplicar una constante a una diferencia de lecturas que se obtiene: Nota: si el área a medir tiene agujeros se podría medir después y restar a mano, pero es te proceso se puede simplificar solo con una forma de medir adecuada con el planímetro. Así pues que si que si el área de la figura presenta irregularidades como vemos en el grafico; lo que podemos hacer es dibujar una línea que una la línea del perímetro con la línea de contorno del hueco y desplazar la marca del planímetro por dicha línea, recorrer el contorno de el hueco en sentido contrario y regresar por la línea el punto desde donde se dibujo, para continuar el proceso de la forma normal. Lo que hace el planímetro es que el resta esa área interior.

)LJXUD

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 175


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

Para hacer mĂĄs prĂĄctica la formula del ĂĄrea, suele determinarse, para distintas escalas y longitudes del brazo trazador, lo que corresponde a cada unidad de nonio. Una unidad de nonio corresponde a un milĂŠsimo de vuelta de la ruedecilla. Si llamamos n, el numero de divisiones de nonio que ha variado la lectura en dos posiciones extremas, es decir, la lectura final menos lectura inicial (corresponde al w de la formula).

Z = 2Ď&#x20AC; UQ , unidad de nonio =

6=

Z 1000

2Ď&#x20AC; UQ/ , S en mm2, si r y L estĂĄn en mm. 1000

6 (P 2 ) =

2Ď&#x20AC; UQ/ (1000) 3

Escala longitudinal E = 1/M Escala de ĂĄreas E2 = 1/M2 1 unidad en el plano representa M unidades en el terreno, entonces el ĂĄrea de una unidad en el plano es M2 unidades cuadradas en el terreno.

6=

2Ď&#x20AC; U/0 2 Q 8 n, m2 (1000) 3

(8 es la unidad del nonio)

(MHPSOR

/ PP U PP(   / / â&#x2021;&#x2019; Q = O1 â&#x2C6;&#x2019; O 0 â&#x2021;&#x2019; Q = 0.348 â&#x2C6;&#x2019; 0 â&#x2021;&#x2019; Q XQLGDGHV 

6=



60 Ă&#x2014; 16.67 Ă&#x2014; 1000 Ă&#x2014; 1000 Ă&#x2014; 348 = 348.07 P 2 1000 Ă&#x2014; 1000 Ă&#x2014; 1000

1RWD En los planĂ­metros generalmente la circunferencia de la ruedecilla trzadora, es decir,  Uvale 60mm.

3DSHOPLOLPHWUDGR 

Es un mĂŠtodo sencillo y rĂĄpido para calcular ĂĄreas grĂĄficamente con el cual se logra una precisiĂłn aceptable. Este mĂŠtodo tambiĂŠn se conoce determinaciĂłn de ĂĄreas por cuadricula. Colocando sobre el papel milimetrado de calida un dibujo calcado de la figura que se desea medir, se cuenta primero el nĂşmero de cuadros grandes YHUFXDGULFXODUHVDOWDGDFRQQDUDQMDHQHOJUDILFR (cm2 o cuadrados de 5Ă&#x2014;5 mm) y por ultimo en la secciones que quedan se cuentan el numero de cuadros de un mm2.

176

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos

)LJXUD

ÈUHDVSRUGHVFRPSRVLFLyQHQWULiQJXORV 

Este método grafico consiste en formar dentro del perímetro a trabajar, ya sea que este se encuentre conformado por líneas rectas o que sea un contorno irregular, triángulos de los cuales es muy fácil determinar el áreas empleando formulas ya vistas. Para el caso de que el perímetro esté formado por líneas rectas, la formación de los triángulos es sencilla ver grafico Z y se procede luego a calcular el área de cada uno para luego sumarlas obtener el área total. Cuando se presente que el perímetro se encuentra formado por líneas curvas o sea que es un perímetro irregular, lo que se tiene que hacer es cambiar los limites irregulares por líneas que tengan la característica de compensar las áreas excluidas a raíz de este proceso, con áreas incluidas para el calculo que no pertenecen a la figura levantada, ver figura Z, para continuar luego con la división en triángulos que en conjunto serán equivalentes a el área de la región trabajada. La ubicación de dichas líneas se lleva acabo a ojo, preferiblemente con una regla transparente que facilite el tanteo para la compensación.

)LJXUD

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 177


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

0pWRGRV$QDOtWLFRV 0pWRGRGH*DXVV

En este mĂŠtodo, conocidas las coordenadas de los vĂŠrtices de un polĂ­gono, por medio de estas podemos conocer el ĂĄrea de la regiĂłn poligonal aplicando dos mĂŠtodos: (ILJ 

)LJXUD

MĂŠtodo A.

2 $ = [(11 ( 2 + 1 2 (3 + 1 3 ( 4 + 1 4 (1 ) â&#x2C6;&#x2019; ((1 1 2 + ( 2 1 3 + (3 1 4 + ( 4 11 )]

2$ =

[â&#x2C6;&#x2018; (1 ( )â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; (( 1 )] L

L

+1

L

L

+1

MĂŠtodo B

2 $ = [11 (( 2 â&#x2C6;&#x2019; ( 4 )+ 1 2 ((3 â&#x2C6;&#x2019; (1 ) + 1 3 (( 4 â&#x2C6;&#x2019; ( 2 ) + 1 4 ((1 â&#x2C6;&#x2019; (3 )] 2 $ = â&#x2C6;&#x2018; 1 (( +1 â&#x2C6;&#x2019; ( â&#x2C6;&#x2019;1 ) Q

L

L

L

L

=1

(MHPSOR Calcular por el mĂŠtodo A el ĂĄrea del siguiente polĂ­gono. 

N1=100 N2=60 N3=30 N4=50 

E1=100 E2=70 E3=50 E4=20

178

$%6***,'0


Capitulo 8: CĂĄlculos 2 $ = 100(70 â&#x2C6;&#x2019; 20 )+ 60(50 â&#x2C6;&#x2019; 100 ) + 30(20 â&#x2C6;&#x2019; 70 )+ 50(100 â&#x2C6;&#x2019; 50 ) = 5000 â&#x2C6;&#x2019; 3000 â&#x2C6;&#x2019; 1500 + 2500 = 3000 â&#x2021;&#x2019; $=

3000 = 1500 XQLGDGHV GH iUHD 2

0pWRGRGHFRRUGHQDGDVSRODUHV 

Es un mĂŠtodo que nos permite calcular el ĂĄrea de un polĂ­gono, que se ha radiado desde un mismo punto, sin necesidad de determinar las coordenadas para aplicar el mĂŠtodo de gauss.

En la )LJ  se puede ver el polĂ­gono 1 2 3 4, y las radiaciones a cada uno de los vĂŠrtices, las cuales en el dibujo forman un triĂĄngulos, asĂ­ para obtener el ĂĄrea de el polĂ­gono, se obtienen la ĂĄreas de cada uno de los triĂĄngulos (O12, O23, O34) se suman y luego se la resta la del ĂĄngulo O14 que se encuentra marcado con rojo.

0pWRGRGHORVWUDSHFLRV

)LJXUD



Este se emplea cuando se necesita determinar en un plano el ĂĄrea de una figura cuya lĂ­nea de contorno es una lĂ­nea curva como la que vemos en la figura. Para lograr tal fin se divide la lĂ­nea de levantamiento en un cierto nĂşmero de pequeĂąos intervalos de iguales longitudes KL y unas lĂ­neas perpendiculares formando cada par de ellas trapezoides de los cuales podemos hallar el ĂĄrea.

)LJXUD

Para simplificar el trabajo del cĂĄlculo de toda la figura se utiliza la siguiente formula:

$=

K (\1 + 2 \ 2 + 2 \ 3 + ... + \ 2 L

Q

)

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 179


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ 0pWRGRGHVLPSVRQ 

Este metodo tambiĂŠn conocido como regla de simpson, se utiliza cuando se emplea para calcular el ĂĄrea con mayor precisiĂłn de de figuras con contorno irregular. En esta procedimiento se hace la suposiciĂłn que el contorno de la figura estĂĄ compuesto por una serie de arcos parabĂłlicos, asĂ­ pues que la figura debe ser dividida en un nĂşmero par de franjas (YHUILJ .

)LJXUD

Para determinar el ĂĄrea de toda la figura se aplica la siguiente formula:

$=

K ([ + 22 + 4H ) 3

Donde: [ es la suma de la primera y la ultima perpendiculares (\\Q ). O es la suma de las perpendiculares impares restantes.  Hde las perpendiculares pares. 

2PLVLyQGHGDWRVHQXQDSROLJRQDO

Se puede presentar ocasionalmente, al realizar el levantamiento de un polĂ­gono cerrado, que no es posible tomar todos los datos de campo o se olvido tomar datos; las soluciones se basan en que el polĂ­gono debe cerrarse forzosamente. Este problema puede resolverse si los datos omitidos se reducen a: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Longitud y rumbo de un lado. Longitud de un lado y rumbo de otro. Longitud de dos lados. Rumbo de dos lados.

La desventaja de este mĂŠtodo radica en que no existe comprobaciĂłn de las medidas restantes es decir, hay que suponer que los valores de campo no estĂĄn afectados por valores de ninguna clase. A continuaciĂłn se explican la soluciĂłn a problemas para cada uno de los casos:

1

Tomado de los Apuntes sobre cĂĄlculos de Gilberto GĂłmez GĂłmez.

180

$%6***,'0


Capitulo 8: CĂĄlculos 'HVFRQRFLGDODORQJLWXG\HOUXPERGHXQODGR /$'2 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/21*,78' 417.26 219.78 Omitida 318.25 551.40

580%2 S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W Omitida N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

6ROXFLyQ

a). Se calculan las proyecciones de los lados conocidos. b). Se determina el 16 y el (:. c). Se determina el error de cierre con la formula que se vio anteriormente, ĂŠste valor equivale a la distancia omitida 3-4. d). Se determina la direcciĂłn de la lĂ­nea de cierre, equivaliendo esta direcciĂłn al rumbo del lado omitido. /DGR 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/RQJLWXG 417.26 219.78

5XPER S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W

318.25 551.40

N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

16 = 301.77 (: 220.31 Ec = (301.77) 2 + ( â&#x2C6;&#x2019;220.31) 2 =   tan R =

30 -79.61 -187.89 18.04 551.23 30 = 301.77

33 -409.58 -114.02 317.74 -14.45 33 -220.31

139601.63 = 373.63 â&#x2021;&#x2019; Ec = 373.63 â&#x2021;&#x2019; /RQJLWXGGH

- 220.31 = - 0.7300 â&#x2021;&#x2019; R = 36Âş 08â&#x20AC;&#x2122; â&#x2021;&#x2019; 5 6Â&#x17E;Âś( + 301.77

Por el signo de la tangente nos damos cuenta que el rumbo de la lĂ­nea 3-4 es SE o NW (tangente negativa en el 2Âş y el 4Âş cuadrante); puesto que las proyecciones Sur son menores que las Nortes, entonces el rumbo de la lĂ­nea es SE.

'HVFRQRFLGDODORQJLWXGGHXQODGR\HOUXPERGHRWUR En este tipo de problemas se pueden presentar dos casos: 1. Los datos omitidos son de dos lados consecutivos. 2. Los datos omitidos son de dos lados no consecutivos.

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 181


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ &DVR

/$'2 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/21*,78' 417.26 219.78 374.63 Omitida 551.40

580%2 S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W Omitida N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

6ROXFLyQ a). Se calculan las proyecciones de los lados conocidos. b). Se determina el 16 y el (:. c). Se determina el error de cierre y la direcciĂłn de esa lĂ­nea. d). Con Los datos obtenidos, el rumbo conocido y la longitud conocida se construye un triangulo que puede resolverse completamente por trigonometrĂ­a. (Ley de Senos) e). Se analizan los resultados obtenidos para determinar el rumbo del lado de la direcciĂłn desconocida. /DGR 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/RQJLWXG 417.26 219.78 374.63

5XPER S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

551.40

30 -79.61 -187.89

551.23 30 = 283.73

33 -409.58 -114.02

-14.45 33 -538.05

16 = 283.73 (: 538.05 Ec = ( 283.73) 2 + ( â&#x2C6;&#x2019;538.05) 2  tan R =



=

370000.52 = 608.28 â&#x2021;&#x2019; /RQJLWXGGHOtQHDDX[LOLDU 

538.05 = - 1.8963 â&#x2021;&#x2019; R = 62Âş 12â&#x20AC;&#x2122; â&#x2021;&#x2019; 5 1Â&#x17E;Âś:R6Â&#x17E;Âś( 283.73

182

$%6***,'0


Capitulo 8: Cรกlculos

)LJXUD

Por inspecciรณn puede determinarse que el rumbo de la lรญnea determinar el triรกngulo es: L = 608.28

es SE; la lรญnea auxiliar para

R= S62ยบ12โ€™E 

)LJXUD

Az linea auxiliar = 180ยบ - 62ยบ12โ€™ = 117ยบ 48โ€™ = 117ยบ 48โ€™ โ€“ 86ยบ 45โ€™ = 31ยบ 03โ€™

374.63 608.28 VHQ31ยบ 03โ€™ร—608.28 = โ‡’ sen = = 0.8375 sen31ยบ03' VHQฮฒ 374.63 ยบ 53โ€™

Puesto que el รกngulo

HVPD\RUGHยบ โ‡’ el รกngulo

 = 180ยบ - (31ยบ 03โ€™ + 123ยบ 07โ€™) โ‡’ = 25ยบ 50โ€™

ยบ- 56ยบ 53โ€™ = 123ยบ 07โ€™

(4 - 5) 374.63 0.4358 ร— 374.63 = โ‡’ (4-5) = = 316.52 sen25ยบ50' VHQ31ยบ 03โ€™ 0.5158 Longitud (4-5) = 316.52 Az lรญnea auxiliar = 360ยบ - 62ยบ 12โ€™ = 297ยบ 48โ€™ Az (4- 3) = 297ยบ 48โ€™ +25ยบ 50โ€™ = 323ยบ 38โ€™

Universidad del Quindรญo_____________________________________________________ 183


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ R (4-3) = 360Âş - 323Âş 38â&#x20AC;&#x2122; = 36Âş 22â&#x20AC;&#x2122; â&#x2021;&#x2019; R (4-3) = N 36Âş 22â&#x20AC;&#x2122; W Al observar el cuadro de las proyecciones calculadas, nos podemos dar cuenta que el rumbo (3-4) debe ser SE para poder balancear las proyecciones N con las proyecciones S y las proyecciones E con las proyecciones W. Entonces en definitiva: 5   6Â&#x17E;Âś( /RQJLWXG    &DVR

/$'2 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/21*,78' Omitido 219.78 374.63 318.25 551.40

580%2 S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W S 36Âş15â&#x20AC;&#x2122; E Omitido N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

6ROXFLyQ a).Lo mismo que el caso anterior y el triĂĄngulo se forma haciendo caso omiso de que los lados desconocidos no son adyacentes. /DGR 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/RQJLWXG 219.78 374.63 318.25 551.40

16 = 61.24 (: 93.05 Ec = (61.24) 2 + (93.05) 2 = tan R =

5XPER S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W S 36Âş15â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

30

33

-187.89 -302.10

-114.02 221.52

551.23 30 = 61.24

-14.45 33 93.05

12408.64 = 111.39 â&#x2021;&#x2019; /RQJLWXGGHOtQHDDX[LOLDU 

93.05 = 1.5194 â&#x2021;&#x2019; R LĂ­nea auxiliar = S 56Âş 39â&#x20AC;&#x2122; W 61.24

Se construye el triĂĄngulo con los datos conocidos: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

R lĂ­nea auxiliar = S 56Âş 39â&#x20AC;&#x2122; W L lĂ­nea auxiliar = 111.39

184

$%6***,'0


Capitulo 8: CĂĄlculos â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

R (AB) = S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W L (BC) = 318.25

)LJXUD

R lĂ­nea auxiliar = S56Âş 39â&#x20AC;&#x2122; W â&#x2021;&#x2019; Az lĂ­nea auxiliar = 236Âş39â&#x20AC;&#x2122; Az (AB) = 259Âş 00â&#x20AC;&#x2122; Âş00â&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; 236Âş39â&#x20AC;&#x2122; = 22Âş 21â&#x20AC;&#x2122;

318.25 111.39 0.3803 Ă&#x2014; 111.39 = â&#x2021;&#x2019; sen = = 0.1333 â&#x2021;&#x2019; = 7Âş 39â&#x20AC;&#x2122; sen22Âş21' VHQβ 318.25 = 180Âş - (7Âş 39â&#x20AC;&#x2122; + 22Âş 21â&#x20AC;&#x2122;) â&#x2021;&#x2019; = 150Âş

$% 318.25 318.25 Ă&#x2014; 0.500 = â&#x2021;&#x2019; AB = = 418.40 VHQ150Âş VHQ 22Âş 21â&#x20AC;&#x2122; 0.3803 Longitud (AB) = 418.40 Az lĂ­nea auxiliar = 236Âş 39â&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; 180Âş = 56Âş 39â&#x20AC;&#x2122; Az (CB) = (56Âş39â&#x20AC;&#x2122;+360Âş) -

Âş 39â&#x20AC;&#x2122;

No sabemos si la lĂ­nea es (CB) o (BC) es decir Az (CB)= 266Âş39â&#x20AC;&#x2122; o Az (BC)= 266Âş 39â&#x20AC;&#x2122; â&#x2021;&#x2019; R (CB) = S 86Âş39â&#x20AC;&#x2122; W o R (BC) = N 86Âş39â&#x20AC;&#x2122; E Puesto que (AB) tiene un rumbo SW â&#x2021;&#x2019; PM (AB) = 418.40 Ă&#x2014; 0.1908 = 79.83 â&#x2021;&#x2019; al realizar de nuevo la sumatoria de PM nos da un resultado de -18.59 lo que nos indica que el valor de la proyecciĂłn que falta debe ser positivo por lo tanto el rumbo es NE para balancear las proyecciones. En Definitiva: /RQJLWXG $%   5 %&  1Â&#x17E;Âś( 

Universidad del QuindĂ­o_____________________________________________________ 185


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ 'HVFRQRFLGDODORQJLWXGGHGRVODGRV Para este tambiĂŠn se presentan dos casos: 1. Los datos omitidos son los de dos lados consecutivos 2. Los datos omitidos son los de dos lados no consecutivos &DVR /$'2 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/21*,78' 417.26 Omitida Omitida 318.25 551.40

580%2 S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W S36Âş 15â&#x20AC;&#x2122;E N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

6ROXFLyQ a). Se calculan las proyecciones de los lados conocidos. b). Se determina el 16 y el (:. c). Se determina el error de cierre y la direcciĂłn de esa lĂ­nea. d). Con los datos obtenidos se construye un triangulo (lĂ­nea auxiliar de direcciĂłn dada, y dos lĂ­neas de direcciĂłn conocida), que se puede resolver por Ley de Senos. /DGR 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/RQJLWXG 417.26

318.25 551.40

5XPER S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W S 31Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W S 36Âş 15â&#x20AC;&#x2122; E N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

30 -79.61

18.04 551.23 30 = 489.66

16 = 489.66 (: -106.29 Ec = ( 489.66) 2 + (106.295) 2 =  tan R =

33 -409.58

251064.48 = 501.06 â&#x2021;&#x2019;

317.74 -14.45 33 

/RQJLWXG GH OtQHD DX[LOLDU

â&#x2C6;&#x2019; 106.29 = -0.2117 â&#x2021;&#x2019; R LĂ­nea auxiliar = S 12Âş 15â&#x20AC;&#x2122; E Ăł N 12Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W â&#x2021;&#x2019; 489.66

R LĂ­nea auxiliar = S 12Âş 15â&#x20AC;&#x2122; E

186

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos

)LJXUD

)LJXUD

Az Línea auxiliar = 180º - 12º 15’ = 167º 45’ ⇒ Az Línea auxiliar = 167º 45’ Az (2-3) = 180º +31º 15’ = 211º 15’ ⇒ Az (2-3) = 211º 15’ Az (3-4) = 180º - 36º 15’ = 143º 45’ ⇒ Az (3-4) = 143º 45’ $z (2-3) – Az Línea auxiliar = 211º 15’ - 167º 45’ = 43º 30’ ⇒

$] -4) – Az (3-2) = 143º 45’ – (211º 15’ – 180º) = 112º 30’ ⇒

º 30’

º 30’

$]/ínea auxiliar – Az (4-3) = (167º 45’ + 180º) – (143º 45’ + 180º) = 24º 00’ ⇒

º 00’

501.06 (2 − 3) 0.4067 [501.06 = ⇒ (2-3) = ⇒ L (2-3) = 220.56 VHQ112º30’ VHQ 24º 00’ 0.9239 (3 − 4) 501.06 501.06 [0.6884 = ⇒ (3-4) = ⇒ L (3-4) = 373.34 VHQ 43º30’ VHQ112º30’ 0.9223 En Definitiva:

/RQJLWXG    /RQJLWXG   

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 187


Planimetrรญa________________________________________________________________ &DVR

/$'2 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

6ROXFLyQ

/21*,78' 417.26 219.78 Omitido 318.25 Omitido

580%2 S 79ยบ 00โ€™ W S 31ยบ 15โ€™ W S 36ยบ15โ€™ E N 86ยบ45โ€™ E N 01ยบ 30โ€™ W

a).Lo mismo que el caso anterior, haciendo caso omiso a que los lados desconocidos no son consecutivos. /DGR 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/RQJLWXG 417.26 219.78 318.25

5XPER S 79ยบ 00โ€™ W S 31ยบ 15โ€™ W S 36ยบ15โ€™ E N 86ยบ 45โ€™E N 01ยบ 30โ€™ W

30 -79.61 -187.89

33 -409.58 -114.02

18.04

317.74

30 = -249.46

33 -205.86

16 = -249.46 (: -205.86 Ec = ( 249.46) 2 + ( 205.86) 2 = tan R =

104608.63 = 323.43 โ‡’ /RQJLWXGGHOtQHDDX[LOLDU 

โˆ’ 205.86 = 0.8252 โ‡’ R Lรญnea auxiliar = N 39ยบ 32โ€™ E รณ S 39ยบ 32โ€™ W โ‡’ โˆ’ 249.46

R Lรญnea auxiliar = N 39ยบ 32โ€™ E

)LJXUD

Se construye el triรกngulo con los siguientes datos:

188

$%6***,'0


Capitulo 8: Cรกlculos โ€ข โ€ข โ€ข

L Lรญnea auxiliar = 323.43; R Lรญnea auxiliar = N 39ยบ 32โ€™ E R (3-4) = S 36ยบ 15โ€™ E R (5-1) = N 01ยบ 30โ€™ W

)LJXUD

Az (5-1) = 360ยบ - 01ยบ 30โ€™ โ‡’ Az (5-1) = 358ยบ 30โ€™ Az (1-5) = 358ยบ 30โ€™ โ€“ 180ยบ โ‡’ Az (1-5) = 178ยบ 30โ€™ Az Lรญnea auxiliar = 39ยบ 32โ€™ CAz Lรญnea auxiliar = 39ยบ 32โ€™ + 180ยบ โ‡’ CAz Lรญnea auxiliar = 219ยบ 32โ€™ Az (3-4) = 180ยบ - 36ยบ 15โ€™ โ‡’ Az (3-4) = 143ยบ 45โ€™ Az (4-3) = 143ยบ 45โ€™ + 180ยบ โ‡’ Az (4-3) = 323ยบ 45โ€™ &$]/รญnea auxiliar โ€“ Az (1-5) = 219ยบ 32โ€™ โ€“ 178ยบ 30โ€™ = 41ยบ 02โ€™ โ‡’ $] -4) โ€“ Az Lรญnea auxiliar = 143ยบ 45โ€™ โ€“ 39ยบ 32โ€™ = 104ยบ 13โ€™ โ‡’ $] -1) โ€“ Az (3-4) = 358ยบ 30โ€™ โ€“ 323ยบ 45โ€™ = 34ยบ 45โ€™

โ‡’

323.43 ร— 0.6565 323.43 (3 โˆ’ 4 ) โ‡’ (3-4) = = sen34ยบ45' VHQ 41ยบ 02โ€™ 0.5700 323.43 (5 โˆ’ 1) = sen34ยบ45' VHQ104 ยบ13โ€™

โ‡’ (5-1) =

323.43 ร— 0.9694 0.5700

ยบ 02โ€™ ยบ 13โ€™

ยบ 45โ€™ โ‡’ L (3-4) = 372.51

โ‡’ L (5-1) = 550.05

Universidad del Quindรญo_____________________________________________________ 189


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ En Definitiva: /RQJLWXG    /RQJLWXG   

'HVFRQRFLGRVORVUXPERVGHGRVODGRV Para este tambiĂŠn se presentan dos casos: 1. Los datos omitidos son los de dos lados consecutivos 2. Los datos omitidos son los de dos lados no consecutivos &DVR

/$'2 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/21*,78' 417.26 219.78 374.63 318.25 551.40

580%2 S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W Omitida Omitida N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

6ROXFLyQ a). b), c) y d) como los casos anteriores. e). Con todos los datos obtenidos se analizan todos los posibles triĂĄngulos soluciĂłn del problema. /DGR 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/RQJLWXG 417.26 219.78 374.63 318.25 551.40

5XPER S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W

N 86Âş 45â&#x20AC;&#x2122; E N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

16 = 489.66 (: -106.29 Ec = ( 489.66) 2 + (106.29) 2 = tan R =

30 -79.61

18.04 551.23 30 = 489.66

33 -409.58

317.74 -14.45 33 -106.29

251064.48 = 501.06 â&#x2021;&#x2019; /RQJLWXGGHOtQHDDX[LOLDU 

â&#x2C6;&#x2019; 106.29 = -0.2171 â&#x2021;&#x2019; R LĂ­nea auxiliar = S 12Âş 15â&#x20AC;&#x2122; E Ăł N 12Âş 15â&#x20AC;&#x2122; W â&#x2021;&#x2019; 489.66

R LĂ­nea auxiliar = S 12Âş 15â&#x20AC;&#x2122; E Elementos para construir el triĂĄngulo:

190

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos

• • •

Longitud Línea auxiliar = 501.06; R Línea auxiliar = S 12º 15’ E Longitud (2-3) = 219.78 Longitud (3-4) = 374.63

)LJXUD

)LJ D 

)LJ E 

)LJ F 

)LJ G 

Para la construcción del triángulo cualquiera de las 4 posibilidades que existen, satisfacen las condiciones de acuerdo a los datos; en todos los casos los ángulos van a tomar el mismo valor (congruencia de triángulos), los cuales van a diferir en el cuadrante (el Rumbo), de acuerdo a la posición que se les de dentro de los cuadrantes. Por el análisis del cuadro de proyecciones o por comprobación de los valores podemos obtener la verdadera dirección de los lados. Asumimos la posibilidad (a) • • • •

Longitud Línea auxiliar = 501.06 R Línea auxiliar = S 12º 15’ E Longitud (2-3) = 219.78 Longitud (3-4) = 374.63

 Ley de Cósenos: a2 = b2 + c2 – 2bc x cos

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 191


Planimetrรญa________________________________________________________________ a2 = (219.78)2 = 48303.25 b2 = (501.06)2 = 251061.12 c2 = (374.63)2 = 140347.64 FRV โ‡’ FRV FRV โ‡’ FRV FRV โ‡’ FRV

D 2 โˆ’ E2 โˆ’ F2 48303.25 โˆ’ 251061.12 โˆ’ 140347.64 โˆ’ 343105.51 = = = 0.9139 โˆ’ 2EF โˆ’ 2 ร— 501.06 ร— 374.63 โˆ’ 375424.22 โ‡’

ยบ 57โ€™

E2 โˆ’ D2 โˆ’ F2 251061.12 โˆ’ 48303.25 โˆ’ 140347.64 + 62140.23 = = = -0.3790 โˆ’ 2DF โˆ’ 2 ร— 219.78 ร— 374.63 โˆ’ 164672.36 -0.3790 โ‡’

ยบ 16โ€™

F2 โˆ’ D2 โˆ’ E2 140347.64 โˆ’ 48303.25 โˆ’ 251061.12 โˆ’ 159016.73 = = = 0.7220 โˆ’ 2DE โˆ’ 2 ร— 219.78 ร— 501.06 โˆ’ 220245.93 โ‡’

ยบ 47โ€™

De acuerdo al grafico (a) Az Lรญnea auxiliar = 180ยบ - 12ยบ 15โ€™ โ‡’ Az Lรญnea auxiliar =167ยบ 45โ€™ Az (3-4) = Az Lรญnea auxiliar + ยบ 45โ€™ + 23ยบ 57โ€™ โ‡’ Az (3-4) = 191ยบ 42โ€™ R (3-4) = 191ยบ 42โ€™ โ€“ 180ยบ = 11ยบ 42โ€™ โ‡’ R (3-4) = S 11ยบ 42โ€™ W R (4-3) = N 11ยบ 42โ€™ E โ‡’ Az (4-3) = 11ยบ 42โ€™ Az (2-3) = Az (4-  ยบ 42โ€™ + 112ยบ 16โ€™ โ‡’ Az (2-3) = 123ยบ 58โ€™ R (2-3) = 180ยบ - 123ยบ 58โ€™ = 56ยบ 02โ€™ โ‡’ R (2-3) = S 56ยบ 02โ€™ E R (2-3): S 56ยบ 02โ€™ E รณ N 56ยบ 02โ€™ W R (3-4): N 11ยบ 42โ€™ E รณ S 11ยบ 42โ€™ W De acuerdo con el grafico (b) Az (2-3) = Az Lรญnea auxiliar + ยบ 45โ€™ + 43ยบ 47โ€™ โ‡’ Az (2-3) = 211ยบ 32โ€™ Az (3-2) = 211ยบ 32โ€™ โ€“ 180ยบ = 31ยบ 32โ€™ โ‡’ Az (3-2) = 31ยบ 32โ€™ ยบ 32โ€™ + 112ยบ 16โ€™ โ‡’ Az (3-4) = 143ยบ 48โ€™ Az (3-4) = Az (3-  R (2-3) = 211ยบ 32โ€™ - 180ยบ = 31ยบ 32โ€™ โ‡’ R (2-3) = S 31ยบ 32โ€™ W R (3-4) = 180ยบ - 143ยบ 48โ€™ = 36ยบ 12โ€™ โ‡’ R (3-4) = S 36ยบ 12โ€™ E R (2-3): N 31ยบ 32โ€™ E รณ S 31ยบ 32โ€™ W R (3-4): S 36ยบ 12โ€™ E รณ N 36ยบ 12โ€™ W

192

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos De acuerdo con el grafico (c) Az (3-4) = Az Línea auxiliar - º 45’ - 23º 57’ ⇒ Az (3-4) = 143º 48’ Az (4-3) = 143º 48’ + 180º = 323º 48’ ⇒ Az (4-3) = 323º 48’ Az (3-2) = Az (4-3) - º 48’ - 112º 16’ ⇒ Az (3-2) = 211º 32’ Az (2-3) = 211º 32’ - 180º = 31º 32’ ⇒ Az (2-3) = 31º 32’ R (3-4) = 180º - 143º 48’ = 36º 12’ ⇒ R (3-4) = S 36º 12’ E R (2-3): N 31º 32’ E ó S 31º 32’ W R (3-4): S 36º 12’ E ó N 36º 12’ W

De acuerdo con el grafico (d) Az (2-3) = Az Línea auxiliar -

º 45’ - 43º 47’ ⇒ Az (2-3) = 123º 58’

Az (3-2) = 123º 58’ + 180º = 303º 58’ ⇒ Az (3-2) = 303º 58’ Az (3-4) = Az (3-2) - º 58’ - 112º 16’ ⇒ Az (3-4) = 191º 42’ R (2-3) = 180º - 123º 58’ = 56º 02’ ⇒ R (2-3) = S 56º 02’ E R (3-4) = 191º 42’ - 180º = 11º 42’ ⇒ R (3-4) = S 11º 42’ W R (3-2): S 56º 02’ E ó N 56º 02’ W R (3-4): N 11º 42’ E ó S 11º 42’ W Entonces las posibilidades se reducen a:

Rumbo (3-2) S 56º 02’ E N 56º 02’ W N 31º 32’ E S 31º 32’ W

Rumbo (3-4) N 11º 42’ E S 11º 42’ W S 36º 12’ E N 36º 12’ W

Observando el cuadro de proyecciones, podemos darnos cuenta que la suma de proyecciones N es mayor que la suma de proyecciones S, asumimos entonces que los rumbos deben ser S; las posibilidades se reducen entonces a: R (2-3): S 56º 02’ E ó S 31º 32’ W R (3-4): S 11º 42’ W ó S 36º 12’ E Longitud (2-3) = 219.78

Longitud (3-4) = 374.63

La diferencia entre las proyecciones E y W es de 106.29 siendo mayor las proyecciones W, podemos entonces decir: Para obtener las proyecciones sobre el paralelo necesitamos el seno del rumbo.

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 193


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ VHQ56Âş 02â&#x20AC;&#x2122;Ă&#x2014;219.78 = 0.8294 Ă&#x2014; 219.78 = +182.28 VHQ31Âş32â&#x20AC;&#x2122;Ă&#x2014;219.78 = 0.5230 Ă&#x2014; 219.78 = â&#x2C6;&#x2019;114.94 VHQ11Âş 42â&#x20AC;&#x2122;Ă&#x2014;374.63 = 0.2028 Ă&#x2014; 374.63 = â&#x2C6;&#x2019;75.97 VHQ36Âş12â&#x20AC;&#x2122;Ă&#x2014;374.63 = 0.5906 Ă&#x2014; 374.63 = +221.26 +182.28 â&#x20AC;&#x201C; 75.97 = +106.31 (1) +182.28 + 221.26 = +403.54 -114.94 â&#x20AC;&#x201C; 75.97 = -190.91 -114.94 + 221.26 = -106.32 (4 )

(D )

y (G ) satisfacen la condiciĂłn que la diferencia de proyecciones vale 106.31, entonces la soluciĂłn puede ser: Rumbo (2-3) = S 56Âş 02â&#x20AC;&#x2122; E y Rumbo (3-4) = S 11Âş 42â&#x20AC;&#x2122; W Ăł Rumbo (2-3) = S 31Âş 32â&#x20AC;&#x2122; W y Rumbo (3-4) = S 36Âş 12â&#x20AC;&#x2122; E El grĂĄfico serĂ­a entonces

)LJXUD

Para poder determinar la verdadera soluciĂłn necesitamos conocer una condiciĂłn adicional, tal como (2-3) direcciĂłn SE, etc. &DVR /$'2 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/21*,78' 417.26 219.78 374.63 318.25 551.40

194

580%2 S 79Âş 00â&#x20AC;&#x2122; W Omitida S 36Âş 15â&#x20AC;&#x2122; E Omitida N 01Âş 30â&#x20AC;&#x2122; W

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos 6ROXFLyQ a). b), c) y d) como los casos anteriores. e). Con todos los datos obtenidos se analizan todos los posibles triángulos solución del problema. /DGR 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1

/RQJLWXG 417.26 219.78 374.63 318.25 551.40

5XPER S 79º 00’ W

30 -79.61

33 -409.58

S 36º 15’ E

-302.10

221.52

N 01º 30’ W

551.23 30 = 169.52

-14.45 33 

16 = 169.52 (: -202.51 Ec = (169.52) 2 + ( 202.51) 2 = tan R =

69747.33 = 264.10 ⇒ /RQJLWXGGHOtQHDDX[LOLDU 

− 202.51 = -1.1946 ⇒ R Línea auxiliar = S 50º 04’ E ó N 50º 04’ W 169.52

Elementos para construir el triángulo Longitud Línea auxiliar = 264.10 Rumbo Línea auxiliar = S 50º 04’ E Longitud (2-3) = 219.78 Longitud (4-5) = 318.25



)LJXUD

Universidad del Quindío_____________________________________________________ 195


PlanimetrĂ­a________________________________________________________________

)LJXUD

)LJXUD

)LJXUD

)LJXUD

Calculamos los ĂĄngulos    SDUDODVSRVLELOLGDGHV (1) y (2 ), pues los valores se repiten para

(4) y (3) respectivamente como en el problema anterior.

Longitud (4-5) = a = 318.25 Longitud lĂ­nea auxiliar = b = 264.10 Longitud (2-3) = c = 219.78 Rumbo LĂ­nea auxiliar = S 50Âş 04â&#x20AC;&#x2122; E

)LJXUD

a2 = (219.78)2 = 48303.25 b2 = (501.06)2 = 251061.12 c2 = (374.63)2 = 140347.64 FRV â&#x2021;&#x2019; FRV FRV â&#x2021;&#x2019; FRV FRV â&#x2021;&#x2019; FRV

D 2 â&#x2C6;&#x2019; E2 â&#x2C6;&#x2019; F2 101283.06 â&#x2C6;&#x2019; 69748.81 â&#x2C6;&#x2019; 48303.25 â&#x2C6;&#x2019; 16769.00 = = = 0.1444 â&#x2C6;&#x2019; 2EF â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 264.10 Ă&#x2014; 219.78 â&#x2C6;&#x2019; 116087.80 â&#x2021;&#x2019;

Âş 42â&#x20AC;&#x2122;

E2 â&#x2C6;&#x2019; D2 â&#x2C6;&#x2019; F2 69748.81 â&#x2C6;&#x2019; 101283.06 â&#x2C6;&#x2019; 48303.25 â&#x2C6;&#x2019; 79837.50 = = = +0.5707 â&#x2C6;&#x2019; 2DF â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 318.25 Ă&#x2014; 219.78 â&#x2C6;&#x2019; 139889.97 â&#x2021;&#x2019;

Âş 12

F2 â&#x2C6;&#x2019; D2 â&#x2C6;&#x2019; E2 48303.25 â&#x2C6;&#x2019; 101283.06 â&#x2C6;&#x2019; 69748.81 â&#x2C6;&#x2019; 122728.62 = = = +0.7301 â&#x2C6;&#x2019; 2DE â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 318.25 Ă&#x2014; 264.10 â&#x2C6;&#x2019; 168099.65 â&#x2021;&#x2019;

Âş 06â&#x20AC;&#x2122;

196

$%6***,'0


Capitulo 8: Cálculos Az Línea auxiliar = 180º - 50º 04’ ⇒ Az Línea auxiliar = 129º 56’ Az (2-3) = Az Línea auxiliar + º 56’ + 81º 42’ ⇒ Az (2-3) = 211º 38’ Az Línea auxiliar = 129º 56’ + 180º = 309º 56’ ⇒ CAz Línea auxiliar = 309º 56’ Az (5-4) = CAz línea auxiliar –

º 56’ – 43º 06’ ⇒ Az (5-4) = 266º 50’

Rumbo (2-3) = 211º 38’ – 180º ⇒ Rumbo (2-3) = S 31º 38’ W ó N 31º 38’ E Rumbo (5-4) = 266º 50’ – 180º ⇒ Rumbo (5-4) = S 86º 50’ W ó N 86º 50’ E (QWRQFHV Rumbo (2-3) = N 31º 38’ E ó S 31º 38’ W Rumbo (5-4) = N 86º 50’ E ó S 86º 50’ W

)LJXUD

= 81º 42’ = 55º 12 = 43º 06’ Az Línea auxiliar = 129º 56’ Az (2-3) = Az Línea auxiliar – CAz Línea auxiliar = 309º 56’ Az (5-4) = CAz Línea auxiliar +

º 56’ – 81º 42’ ⇒ Az (2-3) = 48º 14’ 309º 56’ + 43º 06’ ⇒ Az (5-4) = 353º 02’

Rumbo (2-3) = N 48º 14’ E ó S 48º 14’ W Rumbo (5-4) = 360º - 353º 02’ ⇒ Rumbo (5-4) = N 06º 58’ W ó S 06º 58’ E (QWRQFHV Rumbo (2-3) = N 48º 14’ E ó S 48º 14’ W Rumbo (5-4) = N 06º 58’ W ó S 06º 58’ E

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PlanimetrĂ­a________________________________________________________________ Las posibilidades para los rumbos de (2-3) y (5-4) son: Rumbo (2-3) N 31Âş 38â&#x20AC;&#x2122; E S 31Âş 38â&#x20AC;&#x2122; W N 48Âş 14â&#x20AC;&#x2122; E S 48Âş 14â&#x20AC;&#x2122; W

Longitud (2-3) = 219.78

Rumbo (5-4) N 86Âş 50â&#x20AC;&#x2122; E S 86Âş 50â&#x20AC;&#x2122; W Longitud (5-4) = 219.78 S 06Âş 58â&#x20AC;&#x2122; E N 06Âş 58â&#x20AC;&#x2122; W Analizando el cuadro de proyecciones podemos ver:

16 = 169.52 ( 3U1 â&#x152;Ş 3U6) (: -202.51 ( 3U: â&#x152;Ş 3U()

30 Distancia x cos R 33= Distancia x sen R 219.78 Ă&#x2014; cos 31Âş38â&#x20AC;&#x2122;= 219.78 Ă&#x2014; 0.8515 = Âą187.12 219.78 Ă&#x2014; cos 48Âş14â&#x20AC;&#x2122;= 219.78 Ă&#x2014; 0.6661 = Âą146.40 318.25 Ă&#x2014; cos 86Âş50â&#x20AC;&#x2122;= 318.25 Ă&#x2014; 0.0552 = Âą17.57 318.25 Ă&#x2014; cos 06Âş58â&#x20AC;&#x2122;= 318.25 Ă&#x2014; 0.9926 = Âą315.89 Las posibilidades son: +187.12 + 17.57 = +204.69 +187.12 + 315.89 = +503.01 +187.12 -17.57 = +169.55 (N y S) +187.12 â&#x20AC;&#x201C; 315.89 = -128.77 -187.12 + 17.57 = -169.55 (S y N) -187.12 + 315.89 = +128.77 -187.12 -17.57 = -204.69 -187.12 â&#x20AC;&#x201C; 315.89 = -128.77 16 = 169.52 â&#x2030;&#x2C6; 169.55 Entonces -187.12 y +17.57 son obtenidos con los Rumbos (2-3) = S 31Âş 38â&#x20AC;&#x2122; W y Rumbo (4-5) = N 86Âş 50â&#x20AC;&#x2122; E En definitiva: Rumbo (2-3) = S 31Âş 38â&#x20AC;&#x2122; W Rumbo (4-5) = N 86Âş 50â&#x20AC;&#x2122; E

198

$%6***,'0


*/26$5,2 Es de gran relevancia tener algunas definiciones de topografía muy claras como lo son: $OWLPHWUtDSe trata de dar la posición de puntos con respecto a su proyección del plano vertical o planos XZ o YZ. ÈQJXORSDUDOiFWLFR El formado por las direcciones de las visuales lazadas a un objeto desde dos puntos diferentes. $WUDFFLyQORFDO es la desviación con respecto al meridano magnético que se produce en la aguja imantada de la brújula debido a la presencia de conductores eléctricos aéreos, carrileras o acumulaciones de metal cercanas. $XPHQWR Es la relación entre el tamaño de la imagen y el tamaño del objeto M = i/o. Para un mismo diámetro de objeto, la luminosidad es tanto más débil cuanto más fuerte es el aumento, por tanto el diámetro del objetivo debe estar adaptado al telescopio. %U~MXOD La brújula tiene una aguja imantada apoyada en el centro sobre un pivote, que le permite girar libremente y se orienta por las fuerzas de atracción de los polos magnéticos de la tierra, indicando directamente la dirección norte sur.

&DPSRYLVXDO Es la sección de espacio objeto que se puede ver, con ayuda del sistema óptico, el campo visual es función de la distancia focal del objetivo y el diámetro del diafragma del retículo; la distancia focal es inversamente proporcional al campo visual para un diámetro de diafragma dado. &HQLW con origen en el centro de la Tierra, lugar al que apunta el vector normal a la superficie terrestre en un punto de observación &RQYHUVLyQGHXQLGDGHVPara pasar de unas unidades a otras ya sea en el mismo sistema o a otro sistema aplicando el método que veremos en el siguiente ejemplo. Si se desea pasar 1mm a su expresión en kilómetros

Universidad del Quindío_____________________________________________________


Planimetría________________________________________________________________ Pasar 1Hm a cm

Si queremos pasar de un sistema a otro solo tenemos que operar con las equivalencias que vimos .para entender mejor. A cuantas millas equivale un kilómetro:

Convertir 5dm a Millas:

'DWR hecho verificable sobre la realidad, un dato puede ser una medida, una ecuación o cualquier tipo de información que pueda ser verificada (en caso contrario se trataría de una creencia) 'HFOLQDFLyQ 0DJQpWLFD Es el ángulo formado por la desviación de la aguja de la brújula con respecto al meridiano del lugar. (VFXDGUDV Son instrumentos topográficos simples que se utilizan en levantamientos de Poca precisión para el trazado de alineaciones y perpendiculares. *HRGHVLDEstudia la superficie terrestre en grandes extensiones, teniendo en cuenta su curvatura o forma real. Esta a diferencia de la topografía trabaja con ángulos esféricos.



*HRORJtDCiencia que estudia las formas del globo terrestre y de la naturaleza de las materias que la componen y de formación. La geología encierra otras ciencias como la geotecnia, que toma la tierra como objeto de estudio interesándose por el comportamiento mecánico de la corteza terrestre sometida a cambios por esfuerzos, la Geomorfología que estudia la forma de la superficie terrestre preocupándose por sus relieves actuales y su evolución bajo la acción de la erosión, y la sismología que estudia el comportamiento sismológico de la tierra.



*HRPiWLFDEs la ciencia que se preocupa por la medida, representación, análisis, dirección, recuperación y despliegue de información espacial que describe los rasgos de la tierra y el ambiente, todo esto lo logra empleando las tecnologías para la toma de información como lo son la teledetección y los sistemas de información.  *36 acrónimo de JOREDOSRVLWLRQLQJV\VWHP, o sistema de localización global hace referencia a un sistema mediante el cual es posible estimar las coordenadas actuales de una estación en tierra mediante la recepción simultánea de señales emitidas por varios satélites (llamados en conjunto FRQVWHODFLyQ*36)

202

ABS, GGG, IDM


Glosario ,QFOLQDFLyQ 0DJQpWLFD Es la desviación que sufre la aguja de la brújula con respecto a la horizontal del lugar. ,QWHUSRODFLyQ estimación del valor de una variable en un punto a partir de otros datos próximos se entiende que el punto problema está dentro del rango de variación de los datos disponibles; en caso contrario se habla de extrapolación. La interpolación puede hacerse en un espacio de 1, 2 o más dimensiones. ,QWHUVHFFLyQGLUHFWD Medición de la distancia desde un extremo y la medición del ángulo desde el otro extremo. Los datos faltantes se pueden calcular mediante la generalización de la fórmula de Pitágoras ó la ley del coseno. ,QWHUVHFFLyQGHYLVXDOHV Medición de los dos ángulos medidos desde los extremos de la línea de referencia, lo cual se conoce también como base medida. Se conforma un triángulo, donde se conocen tres elementos: una distancia y dos ángulos, que mediante la aplicación de la ley de los senos pueden calcular las distancias desde los extremos de AB al punto P. ,QWHUYLVLELOLGDG propiedad de dos puntos en los que el vector que los une no está interrumpido por la superficie topográfica el punto origen del vector se denomina foco o punto de vista; el vector entre el foco y el punto objetivo se denomina línea visual. -DORQHVSon tubos de madera o aluminio, con un diámetro de 2.5cm y una longitud que varia de 2 a 3 m. Los jalones vienen pintados con franjas alternas rojas y blancas de unos 30 cm y en su parte final poseen una punta de acero.  /HYDQWDPLHQWRV Conjunto de operaciones requeridas para obtener la posición de puntos, a partir de la medición de distancias horizontales y verticales; con referencia a otros cuya posición ya ha sido determinada. /tQHDKRUL]RQWDOEs aquella línea que se encuentra contenida en un plano horizontal

/tQHD LQFOLQDGD Es aquella línea que se encuentra contenida en un plano inclinado o que está formando un ángulo con la vertical. /tQHDV ,VRJRQLFDV Son líneas sobre la superficie terrestre que tienen la misma declinación magnética. /tQHDYHUWLFDOEs la que sigue la dirección de la plomada, apuntando al centro de la tierra. Cuando trabajamos en planimetría se emplea una proyección ortogonal, lo que quiere decir que todas la líneas verticales son paralelas. /XPLQRVLGDG Es la relación entre la abertura (diámetro del orificio donde penetra la luz) y la luz que pasa a través de éste. 0HULGLDQRV DUELWUDULRV Cuando en un levantamiento topográfico no se tiene la orientación de ninguno de los anteriores meridianos y el trabajo a realizar no lo exigen, se puede adoptar cualquier línea como referencia para la medición todas las direcciones de las líneas que sean necesarias para hacer el levantamiento topográfico respectivo. El meridiano de referencia arbitrario puede ser la línea del punto inicial a una torre, un árbol o a cualquier otro detalle que se pueda materializar fácilmente en el campo.

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Planimetría________________________________________________________________ 0HULGLDQR*HRJUiILFR9HUGDGHUR Es una línea orientada a lo largo de los polos geográficos de la tierra y se determinan mediante observaciones astronómicas. Estos meridianos tienen permanentemente una orientación constante o fija. 0HULGLDQRV0DJQpWLFRV Son líneas orientadas en la dirección de los polos magnéticos de la tierra y es la dirección que da la brújula. La orientación de esta línea no es constante debido a que el polo norte magnético no tiene posición fija y se va desplazando lentamente a través del tiempo. El meridiano magnético sufre diferentes tipos de variaciones: Seculares (cada 300 años), anuales, diarias, irregulares y lunares. Las direcciones magnéticas son los que se determinan con ayuda de una brújula. 0LFUyPHWUR Sistema de nonio óptico

0LUDV Son reglas graduadas en metros y decímetros, generalmente fabricadas de madera, metal o fibra de vidrio. Usualmente, para trabajos normales, vienen graduadas con precisión de 1 cm y apreciación de 1 mm. Comúnmente, se fabrican con longitud de 4 m divididas en 4 tramos plegables para facilidad de transporte y almacenamiento. Se fabrican miras continuas de una sola pieza, con graduaciones sobre una cinta de material constituido por una aleación de acero y níquel, denominado ,19$5por su bajo coeficiente de variación longitudinal.

0RGHOR GLJLWDO GH HOHYDFLyQ 0'(  es una estructura numérica de datos que representa la distribución espacial de la altitud, y de la superficie del terreno. 0RGHOR GLJLWDO GH WHUUHQR 0'7  estructura numérica de datos que representa la distribución espacial de una variable cuantitativa se trata, por tanto, de un modelo digital que representa una propiedad cuantitativa topográfica (por ejemplo, elevación, pendiente) o no (temperatura de la superficie del terreno, reflectancia...)

204

ABS, GGG, IDM


Glosario 0~OWLSORV \ VXEP~OWLSORV Es frecuente que las unidades del S.I. resulten unas veces excesivamente grandes para medir determinadas magnitudes y otras, por el contrario, demasiado pequeñas. De ahí la necesidad de los múltiplos y los submúltiplos. Prefijos exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi cmili micro nano pico femto atto

Símbolo E P T G M K H D 6XEP~OWLSORV d c m µ n p f a

Equivalencia 1018 1015 1012 109 106 103 102 10 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

1RUWH *HRJUiILFR Es uno de los puntos sobre la superficie terrestre por donde pasa el eje del mundo; es el paralelo mas pequeño y tiene por coordenadas geográficas, longitud cualquiera y latitud 90º. 2UWRJRQDO perpendicular.

3LxyQ Rueda dentada que engrana con otra o con una cadena.

3ODQLPHWUtDQue se refiere a dar la posición de un punto con respecto al plano que se encuentra perpendicular a la vertical (plan horizontal) o plano XY. En planimetría las distancias con que se trabajan son horizontales igual que los ángulos, claro que en algunas ocasiones es necesario medir ángulos verticales y distancias inclinadas. 3ODQRPHULGLDQR Es toda superficie perpendicular al Ecuador, que contiene el eje del mundo. 3ORPDGD PHWiOLFD Instrumento con forma de cono, construido generalmente en bronce, con un peso que varia entre 225 y 500 gr, que al dejarse colgar libremente de la cuerda sigue la dirección de la vertical del lugar. 3ROLJRQDO En topografía debemos visualizar las poligonales como una sucesión de puntos (estaciones) que se encuentran ligadas entre si por ángulos y distancias. 

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Planimetría________________________________________________________________ 3ULVPD Cuerpo transparente limitado por dos caras que se cortan y que sirven para producir la reflexión, refracción y la descomposición de la luz. 5DGLDFLyQ Medición de un ángulo y una distancia tomados a partir de un extremo de la línea de referencia. 6LVWHPDV GH LQIRUPDFLyQ JHRJUiILFD sistema de gestión de bases de datos (SGBD) con herramientas específicas para el manejo de información espacial y sus propiedades los tipos de propiedades que un SIG debe poder analizar tanto independiente como conjuntamente son tres: métricas, topológicas y atributivas

7RSRJUDItD Ciencia que tiene por objeto de estudio la superficie terrestre, en cuanto a sus dimensiones y características, tiene por características que toma pequeñas extensiones de tierra y no tiene en cuenta la curvatura terrestre. La topografía se encarga de representar la realidad de un terreno en un sistema bidimensional (plano a escala) de la forma mas fiel posible. 

8QLGDGHV: Cuando medimos es necesario expresar dicha medida con una magnitud y una unidad que es la que nos indica cual fue el patrón de medida utilizado, así una magnitud es todo aquello que puede verse afectado por un valor, en un sistema de unidades. Los sistemas de unidades son agrupaciones de éstas que son establecidas como patrones de medidas, el más conocido es el Sistema Internacional SI que es implementado desde 1960 y es el que trataremos en éste libro y otras unidades de otros sistemas que son muy utilizadas en al vida diaria.

8QLGDGHVGHORQJLWXGLa unidad de longitud del sistema internacional es el metro, manejado con sus múltiplos u submúltiplos. Para ejemplificar: Un Milímetro (mm) es igual a 10-3 metros Un centímetro (cm) es igual a 10-2 metros

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Glosario Un Decámetro (Dm) es igual a 10 metros Un Megametro (Mm) es igual 106 metros Una vara es igual a 80cm Como se dijo antes existen otras unidades de otros sistemas que son muy empleadas en la vida diaria aunque no sean del SI veamos cuales son y las equivalencias de estas en S.I : Pulgada (in) = 2.54 cm Pie (ft) = 12 in o 30.48 cm Yarda (yd) = 3ft = 0.914 m Milla (M) = 1760 yd = 5280ft = 1609m 8QLGDGHVGHiUHDLa unidad de área (segunda potencia de la unidad de longitud) en el SI, es el metro cuadrado (m2). Para convertir unidades mayores a menores; se multiplica por 100, 10.000,1.000.000, etcétera. 

Al igual que en las unidades de longitud también existen otras unidades como: 5 dm² = 5 x 100 = 500 cm ² Para convertir unidades menores a mayores se divide entre 100, 10 000, 1 000 000, etcétera; entonces, 1 500 m² en dm² es: 1 500 m² = 1 500 ÷ 100 = 15 dm² Comúnmente se trabajan con otras unidades de área como lo son:

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Planimetría________________________________________________________________ Hectárea (Ha) = 10.000 m2 Cuadra o Plaza o Fanegada = 10.000 v2 Acre = 1/8 de M por 1/80 8QLGDGHVGHYROXPHQEs el metro cúbico y, por tanto, presentan tres dimensiones: largo, ancho y espesor, por ello las variaciones son de 103 en 103. Para convertir unidades menores a mayores y viceversa se sigue el mismo procedimiento, sólo que se divide o multiplica por 1000, 1.000 000, etcétera. Ejemplos, 5 dm³ a cm³ y 8 000 m³ a Dm³: 5 dm³ = 5 x 1 000 = 5 000 cm³ 8000 m³ = 8000 ÷ 1 000 = 8 Dm³ 

8QLGDGHV GH DQJXODUHV También conocidas como unidades de arco están relacionadas con los sistemas algebraicos. Según lo establecido por el SI el radian es la unidad básica de medida para un ángulo plano. 0DJQLWXG

1RPEUH

Ángulo plano

Vuelta

6tPEROR

5HODFLyQ 1 vuelta= 2 π rad

Grado

º

(π/180) rad

minuto de ángulo

'

(π /10800) rad

segundo de ángulo

"

(π /648000) rad

Un radian es un ángulo central subtendido por un arco que es igual al radio de un circulo para éste también encontramos submúltiplos. Milíradian = 1,0×10-3 rad Microradian = 1,0×10-6 rad De las unidades angulares encontramos otros sistemas como el sistema Sexagesimal en el que se trabajan con una división de circunferencia de 360 fracciones iguales, denominando a cada fracción como grado, cada grado dividido en 60 (minutos) y a su ves éste dividido en 60 (segundos), otro sistema es el centesimal en el cual se hace una división de 400 partes iguales llamadas grados centesimales y cada grado dividido en 100 minuto centesimal y cada minuto fraccionado en 100 segundos centesimales. Existe la posibilidad de hacer conversiones entre sistemas de medidas angulares empleando la siguiente proporción Para hacer conversión de unidades angulares se aplica la siguiente formula:

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ABS, GGG, IDM


Glosario

= Angulo expresado en radianes = Angulo expresado en gones = Angulo expresado en grados

9HFWRU Entidad geomĂŠtrica definida por una magnitud y un sentido.

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PLANIMETRIA