9788846826305
ISBN
Anna Calvi Gabriella Panzera Algebra 1
ISBN
QUADERNO OPERATIVO ALGEBRA 2
Gabriella Panzera
QUADERNO OPERATIVO ALGEBRA 1
Anna Calvi
La nuova collana di quaderni operativi per la Scuola Secondaria di II grado è stata progettata per il recupero e il consolidamento delle più importanti discipline scolastiche. • Tutti i volumi presentano una spiegazione teorica sintetica che precede l’ampia batteria di esercizi. • La grafica è brillante e moderna e la trattazione degli argomenti è corrispondente ai programmi svolti durante l’anno scolastico. • Si possono quindi usare in aggiunta ai libri di testo o come compiti per le vacanze estive.
9788846826312
Algebra QUADERNO OPERATIVO GEOMETRIA 1 ISBN
9788846826329
QUADERNO OPERATIVO GEOMETRIA 2 ISBN
9788846826336
QUADERNO OPERATIVO CHIMICA ISBN
9788846828101
Quaderno operativo per il recupero e il consolidamento
www.laspigaedizioni.it
BN IS
a ig 1 0-5 Sp ra 263 La eb 468g 8Al 978-8
Questo volume sprovvisto del talloncino a fianco è da considerarsi campione gratuito fuori commercio.
ALGEBRA 1 € 7,90
1
1
INDICE PRESENTAZIONE ................................................................................................................................................................... 3 Sezione 0 • Ripasso Lezione 1 • Gli insiemi N e Z ................................................................................................................................................ 4 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 13 Lezione 2 • L’insieme Q ....................................................................................................................................................... 15 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 27 Sezione 1 • Elementi di logica e algebra astratta Lezione 3 • La logica ............................................................................................................................................................ 28 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 36 Lezione 4 • La teoria degli insiemi ..................................................................................................................................... 37 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 48 Lezione 5 • Le relazioni e le funzioni ................................................................................................................................ 49 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 64 Sezione 2 • Calcolo letterale Lezione 6 • Dal numero alle lettere ................................................................................................................................... 65 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 73 Lezione 7 • Operazioni con i monomi ............................................................................................................................... 74 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 82 Lezione 8 • Operazioni con i polinomi .............................................................................................................................. 83 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 103 Lezione 9 • La scomposizione di un polinomio in fattori ............................................................................................. 104 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 118 Lezione 10 • MCD e mcm nel calcolo letterale ................................................................................................................ 119 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 122 Lezione 11 • Le frazioni algebriche ................................................................................................................................... 123 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 132 Sezione 3 • Equazioni e disequazioni Lezione 12 • Le equazioni e i problemi di primo grado .................................................................................................. 133 Autovalutazione 1 ........................................................................................................................................... 147 Autovalutazione 2 ........................................................................................................................................... 148 Lezione 13 • Le disequazioni .............................................................................................................................................. 149 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 156 Sezione 4 • Sistemi Lezione 14 • I sistemi di equazioni .................................................................................................................................... 157 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 171 Lezione 15 • I sistemi di disequazioni ............................................................................................................................... 172 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 177 SOLUZIONI ........................................................................................................................................................................... 178
Anna Calvi Gabriella Panzera Quaderno operativo Algebra 1 Coordinamento editoriale Beatrice Loreti Redazione Niccolò Terzi Art Director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano Progetto grafico e impaginazione Carlo Mella Copertina Studio Airone
2
© 2010 ELi – La Spiga Via Soperga, 2 – Milano Tel. 022157240 info@laspigaedizioni.it www.laspigaedizioni.it ELi Via Brecce – Loreto Tel. 071750701 info@elionline.com www.elionline.com
Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia – Foligno 10.83.080.0 ISBN 978-88-468-2630-5
Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualunque mezzo senza previa autorizzazione scritta da parte dell’editore.
La casa editrice La Spiga e l’ambiente La casa editrice La Spiga usa carta certificata FSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamo investire nel futuro di chi sceglie ed utilizza i nostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti sia con l’attenzione all’ambiente che ci circonda. Un piccolo gesto che per noi ha un forte significato simbolico. Il marchio FSC certifica che la carta usata per la realizzazione dei volumi ha una provenienza controllata e che le foreste sono state sottratte alla distruzione e gestite in modo corretto.
PRESENTAZIONE
Questi quaderni operativi non sono stati pensati come puro eserciziario, ma si propongono di affiancare lo studente come guida e aiuto nello studio quotidiano e come strumento di recupero per quelle nozioni fondamentali di matematica del biennio della Scuola Secondaria di Secondo Grado nelle quali risultasse carente.
I quaderni nascono con due finalità: • supporto didattico durante l’anno scolastico per gli alunni che vogliono integrare le attività proposte dal testo con altri esercizi e per gli alunni che necessitano di un recupero, grazie ai numerosi problemi ed esercizi completamente svolti per chiarire eventuali dubbi; • eserciziario da utilizzare durante le vacanze estive, utilizzabile in maniera autonoma rispetto al libro di testo grazie alle schede di ripasso della teoria e alla nutrita batteria di esercizi.
La collana si compone di due volumi di algebra, uno di geometria piana e uno di geometria solida. Ciascun testo è articolato in sezioni a loro volta suddivise in lezioni; ciascuna lezione si apre con un promemoria in cui è possibile trovare una sintesi schematica, ma completa, della teoria relativa all’argomento trattato cui fa seguito la parte operativa che comprende esercizi relativi alle conoscenze ed esercizi per verificare le abilità. Sono presenti numerosi esercizi svolti ed esercizi guidati che esemplificano tutte le tipologie di quesiti e problemi che il ragazzo si trova a dover affrontare nel corso del biennio superiore. Ogni esercizio proposto è completato dalla relativa soluzione (o alla fine dell’esercizio o nelle pagine finali del volume) per permettere allo studente un controllo del proprio lavoro. Ciascuna lezione si chiude con esercizi raccolti in una scheda di autovalutazione per dar modo allo studente di verificare il raggiungimento della preparazione sulla tematica affrontata.
3
Ripasso
Sezione 0 LEZIONE
1 1
Gli insiemi ⺞ e ⺪
PROMEMORIA L’insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, …} è infinito. I numeri naturali hanno un ordine e si possono rappresentare su una semiretta orientata. •
•
•
•
•
•
•
0
1
2
3
4
5
6
•
•
L’insieme dei numeri interi preceduti dal segno + o − è l’insieme dei numeri interi relativi Z = {… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} e può essere rappresentato su una retta orientata. •
•
−3
•
−2
•
−1
• 0
•
•
•
•
1
2
3
4
•
Il valore assoluto di un numero intero relativo è il numero stesso privato del segno:
| −3 | = | +3 | = 3 Numeri interi relativi concordi hanno lo stesso segno: +3; +5. Numeri interi relativi discordi hanno segno diverso: +3; −5. Numeri interi relativi opposti hanno stesso modulo e segno diverso: +3; −3. Operazioni negli insiemi N e Z OPERAZIONE Addizione 3+2=5 +3 + 2 = +5
Insieme N Insieme Z
PROPRIETÀ commutativa:
a+b=b+a
associativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
elemento neutro:
a+0=0+a=a
Sottrazione 5−2=3 +5 − 9 = −4
Insieme N Insieme Z
invariantiva:
commutativa: Moltiplicazione 3.2 = 6 (+3) . (+2) = +6 (+3) . (−2) = −6 (−3) . (−2) = +6
Insieme N Insieme Z Insieme Z Insieme Z
associativa:
4
Insieme N Insieme Z Insieme Z Insieme Z
a − b = (a + n) – (b + n) a − b = (a − n) − (b − n) a.b = b.a (a . b) . c = a . (b . c)
elemento neutro:
a + b) . c = a . c + b . c a – b) . c = a . c – b . c a.1 = 1.a = a
elemento annullatore:
a.0 = b.0 = 0
distributiva:
Divisione 10 : 2 = 5 (+10) : (+2) = +5 (+10) : (−2) = −5 (−10) : (−2) = +5
{
invariantiva: distributiva:
{ ((
a : b = (a . n) : (b . n) a : b = (a : n) : (b : n)
{ { ((
a + b) : c = a : c + b : c a – b) : c = a : c – b : c
Lezione 1 Gli insiemi ⺞ e ⺪
OPERAZIONE Potenze con esponente positivo 23 = 8 (+2)3 = +8 (−2)3 = −8 (−2)2 = +4 (+2)2 = +4
Insieme N Insieme Z Insieme Z Insieme Z Insieme Z
Potenze particolari
PROPRIETÀ
P R O M E M O R I A
prodotto di potenze di ugual base: am . an = am + n quoziente di potenze di ugual base: am : an = am − n potenza di potenza: (am) = am . n n
prodotto di potenze di ugual esponente: an . bn = (a . b)
n
quoziente di potenze di ugual esponente: an : bn = (a : b)
n
1n = 1 0 n = 0 con n diverso da 0 a1 = a con a diverso da 0 a0 = 1 con a diverso da 0 0 0 non ha significato
Un’espressione è una sequenza di operazioni da eseguire con le seguenti priorità: • si eseguono i calcoli contenuti nelle parentesi tonde; • si eseguono i calcoli contenuti nelle parentesi quadre; • si eseguono i calcoli contenuti nelle parentesi graffe. All’interno delle parentesi le priorità sono: • applicazione delle proprietà delle potenze; • sviluppo di singole potenze; • calcolo di moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui si trovano; • calcolo di addizioni e sottrazioni nell’ordine in cui si trovano. Criteri di divisibilità • Un numero è divisibile per 2 se il numero è pari, ad esempio: 102, 48, 111 178. • Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3, ad esempio: 42 ⇒ 4 + 2 = 6 1347 ⇒ 1 + 3 + 4 + 7 = 15 . • Un numero è divisibile per 5 se termina per 5 o per 0, ad esempio: 125, 420. • Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari (o viceversa) è 0 o un multiplo di 11. Ad esempio: 1210 ⇒ posto pari: 2 + 0 = 2 posto dispari: 1 + 1 = 2 ⇒ 2–2=0 3729 ⇒ posto pari: 7 + 9 = 16 posto dispari: 3 + 2 = 5 ⇒ 16 – 5 = 11 • Criterio generale di divisibilità: se un numero è divisibile per due o più numeri primi allora è divisibile anche per il loro prodotto e viceversa. Il massimo comun divisore (MCD) di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è il prodotto dei fattori comuni presi una sola volta con il minimo esponente. 45 = 32 . 5 150 = 3 . 52 . 2 MCD = 3 . 5 = 15 Esempio: MCD (45, 150) Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta con il maggior esponente. 45 = 32 . 5 Esempio: mcm (45, 150) 150 = 3 . 52 . 2 mcm = 2 . 32 . 52 = 450
5
Sezione 0 Ripasso
CONOSCENZE
E S E R C I Z I
1
Completa.
Indica a quale proprietà si riferiscono i seguenti enunciati.
a I termini di un’addizione si chiamano .......................................................................
3
b Il risultato di un’addizione si chiama
La somma di tre o più addendi non cambia se a due di essi si sostituisce la loro somma. a b c d e
....................................................................... c I termini di una sottrazione si chiamano .......................................................................
Commutativa Associativa Dissociativa Invariantiva Distributiva
d Il risultato di una sottrazione si chiama .......................................................................
4
e I termini di una moltiplicazione si chiamano ............................................................
Aggiungendo o sottraendo uno stesso numero a entrambi i termini di una sottrazione la differenza non cambia. a b c d e
f Il risultato di una moltiplicazione si chiama ................................................................ g I termini di una divisione si chiamano .......................................................................
5
h Il risultato di una divisione si chiama
2
Individua gli errori o le inesattezze e correggili. a Si definisce “relativo” un numero preceduto dal segno meno.
Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori. a b c d e
.......................................................................
6
....................................................................
Commutativa Associativa Dissociativa Invariantiva Distributiva
Commutativa Associativa Dissociativa Invariantiva Distributiva
Il prodotto (o il quoto) di un’addizione per un numero è uguale alla somma dei prodotti (o dei quoti) di ciascun termine dell’addizione per quel numero.
.................................................................... a b c d e
b Due numeri discordi sono opposti. .................................................................... .................................................................... c Il valore assoluto di un numero relativo è il numero con il segno opposto. .................................................................... .................................................................... d Due numeri relativi sono concordi se hanno lo stesso valore assoluto. .................................................................... ....................................................................
6
7
Commutativa Associativa Dissociativa Invariantiva Distributiva
La somma di due o più addendi non cambia se a uno di essi se ne sostituiscono altri, la cui somma sia uguale al numero sostituito. a b c d e
Commutativa Associativa Dissociativa Invariantiva Distributiva
Lezione 1 Gli insiemi ⺞ e ⺪
8
Completa.
9
a Una potenza è il prodotto di tanti fattori ....................... alla base quanti ne indica .......................
d Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base ......... ............................... e per esponente ......... ............................... degli esponenti. e Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente ........................................ e per base ............................... delle basi. f La potenza di una potenza è una potenza che ha per base ................................. e per esponente ....................... degli esponenti.
11
b V F La potenza di un numero relativo è sempre concorde con la base. c V F Il cubo di un numero negativo è sempre un numero negativo. d V F Un numero negativo elevato a 0 è uguale a −1. 10
Indica il risultato esatto. a (−4)3 =
−64
+64
12
b (−3)4 =
−81
+81
−12
c (+6)2 =
+36
−36
+12
d (+2)5 =
−32
+10
+32
e (−3)0 =
−1
0
+1
f −72 =
−49
−14
+49
g +42 =
+16
−16
+8
h (−5)1 =
5
1
−5
Vero o falso? a b c d e f g h i l m
12
E S E R C I Z I
a V F La potenza di un numero positivo è sempre positiva.
b Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base ......... ............................... e per esponente ......... ............................... degli esponenti. c Il ............................................................... ............................................... è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi.
Vero o falso?
V V V V V V V V V V V
F F F F F F F F F F F
Ciascun numero ha un numero finito di divisori. Ciascun numero ha un numero finito di multipli. Se a è divisore di b si verifica sempre a ≤ b. Due numeri sono primi tra loro se sono divisibili solo per l’unità e per se stessi. Il MCD di due o più numeri è il maggiore dei divisori comuni dei numeri dati. Il MCD di due o più numeri è il più grande dei divisori dei numeri dati. Il MCD di due o più numeri è sempre minore o uguale al minore dei numeri dati. Il MCD di due o più numeri non può essere uguale ad alcuno dei numeri dati. Il mcm di due o più numeri è il minore dei multipli comuni dei numeri dati. Il mcm di due o più numeri è sempre maggiore o uguale al maggiore dei numeri dati. Il mcm di due o più numeri primi tra loro è il loro prodotto.
Scegli tra divisore e multiplo. a
7è
divisore
multiplo di 35 .
b
27 è
divisore
multiplo di 3 .
c
24 è
divisore
multiplo di 12 .
d
9è
divisore
multiplo di 54 .
e
27 è
divisore
multiplo di 81 .
f
45 è
divisore
multiplo di 5 .
g 312 è
divisore
multiplo di 4 .
h
28 è
divisore
multiplo di 14 .
7
Sezione 0 Ripasso
ABILITÀ
E S E R C I Z I
13
14
Quali delle seguenti operazioni sono possibili nell’insieme N e quali nell’insieme Z? a 5+3−4= d 5.3:4 =
b 5−3−4= e 20 : 4 . 3 =
c 5.3.4 = f 5:3.4 =
g 2.0:3 =
h 15 : 3 . 4 =
i 2.3:0 =
l 15 : 3 : 4 =
m 15 : 3 − 15 =
n 30 : 2 : 6 =
o 15 : 4 − 4 =
p 3−5+5=
q 4 – 12 : 5 =
Considerando l’insieme N dei numeri naturali, completa le seguenti operazioni e indica con il nome appropriato il termine che hai inserito. a 40 : …… . 5 = 20
b 3 . 7 + …… = 23 e 6 + …… . 5 = 41
d 8 − 64 : …… = 0
[a 15
f 7 − …… : 5 = 2
10 divisore b 2 addendo c 24 dividendo d 8 divisore e 7 fattore f 25 dividendo]
Senza eseguire le operazioni verifica se le seguenti uguaglianze sono vere o false. a b c d e f g h i l
16
c 2 + …… : 6 = 6
V V V V V V V V V V
F F F F F F F F F F
7 + 5 . 2 . 3 = (7 + 5) . 2 . 3 = 7 + 5 . (2 . 3) (9 − 2) . (7 − 3) = (9 − 2) . 7 − (9 − 2) . 3 = 9 . (7 − 3) − 2 . (7 − 3) (5 + 2) . 3 · 1 = (5 + 2) . 3 = 5 + 2 . 3 . 1 5 . 4 + 15 . 4 + 4 = (5 + 15) . 4 3 . 0 . (7 − 3) = 3 . (7 − 3) 144 : 18 : 2 = (144 : 18) : 2 17 . 15 . 2 = (17 . 15) . 2 = 17 . (15 · 2) 132 : 4 : 3 . 7 = 33 : 3 . 7 = 11 . 7 132 : 4 : 3 . 7 = 33 : 21 72 . 4 : 2 = (72 . 4): 2 = 72 . (4 : 2)
Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi ed esegui poi i calcoli. a b c d e f g h
Somma a 27 il prodotto tra 33 e 15. Moltiplica la somma fra 27 e 33 per il numero 15. Dividi la somma di 9 e 15 per la differenza fra 13 e 9 e poi aggiungi 7. Aggiungi al quoziente tra 27 e 9 il quoziente fra 18 e 6. Dividi la differenza fra 28 e il quoziente tra 52 e 4 per la differenza fra 37 e 22. Sottrai a 28 il quoziente fra la differenza di 54 e 4 e la differenza fra 37 e 12. Aggiungi a 27 il quoziente fra la differenza tra 18 e 3 e il prodotto di 3 e 5. Sottrai al prodotto di 3, 5 e 2 il quoziente fra 72 e 8.
[a 17
Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false. a V F | −3 | = −3 c V F
8
522 b 900 c 13 d 6 e 1 f 26 g 28 h 21]
⎛ 3⎞ 3 = −⎜ − ⎟ 4 ⎝ 4⎠
b V F | +5 | = | 5 | d V F
+
3 3 =− 2 2
Lezione 1 Gli insiemi ⺞ e ⺪
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
E S E R C I Z I
ESERCIZIO SVOLTO 18
| +5 | − | −2 + 5 | + | 4 − 7 | = = | +5 | − | +3 | + | −3 | = 5 − 3 + 3 = 5 [10]
19
| 5 | + | +4 | + | −1 | =
20
| 3 − 11 | + | 2 − 1 | − | −8 | =
[ 1]
21
| −5 | − | −1 | − | −4 | =
[ 0]
Calcola il valore delle seguenti espressioni in N. ESERCIZIO SVOLTO 22
(12 . 6) : 8 + 6 . 4 . (20 − 5 − 12) − (2 . 5 + 4 + 3) . 3 : 4 . 9 − (41 − 5) + 30 : 2 + 7 = Eseguiamo i calcoli contenuti prima nelle parentesi tonde e poi nelle quadre, dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni secondo l’ordine in cui si trovano: = 72 : 8 + 6 . 4 . 3 − (10 + 4 + 3) . 3 : 4 . 9 − 36 + 30 : 2 + 7 = = 72 : 8 + 6 . 4 . 3 − 17 . 3 : 36 − 36 + 15 + 7 = 9 + 72 − 51 : 15 + 7 = 30 : 15 + 7 = 2 + 7 = 9
23 24 25 26
(4 . 7 . 0 : 12) . (18 : 18) . 2 . (9 − 2) . 3 − 50 : 2 + 4 − 1 = (2 . 3 + 6 − 5) . (9 . 2 − 16) + 3 + (44 : 11 + 17 . 2 + 4) : (2 . 5 − 3) =
{5 . 60 . 4 − 14 − 4 . (23 − 6 . 2) − 5 . 3 . 4 − 2 . 16 . 25} : (7 . 9 − 13) = {15 . 3 + 4 . 9 . (3 . 7 − 15) . 9 – 2 . (18 − 2 . 8) . (4 . 3 − 10) − 36 . 4} : (13 . 3) =
[ 3] [23] [ 1] [ 3]
Calcola il valore delle seguenti espressioni in Z. ESERCIZIO SVOLTO 27
(−3) . (−4) : (+6) − (−20) : (+5) + (−2) . (+15) : (−5) = Eseguiamo nell’ordine moltiplicazioni e divisioni: = +12 : (+6) − (−4) + (−30) : (−5) = +2 + 4 + 6 = +12
28
(32 − 17 + 18) : (29 − 10 − 8) − (50 − 25 − 5) : (22 − 12 − 6) =
[− 2 ]
29
(45 − 34 + 14) : (12 + 8 − 11 − 4) . (−14 + 8 + 4) + 7 =
[− 3 ]
30
(10 : 5 − 6) . (5 − 3) + (4 − 2) . (−5) + 20 + (−7 + 8) . 8 =
[10]
9
Sezione 0 Ripasso
31
E S E R C I Z I
Individua eventuali errori e correggili. a V F 53 . 52 . 55 . 5 . 54 = 514 c V F 22 . 32 . 52 . 42 = 1202 e V F 6 . 4 . 2 . 5 = 17 2
2
2
2
2
g V F 3 :3 = 3 14
13
i V F 18 : 18 = 18 12
3
4
m V F 75 : 15 = 5 4
q V F
32
0
[(54)3]2 = 59 {[(73)5]0}4 = 712
o V F
[a
4
.............
..............
b V F 32 . 3 . 36 . 33 . 38 . 34 = 324 d V F 22 . 12 . 42 . 32 = 248
..............
f V F 7 :7 = 7
.............
..............
h V F 6 :6 = 6
..............
l V F 36 : 4 = 9
..............
n V F 28 : 14 = 2
..............
p V F
..............
r V F
..............
15 4
5
.............
3
3
3
.............
3
5
3
5
............. 1
.............
{[(22)3]5}2 = 260 {[(53 : 5)4]2}3 = 548
............. .............
F 515 b V c V d F 242 e F 2402 f F 712 g V h V i F 189 l V m F 54 n F 25 o F 524 p V q F 70 r V]
Applicando le proprietà delle potenze, trasforma in un’unica potenza. a 35 . 33 =
b 413 . 44 =
c 107 . 103 =
d 55 . 57 =
e (−1)3 . (−1)5 =
f
(−5)3 . (−5)4 =
g 73 . 72 =
h 93 . 95 =
i
(−3)8 . (−3)5 =
m 107 : 105 =
n 156 : 154 =
l
(−2)2 . (−2)2 . (−2)2 = [a
38 b 417 c 1010 d 512 e (−1) = 1 f (− 5) g 75 h 98 i (− 3) 8
7
13
l (− 2) = (− 8) m 102 n 152] 6
2
Calcola il valore delle seguenti espressioni. ESERCIZIO SVOLTO 33
{ (−5) . (+5) . (−5) 2
3 3
2
} { (−53) . (−53)
3 8 9 : (−5) . (+5) . (−5) :
3
Ricordiamo le proprietà delle potenze: • prodotto di potenze di ugual base • quoziente di potenze di ugual base • potenza di potenza • prodotto di potenze di ugual esponente • quoziente di potenze di ugual esponente
9 2
: (+53)
8 3
}=
am . an = am + n am : an = am − n (am)n = am . n n an . bn = (a . b) n an : bn = (a : b)
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Nella seconda parentesi quadra compare un prodotto di potenze che apparentemente non hanno la stessa base in quanto il secondo fattore ha base uguale a +5 mentre gli altri fattori 8 8 hanno base uguale a −5, ma essendo (+5) = (−5) possiamo considerare quel prodotto come un prodotto di tre potenze con base uguale a −5 e quindi possiamo applicare la relativa proprietà: =
{ (−5) {
= (−5)
2+2+3 3
7.3
: (−5)
}{
3+8+9
:(−5) : (−53) 20
} : { (−53)
12 . 2
: (−53)
3+9 2
: (−53)
} = {(−5)
24
21
0
Ricorda che a0 = 1 per qualsiasi a ≠ 0; quindi: = −5 : 1 = −5
10
}{
7 3
: (−5)
20
:(−5) : (−53) : (−53)
= (−5) : (−53) = 1
} = { (−5)
8.3
20
24
24
} : { (−53)
: (−53)
} = {(−5)
} : {(−53)
12 2
21 − 20
}=
24
24 − 24
}=
Lezione 1 Gli insiemi ⺞ e ⺪
34
{ −18 . (+18) . (+18)
35
102 + 65 . 66 . 6 : (62)
36
(102)3 : 22 + (55 : 52 + 5) : 26 : 3 + (183 : 63) − 22 =
37
2
{
6 4
: (−18)
5 5
} : { (+9) . (−9)
11 3
5
: (63 . 6) : 66 2
{
3
} : (3 )
2 2
2 3
: (−9)
2 9
}=
[− 8 ]
− 34 =
[35]
}
[ 8]
3
2
(24)4 : (22)4 : (23)2 + (520)5 : (510)10 . (18 − 2 . 32) + 3 . 38 : (32)4 =
38
{ (3 − 5 . 2 + 5) . 2 − 2 + (3 . 5 ) − (2 . 3 ) : 17 + 3} : 8 =
39
42 − 28 : (42 − 32) . (23) : (1 + 38 : 37) + 1 − 12 : 22 =
[ 7]
2
4
4
2
4
{
2
2
3
2
[ 2]
3
}
2
[ 8]
40
(3 + 32 + 33) : (32 . 5 − 23 . 22) + 32 : (24 + 55 : 54 − 310 : 39) =
41
(43 . 33) : 33 + 22 : 17 + (34 − 32) : 32 + (22 + 3) : 3 − (36 : 35) =
42
72 . 22 − (3 . 24 + 107 : 105 + 23 . 3) : 23 − 26 : 43 + 70 =
2
{
[ 8]
}
4
[20] [ 3]
43
{ 1 + 2 + 3 . 3 + 2 − (2 + 3 + 4 + 3 ) : 2 + 3} : (2 . 3) + (5 + 2 + 3) : (5 : 5 ) =
[17]
44
{ (5 − 4 ) : (4 − 3)
[40]
2
3
2
3
8
3
4
2
3
2
0
2
}
2
2
5
4
3
+ 3 . (50 : 5) − 22 + 5 . (32 − 23) − 32 . (218 : 217) = 2
Calcola il MCD dei numeri dei seguenti gruppi. 45
a 84; 72
b 182; 120
46
a 340; 128
b 220; 432
47
a 432; 270
b 336; 420
48
a 512; 328
b 640; 592
49
a 4320; 2520
b 2700; 1728
50
a 1092; 8750
b 2145; 2500
[ a 12 [a 4 [ a 54 [a 8 [a
b 2] b 4] b 84] b 16]
360 b 108]
[a
14 b 5]
Risolvi i seguenti problemi sul MCD. ESERCIZIO SVOLTO 51
Due libri, uno di 224 pagine e uno di 352, vengono rilegati a fascicoli tutti dello stesso numero di pagine. Qual è il minor numero possibile di fascicoli che si possono ottenere da ciascun libro? Volendo il minor numero possibile di fascicoli, sarà necessario che ciascun fascicolo abbia il maggior numero possibile di pagine; dato che non devono avanzare pagine, dobbiamo calcolare il MCD dei numeri delle pagine. MCD (224, 352) = 32 ⇒ numero di pagine di ciascun fascicolo; le pagine del primo libro saranno riunite in 224 : 32 = 7 fascicoli; le pagine del secondo libro saranno riunite in 352 : 32 = 11 fascicoli.
11
E S E R C I Z I
Sezione 0 Ripasso
E S E R C I Z I
52
Tre bastoncini di legno lunghi rispettivamente 18 cm, 24 cm e 30 cm devono essere suddivisi in parti uguali e della massima lunghezza. Quale sarà tale lunghezza e quanti saranno i pezzi? [6 cm; 12]
53
Tre pezze di stoffa sono lunghe rispettivamente 9,6 m, 12 m e 16,8 m; si vogliono tagliare in modo da ottenere parti tutte uguali e della maggior lunghezza possibile. Quanti pezzi si otterranno? [16]
54
I tre lati di un triangolo misurano 140 cm, 126 cm e 105 cm. Li si vuole dividere in segmenti uguali della massima lunghezza possibile. Calcola la misura di ciascun segmento e il numero di parti in cui ciascun lato rimane diviso. [7 cm; 20; 18; 15]
55
Con 120 palline rosse e 96 verdi si vogliono confezionare dei sacchetti uguali contenenti il massimo numero di palline rosse e nere. Calcola quanti sacchetti si possono confezionare e quante palline di ciascun colore sono contenute in ciascun sacchetto. [24 sacchetti; 5 rosse; 4 nere]
Calcola il mcm dei numeri dei seguenti gruppi.
[a
440 b 210]
56
a 40; 44
b 70; 15
57
a 18; 56
b 294; 35
58
a 540; 288
b 325; 175
[a
4320 b 2275]
59
a 168; 160
b 810; 189
[a
3360 b 5670]
60
a 350; 250
b 210; 280
[a
1750 b 840]
61
a 216; 396
b 192; 256
[a
2376 b 768]
[a
504 b 1470]
Risolvi i seguenti problemi sul mcm. ESERCIZIO SVOLTO 62
Una cometa appare ogni 24 anni, un’altra ogni 32 e una terza ogni 36 anni. Se le tre comete sono apparse tutte nel 1737, quando si ripresenteranno nello stesso anno? Affinché le tre comete si ripresentino contemporaneamente dovrà passare un numero di anni divisibile per i tre periodi: dovremo quindi calcolare il mcm di 24, 32, 36. mcm (24, 32, 36) = 288 ⇒ è il numero di anni che deve trascorrere perché si verifichi il passaggio contemporaneo delle tre comete; 1737 + 288 = 2025 ⇒ anno in cui le tre comete si ripresenteranno.
63
Paolo mangia il risotto un giorno sì e uno no, mangia il pollo ogni 3 giorni e il gelato ogni 5. Se Paolo ha mangiato questi tre cibi il 24 febbraio 2008, in quale data li ha mangiati di [23 marzo 2008] nuovo nello stesso pasto?
64
Tre pendoli compiono rispettivamente 60, 72 e 96 oscillazioni al minuto; se in un certo istante si trovano contemporaneamente all’inizio delle oscillazioni, dopo quanto tempo si ritroveranno nella stessa posizione? [24 ore]
65
12
Un’automobile deve cambiare l’olio ogni 5000 km, il filtro ogni 10 000 km e le gomme ogni 16 000 km. Quanti chilometri deve percorrere l’auto prima che tutti e tre i cambi avvengano [80 000 km] nel medesimo momento?
66
Un rappresentante di commercio visita un cliente ogni 15 giorni, un secondo rappresentante ogni 20 e un terzo ogni 25. Sapendo che oggi i tre rappresentanti si sono trovati contemporaneamente da quel cliente, tra [300] quanti giorni si rincontreranno?
67
Tre linee tranviarie partono dallo stesso capolinea: la prima compie il percorso di andata e ritorno in 45 minuti, la seconda in 60 minuti e la terza in 90 minuti. Se le tre vetture partono contemporaneamente alle tre del pomeriggio, quando si ritroveranno insieme al capolinea? [alle 18]
Sezione 0 LEZIONE
AUTOVALUTAZIONE
1
Vero o falso? a V F In nessuno degli insiemi numerici N e Z il termine “somma” è sinonimo del termine “addizione”. b V F Negli insiemi numerici N e Z la somma di due numeri è sempre maggiore di ciascuno degli addendi. c V F Negli insiemi numerici N e Z l’addizione è un’operazione sempre possibile. d V F Nell’insieme numerico Z la sottrazione è un’operazione sempre possibile. e V F La moltiplicazione è un’operazione sempre possibile negli insiemi N e Z. f V F Nell’insieme numerico Z la divisione è un’operazione non sempre possibile. g V F Nell’insieme numerico N la divisione e la sottrazione sono operazioni sempre possibili. h V F Negli insiemi numerici N e Z l’addizione gode della proprietà commutativa. i V F Nell’insieme numerico Z, ma non nell’insieme N, la sottrazione gode della proprietà invariantiva. l V F Negli insiemi numerici N e Z la proprietà dissociativa vale solo per l’addizione. m V F Negli insiemi numerici N e Z l’addizione e la moltiplicazione godono della proprietà associativa. n V F Nell’insieme numerico Z la sottrazione gode della proprietà commutativa. o V F Negli insiemi numerici N e Z la proprietà distributiva vale per l’addizione e per la moltiplicazione. p V F Negli insiemi numerici N e Z, 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione e dell’addizione. q V F Nell’insieme numerico N, 0 è l’elemento neutro della sottrazione.
1 1
Indica quale proprietà è stata applicata. 2
25 + 14 + 3 + 11 = 3 + 14 + 11 + 25 = 53. a Commutativa b Associativa c Dissociativa d Invariantiva e Distributiva
3
128 − 56 = (128 − 8) − (56 − 8) = 120 − 48 = 72 a Commutativa b Associativa c Dissociativa d Invariantiva e Distributiva
4
48 + 12 + 7 = 60 + 7 = 67 a Commutativa b Associativa c Dissociativa d Invariantiva e Distributiva
5
(35 − 15 + 20 − 70) : (+5) = 7 + 3 + 4 − 14 = 0 a Commutativa b Associativa c Dissociativa d Invariantiva e Distributiva
6
18 . 5 . 6 = 18 . 5 . 2 . 3 = 540 a Commutativa b Associativa c Dissociativa d Invariantiva e Distributiva
13
Sezione 0 Ripasso
A U T O V A L U T A Z I O N E
Calcola il valore delle seguenti espressioni. 7
3 . 4 + 80 − (2 + 8 . 5) + 5 . (7 − 1 . 4) − (3 + 3 . 2 . 2) . 4 =
8
14 − (22 + 4 − 17) − (5 − 7) . (−9 + 27 − 21) . (28 − 11 − 13) =
9
(−4) . 9 + −5 + [−2 . (−13) + (−6) . 5 − 3 + 18] . (−1) − 2 =
10 11
{
}
{ 2 . (6 . 2 − 10) − 2
} { (−6 + 34) : 2 : (−12 + 14) – 35 : (−7) – (2 . 24 − 55) } = (2 . 3 − 2 . 17) : {2 − 5 . 2 − (2 + 2 ) + 7 . 2 + 2 . 3 } = 2 . { 2 . 9 − (3 − 2 . 3) . 2 : (5 − 2 − 3) + 7} : (2 − 2 ) = 2
+ (7 − 32 : 2) .
3 2
2
8
3
6
2
3
0
2
12 13 14 15
16
2
2
5
5
2
4
6
4
(2 . 7 + 2)3 : (2 . 3 + 2)3 + 5 . 6 − (52 − 32) + 1 : (57 : 54) = 3
{2 . 7 : (3 − 5) − 3 } − { 2 + 2 . (2 . 3 − 3 ) − (14 . 10 + 41)} = { (8 : 8 + 5 : 5 − 3 ) : 4 + 5 − 2 . 2 : 3 . 2 − (2 ) − 2 } : 3 = 2
2
7
2
2
5
8
6
2
2
2 2
2
2
0
2
2
2
2 2 2
2
2
Sono dati tre numeri naturali x, y, z tali che x = y . z. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false.
2
2 2 2
18
b V F z è divisore di x. c V F y è multiplo di z. d V F x è multiplo di y e di z. e V F x è divisibile per y. f V F z è divisibile per x. Senza eseguire calcoli, rispondi alle seguenti domande. a 5 è divisore del prodotto 3 . 11 . 13? b 5 è divisore del prodotto 9 . 10 . 13? c Il prodotto 13 . 15 . 8 è multiplo di 6? . . d Il quoziente 10 15 9 è multiplo di 30? 14 . 11
19
e Tra i primi cinque multipli di 8 c’è un multiplo di 6?
14
Vero o falso?
Calcola il MCD dei numeri delle seguenti coppie. a 868; 196
20
f Tra i primi quattro multipli di 6 c’è anche un multiplo di 15?
2
a V F Due numeri sono primi tra loro se non hanno divisori comuni. b V F Se un numero è divisibile per 2 è anche divisibile per 4. c V F Se un numero è divisibile per 6 è anche divisibile per 3. d V F Il quadrato di un numero primo è sicuramente un numero primo. e V F Il MCD di due o più numeri è sempre minore dei numeri stessi. f V F Non sempre esiste il mcm di due o più numeri. g V F La scomposizione in fattori primi di 36 è 22 . 9. h V F MCD (6, 9) = 3 i V F Il MCD di due numeri primi è 1. l V F mcm (70, 80) = 10 m V F Il mcm di un numero pari e un numero dispari è un numero pari.
a V F x è multiplo di y.
17
2
4
b 495; 405
Calcola il mcm dei numeri delle seguenti coppie. a 735; 315
b 280; 168