CONCEPT

D500

M1000

Het Egyptische en het Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een additief systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het totaal van de symbolen. In de tabel zie je de waarde van de Romeinse cijfersymbolen. Het getal 7 bijvoorbeeld wordt in het Romeinse systeem op de volgende manier weergegeven: VII. De waarde is de som van de verschillende symbolen (5 + 1 + 1 = 7).

Bij de Romeinen ontbrak een symbool voor 0; in hun systeem was hiervoor immers geen symbool nodig. Bij het weergeven van een getal in het Romein- se getalsysteem is de volgorde van de symbolen niet willekeurig. De symbolen met de grotere waarden staan links van de symbolen met een kleinere waarde.

Sinds de middeleeuwen is het nieuw-Romeins getalsysteem in gebruik, dat overigens niet goed is ingeburgerd. In dit systeem wordt naast het additieve principe gebruik gemaakt van het substractief principe: als een symbool met een kleinere waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, zoals bij IX, wordt de waarde van het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede symbool. IX is dus 9. Dit principe geldt echter alleen bij de volgende combinaties: I voor V of voor X, X voor L of voor C, en C voor D of voor M. Het getal 14 wordt in het oud-Romeinse getalsysteem geschreven als XIIII en in het nieuw-Romeinse getalsysteem als XIV. Overigens werden beide varianten niet consequent gebruikt. In het nieuw-Romeins werd het substractieprincipe niet altijd toegepast en in het oud-Romeins kwam het soms ook al voor.

Een andere afspraak was dat de cijfers V, L en D maar één keer voorkomen in een getal. In het zogenoemde modern-Romeins, varianten uit de laatste eeuwen, kom je wel notaties van getallen tegen als MIM en IC.

C B

Abacus

Om te rekenen gebruikten de Romeinen de abacus. Die heeft navolging gevonden bij verschillende andere volken. In sommige Aziatische landen wordt nog met een abacus gerekend, volgens vergelijkbare inwisselingsprincipes.

B

Rekenen in het Romeinse getalsysteem a CLVI + CXII b XII × CLVI

Rekenen met Romeinse getallen is erg bewerkelijk. Reken de volgende opgave maar eens uit, zonder de getallen om te schrijven naar ons decimale stelsel.

1.2.3 Andere talstelsels

Naast ons decimale (tientallig) stelsel komen in ons dagelijks leven ook andere talstelsels voor. Zo maken computers gebruik van het binair (tweetallig) en hexadecimaal (zestientallig) talstelsel. Het sexagesimaal (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem is de oorsprong van onze tijd- en hoekmeting. Deze talstelsels onderscheiden zich van het decimale talstelsel doordat ze een ander grondtal, oftewel een andere basis hebben. Zo kent het binaire talstelsel een tweetallige bundeling: alle getallen worden geschreven door slechts twee cijfersymbolen te gebruiken: 0 en 1. In het hexadecimale talstelsel is de basis zestien, in het octale stelsel acht en in het sexagesimale talstelsel zestig. Bij deze positiestelsels geldt dat de waarde van een positie een macht is van de basis van het talstelsel, of de basis nu 10, 2 of 60 is. Reken je met meerdere talstelsels tegelijk, dan wordt de basis van het talstelsel als een subscript achter het getal gezet om verwarring te voorkomen. Je noemt dit radixnotatie. Een voorbeeld hiervan is 34258. Bij de getallen in het tientallig stelsel wordt subscript 10 ook vaak weggelaten. Je rekent dat bijvoorbeeld op deze manier om naar het tientallig stelsel.

Uit de geschiedenis van tijdsindeling kleiner worden in stappen van tien. Tijdens de invoering van dit stelsel werd een dag verdeeld in tien uur, een uur in honderd minuten en een minuut in honderd seconden, waarmee het een tijdsindeling in het zestigtallig stelsel moest vervangen. De omschakeling naar een ander tijdssysteem is bijzonder ingrijpend. Zeker als je bedenkt dat alle klokken dan vervangen moeten worden. Het verhaal gaat dat deze verandering niet populair is geworden omdat klokken in die tijd nog een grote investering waren. Het nieuwe systeem is dan ook niet lang in gebruik geweest.

Bundelingsprincipe a Laat zien dat 25010 in het viertallig stelsel 33224 is. b Laat zien dat 25010 in het drietallig stelsel 100.0213 is.

Omrekenen a Hoeveel (tientallig) is het cijfer 5 in het zestallige getal 5316 waard? b Schrijf de decimale getallen 5310 en 10610 binair. c Schrijf de decimale getallen 5310 en 10610 octaal. d Beschrijf de relatie tussen je antwoorden bij b en c. e Schrijf de binaire getallen 100.1112 en 1.001.1102 decimaal. f Schrijf de binaire getallen 100.1112 en 1.001.1102 octaal. g Schrijf de octale getallen 5678 en 56708 decimaal. h Schrijf de octale getallen 67 en 107 hexadecimaal. i Schrijf het zestallige getal 10006 tientallig. j Schrijf het tientallige getal 100010 zestallig. Of: wat is het duizendste zestallige getal? k Schrijf het zestallige getal 10006 octaal. l Hoeveel is 3610 in het zestallige stelsel? m Hoeveel is 3610 in het tweetallige stelsel? n Hoeveel is 3610 in het achttallige stelsel? o Welk getal is het zestigtallige getal 123 in ons tientallige stelsel? p Welk getal is het zestigtallige getal 23 in ons tientallige stelsel? q Welk getal is het zestientallige getal 123 in ons tientallige stelsel? r Welk getal is het zestientallige getal 23 in ons tientallige stelsel?

CONCEPT

Rekenen in andere stelsels a Bereken 5 × 5 in het achttallige stelsel.

C C C 1 Hele getallen en bewerkingen b De cijfersymbolen in het hexadecimale stelsel zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, c Bereken binair: 1010 + 1101 1010 × 1101

9, A, B, C, D, E en F.

Bereken A + B.

C B B

rest bij deling samengesteld getal

Doordenkers a Zijn priemgetallen (zie paragraaf 1.3.2) geschreven in andere talstelsels ook priem? b Wat betekent in een willekeurig positiestelsel ‘achter een getal een 0 toevoegen’? c In welk talstelsel geldt: 1 10 = 0,1? d In welk talstelsel geldt 1 5 = 0,33333…?

1.3 Eigenschappen van getallen

Gehele getallen hebben verschillende bijzondere eigenschappen. Deze worden hieronder toegelicht.

ontbinden in factoren

B B

1.3.1 Deelbaarheid

We noemen een getal deelbaar door een ander getal als de deling ‘mooi’ uitkomt op een heel getal. Dat wil zeggen dat je geen rest overhoudt na de deling. Is een getal deelbaar door een ander getal dan zichzelf, ongelijk aan 1, dan noem je het getal een samengesteld getal. Oftewel: samengestelde getallen zijn positieve gehele getallen die géén priemgetal zijn. Het kleinste samengestelde getal is dus 4.

Je kunt een samengesteld getal schrijven als het product van getallen, bijvoorbeeld: 30 = 5 × 6 = 10 × 3 = 2 × 3 × 5. Je noemt dit ook wel ontbinden in factoren. Deelbaarheid gebruik je bijvoorbeeld bij het maken van groepjes van gelijke grootte in de gymles of het vereenvoudigen van breuken. Het is daarom handig als je snel kunt zien of een getal deelbaar is door een ander getal.

Deelbaar door 10