matematik
Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö
1c
Sm a
kpro v!
Innehåll 1 Tal
6
1.1 Tal i olika former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Talmängder 8 Negativa tal 9 Bråk 12 Addition och subtraktion av bråk 15 Multiplikation och division av bråk 17 Tal i decimalform 20
1.2 Räkneregler för potenser
...............
25
Potenser med positiva heltalsexponenter 25 Potenser med negativa exponenter och med exponenten noll 29 Potenser med rationella tal i exponenten 33
1.3 Prefix och prioriteringsregler . . . . . . . . . . . 37 Prefix 37 Prioriteringsregler 41
2 Algebra
56
2.1 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Teckna och tolka uttryck 58 Förenkla uttryck 62 Multiplikation av uttryck i parenteser 66 Faktorisera uttryck 70
2.2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ekvationslösningens grunder 72 Mer om ekvationer 76 Ekvationer med nämnare 79 Problemlösning med ekvationer 82
2.3 Potensekvationer och olikheter. . . . . . . . 87 Enkla andra- och tredjegradsekvationer 87 Potensekvationer 91 Olikheter 95
2.4 Formler och talföljder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Att använda formler 100 Formler i kalkylprogram 104 Nya ämnesplanen Mönster och formler 109 Aritmetiska talföljder 113 Programmering: Gissa ett tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Innehållet . . . . . . . 46 i Matematik Programmering: Fibonaccis talföljd. . 117 Origo 1c är anpassat efter Kvadratrötter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ämnesplanen som träderUppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Historia: Fibonaccis talföljd. . . . . . . . . . . . 120 i kraft 2021. Historia: Talsystem genom historien.. . 50 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Procent
128
3.1 Procentuella förändringar . . . . . . . . . . . . . 130 Procent, promille och ppm 130 Förändringsfaktor 135 Upprepade procentuella förändringar 140
3.2 Privatekonomi i kalkylprogram . . . . . . . . 145 Sparande och ränteberäkningar 145 Lån och ränteberäkningar 149
Programmering: Perfekta tal . . . . . . . . . . 154 Historia: Procenttecknet och Big Mac-index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4 Samband och funktioner
166
4.1 Linjära samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Koordinatsystem 168 Linjära modeller 171 Proportionalitet 176 Mer om proportionaliteter 181
4.2 Räta linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Från ekvation till graf 185 Från graf till ekvation 188 Räta linjens ekvation i k-form och i enpunktsform 194 Parallella och vinkelräta linjer 198
4.3 Funktioner
................................
204
Funktion och funktionsvärde 204 Ekvationslösning med grafritande hjälpmedel 209 Definitionsmängd och värdemängd 214 Exponentialfunktioner 218 Potensfunktioner 224
Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Historia: Kryptering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5 Statistik och sannolikhet
5.1 Statistiska undersökningar
240 ............
242
Felkällor inom statistik 242 Felmarginal och signifikans 248 Korrelation och kausalitet 255
5.2 Enkla slumpförsök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 262 Sannolikhet som relativ frekvens 266
5.3 Slumpförsök i flera steg . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Produktregeln 271 Träddiagram 276 Komplementhändelse 282
Programmering: Slumpförsök med tärningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Historia: Sannolikhetslära och spel . . 287 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6 Trigonometri och vektorer
300
6.1 Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Likformiga trianglar 302 Tangens för en vinkel 306 Sinus och cosinus 310 Att bestämma vinklar med hjälp av inversa funktioner 314 Att bestämma sträckor och vinklar i koordinatsystem 317
6.2 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Vektorer och skalärer 320 Räkneoperationer med vektorer 326 Subtraktion av vektorer 329 Vektorer i koordinatform 332 Längden av en vektor 338
Programmering: Approximera π . . . . . . 341 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Historia: Trigonometri och planeter . . 344 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Facit
356
Register
396
2
Algebra
Delkapitel 2.1 Algebraiska uttryck 2.2 Ekvationer 2.3 Potensekvationer och olikheter 2.4 Formler och talföljder
Förkunskaper ■ Prioriteringsreglerna ■ Beräkningar med negativa tal ■ Potenser
Centralt innehåll ■ Hantering av formler och algebra
iska uttryck, inklusive att faktorisera och multiplicera uttryck.
■ Metoder för att lösa linjära
ekvationer.
■ Begreppen intervall och linjär
olikhet. Metoder för att lösa linjära olikheter.
■ Metoder för att lösa potens
ekvationer.
■ Problemlösning som omfattar att
upptäcka och uttrycka generella samband.
■ Användning av digitala verktyg för
att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning.
■ Exempel på hur programmering
kan användas som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder.
56
O
rdet algebra kommer från arabiskans al-jabr och betyder ungefär metoder för ekvationslösning. Det första vetenskapliga arbetet om algebra skrevs 830 e.Kr. av den persiske matematikern al-Khwarizmi. Kring år 1600 började man beteckna tal med hjälp av bokstäver eller symboler. Det räknas som den moderna algebrans födelse. I dag är algebra inte bara ett eget matematiskt område, utan också ett hjälpmedel inom alla grenar av matematiken. Många matematiska formler som bygger på algebra har stor betydelse i vardagslivet, ofta utan att vi är medvetna om dem. Till exempel används en typ av formler i frukt- och grönsaksvågen i affären, i taxibilens taxameter och när du streamar musik till din mobiltelefon. När du är klar med det här kapitlet ska du kunna u förenkla, tolka och faktorisera algebraiska uttryck u lösa förstagradsekvationer och olikheter u lösa potensekvationer u använda ekvationer för att lösa problem
Du ska kunna
u ställa upp, använda och skriva omViformler inleder varje kapitel u använda formler i kalkylprogram med att formulera
lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Bottental I figuren här nedanför har vi skrivit talen 3, 11, 4 och 17 på den första raden. Talen i de tomma rutorna får man genom att addera talen närmast ovanför. Resultatet i den nedersta rutan kallas bottentalet till 3, 11, 4 och 17.
Inledande uppgift
De inledande uppgifterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om och utmanar deras resonemangs- och problemlösningsförmåga.
u Beräkna bottentalet till utgångstalen
3, 11, 4, 17
u Vilket tal ska stå i rutan längst till höger
om bottentalet ska bli 30?
3
11
4
5
1
17
14
8
30 u Kan man utifrån utgångstalen avgöra om bottentalet blir jämnt eller udda?
Formulera en regel. u Hur ändras regeln som du kom fram till om första raden innehåller fem rutor?
57
4.2 Räta linjens ekvation Från ekvation till graf I de föregående avsnitten visade vi hur linjära samband kan användas för att beskriva situationer där något ökar eller minskar jämnexempel takt, t.ex. hur kostTeorii och naden för lösviktsgodis ökar med antalet hekto du köper. I det häräravsnittet Teorigenomgångarna skrivna för att varaför lätta att följa, utan att för visar vi hur man ritar grafen till ett linjärt samband hand.
Lösningen till ekvationen
4
den skull väja för det som är svårt. är rikligt kommenterade Varje linjärt samband kan beskrivas med en Exemplen ekvation av formen y = kx + m, och har utförliga förklaringar. I där k och m är konstanter. Om till exempel k = 2 och m = 1 får vi ekvatiosamband med exemplen finns nen y = 2x + 1. Den ekvationen innehåller två obekanta, x och y. Till varje ibland kortfattade instruktioner till värde på x som vi sätter in i ekvationen, så finns det precis ett värde på y hur man använder ett digitalt verksom gör likheten sann. tyg. Vi utgår från GeoGebra.
Väljer vi till exempel x = 1, så får vi y = 2 · 1 + 1 = 3. Och väljer vi x = 2, så får vi y = 2 · 2 + 1 = 5. Lösningen till ekvationen y = 2x + 1 består av alla sådana par av tal x och y. Ekvationens graf
Rita grafen
Det finns oändligt många par av tal, x och y, som är lösningar till ekvationen y = 2x + 1. När varje sådan lösning markeras som en punkt med koordinaterna (x, y) i ett koordinatsystem, bildar de tillsammans ekvationens graf. Eftersom ekvationen beskriver ett linjärt samband är grafen en rät linje. För att rita grafen till ekvationen y = 2x + 1 för hand, kan man göra så här: 1 Välj lämpliga x-koordinater och beräkna motsvarande
y-koordinater med hjälp av ekvationen. 2 Sammanställ koordinaterna i en värdetabell. Koordinater på samma rad
motsvarar x- och y-koordinater för en punkt. 3 Pricka in punkter i koordinatsystemet med hjälp av koordinaterna
i värdetabellen. Dra en rät linje genom punkterna. 1 Ekvation
y = 2x + 1 Välj lämpliga värden på x, t.ex. x = 1 ger y = 2 · 1 + 1 = 3 x = 2 ger y = 2 · 2 + 1 = 5 o.s.v.
176
SAMBAND OCH FUNKTIONER 4.2 RäTA LINjENS EKvATION
2 Värdetabell
Sammanställ i en tabell x
y
–1
–1
0
1
1
3
2
5
3 Graf
Pricka in punkterna och sammanbind dem y
y = 2x + 1 (1, 3) x
1 1
Ekvation, tabell, graf
Ekvationen, värdetabellen och grafen på föregående sida är olika sätt att beskriva samma samband. Ekvationen gäller för alla värden på x medan värdetabellen endast visar fyra talpar som löser ekvationen. Av praktiska skäl kan man endast rita grafen i ett begränsat område i koordinatsystemet. Det området bör väljas med omsorg, så att till exempel skärningen med y-axeln framgår. Grafen bör ritas ut i hela området för att visa att linjen inte har ett slut.
Exempel: Priset på en taxiresa bestäms av framkörningsavgiften 40 kr och kilometerkostnaden 21 kr/km. a) Ange en ekvation som beskriver hur den totala kostnaden y kr beror av sträckan x km. b) Rita grafen till ekvationen. Lösning: a) y = 21x + 40
Fast kostnad
kr
Kostnaden ökar med 21 kr/km
600
1 x = 0 ger y = 21 · 0 + 40 = 40
x = 10 ger y = 21 · 10 + 40 = 250 2
x
y = 4x – 1 saknas y-värderna.
a) Rita av värdetabellen och fyll i de tal som saknas. b) Rita grafen till y = 4x – 1 för hand i ett koordinatsystem.
500 400 300
y
200
0
40
100
10
250
x 5
Nivå 1 4201 I värdetabellen till ekvationen
y
700
b) Vi följer de tre stegen på sidan 177. Det räcker med två punkter för att rita en rät linje
4
3
10 15 20 25 30 km
4203 I värdetabellen till ekvationen
y = –3x + 2 saknas y-värderna.
x
y
0 1 2 3 4
4202 En punkt med x-koordinaten 3 ligger på den
räta linje som beskrivs av ekvationen y = 0,5x + 6. Vilken är punktens y-koordinat?
a) Rita av värdetabellen och fyll i de tal som saknas. b) Rita grafen till y = –3x + 2 för hand i ett koordinatEnklare ingångar system.
x
y
–2 –1 0 1 2
Den nya upplagan innehåller fler enkla 4204 Bestäm en lösning inledande uppgifter för att till ekvationen y = 3x + 5. bättre möta elevernas förkunskaper. 4205 Avgör om punkten med koordinaterna (2, –4)
ligger på den räta linje som beskrivs av ekvationen y = 4x – 12.
SAMBAND OCH FUNKTIONER 4.2 RäTA LINjENS EKvATION
177
Nivå 1
Nivå 2
3208 Återskapa kalkylbladet i exemplet på förra
3212 Kalkylbladet här nedanför kan användas för
sidan och besvara frågorna.
att beräkna den totala månadskostnaden för ett bolån den första månaden.
a) Hur stor bli räntan vid den 15:e inbetalningen? b) Hur stor är den 17:e inbetalningen?
3209 Gå tillbaka till exemplet på sidan 146. a) Hur stor är räntan vid denUppgifter första inbetalpå tre nivåer Till varje avsnitt ningen om årsräntan i stället är 7,95 %? finns
3
varierade uppgifter på tre b) Vad ska de betala vid första inbetalningen nivåer, både för den elev som om de i stället amorterar lånet på 10 år?
behöver enkla ingångar och för den elev som behöver 3210 Josefin och Carina lånar 240utmaningar. 000 kr för att
köpa en bil. Årsräntan på lånet är 6 % och amorteringstiden är 10 år. Amorteringen sker månadsvis. a) Hur mycket ska de amortera varje månad? b) Hur mycket ska de betala vid den första inbetalningen? c) Hur stor blir räntekostnaden vid den 15:e inbetalningen?
Skapa ett kalkylblad enligt mallen här ovanför. Celler som är markerade med grå färg ska kunna ändras, medan övriga celler ska beräknas automatiskt med hjälp av formler.
3213 Använd kalkylbladet i föregående uppgift för att besvara följande frågor.
a) För en viss lägenhet är köpeskillingen 1 675 000 kr och avgiften till föreningen 3 807 kr. Räntesatsen för lånet är 2,3 %. Hur stor blir den totala kostnaden för lägenheten den första månaden?
3211 Erik har köpt en lägenhet där kontantinsatsen är 675 000 kr. Han får låna 80 % av insatsen. a) Hur mycket pengar får han låna? b) Erik ska amortera 3 000 kr varje månad. Hur lång tid tar det innan lånet är betalt? c) Årsräntan på lånet är 4,29 %. Hur stor är räntekostnaden första månaden? d) Hur mycket kommer Erik betala totalt för lånet?
148
PROCENT u 3.2 PRIVaTEkONOMI I kalkylPROgRaM
b) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen sänks med 0,5 procentenheter? c) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen ökar med 1,5 procentenheter? d) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om du köper en lägenhet som är dubbelt så dyr, men med en hälften så hög avgift till föreningen? Räntesatsen är 2,3 % och amorteringstiden är 40 år.
3214 Hitta en bostadsrätt i din kommun som du
skulle kunna tänka dig att köpa. Ta reda på aktuella räntor och använd ett kalkylprogram för att beräkna vad månadskostnaden för bostadsrätten skulle bli.
Nivå 3
Öppna uppgifter
En färgad ruta signalerar
3215 Robin och Sander lånar 240 000 kr för att att uppgiften är öppen.
köpa en bil. Amorteringstiden årinte ochhar Det innebärär att10 den årsäntan på lånet ärett 6 %. Bilfirman erbjuder givet svar och många ett så kallat annuitetslån, att gångervilket kräverinnebär en samma belopp betalas varje månad. I det fasta matematisk diskussion. beloppet ingår både ränta och amortering.
3216 Två lån är beskrivna i nedanstående diagram, ett annuitetslån och ett lån med rak amortering. Betalningen (räntekostnad och amortering) sker varje månad under 4 år. I varje diagram presenteras varje månads amorteringsoch räntekostnad. Lånebeloppen är 84 000 kr och räntesatserna är lika för de båda lånen.
2 500 2 000 1 500 1 000 500
För att bestämma hur stort belopp som ska betalas in varje månad (annuiteten) kan följande formel användas
4 kr
r(1 + r)n a = L ∙ __________ (1 + r)n – 1
3 500
där a är annuiteten, L är lånebeloppet, r är månadsräntan i decimalform och n är antalet inbetalningar.
2 500
a) Skriv in formeln i ett kalkylprogram och beräkna hur stor annuitet som Robin och Sander ska betala varje månad.
Vilka fördelar och nackdelar finns det med d) rak amortering e) annuitetslån
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
mån
Lån med rak amortering
3 000
2 000 1 500 1 000 500 4
b) Hur stor blir den totala räntekostnaden för lånet? c) Beräkna den totala räntekostnaden för lånet i uppgift 3210 (Josefin och Carina). Vilka slutsatser kan du dra?
Annuitetslån
kr
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Räntekostnad
mån
Amortering
a) Trots att räntesats och lånebelopp är lika för de båda lånen, är räntekostnaden för lånen olika. Bestäm räntekostnaden för varje lån. b) Räntekostnaden är olika för de två lånen trots att räntesatsen och lånebeloppen är lika. Förklara varför. (Np Ma1b ht 2012, omarbetad)
Resonemang och begrepp u I vilka sammanhang används ränta? u Förklara vad som menas med att ett kapital växer med ränta på ränta. u Vad innebär det att amortera på ett lån? u Varför blir inbetalningarna olika stora vid så kallad rak amortering? u Vad menas med en absolut referens i ett kalkylblad? PROCENT u 3.2 PRIVaTEkONOMI I kalkylPROgRaM
149
3
___› 6271 I figuren här nedanför ___ är |wy | = 9. Beräkna
Nivå 2
›
längden av vektorn wx .
_›
6266 Låt v = (x, y) vara _› en godtycklig vektor. Förklara varför | v | ≥ 0 utifrån formeln _______ _
__›
›
__›
wx
6272 Hefi har löst en uppgift som handlar om att
beräkna längden av en vektor. I facit står det att längden är –0,23 l.e. Hon säger att det måste vara fel i facit. Har hon rätt eller fel? Motivera ditt svar.
_› 6268 Beräkna beloppet av vektorn u i figuren.
6
_›
u
60°
6273 Luka har fått i uppgift att ange sju vektorer i
koordinatform som har längden 12. Han får inte använda digitala hjälpmedel och vet inte riktigt hur han ska lösa uppgiften. Kan du lösa uppgiften utan att använda digitala hjälpmedel? Motivera ditt svar.
14 l.e
_› _› 6269 I figuren är |a | = 5, beräkna |b |.
_›
_›
a
b 35°
w 37°
6267 Rita två olika vektorer i ett koordinatsystem som har storleken 4 och är vinkelräta mot varandra. Båda vektorernas startpunkt ska vara punkten (–1, 1).
__›
wy
|v | = √x2 + y2 .
Nivå 3 _› _› 6274 Bestäm två vektorer, v 1 och v 2, i koordinat-
6270 Paul och John diskuterar om belopp av vekto-
rer. Paul förklarar för John att en vektors belopp är beroende av dess längd och av dess riktning, medan John påstår att en vektors belopp är endast beroende av vektorns längd. Vem har rätt? Motivera ditt svar.
form _› som _› uppfyller villkoren att |v 1| = |v 2| = 8 och den spetsiga vinkeln mellan vektorerna är 30°.
Resonemang och begrepp u Beskriv skillnaden mellan en vektor och en skalär. u Två vektorer är ritade i ett koordinatsystem. Beskriv hur man gör för att addera respektive subtrahera vektorerna. u Varför är det möjligt att ange en vektor med hjälp av en punkt i ett koordinatsystem? u Hur gör man för att bestämma längden av vektorn (2, 3)? u Två vektorer är givna i koordinatform. Beskriv hur man adderar respektive subtraherar vektorerna. u En vektor är given i koordinatform. Förklara hur man gör för att dela upp vektorn i två vinkelräta komposanter.
340
TRIGONOMETRI OCH VEKTORER u 6.2 VEKTORER
Resonemang och begrepp Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder dem att samtala om matematik.
Programmering
Approximera π I den här aktiviteten får du undersöka ett program som ger ett närmevärde till talet π. Programmet här nedanför är skrivet i programspråket Python 3. print
import random N = 10 for i in range(N): x = random.uniform(0, 1) y = random.uniform(0, 1) print((x, y))
skriver ut text och/eller värdet på variabler
for upprepar en bit kod ett angivet antal gånger
6
if utför en bit kod endast om ett visst villkor är uppfyllt
1 Skriv in koden här ovanför och kör programmet ett par gånger. Vad gör
**2 betyder upphöjt till 2
<=
>
programmet?
2 Lägg till några rader i programmet så att det ser ut så här:
Programmeringsaktiviteter
import random
Till nästan varje betyder mindre eller lika kapitel i Matematik med Origo 1c finns en eller flera N = 10
= 0 programmeringsaktiviteter.aDär får eleverna se exempel påfor hur i in range(N): slumpar fram ett tal mellan programmering kan användasx = random.uniform(0, 1) 0 och 1 som verktyg vid till exempel y = random.uniform(0, 1) problemlösning. random.uniform(0, 1)
print((x, y)) if x**2 + y**2 <= 1: a = a + 1 print(a)
y
3 Kör programmet och beskriv vad det gör nu. Använd gärna figuren här till
1
vänster i din beskrivning.
0,8
4 Hur stor andel av kvadratens yta täcks av det skuggade området?
0,6 0,4
5 Använd slutsatsen i uppgift 4 för att modifiera programmet så att det beräk-
0,2
x 0,2 0,4 0,6 0,8
1
nar ett närmevärde till π. Tips: Öka antalet upprepningar och ta bort raden som skriver ut punkterna.
6 Ungefär hur många punkter måste du simulera för att få a) två korrekta decimaler på π b) tre korrekta decimaler på π Ge svaren i form av en tiopotenser.
SANNOLIKHET u PROGRAMMERING
341
Uppslaget Problemlösning och modellering Mount Everest – världens tak
u När behöver man lämna läger 4 för att inte nå
”Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner.”
2
toppen för sent?
u Skriv ett numeriskt uttryck för höjdskillnaden Citatet är från Rob Hall, som omkom år 1996 på mellan toppen av Mount Everest och baslä världens högsta berg Mount Everest, efter attProblemlösning ha gret. bestigit toppen för sent på eftermiddagen. och modellering u Lufttrycket ändras med höjden över havet h ___ Regeln är att inte nå toppen senare än klockanPå Uppslaget finns uppgifter som enligt formeln p = 1 013 · 2,72– 8,6 där p är luft särskilt tränar de matematiska 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära trycket i millibar förmågorna. Bland annat finnsoch en h är höjden över havet i toppen, vilket är väldigt riskabelt. kilometer. Beräkna lufttrycket vid toppen av större uppgift av tematisk karaktär, Man kan dela in berget i olika zoner: Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan. som vi har valt att kalla
Zon I: Upp till 3 600 m
Problemlösning och modellering.
u Vilken genomsnittlig hastighet i höjdled har en
Zon II: 3 600 till 5 500 meter
klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen?
Baslägret ligger på 5 200 m.
u En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att
Zon III: 5 500 till 7 000 meter Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möj ligt att befinna sig på dessa höjder endast under kortare tider. Zon IV: Över 7 000 meter Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna höjd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klätt ring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m.
112
ALGEBRA UPPSLAGET
det tar lika lång tid att ta sig ner till läger 4 som att ta sig upp. Skriv en formel för höjden y meter som klättraren befinner sig på efter x minuter.
u Hitta på en egen formel utifrån texten. Formu
lera ett problem där formeln kan användas. Låt en kamrat lösa problemet.
Rätt eller fel?
Rätt eller fel?
Värdet av 2n + 3 är alltid större än värdet av n + 3.
I Rätt eller fel? får eleverna tillfälle att resonera om kapitlets Kvadratroten ur 121 är ± 11. viktiga begrepp.
a2 är alltid ett positivt tal, oberoende av värdet på a.
Om du dividerar båda sidorna i en olikhet med samma tal, så måste du vända på olikhetstecknet.
Ekvationen 4x = x saknar lösningar.
–2, 0, 2, 4, 6, … är en aritmetisk talföljd.
Det finns ekvationer som har oändligt många rötter.
Figuren visar talen som uppfyller olikheten 2x + 1 ≥ –5
2
x
Ekvationen x + 1 = x + 2 saknar lösningar.
–4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
Undersök Klubbstugan En förening har en klubbstuga med 30 säng platser, vackert belägen vid en sjö. På förening ens hemsida kan man läsa att stugan hyrs ut för 700 kr per dygn med ett tillägg på 120 kr per gäst. Där vill man också lägga ut en kalkylator som snabbt beräknar kostnaden om man knappar in antalet nätter och gäster. Undersök Under rubriken Undersök u Hjälp föreningen genom att ange vilka formler finns undersökande och som ska stå i cellHär B3–B5. Testa gärna dina utmanande uppgifter. formler i ett kalkylprogram. får eleverna träna på problemlösning och ett A B undersökande arbetssätt. 1
Antal gäster
2
Antal nätter
3
Total summa
4
Total summa per gäst
5
Total summa per natt för varje gäst
Omvänd sifferföljd u Välj ett tvåsiffrigt tal u Kasta om ordningen
mellan siffrorna
u Bilda differensen av
de två talen
59 95 95 – 59 = 36
u Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa
proceduren. Vilket mönster ser du?
u Visa att mönstret du ser gäller för alla tvåsiff
riga tal. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal kan skrivas 10a + b, där a och b är ensiffriga heltal och a ≠ 0.
ALGEBRA UPPSLAGET
113
Historia
Procenttecknet och Big Mac-index Procenttecknet
Ser du procenttecknet i den italienska texten från 1684?
3
40 per cento → o 40 per c → 40 poo__ → 40 % Procenttecknets utveckling.
Land
Bic Mac-index
USA
100
Ryssland
32
Kanada
93
Mexiko
47
Kina
61
Danmark
87
Schweiz
129
Norge
108
Sydafrika
38
Sverige
113
Thailand
75
Big Mac-index 2020
?
Vad kostar en Big Mac i Kina om den kostar 35 kr i Sverige?
152
PROCENT HISTORIA
Historia
I avsnittet vi ”Vid den tiden utfärdade kejsar Augustus en förordning omHistoria att helasätter världen matematiken i ett historiskt skulle skattskrivas.” Så inleds berättelsen om Jesu födelse i Lukasevangeliet sammanhang och lyfter fram och det är kanske den mest lästa av alla texter i världslitteraturen när det gälhur den används i samhälle ler skatter. Kejsar Augustus (65 f.Kr.–14 e.Kr.) genomförde skattereformer och vetenskap. som omvandlade naturaskatter till penningskatter och la därmed grunden till Roms blomstringstid som varade i 200 år. Skatten för varje såld slav var 4/100 och för varje frigiven slav 5/100. Det infördes även en arvsskatt på 5/100 av alla större arv. Samtidigt infördes en skatt med 1/100 på allt som såldes på auktion. Räkning med hundradelar kan man alltså se långt tillbaka i vår historia. Vårt procenttecken härstammar från 1400-talets Italien. Där skrev man 40 hundradelar som 40 per cento. Från detta skrivsätt utvecklades sedan procenttecknet.
Big Mac-index Big Mac-index uppfanns 1986 av tidskriften The Economist för att mäta hur olika valutor är värderade mot varandra. Det används också för att jämföra prisnivåerna i olika länder, men det ger absolut inte hela bilden. I Sverige och västvärlden är en Big Mac relativt billig snabbmat. Men den är förhållandevis dyr i jämförelse med en måltid på ett lokalt matställe i stora delar av Asien, Afrika och Sydamerika. Big Mac-index anses ändå ge resenärer en viss vägledning när man ska räkna ut hur stor reskassa man bör ha i olika länder. Anledningen till att tidskriften valde just Big Mac sägs vara att den kan tillverkas helt inom det egna landets gränser och att den går lika snabbt att tillverka över hela världen. Om en Big Mac i Sverige är dyrare än i Danmark, så innebär det att ingredienserna eller arbetskraften måste vara dyrare i Sverige än i Danmark.
Tankekarta
Trigonometri och vektorer Trigonometri u likformiga trianglar u tangens u sinus u cosinus
Inversa trigonometriska funktioner
Beräkningar med hjälp av trigonometri
u arcus tangens
u beräkna sidor och vinklar i
u arcsus sinus u arcus cosinus
6
rätvinkliga trianglar
u beräkna vinklar med hjälp av
inversa trigonometriska funktioner
u beräkna sträckor och vinklar i
Vektorer
koordinatsystem
u riktad sträcka u längden av en vektor u skillnad mellan vektor och
skalär
u vinkelräta komposanter u vektorer i koordinatform
Tankekarta
Vi sammanfattar innehållet i kapitlet i en tankekarta. Det ger möjlighet att repetera kapitlets viktiga begrepp och schematiskt visa hur de hör ihop.
Räkneoperationer med vektorer u produkt av vektor och skalär u addition och subtraktion av
vektorer
TRIGONOMETRI OCH VEKTORER TANKEKARTA
345
Blandade uppgifter 9 Beräkna utan digitalt hjälpmedel _____
Nivå 1
a)
1 Ett kort dras slumpmässigt ur en vanlig kortlek. Hur stor är sannolikheten att det är en hjärter?
√0,36
_______
b) √4 ∙ 100
10 Bestäm ekvationen för den räta linje som har
2 Av 3 000 bilförare som passerade en kontrolla) riktningskoefficienten 3 och går genom Blandade uppgifter
station saknade 143 förare bilbälte. Hur stor är punkten I Blandade uppgifter finns extra med koordinaterna (2, 1) sannolikheten att en slumpvis utvald bilförare övningsuppgifter tillb)kapitlet. Här får riktningskoefficienten –2 och går genom saknar bilbälte? eleverna öva på samtliga begrepp punkten med koordinaterna (–1, –4) och metoder, utan någon inbördes
3 Webbtidningen ”E-sport” ställde frågan ordning. En nyhet upplagan 11i den En här maskin vid en konservfabrik fyller 1 700
5
«
”Tycker du att Sverige bör satsa mer pengar är attpå uppgifterna ärburkar hämtade både med tonfisk varje dag. För att kontrollera och från att arrangera tävlingar inom e-sport?” påfrån sindet aktuella kapitlet, vikten på burkarna gör man varje månad en i boken. hemsida. Kommentera urvalsmetoden. de föregående kapitlen stickprovsundersökning. Hur ska man göra
4 Ett västerbottniskt uttryck lyder ”harta borti
harta och harta borti he”. Det betyder ”hälften av hälften och hälften av det”. Tolka uttrycket och tala om hur många procent det motsvarar.
5 Timo går i en klass med 14 pojkar och 11 flickor. Två slumpmässigt valda elever, en pojke och en flicka, ska få åka till London. a) Hur stor är sannolikheten att Timo får åka? b) Är det större chans att få åka om man är flicka än om man är pojke? Motivera ditt svar.
urvalet?
12 En rektangel har tre av sina hörn i punkterna
(7, 5), (–2,5; 5) och (7, –1). Bestäm rektangelns omkrets.
13 Ange ekvationen för den linje som går genom punkten med koordinaterna (2, 4) och är a) parallell med x-axeln b) parallell med y-axeln
14 Använd träddiagrammet och svara på frågorna.
6 Ekvationerna är av formen y = kx + m. Vilket
0,3
värde har riktningskoefficienten och vilken är y-koordinaten för skärningspunkten med y-axeln?
0,6
0,7
0,4
0,2
0,8
a) y = –4x + 1 b) y = 7 + 3,5x 5x 1 c) y = ___ – __ 2 3 –2x ____ d) y = 9
7 I en besticklåda finns 5 gafflar, 3 skedar och
7 knivar. Hur stor är sannolikheten att du får upp en gaffel när du slumpmässigt väljer ett bestick? Svara med ett bråk.
A
B
C
D
a) Beräkna sannolikheten för händelse A. b) Beräkna sannolikheten att antingen händelse C eller D inträffar.
15 Beräkna med hjälp av komplementhändelse
sannolikheten för minst en klave om du singlar slant tre gånger.
8 Rita en graf som visar hastigheten som funktion av tiden, när en bil accelererar upp till 80 km/h och sedan fortsätter att köra med samma fart.
Klave
292
STATISTIK OCH SANNOLIKHET BLANDADE UPPGIFTER
Krona
Del 2 Med digitalt hjälpmedel 8 Frida kastar en tändsticksask rakt upp i luften 200 gånger och noterar att den landar stående på högkant 23 gånger. Hur stor är sannolikheten att tändsticksasken inte hamnar på högkant efter landningen?
9 Sannolikheten att träffa en måltavla vid luftgevärsskytte är 0,7. Beräkna hur stor sannolikheten är att få två träffar och en miss på tre skott.
Kapiteltest
Sist i varje kapitel ligger ett test, 10 som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrol11 lera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med och en del utan digitalt hjälpmedel.
Du spelar poker och har tre hjärter och två klöver. Vad är sannolikheten att du får två hjärter till, om du byter de båda klöverkorten? Ett läxförhör består av 5 frågor. Varje fråga har tre svarsalternativ varav ett är rätt. Beräkna sannolikheten för att åtminstone få ett rätt om man bara chansar.
12 Roulett är ett hasardspel där en kula faller ner i ett av 37 fack i ett snurrande
hjul. Facken är numrerade från 0 till 36. Tre personer spelar roulett och satsar en mark var per spelomgång. Spelare A satsar på nummer 17. Spelare B satsar på fyra nummer och spelare C satsar på att det ska bli ett udda nummer. Alla tre har betalt lika mycket för sin spelmark. 22
19
16
13
10
7
4
26
23
20
17
14
11
8
5
2
24
21
18
15
12
9
6
3
18 — 36
u Beräkna u Borde
2nd 12 ODDC
0
27
30
33
3rd 12
A
1
25
32
36
29
35
2 to 1
28
34
2 to 1
31
2 to 1
B
1st 12 EVEN
1 — 18
de tre sannolikheterna för att spelare A, B respektive C vinner.
vinsten bli lika stor för de tre spelarna? Motivera ditt svar.
Putte har funderat länge på hur man kan kamma hem storvinsten från kasinot. Han vet att om man satsar på rött och vinner, så får man tillbaka dubbla insatsen. Han säger att om man använder sig av följande strategi så kommer man alltid att vinna i längden. Satsa lägsta möjliga insats så länge som du vinner och dubbla insatsen varje gång du förlorar ända tills du vinner igen. Genom dubbleringen så vinner du tillbaka allt du har förlorat när du vinner nästa gång. Efter varje vinst börjar du om och satsar den lägsta möjliga insatsen igen. u Putte
testar sin teori. Han satsar minsta insatsen 10 kronor på rött och tänker sedan dubbla ända tills han vinner. Vilken är sannolikheten att han vinner innan han gjort av med de 1 000 kronor han har med sig till kasinot?
u Är
det troligt att Putte kommer att bli miljonär genom att använda sig av sin strategi? Motivera ditt svar.
SANNOLIKHET KAPITELTEST
313
6
1c Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för ämnesplanen som träder i kraft 2021 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet
ISBN 978-91-523-5908-2