Zur Dreierdeck-Theorie laminarer, inkompressibler Grenzschichtströmungen

Universität Hamburg Fachbereich Mathematik

DIPLOMARBEIT Zur Dreierdeck-Theorie laminarer, inkompressibler GrenzschichtstrĂśmungen

Vorgelegt von:

Stefan Grell

zum Erlangen des akademischen Grades

Diplom-Mathematiker (Dipl.-Math.)

Betreuer: Prof. Dr. Jens Struckmeier

Selbst채ndigkeitserkl채rung

Ich versichere an Eides statt, dass ich die Arbeit selbstst채ndig verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel und Quellen benutzt habe.

Hamburg, den

Unterschrift

ii

Kurzfassung Die Ablösung oder Separation einer Strömung von der Oberfläche eines festen Körpers sowie die daraus resultierende Strömung gehören zu den fundamentalsten und am schwierigsten zu untersuchenden Phänomenen der Strömungsmechanik. Bereits Mitte des 19. Jahrhunderts wurden Versuche unternommen solche Strömungen mathematisch zu beschreiben.

Insbesondere die Arbeiten von Helmholtz[22] und Kirchhoff[34] zu Ablösungserscheinungen hinter abgerundeten Körpern müssen in diesem Zusammenhang erwähnt werden.

Vor der Entwicklung der Grenzschichttheorie am Anfang des 20. Jahrhunderts durch Ludwig Prandtl[50] allerdings standen zufriedenstellende Methoden zur Untersuchung abgelöster Strömungen nicht zur Verfügung. Prandtls Forschungen zu Strömungen bei hohen Reynoldszahlen erwiesen sich als essentiell für alle nachfolgenden Arbeiten.

Eine herausragende Rolle beim Verständnis der Separation spielt der Interaktionsbereich, in dem viskose Grenzschicht und nahezu reibungsfreier Außenbereich der größten gegenseitigen Beeinflussung unterliegen. Starker Druckanstieg vor dem Punkt der Ablösung führt zum rapiden Abbremsen des Fluids und schließlich im Separationspunkt zur Umkehr der Strömungsrichtung. Erste Arbeiten über die asymptotischen Strukturen, die der Beschreibung des Interaktionsgebiets dienen, wurden in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts veröffentlicht [43, 48, 66]. Außerhalb des Interaktionsbereichs ist es oft möglich analytische oder selbstähnliche Lösungen anzugeben, näheres dazu findet sich am Ende des 1. Kapitels. Die Komplexität der physikalischen Prozesse innerhalb des Interaktionsgebiets und die daraus resultierenden mathematischen Schwierigkeiten, machen spezielle numerische Methoden zur Untersuchung notwendig. In vielen Fällen ist das Auffinden einer numerischen Lösung der einzige Hinweis darauf, dass eine Lösung zu diesem speziellen Problem überhaupt existiert [67]. Für bestimmte Strömungssituationen wie zum Beispiel Eckenumströmungen mit größeren (aber immer noch asymptotisch kleinen) Winkeln, wurden noch keine Lösungen gefunden. Für andere Winkelparameter konvexer Ecken ergeben sich Mehrfachlösungen sowohl mit als auch ohne Ablösegebiet, sowie mit Ablösegebieten unterschiedlicher Länge [31]. Informationen über die Existenz und Eindeutigkeit oder vielmehr Nichteindeutigkeit der Lösungen von Interaktionsproblemen sind grundlegend für das Verständnis abgelöster und auch anliegender Strömungen.

Die Grundlage der Interaktionsrechnung zwischen viskosen und reibungsfreien Schichten bilden aufeinander aufbauend die asymptotische Theorie, die Grenzschichttheorie und schließlich die Dreierdeck-Theorie. Diese werden in den ersten beiden Kapiteln dieser Arbeit erläutert. In Kapitel 3 wird ein numerisches Verfahren zur Interaktionsrechnung beschrieben. Die Ergebnisse der Umsetzung dieses Verfahrens werden in Kapitel 4 gezeigt und mit den Ergebnissen früherer Arbeiten verglichen.

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Inhaltsverzeichnis 1 Grundriss der Grenzschichttheorie 1.1 Gleichungen der Strömungsmechanik . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Reynoldszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Reibungsfreie Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4 Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Grundlagen der asymptotischen Analysis . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Störungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Methode der angepassten asymptotischen Entwicklung 1.3 Klassische Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Blasius-Lösung der laminaren Grenzschichtströmung .

1.3.2 Falkner-Skan-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Ablösung und Goldstein-Singularität . . . . . . . . . .

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1 . 1 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 7 . 8 . 9 . 13 . 15 . 18

2 Interaktion 2.1 Triple Deck . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Unterdeck . . . . . . . . .

2.1.2 Hauptdeck . . . . . . . .

2.1.3 Oberdeck . . . . . . . . .

2.2 Kopplung . . . . . . . . . . . . .

2.3 Störung durch Wanddeformation 2.4 Eckenumströmungen . . . . . . .

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19 20 21 22 23 24 26 29

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31 31 32 32 32 35 36 36 37 37 39 39 41

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3 Numerische Behandlung 3.0.1 Gitter . . . . . . . . . . . . . . .

3.0.2 Feldverfahren . . . . . . . . . . .

3.1 Grenzschichtrechnung . . . . . . . . . .

3.1.1 Crank-Nicolson-Schema . . . . .

3.1.2 Unterdeckrechnung . . . . . . . .

3.1.3 Wandschubspannung . . . . . . .

3.1.4 Rückstromgebiete . . . . . . . . .

3.2 Außenströmung . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Berechnung des Hilbert Integrals 3.3 Interaktionsrechnung . . . . . . . . . . .

3.3.1 Klassifizierung der Verfahren . .

3.3.2 Das verwendete Verfahren . . . .

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4 Numerische Experimente 44 4.1 “Witch of Agnesi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2 Fragmentierte Konturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Eckenumströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Resümee

56

iv

Inhaltsverzeichnis A Anhang 58 A.1 Zur Kopplungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 A.2 Zu den Linearisierten Dreierdeck-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Literaturverzeichnis

63

v

1 Grundriss der Grenzschichttheorie 1.1 Gleichungen der Strömungsmechanik 1.1.1 Navier-Stokes-Gleichungen Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Strömung in Flüssigkeiten und Gasen und sind ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Folgende Darstellung beschränkt sich auf sogenannte inkompressible Strömungen. Als solche werden Strömungen bezeichnet, bei denen die Dichte ρ entlang einer Teilchenbahn keinen nennenswerten Änderungen unterliegt. Idealisierend wird dann die Dichte als konstant angesehen ( ∂ρ ∂t + (U · ∇)ρ = 0). Für Flüssigkeiten ist diese Vereinfachung in der Regel zulässig, solange sie keinen allzu großen Druckänderungen unterworfen sind. Für ideale Gase können über die Energieerhaltung Dichteänderungen und Machzahl M zueinander in Beziehung gesetzt werden (eine ausführliche Herleitung findet man in [1] Abschnitte 8.4 und 8.5). Es gilt

1 ρ0 κ − 1 2 κ−1 = 1+ M ρ 2 mit ρ0 der Ruhedichte, die der Dichte des Fluids entspricht, wenn es isentrop zum Stillstand gebracht würde. Je nach geforderter Genauigkeit kann bei bekanntem Isentropenkoeffizienten entschieden werden, ab welcher Machzahl die Annahme der Inkompressibilität noch vertretbar ist. Bei einem Isentropenkoeffizient von κ = 1, 4 werden üblicherweise Grenzwerte M = 0.3 und M = 0.14 herangezogen. Für Machzahlen unterhalb dieser Werte bleiben Dichteänderungen kleiner als 5% bzw. kleiner als 1%.

Für Newtonsche Fluide lauten die räumlich n-dimensionalen, inkompressiblen NavierStokes-Gleichungen

∇·U ∂U 1 + (U · ∇)U + ∇p − ν∆U ∂t ρ

= 0

(1.1)

= f,

(1.2)

wobei mit U das Geschwindigkeitsfeld und mit p der Druck bezeichnet wird. Da in der Regel ausschließlich zwei- und dreidimensionale Fälle betrachtet werden, werden die üblichen Notationen genutzt, um Dimensionsindices zu vermeiden. So wird die Position im Beobachtungsgebiet mit x = (x, y, z) angegeben und das Geschwindigkeitsfeld entsprechend mit U = (u, v, w). Mit diesen Notationen gilt dann wie üblich ∂ ∂ ∂ , , ) ∂x ∂y ∂z ∂2 ∂2 ∂2 + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

∇ = ( ∆ =

Außerdem entspricht ν der kinematischen Viskosität des Fluids und in f sind die von außen auf das Fluid einwirkenden Kräfte zusammengefasst. Die Divergenzfreiheit nach

1

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Gleichung (1.1) besagt, dass das Geschwindigkeitsfeld im Beobachtungsgebiet quellfrei ist. Dies ist eine alternative Charakterisierung inkompressibler Strömung, weshalb (1.1) auch Inkompressibilitäts- oder Kontinuitätsgleichung genannt wird. Die Gleichungen (1.2) heißen Impulsgleichungen. Hier sind Massenkräfte und Oberflächenkräfte bilanziert.

Eine ausführliche Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen findet sich beispielsweise in [2].

Die Navier-Stokes-Gleichungen können weiter vereinfacht werden, indem man sich auf stationäre Strömungen beschränkt; es gilt dann ∂U ∂t = 0. In vielen Anwendungsfällen ist außerdem die Erdanziehungskraft die einzige äußere Kraft, die auf das Fluid wirkt.

Diese lässt sich bei gleichbleibender Dichte mit dem Druck zusammenfassen. Es ist üblich den modifizierten Druck einzuführen mit pmod = p(x, y, z) − p∞ + ρgz. p∞ ist dabei konstant und die Erdanziehungskraft wirkt in negativer z-Richtung. g kennzeichnet die Erdbeschleunigung. Im dreidimensionalen Fall ohne weitere äußere Kräfte nehmen die Gleichungen (1.1), (1.2) dann die Form

−ν −ν −ν

∂2u ∂2v ∂2w + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

!

∂2v ∂2v ∂2v + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

!

∂2w ∂2w ∂2w + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z

=0

(1.3)

+u

∂u ∂u ∂u 1 ∂pmod +v +w + ∂x ∂y ∂z ρ ∂x

=0

(1.4)

+u

∂v ∂v 1 ∂pmod ∂v +v +w + ∂x ∂y ∂z ρ ∂y

=0

(1.5)

∂w ∂w 1 ∂pmod ∂w +v +w + ∂x ∂y ∂z ρ ∂y

=0

(1.6)

!

+u

an.

Für die nachfolgenden Betrachtungen sollen die Navier-Stokes-Gleichungen zunächst in dimensionslose Gleichungen überführt werden. Dafür müssen die betrachteten physikalischen Größen entdimensionalisiert werden. Es werden dazu Referenzgrößen eingeführt. Je nach Problemstellung wähle man also eine charakteristische Länge L, beispielweise die Länge eines umströmten Körpers oder die Weite des betrachteten Gebiets. Die Anströmgeschwindigkeit U∞ eignet sich als eine charakteristische Geschwindigkeit und ρR sei eine Referenzdichte (z.B. Ruhedichte ρ0 ). Mit diesen lassen sich dimensionslose Variablen definieren: ∗

∗

∗

∗

x = (x , y , z ) =

x y z , , L L L

ρ∗ = Mit ∇ = ( ∂x∂ ∗ , ∂y∂ ∗ , ∂z∂ ∗ ) und ∆ =

∂2 ∂x∗2

∗

∗

∗

∗

, U = (u , v , w ) =

u v w , , U∞ U∞ U∞

,

ρ p , p∗ = 2 ρR ρ R U∞ +

∂2 ∂y ∗2

+

∂2 ∂z ∗2

entsprechen

∇ · U∗ = 0 ν 1 − ∆U ∗ + (U ∗ · ∇)U ∗ + ∇p∗ = 0 U∞ L ρ

(1.7)

den Gleichungen (1.3)-(1.6) in dimensionloser Gestalt.

1.1.2 Reynoldszahl L Man nennt Re = U∞ die Reynoldszahl. Physikalisch ist sie von großer Bedeutung für die ν betrachtete Strömung. Mit Hilfe der eingeführten charakteristischen Größen lassen sich die Größenordnungen der einzelnen Terme der Navier-Stokes-Gleichungen abschätzen. In nicht

2

1 Grundriss der Grenzschichttheorie allzu großer Nähe zu festen Oberflächen kann angenommen werden, dass Veränderungen der Strömungsgrößen in der Größenordnung von L sein werden. Die Geschwindigkeiten und damit auch ihre Änderung werden hier in der Größenordnung von U∞ liegen. Als grobe U∞ Abschätzung des Ableitungsterms erhält man somit ∂u ∂x ∼ L . Auf gleiche Weise ergeben sich für die konvektiven und diffusiven Terme Abschätzungen u

∂u U2 ∂2u U∞ ∼ ∞ , und ν 2 ∼ ν 2 . ∂x L ∂x L

In den Bereichen, in denen diese Abschätzungen gültig sind, die gewählten Referenzgrößen also tatsächlich charakteristisch sind für die betrachtete Strömung, ist mit der Reynoldszahl U∞ L ∂2u die Relation von Konvektion zu Diffusion u ∂u angegeben. Damit beinhaltet ∂x /ν ∂x2 ∼ ν die Reynoldszahl bereits wichtige Informationen über das zu erwartende Verhalten der betrachteten Strömung. Beim Vergleich zweier Strömungen lassen ähnliche Reynoldszahlen auf ein ähnliches Verhalten schließen. Das gilt insbesondere für deren Turbulenzverhalten. In vielen praktischen Anwendungen betrachtet man Probleme mit sehr großen Reynoldszahlen, da die in der Praxis interessantesten Fluide Wasser und Luft sehr niedrige Viskosität haben oder die typischen Geschwindigkeiten sehr groß sind.

1.1.3 Reibungsfreie Strömungen Mit einer abkürzenden Schreibweise für die partiellen Ableitungen können die Strömungsgleichungen sehr viel übersichtlicher gestaltet werden. Der Vollständigkeit halber seien hier nun noch einmal die Kontinuitäts- und Impulsgleichungen einer stationären, zweidimensionalen, inkompressiblen Strömung (1.7) in Indexnotation angegeben. (Es wurde dabei auf die doppelte Kennzeichnung der dimensionslosen Terme verzichtet, es entspricht also z.B. ∗ u∗x dem Term ∂u ∂x∗ .) u∗x + vy∗ = 0 1 1 − (u∗xx + u∗yy ) + u∗ u∗x + v ∗ u∗y + ∗ p∗x = 0 Re ρ 1 ∗ 1 ∗ − (vxx + vyy ) + u∗ vx∗ + v ∗ vy∗ + ∗ p∗y = 0 Re ρ

(1.8) (1.9) (1.10)

Für sehr großen Reynoldszahlen sind die viskosen Terme in den Impulsgleichungen sehr klein und können in erster Näherung vernachlässigt werden. Die Impulsgleichungen vereinfachen sich zu den stationären Eulergleichungen (hier dimensionslos) 1 (U ∗ · ∇)U ∗ + ∇p∗ = 0, ρ

(1.11)

die reibungsfreie Strömungen beschreiben. Liegt Inkompressibilität und Reibungsfreiheit vor spricht man auch von idealen Fluiden. Zur Darstellung der Strömungsgleichungen wird häufig die Stromfunktion ψ eingeführt. In orthogonalen Koordinaten ist sie definiert durch die Beziehungen ψy = u∗ , ψx = −v ∗ .

(1.12) Definitionsgemäß ist die Kontinuitätsgleichung damit erfüllt. Die Wirbelstärke oder Vortizität des Geschwindigkeitsfeldes ist definiert durch ω = ∇ × U ∗,

(1.13)

3

1 Grundriss der Grenzschichttheorie wobei U ∗ der Vektor der Geschwindigkeit ist. Anschaulich beschreibt die Vortizität die Tendenz des Fluids Wirbel zu bilden. Wirbelfreiheit oder Rotationsfreiheit ist gegeben für ω = 0 in zweidimensionalen Strömungen also für vx∗ − u∗y = 0.

Für die Stromfunktion wird dadurch die Gültigkeit der Laplace-Gleichung 4ψ = 0 impliziert. Ist eine Strömung mit vernachlässigbarer Reibung zusätzlich wirbelfrei, dann besitzt das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeiten ein Potential. Man spricht dann von Potentialströmungen.

Die Einführung der Begriffe erfolgt in diesem Abschnitt sozusagen im “Vorübergehen” und zielt lediglich auf die Verwendung im späteren Text ab.

1.1.4 Grenzschicht In unmittelbarer Nachbarschaft einer festen Oberfläche verlieren Näherungen, die die Reibung vernachlässigen ihre Gültigkeit. Direkt an der Oberfläche eines umströmten Körpers gilt die sogenannte Haftbedingung. Das heißt, dort gleitet das Fluid nicht reibungslos sondern haftet an der Oberfläche. In der unmittelbaren Nähe der Oberfläche ist dementsprechend der Geschwindigkeitsgradient in Richtung dieser Oberfläche sehr groß und die Viskosität gewinnt in diesem Bereich als Faktor der Reibungsschubspannung wieder an Einfluß auf die Strömung. Nach dem Newtonschen Reibungsgesetz gilt für die Reibungsschubspannung τ ∂u τ = νρ .

(1.14) ∂y In einer dünnen Schicht in Wandnähe vollzieht sich der Übergang von der Geschwindigkeit 0 an der Oberfläche zu der der “reibungslosen” Strömung. In diesem Bereich befindet sich die sogenannte Grenzschicht. Diese Aufteilung der Strömung in der Umgebung eines Körpers wurde erstmalig von L. Prandtl vorgenommen. In seinem Vortrag „Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung“ aus dem Jahr 1904 [49] beschreibt er diese Schichtenstruktur und wie sich die Navier-Stokes-Gleichungen im Grenzfall großer Reynoldszahlen vereinfachen lassen. Man spricht deshalb auch von den Prandtlschen Grenzschichtgleichungen. L. Prandtl gilt als der Begründer der Grenzschichttheorie.

Die Grenzschichttheorie ist nicht auf die Umströmung fester Körper beschränkt. Anwendung findet sie beispielweise auch bei der Beschreibung von zwei aneinander grenzenden Strömungen, zwischen diesen bildet sich dann eine sogenannte Trennungsschicht, oder bei der Beschreibung von Nachlauffeldern also den Bereichen hinter umströmten Körpern.

Allgemeine Merkmale aller durch die Theorie beschriebenen Strömungen sind, die geringe Abmessung der Grenzschicht quer zur vorwiegenden Strömungsrichtung, und dass die Reibung außerhalb der Grenzschicht vernachlässigt werden kann, und eine geringe Abmessung der Grenzschicht quer zur vorwiegenden Strömungsrichtung vorliegt.

Durch die Vernachlässigung der viskosen Terme werden in den partiellen Differentialgleichungen die Terme höchster Ordnung gestrichen. Die Eulergleichungen stellen ein partielles Differentialgleichungssystem 1. Ordnung dar und sind nicht mehr kompatibel mit der Haftbedingung. Zur Lösung des Problems soll die asymptotische Analysis genutzt werden, dafür sollen zunächst einige elementare Begriffe eingeführt werden.

4

1 Grundriss der Grenzschichttheorie

1.2 Grundlagen der asymptotischen Analysis Die asymptotische Analysis ist eine Methode zur Untersuchung des Grenzverhaltens von Funktionen. In diesem Abschnitt sollen einige wichtige Formulierungen als Vorbereitung fĂźr das Kapitel 2 angesprochen werden. Als Quellen fĂźr diesen Abschnitt dienten die LehrbĂźcher [45, 47, 11] sowie Milton v. Dykes Buch [70], das als Standardwerk auf dem Gebiet der asymptotischen Untersuchung von StrĂśmungsproblemen gilt. Die Formulierungen der folgenden Definitionen entstammen weitestgehend den entsprechenden Abschnitten in [29].

Definition 1.2.1 (Landau-Symbole) Sei D ⊆ Rn gegeben und liege im einem Intervall I ⊆ R+ . AuĂ&#x;erdem seien f, g : D Ă— I → R reellwertige Funktionen. Man schreibt f (x; ) = O(g(x; )) in I,

(1.15)

wenn es fĂźr jedes x ∈ D eine Konstante k(x) ∈ R+ gibt, so dass |f (x; )| ≤ k(x)|g(x; )|

(1.16)

f (x; ) = O(g(x; )), → 0,

(1.17)

fĂźr alle ∈ I gilt. Man schreibt

wenn es zu jedem x ∈ D eine Konstante k(x) ∈ R+ und eine Umgebung N von = 0 gibt, so dass (1.16) fĂźr alle aus der Schnittmenge von N und I gilt. Ist der Quotient definiert,

f

so bedeutet dies, dass g durch k(x) beschränkt ist.

Weiter schreibt man f (x; ) = o(g(x; )), → 0,

(1.18)

wenn es zu jedem x â&#x2C6;&#x2C6; D und jedem δ > 0 ein Intervall I(x, δ) : 0 < < 1 (x, δ) gibt, so dass |f (x; )| â&#x2030;¤ δ|g(x; )| fĂźr alle â&#x2C6;&#x2C6; I(x, δ).

(1.19) |f | wird beliebig klein gegenĂźber |g| fĂźr â&#x2020;&#x2019; 0. f = o(g) impliziert f = O(g).

Sind in den Gleichungen die GrĂśĂ&#x;en k und N bzw. 1 (δ) unabhängig von x â&#x2C6;&#x2C6; D, so wird den Notationen (1.15),(1.17),(1.18) jeweils das Attribut â&#x20AC;&#x153;gleichmäĂ&#x;ig (in D)â&#x20AC;? zugefĂźgt.

Definition 1.2.2 (Asymptotische Folge) Sei (Ď&#x2020;i ( ))iâ&#x2C6;&#x2C6;N eine Folge stetiger Funktionen Ď&#x2020;i : I â&#x2020;&#x2019; R. Die Definitionsmenge I habe den Häufungspunkt = 0. Die Funktionenfolge (Ď&#x2020;i ( ))iâ&#x2C6;&#x2C6;N heiĂ&#x;t eine asymptotische Folge fĂźr gegen 0, falls Ď&#x2020;i+1 ( ) = o(Ď&#x2020;i ( )), â&#x2020;&#x2019; 0

(1.20)

fĂźr alle i â&#x2C6;&#x2C6; N gilt.

Definition 1.2.3 (Asymptotische Entwicklung) Es seien I â&#x160;&#x2020; R, D â&#x160;&#x2020; Rn mit n â&#x2C6;&#x2C6; N und f : D Ă&#x2014; I â&#x2020;&#x2019; R eine Funktion. AuĂ&#x;erdem sei (Ď&#x2020;i ( ))iâ&#x2C6;&#x2C6;N eine asymptotische Folge mit Definitionsbereich I. Die Reihe N X

Ď&#x2020;n ( )fn (x) mit N â&#x2C6;&#x2C6; N

n=1

5

1 Grundriss der Grenzschichttheorie heiĂ&#x;t asymptotische Entwicklung der Stufe N von f mit Amplituden Ď&#x2020;(i) , i = 1, . . . , N , falls fĂźr alle M â&#x2030;¤ N â&#x2C6;&#x2C6; N f (x; ) â&#x2C6;&#x2019;

M X

Ď&#x2020;n ( )fn (x) = o(Ď&#x2020;M ( )), â&#x2020;&#x2019; 0

(1.21)

n=1

gemäĂ&#x; (1.18) gilt. AuĂ&#x;erdem heiĂ&#x;t sie gleichmäĂ&#x;ig gĂźltig, wenn (1.21) gleichmäĂ&#x;ig in D P gilt. Stellt N n=1 Ď&#x2020;n ( )fn (x) eine asymptotische Entwicklung fĂźr alle N â&#x2C6;&#x2C6; N dar, schreibt man auch â&#x2C6;&#x17E; f (x; ) â&#x2C6;ź

X

Ď&#x2020;n ( )fn (x), â&#x2020;&#x2019; 0

(1.22)

n=1

Die asymptotische Darstellung einer Funktion f (x; ) fĂźr â&#x2020;&#x2019; 0 ist nicht eindeutig, da eine unbegrenzte Anzahl asymptotischer Folgen zur Darstellung zur VerfĂźgung stehen. FĂźr eine vorgegebene asymptotische Folge (Ď&#x2020;i ( ))iâ&#x2C6;&#x2C6;N jedoch sind die Funktion fn (x) in der Entwicklung (1.22) eindeutig bestimmt durch f (x; ) f (x; ) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2020;1 ( )f1 (x) , f2 (x) = lim â&#x2020;&#x2019;0 Ď&#x2020;1 ( ) â&#x2020;&#x2019;0 Ď&#x2020;2 ( )

f1 (x) = lim und schlieĂ&#x;lich

fn (x) = lim

f (x; ) â&#x2C6;&#x2019;

m=1 Ď&#x2020;m ( )fm (x)

Pnâ&#x2C6;&#x2019;1

Ď&#x2020;n ( )

â&#x2020;&#x2019;0

.

Lemma 1.2.1 Sei {Ď&#x2020;n ( )}nâ&#x2C6;&#x2C6;N eine asymptotische Folge und N n=1 Ď&#x2020;n ( )fn (x) eine asymptotische Entwicklung zur Funktion f mit bekannten fn : D â&#x2020;&#x2019; R, n = 1, . . . , N . Es gilt P

f (x; ) â&#x2C6;&#x2019;

k X

Ď&#x2020;n ( )fn (x) = o(Ď&#x2020;k ( )), â&#x2020;&#x2019; 0

n=1

fĂźr k = 1, . . . , N und f (x; ) â&#x2C6;&#x2019;

k X

Ď&#x2020;n ( )fn (x) = O(Ď&#x2020;k+1 ( )), â&#x2020;&#x2019; 0

(1.23)

n=1

fĂźr k = 1, . . . N â&#x2C6;&#x2019; 1. Gilt auĂ&#x;erdem f (x; ) â&#x2C6;ź auch fĂźr alle k â&#x2C6;&#x2C6; N.

Pâ&#x2C6;&#x17E;

n=1 Ď&#x2020;n ( )fn (x),

â&#x2020;&#x2019; 0, dann gilt (1.23)

Beweis: Aus (1.21) folgt f (x; ) â&#x2C6;&#x2019;

N â&#x2C6;&#x2019;1 X

Ď&#x2020;n ( )fn (x) = Ď&#x2020;N ( )fN (x) + o(Ď&#x2020;N ( )) = O(Ď&#x2020;N ( )), â&#x2020;&#x2019; 0 .

n=1

Wegen (1.20) gilt Ď&#x2020;N ( ) = o(Ď&#x2020;N â&#x2C6;&#x2019;1 ( )), â&#x2020;&#x2019; 0 also auch f (x; ) â&#x2C6;&#x2019;

N â&#x2C6;&#x2019;1 X

Ď&#x2020;n ( )fn (x) = o(Ď&#x2020;N â&#x2C6;&#x2019;1 ( )), â&#x2020;&#x2019; 0 .

n=1

Das Vorgehen kann wiederholt werden, bis die Summationsgrenze k erreicht ist und die Aussagen des Lemmas folgen.

2 Im folgenden sollen auch asymptotische Entwicklungen von Funktionen f : D Ă&#x2014; I â&#x2020;&#x2019; Rm betrachtet werden. Die Entwicklung erfogt dann komponentenweise einheitlich bezĂźglich der Amplituden Ď&#x2020;(i) und die Gleichung (1.21) gilt fĂźr jede der m Komponenten von f .

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1 Grundriss der Grenzschichttheorie

1.2.1 StĂśrungsprobleme Asymptotische Reihenentwicklungen sind von zentraler Bedeutung in der StĂśrungstheorie.

Die StĂśrungstheorie umfasst Näherungsverfahren zu Problmen, die nicht exakt gelĂśst werden kĂśnnen. Diese sogenannten StĂśrungsprobleme zeichnen sich dadurch aus, dass sie aus exakt lĂśsbaren Problemen durch Addition â&#x20AC;&#x153;kleinerâ&#x20AC;? Terme, den sogenannten StĂśrtermen, entstehen. Als Beispiel kĂśnnen die Gleichungen aus Abschnitt 1.1.3 betrachtet werden.

Aus den Eulergleichungen entstehen durch Addition der kleinen Reibungsterme die sehr viel komplexeren inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Da exakte LĂśsungen nicht angegeben werden kĂśnnen, werden LĂśsungen von StĂśrungsproblemen typischerweise in Form asymptotischer Entwicklungen dargestellt. Die fĂźhrenden Terme dieser Entwicklungen sind dann in der Regel die exakt bestimmbaren LĂśsungen der ungestĂśrten Probleme. Die Terme hĂśherer Ordnung folgen dann aus der WiedereinfĂźhrung der StĂśrungen in das Problem.

Sei weiterhin x â&#x2C6;&#x2C6; D â&#x160;&#x2020; Rn und sei ein StĂśrparameter, der den EinfluĂ&#x; der fast vernachlässigbaren Terme repräsentiert. Es bezeichne P (f ) = P (f (x; )) = 0, fĂźr x â&#x2C6;&#x2C6; D ein StĂśrungsproblem und das dazugehĂśrige ungestĂśrte Problem mit = 0 sei durch P0 (f0 ) = P0 (f0 (x)) = 0, fĂźr x â&#x2C6;&#x2C6; D bezeichnet. Das Problem P kann, wie im Falle der Navier-Stokes-Gleichungen, durch Differentialoperatoren und Randbedingungen definiert sein. Es kĂśnnen aber auch von kleinen Parametern abhängige Integraloperatoren oder andere Operatorgleichungen betrachtet werden.

In [20] werden StĂśrungsprobleme wie folgt unterteilt.

Definition 1.2.4 (Regulär und singulär gestĂśrt) Sei I eine Umgebung von 0 in R und es existiere in I eine Nullfolge mit Folgegliedern k . Dabei sei k â&#x2C6;&#x2C6; N und weiter sei durch (f )k := f (x; k ) eine Folge von Funktionen f : D â&#x2020;&#x2019; R definiert. Man sagt die Funktionenfolge (f ) konvergiert gleichmäĂ&#x;ig auf D gegen die Funktion f0 fĂźr â&#x2020;&#x2019; 0 wenn fĂźr jedes fixierte x ÂŻâ&#x2C6;&#x2C6;D lim f (ÂŻ x; k ) = f0 (ÂŻ x) kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

gilt und fĂźr jedes δ > 0 ein n der Nullfolge unabhängig von x existiert, so dass fĂźr alle 0 < k < n und alle x â&#x2C6;&#x2C6; D |f (x; k ) â&#x2C6;&#x2019; f0 (x)| < δ erfĂźllt ist.

Ein StĂśrungsproblem P (f ) = 0 heiĂ&#x;t regulär gestĂśrt, wenn seine LĂśsung f fĂźr â&#x2020;&#x2019; 0 gleichmäĂ&#x;ig auf D konvergiert. Sind die Bedingungen der gleichmäĂ&#x;igen Konvergenz verletzt, liegt ein singuläres StĂśrungsproblem vor.

Anschaulich gesprochen zeigt sich in singulären StĂśrungsproblemen, dass Beiträge, die vernachlässigbar klein erscheinen, tatsächlich nicht auf dem gesamten Gebiet vernachlässigt werden dĂźrfen. Die gleichmäĂ&#x;ige Konvergenz ist meist in kleinen Teilgebieten am Rand von D verletzt. Die Eulergleichungen zum Beispiel liefern keine LĂśsung, die die Haftbedingung an der Oberfläche eines umstrĂśmten KĂśrpers erfĂźllen. Die UmstrĂśmung einer festen Oberfläche stellt somit ein singuläres StĂśrungsproblem dar. Das Auftreten des kleinen StĂśrparamters bei den Ableitungen hĂśchster Ordnung ist nicht notwendig fĂźr eine singuläre StĂśrung, ist aber in vielen Fällen ein Hinweis fĂźr ein solches Problem.

7

1 Grundriss der Grenzschichttheorie

1.2.2 Methode der angepassten asymptotischen Entwicklung Die LĂśsung eines singulären StĂśrungsprobleme kann nicht durch eine einfache asymptotische Entwicklung auf dem gesamten LĂśsungsgebiet angenähert werden. In den meisten Fällen wird die NäherungslĂśsung in einem kleinen Teilgebiet nicht gegen die ProblemlĂśsung konvergieren. Befindet sich dieses Gebiet am Rand des LĂśsungsgebiet spricht man von einer Grenzschicht andernfalls von einer Ă&#x153;bergangs- oder Innenschicht. StĂśrungsprobleme, denen eine solche Schichtenstruktur zugrunde liegt, werden typischerweise mit der Methode der angepassten asymptotischen Entwicklungen (englisch: â&#x20AC;&#x2122;method of matched asymptotic expansionsâ&#x20AC;&#x2122;, kurz: MMAE) behandelt. Den Ideen Prandtls folgend wird das singuläre Probleme in voneinander getrennt zu betrachtende StĂśrungsprobleme aufgeteilt. Im sogenannten AuĂ&#x;enbereich kann man zu einer asymptotischen Näherung gelangen, in dem man das Problem als regulär gestĂśrt betrachtet. Man spricht auch von einer äuĂ&#x;eren Entwicklung.

In der Ă&#x153;bergangs- bzw. Grenzschicht ist eine gesonderte Behandlung nĂśtig. Das singuläre Verhalten beschränkt sich auf ein Gebiet D0 , dessen Ausdehnung abhängig von der Stärke der stĂśrenden EinflĂźĂ&#x;e ist. Durch die EinfĂźhrung sogenannter innerer Variablen wird gewährleistet, dass keine Komponente eines x â&#x2C6;&#x2C6; D0 fĂźr â&#x2020;&#x2019; 0 verschwindend klein wird.

Die exakte Transformationsvorschrift ist dementsprechend problemabhängig, besteht aber aus einer Verschiebung des Koordinatenursprungs in das Gebiet D0 und einer Streckung abhängig vom StĂśrparameter . Die Wahl der korrekten Streckungstransformation ist meist nicht offensichtlich und wird oft durch physikalische Ă&#x153;berlegungen motiviert (in Abschnitt 5.3 aus [70] wird darauf näher eingegangen). Bei geeigneter Wahl der inneren Variablen läĂ&#x;t sich das StĂśrungsproblem im Bereich der Singularität in ein reguläres StĂśrungsproblem ĂźberfĂźhren. Dieses läĂ&#x;t sich dann asymptotisch lĂśsen und man erhält eine innere Entwicklung. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Methode der gedehnten Koordinaten (englisch: â&#x20AC;&#x2122;method of strained coordinatesâ&#x20AC;&#x2122;). Eine gute EinfĂźhrung zu diesem Thema mit vielen Beispielen, die die historische Entwicklung in diesem Bereich widerspiegeln, wird in Kapitel 3 des Lehrbuchs von A. Nayfeh [47] gegeben.

Die Aufteilung des LĂśsungsgebiets geht einher mit dem Verlust von Randbedingungen. Es kann nicht erwartet werden, dass die äussere Entwicklung Randbedingungen erfĂźllt, die durch die hinzugekommene innere Entwicklung erzwungen werden. Und umgekehrt ist die innere Entwicklung nicht zwangsläufig verträglich mit den Bedingungen in groĂ&#x;er Entfernung zur Singularität. Im Allgemeinen fehlen die Randbedingungen zwischen den Regionen.

Zur Herleitung der klassischen Grenzschichtgleichungen verwandte Prandtl eine Anpassung der tangentialen Geschwindigkeiten im Grenzwert Re â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;. Dabei war er sicherlich durch die physikalischen Gegebenheiten motiviert. Generell ist eine Anpassung (â&#x20AC;&#x2122;matchingâ&#x20AC;&#x2122;) zweier Entwicklungen mĂśglich, wenn zwischen den beiden Regionen ein Ă&#x153;berlappungsgebiet existiert, in dem beide Entwicklungen gĂźltig sind. Innerhalb dieses Bereichs lassen sich endliche Partialsummen der Entwicklungen abgleichen. Die Existenz einer Ă&#x153;berlappungsregion impliziert auch, dass die innere Entwicklung der äuĂ&#x;eren Entwicklung mit der äuĂ&#x;eren Entwicklung der inneren Entwicklung dort im asymptotischen Sinne Ăźbereinstimmt. FĂźr das â&#x20AC;&#x2122;Matchingâ&#x20AC;&#x2122; sollte man anstelle der bloĂ&#x;en Grenzwerte vielmehr das Grenzverhalten der inneren und äuĂ&#x;eren Darstellung betrachten. Diese Einsichten gehen zurĂźck auf die Arbeiten von S. Kaplun und P.A. Lagerstrom [28, 27, 35]. In [8] geben Lagerstrom und Casten einen detaillierten Einblick in die heuristischen Ideen, die der Anpassung zugrunde liegen.

Auf diesen Ideen basiert die Anpassungsregel, die als â&#x20AC;&#x2122;Van Dykeâ&#x20AC;&#x2122;s Matching Principleâ&#x20AC;&#x2122; bekannt ist. Im einfachsten Fall ist die anzupassende GrĂśĂ&#x;e lediglich durch die ersten Terme ungleich Null der asymptotischen Entwicklungen angenähert. In diesem Fall besagt die Anpassungsregel nach v. Dyke:

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1 Grundriss der Grenzschichttheorie Wird der erste Term der äußeren Entwicklung ausgedrückt in inneren Variablen und durch die innere Entwicklung dargestellt, und wird umgekehrt der erste Term der inneren Entwicklung in äußere Variablen überführt und durch die äußere Entwicklung dargestellt, so sind die ersten Terme beider Darstellungen im Überlappungsgebiet gleich.

Das ’Van Dyke’s Matching Principle’ ist in seiner Formulierung allgemeiner und läßt asymptotische Darstellungen höherer Ordnung zu. Außerdem wird zugelassen, dass innere und äußere Näherung von unterschiedlicher Ordnung sind. Dies wird notwendig, wenn bei der Anpassung die Dominanz einer der Schichten zum Ausdruck gebracht werden soll und daher dessen Entwicklung bis zu einer bestimmten Ordnung unabhängig vom Geschehen in der anderen Schicht bleiben soll. In v. Dyke’s verkürzender Schreibweise lautet die Anpassungsregel:

Die innere Entwicklung der Stufe m von (der äußeren Entwicklung der Stufe n) =

die äußere Entwicklung der Stufe n von

(der inneren Entwicklung der Stufe m).

m und n können dabei beliebige positive ganzahlige Werte annehmen. In praktischen Anwendungen ist m allerdings in der Regel gleich n oder n + 1.

Die Methode der angepassten asymptotischen Entwicklung ist zurückzuführen auf eine genaue Analyse des Vorgehen Prandtls. Die formale Ausarbeitung des Verfahrens ermöglichte den erfolgreichen Einsatz bei einer Vielzahl singulärer Störungsprobleme. Systematische Weiterführung der Methode ermöglicht schließlich auch ein “Ausbrechen” aus der klassischen Grenzschichtstruktur, wie sie im nächsten Abschnitt beschrieben wird. Zu den wichtigsten Erweiterungen dieser Art, zählt sicherlich die Dreierdeck-Theorie. In Kapitel 2 wird auf die Ideen des ’Triple Deck’ weiter eingegangen.

Eine umfangreiche Einführung in die ’Method of Matched asymptotic Expansions’ inklusive der historischen Entwicklungen auf diesem Gebiet wird im Kapitel 5 des Lehrbuchs von Milton v. Dyke[70] gegeben. Sehr viel aktueller ist das Lehrbuch von Jean Cousteix und Jacques Maus[11]. Hier werden die Begriffe der asymptotischen Analysis nicht nur mit sehr vielen Beispielen sondern auch sehr systematisch eingeführt. Dabei wird der gesamte Themenbereich von asymptotischen Folgen und Entwicklungen bis zur Dreierdeck-Theorie abgedeckt.

1.3 Klassische Grenzschichtgleichungen Mit den Hilfsmitteln der asymptotischen Analyse sollen nun Strömungen mit hohen Reynoldszahlen in der Nähe einer Oberfläche untersucht werden. Gleichzeitig kann das grundsätzliche Vorgehen der asymptotischen Analysis beispielhaft demonstriert werden.

Ziel ist die Entwicklung einer Lösung für die gesamte Grenzschicht. Es soll dazu die zweidimensionale, stationäre, laminare Strömung über eine halbunendliche Platte betrachtet werden. Zu diesem Problem gehören die dimensionslosen Bewegungsgleichungen (1.24) -(1.26), wobei die konstante Anströmgeschwindigkeit als charakteristische Geschwindigkeit gewählt wurde. Außerdem sei die Dichte konstant im gesamten Gebiet (ρR = ρ ⇒ ρ∗ = 1).

9

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Mit Reâ&#x2C6;&#x2019;1 =

ν Uâ&#x2C6;&#x17E; L

lauten die StrĂśmungsgleichungen dann uâ&#x2C6;&#x2014;x + vyâ&#x2C6;&#x2014; = 0

1 â&#x2C6;&#x2014; (u + uâ&#x2C6;&#x2014;yy ) + uâ&#x2C6;&#x2014; uâ&#x2C6;&#x2014;x + v â&#x2C6;&#x2014; uâ&#x2C6;&#x2014;y + pâ&#x2C6;&#x2014;x = 0 Re xx 1 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; (vxx + vyy ) + uâ&#x2C6;&#x2014; vxâ&#x2C6;&#x2014; + v â&#x2C6;&#x2014; vyâ&#x2C6;&#x2014; + pâ&#x2C6;&#x2014;y = 0 Re mit den Randbedingungen â&#x2C6;&#x2019;

y = 0 : uâ&#x2C6;&#x2014; (x) = 0, v â&#x2C6;&#x2014; (x) = 0 lim :

yâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

uâ&#x2C6;&#x2014; (x)

â&#x2C6;&#x2014;

= 1, v (x) = 0.

(1.24) (1.25) (1.26) (1.27) (1.28)

Die Randbedingung (1.27) entspricht dabei der Haftbedingung, während (1.28) besagt, dass in ausreichender Entfernung zur Platte wieder die ungestÜrte AnstrÜmgeschwindigkeit herrscht.

Das Navier-Stokes-Model soll nun fĂźr StrĂśmungen mit sehr groĂ&#x;en Reynoldszahlen ver1 einfacht werden. Mit := Re 1 als StĂśrparameter in den Impulsgleichungen ergibt sich ein StĂśrungsproblem. Als zugehĂśriges ungestĂśrtes Problem mit = 0 ergeben sich die Eulergleichungen. Allerdings erfĂźllen die LĂśsungen der Eulergleichungen die Haftbedingung (1.27) nicht. Somit ist die Bedingung gleichmäĂ&#x;iger Konvergenz der LĂśsungsfunktionen in der nähe der Wand verletzt. GemäĂ&#x; obiger Definition handelt es sich also um ein singuläres StĂśrungsproblem.

Zur LĂśsung wird das StrĂśmungsgebiet in zwei Regionen unterteilt. In jeder dieser Regionen werden dann die variablen StrĂśmungsgrĂśĂ&#x;en asymptotisch entwickelt und in die Gleichungen (1.24)-(1.26) eingesetzt. FĂźr die klassischen oder Prandtlschen Grenzschichtgleichungen interessieren dabei nur die Terme 1. Ordnung der so gewonnen Entwicklung der NavierStokes-Gleichungen. Zunächst wird also nun die AuĂ&#x;enregion oberhalb der erwarteten Grenzschicht betrachtet. Da der StĂśrungsparameter nur in einfacher Form im Problem auftritt, kĂśnnte man annehmen, dass auch fĂźr die asymptotischen Entwicklungen einfache Potenzen von der richtige Weg sind. Prandtl hat gezeigt, dass dem nicht so ist. Daher werden hier nun die Geschwindigkeitskomponenten und der Druck ganz allgemein mit uâ&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) â&#x2C6;ź A1 ( )U1 (x, y) + A2 ( )U2 (x, y) + A3 ( )U3 (x, y) . . . v â&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) â&#x2C6;ź B1 ( )V1 (x, y) + B2 ( )V2 (x, y) + B3 ( )V3 (x, y) . . . pâ&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) â&#x2C6;ź C1 ( )P1 (x, y) + C2 ( )P2 (x, y) + C3 ( )P3 (x, y) . . . entwickelt, wobei hAi i , hBi i und hCi i , i â&#x2C6;&#x2C6; N asymptotische Folgen gemäĂ&#x; (1.20) sind. FĂźr groĂ&#x;e Reynoldszahlen, also â&#x2020;&#x2019; 0, verschwinden die Ableitungen hĂśherer Ordnung, also die Reibungsglieder, in den Navier-Stokes-Gleichungen. Die StrĂśmung kann in ausreichendem Abstand zur Platte als annähernd reibungsfrei betrachtet werden. Die Terme 1. Ordnung sollten somit im GrenzĂźbergang die Eulergleichungen (1.11) erfĂźllen. Mit A1 , B1 , C1 = 1 und A2 ( ), B2 ( ), C2 ( ) = O( ) gilt uâ&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) = U1 (x, y) + O( ),

v â&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) = V1 (x, y) + O( )

und

pâ&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) = P1 (x, y) + O( )

(1.29)

und im GrenzĂźbergang â&#x2020;&#x2019; 0 gelten die geforderten Eulergleichungen â&#x2C6;&#x201A;U1 â&#x2C6;&#x201A;V1 + = 0 â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;U1 â&#x2C6;&#x201A;U1 â&#x2C6;&#x201A;P1 U1 + V1 = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;V1 â&#x2C6;&#x201A;P1 â&#x2C6;&#x201A;V1 U1 + V1 = â&#x2C6;&#x2019; . â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;y

10

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Die reibungsfreie LĂśsung der AuĂ&#x;enstrĂśmung ist nicht gĂźltig in der Nähe der Wand, da die Haftbedingung erfĂźllt werden muss. Die Grenzschicht, in der die Annahme der Reibungsfreiheit unzulässig ist, befindet sich in der Nähe der Plattenoberfläche bei y = 0. Ihre Ausdehnung ist abhängig von der Reynoldszahl, also vom StĂśrparameter . Im Bereich der Grenzschicht wird eine innere, gestreckte Koordinate in vertikaler Richtung eingefĂźhrt. Prandtl hat sich bei der Wahl des Streckungsfaktors vom Vergleich mit einfachen exakten LĂśsungen und seiner physikalischen Intuition leiten lassen. Formal sei hier jetzt angenommen die Grenzschicht habe eine Dicke der GrĂśĂ&#x;enordnung â&#x2C6;&#x2020;1 ( ), wobei â&#x2C6;&#x2020;1 ( ) â&#x2020;&#x2019; 0 mit â&#x2020;&#x2019; 0. Eine innere Variable ist dann gegeben durch ye = y â&#x2C6;&#x2014; /â&#x2C6;&#x2020;1 ( ). Die Geschwindigkeit entlang der Platte sowie der Druck werden vom AuĂ&#x;enbereich direkt in die Grenzschicht Ăźbertragen. Die Terme 1. Ordnung der entsprechenden inneren Entwicklungen sind von gleicher GrĂśĂ&#x;enordnung wie im AuĂ&#x;enbereich. Es gilt uâ&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) = u1 (x, yË&#x153;) + O( ) und pâ&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) = p1 (x, ye) + O( ).

Mit

â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x2014;

=

â&#x2C6;&#x201A; 1 â&#x2C6;&#x2020;1 ( ) â&#x2C6;&#x201A; e y

(1.30)

folgt aus (1.24) â&#x2C6;&#x201A;v â&#x2C6;&#x201A;u1 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2020;1 ( ) + O( ) . â&#x2C6;&#x201A; ye â&#x2C6;&#x201A;x

Die Kontinuitätsgleichung soll fĂźr die Terme 1. Ordnung auch in der Grenzschicht erhalten bleiben. Es wird fĂźr die transversale Geschwindigkeit die innere Entwicklung v â&#x2C6;&#x2014; (x, y; ) â&#x2C6;ź b1 ( )v1 (x, ye) + b2 ( )v2 (x, ye) + . . . gewählt. Dabei ist hbi i eine asymptotische Folge mit b1 ( ) = â&#x2C6;&#x2020;1 ( ) und b2 ( ) = O( ¡ â&#x2C6;&#x2020;1 ( )), so dass im GrenzĂźbergang â&#x2020;&#x2019; 0 die Inkompressibilitätsbedingung fĂźr die Grenzschicht durch die Gleichung â&#x2C6;&#x201A;u1 â&#x2C6;&#x201A;v1 + =0 (1.31) â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A; ye erfĂźllt ist. Werden diese Entwicklungen der StrĂśmungsgrĂśĂ&#x;en nun in die Impulsgleichungen eingesetzt, ergibt sich zunächst aus (1.25) u1

â&#x2C6;&#x201A;u1 â&#x2C6;&#x201A;u1 â&#x2C6;&#x201A;p1 â&#x2C6;&#x201A; 2 u1

â&#x2C6;&#x201A; 2 u1 + v1 =â&#x2C6;&#x2019; + 2 + . â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A; ye â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;x (â&#x2C6;&#x2020;1 ( ))2 â&#x2C6;&#x201A; ye2 h

(1.32) i

Zur näheren Bestimmung von â&#x2C6;&#x2020;1 wird der Grenzwert lim â&#x2020;&#x2019;0 (â&#x2C6;&#x2020; ( ))2 = G betrachtet.

1 Strebt er gegen Null fehlen die Ableitung hĂśherer Ordnung und die Haftbedingung kann auch in der Grenzschicht nicht erfĂźllt werden. Strebt der Grenzwert gegen Unendlich 2u 1 geht (1.32) Ăźber in â&#x2C6;&#x201A;â&#x2C6;&#x201A; e = 0. Die LĂśsung u1 (x, ye) = c(x)ye bleibt am oberen Rand der y2 Grenzschicht ye â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; nur beschränkt mit c(x) = 0 und somit gilt dann u1 = 0 = v1 Ăźberall in der Grenzschicht.

Um 0 < G < â&#x2C6;&#x17E; zu erreichen, muss (â&#x2C6;&#x2020;1 ( ))2 = O( ) und ebenso

2 = O â&#x2C6;&#x2020;1 ( ) gelten. Daher wird fĂźr den Streckungsfaktor â&#x2C6;&#x2020;1 ( ) =

â&#x2C6;&#x161;

1 = â&#x2C6;&#x161; Re

(1.33)

gewählt. Mit diesem wird (1.32) im Grenzßbergang zu u1

â&#x2C6;&#x201A;u1 â&#x2C6;&#x201A;u1 â&#x2C6;&#x201A;p1 â&#x2C6;&#x201A; 2 u1 + v1 =â&#x2C6;&#x2019; + . â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A; ye â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A; ye2

(1.34)

Aus (1.26) erhält man "

â&#x2C6;&#x201A;v1 â&#x2C6;&#x201A;v1 â&#x2C6;&#x201A;p1 â&#x2C6;&#x201A; 2 v1 â&#x2C6;&#x201A; 2 v1 u1 + v1 =â&#x2C6;&#x2019; + 2 + â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A; ye â&#x2C6;&#x201A; ye â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A; ye2

#

(1.35)

11

1 Grundriss der Grenzschichttheorie und nach dem Grenzübergang bleibt noch 0=

∂p1 . ∂ ye

(1.36)

Die Gleichungen (1.31), (1.34) und (1.36) beschreiben das Strömungsverhalten in unmittelbarer Nähe der Platte. Die Vereinfachungen gegenüber den vollständigen Navier-StokesGleichungen sind beträchtlich. Der Grenzschichtbereich erstreckt sich oberhalb der Platte bis zu einer Höhe, die proportional zu √1Re ist. Aus (1.36) folgt, dass der Druck in vertikaler Richtung innerhalb der Grenzschicht konstant bleibt. Zu den Grenzschichtgleichungen 1.

Ordnung oder Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ∂u1 ∂v1 + ∂x ∂ ye ∂u1 ∂u1 u1 + v1 ∂x ∂ ye

= 0 ∂p1 ∂ 2 u1 + ∂x ∂ ye2 ∂p1 ∂ ye

= −

0 =

(1.37)

gehören im betrachteten Fall einer halbunendlichen, gleichmäßig überströmten Platte die Randbedingungen ye = 0 :

u1 = 0,

v1 = 0

ye → ∞ : u1 = UE∗ (x),

(1.38)

dabei ist die Bedingung am oberen Rand eine Folge des Matching mit dem Aussenbereich.

UE∗ (x) ist die Lösung der Gleichungen des Außenbereichs an dessen unterem Rand y → 0.

Diese soll direkt übergehen in den Geschwindigkeitsterm u1 . Am oberen Rand verschwinden 2u dU ∗ 1 1 1 daher auch die Gradienten ∂u , so dass am oberen Rand UE∗ dxE = − ∂p und ∂∂ e ∂x gilt. ∂e y y2 Obwohl es zur Herleitung der Grenzschichtgleichungen notwendig war, die Strömungsvariablen in eine dimensionslose Form zu überführen, ist es in manchen Fällen üblich die Grenzschichtgleichung in der dimensionsbehafteten Form zu betrachten. Es wird angenommen (z.B. [55] Abschnitt 6.3), dass die Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen, die für die Grenzschichtgleichungen hergeleitet wurden, in unmittelbarer Nähe zur Wand auch für die dimensionsbehaften Strömungsgrößen gültig sind. In (1.37) werden zunächst die Stauchung bzw. Streckung der vertikalen Geschwindigkeit und Koordinate rückgängig gemacht, dann werden die Terme 1. Ordnung in Näherung mit den zugehörigen Strömungsgrößen gleichgesetzt und diese schließlich mit Hilfe der charakteristischen Größen in ihre dimensionsbehaftete Form überführt. Die dimensionsbehafteten Prandtlschen Grenzschichtgleichung lauten dann ∂u ∂v + ∂x ∂y ∂u ∂u u +v ∂x ∂y

= 0 1 ∂p ∂2u +ν 2 ρ ∂x ∂y ∂p ∂y

= −

0 =

(1.39)

mit den Randbedingungen y=0:

u = 0,

y = δE : u = UE (x).

v=0 (1.40)

12

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Innerhalb der Grenzschicht stellen sie eine gute Annäherung an die Navier-Stokes-Gleichungen dar. Der obere Rand, der sich für die gestreckte Koordinate bei ye → ∞ befindet, liegt nun auf der Höhe eines endlichen Wertes. Der genaue Wert von δE ist an dieser Stelle nicht bekannt. Wichtig ist lediglich, dass y groß genug ist, um den gesamten Grenzschichtbereich abzudecken. Die Qualität der Näherung (1.39) ist abhängig davon, dass die Reynoldszahl tatsächlich sehr groß ist.

1.3.1 Blasius-Lösung der laminaren Grenzschichtströmung Ein Ansatz zur Lösung der Grenzschichtgleichungen ist der Ähnlichkeitsansatz. Dabei wird angenommen, dass die Geschwindigkeitsprofile der Grenzschicht bei unterschiedlichen Lauflängen zueinander ähnlich sind. Es soll die Strömung längs einer Platte untersucht werden. Die Platte beginne bei x = 0 und sei halbunendlich. Es wird eine stationäre, laminare Anströmung mit der über der gesamten Platte konstanten Aussengeschwindigkeit UE (x) = U∞ betrachtet. Zu dem verlaufe die Anströmung parallel zur Platte. Es gilt dp E − dx = UE dU dx = 0. Einsetzen in (1.39) und (1.40) führt auf ux + vy = 0

(1.41)

uux + vuy = νuyy

(1.42)

mit den Randbedingungen y=0:

u = 0,

v=0

y = δ E : u = U∞ .

(1.43)

Weiter wird angenommen, dass sich die Geschwindigkeitsprofile für verschiedene x zur Deckung bringen lassen, wenn für y ein geeigneter Maßstabsfaktor angesetzt wird. Bei geeigneter Wahl der Ähnlichkeitsvariable η soll das Ähnlichkeitsgesetz u/U∞ = ϕ(η) gelten.

Die Beobachtung, dass die Grenzschichtdicke in x-Richtung mit dem Faktor √1Re zunimmt, suggeriert folgenden Ähnlichkeitsansatz in separierten Variablen für die Stromfunktion ψ(x, y) ψ(x, y) :=

νxU∞ f (η) wobei

p

s

η := y

U∞ . νx

(1.44) (1.45)

Aus ψ(x, y) leiten sich dann die Komponenten des Geschwindigkeitsfeld ab: s

u = ψy = ψη ηy = s

v = −ψx =

U∞ ψη = U∞ f 0 νx

νU∞ (ηf 0 − f ).

4x

(1.46) (1.47)

Für die in den Grenzschichtgleichungen auftretenden partiellen Ableitungen ergibt sich ux = U∞ ηx f 00 (η) = −

U∞ 00 ηf (η) 2x s

uy = U∞ ηy f 00 (η) = U∞ s

uyy = U∞

U∞ 00 f (η) νx

U∞ 000 U2 f (η)ηy = ∞ f 000 (η). νx νx

(1.48) (1.49) (1.50)

13

1 Grundriss der Grenzschichttheorie

Abb. 1.1: Lösung der Blasiusgleichung Einsetzen in (1.42) 2 U∞ U2 U2 f 000 + ∞ ηf 00 f 0 − ∞ (ηf 0 − f )f 00 x 2x 2x 1 000 00 0 0 = f + (ηf f − (ηf − f )f 00 ) 2 1 = f 000 + f f 00 2

0 =

(1.51)

ergibt die Blasius-Gleichung. Mit (1.43) erhält man die Randbedingungen η=0:

f = 0,

η → ∞ : f 0 = 1.

f0 = 0 (1.52)

Es ergibt sich also eine nichtlineare gewöhnliche Differntialgleichung dritter Ordnung für die Stromfunktion. Einer der ersten Doktoranden Prandtls Heinrich Blasius bestimmte in seiner Dissertation 1908 [3] diese Ähnlichkeitslösung. Ihm zu Ehren wird die Grenzschicht entlang der ebenen Platte ohne Druckgradienten auch als Blasius-Grenzschicht bezeichnet. Erst später im Jahre 1941 wurde von H. Weyl [73] ein mathematisch korrekter Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis angegeben. 1960 führte W.A. Coppel [10] umfangreiche analytische Untersuchungen der Lösung durch. Und schließlich gelang 1998 S.-J. Liao [39] eine auf ganz R≥0 konvergente analytische Darstellung der Blasius-Lösung.

Sehr genaue numerische Lösungen wurden bereits 1912 von Töpfer berechnet [68]. In [5] von J.P. Boyd wird detailliert auf die Vorgehensweise Töpfers eingegangen. In einer früheren Arbeit [4] gibt Boyd auch einen historischen Überblick über wichtige Arbeiten zur Blasius-Gleichung. Fazio berichtet in [14] über neue Varianten und aktuelle Erweiterungen des Blasius-Problems.

Zur numerischen Lösung kann das Randwertproblem mittels Schießverfahren auf ein Anfangswertproblem zurückgeführt werden, welches dann beispielsweise durch Runge-

14

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Kutta-Verfahren gelöst wird. In Abbildung 1.1 sind die Geschwindigkeitsprofile der BlasiusGrenzschicht gezeigt. Zur Berechnung wurde die Matlab-Funktion ODE45 genutzt. Durch Schießverfahren wurde f 00 (0) ≈ 0, 332 geschätzt.

Aus der Blasius-Lösung lassen sich nun physikalische Eigenschaften der Plattengrenzschicht ablesen. Aus dem Wert für f 00 (0) lässt sich die örtliche Wandschubspannung berechnen. ∂u Nach (1.14) gilt τ0 (x) = νρ ∂y und mit (1.49) 0

τ0 (x) = νρU∞

∂η f 00 (0) = 0, 332νρU∞ ∂y

s

U∞ . νx

(1.53)

Am oberen Rand findet man lim (η − f (η)) = 1, 7208

η→∞

(1.54)

mit f 0 = 1 und (1.47) folgt eine transversale Geschwindigkeit vE (x) = 0, 8604 · U∞

r

ν xU∞

(1.55)

am oberen Rand der Grenzschicht. Es liegt hier eine Verdrängungsgeschwindigkeit vor, mit der die ungestörte Außenströmung von der Platte verdrängt wird. Es lässt sich auch eine Verdrängungsdicke angeben, als solche versteht man den Abstand δ1 zur Platte, um welchen die reibungslose Außenströmung abgedrängt wurde. Man definiert die Verdrängungsdicke ˆ∞ u δ1 = (1 − )dy.

U∞

(1.56)

0

Mit (1.46) ist

u U∞

= f 0 (η) und mit (1.54) folgt s

δ1 =

2νx U∞

ˆ∞ r νx 0 .

(1 − f )dη = 1, 7208 U∞

(1.57)

0

Um diesen Betrag werden die Stromlinien der Außenströmung von der Platte weggedrückt.

Betrachtet man (1.55) und (1.53) fällt auf, dass Verdrängungsgeschwindigkeit und Wandschubspannung für x → 0 gegen unendlich gehen. Die Vorderkantensingularität zeigt eine erste Schwachstelle der “einfachen” Grenzschichtgleichungen auf und kann erst durch die Grenzschichttheorien höherer Ordnung behoben werden.

1.3.2 Falkner-Skan-Lösung Mit dem Ähnlichkeitsansatz lassen sich die Grenzschichtgleichungen noch in weiteren Fällen auf gewöhnliche Differentialgleichung reduzieren. Ausführliche Untersuchungen der Plattengrenzschicht im Hinblick auf weitere affine Lösungen bei bestimmten Außenströmungen finden sich erstmals 1939 in einer Arbeit von S. Goldstein[18] und wenig später bei Mangler[42]. Weiterhin ausgehend von den stationären, inkompressiblen Grenzschichtgleichung (1.37) kann eine Verallgemeinerung des Ansatzes von Blasius nur über eine Verallgemeinerung der betrachteten Außenströmung erfolgen. Es soll nun anstatt einer unveränderlichen Außenströmung eine Außenströmung UE (x) betrachtet werden, deren

15

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Wert ortsabhängig ist. Obwohl es eine Einschränkung bedeutet, sollen nur Strömungen mit UE 6= 0 betrachtet werden. Es wird eine verallgemeinerte Ähnlichkeitstransformation √ LUE (x)h(x) Re √ η= f (η) (1.58) y, ψ = Lh(x) Re eingeführt, wobei L eine charakteristische Länge ist, die auch zur Bestimmung der Reynoldszahl dient (in diesem Fall bietet sich beispielsweise die Vorlauflänge auf der Platte an).

Weiter ist h(x) eine dimensionslose Skalierungsfunktion, so dass die Transformation der transversalen Variablen in Abhängigkeit von x erfolgt. Die Reynoldszahl wird über eine feste Referenzgeschwindigkeit U∞ gebildet. Außerdem wird die dimensionslose Koordinate ξ = Lx eingeführt. Es gilt √ ∂ 1 ∂ h0 (x) ∂ ∂ Re ∂ = −η , und = . ∂x L ∂ξ h(x) ∂η ∂y Lh(x) ∂η Mit u=

∂ψ = UE (x)f 0 (η), ∂y

(1.59)

d(UE (x)h(x)) ∂ψ −1 f (η) v=− =√ − LUE (x)h0 (x)ηf 0 (η) ∂x dξ Re ergibt sich für die Terme der Impulsgleichung

u

∂u ∂x

1 ∂ (UE f 0 ) h0 ∂ (UE f 0 ) −η L ∂ξ h ∂η 0 UE ∂UE 02 h f − UE2 ηf 0 f 00 , L ∂ξ h

= UE f 0 =

∂u v ∂y

f d(UE h) L = −√ + √ UE h0 ηf 0 Re dξ Re UE d(UE h) 00 h0 = − f f + UE2 ηf 0 f 00 , Lh dξ h

∂2u ν 2 ∂y

(1.60)

√

Re ∂UE f 0 Lh ∂η

√

! √ Re ∂ Re ∂UE f 0 = ν Lh ∂η Lh ∂η U∞ UE 000 = f , L h2

UE

dUE dx

=

UE dUE (x) .

L dξ

Zusammengefasst und geordnet nach den Ableitungen von f U∞ UE 000 UE d(UE h) 00 UE dUE f + ff + (1 − f 02 ) = 0 L h2 Lh dξ L dξ oder

f 000 + αf f 00 + β(1 − f 02 ) = 0

mit α=

Lh d(UE h) Lh2 dUE und β = .

U∞ dx U∞ dx

(1.61) (1.62)

16

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Die Randbedingungen bleiben wie in (1.52). Die Außenströmung und h sind Funktionen von x. Um selbstähnliche Lösungen zu erhalten, dürfen die Koeffizienten der Differentialgleichung α und β aber gerade nicht von x abhängig sein. Gesucht sind jetzt also solche Außenströmungen und Funktionen h, die zu konstanten α und β führen. Wegen (1.62) gilt dUE h dUE L 2h − h2 2α − β = U∞ dx dx

und damit für 2α − β 6= 0,

L dh dUE = UE 2h + h2 U∞ dx dx

L = U∞

UE 2 x h = (2α − β) .

U∞ L

Außerdem gilt

dh L UE h α−β = U∞ dx

und somit

(α − β) dUE L = UE dx U∞

dh2 UE dx

!

(1.63)

dUE dh h dx dx

=β

1 dh . h dx

(1.64)

α, β sollen konstant sein und (1.64) ist erfüllt für

UE U∞

(α−β)

(1.65)

= Khβ ,

wobei K eine Konstante ist. Aus (1.63) folgt h=

r

x (2α − β) L

UE U∞

− 1

2

(1.66)

,

eingesetzt in (1.65) ergibt sich

UE U∞

UE U∞

(α−β)

(α− β ) 2

UE U∞

r

= K

x (2α − β) L

x = K (2α − β) L

= K

2 2α−β

UE U∞

− 1 !β 2

β 2

x (2α − β) L

β 2α−β

(1.67)

.

Der Sonderfall α = 0 führt auf Geschwindigkeitsverteilungen, wie sie bei Senkenströmungen auftreten, mehr dazu und zu dem Fall 2α − β = 0 findet man in [55] Abschnitt 7.2. Jeder gemeinsame Faktor von α und β kann in die Skalierungsfunktion h gesteckt werden, daher β kann α = 1 ohne weitere Einschränkung gesetzt werden. Mit m = 2−β (der Fall β = 2 ist ausgeschlossen) kann für die Geschwindigkeitsverteilung der Außenströmung

UE U∞

= K 1+m

2 x m+1L

geschrieben werden und für die Skalierungsfunktion h =

m

r

2 x m+1 L

(1.68)

U∞ UE

. Die Transformati-

onsgleichungen (1.58) werden damit zu s

η=y

UE (m + 1) und ψ = f (η) 2νx

s

2νx . (m + 1)

(1.69)

17

1 Grundriss der Grenzschichttheorie Ähnliche Lösungen erhält man demnach für reibungslose Außenströmungen, die einem Potenzgesetz folgen. Tatsächlich lässt sich mit Hilfe der Potentialtheorie zeigen, dass die Umströmung eines keilförmigen Körpers in der Umgebung des Stagnationspunktes die Form UE (x) = Cxm (1.70) annimmt. Dabei ist C eine Konstante und m ergibt sich aus dem Winkel im Stagnationsβ punkt. Bei einem Keilwinkel von βπ kann m direkt aus m = 2−β bestimmt werden. Bei β = 0 liegt der Spezialfall der flachen Plattenströmung vor und Gleichung (1.61) vereinfacht sich zur Blasiusgleichung. Bei β = 1 liegt die Staupunktströmung vor.

Die Gleichung (1.61) wurde 1931 von V. M. Falkner und S. W. Skan [13] angegeben und wird auch Falkner-Skan-Gleichung genannt. Untersuchungen der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter β wurden 1937 von D. R. Hartree durchgeführt [21], man spricht auch von Hartree-Profilen. Kurz darauf führte Howarth 1938 umfangreiche numerische Untersuchungen durch [24]. Bei positiven β wird die Strömung verzögert und die Geschwindigkeitsprofile weisen wie das Blasius-Profil keinen Wendepunkt auf. Für β < 0 hingegen wird die Strömung beschleunigt und die Geschwindigkeitsprofile haben einen Wendepunkt.

Der Wert von β = −0, 199 entspricht einem Geschwindigkeitsprofil mit verschwindender Wandschubspannung. Ablösung tritt also schon bei nur leicht negativen m = −0, 091 auf.

Die laminare Grenzschicht reagiert empfindlich schon auf sehr kleinen Druckanstieg. K. Stewartson [63] untersuchte die Lösungsmanigfaltigkeiten von (1.61) mit α = 1 und −0, 199 < β < 0. Im Druckanstiegsgebiet existiert demnach neben dem Hartree-Profil noch eine weitere Lösung, bei der bereits Rückströmung auftritt. Für 0 ≤ β ≤ 2 hingegen haben sowohl Hartree als auch Stewartson in ihren Arbeiten gezeigt, dass die FalknerSkan-Gleichung eine eindeutige Lösung besitzen. In [39] werden von Liao auch analytische Lösung der Falkner-Skan-Gleichung angegeben. Während seine Reihenentwicklungen gute Konvergenzeigenschaften für positive β aufweisen, verschlechtern sich diese deutlich für negative β. Außerdem konvergieren sie in diesem Bereich, wenn überhaupt, gegen Lösungen ohne Rückströmung.

1.3.3 Ablösung und Goldstein-Singularität Unter Separation versteht man die Ablösung der Grenzschicht von der Wand. Prandtl erklärte diesen Effekt wie folgt. Innerhalb der Grenzschicht nehmen die Geschwindigkeiten mit der Nähe zur Wand ab und die kinetische Energie der Strömungspartikel ist geringer je dichter sie sich zur Wand befinden. Bei einem Druckanstieg in der Außenströmung kann es daher passieren, dass die Partikel in Wandnähe nicht in der Lage sind diesen zu überwinden. Selbst ein kleiner Anstieg des Drucks kann dazu führen, dass Partikel stoppen und schließlich ein Rückströmungsgebiet nahe der Wand formen. In solchen Gebieten gilt dann mit ∂u ≤ 0 auch τ0 (x) ≤ 0 (wegen (1.14)). ∂y 0

Für anliegende Strömungen stört die Grenzschicht die äußere reibungsfreie Strömung nur geringfügig. Sobald aber Ablösungseffekte auftreten, brechen Grenzschichtrechnungen zusammen und die Lösungen zeigen ein singuläres Verhalten. Inspiriert durch die Arbeiten von Hartree, der von einer Singularität in der Lösung am Ablösepunkt überzeugt war, widmete sich S. Goldstein der Suche nach einer Formulierung, die es ermöglichen würde, die Berechnungen über den Punkt der Separation hinaus zu betreiben. 1948 präsentierte er eine umfassende Untersuchung des Zusammenbruchs der Grenzschichtrechnung und der Gründe dafür [19]. Seit dieser viel zitierten Arbeit spricht man von der Goldstein-Singularität.

Erst in den 1960er Jahren führten Catherall und Mangler [41] Strömungsberechnungen durch, die den Punkt der Ablösung beinhalten und darüberhinaus gehen.

18

2 Interaktion Die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen folgen einer klaren Hierarchie. Die Außenströmung wird als unbeeinflußt vom viskosen Teil der Strömung angenommen, und die Grenzschicht wird bezüglich der äußeren Strömungsgeschwindigkeit bzw. des anliegenden Druckgradienten berechnet. Die klassischen Grenzschichtgleichungen sind nur eine Näherung und betrachten lediglich die Terme erster Ordnung der asymptotischen Entwicklungen.

Es fällt zum Beispiel auf, dass die Geschwindigkeitskomponente v am Grenzschichtrand nicht in die entsprechende Komponente der Außenströmung übergeht. Es bleibt eine Differenz, die sogenannte Verdrängungsgeschwindigkeit. Diese verdrängt die Außenströmung aus dem Bereich nahe der Wand. Dies verändert die Außenströmung, was wiederum Einfluß auf die Grenzschicht hat. Es findet also eine Wechselwirkung zwischen den beiden Regionen statt, die in den klassischen Grenzschichtgleichungen vernachlässigt wird.

Durch die Fortführung der Störungsrechnung, mit der zur Herleitung der Grenzschichtgleichungen begonnen wurde, können weitere Glieder der Entwicklung bestimmt werden, die die klassischen Gleichungen korrigieren, und in denen Effekte wie Verdrängung und Wandkrümmung berücksichtigt werden. Schon Prandtl selbst schlug vor, dass durch sukzessive asymptotische Approximationen die Blasius-Lösung verbessert werden könnte. Bei der Betrachtung der längsangeströmten endlichen Platte schlägt er auf Seite 90 in der von ihm verfassten ’Divison G’ aus [51] vor, anstelle der einfachen parallelen Anströmung eine an die Verdrängungskontur angepasste zu wählen, wodurch die Druckverteilung leicht geändert würde. Die Rechnung müsste dann mit der geänderten Verteilung wiederholt werden, und dieser Vorgang falls nötig erneut durchgeführt werden - auf Basis der so bestimmten Verdrängung. Man spricht von Grenzschichtgleichungen höherer Ordnung, wenn neben den Termen erster Ordnung auch die höherer Ordnung betrachtet werden.

Eine ausfühliche Darstellung der Grenzschichtrechnung höherer Ordnung wurde z. B. durch Milton Van Dyke [69] gegeben.

Prandtl wollte ursprünglich mit Hilfe der klassischen Grenzschichtgleichungen auch Vorhersagen über die Separation von Strömungen treffen. In den 40er Jahren des letzten Jahrhunderts wurde klar, dass mit dem hierarchischen Ansatz Prandtls insbesondere solche Probleme, die eine Separation der Grenzschicht beinhalten, nicht behandelt werden können. Es kommt im Punkt der Ablösung zur oben erwähnten Goldstein-Singularität. Die Goldstein-Singularität, also das singuläre Verhalten der Grenzschichtgleichung im Punkt der Ablösung, galt jahrelang als Beschränkung der Gültigkeit des Grenzschichtmodells.

Einen Ausweg aus dieser Situation brachte schließlich die Entwicklung asymptotischer Theorien in der Nachbarschaft des singulären Punktes selbst. Beinahe gleichzeitig wurden in [48] von Neiland (1969) und in [66] von Stewartson & Williams (1969) die Interaktionstheorie zur Beschreibung selbstinduzierter Separation bei Überschallströmungen formuliert. Ebenfalls 1969 wurde von Stewartson in [64] und 1970 von Messiter in [43] die Theorie genutzt, um inkompressible Strömungen entlang der abschließenden Kante einer ebenen Platte zu untersuchen. Der wichtigste Grundgedanke in ihren Arbeiten ist wohl die Abkehr von der bisherigen hierarchischen Betrachtungsweise der Grenzschicht.

Das plötzliche starke Anwachsen der vertikalen Geschwindigkeit unmittelbar vor dem Punkt der Ablösung oder einer anderen Singularität und der damit ebenfalls verstärkte

19

2 Interaktion Verdrängungseffekt auf die äußere Schicht führen zu einer stärkeren Störung des Druckfeldes.

Diese Störung kann dann durchaus die Größenordnung der Druckverteilung erreichen, die der Grenzschicht anfänglich aufgeprägt wurde. Die Annahme der Hierarchie von Außenströmung und Grenzschicht verliert somit ihre Grundlage. In einem solchen Fall spricht man von starker Wechselwirkung (im Gegensatz zur schwachen Wechselwirkung, bei der die Hierarchie erhalten bleibt).

2.1 Triple Deck Bei der asymptotischen Interaktionstheorie betrachtet man die Plattenlösung (BlasiusLösung) selbst als gestört. Solche Störungen können beispielsweise Abweichungen von der Geometrie der Platte, also Dellen, Stufen etc., oder Unregelmäßigkeiten im anliegenden Druckfeld sein. Störungen können zur Folge haben, dass die bisherige Annahme beschränkter Ableitungen und Terme bezüglich x und der gestreckten Koordinate η nicht mehr gültig ist. Vielmehr könnte das Gleichgewicht der Terme in den Navier-Stokes-Gleichungen in soweit gestört sein, dass bisher vernachlässigte Terme wichtiger werden als diejenigen, die in den Grenzschichtgleichungen berücksichtigt werden. Es muss also eine asymptotische Struktur gefunden werden, die in der Umgebung der Störung gültig ist. Die Grenzschichtgleichungen folgen aus einer Störungsrechnung mit einem Störparameter, der ausschließlich von der Reynoldszahl abhängig ist. Die Störung der Plattenlösung muss ebenfalls mit der Reynoldszahl gekoppelt werden. Nach einer Vorlauflänge L liege also eine Störung der Grenzschichtlösung vor. Die eingehende Strömung erfüllt die klassischen Grenzschichtgleichungen und hat daher die Form 1

u(x < L, y; Re) = UB (ye) + O(Re− 2 ),

(2.1)

wobei U B √bekannt ist (ein Grenzschichtprofil, nicht notwendigerweise das Blasius-Profil) und ye = Re y die gestreckte transversale Grenzschichtkoordinate darstellt. Die Region um die Störung wird Interaktionsbereich genannt. Hier wird ein Abweichen von der klassischen Grenzschichtstruktur erwartet. Angesetzt wird für diesen Interaktionsbereich eine Ausdehnung LI der Größenordnung O(Re−nL ) mit 0 < nL < 12 . Durch nL < 21 ist sichergestellt, dass der Interaktionsbereich weiter bemessen ist als die Grenzschichtdicke und Ableitungen in x-Richtung auch weiterhin weniger Bedeutung haben als jene in y-Richtung.

Entsprechend wird für diesen Bereich eine gestreckte x-Koordinate um die Störungsstelle herum x−L xI = ∼ O(Re−nL ) LI eingeführt. In vertikaler Richtung erfolgt innerhalb des Interaktionsbereich neben der Unterscheidung von Grenzschicht und Außenströmung eine weitere Aufteilung. Betrachtet wird zunächst die Region in unmittelbarer Nachbarschaft zur Störung der Plattenlösung.

Im sogenannten unteren Deck (vom englischen ’lower deck’) werden konvektive und viskose Terme abgeglichen. Der viskose Einfluß der Störung auf das Geschwindigkeitsprofil ist also auf das Unterdeck beschränkt. Es habe eine Ausdehnung von ∆u ∼ O(Re−n∆ ).

Das sogenannte Hauptdeck (englisch ’middle deck’ oder ’main deck’) entspricht in seiner 1 Ausdehnung der Grenzschichtdicke, hat also eine Ausdehnung der Ordnung O(Re− 2 ). Im Hauptdeck wirkt die Störung nur noch als Verschiebung der Stromlinien. Diese Ablenkung der Stromlinien wird schließlich in die Außenströmung übertragen. Das sogenannte Oberdeck (’upper deck’) ist Teil der reibungslosen Außenströmung; hier haben die Skalierung in xund y-Richtung die gleiche Größenordnung. Es hat also eine Ausdehnung der Ordnung

20

2 Interaktion Re

-3/8

Oberdeck

Hauptdeck -1/2

Re

-5/8

Unterdeck

Re

Abb. 2.1: Asymptotische Struktur im Interaktionsbereich O(Re−nL ). In unmittelbarer Nachbarschaft der singulären Störung erhält man also eine dreischichtige asymptotische Struktur (2.1), das sogenannte Triple Deck.

2.1.1 Unterdeck Das untere Deck ist wesentlich kleiner als die Grenzschicht. Der Verlauf des eingehenden Geschwindigkeitsprofils ist hier noch linear und kann durch die Tangente

an der Wand ∂UB −n ∆ beschrieben werden. Für kleine y ∼ O(Re ) gilt daher u = y und damit ∂y 0

1

u ∼ O(Re 2 −n∆ ). Im Interaktionsbereich mit x ∼ O(Re−nL ) ergibt sich dann für den konvektiven und viskosen Term der Impulsgleichung (wie üblich gilt ν ∼ O(Re−1 )) u

1 ∂u ∂2u ∼ O(Re1−2n∆ +nL ) und ν 2 ∼ O(Ren∆ − 2 ). ∂x ∂y

Beide sollen gleicher Größenordnung sein, somit ist nL 1 + .

3 2

n∆ =

(2.2) 2nL

Auch der Druckterm soll im Unterdeck nicht vernachlässigt werden, daher ist p ∼ O(Re− 3 ) nL 2 n − 21 3 L ) folgt aus der Kontinuitätsgleichung schließlich v ∼ O(Re 3 gefordert. Mit ∂u ). ∂x ∼ O(Re Mit einer lokalen vertikalen Koordinate y = ∆yu ergeben sich daraus asymptotische Entwicklungen für das Unterdeck u(x, y; Re) =

Re−

nL 3

v(x, y; Re) = Re p(x, y; Re) =

2n − 3L

Re

+...,

(2.3)

v(xI , y) + . . . ,

(2.4)

+....

(2.5)

u(xI , y)

nL − 12 3

p(xI , y)

Mit diesen Entwicklungen werden viele Terme der Navier-Stokes-Gleichungen wegen nL < vernachlässigbar klein. Aus der Impulsgleichung erhält man u

∂u ∂u +v ∂xI ∂y 0

=− =

∂p ∂2u + 2 ∂xI ∂y ∂p ∂y

1 2

(2.6) (2.7)

für die Terme 1.Ordnung. Außerdem bleibt die Kontinuitätsgleichung für das Unterdeck erhalten ∂u ∂v + = 0.

(2.8) ∂xI ∂y

21

2 Interaktion Die Gleichungen zur Beschreibung des Unterdecks sind also von gleicher Gestalt wie die klassischen Grenzschichtgleichungen. Die Randbedingungen unterscheiden sich jedoch vom klassischen Fall. Es gilt weiterhin die Haftbedingung an der Wand, für y → 0 gilt also u = v = 0, und das eingehende Geschwindigkeitsprofil am Anfang des Interaktionsbereichs ist bekannt und besitzt dort einen linearen Verlauf. Bei xI → −∞ ist u = cy wobei die Wandsteigung c spezifisch ist für das eingehende Profil. Für ein Blasius-Profil zum Beispiel ist c = 0, 332 (siehe Glg. (1.53)). Am oberen Rand des Unterdecks (y → ∞) hingegen gilt nun u = cy + cA(xI ) + . . . , (2.9) A(xI ) wird Verdrängsfunktion genannt und entspricht der Verschiebung der Stromlinien durch die Störung. Die obere Randbedingung leitet sich aus der Anpassung des Unterdecks an das Hauptdeck ab. Zum Abschluß des Systems von Unterdeckgleichungen wird schließlich noch die Verteilung des Drucks im Interaktionsbereich oder die Verdrängungsfunktion benötigt, ist eines von beiden bekannt, läßt sich die andere Funktion daraus bestimmen.

Wegen (2.7) kann p(xI , y) = P (xI ) geschrieben werden.

2.1.2 Hauptdeck Der obere Bereich der Plattengrenzschicht beinhaltet das Hauptdeck. Als lokale tran1

versale Variable eignet sich daher ye = Re 2 y. Im Bereich des Hauptdecks setzt sich die Geschwindigkeit in Strömungsrichtung zusammen aus der des eingehenden Profils und der Geschwindigkeitsänderung, die durch die Störung verursacht wurde und vom Unterdeck nL ins Hauptdeck übertragen wird. Da im Unterdeck u ∼ O(Re− 3 ) und nL < 12 gilt, bietet sich im Hauptdeck eine Entwicklung der Form e0 (xI , ye) + Re− u(x, y; Re) = u

nL 3

e1 (xI , ye) + . . . u

(2.10)

an. Für die Terme erster und zweiter Ordnung soll auch hier die Kontinuitätsgleichung gültig sein, damit folgt für die Geschwindigkeit normal zur Wand eine Entwicklung 1

v(x, y; Re) = RenL − 2 ve0 (xI , ye) + Re

2nL − 12 3

ve1 (xI , ye) + . . . .

(2.11)

Wegen (2.7) und da auch innerhalb der eigentlichen Plattengrenzschicht der Druck unabhängig von der Entfernung zur Wand ist, eignet sich p(x, y; Re) = Re−

2nL 3

pe(xI , ye) + . . .

(2.12)

auch im Hauptdeck als Entwicklung. Durch Einsetzen in die Navier-Stokes-Gleichungen ergeben sich Gleichungen für die Terme erster Ordnung e0 e0 e0 ∂ ve0 ∂u ∂u ∂u e0 + = 0, u + ve0 = 0. ∂xI ∂ ye ∂xI ∂ ye

Diese Terme sind von der Größenordnung O(RenL ), alle übrigen sind wegen nL < 12 vernachlässigbar klein. Aus dem eingehende Grenzschichtprofil (2.1) folgt für xI → −∞, dass e0 → UB (ye). Außerdem hat die vertikale Geschwindigkeit innerhalb der Plattengrenzschicht u 1 eine Größenordnung von O(Re− 2 ), gefordert ist aber nL > 0. Somit ergibt sich für den gesamten Interaktionsbereich e0 = UB (ye) und ve0 = 0. u

(2.13)

22

2 Interaktion Für die Terme zweiter Ordnung erhält man neben der Kontinuitätsgleichung die Gleichung e0 u

e0 e1 e0 e1 ∂u ∂u ∂u ∂u e1 +u + ve0 + ve1 =0 e ∂xI ∂xI ∂y ∂ ye

und nach Einsetzen von (2.13) bleibt UB

e1 ∂u + ve1 UB0 = 0. ∂xI

1 Mit der Kontinuität der zweiten Terme ist UB ∂∂eve − ve1 UB0 = 0. Dies lässt sich mit der y

e v1 Quotientenregel umschreiben zu UB2 ∂∂e = 0. Zur Lösung dieser gewöhnlichen Diffey UB rentialgleichung wählt man den separierenden Ansatz ve1 = −A0 (xI )UB (ye), wobei A(xI ) 0 (y e1 = A(xI )UB e) und die zunächst eine unbestimmte Integrationskonstante ist. Damit ist u asymptotischen Entwicklungen lauten

u(x, y; Re) = UB (ye) + Re− v(x, y; Re) = −Re

2nL − 12 3

nL 3

A(xI )UB0 (ye) + . . . ,

A0 (xI )UB (ye) + . . . .

(2.14) (2.15)

Aus (2.14) lässt sich nun die obere Randbedingung des Unterdecks ablesen. Für ye → 0 nL geht UB (ye) → cye = Re− 3 cy und UB0 (ye) → c. Damit folgt (2.9).

2.1.3 Oberdeck Im Oberdeck sind beide Raumrichtungen von gleicher Größenordnung und Reibungseffekte vernachlässigbar. Hier gelten die Gleichungen einer Potentialströmung. Aus dem Hauptdeck wird eine vertikale Geschwindigkeit in das Oberdeck übertragen. Aus (2.15) ergibt sich für 2nL

1

ye → ∞ eine Größenordnung dieser Geschwindigkeit von O(Re 3 − 2 ). Aus der LaplaceGleichung folgt ein Beitrag zur horizontalen Geschwindigkeit √ in gleicher Größenordnung. e Die Geschwindigkeit auf den Stromlinien im Oberdeck ist u2 + v 2 wobei für u = 1 + u und v = ve gesetzt werden kann. Im Bereich des Oberdecks ist die Strömung reibungsfrei 2 2 und entlang einer Stromlinie gilt das Gesetz von Bernoulli, also p + u +v = konst. Die 2 Größenordnung der aus dem Hauptdeck übertragenen Geschwindigkeit ist vergleichsweise e 1, ve 1, und ihre Quadrate können vernachlässigt werden. Daher gilt klein, u p+

e)2 + ve2 (1 + u 1 e = konst. ≈p+ +u 2 2

Die Entwicklung des Drucks im Oberdeck sollte daher auch einen Term der Ordnung 2nL 1 O(Re 3 − 2 ) enthalten. Aus der Anpassung von Hauptdeck und Oberdeck erhält man also eine Entwicklung des Drucks, die zwei Arten von Drucktermen berücksichtigen muss p(x, y; Re) = Re−

2nL 3

pP (xI , yI ) + Re

2nL − 12 3

pδ (xI , yI ) + . . . .

(2.16)

Dabei ergibt sich pP direkt aus der Druckverteilung in den unteren Schichten P (xI ), während pδ bekannt ist, sobald die Verdrängungsfunktion A(xI ) bekannt ist. P und A stehen nun wiederum in direkter Beziehung zueinander über die Unterdeckgleichungen.

Die asymptotische Theorie des Dreierdeck soll nun aber insbesondere Effekte starker Wechselwirkung erfassen, also jene Strömungen, die weder durch die viskose Grenzschicht noch durch den reibungsfreien Außenbereich dominiert werden; jegliche Form von Hierarchie

23

2 Interaktion zwischen den Schichten soll ausgeschlossen werden. Daher müssen in der Entwicklung (2.16) die Terme für pP und pδ von gleicher Größenordnung sein und somit gilt schließlich 3 nL = .

8

(2.17)

Damit ist die Größenordnung des Interaktionsbereichs für starke Wechselwirkung bestimmt.

Wird ein größerer oder kleinerer Interaktionsbereich angesetzt, herrscht eine schwache Wechselwirkung zwischen den Schichten vor, die entweder von der Außenströmung oder der Grenzschicht dominiert wird.

5

Aus (2.2) ergibt sich für das Unterdecks ∆U die Größenordnung O(Re− 8 ).

2.2 Kopplung Die beiden Druckterme im Oberdeck müssen aneinander gekoppelt werden. Die Lösung der Gleichungen der reibungsfreien Strömungen ausserhalb der Grenzschicht führt auf eine Beziehung zwischen den Verteilungen P und A, die als Kopplung dient. Seien also u und v die Störungen der Geschwindigkeitskomponenten, außerdem p die Störung des Druckterms der Außenströmung. Die Größenordnungen der Störterme sind aus der bisherigen Betrach1 tung bekannt, nämlich gerade von Ordnung O(Re− 4 ). Die transversale und longitudinale Koordinate sind von gleicher Größenordnung. Für die normierte dimensionslose Strömung im Oberdeck gilt u = 1 + u,

v = v,

p = p∞ + p.

(2.18)

Produkte aus Störtermen können vernachlässigt werden, damit folgt aus den Eulergleichungen und der Kontinuität ∂u ∂v + ∂x ∂y ∂u ∂x ∂v ∂x

= 0

(2.19)

∂p ∂x ∂p = − . ∂y

(2.20)

= −

(2.21)

Die Gleichungen sind auf der positiven Halbebene y ≥ 0 zu lösen. Die Störungsterme verschwinden mit ausreichender Entfernung u → 0, v → 0, p → 0 für x → ±∞ oder y → ∞.

(2.22)

Aus (2.20) folgt u + p = F (y), wegen (2.22) ist F (y) = 0 für x → ±∞ und damit überall ∂p im Lösungsgebiet. Es folgt ∂u ∂y = − ∂y und mit (2.21) die Rotationsfreiheit der Störungen ∂v ∂u = . ∂x ∂y

(2.23)

Die Störungen der Geschwindigkeiten erfüllen die Laplace-Gleichung, sind also harmonische Funktionen. Führt man eine komplexwertige Funktion χ(ω) = u(x) − iv(y) in der Variablen ω = x + iy ein, erfüllt diese nach (2.23) und (2.19) die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung. Außerdem ist sie für stetig reell-differenzierbare Funktionen u und v

24

2 Interaktion holomorph. Mit der Kramers-Kronig-Beziehung lassen sich der Real- und Imaginärteil von χ zueinander in Beziehung setzen. Es gilt ˆ∞

1 <χ(ω) = π

−∞

und 1 =χ(ω) = − π

ˆ∞ −∞

=χ(ω) ˙ dω(CP ˙ V) ω˙ − ω

(2.24)

<χ(ω) ˙ dω(CP ˙ V ), ω˙ − ω

(2.25)

wobei durch (CP V ) der Cauchysche Hauptwert des Integrals gekennzeichnet ist. Am unteren Rand, also für y → 0, gehen (2.24), (2.25) über in 1 π

u(x, 0) =

1 π

v(x, 0) =

ˆ∞ −∞ ˆ∞

−∞

−v(x, ˙ 0) dx(CP ˙ V) x˙ − x

(2.26)

u(x, ˙ 0) dx(CP ˙ V ). x˙ − x

(2.27)

Es gilt u = −p und mit (2.18) folgt schließlich p(x, 0) =

1 π

ˆ∞ −∞

v(x, ˙ 0) dx(CP ˙ V) x˙ − x

ˆ∞

1 v(x, 0) = − π

−∞

p(x, ˙ 0) dx(CP ˙ V ). x˙ − x

Die Verteilung der transversalen Geschwindigkeit am unteren Rand des Oberdecks läßt sich aus der Lösung des Hauptdecks ablesen und der Druck für y → 0 entspricht der Verteilung P (xI ) aus dem Unterdeck. Die Kopplungsrelation lautet somit 1 P (xI ) = − π

ˆ∞ −∞

A0 (x˙ I ) dx˙ I (CP V ). x˙ I − xI

(2.28)

Wie beschrieben gilt die Beziehung (2.28) ausschließlich im Falle inkompressibler Strömungen, die im Oberdeck als Potentialströmungen betrachtet werden können.

Alternativ zu diesem Abschnitt findet sich im Anhangabschnitt A.1 eine ausführlichere Herleitung mittels Fourier-Transformation. Überschallströmungen Wie oben bereits erwähnt wurde parallel zum inkompressiblen Dreierdeck auch eine Dreierdecktheorie für Überschallströmungen entwickelt. Stewartson und Williams veröffentlichten diese in [66]. Die Herleitung erfolgt weitgehend analog zum inkompressiblen Fall und die Beschreibungen unterscheiden sich letztlich nur in der Kopplung an die reibungsfreie Außenströmung. An die Stelle des Hilbert-Integrals (2.28) tritt die Beziehung P (xI ) = −A0 (xI ).

(2.29)

Theodor Meyer befasst sich in seiner Dissertation von 1907 [44] mit der Eckenumströmung einer Überschallströmung. Er bearbeitet darin eine Theorie Prandtls’, und die in

25

2 Interaktion

u   x =−∞

y U x l

LI

h

Abb. 2.2: Lage und Ausdehnung der Plattendeformation diesem Zusammenhang erarbeiteten Ergebnisse führten dazu, dass (2.29) als Prandtl-MeyerRelation bekannt geworden ist. Nicht weniger verbreitet ist allerdings die Bezeichnung Ackeret-Formel, nach Jakob Ackeret. Dieser kam im Jahr 1921 nach Göttingen und war sechs Jahre an der von Prandtl mitbegründeten und geleiteten Aerodynamischen Versuchsanstalt (AVA) tätig. Der Schwerpunkt seines Interesses war die Aerodynamik des Hochgeschwindigkeitfluges.

Auch wenn in dieser Arbeit nicht weiter auf Überschallströmungen eingegangen wird, soll dennoch kurz daraufhingewiesen werden, dass die Kopplungsrelation (2.29) nur eine lokale Wechselwirkung von viskoser und reibungsfreier Strömung zur Folge hat, während bei einer Kopplung mittels (2.28) Änderungen einer der Funktionen globale Auswirkungen auf die jeweils andere haben. Infolgedessen ist die numerische Behandlung der Überschallgleichungen vergleichsweise einfach.

2.3 Störung durch Wanddeformation Anwendung findet die asymptotische Theorie des Triple Deck insbesondere bei Störungen der Plattengrenzschicht durch eine Deformation der Wand. Im folgenden soll nun der Spezialfall eines durch Deformation gestörten Blasius-Profils betrachtet werden, wie er zum Beispiel in [55] Kapitel 14 oder in der Arbeit von Peter Schäfer[54] beschrieben wird.

Die Wand sei nach einer Vorlauflänge L deformiert. Die Deformation habe eine Ausdehnung von l in x-Richtung und eine Höhe h. Da die Viskosität in ihrer Wirkung auf diesen Bereich beschränkt ist, muss die Deformation in der Größenordnung des Unterdecks sein. Es gilt also ∆U − 58 h l ∆U ∼ O(1) und LI ∼ O(1). Für die Ausdehnung des Unterdecks werden L = λ∆ Re 3

L und LLI = λL Re− 8 angesetzt, wobei die Reynoldszahl über Re = U∞ bestimmt ist. ν Zur Bestimmung geeigneter lokaler Variablen im Unterdeck werden charakteristische Referenzgrößen für den Druck und die Geschwindigkeit eingeführt.

2 (p − p∞ )ref := λp Re− 8 2 ρU∞

(2.30)

eignet sich als Ansatz für den Referenzdruck, die Größenordnung des Drucks im Unterdeck wurde ja aus (2.16) bestimmt. Als Referenzgeschwindigkeit wird die Geschwindigkeit des anströmenden Blasiusprofils in Höhe der oberen Begrenzung des Unterdecks gewählt. uref :=

∂UB ∂y

1

∆U = cU∞ Re 2 0

∆U L

(2.31)

26

2 Interaktion wobei c = 0, 332 (siehe Glg.(1.53)). Damit werden die lokale Variablen u∆ := p∆ :=

u

(2.32)

uref p − p∞ (p − p∞ )ref

(2.33)

eingeführt. Eine zusätzliche Verschiebung der lokalen Variablen um die Vorlauflänge führt für x∆ → −∞ zur Anfangsbedingung der ungestörten Anströmung. x∆ :=

x−L LI

(2.34)

Auch die Transformation der y-Koordinate beinhaltet nicht nur eine Streckung, sondern auch eine parallel Verschiebung um die örtliche Konturhöhe. Die Kontur der Deformation folge der Funktion H(x∆ ), so dass mit der lokalen vertikalen Variable y∆ :=

y − H(x∆ ). ∆U

(2.35)

weiterhin die Wandbedingung bei y∆ = 0 erhalten bleibt. Damit gilt 1 ∂ = ∂x LI

∂ ∂ − H 0 (x∆ ) ∂x∆ ∂y∆

(2.36)

und aus der Kontinuitätsgleichung folgt uref ∂u = ∂x LI

∂u∆ ∂u − H 0 (x∆ ) ∆ ∂x∆ ∂y∆

=−

1 ∂v ∂v =− . ∆U ∂y∆ ∂y

(2.37)

Die Kontinuitätsgleichung soll invariant gegenüber den Transformationen sein, also ist ∂u∆ ∂v∆ ∂xI = − ∂y∆ gefordert. Somit gilt uref ∆U LI und v=

∂v∆ ∂u + H 0 (x∆ ) ∆ ∂y∆ ∂y∆

∂v ∂y∆

=

(2.38)

uref ∆U (v∆ + H 0 (x∆ )u∆ ) LI

(2.39)

LI v − H 0 (x∆ )u∆ uref ∆U

(2.40)

bzw. v∆ :=

ist die geeignete Wahl für die lokale Variable der transversalen Geschwindigkeit. Die Größenordnung der erhalten gebliebenen Terme der Impulsgleichung ist zwar aus der Her1 leitung des Unterdecks bekannt (relevante Terme der Ordnung O(Re− 8 )), zur Bestimmung der bisher freien Koeffizienten λL , λ∆ , λp werden jedoch die lokalen Variablen nun in die Impulsgleichung in x-Richtung eingesetzt. Für die konvektiven Terme ergibt sich u2ref ∂u u = u∆ ∂x LI

u

∂u∆ ∂u − H0 ∆ , ∂x∆ ∂y∆

(2.41)

u2ref ∂u ∂u = (v∆ + H 0 u∆ ) ∆ ∂y LI ∂y∆

(2.42)

u2ref ∂u∆ ∂u ∂u ∂u +v = u∆ + v∆ ∆ , ∂x ∂y LI ∂x∆ ∂y∆

(2.43)

v also

27

2 Interaktion für den Druckterm

2

1 dp U 2 λp Re− 8 dp∆ = ∞ ρ dx LI dx∆ und für den viskosen Term entsprechend ν Für die Koeffizienten gilt

(2.44)

νuref ∂ 2 u∆ ∂2u = 2 . ∂y 2 ∆2U ∂y∆

(2.45)

2 u2ref c2 λ2∆ 1 U∞ = Re 8 , LI λL L

(2.46)

2

und

2 2 λ Re− 8 1 U λp U∞ p = Re 8 ∞ LI λL L

(2.47)

2 9 1 U νuref νU∞ c c ∞ 8 = 8 Re Re = .

L λ∆ λ∆ L ∆2U

(2.48)

Aus deren Vergleich folgt c2 λ2∆ λL λp λL

= =

λp , λL c . λ∆

(2.49)

Im betrachteten Fall liegt die Kopplungsrelation (2.28) für subsonische, inkompressible Strömung vor. Zur Verdrängungsfunktion, die durch viskose Effekte im Unterdeck hervorgerufen wird, muss die Kontur selbst addiert werden, die ja ebenfalls eine Verdrängungswirkung im Oberdeck ausübt. Die Verdrängungsfunktion wird durch A∆ :=

A + H(X∆ ) ∆U

(2.50)

angepasst. Damit gilt ∆U ∂A = ∂x LI

∂(A∆ − H) ∂(A∆ − H) − H0 ∂x∆ ∂y∆

=

∆U A0∆ − H 0 .

LI

(2.51)

Für die Störung des Drucks in der Außenschicht, die durch viskose Effekte im Untedeck hervorgerufen wird, gilt P (x) =

2 p(x) − p∞ = λp Re− 8 p∆ .

2 ρU∞

Aus Koeffizientenvergleich folgt λp =

λ∆ λL 5

(2.52)

und mit (2.49) gilt schließlich 3

1

λL = c− 4 , λ∆ = c− 4 , λp = c 2 .

(2.53)

Einsetzten der so transformierten Variablen in die Navier-Stokes-Gleichungen führen im Übergang Re → ∞ auf die Grenzschichtgleichungen. Am unteren Rand muss die Haftbedingung erfüllt werden, während am oberen Rand wegen (2.9) u∆ = y∆ + A∆ (x∆ ) 2 dA∆ ∆ gilt. Dort gilt dann auch ∂∂yu2∆ = 0 und ∂u ∂x∆ = dx∆ . Die Impulsgleichung vereinfacht sich ∆ damit am oberen Rand zu dp dA dA v∆ = − ∆ − y∆ ∆ − A∆ ∆ .

(2.54) dx∆ dx∆ dx∆ Zum Abschluß des Interaktionsproblems dient die Kopplungsrelation (2.28). Eine explizite Problemformulierung findet sich am Ende des nächsten Abschnitts (2.59)-(2.63).

28

2 Interaktion

2.4 Eckenumströmungen Mit Hilfe der Dreierdecktheorie sollen in dieser Arbeit neben der Überströmung einer durch Ausbeulungen und Eindellungen deformierten Platte eine weitere Art von zweidimensionalen und inkompressiblen Strömungen untersucht werden. Es sollen Konturen betrachtet werden, die man sich aus zwei Platten zusammengesetzt vorstellen kann. Beide Platten treffen sich in einem Punkt und bilden dort eine konkave oder konvexe Ecke. Die Variablen x und y seien dimensionsbehaftete und kartesische Koordinaten und die x-Achse verlaufe entlang der ersten Platte, die y-Achse orthogonal dazu. Ihr Ursprung falle auf den Eckpunkt, so dass die Lage der undurchlässigen Oberfläche mit 0 für x < 0 θx für x ≥ 0

(

K(x) =

(2.55)

beschrieben werden kann. Als charakteristische Länge L wird üblicherweise die Länge der ersten Platte bzw. die Vorlauflänge zum Eckpunkt gewählt. Als Referenzgeschwindigkeit U∞ dient die ungestörte Außenströmung. Außerdem sei sowohl die Dichte als auch die L kinematische Viskosität auf dem betrachteten Gebiet konstant und es gelte Re = U∞ ν .

1 Für große Reynoldszahlen und Eckenwinkel θ der Größenordnung O(Re− 4 ) lässt sich die Interaktion von Grenzschicht und reibungsfreier Region mit den Gleichungen der Dreierdeck-Theorie behandeln. Die Herleitung der Gleichungen für diese Situation wird sehr ausführlich und detaillreich im Buch von Sychev et. alt. [67] und dort insbesondere in Kapitel 2.3 behandelt. Im Wesentlichen unterscheidet sie sich aber wenig von dem Gezeigten der vorangehenden Abschnitte.

-3/8

Re

-3/8

Re -3/8

Re

-1/2

Re

Re

-5/8

y



Die Größenordnung des Eckenwinkels ist ein Resultat des Abgleichs der Störungen, die aus dem viskosen Bereich in den des Oberdeck induziert werden. Im Abschnitt über das Oberdeck wurde geschlossen, dass sämtliche in das Oberdeck induzierte Ter1 me von der Größenordnung O(Re− 4 ) sein müssen, um die Interaktion von viskosem und reibungsfreiem Bereich frei von jeder Hierarchie zu halten. Die Kontur hat auch eine Verdrängungswirkung auf den Außen1 bereich und nur mit K 0 (x) ∼ O(Re− 4 ) findet eine starke Wechselwirkung statt.

Für die Kopplungsrelation ist zu beachten, dass im Oberdeck eine Randbedingung wie L (2.23) nicht gilt. Aus (2.20) und (2.21) folgt allerdings ∂u ¯ ∂¯ v = (2.56) Abb. 2.3: Asymptotische Interaktionsstruk∂x∂y ∂x2 tur einer überströmten Ecke mit und aus (2.19) folgt kleinem Ablenkwinkel θ.

0

x

∂¯ v ∂u ¯ =− .

2 ∂x ∂x∂y

(2.57)

∂¯ v Das Funktionenpaar ( ∂∂xu¯ , − ∂x ) erfüllt die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung. Sind die beiden Funktionen stetig reell differenzierbar, dann ist die komplexwertige Funktion

29

2 Interaktion (x) (y) χ(ω) = ∂ u¯∂x − i ∂¯v∂x in der Variablen ω = x + iy holomorph. Wie im obigen Abschnitt zur Kopplung können mit Kramers-Kronig-Beziehung Druck und Verdrängungsfunktion zueinander in Relation gesetzt werden. Es ergibt sich anstelle von (2.28) die Kopplungsrelation

dP (xI ) 1 =− dxI π

ˆ∞ −∞

A00 (x˙ I ) dx˙ I (CP V ). x˙ I − xI

(2.58)

Die Lösung des viskosen Unterdecks kann auch im Fall der Eckenumströmung mit Variablen repräsentiert werden, wie sie im vorherigen Abschnitt eingeführt wurden: 1 4

− 21

α = Re c

0, x∆ < 0 , αx∆ , x∆ > 0 5 3 y y∆ = Re 8 c 4 − H(x∆ ), L 3 3 v − v∆ = Re 8 c 4 − u∆ H 0 (x∆ ) U∞ 1 1 (p − p∞ ) p∆ = Re 4 c− 2 . ρU∞ (

θ,

3 5 x x∆ = Re 8 c 4 , L 1 1 u − , u∆ = Re 8 c 4 U∞

und

H(x∆ ) =

(2.59)

Bei x∆ → −∞ folge die Anströmung dem Blasius-Profil und es gelte c = 0, 332. Das Gleichungssystem des viskosen Unterdecks lautet in diesen Variablen ∂u∆ ∂v∆ + ∂x∆ ∂y∆ ∂u ∂u u∆ ∆ + v∆ ∆ ∂x∆ ∂y∆

=

0

=

−

dp∆ 1 =− dx∆ π

´∞ −∞

(2.60) dp∆ ∂ 2 u∆ + 2 dx∆ ∂y∆

(2.61) ∗

A00∆ − H 00

dx∆ ∗

x∆ − x∆

(2.62)

mit den Randbedingungen x∆ → −∞ :

u∆ = y∆

y∆ = 0 :

u∆ = 0 ,

y∆ → ∞ :

v∆ = 0

u∆ = y∆ + A∆ und dA dp∆ v∆ = − dx −u∆ ∆ . ∆ dx∆

(2.63)

Probleme der starken Wechselwirkung wie die Eckenumströmung bei kleinem Ablenkwinkel und die Strömung über einer Platte mit kleinen Deformationen lassen sich im wesentlich auf die Lösung desselben Gleichungssystems (2.60), (2.61) mit (2.63) reduzieren. Bei laminaren, inkompressiblen Strömungen kann diese Formulierung durch die Relation (2.62) geschlossen werden. Unterschiede in der umströmten Kontur fließen lediglich über die Funktion H(x∆ ) in die Kopplungsrelation und die Variablentransformation ein.

30

3 Numerische Behandlung In diesem Kapitel soll ein numerische Verfahren vorgestellt werden, mit denen die Gleichungen der laminaren, inkompressiblen Interaktion (2.60)-(2.63) behandelt werden können. Im folgenden wird zur Vereinfachung der Darstellung auf die Indizierung mit ’∆’ verzichet.

Die Gleichungen ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y und

∂u ∂u dp ∂ 2 u =0 +v + − ∂x ∂y dx ∂y 2 ˆ∞ ds dp 1 =− A00 − H 00 dx π s−x

u

(3.1) (3.2)

−∞

sind zusammen mit den Randbedingungen x → −∞ :

u=y

y=0:

u = 0,

v=0

u=y+A

und dA −u dx

y→∞:

dp v = − dx

(3.3)

zu lösen. Das Verfahren soll auf unteschiedliche Konturen H angewendet werden, insbesondere auch auf Eckenumströmungen, wie sie in Abschnitt 2.4 beschrieben wurden. Korolev entdeckte 1992 [31], dass gerade die Lösungen zu Umströmungen konvexer Ecken nicht eindeutig sind. Vielmehr scheinen zu ein und derselben Kontur zwei Lösungen möglich. P. Schäfer berichtet in [54] ausführlich über das Auftreten von Mehrfachlösungen bei den Umströmungen von Stufenkonturen. Sowohl für Stufen- als auch Eckenumströmungen gilt, dass für bestimmte Konturparameter mittels Dreierdeckrechnung keine Lösung gefunden wurde.

Gerade die Lösungen dieser Fälle ist von besonderem Interesse. Über sie lassen sich Aussagen darüber treffen, inwieweit die asymptotische Näherung der Navier-Stokes-Gleichung in diesem Bereich so überhaupt noch zulässsig ist ([67] S.266f).

3.0.1 Gitter Ziel der vorliegenden Arbeit war es, ein möglichst einfaches Verfahren zur Berechnung der viskosen Grenzschicht zu finden. Dabei soll insbesondere auf die komplexe Konstruktion eines problemabhängigen numerischen Gitters verzichtet werden. Die numerische Behandlung erfolgt also auf einem gleichmäßigen Gitter mit Knotenpunkten (xi , yj ) ∈ [X − , X + ] × [0, Y ], wobei (i, j) ∈ [1, N ] × [1, M ]. Der Gitterabstand zweier aufeinander folgender Knoten in x-Richtung sei dabei (∆x) und in horizontaler Richtung (∆y).

Die Ränder des Lösungsgebietes liegen auf drei Seiten im Unendlichen. Da die Unterdeckkoordinaten möglichst keinen weiteren Transformationen unterworfen werden sollen, müssen die Ränder des numerischen Gitters X − , X + und Y empirisch festgelegt werden.

31

3 Numerische Behandlung Das bedeutet zunächst einmal darauf zu achten, dass die Strömungen an den Rändern ihren ungestörten Zustand wieder annehmen bzw. beibehalten. Es gelten die Randbedingung

dp

dp

du

du

, dy

= 1. Weiter müssen die |X − | und X + so lange weiter dx , dx = 0 und dy

1

N

1,1

N,1

erhöht werden bis eine weitere Erhöhung die Lösung nicht mehr wesentlich beeinflußt.

Ebenso muss mit Y verfahren werden. Bei festen Randwerten können dann die Gitterweiten soweit angepasst werden, dass eine Halbierung keinen merklichen Effekt auf die Lösung hat.

Bei den Ergebnissen im Kap.4 ist das verwendete numerische Gitter jeweils angegeben.

3.0.2 Feldverfahren Das Interaktionsproblem (3.1)-(3.3) kann auch bezüglich der Stromfunktion ψ formuliert werden. Bei Verwendung der Stromfunktion muss die Kontinuitätsgleichung nicht explizit gelöst werden (siehe Abschnitt 1.1.3). Nach geeigneten Variablentransformationen, wie sie zum Beispiel in [67] ausführlich erläutert werden, gelangt man zu Unterdeckgleichungen der Form ∂ψ ∂ 2 ψ dp ∂ 3 ψ ∂ψ ∂ 2 ψ − = − + .

(3.4) ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 dx ∂y 3 Verfahren, die eine solche Formulierung verwenden, bei denen also Unterdeckgleichungen bezüglich der Stromfunktion gelöst werden, werden Integralverfahren genannt.

Im Gegensatz dazu spricht man von Feldverfahren, wenn die Unterdeckgleichungen (in der Form (3.1)) explizit für Lösungsfunktionen u und v gelöst werden. Mit Blick auf eventuelle spätere Anwendungen soll in dieser Arbeit ein Feldverfahren verwendet werden.

3.1 Grenzschichtrechnung Zur Lösung partieller Differentialgleichungen der Form (2.61) bietet sich ein in der Praxis häufig verwendetes Einschrittverfahren an. Es zeichnet sich durch seine numerische Stabilität bei vergleichsweise geringem Rechenaufwand aus (siehe zum Beispiel [57]).

3.1.1 Crank-Nicolson-Schema In den 40er Jahren des 20.Jahrhunderts entwickelten John Crank und Phyllis Nicolson eine Finite-Differenzen-Methode, die sie insbesondere zur Lösung der Wärmeleitungsgleichungen benutzten [12]. Das nach ihnen benannte CN-Schema ist ein semi-implizites Verfahren zweiter Ordnung. Für die Impulsgleichung der zweidimensionalen Grenzschicht-Gleichungen kann gezeigt werden, dass das Crank-Nicolson Verfahren ohne Einschränkungen stabil ist. Die Bezeichnung “semi-implizite Methode” rührt daher, dass für das Verfahren eine Linearkombination aus expliziter und impliziter Methode verwendet wird. Zur Lösung der GS-Gleichungen soll das CN-Schema auf die partielle Ableitung nach x in der Impulsgleichung angewendet werden. Die Impulsgleichung der inkompressiblen, stationären Strömung (2.61) läßt sich schreiben als: u

∂u ∂u dp ∂ 2 u = −v − + =: N (u, v, p) ∂x ∂y dx ∂y 2

(3.5)

Für Gitterpunkte an der Stelle xi ergibt sich dann für das explizite Euler-Verfahren ui

ui+1 − ui = Ni (u, v, p) ∆x

(vorwärts gerichtet).

(3.6)

32

3 Numerische Behandlung Der Differenzenquotient greift vor auf Punkte der nächsten Gitterspalte i + 1. Das implizite Eulerverfahren an der Stelle xi+1 hingegen ist rückwärts gerichtet auf Punkte der vorherigen Gitterspalte und es ergibt sich ui+1

ui+1 − ui = Ni+1 (u, v, p) (rückwärts gerichtet). ∆x

(3.7)

Mit Mittelwertbildung erhält man dann für das Crank-Nicolson-Schema 1 ui+1 − ui 1 (ui+1 + ui ) = (Ni (u, v, p) + Ni+1 (u, v, p)) .

2 ∆x 2

(3.8)

Für die weiteren Ableitungen werden nun einfache Finite-Differenzen zweiter Ordnung verwendet, also ∂u ∂y

∂2u ∂y 2

!

=

ui,j+1 − ui,j−1 2∆y

=

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 . (∆y)2

i,j

i,j

(3.9) (3.10)

Damit ist dann 1 2 (Ni,j (u, v, p)

+Ni+1,j (u, v, p))

1 ui,j+1 − ui,j−1 ui+1,j+1 − ui+1,j−1 − vi,j + vi+1,j 2 2∆y 2∆y

1 ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 ui+1,j+1 − 2ui+1,j + ui+1,j−1 + + 2 (∆y)2 (∆y)2

=

1 − 2

!

dp

dp

+ .

dx i dx i+1

Die jeweiligen Mittelwerte können auch als Näherungswerte auf einem um 12 ∆x versetzten ∗ Gitter betrachtet werden, so dass mit u∗i+ 1 ,j = 12 (ui+1,j + ui,j ) und vi+ = 12 (vi+1,j + vi,j ) 1 ,j 2

ui+1,j − u∗i+ 1 ,j 2 ∆x

2

∗

vi+ 1 ui,j+1 − ui,j−1 + ui+1,j+1 − ui+1,j−1 dp

,j 2 = − − 2 2∆y dx i+ 12

ui,j

+

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 + ui+1,j+1 − 2ui+1,j + ui+1,j−1 (3.11) 2(∆y)2

gilt. Gerechnet wird in Strömungsrichtung, so dass die Werte auf der Gitterspalte bei xi bekannt sind und zur Berechnung der nächsten Gitterspalte genutzt werden. v∗

− =

1 ,j i+ 2

4∆y

v∗

i+ 1 2 ,j

4∆y

!

−

1 2(∆y)2

ui+1,j−1 +

!

+

1 2(∆y)2

ui,j−1 +

u∗

1 ,j i+ 2

∆x

u∗

1 ,j i+ 2

∆x

!

+

1 (∆y)2

ui+1,j +

!

−

1 (∆y)2

ui,j + −

v∗

i+ 1 2 ,j

4∆y

v∗

1 ,j i+ 2

4∆y

!

−

1 2(∆y)2

ui+1,j+1

!

+

1 2(∆y)2

ui,j+1 −

dp

dx i+ 1 2

33

3 Numerische Behandlung Mit v∗

Aj :=

i+ 1 2 ,j

−

4∆y

u∗

1 ,j i+ 2

Bj :=

∆x

!

−

1 2(∆y)2

+

1 (∆y)2

!

v∗

i+ 1 2 ,j

Cj :=

4∆y v∗

1 ,j i+ 2

Dj :=

4∆y

für 2 ≤ j ≤ N − 1 !

−

1 2(∆y)2

 ∗ ui+ 1 ,j 2 + −

!

+

1 2(∆y)2

ui,j−1

∆x

dp

− dx

und





∗



v 1 1  1  − i+ 2 ,j + u + ui,j+1 i,j 2 (∆y) 4∆y 2(∆y)2 (3.12)

i+ 12

A1 := 0, B1 := 1 C1 := 0 D1 := U0 (xi ) AN := 0, BN := 1 CN := 0 DN := UE (xi )

muss bei bekanntem Anfangsprofil UInit sowie Wand- und Außengeschwindigkeiten lediglich ein tridiagonales lineares Gleichungssystem gelöst werden. Dafür kann beispielweise der Thomas-Algorithmus verwendet werden. In [23] Abschnitt 1.5 wird dieser ausführlich beschrieben.

Die mit ’∗’ gekennzeichneten Größen auf dem versetzten Gitter sind nicht von vornherein bekannt und müssen iterativ bestimmt werden. Die transversale Geschwindigkeitskomponente v wird über die Kontinuitätsgleichung bestimmt. Dafür werden Finite-Differenzen auf einem Gitter formuliert, das sowohl um eine halbe Gitterweite in Stromrichtung aber auch um 12 ∆y in transversaler Richtung verschoben ist.

∂v ∂y

∂u ∂x

i+ 12 ,j− 12

i+ 12 ,j− 12

= =

1 2

1 2

ui+1,j −ui,j ∆x

vi,j −vi,j−1 ∆y

+

+

vi+1,j −vi+1,j−1 ∆y

ui+1,j−1 −ui,j−1 ∆x

=

=

∗ ∗ vi+ − vi+ 1 1 ,j ,j−1 2

2

∆y

− (ui,j − ui+1,j + ui,j−1 − ui+1,j−1 ) 2∆x

Aus

∆y (ui,j − ui+1,j + ui,j−1 − ui+1,j−1 ) 2 2 2∆x lassen sich dann bei bekannter Geschwindigkeit V0 am unteren Rand (meist Wand und ∗ damit V0 = 0) alle darüberliegenden Werte vi+ bestimmen. Die Geschwindigkeitswerte 1 ,j ∗ ∗ vi+ = vi+ + 1 1 ,j ,j−1

2

in Strömungsrichtung auf dem versetzten Gitter werden einfach über Mittelwertbildung aus dem schon bekannten und dem gerade errechneten Profil bestimmt u∗i+ 1 ,j = 2

1 (ui+1,j + ui,j ) .

2

Für einen einzigen Rechenschritt von xi nach xi+1 unter Vorgabe der Randwerte und dem anliegenden Druckgradienten werden also zunächst die Geschwindigkeiten auf dem versetzten Gitter geschätzt. Als erste Schätzungen werden die Werte aus der Berechnung des Vorgängerstreifens verwendet. Damit werden aus der Impulsgleichung Geschwindigkeiten für den Streifen i + 1 berechnet, die wiederum in der Kontinuitätsgleichung und bei der Mittelwertbildung für eine neue Schätzung der Werte auf dem versetzten Gitter verwendet

34

3 Numerische Behandlung ∗ werden. Die Iteration wird solange durchgeführt bis die Differenz der Werte vi+ zweier 1 ,j 2

aufeinanderfolgender Iterationen eine vorgegebene Genauigkeitsschranke unterschreitet.

Für klassische Grenzschichtrechnungen sollte dieser Grenzwert für die erste Iteration nach

dem Anfangstreifen von der Größenordnung O (∆x)2 , (∆y)2 sein. Bei der Berechnung der nachfolgenden Streifen muss dann die Iteration nur jeweils einmal durchlaufen werden, da die Geschwindigkeiten des Vorgängerstreifens als Näherung mit einem Fehler der Ordnung O(x) verwendet werden können.

Lemma 3.1.1 (Lokaler Abbruchfehler) Der Lokale Abbruchfehler des oben beschriebenen Verfahrens nach Crank-Nicolson ist zweiter Ordnung in beide Raumrichtungen.

Beweis: Seien dafür die Geschwindigkeitskomponenten (u, v)i+ 1 ,j für einen Punkt des 2 versetzten Gitters (xi+ 1 , yj ) bekannt. Mit Taylorreihenentwicklung erhält man dann für 2 die Abbruchfehler der Summanden aus Diskretisierung (3.11):

ui+ 1 ,j 2

ui+1,j − ui,j ∆x

vi+ 1 ,j

2

− ui+ 1 ,j 2

2

ui,j+1 −ui,j−1 +ui+1,j+1 −ui+1,j−1 4∆y

!

h

∼ O (∆x)2

i

2

−

∂u

∂y i+ 1 ,j

=

2

"

vi+ 1 ,j

∂u + ∂u ∂y i,j ∂y i+1,j

2

2

∂u

ui+1,j − ui,j − ∆x ∂y i+ 1 ,j

∂u

= ui+ 1 ,j 2 ∂y i+ 1 ,j

!

+O

(∆y)2

−

#

h

∼ O (∆x)2 , (∆y)2

∂u

∂y i+ 1 ,j

i

2

ui,j+1 −2ui,j +ui,j−1 +ui+1,j+1 −2ui+1,j +ui+1,j−1 2(∆y)2

−

∂2u

∂y 2 i+ 1 ,j

=

2

   

∂2u ∂y 2

2

∂ u

+

∂y 2

i,j



i+1,j

2



 + O (∆y)2 − ∂ 2 u2

 ∂y i+ 1 ,j

h

∼ O (∆x)2 , (∆y)2

i

2

Für den gesamten lokalen Abbruchfehler ergibt sich damit h

i

Ti+ 1 ,j (∆x, ∆y) ∼ O (∆x)2 , (∆y)2 .

2

2

3.1.2 Unterdeckrechnung Während bei Berechnungen der klassischen Grenzschicht die horizontale Geschwindigkeit am oberen Rand und der Druckgradient von der Außenströmung aufgeprägt werden und damit an jeder Stelle xi+ 1 schon vor Begin der Rechnung bekannt sind, gelten im 2 Rahmen der Interaktionsrechnung beide Größen als Teil der Lösung. Am oberen Rand des dp Unterdecks (2.63) gelten die Bedingungen u = y + A und dx = −v − u dA dx . Zur Lösung der Unterdeckgleichungen kann mit Hilfe der Gleichung

dp

dA

= −vi+ 1 ,M − ui+ 1 ,M

2 2 dx i+ 21 dx i+ 21 bzw.

Ai+1 = ∆x Ai − vi+ 1

2

dp

− dx i+ 12

!

35

3 Numerische Behandlung eine der beiden Größen zusammen mit den beiden Geschwindigkeitprofilen iterativ gefunden werden. In jedem Streifen von xi nach xi+1 muss die vollständige Iterationsschleife dann in der Regel mehrfach durchlaufen werden.

Der Abbruch der Iteration erfolgt nach dem unterschreiten einer Genauigkeitsschranke.

Anfänglich wurden bei den eigenen Berechnungen Versuche mit Schranken in Abhängigkeit von ∆x unternommen. Für kleiner werdende ∆x wurden die Rechnezeiten allerdings sehr lang und feste Genauigkeitsschranken führten auf gleiche Ergebnisse. Auch für Schranken größer als ∆x konvergieren die Unterdeckrechnungen. Eine zu groß gewählte Schranke ist, in den Ergebnissen deutlich zu erkennen. Es zeigt sich über weite Teile des Rechengebiets ein Auf- und Abspringen der Strömungsgrößen von einer Gitterspalte zur nächsten. Für die Berechnungen im nächsten Kapitel wurden die Iterationen in der Regel dann abgebrochen, wenn die Diffferenz zweier aufeinanderfolgender Berechnungen des Geschwindigkeitsprofils dp

vi+ 1 sowie die Differenz aufeinanderfolgender Berechnungen von dx

1 keinen Wert größer i+ 2

2

als 10−3 enthält.

3.1.3 Wandschubspannung Eine wichtige Kenngröße von Strömungen ist die Wandschubspannung. Für negative oder gegen Null gehende Werte der örtlichen Wandschubspannung gilt die Strömung im entsprechenden Bereich abgelöst. Aus den gewonnenen Geschwindigkeitsverteilungen als ∂u sollen die Gradienten ∂y an der Oberfläche bestimmt werden. Für einen festen Streifen xi 0 läßt sich mittels Taylor-Entwicklung ein Differenzenquotient der unteren drei Gitterpunkte direkt oberhalb der Wand bestimmen. Da die Gitterpunkte (i, 1) direkt auf der Oberfläche liegen und dort ui,1 = 0 gilt, läßt sich ein Abschneidefehler der Ordnung O[(∆y)4 ] realisieren.

Mit (∆y)u0i,1 + 12 (∆y)2 u00i,1 + 61 (∆y)3 u000 i,1

= O[(∆y)4 ]

ui,3 − 2(∆y)u0i,1 + 2(∆y)2 u00i,1 + 68 (∆y)3 u000 i,1

= O[(∆y)4 ]

ui,2 −

4 ui,4 − 3(∆y)u0i,1 + 29 (∆y)2 u00i,1 + 29 (∆y)3 u000 i,1 = O[(∆y) ]

gilt

∂u

18ui,2 − 9ui,3 + 2ui,4 = + O[(∆y)4 ].

∂y i,1 6∆y

(3.13)

Bei den Berechnungen im nächsten Kapitel wurde dieser Differenzenquotient verwendet.

3.1.4 Rückstromgebiete Letztlich wird anvisiert auch Strömungen zu berechnen, die Ablösungsgebiete beinhalten.

Diese Gebiete zeichnen sich durch eine Umkehr der Strömungsrichtung aus. Das vorgestellte numerische Verfahren basiert aber auf dem parabolischem Charakter der Grenzschichtgleichungen. Die numerische Lösung erfolgt schrittweise in Strömungsrichtung und ist für Wandschubspannungen kleiner Null nicht mehr zulässig. In [55] Kap. 14 wird auf zwei Möglichkeiten hingewiesen, Gebiete mit negativer Strömungsrichtung zu behandeln. Bei DUIT-Verfahren (downstream upstream iteration) wird das Lösungsgebiet aufgeteilt in Hauptströmung und Rückströmung. Jedes Gebiet wird getrennt behandelt und in der jeweiligen Strömungsrichtung gelöst. Beide Gebiete müssen iterativ aneinander angepasst und zu einer Gesamtlösung zusammengefügt werden. Versuche, dieses Vorgehen in dem in der vorliegenden Arbeit verwendeten Programmcode zu implementieren, erwiesen sich als

36

3 Numerische Behandlung nicht erfolgreich. Die beiden Strömungsgebiete ließen sich nicht aneinander anpassen, so dass die Grenzschichtrechnung nicht mehr konvergierte.

Wesentlich einfacher zu implementieren ist die FLARE Näherung (Flügge-Lotz and Reyhner [52]). An Gitterpunkten mit u < 0 wird der Konvektionsterm vernachläßigt u ∂u ∂x = 0. Dies kann einfach in die Koeffizienten (3.12) eingebaut werden. Die Näherungswerte auf dem halben Gitter u∗i+ 1 ,j werden auf Werte < 0 überprüft und an den betroffenen 2

Stellen u∗i+ 1 ,j = 0 gesetzt. Alle weiteren Schritte werden unverändert fortgesetzt. Die 2

FLARE Näherung wird bei den Berechnungen in Kap.4 verwendet.

3.2 Außenströmung Verdrängungsfunktion oder Druckgradient können als Lösung der Grenzschichtrechnung des Unterdecks bestimmt werden, wenn die jeweils andere Funktion vorgegeben wird. Im Oberdeck, also dem reibungsfreien Außenbereich, kann mit Hilfe der Kopplungsrelation dann umgekehrt aus der im Unterdeck berechneten Funktion der Druckgradient bzw. die Verdrängungsfunktion ermittelt werden. Die numerischen Versuche bleiben im Rahmen dieser Arbeit auf den inkompressiblen Fall beschränkt. Es liegen Kopplungsrelationen in der Form von Hilbert-Integralen vor (siehe (3.2) oder (2.28)). Allgemein sind also Gleichungen der Form ˆ∞ 1 ds g(x) = G0 (s) (CPV) (3.14) π x−s −∞

zu lösen. (CPV) kenzeichnet dabei, dass der Cauchysche Hauptwert des Integrals bestimmt werden muss.

3.2.1 Berechnung des Hilbert Integrals Das Integral soll auf einem äquidistantem Gitter mit der Maschenweite h = ∆x diskretisiert werden. Gitterpunkte seien die Stellen xk mit k ∈ [1, . . . , N ]. Außerdem sei xi jener Gitterstelle, an der die Funktion g(x) ausgewertet werden soll. Für die Auswertung der Funktion g an der Stelle xi soll in diesem Abschnitt kurz gi geschrieben werden. Das Integral in (3.14) wird zunächst aufgeteilt in die Intervalle zwischen je zwei Gittterpunkten. In fast allen Intervallen wird G0 (s) durch den jeweiligen Mittelwert im Intervall approximiert, die beiden Intervalle um den Gitterpunkt xi , wo das Integral uneigentlich wird, werden gesondert behandelt. Die Näherung an G0 (s) erfolgt hier über die ersten beiden Terme der Taylor-Entwicklung um den Punkt xi . Es gilt mit J = {[1, . . . , N ] \ [i − 1, i, N ]} ˆ∞ −∞

ds G0 (s) xi − s

x ˆi+1

= xi−1

X ds G0 (s) (CPV) + xi − s j∈J

x ˆi+1

0

G (xi ) + (s − xi )G00 (xi )

≈ xi−1

xˆj+1

G0 (s) xj

ds xi − s

X ds (CPV) + xi − s j∈J

(3.15) xˆj+1

G0 (xj+ 1 ) 2

xj

ds . xi − s

37

3 Numerische Behandlung Für die einzelnen Summanden gilt

xˆi+1

x ˆi+1

ds G (xi ) (CPV) = x−s

dG

ds i

0

xi−1

xi−1

ds (CPV) xi − s

xi − xi−1

dG

ln ds i xi − xi+1

=

= 0,

xˆi+1

x ˆi+1

d2 G

ds2 i

ds (s − xi )G (xi ) (CPV) = xi − s 00

xi−1

(3.16)

xi−1

s − xi ds(CPV) xi − s

d2 G

(−xi+1 + xi−1 ) ds2

=

i

2 = − (Gi+1 − 2Gi + Gi−1 ) h

(3.17)

und xˆj+1

ds G (xj+ 1 ) 2 xi − s 0

X j6=i−1,i x j

=

X dG

ds

j∈J

= =

xˆj+1 j+ 21

xj

ds xi − s

x −x

j

i ln

xi − xj+1

j+ 21 j∈J

X1

i−j

.

(Gj+1 − Gj ) ln

h i − j − 1

X dG

ds

(3.18)

j∈J

Insgesamt kann die Summe 

gi ≈

1  4Gi − 2Gi+1 − 2Gi−1 + πh j∈J

X



i−j

 (Gj+1 − Gj ) ln

i − j − 1

(3.19)

als Approximation der Funktion g an der Stelle xi genutzt werden. Die Auswertung von g kann an allen Stellen i ∈ [2, . . . , N − 1] erfolgen. Für g1 und gN müssen Randbedingungen gefunden werden. Diese Diskretisierungsverfahren wird z. B von A.E.P. Veldman in [71] (Formel (14)) vorgeschlagen.

Zum Programmpaket von MatLab gehört die Funktion hilbert() zur Berechnung analytischer Signale. Der Imaginärteil eines solchen komplexwertigen Zeitsignals entspricht der → − − Hilbert-Transformierten des Realteils. Seien mit → g und G Vektoren bezeichnet, deren Komponenten Funktionsauswertungen and den Gitterstellen entsprechen, dann wird (3.14) in MatLab auch durch die Programmzeile → − → − g = imag(hilbert( G ); gelöst. Die Geschwindigkeit dieser Funktion übertrifft die selbst programmierter Routinen bei Weitem.

38

3 Numerische Behandlung

3.3 Interaktionsrechnung Um die folgende Betrachtung der verschiedenen Modelle zur Interaktionsrechnung übersichtlicher darstellen zu können, soll nun eine Operator-Schreibweise für die Grenzschichtrechnung und die Berechnung der Außenströmung eingeführt werden. Standardmäßig werden die Gleichungen der viskosen Schicht unter Vorgabe eines Druckgradienten gelöst. Aus den oberen Randbedingungen und den dortigen Geschwindigkeiten ergibt sich dann eine Verdrängungsfunktion A. Eine Grenzschichtrechnung kann also abkürzend durch A=V

dp dx

(3.20)

dargestellt werden. Im reibungsfreien Bereich der Außenströmung wird standardmäßig die Strömung um eine bestimmte Verdrängungskontur berechnet. Mit Hilfe einer Kopplungsrelation wird bei vorgegebener Verdrängungsfunktion ein Druckgradient bestimmt, der in transversaler Richtung bis hinunter zur Oberfläche des Körpers konstant bleibt. Abkürzend kann für die Rechnung im Aussenbereich dp = I(A) dx

(3.21)

geschrieben werden. Zur Lösung der Interaktionsrechnung sollen ein Druckgradient und eine Verdängungsfunktion gefunden werden, die bezüglich der vorgegebenen umströmten dp ∗ Kontur zusammen passen. Gesucht sind dx und A∗ ,so dass dp ∗ = I(A∗ ) und A∗ = V dx

dp ∗ . dx

(3.22)

3.3.1 Klassifizierung der Verfahren Direkte Methode Eine naheliegende Vorgehensweise ist es, die Berechnung für Grenzschicht und Außenströmung nacheinander auszuführen; und ausgehend von einem Andp 0 fangswert A0 oder dx das Ergebnis einer Rechnung in der jeweils folgenden Rechnung vorzugeben. In der Operatorschreibweise könnte beispielsweise An+1 = V(I(An ))

(3.23)

mit einem Startwert A0 versucht werden. Diese Vorgehensweise wird direkte Methode genannt. Methoden dieser Art scheitern allerdings bei Strömungen, die nahe der Ablösung sind. Grund dafür ist, dass die Grenzschichtrechnung V mit Druckgradienten solcher Strömungen aufgrund der Goldstein-Singularität zusammenbricht.

Inverse Methoden Die früheste Methode den Zusammenbruch der Grenzschichtrechnung im Bereich der Ablösung zu umgehen, besteht darin die Grenzschicht-Rechnung zu invertieren dp = V −1 (A).

(3.24) dx Die Grenzschicht wird also für eine vorgegebene Verdrängungsfunktion gelöst und Druckgradient und Geschwindigkeitsverteilung ergeben sich als Lösung. Ebenso wird auch die Berechnung der Außenströmung invertiert, so dass A∗ sukzessive durch An+1 = I −1 (V −1 (An ))

(3.25)

39

3 Numerische Behandlung approximiert wird. Die Entwicklung dieser Idee wurde insbesondere durch die Arbeit von Catherall und Mangler [41] vorangetrieben. Eine erfolgreiche Umsetzung dieser Methode wurden schon 1974 von Jobe und Burggraf vorgestellt, die zunächst Strömungen im Bereich der Hinterkante einer parallel angeströmten Platte (’trailing edge flow’) untersuchten. Neben der Umkehrung der Grenzschichtrechnung erfolgte die Berechnungen im Außenbereich bei ihrem Verfahren durch die Inversion des Hilbert-Integrals (2.62) 1 A (x) = H (x) + π 00

ˆ∞

00

dp/ds ds. s−x

(3.26)

−∞

Der darauf beruhende Iterationsprozess kann durch Unterrelaxation zur Konvergenz gebracht werden. Carter und Wornom nutzten 1975 [7] eine Inverse-Methode zur Untersuchung der Strömung entlang einer Platte mit Vertiefung (’indented plate’) und präsentierten Lösungen, die sowohl die Ablösung als auch das Wiederanlegen der Strömung beinhalten.

Solche inversen Verfahren konvergieren nur langsam und außerdem nicht ohne Unterrelaxation. In der Praxis konvergieren inverse Iterationsverfahren angewandt auf Strömungen mit Ablösungsgebiet nur für niedrige Relaxationsparameter. Für ein ’Update’ von A, welches mittels (3.25) aus An bestimmt wurde, sollte der Parameter r in An+1 = rAupd + (1 − r)An

(3.27)

nicht größer als 0, 1 gewählt werden [67]. Dies gilt insbesondere, wenn die Strömung Ablösungsgebiete beinhaltet oder nahe der Ablösung ist. Außerdem ist die Invertierung von I für viele technisch interessante Strömungen sehr viel aufwendiger als für zweidimensionale Plattenströmungen. Die inverse Methode konnte sich daher in dieser Form nicht durchsetzen. Eine Vielzahl anderer Methoden zur Interaktionsrechnung wurden entwickelt. Einen Überblick liefert beispielsweise [40] und in [67] von V. Sychev ist das Kapitel 7 der numerischen Interaktionsrechnung und deren Entwicklung gewidmet. Sogenannte semi-inverse Methoden weisen verbesserte Konvergenzeigenschaften gegenüber inversen Verfahren auf und sind auf eine Vielzahl von praktischen Strömungsproblemen mit Grenzschichtablösung anwendbar.

Semi-Inverse Methoden Semi-inverse Methoden zur Interaktionsrechnung entsprechen einer Mischung aus direkter und inverser Methode. Um Schwierigkeiten bei der Invertierung der Berechnung des reibungfreien Bereiches zu umgehen, wird dieser weiter direkt berechnet und lediglich die Grenzschichtrechnung invertiert. In einem Iterationsschritt werden also unter Vorgabe einer Verdrängungsverteilung zwei Geschwindigkeitsverteilung am oberen Grenzschichtrand bzw. dem unteren Rand des Außenbereichs berechnet. Aus der Differenz dieser beiden wird dann ein Update für A bestimmt. Mit

dp dx

inv

= I(A ) und n

dp dx

v

= V −1 (An )

(3.28)

ist ein sehr einfaches Update durch A

n+1

=A +ω n

dp dx

v

−

dp dx

inv !

(3.29)

gegeben, wobei die Konvergenz dieser Methode maßgeblich von der Wahl des Parameters ω abhängt. Eingeführt wurden die Methoden der semi-inversen Interaktionsrechnung maßgeblich durch die Arbeiten von Le Balleur und Carter. Bei einer Konferenz in Kalifornien

40

3 Numerische Behandlung [6] stellt Carter 1981 ein Semi-Inverses Verfahren vor. Seine Berechnungen stützen sich auf ein spezielles Koordinatensystem und erzielten überzeugende Übereinstimmungen mit experimentellen Messungen abgelöster Strömungen. Le Balleur veröffentlichte Ende der 1970er Jahre Artikel im französischen ’La Recherche Aérospatiale’ [36], [37]. In [38] werden numerische Ergebnisse seiner Methode für zweidimensionale Strömungen mit großen Ablösegebieten präsentiert. Es sind eine Vielzahl von semi-inversen Verfahren entwickelt worden, die auch praktisch zur Anwendung kamen. Insbesondere in der Aerodynamik finden sich viele Beispiele, bei denen semi-inverse Verfahren zu anwendungsorientierten Berechnungen an Flügelprofilen benutzt wurden. Abgesehen von unteschiedlichen Ansätzen zur Lösung des viskosen und des reibungsfreien Gebiets unterscheiden sich die Verfahren in der Art wie ein Update der Verdrängungsfunktion gefunden wird. Gemein ist allen, dass dieses Update aus den “gleichzeitig” ermittelten Ergebnissen der inversen Unterdeckrechnung und der direkten Rechnung im reibungsfreien Bereich abgeleitet wird.

Weitere Klassen Zu erwähnen sind noch die Klassen der voll-simultanen und quasisimultanen Methoden. Von voll-simultanen Methoden wird gesprochen, wenn Unterdeckund Außenströmung in einem gemeinsamen Schritt simultan gelöst werden. Voll-simultane Methoden sind prinzipiell anzustreben, da die Abwesenheit jedweder Hierarchie, also die starke Wechselwirkung beider Lösungsgebiete, in diesen numerischen Methoden umfassend repräsentiert werden. Beispiele für voll-simultane Methoden - allerdings in Integralformulierung - lassen sich schon in frühen Arbeiten finden (z.B. [46, 16]). Für Feldverfahren stellt die Umsetzung viel größere Ansprüche an Rechenkapazität und -Leistung. Quasi-simultane Methoden arbeiten dem durch eine reduzierte Kopplung entgegen [9, 71].

3.3.2 Das verwendete Verfahren Ziel sind Interaktionsberechnungen von Strömungen, die auch abgelöste Strömungsgebiete beinhalten. Von den oben erwähnten muss damit die direkte Methode ausgeschlossen werden. Es wurde zunächst versucht, die vermeintlich einfachere inverse Methode in seiner einfachsten Form umzusetzen. Ausgehend von einer initialen Verdrängungsfunktion dp A(x) = 0 für alle x, ergibt sich auch der initiale Druckgradient dx = 0 für alle x. Nach 00 00 (3.26) erhält man im 1. Iterationsschritt Aupd = H . Das Update von A ergibt sich dann gemäß (3.27) mit r < 0, 1 A001 = rA00upd + (1 − r)A000 .

(3.30) Aus A00 wurde dann durch numerische Integration A0 und A bestimmt und der nächste Iterationsschritt angegangen. Das Verfahren wurde an verschiedenen Konturen und unter Verwendung verschiedener Parameter r getestet. In keinem Fall konvergierte das Verfahren gegen eine Lösung. Es war zu beobachten, dass an verschiedenen Stellen zunächst Störungen in Druckgradient und Wandschubspannung auftreten, die sich in folgenden Iterationsschritten immer weiter verstärken bis nach einigen Iterationen (abhängig von r) ein Durchlauf der Unterdeckrechnung nicht mehr gelingt. Mit “Störungen” sind starke Abweichungen vom typischerweise glatten Verlauf über einige Gitterpunkte in alternierende Richtung gemeint. Vielleicht etwas anschaulicher soll hier von “Fluktuationen” gesprochen werden.

Diese Probleme traten sowohl bei Verwendung der MatLab Routine ’hilbert’, als auch bei Verwendung selbst programmierter Funktionen zur Bestimmung des Hilbert-Integrals auf. Um auch die numerische Integration als Ursache auszuschließen, wurden auch hier verschiedene Methoden getestet (z.B. MatLab ’cumtrapz’ oder Spline-Umwandlung und -Integration). Außerdem wurde das Verfahren umformuliert, so dass A0 anstelle von A00 als Zielfunktion dient, um eine Integration zu vermeiden (in diesem Fall bleibt die Berechnung

41

3 Numerische Behandlung von Keilströmungen ausgeschlossen). Die Fluktuationen konnten durch diese Maßnahmen nicht vollständig vermieden werden, und das Verfahren konnte nicht zur Konvergenz gebracht werden.

Der Versuch ein semi-inverses Verfahren zu implementieren war zunächst nicht erfolgreicher.

Unter Vorgabe der initialen Verdrängungsfunktion A(x) = 0 wurde ein Druckgradient über die Kopplungsrelation bestimmt

dp dx

inv

ˆ∞

1 =− π

A00 − H 00

ds

s−x

.

(3.31)

−∞

v

dp Die Bestimmung des zweiten Druckgradienten dx erfolgte über eine Unterdeckrechnung.

Aus der Differenz der beiden Druckgradienten wurde dann auf verschiedene Weisen ein Update bestimmt, unter anderem wie in (3.29) mit verschiedenen kleinen Parametern ω.

Auch in diesen Fällen traten früher oder später wie oben beschrieben Fluktuationen in Druckgradient und Wandschubspannung auf, und in keinem Fall konnte eine Konvergenz erreicht werden.

Vermutlich sind die beschriebenen Fluktuationen Folgen der wiederholten Anwendung der Hilbert-Berechnung. Beim Inversen Verfahren gilt z.B vereinfacht An+1 = I −1 (V −1 (An )),

(3.32)

wobei An durch n-fache Anwendung der Hilbert-Berechnung bestimmt wurde. Kleinste, unvermeidliche, numerische Fehler könnten sich so immer weiter verstärken. Dieser Effekt könnte vielleicht durch die Verwendung eines aequidistanten numerischen Gitters, das vorsätzlich nicht an das Problem angepasst wurde, noch bestärkt werden. Die meisten früheren Arbeiten verwenden angepasste Gitter. Diese Vermutung führte auf folgende Abänderung des semi-inversen-Verfahrens. Das Update wird durch die Anwendung der inversen Hilbert-Transformation auf die Differenz der Druckgradienten gewonnen. In Kurzschreibweise v inv ! dp dp n+1 n −1 A =A +I − .

(3.33) dx dx Effektiv wird das Verfahren damit zu einem einfachen inversen Verfahren reduziert, wie man leicht sieht.

A

n+1

−A

n

An+1 − An

dp v dp inv = I − I −1 dx dx = I −1 (V −1 (An )) − I −1 (I (An )) −1

An+1 = I −1 (V −1 (An ))

(3.34)

Die Tatsache, dass das Verfahren auf diese Weise konvergiert, bestärkt allerdings die oben geäußerte Vermutung. Im Verfahren werden die Hilbert-Transformation und die Inversion abwechselnd genutzt. Kleine numerische Fehler können sich nicht mehr weiter verstärken und werden in Bereichen, in denen A keinen großen Änderungen unterliegt, in Teilen aufgehoben.

Da mit dieser Implementierung des inversen Verfahrens plausible Lösungen erlangt werden konnten, kommt diese bei den Berechnungen im nächsten Abschnitt zur Anwendung.

Zusammenfassend folgt hier eine kurze Übersicht über einen einzelnen Iterationsschritt. inv ´∞ dp ds • dx = − π1 −∞ (A00n − H 00 ) s−x ,

42

3 Numerische Behandlung v

•

•

A00upd

dp dx

= V −1 (An ), gemäß den Unterabschnitten 3.1.1 und 3.1.2,

=

1 π

´∞ −∞

dp v dx

−

dp inv dx

ds s−x ,

• A00n+1 = A00n + r · A00upd Die Iterationsschleife wird verlassen, sobald für zwei aufeinander folgende Verdrängungsfunktionen An+1 − Ani < errA für alle i i gilt. Für die Berechnungen im nächsten Kapitel wurde errA = 10−4 gewählt. Dieser Wert ist nach [67] typisch für Interaktionsrechnungen dieser Art.

43

4 Numerische Experimente Obwohl erste numerische Versuche bereits in den 1970 Jahren unternommen wurden, ist die Numerik der Dreierdeckgleichungen selbst im zweidimensionalen Fall ein Problem, das auch am Anfang de 21. Jahrhunderts noch Gegenstand von Forschungsarbeiten ist. Die Ergebnisse einiger neuerer Arbeiten sollen in diesem Kapitel mit denen eigener Interaktionsrechnungen verglichen werden.

4.1 â&#x20AC;&#x153;Witch of Agnesiâ&#x20AC;?

Insbesondere frĂźhe Arbeiten zum Dreierdeck untersuchen häufig Konturen, die der Kurve der Maria Agnesi folgen. Man spricht auch von â&#x20AC;&#x153;Witch of Agnesiâ&#x20AC;? Kurven oder HĂźgeln.

Die â&#x20AC;&#x153;Verhexungâ&#x20AC;? der Italienerin Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) geht nicht etwa auf ihren schlechten Ruf zurĂźck. Vielmehr hatte die junge Maria Agnesi, die in Mailand und darĂźber hinaus als Wunderkind bekannt geworden ist, schon frĂźh den Wunsch, geäuĂ&#x;ert, in ein Kloster zugehen, vermutlich um ihrer eigenen BerĂźhmtheit zu entfliehen. Zureden und Zugeständnisse ihres Vaters Ăźberzeugten sie im Elternhaus zu bleiben, wo sie sich neben der Theologie vor allem der Mathematik widmete. Zahlreiche Ehrungen und der Ruf des Papstes Benedikt XIV auf einen Lehrstuhl der Mathematik an der Universität Bologna Ăźberzeugten sie nicht, eine vielversprechende Karriere als Wissenschaftlerin anzutreten.

Stattdessen betätigte sie sich insbesondere nach dem Tod ihres Vaters als christliche Wohltäterin und Verfasserin theologischer Manuskripte. Die unpassende Bezeichnung der Kurve ist wohl auf die phonetische Ă&#x201E;hnlichkeit der italienische Begriffe la versiera und lâ&#x20AC;&#x2122;awersiera zurĂźckzufĂźhren, wobei ersterer als â&#x20AC;&#x153;Kurveâ&#x20AC;? und letzterer als â&#x20AC;&#x153;Hexeâ&#x20AC;? zu Ăźbersetzen ist.

Schon 1973 untersuchte F.T. Smith in [58] GrenzschichtstrĂśmungen Ăźber Agnesi- Deformationen der Form 1 H(x) = (4.1) 2 .

1 + xq Er benutzte dazu eine Linearisierung der Dreierdeckgleichungen. Im Kapitel 6 ihrer Dissertation [15] stellt Hannah Fry diese linearisierte Formulierung vor, wie sie in den 1970er und 80er Jahren häufig verwendet wurde. Ausgehend von einer sehr kleinen Amplitude der PlattenstĂśrung wird angenommen, dass sich wiederum die Unterdeckvariablen als Reihenentwicklung in darstellen lassen. Dadurch läĂ&#x;t sich die Impulsgleichung in eine Form â&#x2C6;&#x201A;UA â&#x2C6;&#x201A;PA â&#x2C6;&#x201A; 2 UA y + VA = â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y 2 bringen. Dabei sind UA und VA die jeweiligen Abweichungen von den ungestĂśrten StrĂśmungsgrĂśĂ&#x;en u = y und v = 0. Mittels Fouriertransformation läĂ&#x;t sich diese in eine Airy-Gleichung ĂźberfĂźhren, die mit Hilfe der Randbedingungen soweit gelĂśst werden kann, dass sich direkte Beziehungen der Druck- und GeschwindigkeitsstĂśrungen zur Kontur ablesen lassen. Einige Schritte dieser Rechnung werden im Abschnitt A.2 des Anhangs nachvollzogen. FĂźr die Untedeckrechnungen dieser Art sind Konturen nach (4.1) besonders

44

4 Numerische Experimente geeignet. Das glatte Profil vereinfacht die Auswertung der Fourier-Transformation. Das dürfte neben der Ähnlichkeit zu natürlichen Hügelformation die Untersuchung von ’Witch of Agnesi’-Formationen entscheidend motiviert haben.

Fry stellt in Abschnitt 6.2.1 ihrer Arbeit [15] die numerische Auswertung ihrer Untersuchung eines Agnesi-Hügels nach (4.1) mit q = 1 vor. Sie vergleicht ihre Ergebnisse mit den frühen Berechnungen von F.T Smith, die erstmals 1973 [58] veröffentlicht wurden, die aber auch in einem späteren Artikel [61] zu finden sind. Bei Hannah Fry findet sich eine direkte Gegenüberstellung der Verläufe von Wandschubspannung- und Druckstörung ihrer eigenen Ergebnisse mit der Darstellung 4 aus [61]. Diese Darstellung bezieht sich allerdings auf Kapitel 2 des Artikels und Agnesi-Hügel einer anderen Skalierung. Die Problemformulierung dort sieht vor, dass die Terme 1. Ordnung der Verdrängungsfunktion verschwinden, der relevante Teil der Druckverteilung also allein in der Wandregion ohne Interaktion mit dem reibungsfreien Bereich hervorgerufen wird (siehe hierzu insbesondere die oberen Randbedingung (2.10d) im entsprechenden Kapitel). Erst in Kapitel 4 aus [61] wird das Strömungsproblem in der Form behandelt, die hier (und auch bei H. Fry) eingeführt wurde. Angebrachter ist der Vergleich mit der Darstellung 8 aus derselben Arbeit. Hier sind die Ergebnisse von F.T. Smiths Berechnungen aus [58] für verschiedene Werte von q (in (4.1)) darunter auch q = 1 eingezeichnet. In Rahmen dessen, was in der Darstellung erkennbar ist, befinden sich die Ergebnisse von Smith und Fry in Übereinstimmung.

Die Abbildungen 4.2 und 4.1 zeigen die entsprechenden Auszüge aus den Arbeiten.

Die Abb.4.3 und Abb.4.4 zeigen die Ergebnisse eigener Rechnungen für dieselben HügelKonturen. Die Berechnungen wurden auf einem numerischen Gitter [−20; 20] × [0, 20] mit gleichmäßigen Gitterabständen dx = dy = 0, 025 durchgeführt (bzw. auf [−80; 80] × [0, 20] bei Abständen dx = dy = 0, 0125 für das Hindernis mit q = 1). Gezeigt werden der jeweilige Druckverlauf und die Wandschubspannung (abweichend von (1.14) wird für

die Achsenbezeichnung τ = ∂u ∂y 0 benutzt) zu den verschiedenen Werten von q. In Teil c) der Abb. 4.4 ist außerdem die sogenannte Verdrängungskontur eingezeichnet. Sie ist gegenüber der Hügelkontur deutlich abgeflacht und nicht mehr achsensymmetrisch. Sie entspricht der Kontur, wie sie auch noch von der reibungsfreien Potentialströumung wahrgenommen wird. Die Ergebnisse entsprechen den Erwartungen, die allgemein an Hindernis-Überströmungen durch inkompressible Fluide gestellt werden können. So ist ein Druckanstieg schon deutlich vor dem eigentlichen Hindernis erkennbar. Anschließend fällt der Druck vergleichsweise stark ab und erreicht sein Minimum erst auf der Lee-Seite des Hindernisses. Die Wandschubspannung erreicht ihr Maximum bereits vor dem Höhepunkt des Hindernisses. Die Strömungsgeschwindigkeit in Wandnähe erreicht also noch vor dem Gipfel ihr Maximum. Neben dem absoluten Minimum von τ auf der Lee-Seite des Hügels ist für ausreichend kleine q auch ein Minimum vor dem Hindernis erkennbar, das dem steten Druckanstieg bis zu diesem Punkt geschuldet ist. Auch quantitativ befinden sich die eigenen Ergebnisse im Rahmen des Erkennbaren in guter Übereinstimmung mit den Arbeiten von F.T Smith und H. Fry. Größere Übereinstimmungen sind in Anbetracht der unterschiedlichen Herangehensweise, insbesondere der Linearisierung der Gleichungen, nicht zu erwarten gewesen.

4.2 Fragmentierte Konturen Agnesi-Konturen aus dem vorigen Abschnitt erstrecken sich genaugenommen über das gesamt Interaktionsgebiet, auch wenn H(x) an den Rändern faktisch verschwindet. Für die meisten praktischen Anwendungen sind Konturen, deren longitudinale Ausdehnung scharf begrenzt ist, näher an der Realität. Solche fragmentierten Konturen stellen sicherlich größere

45

4 Numerische Experimente

Abb. 4.1: Abweichungen von Druck und Wandschubspanung für ’Agnesi’-Hügel für verschiedene q. Lösung der linearisierten Unterdeckgleichungen durch F.T. Smith. λ und H sind bei Fry und den eigenen Rechnung = 1. (Die Abbildung ist aus [61] entnommen.)

46

4 Numerische Experimente

Abb. 4.2: Abweichungen von Wandschubspannung und Druck für Grenzschichtströmungen über ’Agnesi’-Hügel mit q = 1. Lösung der linearisierten Unterdeckgleichung durch Hannah Fry ( ’Figure 6.2’ aus [15]).

47

4 Numerische Experimente

a) 0.2 0.1 0 −0.1 p −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −0.6 −10

−8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

8

10

−8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

8

10

b) 2.6 2.4 2.2 2 1.8 τ

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 −10

Abb. 4.3: Eigene Ergebnisse für Agnessi-Hügel mit q = 0, 294 ; 0, 556 ; 1 und q = 5.

Ausschnitt a) zeigt die Druckstörung, Ausschnitt b) die Werte von τ = ∂u ∂y

gegen x.

0

48

4 Numerische Experimente

a) 1.5 1.4 1.3 1.2 τ

1.1 1 0.9 0.8 0.7 −8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

8

4

6

8

b) 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 p

−0.15 −0.2 −0.25 −0.3 −0.35 −0.4 −8 c) 1 H y 0.5

H−A A

0 −8

−6

−4

−2

0 x

2

Abb. 4.4: Ergebnis eigener Rechnung für Agnessi-Hügel mit q = 1. Ausschnitt a) zeigt die

∂u

Werte von τ = ∂y , Ausschnitt b) die Druckstörung gegen x. In Ausschnitt 0 c) ist die Kontur des Hügels H(x), die berechnete Verdrängungsfunktion A(x) sowie die daraus resultierende gesamte Verdrängungskontur abgebildet.

49

4 Numerische Experimente

Abb. 4.5: Druck und Wandschubspannung für Überströmung von Konturen gemäß Glg.(4.2).

(Die Abbildung ist aus [17] entnommen.)

Ansprüche an das numerische Gitter. “Knicke” in der Kontur müssen schließlich aufgelöst werden. Auch Fry stellt in ihrer Arbeit Ergebnisse zu einer fragmentierten Hüglekontur vor, die ein realistischeres Modell eines auf einer Platte anhaftenden Tropfens darstellen. Die Kontur orientiert sich allerdings stark an den Anforderungen der Linearisierungsmethode.

Hier sollen fragmentierte Hügelkonturen untersucht werden wie sie in einer Arbeit von F.T. Smith und R.J. Bodonyi 1985 [60] definiert wurden. Für diese gilt (

H(x) =

h(1 − x2 )2 0

für − 1 < x < 1, überall sonst.

(4.2)

Inkompressible Strömungen über Konturen dieser Art wurden auch von J.S.B Gajjar und M. Türkyilmazoglu untersucht. Vorgehen und Ergebnisse werden in einer Arbeit von 2000 [17] vorgestellt. Es wird dort eine Formulierung der Unterdeckgleichung bezüglich der Stromfunktion genutzt. Durch Ableitung nach y geht der Druckgradient nur noch indirekt über die Randbedingungen in die Gleichung ein. Außerdem wird die x-Koordinate innerhalb des Interaktionsgebiets einer Transformation unterworfen, die schon 1982 von F.T. Smith [59] vorgeschlagen wurde. Durch die Abbildung x = tan(Z) können die Randbedingungen bei Z = ± 12 π exakt festgelegt werden. Weitere Transformationen von P und A erhalten die Kopplungsrelation weitestgehend.

In Abb.(4.5) sind die Ergebnisse der Rechnungen von Gajjar und Türkyilmazoglu abgebildet. Deutlich ist die Fragmentierung der Kontur auch im Verlauf der Wandschubspannung zu erkennen. Die Verläufe sind ähnlich, aber doch deutlich “kantiger” als bei den Agnessi-Hügeln des vorherigen Abschnitts. Bei einer Höhe von h = 2 ist die Strömung im Bereich der Lee-Seite der Ausbeulung schon deutlich abgelöst. Die Abb.(4.6) wiederum zeigt die Ergebnisse eigener Berechnungen für eine Kontur nach Glg.(4.2) mit h = 2 auf einem Gitter [−10; 10]×[0, 10] mit dx = 0, 001 und dy = 0, 05. Die Ergebnisse sind in großer Übereinstimmung mit denen aus Abb.(4.5). Der Druckverlauf erreicht am Scheitelpunkt der Kontur sein Minimum von ungefähr −1 und übereinstimmend findet sich in den Ergebnissen ein kleines Gebiet abgelöster Strömung auf der Lee-Seite unmittelbar vor dem Ende des aufgesetzten Hügel (bei x = 1). In der eigenen Rechnung erstreckt sich dieses Gebiet von x = 0, 76 bis x = 0.98.

Wie zu erwarten war, stellen das abrupte Ende des Hügels bzw. die daraus resultierenden

50

4 Numerische Experimente

a) 0.5

0

p −0.5

−1 −6

−4

−2

0 x

2

4

6

−4

−2

0 x

2

4

6

4

6

b) 3 2.5 2 τ 1.5 1 0.5 0 −6 c) 3 2

H

1

H−A

0 −1

A −6

−4

−2

0 x

2

Abb. 4.6: Eigene Ergebnisse für fragmentierte Kontur mit h = 2. a) zeigt den Druckverlauf, b) die Wandschubspannung und c) die Verdrängungskontur.

51

4 Numerische Experimente

Abb. 4.7: Wandschubspannung (a) und Druck (b) für konkave Ecken bis α = 3, 5 nach Gajjar und Türkyilmazoglu[17] (Figure 2) “Knicke” schwer zu erfüllende Anforderungen an die Gitterweite dx dar. Die Berechnungen für fragmentierte Konturen sind daher sehr viel aufwendiger und langwieriger als für Agnessi-Hügel. Leider ließen sich auch keine Ergebnisse für Konturen mit h > 2, 1 erzielen.

Für größere h konvergiert das Verfahren nicht.

4.3 Eckenumströmungen Ecken oder Keile (auch ’Wedge’ oder ’compression ramp’) gehören sicherlich zu den Konturen, deren Um- und Überströmungen numerisch am häufigsten untersucht wurden.

Die liegt weniger an den praktischen Anwendungen, die modelliert werden können, als vielmehr an den Vorhersagen, die aus analytischen Ansätzen wie z.B. den Falkner-SkanGleichungen (s. Abschnitt 1.3.2) folgen. Insbesondere das Auftreten von Mehrfachlösungen, wie es schon früh von Stewartson [63] beobachtet worden war, ist von Interesse für ein besseres theoretisches Verständnis der Strömungsablösung.

Ideell folgen Ecken- Konturen der Funktion 0 für x < 0 , αx für x ≥ 0

( ∗

H (x) =

wobei für positive α von konkaven und bei negativen α von konvexen Ecken gesprochen wird. Zur Vereinfachung der Berechnungen sollen in diesem Abschnitt leicht abgerundete Ecken verwendet werden. Dieses Vorgehen ist bei Interaktionsrechnungen durchaus üblich und vermeidet das Auftreten von echten “Knicken”. In Anlehnung an die Arbeiten [32, 33] folgen die Konturen dieses Abschnitts der Funktion

p 1 H(x) = α x + x2 + r2 .

2

(4.3)

Zum direkten Vergleich kann wieder die Arbeit von Gajjar und Türkyilmazoglu [17] herangezogen werden. Dort findet man die Abbildung 4.7, die ihre Ergebnisse für die Werte α = 0, 5 bis 3, 5 zeigt (dort β). In [67] werden außerdem die Ergebnisse von A.I. Ruban aus dem Jahr 1976 [53] vorgestellt. Das von Ruban verwendete numerische

52

4 Numerische Experimente

Abb. 4.8: Ergebnisse für konkave Ecken mit Winkeln bis α = 2, 5 nach Ruban, (a) zeigt die Wandschubspannung (b) den Druck. (Entnommen aus [67] s.83) Verfahren wird ebenfalls in [67] Kap. 7 beschrieben. Die Abb. 4.8 zeigt die Ergebnisse für konkave Ecken mit α = 0, 5 bis 2, 5. Trotz quantitativer Unterschiede überwiegen doch die Gemeinsamkeiten in den Ergebnissen der beiden Arbeiten. Vor konkaven Ecken wird die Überströmung offensichtlich zunächst verlangsamt, was einher geht mit einem Abfall der Wandschubspannung. Dieser Abfall ist umso stärker je größer der Keilwinkel α gewählt ist.

Wenigstens für noch anliegende Strömungen liegt das Minimum der Wandschubspannung genau im Eckpunkt bei x = 0. Außerdem ist eine Verschiebung des Druckmaximums in Strömungsrichtung mit steigendem α zu beobachten. Auffälligster Unterschied beider Ergebnisse ist die Ausprägung des Minimums in der Wandschubspannung für größer werdende α. Ruban stellt für α ≥ 2 eine Wandschubspannung kleiner 0 bei x = 0 fest.

Bei ähnlichem Verlauf ist das Minimum für α = 2, 5 lediglich stärker ausgeprägt. Gajjar und Türkyilmazoglu berichten (in [17]) von einer Ablösung der Strömung ab α ≈ 2, 09.

Smith und Merkin berechneten in [62] sogar bis zu einem Wert α = 2, 51 noch anliegende Strömungen. Für stärker abgelöste Strömungen zeigt die Wandschubspannung bei Gajjar und Türkyilmazoglu einen andersartigen Verlauf. Das Minimum ist hinter den Eckpunkt verlegt. Im Eckpunkt erfährt die Wandschubspannung vielmehr einen weiteren Abfall.

Die Ergebnisse eigener Rechnung finden sich in Abb. 4.9. Für die Berechnungen wurde ein numerisches Gitter [−50; 50] × [0, 20] mit dx = 0, 01 und dy = 0, 025 bzw. dy = 0, 015 für α = 2, 5 verwendet. Die Ablösung der Strömung trat bei den eigenen Rechnungen erstmals bei α ≈ 2, 2 ein. Für Konturen mit α > 2, 7 konnte keine Konvergenz erreicht werden. Die Lösungen für α = 2, 5 unterscheiden sich im Bereich negativer Wandschubspannung von denen der Vergleichsarbeiten.

Für konvexe Ecken beobachtet man in den Ergebnissen eine Umkehr der Tendenzen in den Strömungsvariablen. Die Wandschubspannung steigt zunächst an und erreicht ihr Maximum im Eckpunkt. Anschließend fällt sie stark ab. Auch die Druckvariable erreicht ihr Minimum bei oder direkt hinter dem Eckpunkt, der für konvexe Ecken keinen Stagnationspunkt

53

4 Numerische Experimente

a) 1.2 α=0,5

1 0.8 τ 0.6 2,5

0.4 0.2 0 −0.2 −10

−8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

8

10

8

10

b)

0 α=0,5 −0.5

p

−1

−1.5

2,5

−2

−2.5 −10

−8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

Abb. 4.9: Ergebnisse eigener Rechnung für konkave Ecken mit α = 0, 5; 1; 1, 5; 2 und 2, 5. (a) zeigt die Wandschubspannung (b) den Druck.

54

4 Numerische Experimente a) 4 3 τ 2 1 0 −20

−15

−10

−5

0 x

5

10

15

20

−15

−10

−5

0 x

5

10

15

20

b) 1 0.5 0 dUE/dx −0.5 −1 −1.5 −2 −20

Abb. 4.10: Ergebnis für konvexe Ecke mit α = −3, 83. Teil (a) zeigt τ (b) den Gradienten von u am oberen Rand. mehr darstellt. Das Bestimmen eines ausreichend feinen und weit gefassten numerischen Gitters ist im Fall der konvexen Ecken besonders schwierig. Dies könnte zu einem Teil dem Auftreten der vorhergesagten Mehrfachlösungen geschuldet sein. Die Effekte des Gitters auf die Lösungen sind nicht nur quantitativer sondern auch qualitativer Art, so dass sich schwerlich Aussagen über die Exaktheit der Ergebnisse treffen lassen.

Bei einem Gitter [−40; 40] × [0, 20] mit dx = 0, 025 und dy = 0, 01 findet man Lösungen mit τ ≤ 0 ab einem Winkel α = −3, 83. Die Abbildung 4.10 zeigt τ (a) und im Teil (b) den E longitudinalen Geschwindigkeitsgradienten dU dx am oberen Rand des numerischen Gitters für eine Lösung nahe der Ablösung. Im Abschnitt 1.3.2 war bereits erwähnt worden, dass mit Hilfe der Potentialtheorie eine Geschwindigkeitsverteilung UE (x) = Cxm in der Nähe eines keilförmigen umströmten Körpers gezeigt werden kann. Zu einer Geschwindigkeitsverteilung UE (x) läßt sich damit ein lokales m über m(x) =

dUE x · dx UE

(4.4)

bestimmen. Die Verteilung m(x) nimmt für konvexe Ecken ihr Minimum in jenem Bereich an, in dem auch die Wandschubspannung ihr Minimum erreicht. Der Wert von m im Minimum ist umso niedriger je niedriger α gewählt ist. Als Ergebnis der Falkner-SkanGleichungen ergaben sich Profile mit verschwindender Wandschubspannung ab einem Wert von m = −0, 091. Für die obige Lösung nahe der Ablösung (mit α = −3, 83) findet man einen Wert von m = −0, 07. Bei Berechnungen auf einem Gitter [−50; 50] × [0, 20] mit dx = 0, 01 und dy = 0, 05 findet man gerade noch anliegende Strömungen bei einem Winkelparameter α = −4, 7. Für diese Lösungen findet man im Minimum m = −0, 081.

Mit einem noch feineren und weiter gefassten numerischen Gitter kann das Minimum von m(x) vermutlich noch weiter in Richtung des vorhergesagten Wertes abgesenkt werden. Auf diese Weise können zuverlässige Aussagen über die Qualität der gefundenen numerischen Lösungen getroffen werden.

55

5 Resümee Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit werden die Grundlagen der Grenzschichttheorie umrissen. In Kapitel 2 werden die Gleichungen und Größenordnungen des Dreierdecks hergeleitet. Der Schwerpunkt der Erläuterungen liegt dabei auf Interaktionsproblemen innerhalb von Plattengrenzschichten. In Kapitel 3 wird ein Verfahren zur Behandlung stationärer, laminarer, inkompressibler Interaktionsprobleme vorgestellt. Dieses Verfahren wird im letzten Kapitel anhand von Strömungen über Wanddeformationen und Ecken erprobt.

Die Ergebnisse in Kapitel 4 zeigen vielversprechende Übereinstimmungen mit den Vergleichsarbeiten. Die berechneten Lösungen scheinen zumindest für noch anliegende Strömungen durchaus verlässlich. Bei der Berechnung abgelöster Strömungen werden allerdings die Defizite des Verfahrens deutlich. Die FLARE Näherung ist vermutlich viel zu grob. Deutlich wird dies vor allem auch daran, dass feinere Gitter in Bereichen mit Geschwindigkeiten u < 0 viel problematischer sind als gröbere. Je mehr Gitterpunkte im Ablösungsgebiet liegen umso schwieriger ist es, einen Schritt der Unterdeckrechnung zur Konvergenz zu bringen.

Eine gewisse Gitterweite darf natürlich nicht überschritten werden, um ausreichend genaue Lösungen zu erhalten. Das äquidistante Gitter ist in dieser Hinsicht problematisch. Ein numerisches Gitter[−50; 50] × [0, 20] mit Gitterweiten dx = 0, 01 und dy = 0, 025 besteht bereits aus mehr als 8 Millionen Gitterpunkten. Bei zwei Strömungsvariablen u, v mit Einträgen auf dem gesamten Gitter, ist die Gitterweite schon durch die Speichergröße des Rechners beschränkt. Generell zeigt die verwendete Numerik die Schwächen, die für inverse Verfahren (Abschnitt 3.3.1) vorhergesagt waren. Insbesondere ist das Konvergenzverhalten unbefriedigend. Für Strömungen nahe der Ablösung sind über 100 globale Iterationen bis zur Unterschreitung des Abbruchkriteriums keine Ausnahme. Je nach Größe des numerischen Gitters können Durchgänge der Unterdeckrechnung mehrere Minuten dauern.

Alle Faktoren zusammen FLARE, semi-implizite GS-Rechnung mit äquidistantem Gitter und inverses Verfahren zur Interaktionsrechnung führen insbesondere dazu, dass leider die interessanten Fälle größerer Ablösungsgebiete bei konvexen Ecken nicht untersucht werden konnten. Hierzu sei auf die Arbeit von Marina A. Kravtsova, Vladimir B. Zametaev und Ruban [33] hingewiesen. Dort werden Mehrfachlösungen für konvexe Ecken mit α = −5, 4 und niedriger berechnet. Es ist eine der wenigen Arbeiten bei der ein Feldverfahren verwendet wird. Allerdings ist das Verfahren auf ein konstruiertes Gitter mit einer höheren Konzentration von Gitterpunkten in der Nähe des Eckpunktes angewiesen.

Es hat lediglich ein Größe von 251 × 151 Gitterpunkten und wird in der Arbeit nicht auf andere Konturen angewandt. Eigene Versuche das Verfahren mit einem äquidistantem Gitter zu rekonstruieren sind gescheitert.

Auch auf modernen Rechnern stellen Interaktionsrechnungen insbesondere für abgelöste Strömungen noch eine Herausforderung an die Numerik dar. Das gilt selbst, wenn dreidimensionale Problemstellungen wie in dieser Arbeit außer Acht gelassen werden. Der vergleichsweise hohe Rechenaufwand ist vermutlich mit verantwortlich dafür, dass Interaktionsrechnungen in dieser Form für viele ingenieurtechnische Anwendungen nicht in Betracht gezogen werden. Dennoch sind neben den besonders in den 1980er Jahren intensiv betriebenen Untersuchungen von Tragflächen-Profilen, die auch heute noch relevant sind,

56

5 Resümee

Abb. 5.1: Wellenenergieanlage vom Typ ’WaveRoller’. Aus einer Pressemitteilung der Firma AW Energy. viele weitere Anwendungen denkbar. Moderne Wind- und Wasserenergieanlagen mit Rotor stellen immer wieder neue Anforderungen an die Konstruktion und Steuerung der Flügel.

In diesem Bereich können Grenzschicht- und Dreierdeckrechnungen wenigstens in Ergänzung zu anderen Verfahren sicherlich von Nutzen sein. Großes Potenzial liegt im Bereich der Oberflächenoptimierung. In der Dreierdeck-Theorie sind den Plattendeformationen ja außer dem Maßstab des Interaktionsgebiets keine weiteren Grenzen gesetzt. Neben Hügeln und Ecken sind Dellen, Stufen und jede andere Kontur zulässig. Außerdem ist auch jede Kombination von Konturen zulässig, womit sich letzlich (innerhalb der Schranken des Interaktionsgebiets) jede Oberflächenstruktur nachbilden ließe. Interessante Anwendungen könnten zweidimensionale Grenzschichtrechnungen auch beim Design und der Steuerung moderner Flachwasser- Wellenkraftanlagen finden. Solche Anlagen bestehen aus Klappen, die an Scharnieren am Meeresgrund verankert werden. Die Klappen werden durch die Wirkung der Meereswellen in Bewegung gesetzt. Diese Bewegung wird entweder vor Ort oder durch einen Generator an Land in Energie umgesetzt. Prototypen solcher Anlagen sind unter den Bezeichnungen “Oyster” und “Waveroller” bekannt geworden.

57

A Anhang A.1 Zur Kopplungsrelation In Abschnitt 2.2 wurde die inkompressible Kopplungsrelation unter Verwendung der Kramers-Kronig-Beziehung hergeleitet. An dieser Stelle soll ergänzend die Herleitung mittels Fourier-Transformation gezeigt werden. Ausgangspunkt sind die Gleichungen (2.19)(2.23), die hier noch einmal ohne die Kennzeichnung der Störterme wiedergegeben werden: ∂u ∂v + ∂x ∂y ∂u ∂x ∂v ∂x ∂v ∂x u → 0, v → 0, p → 0

= 0

(A.1)

∂p ∂x ∂p = − ∂y ∂u = ∂y für x → ±∞ oder y → ∞.

(A.2)

= −

(A.3) (A.4) (A.5)

Um Vorfaktoren weitestgehend aus den Rechnungen fernzuhalten, werden zur Verwendung in diesem und im folgenden Abschnitt Fourier-Transformationen fˆ zu Strömungsgrößen f (x, y) durch ˆ∞ ˆ f (k, y) := f (x, y) e−ıkx dx (A.6) −∞

definiert. Gemäß Umkehrsatz gilt dann für die Rücktransformation 1 f (x, y) = 2π

ˆ∞

fˆ(k, y) eıkx dx.

(A.7)

−∞

Für die partiellen Ableitungen in Strömungsrichtung gilt ˆ ∂f ∂x

ˆ∞ =

∂f −ıkx e dx ∂x

−∞

ˆ∞ = ık

f (x, y) e−ıkx dx

−∞

= ık fˆ.

(A.8)

58

A Anhang Die Transformation von (A.1)-(A.4) ergibt ∂ˆ v = 0 ∂y u ˆ = −ˆ p ∂ pˆ ık vˆ = − ∂y ∂u ˆ ık vˆ = . ∂y

ık u ˆ+

Mit (A.9) und (A.12) folgt

(A.9) (A.10) (A.11) (A.12)

k2 u ˆ=

∂2u ˆ ∂y 2

(A.13)

k 2 vˆ =

∂ 2 vˆ ∂y 2

(A.14)

und aus (A.9),(A.10) und (A.11) kann

gefolgert werden. Die Lösungen hierzu sind u ˆ = K1 (k) eky + K2 (k) e−ky und

vˆ = K3 (k) eky + K4 (k) e−ky .

Seien nun u ˆ0 (k) und vˆ0 (k) die Fourier-Transformierten der Geschwindigkeitskomponenten bei y = 0. Um die obere Randbedingung verschwindender Störterme für y → ∞ zu erfüllen, nehmen die Gleichungen die Form k≤0:

u ˆ=u ˆ0 eky ,

vˆ = vˆ0 eky

k≥0:

u ˆ=u ˆ0 e−ky ,

vˆ = vˆ0 e−ky

oder

u ˆ=u ˆ0 e−|k|y , vˆ = vˆ0 e−|k|y

an. Partielle Ableitung nach y und Einsetzen in (A.12) bzw. (A.9) führen auf

und

vˆ = ısgn(k) u ˆ0 e−|k|y

(A.15)

u ˆ = −ısgn(k) vˆ0 e−|k|y .

(A.16)

Die Fourier-Transformation ˆ∞ − ıπsgn(k) e

−|k|y

=

x2 −∞

x e−ıkx dx + y2

(A.17)

kann zum Beispiel aus [25] (Tabelle 21.14.3) entnommen werden. Angewandt auf (A.16) erhält man ˆ∞ ˆ∞ x 1 −ıkx u ˆ= e dx v(x, 0) e−ıkx dx.

(A.18) π x2 + y 2 −∞

−∞

Die Faltung der Integrale ergibt 1 u ˆ= π

ˆ∞ ˆ∞ v(s, 0) e−ıks −∞ −∞

(x − s) e−ık(x−s) dsdx (x − s)2 + y 2

(A.19)

59

A Anhang und damit

Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E; u Ë&#x2020;= â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

1 Ď&#x20AC;

Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E; v(s, 0) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

(x â&#x2C6;&#x2019; s) ds eâ&#x2C6;&#x2019;Äąkx dx. (x â&#x2C6;&#x2019; s)2 + y 2

(A.20)

Nach der Definition von u Ë&#x2020;(k, y) gilt dann Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E;

1 u(x, y) = Ď&#x20AC;

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Analog kann auch 1 v(x, y) = â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;

v(s, 0) (x â&#x2C6;&#x2019; s) ds. (x â&#x2C6;&#x2019; s)2 + y 2

Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

u(s, 0) (x â&#x2C6;&#x2019; s) ds (x â&#x2C6;&#x2019; s)2 + y 2

(A.21)

(A.22)

hergeleitet werden. Die Berechnungen betreffen die StĂśrungen im reibungsfreien Oberdeck und die Kopplungsrelationen betreffen den unteren Rand y â&#x2020;&#x2019; 0. Die vertikale Geschwindigkeit kommt aus dem Hauptdeck und es gilt v = â&#x2C6;&#x2019;A0 (x). Aus (A.2) und den Randbedingungen (A.5) folgt auĂ&#x;erdem u = â&#x2C6;&#x2019;p. Als Ergebnis erhält man die inkompressible Kopplungsrelation Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E; 0 1 A (s) p(x) = ds (A.23) Ď&#x20AC; xâ&#x2C6;&#x2019;s â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

und 1 A (x) = â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;

Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E;

0

p(s) ds. xâ&#x2C6;&#x2019;s

(A.24)

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

A.2 Zu den Linearisierten Dreierdeck-Gleichungen In Abschnitt 4.1 wurde die MĂśglichkeit, die Interaktionsgleichungen durch eine Linearisierung anzunähern und schlieĂ&#x;lich Ăźber Fourier-Transformationen zu direkten Beziehungen zwischen Konturfunktion und den StrĂśmungsgrĂśĂ&#x;en zugelangen, kurz angerissen. Diese Beziehungen sollen in diesem Abschnitt hergeleitet werden.

Die Unterdeckgleichungen â&#x2C6;&#x201A;u â&#x2C6;&#x201A;v â&#x2C6;&#x201A;u â&#x2C6;&#x201A;u dp â&#x2C6;&#x201A; 2 u + = 0, u +v + â&#x2C6;&#x2019; =0 â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y dx â&#x2C6;&#x201A;y 2 mit den Randbedingungen

(A.25)

u = v = 0 auf y = 0 sowie

(A.26)

u = y + A fĂźr y â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; und u = y fĂźr x â&#x2020;&#x2019; Âąâ&#x2C6;&#x17E;

(A.27)

und der Kopplungsrelation 1 p= Ď&#x20AC;

Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E;

ds

A0 (s) â&#x2C6;&#x2019; H 0 (s)

xâ&#x2C6;&#x2019;s

(A.28)

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

haben im ungestĂśrten Fall mit H(x) = 0 die LĂśsung u = y, v = 0 und p = A = 0. Zur Linearisierung der Gleichungen wird in Näherung fĂźr H(x) = O( ) im GrenzĂźbergang â&#x2020;&#x2019; 0 angenommen, dass die Abweichungen von dieser LĂśsung ebenfalls durch beschränkt

60

A Anhang sind. Weiter wird angenommen, dass sich die StrĂśmungsgrĂśĂ&#x;en durch Reihenentwicklungen in in der Form u = y + U + . . . , v = V + . . . , p = P + . . . , A = A + . . .

(A.29)

darstellen lassen. FĂźr die Terme bis zur Ordnung gilt dann y

â&#x2C6;&#x201A;U dP â&#x2C6;&#x201A;2U +V + â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x201A;x dx â&#x2C6;&#x201A;y 2 â&#x2C6;&#x201A;U â&#x2C6;&#x201A;V + â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y U =V =0

=

0,

(A.30)

=

0,

(A.31)

auf

y = 0,

(A.32)

U =A

fĂźr

y â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;,

(A.33)

U =0

fĂźr

(A.34)

P

=

x â&#x2020;&#x2019; Âąâ&#x2C6;&#x17E;, Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E; ds 1 A0 â&#x2C6;&#x2019; H 0 . Ď&#x20AC; xâ&#x2C6;&#x2019;s

(A.35)

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Aus der Ableitung von (A.30) nach y und Einsetzen von (A.31) folgt y

â&#x2C6;&#x201A;U â&#x2C6;&#x201A;3U = â&#x2C6;&#x201A;xâ&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;y 3 Ë&#x2020;

und fĂźr die Fourier-Transformation gemäĂ&#x; (A.6) gilt Äąk â&#x2C6;&#x201A;â&#x2C6;&#x201A;yU =

Ë&#x2020; â&#x2C6;&#x201A;3U . â&#x2C6;&#x201A;y 3

Durch EinfĂźhren der

1 3

Variablen Ξ = (Ĺk) y erhält man die Airy-Gleichung Ξ

Ë&#x2020; Ë&#x2020; â&#x2C6;&#x201A;3U â&#x2C6;&#x201A;U = . â&#x2C6;&#x201A;Ξ â&#x2C6;&#x201A;Ξ 3

(A.36)

Die Airy-Funktionen AÄą und BÄą sind die beiden linear unabhängigen LĂśsungen dieser Gleichung und es gilt Ë&#x2020; â&#x2C6;&#x201A;U = C(k)AÄą(Ξ) + D(k)BÄą(Ξ) (A.37) â&#x2C6;&#x201A;Ξ mit noch zu bestimmenden Funktionen C(k) und D(k). Mit zunehmenden Abstand zur Ë&#x2020; Wand sollte die Schubspannung verschwinden und somit auch â&#x2C6;&#x201A;â&#x2C6;&#x201A;ΞU gegen Null gehen. BÄą(Ξ) wächst allerdings an mit |Ξ| und somit muss D(k) = 0 gelten. Unter Beachtung von (A.32) (fĂźhrt zu einer Integrationskonstante gleich Null) gilt fĂźr die transformierte StĂśrung der Geschwindigkeit Ë&#x2020;Ξ Ë&#x2020; = B(k) AÄą(s)ds.

U (A.38) 0

´â&#x2C6;&#x17E; Aus der oberen Randbedingung (A.33) folgt AË&#x2020; = B(k) 0 AÄą(s)ds. Das Integral kann berechnet werden und es gilt B(k) AË&#x2020; = .

(A.39) 3 FĂźr die Fourier-Transformation des Druckterms gilt mit der Kopplungsrelation (A.35) 1 PË&#x2020; = Ď&#x20AC;

Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E; Ë&#x2020;â&#x2C6;&#x17E;

A0 (s) â&#x2C6;&#x2019; H 0 (s) ds eâ&#x2C6;&#x2019;Äąkx dx. xâ&#x2C6;&#x2019;s

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

61

A Anhang Das innere Integral entspricht einer Faltung ˆ∞

1 Pˆ = π

1 A (x) ? x 0

1 − H (x) ? x

0

e−ıkx dx

−∞

und unter Anwendung des Faltungstheorems erhält man 1 π

Pˆ =

1 π

−

ˆ∞

ˆ∞ 0

A (x) e

−ıkx

dx

−∞ ˆ∞

−∞ ˆ∞

H 0 (x) e−ıkx dx −∞

1 −ıkx e dx x 1 −ıkx e dx. x

−∞

Einer Formelsammlung kann die Fouriertransformation zur Funktion f (x) = x1 , fˆ(k) = −ıπsgn(k) entnommen werden (entspricht (A.17) mit y = 0). Unter Verwendung von (A.8) erhält man schließlich als Kopplungsrelation im Fourierraum ˆ ˆ Pˆ (k) = |k| A(k) − |k| H(k).

(A.40)

Die Forier-Transformation der Impulsgleichung (A.30) für y = 0 und Überführung in die Variable ξ ergibt ˆ 1 ∂2U (ık) 3 Pˆ = .

(A.41) ∂ξ 2 Dies kann gleichgesetzt werden mit der Ableitung von (A.37) nach ξ an der Stelle y = ξ = 0 und man erhält 1 (ık) 3 Pˆ = B(k) Aı0 (0).

(A.42) Der Wert von Aı0 (0) = − 31/31Γ( 1 ) ist bekannt, wobei Γ die transzendente Gammafunktion 3

ist. Mit (A.39), (A.40) und (A.42) läßt sich B(k) eliminieren und Ausdrücke für die transformierten Strömungsgrößen formulieren, die lediglich von der Störungskontur abhängen.

(A.39) eingesetzt in (A.40) ergibt |k| B ˆ − Pˆ = |k| H 3 und mit (A.42) folgt

1 ˆ (ık) 3 |k| − 3Aı0 (0) Pˆ = 3 |k| Aı0 (0) H

i

h

und damit

Ebenso folgt aus Aˆ =

(A.43)

Pˆ (k) = Pˆ |k|

3 |k| Aı0 (0) 1 3

(ık) |k| −

3Aı0 (0)

ˆ H(k).

(A.44) (A.45)

ˆ +H ˆ A(k) =

3Aı0 (0)

" 1

#

(ık) 3 |k| − 3Aı0 (0)

ˆ + 1 H(k).

(A.46)

Einsetzen von (A.42) in (A.38) ergibt schließlich 1

ˆ (k, ξ) = U

3 |k| (ık) 3 1

(ık) 3 |k| − 3Aı0 (0)

ˆ H(k)

ˆξ Aı(s)ds.

(A.47)

0

62

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66

Abbildungsverzeichnis 1.1

Lösung der Blasiusgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 2.2 2.3

Asymptotische Struktur im Interaktionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Lage und Ausdehnung der Plattendeformation . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Asymptotische Interaktionsstruktur einer überströmten Ecke mit kleinem Ablenkwinkel θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1

Abweichungen von Druck und Wandschubspanung für ’Agnesi’-Hügel für verschiedene q. Lösung der linearisierten Unterdeckgleichungen durch F.T. Smith. λ und H sind bei Fry und den eigenen Rechnung = 1. (Die Abbildung ist aus [61] entnommen.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Abweichungen von Wandschubspannung und Druck für Grenzschichtströmungen über ’Agnesi’-Hügel mit q = 1. Lösung der linearisierten Unterdeckgleichung durch Hannah Fry ( ’Figure 6.2’ aus [15]). . . . . . . . . . . . .

4.3 Eigene Ergebnisse für Agnessi-Hügel mit q = 0, 294 ; 0, 556 ; 1 und q = 5.

Ausschnitt a) zeigt die Druckstörung, Ausschnitt b) die Werte von τ = ∂u ∂y 0 gegen x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Ergebnis eigener Rechnung für Agnessi-Hügel mit q = 1. Ausschnitt a)

zeigt die Werte von τ = ∂u ∂y 0 , Ausschnitt b) die Druckstörung gegen x. In Ausschnitt c) ist die Kontur des Hügels H(x), die berechnete Verdrängungsfunktion A(x) sowie die daraus resultierende gesamte Verdrängungskontur abgebildet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Druck und Wandschubspannung für Überströmung von Konturen gemäß Glg.(4.2). (Die Abbildung ist aus [17] entnommen.) . . . . . . . . . . . .

4.6 Eigene Ergebnisse für fragmentierte Kontur mit h = 2. a) zeigt den Druckverlauf, b) die Wandschubspannung und c) die Verdrängungskontur. . . .

4.7 Wandschubspannung (a) und Druck (b) für konkave Ecken bis α = 3, 5 nach Gajjar und Türkyilmazoglu[17] (Figure 2) . . . . . . . . . . . . . . .

4.8 Ergebnisse für konkave Ecken mit Winkeln bis α = 2, 5 nach Ruban, (a) zeigt die Wandschubspannung (b) den Druck. (Entnommen aus [67] s.83) 4.9 Ergebnisse eigener Rechnung für konkave Ecken mit α = 0, 5; 1; 1, 5; 2 und 2, 5. (a) zeigt die Wandschubspannung (b) den Druck. . . . . . . . . . . .

4.10 Ergebnis für konvexe Ecke mit α = −3, 83. Teil (a) zeigt τ (b) den Gradienten von u am oberen Rand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

. 46 . 47

. 48

. 49 . 50 . 51 . 52 . 53 . 54 . 55

Wellenenergieanlage vom Typ ’WaveRoller’. Aus einer Pressemitteilung der Firma AW Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

67