9789152364963 by Smakprov Media AB

matematik

vux 2b /2c

Prov, övningsblad och aktiviteter

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Emelie Reuterswärd Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson. Foton: Shutterstock

2b/2c

Innehåll

Kapitel 1 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

1.1

Räta linjens ekvation 1

1.2

Räta linjens ekvation 2

1.3

Räta linjens ekvation 3

1.4

Grafisk lösning av ekvationssystem

1.5

Linjära ekvationssystem 1

1.6

Linjära ekvationssystem 2*

1.7

Repetitionsuppgifter Kapitel 1

1.1

Para ihop

1.2

Magiska kvadrater

1.3

Gruppuppgift: Ekvationssystem

1,4

Nollpunktsanalys

1.5

Klasskamp

Prov Kapitel 1 och 2

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.

2b/2c

Innehåll

Kapitel 2 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

2.1

Multiplicera ihop och förenkla 1

2.2

Multiplicera ihop och förenkla 2

2.3

Multiplicera ihop och förenkla 3*

2.4

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 1

2.5

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 2*

2.6

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 3*

2.7

Faktorisera uttryck 1

2.8

Faktorisera uttryck 2*

2.9

Faktorisera och förkorta*

2.10

Ekvationer av typen x2 = a

2.11

Fullständiga andragradsekvationer 1

2.12

Fullständiga andragradsekvationer 2*

2.13

Rotekvationer

2.14

Repetitionsuppgifter Kapitel 2

2.1

Algebrakort

2.2

Kvadratkomplettering och konjugatregeln

2.3

Programmera din räknare

Prov Kapitel 1 och 2

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Innehåll

Kapitel 3 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

3.1

Funktionsbegreppet och beteckningen f(x) 1

3.2

Funktionsbegreppet och beteckningen f(x) 2*

3.3

Andragradsfunktioner 1

3.4

Andragradsfunktioner 2*

3.5

Grafisk lösning av andragradsekvationer

3.6

Repetitionsuppgifter Kapitel 3

3.1

Grafen till en andragradsfunktion

3.2

Maximera din vinst

3.3

Rita grafen med kvadratkomplettering

Prov Kapitel 3 och 4

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Innehåll

Kapitel 4 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

4.1

Implikation och ekvivalens

4.2

Pythagoras sats och avståndsformeln

4.3

Likformighet och kongruens

4.4

Triangelsatser

4.5

Randvinkelsatsen och dess följdsatser

4.6

Visa att*

4.7

Repetitionsuppgifter Kapitel 4

4.1

Upptäck och bevisa

4.2

Samband i cirklar

4.3

Begreppsloop: Geometri

Prov Kapitel 3 och 4

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Innehåll

Kapitel 5 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

5.1

Tiopotenser

5.2

Tiologaritmer 1

5.3

Tiologaritmer 2*

5.4

Potens- och exponentialekvationer

5.5

Logaritmlagar*

5.6

Logaritmer i andra baser*

5.7

Repetitionsuppgifter Kapitel 5

5.1

Logaritmmemory

5.2

Logaritmer i diagram

5.3

Radioaktivt sönderfall

5.4

Logaritmer och exponentiella samband

5.5

Logaritmer på räknaren

5.6

Logaritmalias

5.7

Begreppsloop: Logaritmer

5.8

Sant eller falskt

Prov Kapitel 5 och 6

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Innehåll

Kapitel 6 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

6.1

Lägesmått och spridningsmått

6.2

Normalfördelning

6.3

Regression

6.4

Repetitionsuppgifter Kapitel 6

6.1

Lika lön

6.2

Poppa popcorn

6.3

Klassens längd

6.4

En linjär modell

6.5

Lungkapacitet

6.6

Lufttryck på hög höjd

Prov Kapitel 5 och 6

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Övningsblad 1:1

Räta linjens ekvation 1 Bestäm linjernas ekvationer.

1 a)

3 a)

4 a)

1 1

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2 a)

1 1

2b/2c

Övningsblad 1:1

Facit

Räta linjens ekvation 1 1 a) y = x + 1 b) y = 2x − 4

2 a) y = −x − 1 b) y = −3x + 5

x+5 2

3 a) y = _____     (y = 0,5x + 2,5) 3x b) y = − ___ + 3 2

4 a) y = 3 5x b) y = − ___ + 3 2

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Övningsblad 1:4

Grafisk lösning av ekvationssystem 1 Lös följande ekvationssystem med hjälp av figuren a)

4 Lös ekvationssystemet grafiskt. Börja med att skriva båda ekvationerna i k-form.

{

{ {

y − 3x = 0            2y = −2x + 4

y = −x + 3          y=x+5 = −x + 3 b) y         y=x−3

5 Bestäm med hjälp av figuren om ekvationssystemen har en, noll eller oändligt många lösningar

1 1

{ {

y = 4x + 3        y = 4x − 4 b) 5y = −5x + 5              y = 4x − 4 y

2 Lös följande ekvationssystem med hjälp av a)

figuren

{

y = 2x + 1          y=5 b) y = 2x + 1          x = −3

{

6 Avgör om ekvationssystemet

1 1

{

y = 2x + 1        y = 2x + 3

har noll, en eller oändligt många lösningar.

7 Med hjälp av en figur kan man grafiskt

bestämma lösningen till ett ekvationssystem.

3 Lös ekvationssystemet

{

y=x+2         y = −2x − 1

a) Vilken lösning har ekvationssystemet? b) Vilket är ekvationssystemet? y

grafiskt enligt följande steg: a) Rita linjen y = x + 2 i ett koordinatsystem. b) Rita linjen y = −2x − 1 i ett koordinat system. c) Bestäm koordinaterna för linjens skärningspunkt. Detta är de värden på x och y som löser ekvationssystemet. d) Kontrollera lösningen genom att sätta in de funna värdena på x och y och kontrollera att de löser båda ekvationerna.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

1 1

8 Rita i ett koordinatsystem två räta linjer vars ekvationer tillsammans utgör ett ekvationssystem med lösningen (1, 2).

2b/2c

Övningsblad 1:4

Facit

Grafisk lösning av ekvationssystem

{ y=4 b)    { xy == 30 

= −1   1 a) x

4 I k-form kan ekvationerna skrivas y = 3x

r espektive y = −x + 2. Lösningen till ekvationssystemet ges av

{

x = 0,5       y = 1,5

{ y = 5 b) x    { y==−3−5 

2 a)    x = 3  

3 a), b)

y = −2x − 1

1 y=x+2 x

1 1

5 a) Noll lösningar. Linjerna är parallella och skär aldrig varandra.

{

= −1   x    y=1

d) x = −1 och y = 1 löser den första ekvationen eftersom 1 = −1 + 2 och den andra ekvationen eftersom 1 = −2 ∙ (−1) − 1.

b) En lösning. Linjerna skär varandra i en punkt.

6 Noll lösningar. Linjerna är parallella.

{ y = 4

7 a) x   = 0   b)

{

y = −0,5x + 4             y = −x + 4−5

8 Korrekt lösning är två räta linjer som skär varandra i punkten med koordinaterna (1, 2).

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Övningsblad 2:7 2:1

Faktorisera uttryck 1 Tre metoder för faktorisering 1. Bryt ut största gemensamma faktor:

2x2 − 8x = 2x(x − 4)

2. Använd konjugatregeln:

4y2 − 81 = (2y + 9)(2y − 9)

3. Använd någon av kvadreringsreglerna:

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2

1 Faktorisera uttrycken genom att bryta ut största gemensamma faktor. a) 2x − 6 b) x2 − 5x c) 12a + 9 d) 13b2 + b

2 Faktorisera uttrycken genom att använda konjugatregeln. a) x2 − 4 b) y2 − 1 c)

s2 − t2

d) 9 − 16x2

3 Faktorisera uttrycken genom att använda någon av kvadreringsreglerna. a) x2 + 2x + 1 b) y2 − 12y + 36 c) 100 − 20x + x2 d) 64 + x2 + 16x

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

4 Uttrycken här nedanför kan inte förenklas med någon av de tre metoderna. Förklara varför regeln som är skriven inom parentes inte kan användas för att faktorisera uttrycket. a) x2 + 16 (konjugatregeln) b) 3x2 + 5y (bryta ut gemensam faktor) c) x2 − 2x − 1 (andra kvadreringsregeln)

5 Vad ska stå i rutan för att uttrycken ska kunna faktoriseras med någon av kvadrerings reglerna? a) x2 + 14x + b) y2 − 8y + c) x2 +

+ 36

d) x2 −

+ 25

6 Faktorisera uttrycken a) y2 − 6y + 9 b) 100 − b2 c) 25x2 + 10x + 1 d) 36 − a2

2b/2c

Övningsblad 2:7

Facit

Faktorisera uttryck 1 1 a) 2(x − 3) b) x(x − 5) c) 3(4a + 3) d) b(13b + 1)

2 a) (x + 2)(x − 2) b) (y + 1)(y − 1) c) (s + t)(s − t) d) (3 + 4x)(3 − 4x)

3 a) (x + 1)2 b) (y − 6)2 c) (10 − x)2 d) (8 + x)2

4 a) Uttrycket x2 + 16 kan inte faktoriseras

med konjugatregeln eftersom det är addi tionstecken mellan termerna.

b) Uttrycket 3x2 + 5y kan inte faktoriseras genom att bryta ut en gemensam faktor, eftersom termerna saknar gemensam faktor. c) Uttrycket x2 − 2x − 1 kan inte faktoriseras med andra kvadreringsregeln eftersom det är subtraktionstecken framför termen 1. Uttrycket x2 − 2x + 1 skulle kunna faktori seras med andra kvadreringsregeln.

5 a) 49 b) 16 c) 12x d) 10x

6 a) (y − 3)2 b) (10 + b)(10 − b) c) (5x + 1)2 d) (6 + a)(6 − a)

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c 2c

Övningsblad 2:13

Rotekvationer Rotekvationer När man löser rotekvationer gör man det ofta genom att i något led i lösningen kvadrera båda led i ekvationen. Det kan ge upphov till en ny ekvation som delvis har andra lösningar

än den första ekvationen. Därför måste man alltid pröva sina rötter i den ursprungliga ekvationen när man löser rotekvationer.

Lös ekvationerna

__ 1 √x  = 7

__ 8 y + 8√y  = 0

__ 2 √x  = 0

__ 9 6−x=√ x 

__ 3 √x  = −0,5

__ 10 x − 6√x  + 8 = 0

__ 4 √x  − 5 = −2

__ __ 11 (√x  + 1)(2√x  + 4) = 0

_______ 5 √10 − 2x  = 3

__ 12 x − 2√x  + 1 = 0

___ 5 6 √3x  = __     6

__ 13 3√x  − 2 = 2 − x

__ __ 7 √y   ( √y  − 3 ) = 0

__ 14 −2x = 15 − 11√x 

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c 2c

Övningsblad 2:13

Facit

Rotekvationer 1 x = 49

8 y=0

2 x=0

9 x=4

3 Saknar lösning

10 x1 = 4; x2 = 16

4 x=9

11 Saknar lösning

1 2

5 x = __     25 6 x = ____     108

7 y1 = 0; y2 = 9

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

12 x = 1 13 x = 1 14 x1 = 6,25; x2 = 9

2b/2c

Övningsblad 3:1

Funktionsbegreppet och beteckningen f(x) 1 1 Figuren visar grafen till y = f(x).

4 Låt g(x) = −4x2 + 15. a) Bestäm g(5)

y y = f(x)

b) Bestäm g(−1) x

c) Lös ekvationen g(x) = −1

5 Låt V(x) vara vinsten som ett företag gör om Lös uppgifterna grafiskt. a) Bestäm f(2)

a) V(100) = 16 000 b) V(0) = −12 400

b) Bestäm f(0) c) Lös ekvationen f(x) = 2 d) Lös ekvationen f(x) = 0

2 Figuren visar grafen till y = f(x). y

de säljer x enheter av en produkt. Förklara vad det betyder att

c) ekvationen V(x) = 1 000 000 har lösningen x = 4 335

6 Figuren visar graferna y = f(x) och y = g(x). y y = f(x)

y = f(x)

1 1

y = g(x)

Lös uppgifterna grafiskt.

Sätt ut >, < eller = mellan uttrycken

a) Bestäm f(−1)

a) f(1)

g(1)

b) Lös ekvationen f(x) = −1

b) f(−2)

g(−2)

c) Bestäm f(4)

c) f(4)

g(3)

d) Lös ekvationen f(x) = 8

d) f(0)

g(0)

3 Låt f(x) = 3x − 1. Lös uppgifterna algebraiskt.

7 Använd figuren i föregående uppgift. För vilka

a) Bestäm f(0)

värden på x är

b) Vad har du fått reda på om grafen till f genom att bestämma f(0)?

a) f(x) = g(x)

c) Lös ekvationen f(x) = 0

c) f(x) ≥ g(x)

d) Vad har du fått reda på om grafen till f genom att bestämma f(x) = 0?

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

b) f(x) < g(x)

2b/2c

Övningsblad 3:1

Facit

Funktionsbegreppet och beteckningen f(x) 1 1 a) f(2) = 3 När x = 2 är funktionens värde 3. b) f(0) = −1 När x = 0 är funktionens värde −1. c) x = 1,5 När funktionsvärdet är 2, så är x = 1,5. d) x = 0,5 När funktionsvärdet är 0, så är x = 0,5.

2 a) f(−1) = 3 När x = −1 är funktionens värde 3. b) x = 1 När funktionens värde är −1, så är x = 1. c) f(4) = 8 När x = 4 är funktionens värde 8. d) x1 = −2 och x2 = 4 När funktionens värde är 8, så är x = −2 och x = 4.

3 a) f(0) = −1

4 a) g(5) = −85 b) g(−1) = 11 Lösning: g(−1) = −4 ∙ (−1)2 + 15 = = −4 ∙ 1 + 15 = 11 c) x1 = −2; x2 = 2 Lösning: g(x) = −1 ger ekvationen −4x2 + 15 = −1 som har lösningarna x1 = −2; x2 = 2

5 a) Om företaget säljer 100 enheter, så blir vinsten 16 000 kronor.

b) Om företaget inte säljer några produkter, så gör företaget en förlust på 12 400 kronor. c) För att företaget ska göra 1 miljon i vinst, så måste de sälja 4 335 enheter.

6 a) f(1)

< g(1)

b) f(−2) > g(−2) c) f(4)

> g(3)

d) f(0)

= g(0)

(f(0) = 3 ∙ 0 − 1 = −1) b) Genom att bestämma f(0) har du bestämt funktionens värde när x = 0, dvs. för vilket värde på y som grafen skär y-axeln. 1 c) x = __     3 Lösning: f(x) = 0 ger ekvationen 3x − 1 = 0 1 som har lösningen x = __     3 d) Genom att lösa ekvationen f(x) = 0 har du bestämt för vilka värden på x som funktionsvärdet är 0, dvs. de värden på x där grafen skär x-axeln.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

7 a) x1 = 0; x2 = 3 b) 0 < x < 3 (x är större än 0 men mindre än 3) c) x ≤ 0 och x ≥ 3 (x är mindre än eller lika med 0, samt x är större än eller lika med 3)

2b/2c

Övningsblad 5:2

Tiologaritmer 1 Tiologaritm Tiologaritmen av a skrivs lg a och är det tal som 10 ska upphöjas till för att få talet a, dvs. 10lg a = a. Ett annat sätt att uttrycka detta är: a = 10x ⇔ x = lg a.

Exempel: Bestäm lg 100 000 Lösning: lg 100 000 är det tal som 10 ska

upphöjas till för att få 100 000. Det talet är 5, eftersom 105 = 100 000. Svar: lg 100 000 = 5.

8 a) Förklara med ord vad lg 98 är för tal. b) Gissa ungefär hur stort lg 98 är. c) Kontrollera svaret i b) med en räknare.

9 Bestäm a) 10lg 17

1 a) Vilket tal ska man upphöja 10 till för att få talet 100?

b) Vad är tiologaritmen av 100?

2 a) Vilket tal ska man upphöja 10 till för att få talet 1 000?

b) 10lg 4 c) 10lg 10

10 Skriv som en potens med basen 10 a) 5 b) 83

b) Vad är tiologaritmen av 1 000?

3 a) Vilket tal ska man upphöja 10 till för att få talet 1?

b) Vad är tiologaritmen av 1?

4 a) Vilket tal ska man upphöja 10 till för att få talet 0,1?

c) 60 d) 15 000 e) 0,04

11 Vilket av talen är störst? Motivera ditt svar. a) 10lg 3 eller 103 b) 10lg 5 eller 105 c) 102,1 eller 10lg 2 100

b) Vad är lg 0,1?

5 a) Vilket tal ska man upphöja 10 till för att få talet 108

12 Tiologaritmen av ett tal är 2. Vilket är talet?

13 Tiologaritmen av ett tal är 5. Vilket är talet?

b) Vad är lg 108?

6 a) Vilket tal ska man upphöja 10 till för att få talet 0,01?

b) Vad är lg 0,01?

7 Bestäm på samma sätt som här ovanför a) lg 10

b) lg 1000 000

c) lg 107

d) lg 0,001

e) lg 10 000

f ) lg 100,3

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

2b/2c

Övningsblad 5:2

Facit

Tiologaritmer 1 1 a) 2 eftersom 102 = 100 b) lg 100 = 2

2 a) 3 eftersom 103 = 1 000 b) lg 1 000 = 3

3 a) 0 eftersom 100 = 1 b) lg 1 = 0

4 a) −1 eftersom 10−1 = 0,1 b) lg 0,1 = −1

5 a) 8 eftersom 108 = 108 b) lg 108 = 8

6 a) −2 eftersom 10−2 = 0,01 b) lg 0,01 = −2

8 a) lg 98 är det tal som 10 ska upphöjas till för att få talet 98.

b) Eftersom 102 = 100 borde lg 98 vara lite mindre än 2. c) Räknaren ger lg 98 ≈ 1,99.

9 a) 17 Lösning: lg 17 är precis det tal som 10 ska upphöjas till för att få 17, dvs. 10lg 17 = 17. Jfr 10lg a = a. b) 4 c) 10

10 a) 5 = 10lg 5 b) 83 = 10lg 83 c) 60 = 10lg 60 d) 15 000 = 10lg 15 000 e) 0,04 = 10lg 0,04

7 a) 1 Lösning: lg 10 = 1 eftersom 1 är det tal som 10 ska upphöjas till för att få 10 (jfr 10 = 101) b) 6 Lösning: lg 1 000 000 = 6 eftersom 6 är det tal som 10 ska upphöjas till för att få 1 000 000 (jfr 1000 000 = 106) c) 7 Lösning: lg 107 = 7 eftersom 7 är det tal som 10 ska upphöjas till för att få 107 d) −3 Lösning: lg 0,001 = −3 eftersom −3 är det tal som 10 ska upphöjas till för att få 0,001 (jfr 0,001 = 10−3) e) 4 Lösning: lg 10 000 = 4 eftersom 4 är det tal som 10 ska upphöjas till för att få 10 000 (jfr 10 000 = 104) f ) 0,3 Lösning: lg 100,3 = 0,3 eftersom 0,3 är det tal som 10 ska upphöjas till för att få 100,3

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

11 a) 103 är störst eftersom 103 = 1 000 medan 10lg 3 = 3.

b) 105 är störst eftersom 105 = 100 000 medan 10lg 5 = 5. c) 10lg 2 100 är störst eftersom 10lg 2 100 = 2 100 medan 102,1 är ett tal mellan 102 = 100 och 103 = 1 000.

12 100 (102) 13 100 000 (105)

2b/2c

Övningsblad 6:1

Lägesmått och spridningsmått 1 I tabellen visas antalet soltimmar i april för olika städer i Sverige. Stad

Antal soltimmar i april

Jönköping

156

Göteborg

182

Karlstad

180

Östersund

169

Stockholm

185

Sundsvall

183

Visby

194

Haparanda

194

a) Bestäm medelvärde, median och typvärde. b) Bestäm variationsbredden.

2 I rutan ser du sex statistiska begrepp. Typvärde Variationsbredd Kvartilavstånd Medelvärde Median Standardavvikelse

a) Vilka tre av de sex begreppen är lägesmått? b) Vilka tre av de sex begreppen är spridningsmått? c) Vilket av de tre spridningsmåtten anger spridningen kring medelvärdet?

3 Rita ett lådagram som uppfyller att u medianen är 20 u variationsbredden är 50 u kvartilavståndet är 25

6 I en stad mätte man halten av marknära ozon vid samma klockslag varje dag i en månad. Man gjorde 30 mätningar och redovisade resultaten i ett lådagram. µg/m3 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126

a) Vilken var den högsta halten av ozon som uppmättes? b) Bestäm medianen. c) Bestäm variationsbredden. d) Vid hur stor andel av mätningarna upp mättes en ozonhalt lägre än 120 µg/m3? e) Hur stor andel av mätningarna låg mellan 111 µg/m3 och 120 µg/m3? f ) Kan du säga något om typvärdet utifrån lådagrammet?

7 Ett transportföretag undersökte körtiden för

två olika rutter mellan plats A och plats B. De gjorde mätningarna vid olika tider på dygnet. Här nedanför kan du se körtiderna i minuter: Rutt 1

Rutt 2

a) Beräkna den genomsnittliga körtiden för de båda rutterna. b) Beräkna standardavvikelsen för körtiderna för de båda rutterna.

4 Beräkna medelvärde och standardavvikelse

c) Förklara vad det betyder att standardavvi kelsen för rutt 1 är lägre än för rutt 2.

5 För nyfödda barn på ett sjukhus gäller att

d) För företaget är det viktigt att veta ungefär hur lång tid som körningen tar, oavsett tid på dygnet. Vilken rutt ska de då välja?

för talen 4, 7, 9, 10, och 14 i ett stickprov.

p40 = 3 400 g. Förklara vad det betyder.

2b/2c

Övningsblad 6:1

Facit

Lägesmått och spridningsmått 1 a) Medelvärde: 180 (180,375)

6 a) 123 µg/m3

Median: 183 (182,5)

b) 118 µg/m3

Typvärde: 194

c) 16 µg/m3

b) 38

d) 75 %

2 a) Medelvärde, median och typvärde b) Variationsbredd, kvartilavstånd och standardavvikelse

e) 50 % f ) Nej, man kan inte säga något om typvärdet (det vanligast förekommande värdet) utifrån lådagrammet.

c) Standardavvikelse

7 a) Medelvärdet för rutt 1 = medelvärdet för

3 T.ex.

rutt 2 ≈ 25 minuter

b) Standardavvikelse för rutt 1: s ≈ 2,0 Standardavvikelse för rutt 2: s ≈ 9,2 0

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

4 Medelvärde: 8,8 Standardavvikelse för stickprov: s ≈ 3,7

5 Det betyder att den 40:e percentilen är 3 400 g, dvs. ungefär 40 % av de nyfödda väger mindre än 3 400 g.

c) Att standardavvikelsen är lägre för rutt 1 betyder att körtiderna för rutt 1 är mer sam lade kring medelvärdet. Man kan säga att spridningen av körtiderna för rutt 1 är lägre. d) De ska välja rutt 1 eftersom körtiderna är väl samlade kring medelvärdet 25 minuter (standardavvikelsen är lägre), medan kör tiderna för rutt 2 är mer spridda: ibland tar det 14 minuter, ibland tar det 40 (standard avvikelsen är högre).

2b/2c

Aktivitet 1:2

Magiska kvadrater En magisk kvadrat har egenskapen att summan av talen i varje rad, kolumn och diagonal är densamma. Ett exempel på en magisk kvadrat av storlek 5 × 5 ser du här nedanför. Summan av talen i varje rad, kolumn och diagonal är 65. 25

u Bestäm talen w, x, y och z så att figuren här nedanför blir en magisk kvadrat.

u Bestäm talen w, x, y och z här nedanför så att figuren blir en magisk kvadrat.

u Summan av de n första positiva heltalen kan beräknas med formeln

n(n + 1) 1 + 2 + 3 + … + n = _______     2 Använd detta för att visa att summan av varje rad, kolumn och diagonal n3 + n är  ______   i en magisk kvadrat av storlek n × n. 2

2b/2c

Aktivitet 1:2

Lärarhandledning

Magiska kvadrater SIDA 1 AV 2

Syfte och centralt innehåll

I den här aktiviteten får eleverna möta matematiken i ett kulturhistoriskt sammanhang. Samtidigt får de nytta av sina algebraiska färdigheter och kunskaper om ekvationssystem.

Historik

Magiska kvadrater har varit kända långt tillbaka i tiden och över hela världen. Genom historien har de förknippats med vidskeplighet och magi. Bland annat förekommer den magiska kvadraten i uppgift 1 (se nedan) i en kinesisk sägen. 4

Även på 1400–1500-talen i Europa lät man sig inspireras av magiska kvadrater. Liksom i Kina omgärdades de av mystik och talmagi. Bland annat nämndes magiska kvadrater i samband med astrologi och i vissa texter från den här tiden tilldelas varje planet en egen magisk kvadrat. Den magiska kvadraten i uppgift 2 förekommer i konstverket Melankolin av den tyske konstnären Albrecht Dürer. I den magiska kvadraten är inte bara summan av talen i varje rad, kolumn och diagonal 34. Summan 34 fås också om man summerar talen i 2 × 2-kvadraterna i något av de fyra hörnen eller talen i 2 × 2-kvadraten i mitten. Utmana gärna eleverna att hitta fler mönster med fyra rutor i den magiska kvadraten vars summa är 34.

Sägnen berättar att en sköldpadda kravlade sig upp ur floden Lo med en magisk 3 × 3-kvadrat ingraverad i skalet på ryggen. De mystiska tecknen överlämnades till kejsaren Yu (2 000 f.Kr.) och ansågs bära budskap från gudarna. De magiska kvadraterna var en del av den kinesiska idévärlden som bärare av talmagi och förekom bland annat i astrologiska förutsägelser. I Indien förekommer så kallade Kubera Kolam, en sorts magiska kvadrater ritade i rismjöl med talen: 27

Det är samma magiska kvadrat som förekom på sköldpaddans skal i den kinesiska sägnen, men med talet 19 adderat till varje tal. Summan av talen i varje rad, kolumn och diagonal är 72. Att skapa en Kubera Kolam är ett sätt att tillbe den hinduiske guden Kuber som är herre över rikedom och välstånd. Ofta placeras ett mynt eller en blomma i varje ruta.

Albrecht Dürer Melankolin (1514)

Lösning u

2b/2c

Aktivitet 1:2

Lärarhandledning

Magiska kvadrater SIDA 2 AV 2 u Summan av talen i varje rad, kolumn och diago-

nal i en magisk kvadrat kallas ibland för den magiska konstanten, k. Om vi summerar alla tal i en magisk kvadrat av storlek n × n så summerar vi alla naturliga tal från 1 till n2: 1 + 2 + 3 + … + n2. Enligt formeln för summan av de n första naturliga talen är detta lika n2(n2 + 1) med:  _________   . Denna summa får vi även om 2 vi multiplicerar antalet rader (n) med summan i varje rad (k). Vi får likheten: n2(n2 + 1)   n ∙ k =  _________ 2 n(n2 + 1) ______ n3 + n k = ________     =     2 2 v.s.v.

Utvidgning och variation

Förutom magiska kvadrater finns även andra magiska figurer t.ex. magiska stjärnor och magiska kuber. Här nedanför ser du ett exempel på en magisk stjärna där summan av de fyra talen mellan varje par av hörn i stjärnan är 24. Till exempel är 5 + 10 + 3 + 6 = 24. 1

6 12

Ett exempel på en sådan kvadrat ser du här nedanför. Med hjälp av primtalsfaktorisering kan eleverna visa att produkten av talen i varje rad, kolumn och diagonal är densamma. 12

En annan variant av magisk kvadrat är en kvadrat som förblir magisk om varje tal kvadreras. En sådan kvadrat kallas bimagisk. Så sent som under 2000-talet har man visat att det inte finns några äkta bimagiska kvadrater (n × n) med talen 1 till n2, av lägre ordning än 8 × 8. Här nedanför ser du ett exempel på en bimagisk kvadrat konstruerad av Georges Pfeffermann i slutet av 1800-talet: 56

2 4

Man kan också skapa magiska kvadrater genom att multiplicera talen i stället för att addera dem.

2b/2c

Aktivitet 4:3

Lärarhandledning

Begreppsloop: Geometri Syfte och centralt innehåll

Nästa elev svarar. På detta sätt skapas en kedja av frågor av typen ”Vem har…?” och svar i formen ”Jag har…”. Övningen avslutas när eleven som har SLUT-kortet har besvarat den sista frågan.

Materiel

Om en fråga inte följs av något svar kan man be eleven att läsa frågan på nytt. Om det fortfarande inte är någon elev som svarar kan man be gruppen att gemensamt försöka lista ut vad som borde stå på lappen som är näst på tur. Denna elev ger sig då till känna och läser nästa fråga.

Syftet med den här aktiviteten är att repetera och befästa geometriska begrepp. Aktiviteten tränar framförallt begreppsförmågan.

Aktivitetsstenciler klippta i lappar.

Genomförande

Den här aktiviteten fungerar bra som en repeti tion av grundläggande geometriska begrepp och satser. Övningen tar ca 10 minuter att genomföra och kan med fördel genomföras i början eller i slutet av en lektion. Be eleverna att resa sig upp och dela ut (minst) en lapp till varje elev. Eleverna ska inte visa sin lapp för någon annan. Den elev som får lappen ”START” ska också få lappen ”SLUT”. Aktiviteten börjar med att den elev som har startlappen läser upp vad som står där: Vem har en sträcka som går från medelpunkten till randen på en cirkel?. Den elev ska svara som har lappen där det står: Jag har radie. Denna elev fortsätter sedan att läsa frågan som står på hans eller hennes lapp: Vem har namnet på en triangel där alla sidor är lika långa?.

Begreppsloopen består av totalt 22 lappar. Har man färre elever kan man dela ut fler än en lapp till varje elev. Har man fler elever kan man i några fall låta två elever dela på en lapp.

Utvidgning och variation

Om man vill kan man utesluta lappar som man tycker är för svåra genom att för hand gå in och ändra svaret på någon lapp och på så sätt ändra loopens ’riktning’. Man kan också själv lägga till egna lappar.

2b/2c

Aktivitet 4:3

Begreppsloop: Geometri

START

Jag har radie.

Vem har en sträcka som går från medelpunk ten till randen på en cirkel?

Vem har namnet på en triangel där alla sidor är lika långa?

Jag har liksidig triangel.

Jag har sidovinklar.

Vem har namnet på de vinklar som tillsam mans bildar 180°?

Vem har en vinkel som är hälften så stor som medelpunktsvinkeln till samma cirkelbåge?

Jag har randvinkel.

Jag har vertikalvinklar.

Vem har namnet på de vinklar som står mitte mot varandra då två linjer skär varandra?

Vem har de två villkor som ska vara uppfyllda för att två månghörningar ska vara likformiga?

Jag har 1) Motsvarande vinklar ska vara lika och 2) Förhållandet mellan motsvarande sidor ska vara lika.

Jag har bisektris.

Vem har den stråle som delar en vinkel mitt itu?

Vem har storleken på den randvinkel som står på en halvcirkelbåge?

2b/2c

Aktivitet 4:3

Begreppsloop: Geometri

Jag har 90°.

Jag har Pythagoras sats.

Vem har namnet på den sats som bara gäller i rätvinkliga trianglar och som säger att summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan? (a2 + b2 = c2)

Vem har den sats som säger att den topp triangeln som bildas av en parallelltransversal är likformig med hela triangeln?

Jag har topptriangelsatsen.

Jag har kongruenta figurer.

Vem har namnet på figurer som är identiska med varandra till både storlek och form?

Vem har de tre kongruensfallen för trianglar?

Jag har VSV (vinkel-sida-vinkel), SVS (sidavinkel-sida) och SSS (sida-sida-sida).

Jag har likbent triangel.

Vem har namnet på en triangel där två sidor är lika långa?

Vem har en vinkel som är 180°.

Jag har en rak vinkel.

Jag har trubbig vinkel.

Vem har en vinkel som är större än 90° men mindre än 180°?

Vem har en vinkel som bildas mellan två radier i en cirkel?

2b/2c

Aktivitet 4:3

Begreppsloop: Geometri

Jag har medelpunktsvinkel.

Jag har likformiga figurer.

Vem har namnet på figurer som har samma form men inte nödvändigtvis samma storlek?

Vem har en vinkel som är mindre än 90°?

Jag har spetsig vinkel.

Jag har transversalsatsen.

Vem har satsen som säger att en parallell transversal delar sidorna i en triangel i lika förhållande?

Vem har den sträcka som går genom medel punkten i en cirkel och är dubbelt så lång som radien?

Jag har diameter.

Jag har 60°.

Vem har storleken av vinklarna i en liksidig triangel?

SLUT

2b/2c

Aktivitet 5:8

Sant eller falskt Ta ställning till om följande påståenden är sanna eller falska. Motivera era val. u Summan 103 + 10lg 3 är 3 003

___ √

u Ekvationen lg x = 0,5 har lösningen x = 10 . u Tiologaritmen av 0 är 1 u Av talen 10lg 2,1, 2, 102,1 och lg 2,1 så är 2 det minsta. u lg 500 = 2 + lg 5 u Tiologaritmen av ett tal kan aldrig vara negativ. u lg 503 = 3

2b/2c

Aktivitet 5:8

Facit

Sant eller falskt u Falskt. Summan 103 + 10lg 3 är 1 003.

___ u Sant. Det gäller att lg √ 10  = 0,5 eftersom ___ 10 . 100,5 = √ u Falskt. Tiologaritmen av 0 är inte definierad

eftersom det inte finns något tal x sådant att 10x = 0. Däremot är det sant att lg 1 = 0, eftersom 100 = 1. u Falskt. Talet lg 2,1 är minst eftersom det är

mindre än 1. 10lg 2,1 = 2,1 102,1 > 102 = 100 lg 2,1 < lg 10 = 1

u Sant, eftersom lg 500 = lg 100 + lg 5 = 2 + lg 5

enligt logaritmlag 1. Vi kan också motivera likheten såhär: 102 + lg 5 = 102 ∙ 10lg 5 = 100 ∙ 5 = 500 2 + lg 5 är alltså det tal som 10 ska upphöjas till för att få 500, dvs. lika med lg 500. u Falskt. Till exempel är lg 0,1 = −1. Däremot är

det sant att man inte kan bestämma tiologaritmen av negativa tal. u Falskt.

lg 103 = 3 men lg 503 = lg 125 000 ≈ 5

2b/2c

Aktivitet 6:3

Lärarhandledning

Klassens längd Syfte och centralt innehåll

I den här aktiviteten får eleverna undersöka om längderna i klassen är normalfördelade. Aktivite ten repeterar begreppen normalfördelning, med elvärde och standardavvikelse och fungerar bra som en lektionsstart.

Materiel

Måttband (eventuellt)

Förkunskaper

Eleverna bör ha grundläggande kunskaper om normalfördelning och standardavvikelse.

Genomförande

För att genomföra den här aktiviteten bör klassen helst bestå av minst 20 elever. Berätta för eleverna att längderna i en population i regel är normalför delade och att eleverna ska få undersöka hur väl detta stämmer för den egna klassen. Be eleverna att ordna sig i storleksordning från den kortaste till den längsta. När eleverna står uppradade, låt dem en och en ange sin längd i centimeter och sammanfatta resultaten i en tabell på tavlan. Elever som är osäkra på sin längd kan få ställa sig mot en vägg och mäta längden med ett måttband. Markera även längderna längs en tallinje, numre rad från t.ex. 150 cm till 200 cm, på tavlan för att illustrera hur fördelningen av elevernas längder

ser ut. Det kan vara illustrativt att markera tjejer nas längder med en färg och killarnas längder med en annan. 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

Låt eleverna ta sina platser igen och uppmana dem att beräkna medelvärde och standardavvikelse för värdena i tabellen. Beräkna därefter värdena _ _ _ _ _ _ x − 3σ, x − 2σ , x − σ, x, x + σ, x+ 2σ och x+ 3σ och markera dem längs tallinjen. Låt eleverna beräkna hur stor andel av eleverna i klassen som _ _ _ befinner sig i intervallen x ± σ, x± 2σ, x± 3σ och jämför detta med de förväntade andelarna hos ett normalfördelat material. Diskutera eventuella avvikelser. Om fördelningen avviker från normal fördelningen kan man nämna att det ofta krävs mycket stora populationer för att få ett normalför delat resultat och att kroppslängden beror av kön.

Utvidgning och variation u Om man vill kan man låta eleverna göra mot

svarande beräkningar endast för tjejernas läng der respektive endast för killarnas längder. u Jämför gärna med den statistik över medel

längd i Sverige som finns på Statistiska central byråns hemsida, www.scb.se.