Propósito de la sesión. Explorar el método de diferencias para determinar la expresión general cuadrática que representa una sucesión en la que en el nivel dos de las diferencias hay una constante diferente de cero.
secuenci a 21 SESIÓN 3
EL MéTODO DE DIFERENCIAS
Para empezar
No siempre es fácil determinar la expresión general cuadrática de una sucesión, sin embargo, existe un método que ayuda a obtenerla: el método de diferencias.
La expresión general es de la forma an 2 + bn + c, en el método de las diferencias se plantean tres ecuaciones con las que se encuentra el valor de a, b y c.
En esta sesión aprenderán a usarlo.
Consideremos lo siguiente Dada la sucesión: 4, 9, 18, 31, …, Si la sucesión continúa:
Sugerencia didáctica. El método de las diferencias se describe en el Fichero de actividades didácticas, Matemáticas. Si tiene acceso a él es recomendable que lo consulte, aunque debe tomar en cuenta que las actividades que ahí se presentan tienen un nivel superior al que se pide en el programa para este apartado.
a) ¿Qué término ocupará el lugar 10? b) ¿Qué término ocupa el lugar 20? c) ¿Cuál es la expresión algebraica general del término enésimo de esta sucesión?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra i. Obtengan las diferencias de los niveles 1 y 2. Verifiquen si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de cero.
Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos calculen las diferencias de nivel 1 y las diferencias de nivel 2, y que con ellas obtengan los términos que se piden en la sucesión. Permita que intenten encontrar la expresión algebraica, al menos deben identificar que el término cuadrático es 2n 2 ya que las diferencias de nivel 2 son iguales a 4. Si algún alumno obtuvo una expresión algebraica, aunque no sea la correcta, pídale que justifique su respuesta (debe evaluarla para obtener los primeros términos de la sucesión) y que explique cómo la obtuvo.
a) Completen el siguiente esquema. 4,
9,
5
18, 31, …
9 4
13 4
Como las diferencias de nivel 2 son una constante distinta de cero, la expresión algebraica general del término enésimo de la sucesión es cuadrática: an 2 + bn + c, donde n representa el lugar del término. Para determinar los coeficientes a , b , c de esta expresión se puede usar el método de las diferencias.
Respuestas. a) 193
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b) 783 c) 2 n 2 – n + 3.
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Propósito de la actividad. Los alumnos van a identificar que, con las diferencias de nivel 1 y de nivel 2, es posible obtener la expresión algebraica que representa a una sucesión.
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos qué representa cada una de las literales: n, a, b y c. Por lo que hicieron en la sesión pasada, los alumnos ya pueden encontrar el valor de a. Pregunte al grupo si saben cuál es. (En el ejemplo, a es la mitad de la diferencia de nivel 2, es decir que a = 2)
L ib ro pa ra e l m a e st r o
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