Alessandro Bocconi
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3 · 3 = |3 · 3 · 3 ·{z 3 · 3 · 3 · 3} = 37 35 · 32 = |3 · 3 ·{z 3 · 3 · 3} · |{z} 5 volte 2 volte 7 volte Quindi il risultato ha la stessa base dei fattori (cio´e 3) e come esponente la somma degli esponenti (cio´e 5 + 2 = 7). 2. Il quoziente fra due potenze aventi la stessa base, in cui la prima (dividendo) deve avere l’esponente maggiore della seconda (divisore), `e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Verifichiamo con un esempio: 57 : 54 Dal momento che il quoziente `e quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 54 ha come risultato 57 . Grazie alla prima propriet` a possiamo affermare che 53 · 54 = 57 , e quindi 53 `e il risultato cercato. Quindi il risultato ha la stessa base del dividendo e del divisore (cio´e 5) e come esponente la differenza degli esponenti (cio´e 7 − 4 = 3). 3. La potenza di una potenza `e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Verifichiamo tale propriet` a con un esempio: (35 )2 = 3| 5{z · 3}5 = per la prima propriet` a = 35+5 = 310 2 volte dove la parentesi iniziale sta a indicare che prima si determina 35 e poi si eleva alla seconda. Quindi il risultato ha la stessa base iniziale (cio´e 3) e come esponente il prodotto degli esponenti (cio´e 5 · 2 = 10). 4. Il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente `e una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi. Verifichiamo tale propriet` a con un esempio: 24 · 34 = |2 · 2{z · 2 · 2} · 3 · 3 · 3} = per la propriet` a commutativa della moltiplicazione | · 3{z 4 volte 4 volte = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = |6 · 6{z · 6 · 6} = 64 | {z } 4 volte 4 volte Quindi il risultato ha la stesso esponente dei fattori (cio´e 4) e come base il prodotto delle basi (cio´e 2 · 3 = 6). 5. Il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente `e una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. Verifichiamo con un esempio: 87 : 27 Dal momento che il quoziente `e quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 27 ha come risultato 87 . Grazie alla quarta propriet` a possiamo affermare che 47 · 27 = 87 , e quindi 47 `e il risultato cercato. Quindi il risultato ha lo stesso esponente del dividendo e del divisore (cio´e 7) e come base il quoziente delle basi (cio´e 8 : 2 = 4). Potenza con esponente zero. Dalla definizione che abbiamo dato di potenza risulta che non ha senso una potenza con esponente zero: infatti, nella stessa definizione, abbiamo specificato che l’esponente fosse un numero naturale maggiore di zero. Risulta per`o estremamente utile dare un significato, e quindi un valore, ad una potenza, di base maggiore di zero, il cui esponente `e zero.