Deze herziene serie Reken-wiskundedidactiek speelt in op de hogere eisen die de Kennisbasistoets stelt aan de professionele gecijferdheid van studenten en houdt tegelijk voldoende rekening met al het overige dat in de Kennisbasis zit: didactiek, leerlijnen en differentiatie. Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen hebben van alles met elkaar te maken. Tegelijkertijd zijn ze ook verschillend van elkaar. Dit deel beschrijft deze domeinen in hun onderlinge samenhang. Aan bod komt vooral hoe je basisschoolkinderen greep kunt laten krijgen op deze pittige leerstof en hoe het rekenwiskundeonderwijs hen daarbij ondersteunt. De nadruk ligt op de groepen 5 tot en met 8.
R Rekenen-wiskunde
De driedelige serie Reken-wiskundedidactiek vormt een belangrijke bron voor aanstaande leraren basisonderwijs voor het vak Rekenen-wiskunde. De boeken zijn opgezet vanuit de domeinen van de Kennisbasis: hoe komen ze voor in de realiteit, om welke wiskunde(taal) gaat het en hoe kun je eraan werken in de basisschool. In elk deel is aandacht voor de globale theorie van het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde.
R Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Reken-wiskundedidactiek
Naast de boeken is er een ondersteunende website www.paborekenen.nl met o.a. docentenhandreikingen. De serie is ook beschikbaar via de Schooltas-app.
Marc van Zanten Jos van den Bergh Petra van den BromSnijders Ortwin Hutten
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Reken-wiskundedidactiek
Marc van Zanten Jos van den Bergh Petra van den Brom Snijders Ortwin Hutten
15303_Rekendidactiek_boek.indb 1
14-01-14 14:25
COLOFON
Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff is dé educatieve mediaspecialist en levert
auteurs Marc van Zanten Jos van den Bergh Petra van den Brom-Snijders Ortwin Hutten
educatieve oplossingen voor het Primair Onderwijs, Voortgezet
redactie Bataille Tekst Etc., Utrecht
ThiemeMeulenhoff haalt het beste uit élke student.
Onderwijs, Middelbaar Beroepsonderwijs en Hoger Onderwijs. Deze oplossingen worden ontwikkeld in nauwe samenwerking met de onderwijsmarkt en dragen bij aan verbeterde leeropbrengsten en individuele talentontwikkeling.
Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van
art direction Ineke de Graaff, Amsterdam
onze educatieve oplossingen:
opmaak binnenwerk Imago Mediabuilders, Amersfoort
ISBN 978 90 06 95537 8
ontwerp omslag en binnenwerk Studio Fraaj, Rotterdam
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2014
www.thiememeulenhoff.nl of via de Klantenservice 088 800 20 16
Tweede druk, eerste oplage, 2014
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden
beeld omslag Bade creatieve communicatie, Baarn
verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën,
illustraties hoofdstukopeningen Cor den Dulk
opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www. stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www. auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
Deze uitgave is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw voor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.
2
15303_Rekendidactiek_boek.indb 2
14-01-14 14:25
Inhoud 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen 1.1 Verhoudingen zijn de basis 1.1.1 Overeenkomsten en verschillen 1.1.2 Absoluut en relatief 1.2 Onderlinge relaties 1.2.1 Begrip Breuken en kommagetallen Breuken en procenten 1.2.2 Weetjes 2 Verhoudingen 2.1 Verhoudingen zijn overal 2.1.1 Evenredige verbanden Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen Interne en externe verhoudingen Verhoudingsdeling Lineair verband 2.1.2 Niet-evenredige verbanden 2.1.3 Bijzondere verhoudingen De gulden snede De verhouding π 2.1.4 Wiskundetaal bij verhoudingen 2.2 Verhoudingen op de basisschool 2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen Informeel handelen en redeneren Modelondersteund redeneren en rekenen in contextsituaties Modelondersteund en formeel redeneren en rekenen 2.2.2 Modellen bij verhoudingen De dubbele getallenlijn De verhoudingstabel Kruiselings vermenigvuldigen Schaal en schaallijn 2.2.3 Redeneren en rekenen met verhoudingen Snelheid Andere verschijningsvormen Gestandaardiseerde verhoudingen 2.2.4 Samenhang met andere domeinen Verbanden Meten en meetkunde
3
15303_Rekendidactiek_boek.indb 3
14-01-14 14:25
3 Procenten 3.1 Procenten kom je veel tegen 3.1.1 Verschijningsvormen in de realiteit Grapjes en aandachtstrekkers 3.1.2 Een gestandaardiseerde verhouding Redeneren met kansen 3.1.3 Wiskundetaal bij procenten Geschiedenis van procenten 3.2 Procenten op de basisschool 3.2.1 Schets van de leerlijn procenten 3.2.2 Introductie van procenten 3.2.3 Modellen bij procenten De strook De verhoudingstabel Cirkelmodel en sectordiagram 3.2.4 Rekenen en redeneren met procenten Deel-totaalvraagstukken Toename- en afnamevraagstukken Hoofdrekenen mĂŠt papier De standaardprocedure rekenen via de 1% Procentenasymmetrie Rekenen met de rekenmachine 3.4.5 Samenhang met andere domeinen Verbanden 4 Breuken 4.1 Verschijningsvormen van breuken 4.1.1 Getal en verhouding 4.1.2 Wiskundetaal bij breuken Geschiedenis van breuken 4.2 Breuken op de basisschool 4.2.1 Schets van leerlijn breuken 4.2.2 Breukbegrip Gelijkwaardigheid Gelijknamigheid 4.2.3 Modellen bij breuken De cirkel Stok, strook en getallenlijn De rechthoek
4
15303_Rekendidactiek_boek.indb 4
14-01-14 14:25
4.2.4 Rekenen en redeneren met breuken Deel, veel en eerlijk delen Vergelijken Meten met breuken Optellen en aftrekken met breuken Vermenigvuldigen met breuken Delen met breuken 4.2.5 Samenhang met andere domeinen Meten 5 Kommagetallen 5.1 Kommagetallen in de realiteit 5.1.1 Meetgetallen 5.1.2 Wiskundetaal bij kommagetallen Geschiedenis van kommagetallen 5.2 Kommagetallen op de basisschool 5.2.1 Schets van de leerlijn kommagetallen 5.2.2 Inzicht in kommagetallen Decimale structuur en continu karakter Meten en meetcontexten Is 8,9 hetzelfde als 8,90? Cijfers of getallen? Uitspraak van kommagetallen 5.2.3 Modellen en schema’s bij kommagetallen De getallenlijn Geld als denkmodel Het positieschema 5.2.3 Rekenen en redeneren met kommagetallen Ordenen en vergelijken De nul in kommagetallen Inschatten en schattend rekenen Optellen en aftrekken met kommagetallen Vermenigvuldigen en delen met kommagetallen 5.2.5 Samenhang met andere domeinen Hele getallen Meten 6 Globale theorie reken-wiskundedidactiek 6.1 Domeinen en doelen 6.1.1 Gecijferdheid 6.1.2 Doelen Kerndoelen en referentiekader
5
15303_Rekendidactiek_boek.indb 5
14-01-14 14:25
6.2 Leerprocessen bij rekenen-wiskunde 6.2.1 Kennis bij rekenen-wiskunde 6.2.2 Rekenen-wiskunde leren Mathematiseren Taal en betekenis Oefenen 6.2.3 LeertheorieĂŤn Ontwikkelingspsychologie Handelings(leer)psychologie Cognitieve psychologie Sociaal constructivisme 6.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde 6.3.1 Onderwijsleerprincipes rekenen-wiskunde Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit Modelleren en formaliseren Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen Interactie en reflectie Verstrengeling van leerlijnen 6.3.2 Didactische modellen De ijsbergmetafoor Het handelingsmodel Het drieslagmodel 6.3.4 Ontwikkelingen in de didactiek Geschiedenis van reken-wiskundedidactiek Didactiek in discussie 7 Differentiatie 7.1 Differentiatie in niveau 7.1.1 Fundamenteel niveau 1F 7.1.2 Als 1F niet haalbaar is 7.1.3 Hoger dan 1S: compacten en verrijken 7.2 Omgaan met verschillen 7.2.1 Waarnemen: verzamelen van gegevens in een groepsoverzicht Leerlingvolgsysteem DL, DLE en LRQ Toetsen Observaties en gesprekken 7.2.2 Begrijpen: formuleren van onderwijsbehoeften Welke doelen wil je bereiken? Hoe kun je de doelen bereiken? Domeinspecifieke onderwijsbehoeften
6
15303_Rekendidactiek_boek.indb 6
14-01-14 14:25
7.2.3 Plannen: een groepsplan opstellen Clusteren van onderwijsbehoeften Extra ondersteuning Compacten en verrijken Opzetten van je reken-wiskundeles Een groepsplan in groep 1 en 2 7.2.4 Realiseren en evalueren van een gedifferentieerd aanbod 7.3 Individueel maatwerk 7.3.1 Diagnostisch gesprek Doel Voorbereiding Tijdens het gesprek Protocol 7.3.2 Het handelingsplan Opstellen handelingsplan Evalueren 8 Meer weten over‌
7
15303_Rekendidactiek_boek.indb 7
14-01-14 14:25
15303_Rekendidactiek_boek.indb 8
14-01-14 14:25
2 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1
Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Flinke daling aantal inbraken De politie heeft meegedeeld dat er vorig jaar in 1 op de 25 huizen in Breukelerdam een inbraak is gepleegd. Dit jaar bleek dat nog maar in 1 op de 20 huizen te zijn g ebeurd. Een flinke daling. Maar ook 20% is natuurlijk nog altijd te veel. Het is te hopen dat de politie alles in het werk stelt om de veiligheid in Breukelerdam te vergroten.
Bron: Buys et al., 1996
De schrijver van het krantenbericht ‘Flinke daling aantal inbraken’ lijkt zich een beetje te vergissen. Welke fouten maakt hij?
1.1 Verhoudingen zijn de basis Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking brengen. Bijvoorbeeld: ❍❍1 op de 4 pabostudenten is een jongen; ❍❍ 14 deel van de pabostudenten is een jongen;
9
15303_Rekendidactiek_boek.indb 9
14-01-14 14:25
❍❍25% van de studenten op de pabo is een jongen; ❍❍de verhouding van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het totale aantal studenten is 1 : 4. Maar let op: de verhouding tussen het aantal jongens en het aantal meisjes op de pabo is 1 : 3! Ook kun je de breuk 14 ook als het kommagetal 0,25 noteren en heeft de deelopgave 1 : 4 als uitkomst 14 ofwel 0,25.
Overeenkomsten en verschillen overregularisatie
verschijningsvorm notatie
getalsmatige informatie
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de (sub) domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen ook breuken en kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op honderd is gesteld. Hierdoor kun je hetzelfde op verschillende manieren zeggen of schrijven, zoals in de tekst ‘Flinke daling aantal inbraken’ is gedaan. Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit. Bij notatie van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken. Procenten kom je veel tegen bij kortingen en rente, terwijl kortingen niet worden uitgedrukt in kommagetallen. In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar. Bijvoorbeeld in een krant, waar ze worden gebruikt om getalsmatige informatie weer te geven. In het krantenbericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ is dit goed te zien. Verhoudingen worden hier niet alleen geschreven als verhouding, maar ook als percentage en breuk.
Proefrijbewijs jongeren succes Veel ongelukken op de weg worden veroorzaakt door te hard rijden. Zo’n 60% van de ongelukken vindt plaats op provinciale wegen waar de maximumsnelheid 80 km/u is. Uit onderzoek blijkt dat zeker de helft van de mannen tot 28 jaar wel eens te hard rijdt. Een derde geeft aan regelmatig veel harder te rijden dan is toegestaan. Het ingevoerde proefrijbewijs voor jongeren die net hun rijbewijs hebben gehaald, kan dan ook op veel instemming rekenen: 4 op de 5 Nederlanders vindt dat een prima zaak. Slechts 10% vindt het een overbodige maatregel en een tiende van de ondervraagden heeft geen mening.
Maximumsnelheid In het krantenbericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ is sprake van een (maximum)snelheid van 80 kilometer per uur. Hoeveel meter per seconde is dat?
10
15303_Rekendidactiek_boek.indb 10
14-01-14 14:25
De wijzers van de klok
Breuken en verhoudingen zien a Welke breuken zie je in de figuur? b Welke verhoudingen zie je in de figuur?
1.1.1 Absoluut en relatief absolute gegevens In het bericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ gaat het niet om absolute relatieve gegevens, maar om relatieve gegevens. Absolute gegevens zijn getallen die gegevens naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op deze pabo. Relatieve gegevens zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Bijvoorbeeld: 1 op de 4 pabostudenten is man. Het daadwerkelijke aantal mannelijke pabostudenten weet je daarmee nog niet. Om dat te bepalen, heb je het absolute aantal pabostudenten nodig. In dit voorbeeld is het absolute aantal pabostudenten 536. Daarvan is 1 op de 4 man. Dat is dus 536 : 4 ofwel 134. gecijferdheid Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de krant en het nieuws niet goed begrijpen. Juist dit onderscheid is erg lastig voor kinderen, zoals te zien is in het volgende lesfragment (Uit: Van Galen, 2003. Het complete artikel vind je op www.paborekenen.nl.).
2 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Om de snelheid van een voorwerp dat ronddraait (boortol, benzinemotor) te duiden, gebruik je bijvoorbeeld het aantal toeren per minuut. a Bereken met welke snelheid de grote wijzer van de klok ronddraait, in toeren per minuut of omwentelingen per seconde. b Doe hetzelfde voor de kleine wijzer. c Hoe verhouden de omwentelingssnelheden van de grote en kleine wijzer zich tot elkaar?
Speel je een muziekinstrument? De gegevens in de volgende tabel komen uit een onderzoekje ‘Speel je een muziekinstrument?’.
jongens meisjes
ja 39 73
nee 125 165
totaal 164 238
11
15303_Rekendidactiek_boek.indb 11
14-01-14 14:25
Samira (groep 7) heeft de gegevens ingevoerd in een computerprogramma. Het computerprogramma laat twee stroken zien:
Bron: Rekenweb.
Meester Frans vraagt: ‘Zijn er verschillen tussen jongens en meisjes?’ Samira antwoordt: ‘Dat kan je niet goed zeggen. Want er hebben wel meer meisjes ja gezegd, maar er hebben ook veel meer meisjes meegedaan aan het onderzoek. Je kunt het zo niet vergelijken. Meester Frans laat het computerprogramma de gegevens nu in een cirkeldiagram plaatsen:
Bron: Rekenweb.
Samira wijst naar het roodgekleurde stuk bij de meisjes en zegt dat dit inderdaad groter is dan bij de jongens. ‘Maar,’ zegt ze, ‘dat is logisch, want er hebben veel meer meisjes meegedaan aan het onderzoek.’ Met hulp van meester Frans worden de antwoorden uitgedrukt in breuken: 3 ongeveer een kwart van de jongens en ongeveer 10 deel van de meisjes 3 antwoordt ja. Waarop Samira besluit: 10 is meer dan een kwart, dus de meisjes zeggen iets meer ja.’ ‘Maar,’ vervolgt ze, ‘dat is ook wel logisch, want er hebben meer meisjes meegedaan aan het onderzoek.’ Samira blijft herhalen dat het logisch is dat er meer meisjes ja antwoorden, omdat er meer meisjes aan het onderzoek meededen. Hieruit kun je afleiden dat zij het relatieve aspect nog niet doorziet, ondanks de verschillende representaties (het cirkeldiagram en de breuken). Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband
12
15303_Rekendidactiek_boek.indb 12
14-01-14 14:25
Bron: Pluspunt, groep 7.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is benoemd getal het – vooral in het begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren: zoveel keer raak, zoveel procent. Of, zoals in het volgende voorbeeld, zoveel euro. Dit helpt om het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.
2 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
strookmodel te brengen. Dit kan bijvoorbeeld met het strookmodel, zoals te zien is in de volgende opgave ‘Wie vind je de beste?’. Bij de stroken staan zowel de absolute gegevens (de aantallen) als de relatieve gegevens (het percentage). De strook maakt zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens (het aantal rake worpen in de basket in verhouding tot het totale aantal worpen) met elkaar kunt vergelijken: door het totale aantal (worpen) op 100% te stellen en (dus) de stroken even lang te maken.
Bron: Rekenrijk, groep 7.
In gesprek met kinderen over verhoudingen Verhoudingen zijn overal om ons heen. In hoeverre hebben kinderen hier zicht op? 1 Noteer voor jezelf situaties waarin mensen te maken hebben met verhoudingen. 2 Hoe denken kinderen hier over? Kies een van de twee volgende werkvormen of bedenk zelf een variant. Wissel je ervaringen uit met medestudenten die in dezelfde groep en juist in andere groepen stagelopen.
13
15303_Rekendidactiek_boek.indb 13
14-01-14 14:25
Groepsgesprek Vraag aan een aantal kinderen uit de bovenbouw waar zij aan denken bij verhoudingen bij rekenen-wiskunde. Maak samen met de kinderen een woordveld van dagelijkse situaties die te maken hebben met verhoudingen. Waar komen de kinderen zelf mee? Wat begrijpen ze van situaties die jij inbrengt? Collage Laat kinderen op zoek gaan naar verhoudingen in hun dagelijks leven en voorbeelden meenemen naar school. Ze kunnen bijvoorbeeld reclamefolders en kranten doorzoeken of foto’s maken in de supermarkt en op andere plekken. Laat ze in groepjes collages maken met zoveel mogelijk verschillende voorbeelden. In een klassikaal nagesprek kan het gaan over de betekenis van de gevonden voorbeelden en de verschillen en overeenkomsten tussen de verschillende collages.
Bron: Alles telt, groep 8.
Wel of geen verhoudingen? Is in de figuur sprake van verhoudingen? Gebruik de kleuren bij het benoemen van de verhoudingen die je ziet.
14
15303_Rekendidactiek_boek.indb 14
14-01-14 14:25
1.2 Onderlinge relaties
Bron: Rekenrijk, groep 8.
Voor sommige kinderen is dit best lastig, met name als gebroken getallen, verhoudingen en procenten – en de bewerkingen ermee – voor hen nog onvoldoende betekenis hebben. De leerkracht moet dus bewust aandacht besteden aan betekenisverlening.
1.2.1 Begrip Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, besteden reken-wiskundemethodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Hierover lees je meer in de volgende hoofdstukken. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar voorkomen, bijvoorbeeld in (fictieve) krantenberichtjes. Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien, zoals: ❍❍ 15 × 10 betekent het 15 deel nemen van 10; ❍❍ik weet dat 20% ergens van hetzelfde is als 15 deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door 5 is 20; ❍❍ 15 is eigenlijk 1 gedeeld door 5.
2 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze domeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen ook om de domeinen door elkaar heen te gebruiken, zoals bij de volgende opgave.
Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk leren, alsof het losstaande feitjes zouden zijn. Bovendien kun je zo gemakkelijk optredende misvattingen voorkomen, zoals: een vierde deel is hetzelfde als 4%.
15
15303_Rekendidactiek_boek.indb 15
14-01-14 14:25
Maar ook als kinderen al goed zicht hebben op betekenissen en verschijningsvormen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, blijft het helpen om onderlinge relaties te visualiseren, zoals in de volgende opgave is gedaan.
Bron: Alles telt, groep 7.
rationaal getal
verschijningsvorm meetgetal
strook
Breuken en kommagetallen Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationale getallen met verschillende notatiewijzen. Voor kinderen levert dit wel wat moeilijkheden op. Hierover lees je meer in hoofdstuk 5. Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen (kommagetallen overigens vaker dan breuken). Verder zijn er vooral verschillen: breuken komen bijvoorbeeld vaker voor als deel-van-een-geheel en deel-vaneen-hoeveelheid; kommagetallen bijna nooit. Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen, bijvoorbeeld 1 1 2 = 0,5 en 5 = 0,2. Bij onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Ze denken dan bijvoorbeeld dat 15 hetzelfde is als 0,5. Om kinderen dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel, gebruikmaken van de verschijningsvorm meetgetal (van zowel breuk als kommagetal). Bijvoorbeeld met behulp van geld, zoals in de volgende opgave is gedaan.
16
15303_Rekendidactiek_boek.indb 16
14-01-14 14:25
rekengetal Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Dit lijkt misschien vanzelfsprekend, maar dat is het voor kinderen zeker niet. Met alleen de mededeling dat je nullen mag toevoegen, maak je het voor kinderen niet makkelijker. Want als ze niet begrijpen waarom dit mag, kan dit fouten veroorzaken als 0,1 = 0,01. En op die manier nullen toevoegen, mag juist niet. Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschilondermaten lende ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter. En 1 decimeter is even lang als 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter. Dat 0,01 meter een andere afstand is, kan ook worden beredeneerd of nagegaan met dezelfde ondermaat: 0,01 meter is immers 1 centimeter. Wanneer je breuken als 17 als kommagetal schrijft door de breuk op te vatten als een deling, kom je tot de ontdekking dat de uitkomst van die deling een bijzonder uiterlijk heeft: een sliert van decimalen die zichzelf herhaalt: repeterende breuk 0,142857142857.... De breuk 17 heet een repeterende breuk en de sliert repetendum 142857 heet het repetendum.
2 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Bron: Alles telt, groep 7.
Breuken en procenten Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal absoluut getal kun je weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een punt op de heel getal. Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Een getallenlijn voorbeeld zie je in de volgende opgave. operator
17
15303_Rekendidactiek_boek.indb 17
14-01-14 14:25
Bron: Wizwijs, groep 7.
Als het hele pak konijnenvoer 1 kilogram weegt, geeft 35 aan wat er met 1 (kilogram) gebeurt (delen door 5 en het resultaat daarvan vermenigvuldigen met 3). Zodoende wordt een deel (van een geheel) bepaald. Anders gezegd: de breuk geeft hier een relatief gegeven aan. Een breuk kan dus zowel een absoluut als een relatief gegeven representeren. Bij procenten is dit anders: een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. Voorkom daarom dat kinderen het idee 20 krijgen dat bijvoorbeeld 20% hetzelfde is als 100 en 15 . Dat is niet altijd zo, 20 1 want 100 en 5 zijn absolute getallen en 20% is een operator. Wel is het zo 20 dat 20% van iets hetzelfde is als het 100 deel van iets of het 15 deel van iets. In het laatste geval is de breuk immers een operator. Om deze reden moet je ook voorzichtig zijn met het plaatsen van percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1, alsof het gebroken getallen zijn. De dubbele dubbele getallenlijn en de strook zijn geschikter om percentages te plaatsen getallenlijn en te ordenen, omdat je daarop zo nodig ook de absolute gegevens kunt strook plaatsen.
1.2.2 Weetjes declaratieve kennis parate feitenkennis
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis 5 beschikbaar zijn. Dit is parate feitenkennis, zoals 12 = 10 = 0,5 = 1 : 2 en komt overeen met 50%. Dit soort ‘weetjes’ moet snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen. Sommige weetjes zijn overigens al bekend vanuit informele voorkennis. Veel jonge kinderen weten al dat 50% de helft is en zelf kleuters hebben vaak al begrip van ‘de helft’. Deze voorkennis omvat vaak al meer dan je zou denken. In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot formeel niveau worden uitgebreid. Allerlei weetjes oefen je daarom in. Al snel op formeel modelondersteund niveau, maar eerst ook nog modelondersteund. Bijvoorbeeld met de strook cirkelmodel en het cirkelmodel, zoals in de volgende opgave.
18
15303_Rekendidactiek_boek.indb 18
14-01-14 14:25
Productief oefenen Reken-wiskundemethodes bieden oefenopgaven voor het leren van al die weetjes, zoals in de vorige opgave. Een andere manier van oefenen is kinderen zelf opgaven te laten bedenken. Op deze manier gebruiken ze meer kennis die ze al hebben, denken ze na over de leerinhoud en oefenen ze productief tegelijkertijd. Deze vorm van oefenen heet productief oefenen, omdat oefenen kinderen zelf opgaven (en weetjes) produceren. Kwartetspel Laat de kinderen van je stagegroep hun eigen kwartetspel maken met relatieweetjes over verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen. Je zult merken dat ze eerst voor de hand liggende combinaties maken die al eens aan de orde zijn geweest. Zo zullen ze de koppeling tussen 12 en de verhouding 1 : 2 eerder maken dan de koppeling tussen 12 en de verhouding 3 : 6. Maar als je doorvraagt en kinderen uitdaagt tot het maken van ‘moeilijke’ kwartetsetjes, maken ze ook minder bekende combinaties. Laat kinderen samenwerken in groepjes, zodat ze door interactie van elkaar kunnen leren. Sterkere rekenaars zullen op combinaties komen die zwakkere kinderen niet bedenken.
2 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Bron: Rekenrijk, groep 7.
Repeterende breuken a Welk breuken hebben een repeterende breuk als je de breuk schrijft als kommagetal? 11 17 3 19 13 6 7 19 7 20 , 25 , 32 , 57 , 125 , 75 , 75 , 57 en 75 b Schrijf de breuken als kommagetallen. Rond zo nodig af op drie decimalen. 1 7 7 3 5 35 4 2 40 , 40 , 75 , 7 , 1 12 , 25 , 13 en 15
19
15303_Rekendidactiek_boek.indb 19
14-01-14 14:25
Terras betegelen Voor het betegelen van mijn tuin heb ik speciale tegels besteld. Er zijn twee verschillende typen tegels. Met de tegels kun je twee verschillende terrassen betegelen (zie afbeelding).
a Welke afmetingen kan ieder type tegels hebben? b De tuinarchitect heeft de afmetingen zo gekozen dat het rechterterras perfect past aan het linkerterras als je het rechterterras een kwartslag draait (zie afbeelding). Kun je passende afmetingen vinden voor de gebruikte tegels?
Verhoudingen op een fotocamera Op een dure (digitale) fotocamera kun je het volgende rijtje getallen aantreffen: 1, 2, 4, 8, 15, 30, 60, 125, 250, 500, 1.000. Dit zijn de noemers van 1 1 breuken die de sluitertijd aangeven, dus 11 , 12 , 14 , 18 , 15 , 30 , enzovoort. De sluitertijd is de tijd die de sluiter van de camera openstaat, gemeten in 1 seconden. Dus 1.000 staat voor een sluitertijd van 1 milliseconde. Merk op dat elke sluitertijd in de reeks ongeveer de helft van de vorige is. Een andere reeks die je kunt aantreffen op duurdere modellen met meer instelmogelijkheden is: 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22.6. Dit zijn de zogeheten diafragmagetallen: een maat voor de grootte van de lensopening. Merk op dat ook hier per stap ongeveer een halvering optreedt. Dit is een halvering van oppervlakte, dus van de hoeveelheid licht die naar binnen kan. Ook deze getallen zijn in feite noemers van breuken. Beide systemen zijn ontworpen om de hoeveelheid licht die op de gevoelige plaat komt te reguleren (hoewel het effect van een kortere sluitertijd anders is
20
15303_Rekendidactiek_boek.indb 20
14-01-14 14:25
Breuken Reken met behulp van een deling en wat handig redeneren het bijbehorende kommagetal van de breuken uit. Noteer steeds 12 decimalen! 1 2 3 4 5 6 7 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 en 7
Hoeveel blauw? a Welk deel van de figuur is blauw?
b Wie van de volgende kinderen geeft een correct antwoord? Jantine zegt: ‘Er zijn 13 blauwe hokjes.’ Petri zegt: ‘De verhouding blauwe en witte hokjes is 13 op 12.’ Mees zegt: ‘ 13 25 deel is blauw.’ Ruud zegt: ‘52% is blauw.’ Pleuni zegt: ‘Ongeveer de helft is blauw.’ c Wat zouden de kinderen geantwoord hebben bij andere afmetingen, zoals 8 × 8 of 9 × 9?
2 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
dan van een kleiner diafragma). Door een slimme combinatie van sluitertijd en diafragma te kiezen, kan de fotograaf in vrijwel elke omstandigheid een optimale foto maken. In sommige gevallen voegt de fotograaf nog extra licht toe in de vorm van een flits. De hoeveelheid licht die op de lichtgevoelige cel van je camera valt bij een 1 sluitertijd van 125 en diafragma 11 in verhouding tot de hoeveelheid licht die 1 bij een sluitertijd van 500 en diafragma 2.8 naar binnen valt, is ongeveer 1 op 4. Klopt deze bewering?
Repetendum Elke breuk is via een deling te schrijven als een decimaal getal. Zo’n deling komt uit (bijvoorbeeld bij 3 : 4) of de deling gaat repeteren (bijvoorbeeld bij 2 : 3). a Beredeneer waarom het repetendum van een repeterende breuk nooit langer kan zijn dan de waarde van de noemer. b Hoe ziet het getal 0,2142857… er uit als het als gewone breuk geschreven is? De breuk heeft als repetendum 142857.
21
15303_Rekendidactiek_boek.indb 21
14-01-14 14:25