matematik
4
Prov, övningsblad och aktiviteter
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10
Redaktion: Emelie Reuterswärd, Lars Julin Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs
Matematik Origo 4, Prov övningsblad och aktiviteter ISBN 978-91-523-6583-0 © 2023 Niclas Larson, Daniel Dufåker, Attila Szabo, Roger Fermsjö och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan
4
Innehåll
Kapitel 1 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
1.1
Enhetscirkeln
1.2
Trigonometriska ekvationer
1.3
Radianer
1.4
Samband mellan vinklar 1
1.5
Trigonometriska formler
1.6
Grafen till en trigonometrisk funktion 1
1.7
Grafen till en trigonometrisk funktion 2*
1.8
Repetitionsuppgifter Kapitel 1
1.1
Tangens för en vinkel
1.2
Radianer
1.3
Additions- och subtraktionsfomler
1.4
Funktioner i formen f(x) = a sin x + b cos x
1.5
Växelström
1
Prov 1 Kapitel 1 och 2 (E/C/A) Prov 1 Kapitel 1 och 2 (rak poängsättning)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Innehåll
Kapitel 2 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
2.1
Deriveringsregler 1
2.2
Deriveringsregler 2
2.3
Asymptoter
2.4
Kurvritning med derivata och asymptoter
2.5
Repetitionsuppgifter kapitel 2
2.1
Derivatan av y = sin x
2.2
Förpackningar
2.3
Asymptoter med Geogebra
1
Prov 1 Kapitel 1 och 2 (E/C/A) Prov 1 Kapitel 1 och 2 (rak poängsättning)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Innehåll
Kapitel 3 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
3.1
Primitiva funktioner
3.2
Att beräkna areor med hjälp av integraler
3.3
Arean av områden mellan två kurvor
3.4
Tillämpningar av integraler
3.5
Rotationskroppar
3.6
Repetitionsuppgifter kapitel 3
3.1
Volymen av rotationskroppar med hjälp av skalmetoden
3.2
Torricellis trumpet – räcker färgen till?
3.3
Täthetsfunktioner och fördelningsfunktioner
2
Prov 2 Kapitel 3 och 4 (E/C/A) Prov 2 Kapitel 3 och 4 (rak poängsättning)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Innehåll
Kapitel 4 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
4.1
Beräkningar med komplexa tal
4.2
Polynomekvationer
4.3
Det komplexa talplanet
4.4
Komplexa tal i polär form
4.5
Potenser av komplexa tal
4.6
Repetitionsuppgifter kapitel 4
4.1
Komplexa tal och transformationer
4.2
Integration med Eulers formel
4.3
Polynomdivision med rest och sneda asymptoter
2
Prov 2 Kapitel 3 och 4 (E/C/A) Prov 2 Kapitel 3 och 4 (rak poängsättning)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Övningsblad 1:4
Samband mellan vinklar 1 Samband mellan vinklar För alla vinklar v gäller sin (90° − v) = cos v
cos (90° − v) = sin v
sin (−v) = −sin v
cos (−v) = cos v
sin (180° − v) = sin v
cos (180° − v) = −cos v
sin (v + 90°) = cos v
cos (v + 90°) = −sin v
sin (v + 180°) = −sin v
cos (v + 180°) = −cos v
1 Det gäller att
4 Visa med hjälp av ett motexempel att sam-
sin 20° ≈ 0,34 och cos 20° ≈ 0,94 Du ska bestämma nedanstående värden med hjälp av sambanden i rutan. Som hjälp visar vi hur man kan finna sin 70°. Sambandet sin v = cos (90° − v) ger sin 70° = cos (90° − 70°) = cos 20° ≈ 0,94. a) cos 70° b) cos 110° c) cos 160°
bandet cos (u + v) = cos u + cos v inte gäller för alla värden på u och v.
5 För vinkeln α gäller att sin α ≈ 0,47 och cos α ≈ 0,88. Bestäm
( ) π b) cos ( α + __ ) . 2 π a) sin __ − α 2
6 Rita en figur som visar varför
d) sin 380°
(
)
(
)
π π sin __ − v = cos v och cos __ − v = sin v, 2 2 där v är en spetsig vinkel.
e) cos (−20°) f ) sin 200° g) cos 200°
__ √ 3 ___ 2 Du vet att cos 30° = . Bestäm med hjälp av 2
sambanden i rutan a) sin 60°
b) cos (−30°)
c) cos 150°
d) cos 210° 2π 3
1 2
3 Du vet att sin ___ = __ . Bestäm π a) sin __ 3 π b) cos __ 6
( )
2π c) sin − ___ 3 8π d) sin ___ 3 5π e) sin ___ 3
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
7 Använd enhetscirkeln till att motivera varför
(
)
(
)
π π sin __ + v = cos v och cos __ + v = −sin v. 2 2
8 Christer undrar varför sin (y + 2πk) = sin y
för alla vinklar y och alla heltal k. Hjälp Petra att förklara för Christer varför sambandet stämmer.
4
Övningsblad 1:6
Grafen till en trigonometrisk funktion 1 Grafen till y = A sin (Bx + C) + D Grafen till funktionen y = A sin (Bx + C) + D, där B > 0 har amplituden |A| 360° 2π har perioden _____ eller ___ rad B B C är förskjuten __ grader eller radianer i x-led jämfört med grafen till y = sin Bx B är förskjuten D enheter i y-led jämfört med grafen till y = sin x Vilka funktioner visar graferna?
1
4 y
y 1
1 −180°
x
x 180°
−1
360°
540°
−180°
180°
−1
360°
540°
5
2
y y 1 1
−180°
x 180°
−1
360°
−180°
540°
180°
−1
360°
540°
6
3
y y
1 −180°
1 −180°
x
−1
x 180°
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
360°
540°
−1
x 180°
360°
540°
4
Aktivitet 1:3
Additions- och subtraktionsformler På sidan 25 i Matematik Origo 4 genomför vi ett bevis av additionsformeln för sinus. Utifrån den bevisar vi sedan övriga additions- och subtraktionsformler samt formlerna för dubbla vinkeln. En svaghet med beviset i läroboken är att det bara är giltigt för positiva vinklar mindre än 180°. I den här aktiviteten ska du få genomföra ett bevis som inte har den svagheten. I enhetscirkeln här nedanför har vi markerat vinklarna u och v samt motsvarande punkter P och Q på enhetscirkeln. Vinkeln mellan vinkelbenen är u − v. Vi har också vridit de två vinkelbenen så att det ena vinkelbenet sammanfaller med den positiva x-axeln. De två vinkelbenen träffar enhetscirkeln i punkterna R och S. Vinkeln mellan benen är förstås fortfarande u − v. P
1
y
Q R
u−v
v u
u−v
S 1
−1
x
−1
1 Vilka koordinater har punkterna P och Q? 2 Vilka koordinater har punkterna R och S? 3 Använd avståndsformeln för att teckna ett uttryck för avståndet mellan a) P och Q b) R och S Eftersom punkterna R och S båda har skapats genom att punkterna P respektive Q har vridits v grader medurs, så gäller förstås att |PQ| = |RS| och därmed även att |PQ|2 = |RS|2.
4 Utgå från likheten |PQ|2 = |RS|2. Arbeta vidare med den genom att t.ex.
addera eller subtrahera samma uttryck i båda leden, och härled subtraktionsformeln för cosinus, dvs. cos (u − v) = cos u cos v + sin u sin v.
5 Bevisa nu additionsformeln för cosinus. Tips! Utnyttja att
cos (u + v) = cos (u − (−v)) samt några andra kända trigonometriska samband.
6 Bevisa additions- och subtraktionsformlerna för sinus med utgångspunkt i det du har visat i uppgift 4 och 5. Tips! Använd sambandet π sin v = cos __ − v samt några andra kända samband. 2
(
)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Aktivitet 1:3
Lärarhandledning
Additions- och subtraktionsformler Syfte
I den här aktiviteten får eleverna på egen hand genomföra ett bevis av additions- och subtraktionsformlerna samt formlerna för dubbla vinkeln.
Materiel
Aktivitetsblad Additions- och subtraktionsformler.
Genomförande
Aktiviteten kan fungera både som en uppgift som eleverna löser enskilt och som en uppgift för par eller mindre grupper. I uppgift 1 kan man behöva förtydliga för eleverna att koordinaterna ska anges som uttryck i u och v.
Lösning 1 P = (cos u, sin u); Q = (cos v, sin v)
_____________________________ 3 a) |PQ| = √ (cos u − cos v)2 + (sin u − sin v)2 _____________________________
√
b) |RS| = ( cos (u − v) − 1 ) 2 + ( sin (u − v) ) 2
4 |PQ|2 = |RS|2 (cos u − cos v)2 + (sin u − sin v)2 = = ( cos (u − v) − 1 ) 2 + ( sin (u − v) ) 2 cos2 u − 2 cos u cos v + cos2 v + + sin2 u − 2 sin u sin v + sin2 v = = cos2 (u − v) − 2 cos (u − v) + 1 + sin2 (u − v) 2 − 2(cos u cos v + sin u sin v) = = 2 − 2 cos (u − v) −2(cos u cos v + sin u sin v) = −2 cos (u − v)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
= cos u cos (−v) + sin u sin (−v) = = cos u cos v − sin u sin v v.s.v.
( π2
v.s.v.
)
6 sin (u + v) = cos __ − (u + v) =
(( ) )
π = cos __ − u − v = 2 π π = cos __ − u cos v + sin __ − u sin v = 2 2 = sin u cos v + cos u sin v v.s.v.
(
)
(
)
samt sin (u − v) = = sin (u + (−v)) = = sin u cos (−v) + cos u sin (−v) = = sin u cos v − cos u sin v v.s.v.
Att lyfta fram
2 R = (cos (u − v), sin (u − v)); S = (1, 0)
cos u cos v + sin u sin v = cos (u − v)
5 cos (u + v) = cos (u − (−v)) =
Beviset som genomförs på sidan 25 i elevboken utgår från en godtycklig triangel. Det gör att beviset bara gäller för positiva vinklar mindre än 180°. Styrkan i det bevis som eleverna får genomföra här är att det utgår från enhetscirkeln, vilket gör att det är giltigt för alla vinklar. Det kan vara värt att låta eleverna fundera över och lyfta fram detta i en gemensam diskussion.
4
Övningsblad 2:1
Deriveringsregler 1 Deriveringsregler Kedjeregeln
Derivatan av en sammansatt funktion h(x) = f(g(x)) är h’(x) = f’(g(x)) ∙ g’(x). dy Om y = f(z) och z = g(x), så kan derivatan ___ av den sammansatta funktionen y = f(g(x)) också skrivas dx dy ___ dy ___ dz ___ = ∙ dx
dz dx
Produktregeln
Derivatan av sin x
D(u(x) · v(x)) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x)
D(sin x) = cos x
Kvotregeln
Derivatan av cos x
u(x) u’(x) · v(x) − u(x) · v’(x) D ____ = ___________________ där v(x) ≠ 0 v(x) (v(x))2
D(cos x) = −sin x
Derivatan av logaritmfunktionen y = ln x
Derivatan av tan x
( )
1 D(ln x) = __ där x > 0 x
1 Derivera följande funktioner.
2 Bestäm g’(0) om a) g(x) = x cos x
b) f(x) = cos 5x
b) g(x) = sin x2
c) f(x) = 14 sin 4x − 3 cos 7x
c) g(x) = sin2 x
e) f(x) = (6x2 − x)(5x − 3) 6x − 1 f ) f(x) = ______ 3x + 4
3 − 1)7
g) f(x) = (2x
__________
h) f(x) = √ x2 − 4x + 3 i)
f(x) = e5x
j)
f(x) = 53x
k) f(x) = ln 5x l)
f(x) = 5 ln x
m) f(x) = ex ∙ ln x x3 n) f(x) = ___ x 2e
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
x mäts i radianer
1 π D(tan x) = _____ 2 x ≠ __ + n ∙ π, där n är ett heltal cos x 2
a) f(x) = 3 sin x
d) f(x) = tan 5x
x mäts i radianer
3 Bestäm riktningskoefficienten för tangenten till
( )
π a) y = sin 2x i punkten __ , 0 2 x+1 b) y = _____ i punkten (0, −1) x−1
_____
c) y = √ x − x2 i punkten (0,2; 0,4)
4
Övningsblad 2:4
Kurvritning med derivata och asymptoter x2 + x x +1 a) Bestäm den horisontella asymptoten till y = f(x).
5 Låt f(x) = ______ 2
1 Skissa grafen till funktionen f i intervallet −2 ≤ x ≤ 2 med hjälp av teckentabellen. x
−2 < x < −1
−1
−1 < x < 1
1
1<x<2
f'(x)
−
0
+
0
−
f(x)
↘
−1
↗
1
↘
b) Bestäm eventuella extrem- och terrass punkter.
2 Grafen till funktionen f bestäms av asymptoterna x = −2 och y = 0 samt teckentabellen här nedanför. Skissa grafen till funktionen. x
−3
f'(x) f(x)
−1
x < −2
−2
x > −2
−
ej def.
−
↘
ej def.
↘
−1 1
b) Bestäm den sneda asymptoten till y = f(x).
terna x = −1 och y = x − 1 samt teckentabellen här nedanför. Skissa grafen till funktionen. x < −1
f'(x) f(x)
−2
−2 < x < −1
−1
−1 < x < 0
0
+
0
−
ej def.
−
0
+
↗
−4
↘
ej def.
↘
0
↗
x>0
6x2 − 1 3x + 1 a) Bestäm den horisontella asymptoten till y = f(x).
4 Låt f(x) = _______ 2
b) Bestäm eventuella extrem- och terrass punkter. c) Skissa grafen till y = f(x).
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
x2 − 3x 2x − 2
6 Låt f(x) = _______ a) Bestäm den vertikala asymptoten till y = f(x).
3 Grafen till funktionen f bestäms av asympto-
x
c) Skissa grafen till y = f(x).
c) Bestäm eventuella extrem- och terrass punkter. d) Skissa grafen till y = f(x). x2 x−1
7 Skissa grafen till f(x) = _____ .
4
Övningsblad 2:4
Facit
Kurvritning med derivata och asymptoter 1
5 a) y = 1
y 1
__ __ 1 − √ 2 b) Minimipunkt: (1 − √ 2 , ______ ) 2 __ __ 1 + √ 2 Maximipunkt: (1 + √ 2 , _______ )
x 1
2
c)
2
y 1
y
1
x
x
1
1
6 a) x = 1 b) y = 0,5x − 1
3
y
c) Saknas d)
x
1
y
1 1
x 1
4 a) y = 2 b) Minimipunkt: (0, −1) c)
7
y
1
y
x 1
x
1 1
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Övningsblad 2:5
Repetitionsuppgifter kapitel 2 1 Bestäm derivatan av
7x5 b) f(x) = ____ 5
a) y = 5
2 a) Bestäm andraderivatan f’’(x) till
( π2 )
(
SIDA 1 AV 2
π 2
)
11 Bestäm f’ __ om f(x) = cos 2x − __ 12 Bestäm derivatan till
f(x) = 12x + x3.
3 a) y = ln x − __ x
b) Beräkna f’’(5).
c) y = e4x + x
b) y = ln (x3 + 3)
2
3 Bestäm
13 Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan
dy 2ax a) ___ om y = ____ − 5bx2 dx 3
(
)
__ 2 b) D e4x + √ x − __ 3 x
y = e3x i den punkt där kurvan skär y-axeln.
14 Bestäm a) f’(1) då f(x) = (2x2 − 2)(3x + 2)
4 Låt f(x) = 2x3 − x2 + 3x − 1.
e3x b) f’(0) då f(x) = ______ 2 x +2
a) Bestäm f’(x). b) Kurvan y = f(x) har en tangent i punkten (3, 53). Bestäm ekvationen för den tangenten.
5 Värdet av en dator kan beskrivas med
V(t) = 13 000 · e−0,22t, där V(t) är värdet i kronor t år efter inköpet. Hur snabbt förändras värdet 3 år efter inköpet?
6 Dela upp funktionerna i en inre funktion och en yttre funktion.
a) h(x) = (x2 + 4x)2
b) h(x) = e2x + 4
7 Derivera med hjälp av kedjeregeln. a) h(x) = (5x + 7)3
b) h(x) = e7x − 2
_______
dy dx
8 Bestäm ___ om y = √ x2 + 3x . 9 En liten ö har formen av en cirkel. På grund
av landhöjningen växer öns area. När öns radie är precis 10,5 m så ökar den med hastigheten 1 cm/år. Med vilken hastighet växer öns area vid det tillfället?
10 Derivera funktionerna a) y = 2 sin x
(
)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
16 Vattendjupet vid inloppet till en hamn kan under ett dygn beskrivas med funktionen f(x) = 11 + 5 sin 0,262x, 0 ≤ x ≤ 24 där f(x) m är vattendjupet och x är antalet timmar efter midnatt. Bestäm med vilken hastighet vattendjupet förändras a) kl. 08:00
b) när vattendjupet är 8 m
17 Ett föremåls hastighet kan bestämmas med funktionen
t v(t) = 10 arctan __ 0 < t < 60 5 där v(t) är hastigheten i m/s efter t s. a) Vid vilken tidpunkt är hastigheten 5 m/s? b) Vid vilken tidpunkt är accelerationen 1,5 m/s2?
18 Bestäm största och minsta värdet till
f(x) = (x2 − 3)2 i intervallet −1 ≤ x ≤ 3.
19 Bestäm lokala maximi- och minimipunkter till f(x) = x3 − 6x + 2.
20 Enligt internationella lufttransportorganisab) y = cos 3x
x c) f(x) = sin π − __ 3
15 Bestäm f’(π) om f(x) = 2x · tan x
tionen IATA:s bestämmelser får summan av höjd, bredd och djup hos en kabinväska inte vara större än 115 cm. Tillåtna mått varierar för olika flygbolag, men ofta är den tillåtna höjden 55 cm. Bestäm den största volym, som en väska med höjden 55 cm kan anta.
4
Övningsblad 2:5
Repetitionsuppgifter kapitel 2 SIDA 2 AV 2
21 Genomsnittskostnaden för att tillverka en
25 Undersök om linjen x = 1 är en vertikal
smartklocka ges av
asymptot till
0,03q2 + 200q + 50 000
S(q) = _____________________ q 0 ≤ q ≤ 10 000 där S(q) är kostnaden i kronor och q är antalet tillverkade smartklockor. Hur många smartklockor ska tillverkas för att genomsnitts kostnaden ska bli så liten som möjligt?
till y = f(x).
x2 + 2x b) f(x) = _______ x
2 a) f(x) = _____ + 2 x+1
6x2 − 3x − 1 till kurvan y = ___________ 2x
influensafall N i Sverige beräknas med modellen 8 000 N(t) = ___________ 1 + 75e−0,86t där t är antalet veckor efter vecka 49 och 0 ≤ t ≤ 12.
28 Bestäm den sneda asymptoten till kurvan
När ökade smittotakten som snabbast och hur snabb var smittotakten då?
29 Grafen till funktionen f har asymptoterna
x2 − 2x y = _______ när x → ∞. x−1
x = −1 och y = x + 1. Skissa grafen till funktionen med hjälp av teckentabellen.
23 Skissa grafen till funktionen f i intervallet
−4 ≤ x ≤ 8 med hjälp av teckentabellen. Ange även eventuella extrempunkter och deras karaktär. −4
f'(x) f(x)
26 Bestäm eventuella horisontella asymptoter
27 Bestäm ekvationen för den sneda asymptoten
22 En vinter kunde antalet inrapporterade
x
4x2 − 4 b) y = _______ 2x − 2
2 a) y = _____ x−1
3
−4 < x < 0
0
0<x<4
4
4<x<8
−
0
−
0
+
↘
−4
↘
−6
↗
8 1
24 Benedict har ritat grafen till
x3 + 3x2 − 9x f(x) = ____________ − 2 300 i GeoGebra. Han påstår att funktionen har en terrasspunkt för x = 0.
Undersök med hjälp av derivata om Benedicts påstående stämmer.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
x
x < −2
−2
−2 < x < −1
−1
−1 < x < 1
1
x>1
f'(x)
+
0
−
ej def
−
0
+
f(x)
↗
−2
↘
ej def
↘
3
↗
x2 + 4 2x
30 Skissa grafen till f(x) = ______ 3 x−2
31 Skissa grafen till f(x) = _____ + 1.
4
Aktivitet 2:3
Asymptoter med GeoGebra SIDA 1 AV 2
I den här aktiviteten får du undersöka asymptoter till rationella funktioner med hjälp av GeoGebra.
1 För att bestämma asymptoten till en given funktion f skriver du
Asymptot(f) i GeoGebra. Använd GeoGebra för att bestämma asympto-
terna till 4x2 a) f(x) = ______ 3 x +8
2x + 1 b) g(x) = ______ 2 x +1
3x + 5 c) h(x) = ______ 2x3
2 a) Förklara varför samtliga funktioner i uppgift 1 har y = 0 som asymptot.
b) Förklara varför g saknar vertikal asymptot.
3 Använd GeoGebra för att bestämma asymptoterna till 2x a) f(x) = _____ x+ 2
2x + 1 b) g(x) = ______ 3x + 1
3x2 + x c) h(x) = _______ 2 2x − 6
4 Förklara varför a) h i uppgift 3 har två vertikala asymptoter 2 b) g i uppgift 3 har den horisontella asymptoten y = __ 3
5 Använd GeoGebra för att bestämma asymptoterna till 4x3 a) f(x) = ______ 2 x +2
x3 − 1 b) g(x) = _________ 2 x +x+2
x3 + 5 c) h(x) = ______ 2x − 6
6 Grafen till h har ingen sned asymptot. Förklara varför. Funktionerna här ovanför är rationella funktioner skrivna i formen p(x) f(x) = ____ där p(x) och q(x) är polynom och q(x) ≠ 0. Om vi antar q(x) att polynomet p har grad n och att polynomet q har grad m, kan funktionerna skrivas i formen axn + … f(x) = ________ m bx + … Polynomens grad n och m har betydelse för vilka horisontella asymptoter de rationella funktionerna har.
7 Studera de rationella funktionerna i uppgift 1, 3 och 5 och deras
asymptoter. Vilka slutsatser kan du dra? Fyll i följande påståenden. a) Om n < m så är den horisontella asymptoten y = ____________ b) Om n = m så är den horisontella asymptoten y = ____________ c) Om n > m så ____________________________________________
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Aktivitet 2:3
Asymptoter med GeoGebra SIDA 2 AV 2
Här nedanför har vi ritat grafen till den rationella funktionen x3 − 10x2 + x + 50 f(x) = ________________ . Den har en vertikal asymptot x = 2 x−2 men saknar horisontella respektive sneda asymptoter. Däremot har grafen en icke-linjär asymptot, nämligen g(x) = x2 − 8x − 15. En funktion g sägs vara en icke-linjär asymptot till f om lim (f(x) − g(x)) = 0. x → ±∞
y 100 50 −8
−6
−4 −2 −50
x 2
4
6
8
10 12 14 16
−100
x3 − 10x2 + x + 50 Vi kan finna icke-linjära asymptoter till f(x) = ________________ genom x−2 att utföra divisionen av de två polynomen i GeoGebra. Det gör vi med kommandot Division(Polynom i täljaren, Polynom i nämnaren).
GeoGebra ger oss resultatet {x2 − 8x − 15, 20}, som betyder att kvoten är x2 − 8x − 15 och resten är 20, dvs. vi ska tolka det som att x3 − 10x2 + x + 50 20 f(x) = ________________ = x2 − 8x − 15 + _____ x−2 x−2 20 Eftersom _____ → 0 då x → ± ∞ , så ser vi att f(x) → x2 − 8x − 15 när x−2 x → ±∞ och drar av det slutsatsen att g(x) = x2 − 8x − 15 är en icke-linjär asymptot till f.
8 Bestäm alla asymptoter, även icke-linjära, till x4 − x3 + x2 − x + 2 a) f(x) = _________________ x2 − 2 x2 − x b) f(x) = ______ x+2 x3 − 2x2 + 4x − 9 c) f(x) = _______________ 2x − 3
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Aktivitet 2:3
Lärarhandledning
Asymptoter med GeoGebra SIDA 1 AV 2
Syfte
I den här aktiviteten får eleverna öva på att använda GeoGebra för att bestämma asymptoter till rationella funktioner. De får också dra slutsatser om hur polynomen i täljare och nämnare påverkar vilka asymptoter den rationella funktionen har. Den sista uppgiften är en fördjupning där eleverna får undersöka icke-linjära asymptoter.
Materiel
Aktivitetsblad Asymptoter med GeoGebra samt dator.
Genomförande
Det kan vara klokt att inleda aktiviteten med en gemensam genomgång av kommandot Asymptot(Objekt). Börja exempelvis med x2 + 4 ____ Asymptot som ger den vertikala asymptoten 2x x = 0 och den sneda asymptoten y = 0,5x. Gå x4 + 4 _____ sedan vidare med Asymptot 2 som helt 2x + 1 saknar linjära asymptoter. Förklara för eleverna att de på liknande sätt ska få använda GeoGebra för att hitta asymptoter till rationella funktioner, och att de ska få resonera kring när en rationell funktion har en horisontell asymptot. Låt därefter eleverna arbeta med aktivitetsstencilen i par.
(
)
(
)
Lösningar 1 a) y = 0 och x = −2 b) y = 0 c) y = 0 och x = 0
2 a) I samtliga fall har polynomet i nämnaren högre grad än polynomet i täljaren. Det innebär att f(x) går mot noll då x går mot ±∞, dvs. funktionens graf närmar sig linjen y = 0.
b) Polynomet i nämnaren antar aldrig värdet noll. Det innebär att funktionsuttrycket är definierat för alla x. Grafen saknar därmed lodrät asymptot.
3 a) y = 2 och x = −2 2 1 b) y = __ och x = − __ 3 3
__ 3 c) y = __ och x = ±√3 2 matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4 a) Funktionen har två lodräta asymptoter,
eftersom polynomet i nämnaren har två nollställen. Funktionen är ej definierad för dessa värden på x och funktionsvärdena går mot ∞ eller −∞ när x närmar sig nollställena.
b) Vi förkortar med x. 1 2 + __ 2x + 1 _____ x ______ g(x) = = 1 3x + 1 __ 3 +
x 2 Vi ser att funktionsvärdet går mot __ då x 3 går mot ±∞, dvs. funktionens graf kommer 2 att närma sig linjen y = __ . 3
5 a) y = 4x b) y = x − 1 c) x = 3
6 Polynomet i täljaren är av grad 3 och polyno-
met i nämnaren är av grad 1. Om vi utför divisionen kommer vi att få ett polynom av grad 2 (tillsammans med eventuell restterm). Grafen till h kommer att därför likna grafen till ett andragradspolynom när x går mot ±∞. Därmed kan inte grafen till h närma sig en rät linje när x → ±∞.
7 a) Om n < m så är den horisontella asymptoten y = 0.
b) Om n = m så är den horisontella a asymptoten y = __ . b c) Om n > m så saknas horisontella asymptoter.
__ __ 8 a) x = √ 2 , x = −√2 och y = x2 − x + 3 b) y = x − 3 och x = −2 x2 x ___ 13 3 c) y = __ − __ + och x = __ 2 4 8 2
4
Övningsblad 3:3
Arean av områden mellan två kurvor Arean mellan två kurvor y
Om f och g är kontinuerliga funktioner och f(x) ≥ g(x) i intervallet a ≤ x ≤ b, så beräknas arean av området som begränsas av kurvorna y = f(x) och y = g(x) samt de räta linjerna x = a och x = b enligt
y = f(x) x y = g(x)
b
Area = ∫ (f(x) − g(x)) dx
x=a
a
1 Beräkna arean av det skuggade området utan digitalt hjälpmedel. Svara exakt. a)
x=b
3 Beräkna arean av det skuggade området med hjälp av primitiva funktioner. y
y
y=3+x
y = 4x
1
y = − sin x π − __ 2
3π − ___ 4
x
π − __ 4
π __
π __
4
3π ___ 4
2
y = ex
4 I figuren skär linjen y = 3 − 2x kurvan
1
y = sin x. Beräkna arean av det skuggade området med hjälp av ett digitalt verktyg. Svara med tre decimalers noggrannhet.
x 1
2
b)
y 3
y y = ex y = 3 - 2x
2
−2
−1
1
y = 2 − x2
1
1
−1
Beräkna sedan arean av det skuggade området utan digitalt hjälpmedel. y = 3x
x
2
2 Bestäm först funktionernas skärningspunkter.
y
y = sin x
x π __ 4
π __ 2
5 Bestäm två funktioner f och g så att 2
∫ (f(x) − g(x)) dx = 1 0
6 Beräkna arean av det skuggade området med hjälp av ett digitalt verktyg. Svara med tre decimalers noggrannhet.
y = 3x2 x
y
__
√ 3 y = ___
1
2
y = cos x x π − __ 2
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
π − __ 4
π __ 4
π __ 2
4
Övningsblad 3:5
Rotationskroppar Volym vid rotation Volym vid rotation runt x-axeln
Volym vid rotation runt y-axeln
När en kurva roterar runt x-axeln i intervallet a ≤ x ≤ b, så kan volymen V av den rotationskropp som bildas beräknas enligt
Om en kurva roterar runt y-axeln i intervallet a ≤ y ≤ b, så kan volymen V av den rotationskropp som bildas beräknas enligt
b
b
V = π ∫ y2 dx
V = π ∫ x2 dy
a
a
3 Området som begränsas av kurvan y = x2 − 1
Lös uppgifterna 1–4 utan digitalt hjälpmedel. Svara exakt.
samt linjerna x = 0 och x = 3 roterar runt x-axeln. Beräkna rotationskroppens volym med hjälp av primitiva funktioner.
x 4 intervallet 0 ≤ x ≤ 4 bildas det en rotationskropp.
1 När linjen y = 1 − __ roterar runt x-axeln i
4 Området som begränsas av kurvan y = ln x samt linjerna y = 0 och y = 1 roterar runt y-axeln. Beräkna rotationskroppens volym med hjälp av primitiva funktioner.
y 1 x −1
1
2
3
5 Området som begränsas av kurvan
4
y = − 4x2 + 12x + 9 och x-axeln roterar runt x-axeln. Beräkna rotationskroppens volym med ett digitalt verktyg. Svara med tre värdesiffror.
−1
a) Skriv ett uttryck för rotationskroppens volym med hjälp av integraler.
__ 6 Området som begränsas av kurvan y = √ x − 1
b) Beräkna rotationskroppens volym med hjälp av primitiva funktioner.
samt linjerna y = −1 och y = 0 roterar runt y-axeln. Beräkna rotationskroppens volym med digitalt verktyg. Svara exakt och med tre värdesiffror.
x 5 intervallet 0 ≤ y ≤ 1 bildas det en rotationskropp.
2 När linjen y = 1 + __ roterar runt y-axeln i
a) Skriv ett uttryck för rotationskroppens volym med hjälp av integraler. b) Beräkna rotationskroppens volym med hjälp av primitiva funktioner. y 1 x −5
−4
−3
−2
−1
1 −1
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
2
3
4
5
4
Aktivitet 3:1
Volymen av rotationskroppar med hjälp av skalmetoden SIDA 1 AV 2
I läroboken Matematik Origo 4 visar vi hur man bestämmer volymen av rotationskroppar. Metoden som vi använder i läroboken kallas för skiv metoden, eftersom vi delar in rotationskroppens kring x-axeln i cylindriska skivor. I den här aktiviteten ska du få lära dig en alternativ metod som kallas för skalmetoden och som främst används för att beräkna volymen av rotationskroppar som bildas kring y-axeln. Här nedanför har vi ritat den räta linjen y = 3 − x och markerat området under kurvan i intervallet 2 ≤ x ≤ 3. y 3
2
1
x 1
2
3
Om vi låter det markerade området rotera runt y-axeln bildas en rotationskropp. Den har formen av en avhuggen kon med ett cylindriskt hål i mitten. y
x 2
3
Volymen av den här rotationskroppen är inte alldeles enkel att beräkna med skivmetoden. Ett sätt är att beräkna volymen av konen som bildas när området under linjen y = 3 − x i intervallet 0 ≤ x ≤ 3 roteras runt y-axeln, och sedan subtrahera med volymen av rotationskroppen som bildas när området under linjen y = 3 − x i intervallet 0 ≤ x ≤ 2 roteras runt y-axeln. Ett smidigare sätt att beräkna volymen är att använda skalmetoden.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Aktivitet 3:1
Volymen av rotationskroppar med hjälp av skalmetoden SIDA 2 AV 2
Vi delar in rotationskroppen i 5 cylinderformade skal enligt figuren. Om man rullar ut det näst innersta cylinderformade skalet, så får man en figur som kan approximeras med ett rätblock med bredden 0,2 l.e., höjden f(2,2) l.e. samt längden 2π ∙ 2,2 l.e. y
0,2
f (2,2) x
2,2 0,2
f (2,2)
2π ∙ 2,2
1 Beräkna det cylinderformade skalets volym. 2 Beräkna rotationskroppens volym genom att addera volymen av alla fem cylinderformade skal.
Tänk dig att vi delar in kroppen i n stycken cylinderformade skal med bredden Δx, höjden f(xn) samt längden 2π ∙ xn l.e.
3 a) Skriv ett uttryck för volymen av vart och ett av dessa skal. b) Skriv ett uttryck för hela rotationkroppens volym. Om vi låter skalens bredd Δx gå mot 0, så medför det att antalet cylinder formade skal går mot oändligheten. Gränsvärdet av summan som du angav i föregående uppgift blir då en integral.
4 a) Skriv en integral som anger rotationskroppens volym. b) Beräkna volymen.
5 Vi låter kurvan y = 3x − x2 rotera runt y-axeln på intervallet 0 ≤ x ≤ 2,5. Beräkna rotationskroppens volym med skalmetoden.
6 Vi låter kurvan y = ln x rotera runt y-axeln på intervallet 1 ≤ x ≤ 3. Beräkna rotationskroppens volym med skalmetoden.
_______ 7 Vi låter kurvan y = √ 2x − x2 rotera runt y-axeln på intervallet 0 ≤ x ≤ 2. Beräkna rotationskroppens volym med skalmetoden.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Aktivitet 3:1
Lärarhandledning
Volymen av rotationskroppar med hjälp av skalmetoden Syfte
Eleverna har tidigare fått beräkna volymen av rotationskroppar med hjälp av skivmetoden. I den här aktiviteten får de härleda ytterligare en metod – skalmetoden – och pröva på att använda skal metoden i några exempel.
Materiel
Aktivitetsblad Skalmetoden samt digitalt hjälpmedel.
Genomförande
Ett sätt att introducera aktiviteten är att låta eleverna fundera på hur de skulle beräkna volymen av rotationskroppen som bildas när det markerade området här nedanför roterar runt y-axeln. y
Lösning 88π 125
1 V = 2π ∙ 2,2 ∙ f(2,2) ∙ 0,2 = ____ v.e. ≈ 2,1 v.e. 48π 25
2 V = ____ v.e. ≈ 6,0 v.e. 3 a) V = 2π ∙ xn ∙ f(xn) ∙ Δx b) V = 2π ∙ x1 ∙ f(x1) ∙ Δx + + 2π ∙ x2 ∙ f(x2) ∙ Δx + ∙ ∙ ∙ + 2π ∙ xn ∙ f(xn) ∙ Δx = n
= ∑ 2π ∙ xn ∙ f(xn) ∙ Δx k =1
3
4 a) V = 2π ∫ x ∙ f(x) dx v.e. 2
7π b) V = ___ v.e. ≈ 7,3 v.e. 3
3
2
375π 32
5 V = _____ v.e. ≈ 37 v.e.
1 x 1
2
3
4
Kroppen som bildas har formen av en kon med ett hål i mitten. Vill man beräkna volymen med skivmetoden får man först bestämma konens volym och sedan subtrahera med hålets volym. Förklara för eleverna att de i den här aktiviteten ska få lära sig en metod som kallas för skalmetoden och som bara kräver en beräkning. Du kan också motivera införandet av skalmetoden genom att betona att skivmetoden, vid rotation runt y-axeln, förutsätter att funktionen man använder är inverterbar, dvs. kan skrivas i formen x = f(y). Detta eftersom man integrerar med avseende på y. Skalmetoden använder sig i stället av integrationsgränser längs x-axeln. Dela ut aktivitetsbladet Skalmetoden till eleverna och låt dem arbeta med det enskilt eller i par. Be gärna eleverna att kolla med dig att de härlett metoden korrekt innan de sätter i gång med uppgift 5–7. Ett alternativ är att, efter en stund, samla klassen för en gemensam genomgång av uppgift 1–4.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
6 V = π(9 ln 3 − 4) v.e. ≈ 18,5 v.e. 7 V ≈ 10 v.e.
Att lyfta fram
Diskutera gärna med eleverna vilka för- och nackdelar de ser med respektive metod. Vilken tycker de är lättast att använda? När är skal- respektive skivmetoden att föredra?
4
Övningsblad 4:4
Komplexa tal i polär form Komplexa tal i polär form Talet z uttrycks i polär form som Multiplikation och division av komplexa tal i polär form z = r(cos v + i sin v) Om z = |z|(cos u + i sin u) och w = |w|(cos v + i sin v), där v = arg z och r = |z|. så gäller att Im
zw = |z||w|(cos (u + v) + i sin (u + v)) |z|
z |z| __ = ___ (cos (u − v) + i sin (u − v)) w
Re
v
Lös följande uppgifter utan digitalt hjälpmedel.
|w|
6 Markera i det komplexa talplanet alla tal z som uppfyller att
1 För ett komplext tal z gäller att Re z = 3
a) |z| = 5
och Im z = 0. Bestäm
b) |z| < 3
a) |z|
c) |z| > 1
b) arg z
d) 1< |z| < 3
c) talet z i polär form
2 För ett komplext tal z gäller att Re z = 0 och Im z = −1. Bestäm a) |z|
π 6
π 6
)
(
)
π π w = 4 cos __ + i sin __ . 3 3 a) Bestäm zw
b) arg z
z b) Bestäm __ w
c) talet z i polär form
3 Skriv talen i formen a + bi. a) 4(cos 180° + i sin 180°) b) cos 90° + i sin 90°
__ π π c) √2 cos __ + i sin __
(
(
7 Låt z = 3 cos __ + i sin __ och
4
4
)
4 Låt z = 2 + 2i. a) Bestäm arg z i grader. b) Bestäm |z|. c) Ange z i polär form.
__
3 1 i√ 5 Låt z = − __ + ____ .
2 2 a) Bestäm arg z i radianer. b) Bestäm |z|. c) Ange z i polär form med argumentet i radianer.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
(
π 4
)
π 4 2π 2π w = 4 cos ___ + i sin ___ . 3 3
8 Låt z = 6 cos __ + i sin __ och
(
)
a) Bestäm z och w i formen a + bi. b) Bestäm zw på två olika sätt. z c) Bestäm __ på två olika sätt. w
4
Övningsblad 4:4
Facit
Komplexa tal i polär form
(
) z 3 π π b) __ = __ cos ( − __ ) + i sin ( − __ ) = ( w 4 6 6 ) 3 π π = __ ( cos __ − i sin __ ) 4 6 6 π 2
π 2
7 a) zw = 12 cos __ + i sin __
1 a) |z|= 3 b) 0° c) z = 3(cos 0° + i sin 0°)
2 a) |z| = 1 b) 270°
__ __ __ 8 a) z = 3√2 + 3i√2 och w = −2 + 2i√ 3
c) z = cos 270° + i sin 270°
3 a) z = −4
b) z = i
(
c) z = 1 + i
__
__
__
( ( )
( ))
z 3 5π 5π c) __ = __ cos − ___ + i sin − ___ = w 2 12 12
(
)
3 5π 5π = __ cos ___ − i sin ___ respektive 2 12 12
2π 5 a) arg z = ___ 3
__ __ __ __ 6 + i ( −6√6 − 6√ 2 ) −6√2 + 6√ ____________________________
z __ = = w
__ __ __16 __ √ √ √ 6− 2 − i( 6 + √ ) 2 ) 3 ( = ______________________
b) |z| = 1
2π 2π c) z = cos ____ + i sin ____ 3 3
6 a)
8
Im
Re
i 1
c)
Im Re
i 1
d)
__
zw = −6√2 − 6√6 + i ( 6√6 − 6√ 2 )
4 a) arg z = 45° __ b) |z| = √ 8 __ c) z = √ 8 (cos 45° + i sin 45°)
b)
)
11π 11π b) zw = 24 cos ____ + i sin ____ 12 12 respektive
Im
i
Re
1
Im 2i
Re 2
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Aktivitet 4:2
Integration med Eulers formel Det kan ibland vara svårt att hitta primitiva funktioner till trigonometriska funktioner. Då kan man ha nytta av att skriva om funktionsuttrycken med hjälp av kända trigonometriska samband. Till exempel kan integralen π
∫ cos2 x dx beräknas genom att skriva om cos2 x med hjälp av formeln för
−π
cos 2x + 1 dubbla vinkeln till __________ . Vi får då ett uttryck som vi mycket lättare 2 kan bestämma en primitiv funktion till.
I den här aktiviteten ska du på liknande sätt få använda dina kunskaper om trigonometri för att finna primitiva funktioner till trigonometriska funktioner. cos 2x + 1 2 π π cos 2x +1 b) Beräkna ∫ cos2 x dx = ∫ _________ dx 2 −π −π
1 a) Visa att cos2 x = __________ .
π
Ett alternativt sätt att beräkna ∫ cos2 x dx är att utnyttja Eulers formel −π eiv = cos v + i sin v Enligt Eulers formel gäller att e ix = cos x + i sin x. Vi får då också att e−ix = cos x − i sin x. eix + e−ix 2
2 a) Visa med hjälp av ovanstående samband att cos x = _______ . e2ix + 2 + e−2ix b) Visa att cos2 x = _____________ 4 e2ix + 2 + e−2ix ___________ 2 cos 2x + 2 c) Använd samma idé för att visa att _____________ = . 4 4 π
d) Beräkna integralen ∫ cos2 x dx med hjälp av omskrivningarna −π
i deluppgift b) och c). Jämför sedan resultatet med det du fick i uppgift 1 b). eix − e−ix 2i
3 a) Visa att sin x = _______ . 2 − e2ix − e−2ix b) Visa att sin2 x = _____________ . 4 2 − e2ix − e−2ix ___________ 2 − 2 cos 2x c) Visa att _____________ = . 4 4 π
d) Beräkna integralen ∫ sin2 x dx med hjälp av omskrivningarna −π
i deluppgift b) och c).
4 a) Skriv om sin2 x cos x med Eulers formel. π/2
b) Beräkna integralen ∫ s in2 x cos x dx genom att använda 0
samma idé som i uppgift 2 och 3.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4
Aktivitet 4:2
Lärarhandledning
Integration med Eulers formel SIDA 1 AV 2
Syfte
Syftet med aktiviteten är att låta eleverna upp täcka en intressant tillämpning av Eulers formel, samt att ge eleven verktyg för att beräkna lite mer komplicerade integraler. Tanken är att aktiviteten ska genomföras utan digitala hjälpmedel, förutom möjligtvis för att kontrollera beräkningar.
Materiel
Arbetsblad Integration med Eulers formel.
Genomförande
Aktiviteten kan fungera både som en uppgift som eleverna löser enskilt och som en uppgift som löses i par. När eleverna löst uppgifterna kan de med fördel kontrollera integralernas värden med ett digitalt hjälpmedel, till exempel GeoGebra eller grafritande räknare.
Utvidgning och variation
Om man vill utvidga uppgiften, kan man låta eleverna komma med förslag på egna, mer kom plicerade funktioner, vars integraler kan beräknas med Eulers formel.
Att lyfta fram
Integration med hjälp av Eulers formel är en effektiv metod då integranden är en lite mer kom plicerad trigonometrisk funktion. Komplicerade trigonometriska omskrivningar kan alltså undvikas om man i stället använder Eulers formel. Metoden visar också att matematiska formler från vitt skilda områden kan kombineras och därigenom förstärka möjligheten att lösa matematiska problem.
Lösningar 1 a) cos 2x = cos2 x − sin2 x =
= cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 cos2 x − 1, dvs. cos 2x + 1 cos2 x = __________ . 2 π π cos 2x + 1 b) ∫ cos2 x dx = ∫ __________ dx = π 2 −π −π
2 a) eix + e−ix = cos x + i sin x + cos x − i sin x = eix + e−ix = 2 cos x, dvs. cos x = _______ . 2
(
)
2
eix + e−ix b) VL = cos2 x = _______ = 2 e2ix + 2 ∙ e2ix ∙ e−2ix + e−2ix = ______________________ = 4 e2ix + 2 + e−2ix = _____________ = HL 4 e2ix + 2 + e−2ix _____________ e2ix + e−2ix + 2 c) VL = _____________ = = 4 4 cos 2x + i sin 2x + cos 2x − i sin 2x + 2 = __________________________________ = 4 2 cos 2x + 2 = ___________ = HL 4 π
π
2 cos 2x + 2 d) ∫ cos2 x dx = ∫ ___________ dx = π, 4 −π −π dvs. samma som i 1 b).
3 a) eix − e−ix = cos x + i sin x − (cos x − i sin x) = eix − e−ix = 2i sin x, dvs. sin x = _______ . 2i
b) VL = sin
(
)
2
ix − e−ix _______ =
2 x = e
2i e 2 − e2ix − e−2ix = _____________ = _____________ = HL −4 4 2ix − 2 + e−2ix
2 − e2ix − e−2ix ______________ 2 − (e2ix + e−2ix) c) VL = _____________ = = 4 4 2 − 2 cos 2x = ___________ = HL 4 π π 2 − 2cos 2x d) ∫ sin2 x dx = ∫ ___________ dx = π 4 −π −π
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna