9789144086996 by Smakprov Media AB

Elektrodynamik i nytt ljus elektrostatik , magnetism , induktion och relativitetsteori Elektriska krafter och dess tillhörande rörelsekonsekvenser magnetism och induktion utgör tillsammans med tyngdkraften vardagstillvarons huvudsakliga dynamik. Elektrodynamiken baseras på begreppet elektrisk laddning vilken utgår från atomen. Alla kemiska och i förlängningen biologiska processer är därför ett resultat av elektrodynamik. Med hjälp av ledaren, dvs. metallen, kan elektriska laddningar forma en elektrisk ström vilken u tgör grunden för den ofantliga mängd elektrotekniska uppfinningar vi alla lever med. Vi utgår från den ömsesidiga kraftverkan naturen är uppbyggd av och formulerar utifrån mätdata den elektriska, magnetiska och induktiva kraften med tillhörande energier. Därefter diskuteras hur kunskapen om de elementära laddningarna kan användas för att beskriva vardagliga system varifrån vi sedan kan studera ledaren och elektriska kretsar. Vidare behandlas elektriska och magnetiska egenskaper hos icke-ledande material där växelverkningen mellan dipoler är fundamentalt. Med hjälp av kraftformlerna studeras sedan relativitetsteori utifrån den magnetiska kraften. Vi finner att växelverkningar tar tid och härleder ljusets fart. Till slut introduceras den elektromagnetiska fältteorin utifrån de formler vi tagit fram i ett kraftperspektiv. I appendixen presenteras teorin för s.k. multipolutveckling i både det elektriska och magne tiska fallet. I slutet av boken finns lösningsförslag till räkneuppgifterna som ingår i varje kapitel.

Kjell Prytz | Elektrodynamik i nytt ljus

Kjell Prytz är docent i fysik och universitetslektor vid högskolan i Gävle. Han disputerade 1991 i ämnet högenergifysik och har forskat vid CERN och DESY. Hans nuvarande forskningsinriktning är relativitetsteori, kvantmekanik och didaktik.

Elektrodynamik i nytt ljus elektrostatik , magnetism , induktion och relativitetsteori

Fysikerns reduktionistiska världsbild är framgångsrik på många plan. Med endast ett fåtal begrepp kan tillvaron beskrivas och förstås. Jag vill i denna bok ge läsaren en introduktion till denna fantastiska värld samt en gedigen bas att stå på för vidare studier inom olika ingenjörsvetenskaper och kvantmekanik. Målgruppen är studenter inom ingenjörs-, lärar-, och fysikprogram samt yrkesverksamma inom området. Förkunskaper är ca en termins högskole studier inom matematik och fysik. Till boken hör också en hemsida: www.studentlitteratur.se/37252 Där finns ytterligare studiematerial såsom filmer. Art.nr 37252

Kjell Prytz

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08699-6_01_cover.indd 1

2013-03-13 13.40

6 mars 2013 – sida 2 – # 2

Till mina barn Nicklas och Jonatan, inspirationens och glädjens källa

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Presskopias skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 37252 ISBN 978-91-44-08699-6 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2013 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Lotta Bruhn Omslagsbild: Vasyl Dudenko/shutterstock.com Printed by Graficas Cems S.L., Spain 2013

6 mars 2013 – sida 3 – # 3

INNEHÅLL

Förord 7

Beteckningar 11

Formelsamling 15

KAPITEL 1

Utgångspunkter 21

KAPITEL 2

Elektrodynamisk kraft 27

2.1 2.2 2.3 2.4

Elektriska laddningar i vila – Elektrisk kraft 27 Likformig rörelse – Magnetisk kraft 30 Accelererad rörelse – Induktiv kraft 45 Summering 50

KAPITEL 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Elektrodynamisk energi 63

Elektrisk energi 64 Batteriet 65 Magnetisk energi 66 Allmän induktans 71 Faraday-Henrys induktionslag 73 Elektrodynamisk kraft 74 Summering 75

6 mars 2013 – sida 4 – # 4

innehåll

KAPITEL 4

4.1 4.2 4.3

Elektrisk dynamik 82 Magnetisk dynamik 94 Summering 111

KAPITEL 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Materialegenskaper 177

Elektriska responskrafter 178 Magnetiska responskrafter 194 Generell multipolväxelverkan 212 Mätning av materialparametrar 213 Summering 218

KAPITEL 9

9.1

Elektriska och magnetiska dipoler 147

Elektrisk dipol 148 Magnetisk dipol 155 Summering 164

KAPITEL 8

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Elektriska kretsar 133

Mätning av kapacitans med RC-krets 134 Mätning av induktans med RL-krets 135 Svängningskretsen 136 Summering 143

KAPITEL 7

7.1 7.2 7.3

Ledare och resistiva effekter 119

Metallen som ledare 120 Relaxationstid 121 Resistans 123 Värmeutveckling 125 Principen om bevarande av elektrisk laddning 126 Summering 128

KAPITEL 6

6.1 6.2 6.3 6.4

Makroskopiska system 81

Rörelsekonsekvenser 233

Magnetism som rörelsekonsekvens 234 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

6 mars 2013 – sida 5 – # 5

innehåll

9.2 9.3 9.4

Induktion som rörelsekonsekvens 236 Speciell relativitetsteori 239 Summering 248

KAPITEL 10

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

Motivering 259 Elektriskt och magnetiskt fält 260 Dipoler 261 Materialeffekter 263 Randvillkor 266 Maxwells ekvationer 275 Potentialer 278 Summering 280

APPENDIX A

A.1 A.2

Elektriska multipoler 287

Multipolutveckling av systemet V’ 289 Multipolutveckling av systemet V 289

APPENDIX B

B.1 B.2 B.3 B.4

Fältteori 259

Magnetiska multipoler 295

Multipolutveckling av systemet V’ 296 Multipolutveckling av systemet V 297 Dipol – dipolväxelverkan 298 Resultat 302

APPENDIX C

Magnetisk energi i närvaro av material 303

APPENDIX D

Lösningar till övningar 307

Sakregister 427

6 mars 2013 – sida 6 – # 6

6 mars 2013 – sida 7 – # 7

FÖRORD

et är kanske inte helt enkelt att ge en allmänt accepterad definition av ämnet fysik. Både uppslagsböcker och fysiker ger skiftande svar på frågan. Min egen uppfattning är att fysik handlar om och utgår ifrån begreppet kraft vilket tillsammans med begreppet energi bildar dess kärna. Särskilt vill jag framhålla den definition som anges av Bonniers svenska ordbok: Fysik är "vetenskapen om naturkrafterna och energin i dess olika former". Min strävan är att låta denna definition löpa som en röd tråd i undervisningen och i denna bok.

Innehåll

Vi lägger därför största vikt på kraftbegreppet och dess konsekvens: växelverkningen. I första kapitlet (kapitel 2) fokuserar vi på de olika slag av kraftverkan som förekommer mellan elektriska laddningar vilka direkt kan relateras till deras rörelse, dvs. laddningar i vila, i likformig rörelse och i acceleration. Dessa krafter benämns elektrisk, magnetisk respektive induktiv. Vi behandlar alltså dessa växelverkningar sammanhållet och formulerar de kraftformler som beskriver observationer och mätningar. De följande kapitlen är mer eller mindre raka tillämpningar av kraftformlerna. Begreppet energi, som införs i kapitel 3, utgår ifrån och är en direkt konsekvens av kraft via begreppet arbete. Vi visar hur denna princip tillämpas för både elektrisk och magnetisk energi. Kapitel 4 behandlar makroskopiska system vars egenskaper erhålls via en summering av ömsesidiga växelverkningar mellan infinitesimala element. I © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

6 mars 2013 – sida 8 – # 8

förord

tillämpningar är systemen ofta homogena och beräkningarna kan då förenklas med hjälp av de geometriska kvantiteterna kapacitans och induktans. I kapitel 5 och 6 diskuteras ledaren och elektriska kretsar vilket utgör den experimentella miljö ur vilken elektrodynamiken har utvecklats och tekniska tillämpningar har sitt ursprung. Vi behandlar först den mikroskopiska beskrivningen av elektrisk ledning, resistansens ursprung och dess relation till värmeutveckling. Vidare diskuteras resonanskretsen och de övriga två kretskomponenterna: kapacitans och induktans. I kapitel 7 introduceras den elektriska och magnetiska dipolen, väsentliga begrepp eftersom naturen vanligen är konstruerad eller kan åtminstone approximeras till att bestå av dylika objekt. Centralt är då uttrycken för elektrisk och magnetisk dipol-dipolväxelverkan. Dessa är fundamentala för naturens dynamik. I kapitel 8 studerar vi hur olika elektriskt och magnetiskt neutrala material responderar på elektrisk och magnetisk påverkan och utgår då ifrån att materialet är uppbyggt av dipoler. Den matematiskt strikta behandlingen av dipol-, eller generellt multipol-, växelverkan presenteras i tillhörande appendix A och B. I kapitel 9 visar vi konceptuellt hur den magnetiska och induktiva dynamiken följer som rörelsekonsekvenser av den elektriska under antagandet att växelverkningar tar tid, de förmedlas med ljusets fart. Alternativt kan man utifrån kännedom om elektrisk och magnetisk kraft härleda ljusets fart. Vi kommer i ett specialfall kunna härleda såväl den magnetiska kraften som FaradayHenrys induktionslag. Vidare visas hur elektrodynamiken är relaterad till relativitetsteorin. Faktum är att magnetism är den rörelsekonsekvens på vilken den speciella relativitetsteorin baseras. Eftersom vi utgår ifrån begreppet kraft är materialet unikt för denna bok. I kapitel 9 introduceras också Lorentz-tranformationer i form av en handledning för att självständigt kunna utveckla denna den formella basen för speciell relativitetsteori. Förkunskaper till kapitel 9 är endast kapitel 1-3 varför dessa fyra kapitel kan utgöra en kortkurs inom basal elektrodynamik och dess relation till relativitetsteori. 8

6 mars 2013 – sida 9 – # 9

förord

I kapitel 10, slutligen, introduceras fältteorin för elektrodynamiken vilket leder oss till Maxwells ekvationer, grunden för den elektrobaserade ingenjörsvetenskapen. Fälten är förvisso redan definierade genom kraftformlerna, men uttrycks i Maxwells ekvationer som sin divergens och rotation. Vi motiverar detta genom att visa att fältens randvillkor är på så sätt givna. Ett viktigt särdrag hos denna bok är sålunda att fältteorin introduceras efter det att de fysiska fenomen som utgör elektrodynamiken beskrivits, tolkats och behandlats i termer av de grundläggande krafterna.

Förkunskaper/Målgrupp

Även om elektrodynamiken beskrivs i denna bok från dess första principer förutsätts förkunskaper om ca en termins högskolestudier inom matematik och fysik, inkluderande vektoralgebra, integral- och differentialkalkyl samt en kurs i mekanik, behandlande Newtons lagar och energiprincipen. Målgruppen är lärar- ingenjör- och fysikstudenter samt yrkesverksamma inom området, inte minst inom telekomindustrin. Även kemi- och datastudenter kan ha glädje av boken.

Studietips

Att lära sig fysik innebär oundvikligen ett aktivt engagemang, särskilt vad gäller problemlösning och experimentella studier. Vi rekommenderar att de experiment som diskuteras också genomförs i praktiken, inte minst för att undvika tendenser till abstraktion. Vissa av uppgifterna, markerade med stjärna, ingår i bokens teori och behöver därför lösas inför kommande kapitel. De markerade med ett ’K’ är komplexa och lämpar sig i normalfallet inte för självständig problemlösning. Uppgifter som refereras i texten är även markerade i marginalen för att underlätta problemlösningen. I appendix D återfinns en lösningsmanual.

6 mars 2013 – sida 10 – # 10

förord

Hemsida

Till boken hör en hemsida, www.studentlitteratur.se/37252, där du hittar bl.a. läsarkommentarer, rekommenderade internetlänkar och filmer på utvalda relevanta experiment/fenomen.

Tackord

Jag vill rikta ett stort tack till alla studenter som förgyllt de kurser jag har gett under åren, inbegripet allt från grundläggande och avancerade elektrokurser till relativitetsteori och tillämpningskurser inom antenn- och mikrovågsteori på olika nivåer inom olika studieprogram. De reflektioner, synpunkter och frågor jag har mottagit från dessa har haft en avgörande betydelse för min egen utveckling och denna boks tillkomst. Vidare vill jag tacka min arbetsgivare och mina kolleger för många intensiva och givande diskussioner kring fysikämnet i allmänhet och dess roll i samhället. För mig oumbärligt har varit många intressanta samtal med adjunkt Göran Nordström kring ämnets didaktik samt med adjunkt Peter Johansson kring relativitetsteorins koppling till elektrodynamik. Den sistnämnde myntade begreppet ”rörelsekonsekvens” som flitigt nyttjas i denna bok. Ett stort tack till Dr Jenny Ivarsson för en gedigen vetenskaplig granskning av en första version av denna bok samt till civilingenjörsstudent Nicklas Bjärnhall Prytz för oumbärliga råd med tonvikt på det pedagogiska upplägget. Slutligen tackar jag Karolina Aplander, Lotta Bruhn och Jonny Hallberg vid Studentlitteratur för all hjälp med utformningen av bokens text och figurer. Kjell Åke Prytz, 2013

6 mars 2013 – sida 11 – # 11

BETECKNINGAR

Beteckning

Kvantitet

Enhet (SI)

¯ f¯ F,

Kraft

Newton, N

Energi

Joule, J

Arbete

Joule, J

¯ d¯ s¯, L,

Sträcka

Meter, m

R¯

Avstånd

Meter

r¯

Positionsvektor

Meter

r¯′

Positionsvektor för källelement

Meter

Volym

Kubikmeter, m3

v¯

Hastighet

Meter/sekund, m/s

Relativistisk faktor

Dimensionslös

nˆ

Ytnormal

Antal per volym eller varvdensitet

Massa

Kilogram, kg

Vilomassa

Kilogram, kg

6 mars 2013 – sida 12 – # 12

beteckningar

Beteckning

Kvantitet

Enhet (SI)

q,Q

Laddning

Coulomb, C

Laddning per längd

C/m

Laddning per area eller konduktivitet

C/m2 resp. Siemens, Si

Laddning per volym

C/m3

I,i

Strömstyrka

Ampère, A

K¯

Ström per längd; ytströmdensitet

A/m

J¯

Ström per area; volymdensitet

A/m2

Elektrisk potential

Volt, V

∆Φ

Elektrisk spänning

Volt, V

εj

Inducerad spänning

Volt, V

Kapacitans

Farad, F

Resistans

Ohm, Ω

M jk

Ömsesidig induktans

Henry, H

Självinduktans

Henry, H

Antal

Friktionskonstant (även gravitationskonstant)

Kg/s

6 mars 2013 – sida 13 – # 13

beteckningar

Beteckning

Kvantitet

Enhet (SI)

p¯

Elektriskt dipolmoment

¯ m

Magnetiskt dipolmoment

Am2

κe

Dielektricitetskonstant (förr ε r )

Dimensionslös

κm

Relativ magnetisk permeabilitet (förr µ r )

Dimensionslös

P¯

Polarisering; densitet av elektriskt dipolmoment

C/m2

¯ M

Magnetisering; densitet av magnetiskt dipolmoment

A/m

E¯

Elektriskt fält

N/C, V/m

B¯

Magnetisk flödesdensitet

Tesla, T

¯ D

Elektrisk förskjutning

C/m2

H¯

Magnetisk fältintensitet

A/m

Tyngdacceleration

9.82 m/s2

ε0

Elektrisk permittivitet

8.85 . 10−12 C/(Vm)

µ0

Magnetisk permeabilitet

4π . 10−7 Tm/A

Ljusfart i luft/vakuum

3.0 . 108 m/s

Gravitationskonstant

6.67. 10−11 Nm2 /k д 2

6 mars 2013 – sida 14 – # 14

6 mars 2013 – sida 15 – # 15

FORMELSAMLING

Rektangulära koordinater (x, y, z)

∇U =

dU dU dU xˆ + yˆ + zˆ dx dy dz

∇2 U =

d2U d2U d2U + + dx 2 d y2 dz 2

dA x dA y dA z ∇ ⋅ A¯ = + + dx dy dz dA y dA x dA z dA y dA x dA z ∇ × A¯ = ( − )xˆ + ( − ) yˆ + ( − )zˆ dy dz dz dx dx dy Cylindriska koordinater (ρ, ϕ, z) zˆ

ϕˆ ρˆ z

x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

6 mars 2013 – sida 16 – # 16

formelsamling

Riktningsvektorer ρˆ = xˆ cos ϕ + yˆ sin ϕ ϕˆ = −xˆ sin ϕ + yˆ cos ϕ zˆ = zˆ Positionsvektor r¯ = ρ ρˆ + z zˆ Volymelement dV = ρdρdϕdz Vektoroperationer

∇U =

dU 1 dU ˆ dU ρˆ + ϕ+ zˆ dρ ρ dϕ dz

∇2 U =

1 d dU 1 d2U d2U (ρ )+ 2 + ρ dρ dρ ρ dϕ 2 dz 2

∇ ⋅ A¯ =

1 d 1 dA ϕ dA z (ρA ρ ) + + ρ dρ ρ dϕ dz

dA ρ dA z dA ρ 1 dA z dA ϕ 1 d ∇ × A¯ = ( − ) ρˆ + ( − )ϕˆ + ( (ρA ϕ ) − )zˆ ρ dϕ dz dz dρ ρ dρ dϕ

6 mars 2013 – sida 17 – # 17

formelsamling

Sfäriska koordinater (r, θ, ϕ) z

rˆ ϕˆ

θ φ

r θˆ

x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ Riktningsvektorer rˆ = xˆ sin θ cos ϕ + yˆ sin θ sin ϕ + zˆ cos θ θˆ = xˆ cos θ cos ϕ + yˆ cos θ sin ϕ − zˆ sin θ ϕˆ = −xˆ sin ϕ + yˆ cos ϕ Positionsvektor r¯ = rˆr Volymelement dV = r 2 sin θdrdθdϕ

6 mars 2013 – sida 18 – # 18

formelsamling

Vektoroperationer

∇U =

dU 1 dU ˆ 1 dU ˆ rˆ + θ+ ϕ dr r dθ r sin θ dϕ

∇2 U =

1 d 2 dU 1 d dU 1 d2U (r )+ (sin θ )+ r 2 dr dr r 2 sin θ dθ dθ r 2 sin2 θ dϕ 2

∇ ⋅ A¯ =

1 d 2 1 d 1 dA ϕ (r A r ) + (sin θA θ ) + 2 r dr r sin θ dθ r sin θ dϕ

∇ × A¯ =

1 d dA θ [ (A ϕ sin θ) − ]ˆr + r sin θ dθ dϕ

1 1 dA r d 1 d dA r ˆ + [ − (rA ϕ )]θˆ + [ (rA θ ) − ]ϕ r sin θ dϕ dr r dr dθ

Vektoralgebra ¯ = B( ¯ A¯ ⋅ C) ¯ − C( ¯ A¯ ⋅ B) ¯ A¯ × (B¯ × C) ¯ × C¯ = B( ¯ A¯ ⋅ C) ¯ − A( ¯ B¯ ⋅ C) ¯ (A¯ × B) ¯ = (∇U) ⋅ A¯ + U(∇ ⋅ A) ¯ ∇ ⋅ (U A) ¯ = (∇U) × A¯ + U(∇ × A) ¯ ∇ × (U A) ¯ = B¯ ⋅ (∇ × A) ¯ − A¯ ⋅ (∇ × B) ¯ ∇ ⋅ (A¯ × B) ¯ = (B¯ ⋅ ∇)A¯ − B(∇ ¯ ⋅ A) ¯ − (A¯ ⋅ ∇)B¯ + A(∇ ¯ ⋅ B) ¯ ∇ × (A¯ × B)

6 mars 2013 – sida 19 – # 19

formelsamling

¯ = (B¯ ⋅ ∇)A¯ + (A¯ ⋅ ∇)B¯ + B¯ × (∇ × A) ¯ + A¯ × (∇ × B) ¯ ∇(A¯ ⋅ B) ∇ × (∇U) = 0 ¯ =0 ∇ ⋅ (∇ × A) ¯ = ∇(∇ ⋅ A) ¯ − ∇2 A¯ ∇ × (∇ × A)

Integralteorem Divergensteoremet ¯ = ∮∫ A¯ ⋅ d a¯ ∫ ∇ ⋅ AdV

Stokes teorem

∫

∮ A¯ ⋅ d L¯ = C

∫

∮ Ud L¯ = C

∫ (∇ × A)¯ ⋅ d a¯

∫ d a¯ × ∇U

6 mars 2013 – sida 20 – # 20

KAPITEL 3

6 mars 2013 – sida 63 – # 63

Elektrodynamisk energi

i ska i detta kapitel definiera begreppen elektrisk och magnetisk energi. Utgångspunkten är begreppet arbete, dvs. kraft gånger sträcka. De verksamma krafterna är den elektriska och den induktiva alstrande elektrisk respektive magnetisk energi. Vidare införs begreppet induktans med vars hjälp Faraday-Henrys induktionslag formuleras. Energi finns i två former som kontinuerligt omvandlas i varandra: • Lägesenergi, kallas alternativt lagrad eller potentiell energi. • Rörelseenergi, kallas alternativt kinetisk energi. Vi betonar att energi uppstår i en växelverkan och lagras i det system som beståndsdelarna utgör. Lagrad energi kan inte tillskrivas ett enskilt föremål.

6 mars 2013 – sida 64 – # 64

3 elektrodynamisk energi

3.1 Elektrisk energi Ett system bestående av ett antal laddningar i vila besitter lagrad energi benämnd elektrisk. Energimängden motsvaras av det arbete som krävs att sammanföra dessa laddningar. I figur (3.1) sammanförs två laddningar med samma tecken q i och q j under uträttande av arbete W.

Med laddning q i fixerad, låt den externa FIGUR 3.1 kraften F föra laddning q j längs R-axeln mot laddning q i med start i oändligheten till avståndet R i j . Kraften F måste vara minst lika stor som den repulsiva elektriska kraften och minsta arbete blir Ri j

∫

∞

Ri j

F¯ ⋅ d¯s =

∫

∞

⎡ ⎤R i j ⎢ qi q j ⎥ ′ qi q j ⎢ ⎥ = q i q j = U i j (3.1) − dR i j = ⎢ ′ ⎥ ′ 2 4πε 0 R i j 4πε 0 R i j ⎢ 4πε 0 R i j ⎥ ⎣ ⎦∞

I första integralen är F¯ ⋅ d¯s positiv eftersom ds och F är parallella. Integranden ′ i andra integralen är likaså positiv eftersom dR i j är negativt då förflyttningen sker mot minskande R. Vi låter kraften F vara exakt lika stor som den elektriska kraften så att rörelseenergi inte uppstår. U i j är därför den elektriskt lagrade energin mellan två laddningar. För ett generellt system utför vi parvis summering: Ue =

qi q j 1 ∑ 2 i , j 4πε 0 R i j

(3.2)

där summan löper över alla laddningar men i måste vara skilt från j. Faktorn 1/2 korrigerar för dubbelräkning. Notera att laddningarnas tecken avgör om energin är positiv eller negativ. Om till exempel ett par laddningar har motsatt tecken blir elektriska energin negativ indikerande att processen att föra ena laddningen mot den andra laddningen kräver inget arbete utan sker naturligt. Begreppet potential Φ i definieras ur energin. Vid positionen för laddning q i 64

6 mars 2013 – sida 65 – # 65

3 elektrodynamisk energi

blir Φi = ∑ j

qj 4πε 0 R i j

(3.3)

så att elektriska energin kan skrivas Ue =

1 ∑ qi Φi 2 i

(3.4)

Dynamiken i ett system beskrivs av förändringen av den lagrade energin med avseende på rumskoordinaterna. Energiförändringen kan uttryckas med begreppet potentialskillnad. Om en laddning q förflyttas från punkt a till b och allt annat oförändrat, förändras systemets energi enligt ∆U e = q(Φ b − Φ a )

(3.5)

Potentialskillnaden mellan två punkter kallas också spänning ∆Φ = Φ b − Φ a

(3.6)

en kvantitet vanliga voltmetrar är kalibrerade för att mäta.

3.2 Spänningskälla - batteriet Vi definierar begreppet magnetisk energi för slutna strömförande ledare. I avsnitt (2.2) diskuterades magnetisk kraft via den elektriska kretsen vars motor kallas batteri. Batteriet, som är en av kretsens komponenter, tillhandahåller en spänning med vars hjälp rörelseenergi alstras till ledningselektronerna. Under denna process uträttar batteriet ett arbete varför dess lagrade energi sjunker med en kvantitet som måste beaktas vid analysen av magnetisk kraft och energi uppkommen via strömförande ledare. Konsekvensen av batteriets arbete blir att den magnetiska energin maximeras under växelverkan mellan elektriska strömförande kretsar, tvärtemot det elektriska fallet för fria laddningar. Vi diskuterar denna viktiga princip i avsnitt (3.3.1). © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

6 mars 2013 – sida 66 – # 66

3 elektrodynamisk energi

Batteriets konstruktion kan baseras antingen på en elektrisk eller magnetisk process, se figur.

– fbatt

+ fel

Ett elektriskt batteri transporterar via kemiska processer elektroner från plus till minuspol och arbetar därigenom mot den interna elektriska kraften, vänster figur. Den elektriska energinivån, där elektronen är ena parten, ökar därmed vilken används i nästa steg för att alstra rörelse på elektronen i ledaren. Motsvarande process i gravitationsfallet är att till exempel rulla en boll uppför en backe och sedan låta gravitationen alstra rörelse i nedförsbacken. Ett magnetiskt batteri fungerar principiellt som illustrerat i figuren till höger, där permanentmagneten vanligtvis är en annan strömförande krets. I detta fall finns alltså ingen batterispänning men vanligtvis brukar man införa en fiktiv så kallad induktionsspänning, definierad via den ström som alstras, se vidare avsnitt (3.5). Under accelerationen av elektronerna i ledaren uppstår induktiva krafter vilka enligt kapitel 2 är accelerationsberoende och motriktade elektronens acceleration. Dessa krafter uppstår genom inbördes växelverkningar mellan elektronerna.

3.3 Magnetisk energi Vi definierar sålunda den magnetiska energin för elektriska kretsar genom att betrakta det arbete ett batteri måste utföra för att accelerera ledningselektronerna till en slutlig strömstyrka I. Den kraft batteriet måste övervinna är alltså den induktiva, formel (2.26), eftersom denna verkar i en riktning motsatt till den externa påverkningen samt är accelerationsberoende. 66

6 mars 2013 – sida 67 – # 67

3 elektrodynamisk energi

Enkel slinga. Betrakta en batteriansluten enkel slinga såsom i figur (3.2 vänster). Antag att en ström i flyter i slingan vid tiden t. dL1

dL1

R dL2

dL2

i i2

Definition av växelverkande längdelement dL för enkel slinga till vänster och för två slingor till höger. FIGUR 3.2

För att öka strömmen accelereras laddningarna. Arbetet batteriet måste uträtta för att en infinitesimal laddningsmängd dq ska kunna accelereras en gång genom hela den slutna slingan är dWb = −

∫

F¯ind ⋅ d L¯ 1

∫

C(R)dq

(3.7)

S l in дan

där formel (2.27) ger F¯ind = −

S l in дan

di ¯ d L2 dt

(3.8)

I formel (3.8) integrerar vi över d L¯ 2 för att summera upp den totala induktiva kraften som verkar på laddningsmängden dq. I formel (3.7) integrerar vi över d L¯ 1 för att summera totala arbetet batteriet behöver uträtta för att transportera laddningen dq genom hela slingan. Längdelementen d L¯ 1 och d L¯ 2 ingår i detta fall i samma slinga. Formel (3.8) är egentligen en infinitesimal kraft eftersom den verkar på det infinitesimala elementet dq, vilken emellertid är att betrakta som en hel elektron © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

6 mars 2013 – sida 68 – # 68

3 elektrodynamisk energi

varför vi betecknar kraften utan infinitesimalt tecken. Den infinitesimala magnetiska energin blir dU m = dWb =

∫∫

C(R)dq

di dt

∫∫

S l in дan

= dq

di ¯ d L 1 ⋅ d L¯ 2 = dt

C(R)d L¯ 1 ⋅ d L¯ 2

(3.9)

S l in дan

Dubbelintegralen kallas induktans M=

∫∫

C(R)d L¯ 1 ⋅ d L¯ 2

(3.10)

S l in дan

och innehåller bara ledarens geometriska egenskaper. Integreringen (3.9) uttrycker att vi summerar alla möjliga parvisa växelverkningar mellan ledarens längdelement och skalärprodukten säkerställer att vinkelräta element inte påverkar varandra, vilket är experimentellt observerat (se avsnitt 2.3). Om vi har att göra med endast en ledare, som här, kallas M självinduktans. Vi kan nu skriva för den magnetiska energin: dU m = Mdq

di di = Midt = Mi di dt dt

(3.11)

Den totala energin som överförs av batteriet när strömmen växer från 0 till slutvärde I blir¹ I

Um =

∫

Mi di = M

I2 2

(3.12)

1 Notera formel (3.12)s likhet med mekanisk rörelseenergi 1/2mv 2 . Detta är ingen tillfällighet eftersom magnetism är direkt kopplat till laddningars rörelse. Intressant är att JC Maxwell ville kalla induktans M för ”electric inertia”, alltså elektrisk tröghet (se också avsnitt 2.3).

6 mars 2013 – sida 69 – # 69

3 elektrodynamisk energi

Flera slingor. Vi söker nu energin för ett system med flera slingor då hänsyn tas till deras växelverkan, se figur (3.2 höger). Växelverkningen styrs av induktansen M som generellt kan skrivas M jk =

∫ ∫ C(R)d L¯ ⋅ d L¯ j

(3.13)

För olika ledare j och k kallas M jk ömsesidig induktans. I avsnitt 3.4 visas att C bara beror av avståndet mellan strömelementen varför M jk = M k j

(3.14)

Förändringen av magnetiska energin p.g.a. en strömökning di k blir då enligt formel (3.11) dU m = ∑ ∑ M jk i j di k j

(3.15)

Detta skall nu integreras upp till slutvärden I j , I k . För att belysa principer betraktar vi ett system med endast två slingor. dU m = M 11 i 1 di 1 + M 12 i 1 di 2 + M 21 i 2 di 1 + M 22 i 2 di 2

(3.16)

Eftersom energin i systemet är oberoende av på vilket sätt strömmen alstrades i slingorna (varför?) kan vi välja att göra detta för en slinga i taget. 1. Öka strömmen till I 1 i slinga 1: di 2 = 0, i 2 = 0 U m1 = M 11

I 12 2

(3.17)

2. Öka strömmen till I 2 i slinga 2: i 1 = konst = I 1 , di 1 = 0

6 mars 2013 – sida 70 – # 70

3 elektrodynamisk energi

U m2 = M 12 I 1 I 2 + M 22

I 22 2

(3.18)

Totala energin U m = U m1 + U m2 för detta system av två slingor. Generellt kan vi då skriva för ett system med N slingor (N = 1 för en ensam slinga)

Um =

1 N N ∑ ∑ M jk I j I k 2 k=1 j=1

(3.19)

där j också kan vara lika med k, s.k. självinduktans. Vi erhöll (3.19) genom att studera strömvariation för fix induktans. Men (3.19) gäller också för variabel induktans vilket diskuteras i nästa avsnitt.

3.3.1 MAGNETISK KRAFT FRÅN MAGNETISK ENERGI

När vi jobbar med magnetiska krafter betraktar vi vanligtvis slutna kretsar där strömmen upprätthålls av ett batteri och därför är (kvasi)-konstant. Vid tillämpning av energiprincipen (1.1) spelar batteriet en viktig roll vilket följande resonemang illustrerar. Betrakta växelverkan mellan två strömförande slingor, figur (3.2b). Vi söker relationen mellan magnetisk energi och den magnetiska kraften. För konstant ström uppstår en förändring av den magnetiska växelverkansenergin via förändring av den ömsesidiga induktansen, t.ex. genom att avståndet mellan kretsarna eller deras relativa orientering förändras. Enligt formel (3.19) får vi då 1 1 1 dU m = I 1 I 2 dM 12 + I 2 I 1 dM 21 = [I 1 d(I 2 M 12 ) + I 2 d(I 1 M 21 )] 2 2 2

(3.20)

där strömmarna är slutvärden, alltså de av batteriet återställda. Detta kräver ett arbete dWb av batteriet som förändrar dess energi enligt formel (3.16)

6 mars 2013 – sida 71 – # 71

3 elektrodynamisk energi

dU b = −dWb = −(I 1 M 12 dI 2 + I 2 M 21 dI 1 ) = = −[I 1 d(M 12 I 2 ) + I 2 d(M 21 I 1 )]

(3.21)

där vi tänker oss att induktanserna är slutvärden och batteriet förändrar strömmen i det läget. Notera att självinduktanserna inte är inkluderade här eftersom vi studerar effekter av växelverkan mellan slingorna. Vi får att dU b = −2dU m och förändringen av totala energin blir dU = dU m + dU b = −dU m

(3.22)

Kraften blir då F¯m = ∇U m

Konstant ström!

(3.23)

så att för konstant ström verkar den magnetiska kraften för att maximera den magnetiska energin.

3.4 Allmän induktans – växelverkan mellan två strömelement Man kan ju nu fråga sig varför den magnetiska energin, vars definition är baserat på det arbete som den induktiva kraften utför, ger den magnetiska kraften enligt formel (3.23). Vi betonar att vi här fokuserar på slutna kretsar vars strömmar upprätthålls av ett batteri. Betrakta två parallella strömförande ledare, t.ex. cirkulära. För parallella strömmar uppstår en attraktiv kraft. Under attraktionen kommer dock strömstyrkorna att minska, se uppgift (3.9c), vilket exakt kompenseras av batteriet. → U3.9 Batteriets arbete, vilket är relaterat till den induktiva kraftens arbete enligt ovan, är på detta sätt kopplat till den energiförändring som uppträder på grund av den magnetiska kraften mellan elektriska kretsar.

Kjell Prytz | Elektrodynamik i nytt ljus

Elektrodynamik i nytt ljus elektrostatik , magnetism , induktion och relativitetsteori

Kjell Prytz

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08699-6_01_cover.indd 1

2013-03-13 13.40