CHAP. 28]
28.3
FUNDAMENTAL RELATIONS AND IDENTITIES
Express each of the other functions of y in terms of sin y: cos2 y ¼ 1 sin2 y tan y ¼
and
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos y ¼ 6 1 sin2 y
sin y sin y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos y 6 1 sin2 y sec y ¼
191
cot y ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 6 1 sin2 y ¼ sin y tan y
1 1 1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi csc y ¼ cos y 6 1 sin2 y sin y
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Note that cos y ¼ 6 1 sin2 y. Writing cos y ¼ 1 sin2 y limits angle y to those quadrants (first and fourth) in which the cosine is positive. 28.4
Express each of the other functions of y in terms of tan y. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi and sec y ¼ 6 1 þ tan2 y; sec2 y ¼ 1 þ tan2 y sin y ¼ tan y cos y csc y ¼
28.5
and
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 6 1 þ tan2 y ; ¼ tan y sin y
1 1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; sec y 6 1 þ tan2 y
1 tan y sin y ¼ tan y cos y ¼ tan y pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; 6 1 þ tan2 y 6 1 þ tan2 y cot y ¼
1 : tan y
Using the fundamental relations, find the possible values of the functions of y, given sin y ¼ 35. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffi 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 From cos2 y ¼ 1 sin2 y; cos y ¼ 6 1 sin2 y ¼ 6 1 35 ¼ 6 16 25 ¼ 6 5. Now sin y and cos y are both positive when y is a first quadrant angle while sin y ¼ þ and cos y ¼ when y is a second quadrant angle. Thus, First Quadrant
Second Quadrant
sin y ¼ 35
cot y ¼ 43
sin y ¼ 35
cot y ¼ 43
cos y ¼ 45
sec y ¼ 54
cos y ¼ 45
sec y ¼ 54
csc y ¼ 53
tan y ¼ 34
csc y ¼ 53
3 5 4 5
tan y ¼ ¼
28.6
cos y ¼
3 4
5 Using the fundamental relations, find the possible values of the functions of y, given tan y ¼ 12 .
Since tan y ¼ , y is either a second or fourth quadrant angle. Second Quadrant 5 tan y ¼ 12
5 tan y ¼ 12
cot y ¼ 1=tan y ¼ 12 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sec y ¼ 1 þ tan2 y ¼ 13 12
cot y ¼ 12 5
12 13
28.7
Fourth Quadrant
sec y ¼ 13 12
cos y ¼ 1= sec y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi csc y ¼ 1 þ cot2 y ¼ 13 5
cos y ¼ 12 13
5 sin y ¼ 1= csc y ¼ 13
5 sin y ¼ 13
Perform the indicated operations. (a) ðsin y cos yÞðsin y þ cos yÞ ¼ sin2 y cos2 y (b) ðsin A þ cos AÞ2 ¼ sin2 A þ 2 sin A cos A þ cos2 A
csc y ¼ 13 5