Alessandro Bocconi
2.10
55
Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numeri naturali
(Nel titolo del paragrafo abbiamo usato il termine non negativo invece che positivo per poter comprendere anche lo 0). Come possiamo osservare le espressioni con i numeri interi hanno una notazione piuttosto pesante, con un massiccio uso di parentesi. Per poter alleggerire questa notazione `e stata stabilita la seguente corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi: Corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi. • Ad ogni numero intero positivo corrisponde il numero naturale uguale al suo valore assoluto (Esempio: al numero intero +3, corrisponde il numero naturale 3). • Ad ogni numero naturale corrisponde il numero intero positivo che ha come valore assoluto quel numero naturale (Esempio: al numero naturale 7, corrisponde il numero intero +7). • Allo 0 dei numeri interi corrisponde lo 0 dei numeri naturali, e viceversa. Si osservi che si tratta di una corrispondenza biunivoca, cio`e ad ogni numero intero non negativo corrisponde uno e un solo numero naturale e viceversa. Tramite questa corrispondenza abbiamo identificato l’insieme dei numeri naturali con l’insieme dei numeri interi non negativi. Prima di procedere, possiamo finalmente spiegare il motivo per cui il prodotto di due numeri interi positivi `e positivo. Il prodotto di due numeri interi positivi ` e positivo. Supponiamo di dover effettuare il prodotto (+3) · (+5). Tramite la corrispondenza appena vista possiamo affermare che tale prodotto `e equivalente nei numeri naturali a 3 · 5 che ha come risultato 15. Ma il numero naturale 15 corrisponde nei numeri interi a +15. Quindi deve risultare che: (+3) · (+5) = +15 che spiega perch´e `e stato scelto che il prodotto di due numeri positivi sia positivo. Alla luce di quanto visto, vediamo come si trasformano le espressioni: • Se all’intero di una parentesi abbiamo un unico numero intero e la parentesi `e preceduta dal segno + oppure −, si levano le parentesi e come unico segno si segue la regola dei segni del prodotto fra il segno che precede la parentesi e quello all’interno della parentesi. • Al posto di un numero intero positivo scriviamo il numero naturale formato dal suo valore assoluto. • Nel caso di un numero intero negativo all’inizio di un’espressione, si pu`o scrivere tale numero senza le parentesi. Esempi .
(+3) + (+7) = +10
diventa
3 + 7 = 10
. (+3) + (−7) = −4 diventa 3 − 7 = −4 (perch´e +(−7) diventa −7 in quanto, per la regola dei segni del prodotto, “pi` u per meno uguale meno”).