Alessandro Bocconi
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• La potenza di un numero intero avente base negativa ha: – segno positivo se l’esponente `e pari (esempio 3) – segno negativo se l’esponente `e dispari (esempio 4) • La potenza che ha per base 0 e per esponente un numero diverso da 0 `e sempre 0 (esempio 5) • La potenza che ha per base qualunque numero intero diverso da 0 e come esponente 0 `e sempre (+1) (esempio 6) • 00 non ha significato (esempio 7) Osservazione. Nelle regole appena viste abbiamo affermato che qualunque numero intero diverso da zero, elevato a 0, `e uguale a +1. Che il valore assoluto sia 1 viene dalle osservazioni fatte per le potenze nei numeri naturali. Ci si potrebbe allora chiedere perch´e non −1. Una delle possibili risposte consiste nel fatto che una potenza con esponente pari, qualunque base abbia purch´e diversa da 0, ha segno positivo. Essendo 0 un numero pari, una potenza con esponente 0 deve avere segno positivo. Le propriet` a delle potenze dei numeri interi. Le propriet`a delle potenze dei numeri naturali (vedi paragrafo 1.10) rimangano invariate nei numeri interi, con la differenza che, in quest’ultimo caso, le basi delle potenze sono numeri interi. Effettuiamo alcuni esempi: . (+2)4 · (+2)3 Si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base. La prima propriet`a delle potenze ci dice che il prodotto fra due potenze aventi la stessa base `e una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti; quindi, dato che 4 + 3 = 7 si ha: (+2)4 · (+2)3 = (+2)7 = +128 (se la potenza rappresenta un numero elevato si pu`o lasciare sotto forma di potenza e non `e necessario calcolarla. In questo caso quindi possiamo lasciare come risultato (+2)7 ) . (−1)2 · (−1)3 Come nell’esempio precedente, si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base. Il prodotto `e una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti; quindi, dato che 2 + 3 = 5, si ha: (−1)2 · (−1)3 = (−1)5 = −1 (Osservazione. Si noti che l’ultimo esempio non `e in contraddizione con la regola dei segni: infatti all’obiezione che (-1) moltiplicato (-1) ha come risultato (+1), si risponde col fatto che non va effettuato il prodotto delle basi, ma applicata la prima propriet`a delle potenze. Quindi, dato che la base delle due potenze `e −1, anche il risultato deve avere la stessa base cio`e −1). . (−5)7 : (−5)5 Si tratta di una divisione fra due potenze aventi la stessa base. La seconda propriet`a delle potenze ci dice che il quoziente fra due potenze aventi la stessa base `e una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti; quindi, dato che 7 − 5 = 2 si ha: (−5)7 : (−5)5 = (−5)2 = +25