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Capítulo 36. Lentes e instrumentos ópticos La distancia focal y la ecuación del fabricante de lentes (Suponga que n = 1.50, a menos que se indique otra cosa.) 36-1. Se desea construir una lente plano-convexa de vidrio que tenga una distancia focal de 40 cm. ¿Cuál será el radio de curvatura de la superficie correspondiente? ⎛ 1 1 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 = (n − 1) ⎜ + ⎟ = (1.5 − 1) ⎜ + ⎟; f ⎝ 40 cm ∞ ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 = (0.5) ⎜ ⎟ ; 40 cm ⎝ R1 ⎠

R2 = ∞ R1 = ?

R1 = 0.5(40 cm) ;

n = 1.5

R1 = 20.0 cm 36-2. Si se usa una lente biconvexa de vidrio para obtener una distancia focal de 30 cm, ¿cuál deber ser la curvatura de cada una de las superficies convexas? [R1 = R2 = R]

R1

1 ⎛1 1⎞ ⎛2⎞ = (n − 1) ⎜ + ⎟ = (1.5 − 1) ⎜ ⎟ ; R = f ; f ⎝R R⎠ ⎝R⎠

R2

R = 30 cm 36-3. La superficie cóncava de una lente plano-cóncava tiene un radio de −12 cm. ¿Cuál es la

distancia focal si la lente es de un material cuyo índice de refracción es 1.54? ⎛ 1 1 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 = (n − 1) ⎜ + ⎟ = (1.54 − 1) ⎜ + ⎟; f ⎝ −12 cm ∞ ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠

1 0.540 ⎛ 1 ⎞ 1 ; = (1.54 − 1) ⎜ = ⎟; f ⎝ −12 cm ⎠ f −12 cm

R1 R2 = ∞

f = –22.2 cm

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36-4. Una lente de menisco convergente tiene una superficie cóncava cuyo radio es –20 cm y una

superficie convexa con un radio de 12 cm. ¿Cuál es la distancia focal? ⎡ −20 cm + 12 cm ⎤ 1 1 ⎞ ⎛ 1 = (1.5 − 1) ⎜ + ⎟ = (0.5) ⎢ ⎥; f ⎝ 12 cm −20 cm ⎠ ⎣ (12 cm)(-20 cm) ⎦ f = 60 cm

36-5. Tenemos una lente convergente de vidrio como la que muestra la figura 36-8a. La primera

superficie tiene un radio de 15 cm y el radio de la segunda superficie es de 10 cm. ¿Cuál es la distancia focal? Ambas superficies son convexas y, por lo tanto, positivas: (R1 = +15 cm, R2 = + 10 cm, n = 1.5) ⎡ 10 cm + 15 cm ⎤ 1 1 ⎞ ⎛ 1 = (1.5 − 1) ⎜ + ⎟ = (0.5) ⎢ ⎥; f ⎝ 15 cm 10 cm ⎠ ⎣ (10 cm)(15 cm) ⎦ f = 12 cm

36-6. Una lente de menisco tiene una superficie convexa cuyo radio es de 20 cm y una superficie

cóncava con un radio de −30 cm. ¿Cuál es la distancia focal si el índice de refracción es de 1.54? Datos: R1 = 20 cm, R2 = –30 cm, n = 1.54. Encuentre: f = ? ⎡ −30 cm + 20 cm ⎤ 1 1 ⎞ ⎛ 1 = (1.54 − 1) ⎜ + ⎟ = (0.54) ⎢ ⎥; f ⎝ 20 cm −30 cm ⎠ ⎣ (20 cm)( − 30 cm) ⎦ f = 1.11 m

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36-7. Una lente plano-convexa fue obtenida de vidrio crown (n = 1.52). ¿Cuál deberá ser el radio

de la superficie convexa si se desea que la distancia focal sea de 400 mm? ⎛ 1 ⎛ 1 1⎞ 1 1 ⎞ 1 = (n − 1) ⎜ + ⎟ ; = (1.52 − 1) ⎜ + ⎟ ; f ⎝ R1 R2 ⎠ 400 mm ⎝ R1 ∞ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 = (0.52) ⎜ ⎟ ; R1 = 0.52(400 mm) ; 400 mm ⎝ R1 ⎠

R2 = ∞ f = 400 mm n = 1.52

R1 = 208 mm 36-8. Las magnitudes de las superficies cóncava y convexa de una lente de vidrio son 200 y

600 mm, respectivamente. ¿Cuál es la distancia focal? ¿La lente es convergente o divergente? Datos: R1 = –20 cm, R2 = +60 cm, n = 1.5: Encuentre: f = ? ⎡ 60 cm − 20 cm ⎤ 1 1 ⎞ ⎛ 1 = (1.5 − 1) ⎜ + ⎟ = (0.5) ⎢ ⎥ f ⎝ -20 cm 60 cm ⎠ ⎣ ( − 20 cm)(60 cm) ⎦ f = –60 cm La lente es una lente divergente, ya que la longitud focal es negativa.

36-9. Una lente de plástico (n = 1.54) tiene una superficie convexa de 25 cm de radio y una

superficie cóncava de −70 cm. ¿Cuál es la distancia focal? ¿Se trata de una lente convergente o divergente? ⎡ −70 cm + 25 cm ⎤ 1 1 ⎞ ⎛ 1 = (1.54 − 1) ⎜ + ⎟ = (0.54) ⎢ ⎥; f ⎝ 25 cm −70 cm ⎠ ⎣ (25 cm)( − 70 cm) ⎦ f = +72.0 cm La lente es una lente convergente, ya que la longitud focal es positiva.

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Formación de imágenes con lentes delgadas 36-10. Un lápiz de 7 cm se coloca a 35 cm de una lente convergente delgada cuya distancia focal

es de 25 cm. ¿Cuáles son la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen formada? q=

pf (35 cm)(25 cm) ; q = 87.5 cm = p − f 35 cm − 25 cm

M=

F

2F

−q y ' −qy ' −(87.5 cm)(7 m) = ; y'= = p y p 35 cm q = +87.5 cm, y’ = –17.5 cm, real, invertida y amplificada

36-11. Un objeto de 8 cm de altura se encuentra a 30 cm de una lente convergente delgada cuya

distancia focal es 12 cm. ¿Cuáles son la naturaleza y la ubicación de la imagen formada? q=

pf (30 cm)(12 cm) = ; p− f 30 cm - 12 cm

F

2F

q = 20 cm; M=

−q y ' − qy ' −(20 cm)(8 m) = ; y'= = p y p 30 cm q = +20.0 cm, y’ = –5.33 cm, real, invertida y disminuida.

36-12. Una imagen virtual no invertida parece estar a 40 cm del frente de una lente cuya

distancia focal es 15 cm. ¿A qué distancia se encuentra el objeto? La longitud focal debe ser positiva (convergente), dado que los objetos reales no pueden producir imágenes virtuales más alejadas de la lente que del objeto. Encuentre la distancia del objeto para valores dados: p=

qf (−40 cm)(15 cm) ; = q − f −40 cm − 15 cm p = 10.9 cm

Nota: Debe demostrar que la amplificación es +2.67.

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36-13. Un objeto de 50 mm de altura está colocado a 12 cm de una lente convergente cuya

distancia focal es 20 cm. ¿Cuáles son la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen? (Véase el dibujo para el Prob. 36.12 anterior.)

q=

(12 cm)(20 cm) ; q = –30 cm; 12 cm − 20 cm

M=

−q y ' − qy ' −(−30 cm)(50 mm) = ; y' = = p y p 12 cm q = –30.0 cm, y’ = +125 mm, virtual, erecta y amplificada

36-14. Un objeto colocado a 30 cm de una lente delgada produce una imagen real, invertida, a

una distancia de 60 cm en el lado opuesto de la lente. ¿Cuál es la distancia focal de la lente?

f =

pq (30 cm)(60 cm) ; = p + q 30 cm + 60 cm

F

f = +20 cm

2F

La longitud focal es positiva, así que la lente es convergente f = +20 cm, convergente

36-15. Una fuente luminosa está a 600 mm de una lente convergente cuya distancia focal es

180 mm. Trace una imagen por medio de diagramas de rayos. ¿Cuál es la distancia de la imagen? ¿La imagen es real o virtual? F q=

2F

pf (60 cm)(18 cm) ; = p − f 60 cm − 18 cm

q = 25.7 cm q = +25.7cm, real, invertida y disminuida Nota: Demuestre que la amplificación de la imagen es M = –0.428.

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36-16. Una lente planoconvexa se coloca a 40 mm de un objeto de 6 cm. ¿Cuáles son la

naturaleza y la ubicación de la imagen formada si la distancia focal es de 60 mm? q=

(40 mm)(60 mm) − qy ' −(−120 mm)(6 cm) ; q = –120 mm; y ' = = 40 cm − 60 cm p 40 mm q = –120 mm, y’ = +18.0 cm, virtual, erecta y amplificada

36-17. Un objeto de 6 cm de altura se coloca a 4 cm de una lente de menisco divergente cuya

distancia focal es −24 cm. ¿Cuáles son la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen que se forma? q=

pf (4 cm)( − 24 cm) ; = p − f 4 cm − ( − 24 cm)

q = –3.43 cm M=

−q y ' − qy ' −(−3.43 cm)(6 m) = ; y'= = 4 cm p y p q = –3.43 cm, y’ = 5.14 cm virtual, erecta y disminuida

*36-18. La distancia focal de una lente convergente es de 200 mm. Un objeto de 60 mm está

montado sobre una guía móvil que permite modificar la distancia desde la lente. Calcule la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen que se forma cuando el objeto está a la siguiente distancia: (a) 150 mm, (b) 200 mm, (c) 300 mm, (d) 400 mm, (e) 600 mm. (No se dibujan las figuras para conservar el espacio). p = 15 cm, 20 cm, 30 cm, 40 cm, y 60 cm; f = 20 cm, y = 6 cm q=

pf ; p− f

M=

y ' −q ; = y p

y'=

− qy p

(a) q =

(15 cm)(20 cm) = –60 cm, virtual 15 cm − 20 cm

(b) q =

(20 cm)(20 cm) = ∞, no hay imagen 20 cm − 20 cm

(c) q =

(30 cm)(20 cm) = 60 cm, real 30 cm − 20 cm

y'=

−(−60 cm)(6 cm) = 24 cm, erecta (15 cm) y'=

y'=

−(∞)(6 cm) = ∞, no hay imagen (20 cm)

−(60 cm)(6 cm) = –12 cm, invertida (30 cm)

Las imágenes formadas por espejo convergente, f = 20 cm, y = 6 cm

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(d) q =

(40 cm)(20 cm) = 40 cm, real 40 cm − 20 cm

y'=

−(40 cm)(6 cm) = –6 cm, invertida (40 cm)

(e) q =

(60 cm)(20 cm) = 30 cm, real 60 cm − 20 cm

y'=

−(30 cm)(6 cm) = –3 cm, invertida (60 cm)

36-19. Un objeto colocado a 450 mm de una lente convergente forma una imagen real a 900 mm

de dicha lente. ¿Cuál es la distancia focal de la lente? f =

pq (45 cm)(90 cm) = ; p + q 45 cm + 90 cm f = +30 cm

La ecuación de las lentes y la amplificación 36-20. Un objeto está colocado a 20 cm de una lente convergente. Si la amplificación es −2,

¿cuál es la distancia de la imagen? M=

−q = −2; p

q = 2 p = 2(20 cm); q = 40 cm, real, invertida y amplificada.

36-21. Se coloca un lápiz a 20 cm de una lente divergente cuya distancia focal es −10 cm. ¿Cuál

es la amplificación obtenida? q=

pf (20 cm)(-10 cm) = ; p − f 20 cm - (-10 cm) F

q = –6.67 cm; M=

− q −(−6.67 cm) = ; p 20 cm M = +0.333

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*36-22. Tenemos una lupa cuya distancia focal es 27 cm. ¿Qué tan cerca se deberá colocarla para

producir una imagen no invertida tres veces más grande que el objeto? M=

−q = +3; p

q = −3 p; q =

pf ; p− f

–3(p – f) = f; –3p + 3f = f; p =

2

3

− 3p =

pf p− f

f = 2 3 (27 cm); p = 18.0 cm

*36-23. Una lupa que se ha colocado a 40 mm de un espécimen produce una imagen no invertida

del doble de tamaño que el objeto. ¿Cuál es la distancia focal de la lente? M=

−q = +2; p

q = −2 p; q =

pf ; p− f

−2p =

pf p− f

–2(p – f) = f; –2p + 2f = f; f = 2p = 2(40 mm); f = 80.0 mm

*36-24. ¿Cuál es la amplificación de una lente si su distancia focal es de 40 cm y la distancia al

objeto es 65 cm? q=

(65 cm)(40 cm) = 104 cm; 65 cm − 40 cm

M=

−q −(104 cm) = ; p (65 cm) M = –1.60

Problemas suplementarios 36-25. El radio de la superficie curva de una lente plano cóncava mide 20 cm. ¿Cuál es la

distancia focal si n = 1.54? [R1 = ∝] ⎛ 1 1 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 = (n − 1) ⎜ + ⎟ = (1.54 − 1) ⎜ + ⎟; f ⎝ -20 cm ∞ ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠

1 ⎛ 1 ⎞ = (1.54 − 1) ⎜ ⎟; f ⎝ −20 cm ⎠

1 0.540 = ; f −20 cm

R1 R2 = ∞

f = –37.0 cm

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36-26. Una lente de menisco delgada tiene una superficie cóncava de −40 cm de radio y una

superficie convexa cuyo radio es +30 cm. Si la distancia focal resultante de esta lente es de 79.0 cm, ¿cuál era el índice de refracción del material transparente? ⎛ 1 1 1 ⎞ = (n − 1) ⎜ + ⎟ ; f ⎝ R1 R2 ⎠

1 1 ⎞ ⎛ 1 = (n − 1) ⎜ + ⎟; 79 cm ⎝ −40 cm 30 cm ⎠

1 ⎛ −10 cm ⎞ = (n − 1) ⎜ ; n − 1 = 1.52 ; 2 ⎟ 79 cm ⎝ −1200 cm ⎠ n = 2.52

36-27. Una lente convergente tiene 20 cm de distancia focal. Un objeto está colocado a 15.0 cm

de esa lente. Calcule la distancia de la imagen y la naturaleza de ésta. El objeto está dentro del foco. q=

Objeto

pf (15 cm)(20 cm) = ; p− f 15 cm - 20 cm

F

q = –60 cm

2F

Imagen

La imagen es erecta, virtual y alargada

36-28. ¿A qué distancia de una fuente de luz se debe colocar una lente para formar una imagen a

800 mm de dicha lente? La distancia focal es de 200 mm. p=

F

qf (80 cm)(20 cm) = ; q − f 80 cm − 20 cm

2

p = 26.7 cm

36-29. Una fuente de luz colocada a 36 cm de una lente proyecta una imagen sobre una pantalla

instalada a 18.0 cm de dicha lente. ¿Cuál es la distancia focal de la lente? ¿Es convergente o divergente? f =

pq (36 cm)(18 cm) = ; p + q 36 cm + 18 cm f = 12 cm, convergente

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36-30. ¿Cuál es el mínimo tamaño de película necesaria para proyectar la imagen de un

estudiante de 2 m de estatura? Suponga que el estudiante está a 2.5 m de la lente de la cámara y que la distancia focal es 55.0 mm. q=

pf (2000 mm)(55 mm) = ; p − f 2000 mm − 55 mm q = 56.6 mm

*36-31. Cuando una luz paralela incide en una lente, la luz se dispersa y parece provenir de un

punto situado 80 mm detrás de la lente. ¿A qué distancia del objeto se deberá colocar esta lente para formar una imagen de la cuarta parte del tamaño del objeto? M=

−q 1 =+ ; p 4

p = −4q = −4(−80 mm); p = 240 mm

*36-32. ¿A qué distancia de una lente divergente se deberá colocar un objeto para que su

imagen tenga la cuarta parte del tamaño del objeto? La distancia focal es de −35 cm. M=

pf −q 1 −p ; q= ; = ; q= 4 p 4 p− f

pf −p = 4 p− f

–(p – f) = 4f; –p + f = 4f; p = –3f=–3(–35 cm);

F

p = 105 cm

*36-33. La primera superficie de una lente delgada tiene un radio convexo de 20 cm. ¿Cuál

tendrá que ser el radio de la segunda superficie para formar una lente convergente con distancia focal de 8.00 cm? ⎛ 1 1 1 ⎞ = (n − 1) ⎜ + ⎟ ; f ⎝ R1 R2 ⎠

⎛ 1 1 1 ⎞ = (1.5 − 1) ⎜ + ⎟; 8 cm ⎝ 20 cm R2 ⎠

⎡ R + 20 cm ⎤ 1 = 0.5 ⎢ 2 ⎥ ; 2.5R2 = 0.5 R2 + 10 cm ; 8 cm ⎣ (20 cm)R2 ⎦

R2 = +5.00 cm

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**36-34. Dos lentes convergentes delgadas se encuentran a una distancia 60 cm una de otra y

tienen el mismo eje. La primera lente tiene una distancia focal de 10 cm y la distancia focal de la segunda es de 15.0 cm. Si un objeto de 6.0 cm de altura se coloca a 20 cm del frente de la primera lente, ¿cuáles serán la ubicación y el tamaño de la imagen final? ¿Será ésta real o virtual? (Véase la figura en la página siguiente.) q1 =

(20 cm)(10 cm) = 20 cm; 20 cm - 10 cm

q2 =

(40 cm)(15 cm) = 24 cm ; 40 cm − 15 cm

p2 = 60 cm − 20 cm = 40 cm ;

q = 24.0 cm, imagen real q1 = 20 cm; q2 = 24 cm 60 cm M = M1 × M2 ⎛ −q ⎞ ⎛ −q ⎞ q q M = ⎜ 1 ⎟⎜ 2 ⎟ = 1 2 ⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠ p1 p2

M=

(20 cm)(24 cm) = +0.6; 20 cm)(40 cm)

f1 = 10 cm

f2 = 15 cm

y ' = My = (0.6)(6 cm); y ' = 3.6 cm ;

q = 24 cm más allá de la lente 2, y’ = 3.6 cm, real, erecta, y disminuida

36-35. Una lente convergente cuya distancia focal es de 25 cm se coloca 50 cm frente a una lente

divergente cuya distancia focal es de −25 cm. Si se coloca un objeto a 75 cm del frente de la lente convergente, ¿cuál es la ubicación de la imagen final? ¿Cuál es la amplificación total? ¿La imagen es real o virtual? (Tome la imagen de la 1ª como objeto para la 2ª.)

q1 =

(75 cm)(25 cm) = 37.5 cm ; 75 cm − 25 cm

p2 = 50 cm − 37.5 cm = 12.5 cm ; q2 =

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(− q1 )(−q2 ) (12.5 cm)( − 25 cm) = −8.33 cm; M = M 1 x M 2 = ; 12.5 cm − ( − 25 cm) p1 p2

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M=

q1q2 (37.5 cm)(-8.33 cm) = ; M = –0.333 p1 p2 (75 cm)(12.5 cm)

q = –8.33 cm a la izquierda de la lente 2, virtual, invertida, disminuida; M = 0.333

Problemas de pensamiento crítico *36-36. Una cámara consiste en una lente convergente de 50 mm de distancia focal montada

frente a una película sensible a la luz, como se muestra en la figura 36-19. Cuando se fotografían objetos en el infinito, ¿a qué distancia de la película debe estar la lente? ¿Cuál es la distancia de la imagen cuando un objeto se fotografía a 500 mm de la lente? ¿Cuál es la amplificación? (a) p = ∞;

1 1 1 + = ; ∞ q f q = f = 50 mm

(b) q =

pf (500 mm)(50 mm) = ; p − f 500 mm − 50 mm q = 55.6 mm por el objeto a 500 mm

(c) M =

−q −(55.6 mm) = ; p 500 mm M = –0.111, invertida, real y disminuida

*36-37. Un objeto está colocado a 30 cm de una pantalla. ¿En qué puntos entre el objeto y la

pantalla se puede colocar una lente de 5 cm de distancia focal para producir una imagen en la pantalla? 30 cm

pf ; Sea p = x y q = (30 cm – x); q = p− f 30 cm - x =

x(5 cm) ; (30 − x)( x − 5) = 5 x ; x − 5 cm

x 30 cm – x

30x – 150 – x2 + 5x = 5x; x2 –30x + 150 = 0 (resuelva la ecuación cuadrática para x) Dos posiciones son: x = 6.34 cm y 23.7 cm del objeto.

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*36-38. En la figura 36-20 se presenta un esquema de un proyector simple. El condensador

permite que la película reciba una iluminación uniforme de la fuente luminosa. El tamaño del cuadro de la película ordinaria de 8 mm es de 5 × 4 mm. Se desea proyectar una imagen de 600 × 480 mm sobre una pantalla colocada a 6 m de la lente del proyector. ¿Cuál debe ser la distancia focal de la lente de proyección? ¿A qué distancia de la lente deberá estar la película? M=

y ' (−60 cm) = ; y 0.5 cm

M = −120

M=

−q = −120; p

q qf ; p= ; 120 q− f

p=

q – f = 120f; 121f = q; f =

q qf ; = 120 q − f

1 f = 120 q − f

q 600 cm = ; 121 121 f = 4.96 cm

p=

q 600 cm = ; 120 120 p = 5.00 cm

**36-39. Un telescopio tiene como objetivo una lente cuya distancia focal es de 900 mm y un

ocular con 50 mm de distancia focal. Dicho telescopio se usa para observar a un conejo de 30 cm a una distancia de 60 m. ¿Cuál es la distancia entre las lentes si la imagen final está a 25 cm del frente del ocular? ¿Cuál es la altura aparente del conejo visto a través del telescopio? p1 = 6000 cm, f1 = 90 cm, f2 = 5 cm; (a) q =

60 m

x

(6000 cm)(90 cm) = 91.37 cm ; 6000 cm − 90 cm

p2 = x – 91.37 cm; p2 = x − 91.3 cm =

90 cm

q2 f 2 q2 − f 2

5 cm 25 cm

(−25 cm)(5 cm) ; x − 91.37 cm = 4.167 ; −25 cm − 5 cm x = 95.54 cm

Las dos lentes deben estar separadas por una distancia de 95.5 cm. (b) p2 = 95.54 cm – 91.37 cm; p2 = 4.17 cm; M = M1 x M2

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M=

q1q2 (91.37 cm)(−25 cm) = ; M = –0.0914; y’ = My p1 p2 (6000 cm)(4.17 cm)

y’ = (–0.0914)(30 cm); y’ = 2.74 cm, virtual, invertida y disminuida

**36-40. El telescopio de Galileo consiste en un ocular formado por una lente divergente y un

objetivo que es una lente convergente. La distancia focal del objetivo es 30 cm y la distancia focal del ocular es −2.5 cm. Un objeto colocado a 40 m del objetivo produce una imagen final ubicada 25 cm frente a la lente divergente. ¿Cuál es la separación entre las lentes? ¿Cuál es la amplificación total? 4000 cm

q1 =

(4000 cm)(30 cm) = 30.23 cm ; 4000 cm − 30 cm

p2 =

q2 f 2 (−25 cm)( − 2.5 cm) = ; p2 = –2.78 cm q2 − f 2 −25 cm − ( − 2.5 cm)

x

-25 cm

p2 = x – 30.23 cm; x = 30.23 cm + p2 = 30.23 cm +(–2.78 cm); x = 27.5 cm M=

q1q2 (30.23 cm)( − 25 cm) = ; p1 p2 (4000 cm)(2.78 cm) M = –0.068

**36-41. La distancia focal del ocular de un microscopio en particular es de 3.0 cm y la distancia

focal de su lente objetivo es de 19 mm. La separación entre las dos lentes es de 26.5 cm y la imagen final formada por el ocular está en el infinito. ¿A qué distancia se deberá colocar la lente objetivo del espécimen que se desea examinar? x = 256 mm; f1 = 19 mm; f2 = 30 mm; p2 = f2 = 30 mm; q1 = 265 mm – 30 mm = 235 mm; p1 =

q1 f1 (235 mm)(19 mm) = ; q1 − f1 235 mm − 19 mm q = 20.7 mm

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