9789147145829 by Smakprov Media AB

algebra Mönster

Uttryck med parenteser

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Antalet tändstickor bildar ett mönster som kan skrivas som en talföljd. Antalet stickor: 3, 5, 7, 9, … Antalet ökar med 2 för varje triangel. Differensen är 2. Antalet stickor i den n:e figuren kan beräknas med uttrycket 2n + 1. Differens

a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac a(a + c) = a2 + ac

Ekvationer 3x + 7 = 22 vänster led

Balansmetoden:

Figurens nummer

2n + 1 Variabelterm

matematIK Y A

höger led

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

Sifferterm

Uttryck med potenser a · 2a = 2a2 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Lägesmått och spridningsmått

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla tal och sedan dividera med antalet tal. Median

Sannolikheten för flera händelser i följd räknar man ut genom att multiplicera sannolikheterna med varandra. Till exempel är sannolikheten att slå två fyror efter varandra med en vanlig tärning: 1 · 1 = 1

Med tre siffror 1, 4 och 7 kan vi bilda tresiffriga tal. Om varje siffra bara kan användas en gång så är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Om varje siffra kan förekomma flera gånger så är antalet kombinationer 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Medianen är det mellersta talet efter att talen skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen. Typvärde

Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden. Variationsbredd är ett spridningsmått och anger differensen mellan det största och det minsta värdet i ett statistiskt material.

Frekvens f

1 2 3 4 5

4 2 6 7 3 n = 22

10 8

Omslag Matematik Y A FINAL.indd 1

rätt

Bas Y

Utmaning Y

Lärarguide Y

Matematik XYZ hemsida

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Stapeldiagram

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Antal rätt x

Matematik Y A och B

www.matematikxyz.com

Variationsbredd

Tabeller och diagram Stolpdiagram

Matematik Y

Undvall Johnson Welén Ramsfeldt

Kombinatorik

Frekvenstabell

Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en A- och en B-bok som är grundboken med skrivutrymme, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, t ex läxor både med och utan skrivutrymme, filmer, SMART Board-filer, powerpoint-filer och webbappar.

Medelvärde

Sannolikhet i ﬂera steg

6 6

matematIK Y A

x =5 V.L. = 3 · 5 + 7 = 22 H.L. = 22 Alltså stämmer lösningen.

Prövning:

Matematik Y är väl anpassad till kursplan och betygskriterier i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka långsiktiga mål varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna i matematik • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp

Linjediagram

Cirkeldiagram

milj. inv. folkmängd 4

12 %

60 %

2 1 årtal 1700

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.

1800

1900

28 %

Best.nr 47-14582-9 Tryck.nr 47-14582-9

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt

2022-05-05 10:39

ISBN 978-91-47-14582-9 © 2022 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Sara Ramsfeldt och Liber AB förläggare Jeanette Mårtensson projektledare Birgitta Fröberg, Theres Lagerlöf redaktör Birgitta Fröberg bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB produktionsledare Eva Runeberg Påhlman sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB illustratör Björn Magnusson omslag Cecilia Frank Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2022

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering för undervisningsändamål enligt BONUS-avtal är inte tillåten. Intrång i upphovshavarens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

s202-204 Y A Register korr 2.indd 204

2022-05-05 13:26

Bildförteckning 4:1 12 14 15 16 17 26 34 39:2 44 45 47 55 57 61 63 72 73 76 82:1 84 89 90:1 91 95 98 102

Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Henrik Trygg/Johnér Bildbyrå Susanne Walström/Johnér Bildbyrå Anna Skoog/Johnér Bildbyrå Morten Rasmussen/Biofoto/TT Ulf Rennéus/Mary Square Images Peter Turander/Azote plainpicture/Johnér Bildbyrå Håkan Hjort/Johnér Bildbyrå Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå DEA/G. Dagli Orti/De Agostini/Getty Images Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå NASA NASA inigoarza/Getty Images Jessica Gow/TT Helena Larsson/IBL Bildbyrå Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå Lasse Svensson/KVP/TT Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Ignacio Palacios/Getty Images Image Source/Johnér Bildbyrå Marie Linnér/Scandinav/TT Peter Cairns/Nature Picture Library /IBL Bildbyrå Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå

105 106:1 112 113 114:1 118 120 122:2 128 138 146:1 153 196 159 171 175 176:1 176:2 178:1 178:2 179 184 185:1 185:2

Science Photo Library/IBL Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Kari Kohvakka/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Plattform/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Jeppe Wikström/Johnér Bildbyrå Plattform/Johnér Bildbyrå Matton Collection/Johnér Bildbyrå Hasse Holmberg/TT Roberto Pangiarella/EyeEm/Getty Images Travelpix Ltd/Getty Images Jojie Alcantara/Getty Images Erik G Svensson Arla Ulf Palm/TT Dansukker Bloomberg Creative Photos/Getty Images Arla plainpicture/Johnér Bildbyrå Fazer Kvarn Lidköping GK Hart/Vikki Hart/Getty Images Kungsörnen Jörgen Larsson/jlfoto.com

Övriga bilder: Shutterstock Karta: Liber kartor Sedlar och mynt: Riksbanken

BILDFÖRTECKNING

s202-204 Y A Register korr 2.indd 203

2022-05-05 13:26

SÅ HÄR ANVÄNDER DU matematIK Y matematik Y innehåller fem kapitel som är uppdelade i avsnitt. I avsnitten finns det uppgifter på tre nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå tre ger rejäla utmaningar. Du kan välja att arbeta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bas Y med enklare uppgifter. Om nivå tre inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaning Y . Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering.

Problemlösning

Begrepp

Metod

Resonemang

Kommunikation

Kapitlen innehåller: Ingress – En kort diagnos visar vad du redan kan och kan hjälpa dig att välja nivå. Här finns

även Centralt innehåll från kursplanen och en lista med matematiska begrepp ur kapitlet. Inledningar – Vid exemplen på lösningar hittar du kommentarrutor. De blåa rutorna

hjälper dig med metoder och resonemang. De röda rutorna hjälper dig att kommunicera matematiskt och redovisa dina lösningar på ett bra sätt. Miniteman – När några uppgifter handlar om samma ämne är de inramade tillsammans med bild och bildtext. I bildtexten finns det information som behövs för att lösa uppgifterna. Ledtrådar – Till en del uppgifter finns det ledtrådar som du kan ta hjälp av. Dessa uppgifter

är markerade med ett

Aktiviteter – Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Aktiviteterna belyser centrala matematiska begrepp.

När du har gjort Blandade uppgifter från hela kapitlet och en Diagnos går du vidare till Träna eller Utveckla. Förmågorna i fokus hjälper dig att utveckla en eller ett par förmågor i taget. Uppgifterna finns i slutet av varje kapitel.

Kapitlen avslutas med en Sammanfattning av centrala begrepp och metoder. Det finns fyra Läxor till varje kapitel. Läxorna finns, både med och utan skrivutrymme, att ladda ned på vår hemsida www.matematikxyz.se. Lennart, Kristina, Conny och Sara

s1-3 Y A Framvagn FINAL.indd 2

2022-05-05 10:49

1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

1.1

Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.2

Addition och subtraktion av bråk . . . . 17

Träna Taluppfattning och tals användning . . . 65

1.3

Multiplikation av bråk . . . . . . . . . . . . . . 27

Utveckla Taluppfattning och tals användning 73

1.4

Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.5

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.6

Tiopotenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 samband och förändring

2.1

Andelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.2

Jämförelser och förändringar . . . . . . . . 91

Träna Samband och förändring . . . . . . . . . . . 130

2.3

Det hela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Utveckla Samband och förändring . . . . . . . . 138

2.4

Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.5

Ränta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3 GEOMETRI

146

3.1

Omkrets och area . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.3

Geometri i tre dimensioner. . . . . . . . . 166

3.2

Cirkelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.4

Enheter för volym . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Problemlösningsstrategier. . . . . . . . . . . . . . . . 197 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

s1-3 Y A Framvagn FINAL.indd 3

2022-05-05 10:49

KAN DU DET HÄR? 1 5

ETT

1 Vilket tal är lika med 1 ? A: 1,5 C: 1,15

B: 11,5 D: 1,2

2 Vilken omvandling är korrekt gjord? 3 11 = 8 8 9 1 C: = 3 3 3

2 122 = 4 4 12 1 D: =2 4 4

A: 1

B: 1

3 Hur mycket är 14 – 3 · 2? A: −8

B: 22

C: 6

D: 8

TVÅ

4 Hur mycket är 20 · 600? A: 1 200 B: 20 600 C: 12 000 D: 120 000

C: 1,25

3 =1 ? 4 D: 1,75

C: 0,95

5 Vilket tal saknas i uträkningen 2 – A: 0,25

B: 1,4

6 Hur mycket är 3 + 1 ? 4 A: 9

B: 0,9

00, 099 ? 0,33 0, B: 0,3 C: 0,03

7 Hur mycket är A: 3

8 Vilket tal ligger mitt emellan A: 0,32

B: 0,52

117 200

TRE D: 0,003

2 och 0,64? 5

C: 0,525

D: 0,62

9 Det femsiffriga talet 31 2 ? 4 är jämnt delbart med både 3 och 4. Vilken siffra saknas? A: 1 B: 4 C: 5 D: 8

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 4

2022-05-05 12:23

1 tal

1 Taluppfattning och tals användning Ur centrala innehållet Tal i potensform. Grundpotensform för att uttrycka stora tal. Matematiska lagar och regler samt deras användning vid beräkningar med tal i bråkoch potensform. Metoder för beräkningar med tal i bråkform vid överslagsräkning, huvudräkning och skriftlig beräkning. Användning av digitala verktyg vid beräkningar. Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar.

bråkform blandad form decimalform förlängning förkortning enklaste form minsta gemensam nämnare (MGN) potens

Begrepp

bas

Vilka begrepp känner du till sedan tidigare? Kan du beskriva dem?

exponent tiopotens

grundpotensform

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 5

2022-05-05 12:23

Räkna med bråk

1.1

Andel Kvadraten är indelad i fem lika stora delar. Två av dessa är röda. 2 Vi säger att andelen som är röd är två femtedelar. Det kan vi skriva som . 5 Andelen har då skrivits i bråkform. 2 är ett bråk. De båda tal som bildar ett bråk kallas 5 täljare och nämnare.

Talet

Bråk

Om vi utför divisionen 2 / 5 får vi 0,4. Det läses som ”fyra tiondelar” 2 eller ”noll komma fyra”. Bråket har då skrivits i decimalform. 5 Följande samband mellan bråkform och decimalform är viktiga att kunna utantill: 1 = 1 1

2 ≈ 0,67 3

1 = 0,5 2

1 ≈ 0,33 3

1 = 0,25 4

1 = 0,2 5

1 = 0,1 10

1 1 = 0,01 = 0,001 1 000 100

täljare

2 bråkstreck

5 nämnare

≈ betyder ”är ungefär lika med”

Bråkform och blandad form 13 fjärdedelar skrivs

13 i bråkform. Vi kan rita det så här: 4

bråkform 4 4

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 6

1.1

4 4

1 4

13 4

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

Det behövs 4 fjärdedelar för att bygga en hel. Vi kan därför också rita så här:

Vi ser att

1 4

1 tal

blandad form 1 4

1 13 = 3 . Vi har då skrivit bråket i blandad form. 4 4

Förlängning och förkortning Värdet av ett bråk kan uttryckas på oändligt många sätt. 1 Till exempel kan skrivas så här: 2 1 2 3 4 5 6 = = = = = =… 2 4 6 8 10 12 När ett bråk skrivs i bråkform på ett nytt sätt kallas det för att förlänga eller förkorta bråket. 1 1·2 2 = = 2 2·2 4

Här förlänger vi med 2, vilket betyder att både täljare och nämnare multipliceras med 2.

6 6/6 1 = = 12 12 / 6 2

Här förkortar vi med 6, vilket betyder att både täljare och nämnare divideras med 6.

När ett bråk är skrivet med så liten nämnare som möjligt, är det skrivet i enklaste form. Bråket kan då inte förkortas mer. Däremot kan ett bråk förlängas hur många gånger som helst.

Jämföra tal i bråkform Om man vill jämföra storleken av två bråk med olika nämnare, så är en bra metod att skriva bråken med samma nämnare. Den nämnare som man då ofta väljer är den minsta gemensamma nämnaren (MGN). 3 4 och den minsta gemensamma nämnaren 20 eftersom 4 5 20 är det minsta tal som är delbart med både 4 och 5. Vi förlänger det första bråket med 5 och det andra bråket med 4.

Till exempel har bråken

3 · 5 15 4 · 4 16 3 4 = = och = = 4 4 · 5 20 5 5·4 20

< betyder ”är mindre än”

15 16 3 4 < så gäller att < . Eftersom 20 20 4 5

> betyder ”är större än”

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 7

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

EXEMPEL

Vilket tal är störst,

2 5 eller ? 3 7

MGN: 21 2 2·7 14 = = 3 3·7 21 5 5·3 15 = = 7 7·3 21 Svar:

För att kunna jämföra bråken skriver vi dem med samma nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren till 3 och 7 är 21. För att få nämnaren 21 förlänger du

2 3

med 7 och

5 7

med 3.

Ett annat sätt att jämföra bråken är att skriva dem i decimalform. Du får då att 2 3

≈ 0, 67 och

5 7

≈ 0, 71. • Skriv en gemensam nämnare, till exempel den minsta gemensamma nämnaren.

5 är störst. 7

• Visa förlängningarna. • Skriv svar.

EXEMPEL

Hur stor andel av rektangeln är vit? Svara med ett bråk i enklaste form.

3 = 0,75 4

1 = 0,2 5

Eftersom

1 4

= 0, 25 så är

3 4

= 0, 75 .

De här bråken kan du skriva exakt i decimalform.

3 1 5 5/5 1 Andel vit: 1– – =1– 0,75 – 0,2 = 0,05 = = = 4 5 100 100 / 5 20 Du kan förkorta med 5.

Svar:

1 av rektangeln är vit. 20

K • Presentera och teckna beräkningen. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar.

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 8

1.1

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

ETT Skriv talen i bråkform. a) 1

2 = 3 ______

B M

b) 2

1 = 4 ______

c) 1

4 = 5 ______

d) 3

1 tal

1 = 2 ______

Hur stor andel av blommorna är rosa? Svara med ett bråk i enklaste form.

B K

_________________________________

Förläng bråken så att nämnaren blir 20.

B M

3 1 = b) = 10 _________________________ 4 ___________________________

1 2 = d) = 2 __________________________ 5 ___________________________

Skriv bråken i enklaste form.

B M

10 3 = b) = 15 _________________________ 12 __________________________

4 8 = d) = 14 _________________________ 12 __________________________

Skriv de tal som bilderna visar i blandad form och i bråkform.

a) _______________________________________________________ b) ______________________________________________

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 9

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

1 + 0,9 2

3 – 0,3 4

1 c) 1 + 0,7 4 d)

L M K

Vilket tal är störst? a)

1 1 + 2 4 M K

1 3 eller 4 8

2 7 eller 3 9

1 = 1,4 och förstår inte hur det kan vara 4 lika med 0,25. Förklara för henne hur hon kan tänka. ______________________________

Emelie tror att

________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

Skriv talen i blandad form. a)

10 = 3 ______

B M

27 = 4 ______

Vilken pil pekar på vilket tal? AB

5 2 ________

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 10

B R

22 = 5 ______

22 = 9 ______

3 2 ________

9 4 ________

C D

4 3 ________

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

Skriv talen som bråk i enklaste form.

B M

12 = b) åtta tiondelar = 16 _________________________ _______________________

10 = d) 0,24 = 35 _________________________ ______________________________

Visa om påståendena stämmer eller ej. a)

2 5 < 3 6

3 7 > 5 10

3 5 < 4 6

1 = 0,33 3

Vilket eller vilka av bråken i rutan är ungefär lika med de här talen? Motivera dina svar. P R

1 tal

TVÅ

M R

11 12

8 23

2 19

47 49

5 21

7 68

1 ___________________________________________________________________ 3

b) 0,25 __________________________________________________________________ c) 0,1 __________________________________________________________________ d) 1 ___________________________________________________________________

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 11

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

Tre femtedelar av alla som dör i trafiken färdas i bil. Av de som dör är 4 % under 18 år. Tre tiondelar av alla som dör är 65 år eller äldre.

3 män. B M K 4 a) Hur stor andel av de som dör är kvinnor? Svara i decimalform. Av alla som dör i trafiken per år är

______________________________________________________________________ b) Hur stor andel av de som dör i trafiken har inte färdats i bil? Svara i bråkform. ______________________________________________________________________ c) Hur stor andel av de som dör är under 18 år? Svara med ett bråk i enklaste form. L ______________________________________________________________________

Hur stor andel av de som dör i trafiken är i åldern 18–64 år? Svara i decimalform. L P B K

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 12

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

Hur stor andel av sedlarnas

B M K

1 tal

a) antal är 50-lappar? Svara med bråk i enklaste form.

b) värde är 50-lappar? Svara med bråk i enklaste form.

24 12 vatten. ”Då består en halv gurka av vatten”, 25 25 säger Ester. Tänker hon rätt eller fel? Förklara hur du tänker. ________________________

En gurka består av

_________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 13

RÄKNA MED BRÅK

M R

2022-05-05 12:23

a) Vilken av följande beräkningar ger det största svaret och vilken ger det minsta? A:

2 + 1,3 5

B: 3,4 – 1

3 4

b) Skriv det minsta svaret i blandad form.

7 4 + 10 5

D: 3,2 – 1

3 5

__________________________________

I Tiundaskolan går 160 av skolans 400 elever i årskurs 8. I Heidenstamskolan går 90 av skolans 300 elever i årskurs 8. a) På vilken skola är andelen elever i årskurs 8 störst?

L M K

b) Hur stor är andelen elever i årskurs 8 i den skolan? Svara med ett bråk i enklaste form. B M

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 14

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

Vilket tal pekar pilen på?

L P K

a) 1

1 tal

5 6

b) 2

3 4

TRE 21

Skriv bråken i blandad form med så liten nämnare som möjligt. a)

12 9

25 c) 15

24 B M

b) 1

15 6

42 d) 35

Hur stor andel av figuren är lila? Svara P B med ett bråk i enklaste form. 1

3 (cm)

1 3 1 – +2 10 5 4

M K

5 men 6 mindre än 1. Hur många sådana bråk finns det?

Albin lagar lunch av 120 g köttbullar, 200 g pasta och 80 g ärtor. Hur stor andel av lunchens vikt består av B M

Skriv ett bråk som är större än

b) ärtor

Svara med bråk i enklaste form och i decimalform. c) Albin äter upp alla köttbullar, fyra femtedelar av pastans vikt och tre fjärdedelar av ärtornas vikt. Hur stor andel av det som finns kvar är ärtor? Svara i bråkform.

1 2 – 1,9 + 4 5

a) köttbullar

a) 2

(cm)

2 1

Skriv talen i storleksordning. Börja med det största. a)

2 3

3 4

5 6

3 4

4 5

7 10

M K

11 12 13 20

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 15

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:23

Vilket tal pekar pilen på?

P K

a) 1

3 4

a) Hur stor andel av djuren var sjöpungar? Svara med bråk i enklaste B M form och i decimalform.

1 12

6 15 28 Vilket av bråken , och är 29 7 16 närmast 1? Förklara hur du tänker.

Vid en expedition till Antarktis hittade några biologer nya djur. En fjärdedel av djuren var jättestora maskar och tre femtedelar var väldiga havsspindlar. Resten var sjöpungar.

b) Hur många sjöpungar hittade biologerna om antalet havsspindlar P K var 12? L

P R

Salper och sjöpungar tillhör båda familjen manteldjur. Salper simmar vid ytan på dagen, men på natten vilar de på 800 m djup. Hur mycket djupare är det jämfört med det djup som sjöpungar M K oftast finns på?

På 1 500 m djup i Antarktis har man hittat en ny form av sjöpungar som ser ut som jättestora blommor av glas. Oftast finns sjöpungar på sju tjugofemtedelar av det djupet.

utmaning Y KAPITEL 1

1.1

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 16

RÄKNA MED BRÅK

2022-05-05 12:24

Addition och subtraktion av bråk

1 tal

1.2

AKTIVITET: Kvadrat i bitar Materiel:

Papper, penna, linjal och sax

Antal deltagare:

1–2 st C Vilken är summan av alla andelar?

1 D Vilken av bitarna är närmast 5 i storlek?

E Klipp ut bitarna.

G E

A Rita av bilden i skala 3 : 1.

F Ge förslag på vilka tre bitar som du kan lägga ihop för att de ska motsvara 7 av hela kvadraten. 16

B Hur stor andel av hela kvadraten är de olika bitarna? Skriv andelarna i bråkform.

G Ge förslag på tre bitar som tillsam5 mans motsvarar ungefär av 9 hela kvadraten.

1.2

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 17

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

2022-05-05 12:24

Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare Om vi ska addera bråken

1 1 och kan vi göra det på två sätt. 2 3

METOD 1 Vi förlänger bråken så att de får samma nämnare. Det enklaste är oftast att välja den minsta gemensamma nämnaren (MGN). I det här fallet är 6 den minsta gemensamma nämnaren eftersom det är det minsta tal som är delbart med både 2 och 3. Den här metoden ger ett exakt svar. 1 1 1·3 1·2 3 2 5 + = + = + = 2 3 2·3 3·2 6 6 6

Det första bråket förlängs med 3 och det andra med 2.

Vi kan visa förlängningen så här:

1 3

3 6

2 6

Vi delar in de båda kvadraterna i lika delar, det vill säga i sjättedelar. Det motsvarar förlängningen.

3 2 orange och i den andra . 6 6 1 1 3 2 5 Vi ser då att + = + = . 2 3 6 6 6 I den första kvadraten är

METOD 2 Vi skriver bråken i decimalform och adderar därefter. Eftersom vi i det här fallet avrundar det andra talet så får vi ett ungefärligt svar. 1 1 + ≈ 0,5 + 0,33 = 0,83 2 3 Även när man subtraherar bråk måste man först skriva bråken med samma nämnare eller göra om dem till decimalform.

1.2

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 18

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

2022-05-05 12:24

EXEMPEL

5 3 + 8 4

2 8 b) 1 – 9 9

1 + 0,7 6

5 3 5 3·2 5 6 11 3 + = + = + = =1 8 4 8 4·2 8 8 8 8

Det minsta tal som är delbart med 8 och 4 är 8. Alltså är den minsta gemensamma nämnaren 8 (MGN: 8).

Förläng

MGN: 8

1 tal

3 4

med 2 så att du får

åttondelar i båda bråken.

2 8 11 8 3 3 / 3 1 b) 1 – = – = = = 9 9 9 9 9 9/3 3

Här är det samma nämnare från 2 början. Börja med att skriva 1 9 i bråkform. Sen blir det enklare att subtrahera.

Förkorta med 3.

1 1 7 1·5 7·3 + = c) + 0,7 = + = 6 6 10 6·5 10·3 =

5 21 26 26 / 2 13 + = = = 30 30 30 30 / 2 15

Skriv sju tiondelar i bråkform, 0, 7 =

7 10

Minsta gemensamma nämnaren (MGN) är 30. För att få nämnaren 30 i båda bråken förlänger du det första bråket med 5 och det andra bråket med 3. Förkorta med 2.

MGN: 30 3 Svar: a) 1 8

1 b) 3

13 c) 15

1.2

s4-81 Y A kapitel 1 FINAL.indd 19

K • Teckna uppgifterna. • Skriv ut mellanled. • Skriv svar med så liten nämnare som möjligt.

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

2022-05-05 12:24

algebra Mönster

Uttryck med parenteser

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac a(a + c) = a2 + ac

Ekvationer 3x + 7 = 22 vänster led

Balansmetoden:

Figurens nummer

2n + 1 Variabelterm

matematIK Y A

höger led

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

Sifferterm

Uttryck med potenser a · 2a = 2a2 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Lägesmått och spridningsmått

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla tal och sedan dividera med antalet tal. Median

Medianen är det mellersta talet efter att talen skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen. Typvärde

Frekvens f

1 2 3 4 5

4 2 6 7 3 n = 22

10 8

Omslag Matematik Y A FINAL.indd 1

rätt

Bas Y

Utmaning Y

Lärarguide Y

Matematik XYZ hemsida

Stapeldiagram

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Antal rätt x

Matematik Y A och B

www.matematikxyz.com

Variationsbredd

Tabeller och diagram Stolpdiagram

Matematik Y

Undvall Johnson Welén Ramsfeldt

Kombinatorik

Frekvenstabell

Medelvärde

Sannolikhet i ﬂera steg

6 6

matematIK Y A

x =5 V.L. = 3 · 5 + 7 = 22 H.L. = 22 Alltså stämmer lösningen.

Prövning:

Linjediagram

Cirkeldiagram

milj. inv. folkmängd 4

12 %

60 %

2 1 årtal 1700

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 90 00.

1800

1900

28 %

Best.nr 47-14582-9 Tryck.nr 47-14582-9

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt

2022-05-05 10:39