Utmaning
utmaning Z Utmaning Z ingår i serien Matematik XYZ och erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med Matematik Z. I Utmaning Z finns: • genomgångar • typexempel • uppgifter som täcker kursplanens alla förmågor, med extra fokus på problemlösning • ledtrådar och lösningsförslag Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.
Matematik Z
Bas Z
www.matematikxyz.com
Utmaning Z
matematik
Lärarguide Z
Matematik XYZ hemsida
Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Best.nr 47-12655-2 Tryck.nr 47-12655-2
Omslag Z Utmaning FINAL.indd 1
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén
2019-06-12 08:42
SÅ HÄR ANVÄNDER DU utmaning Z utmaning Z vänder sig till dig som söker större utmaningar i matematik. Boken har samma kapitelindelning och bygger vidare på och breddar det som tas upp i matematik Z . Varje kapitel är uppdelat i avsnitt. I början av ett avsnitt finns genomgång, faktarutor och typexempel. Därefter följer uppgifter i stigande svårighetsgrad. Det gör att du lätt kommer igång med ditt arbete men också, i slutet av ett avsnitt, når en mer avancerad nivå på matematiken. Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: P Problemlösning B Begrepp M Metod R Resonemang K Kommunikation
Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering. Utöver facit finns det förslag på lösningar till ett stort antal uppgifter. Före facit hittar du ledtrådar. Ledtrådarna ger dig lite hjälp på vägen så att du kan komma vidare om du kört fast. Uppgifter som det finns ledtrådar till är markerade med L . Lennart, Kristina och Conny
s 1-3 Z Utmaning Framvagn FINAL.indd 1
2019-05-29 13:21
ISBN 978-91-47-12655-2 © 2019 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2019
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering för undervisningsändamål enligt BONUS-avtal är inte tillåten. Intrång i upphovshavarens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se
s 1-3 Z Utmaning Framvagn FINAL.indd 2
2019-05-29 13:21
bildförteckning 23 35 47 52 61
Paul Cunningham/Getty Images Universal History Archive/UIG/REX/TT Derin Thorpe/Getty Images Tom Werner/Getty Images Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå
Övriga bilder: Shutterstock
s 66-76 Z Utmaning facit FINAL.indd 76
2019-05-29 14:17
1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING
4
Summatecken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Fakultet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Det binära talsystemet . . . . . . . . . . . . . . 7
Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 14
Räkna med potenser . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING
15
Exponentiell förändring . . . . . . . . . . . . 15
Omskrivning av formler. . . . . . . . . . . . 20
Grafisk ekvationslösning . . . . . . . . . . . 18
Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 22
3 algebra
23
Potenser med variabler som bas . . . . . 23
Konjugatregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kvadreringsreglerna . . . . . . . . . . . . . . . 26
Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 33
4 geometri
34
Trigonometri – tangens . . . . . . . . . . . . 34
Vinklars storlek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Sinus och cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 46
5 XYZ – med sikte på framtiden
47
Cirkel och cirkelsektor . . . . . . . . . . . . . 47
Potensekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Ekvationer och geometri . . . . . . . . . . . 50
Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 60
Andragradsekvationer . . . . . . . . . . . . . 53
Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
INNE HÅLL
s 1-3 Z Utmaning Framvagn FINAL.indd 3
3
2019-05-29 13:21
1 taluppfattning och tals användning Summatecken SUMMATECKEN
EXEMPEL
I matematik vill man alltid skriva matematiska uttryck så kortfattat som möjligt.
Summan av de tio första naturliga talen kan vi teckna så här: 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
Summor kan man till exempel skriva med hjälp av summatecknet ∑ (bokstaven sigma i det grekiska alfabetet).
Med summatecknet kan vi istället 9
teckna summan så här: 9
∑n
∑n
n =0
betyder ”summan av alla
n =0
heltal från 0 till och med 9”. Som variabel efter summatecknet använder vi här bokstaven n.
BERÄKNING AV SUMMA
EXEMPEL 9
För att beräkna summan av ett antal termer med konstant differens kan man addera första och sista termen, multiplicera summan med antalet termer och till sist dividera produkten med 2.
4
∑n
=0+1+2+…+8+9=
n =0
=
10 ⋅ (0 + 9) 2
=
10 ⋅ 9 2
= 45
1 . TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G
s 4-14 Z Utmaning kap 1 FINAL.indd 4
2019-05-29 14:05
EXEMPEL
Skriv ut summorna och beräkna dem. 5
∑n
b)
n=5
∑(n + 1)
6
c)
n=1
∑n2
1 tal
10
a)
n=2
10
∑ n = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45
a)
n=5
Vid summatecknet står att n ska ha värdena från 5 till och med 10. Summan kan beräknas genom att vi adderar 10 och 5, 6 (10 + 5) 6 15 multiplicerar med 6 och dividerar med 2: = = 45 2 2
5
∑ (n +1) = (1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1) +
b)
n=1
+ (5+1) = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Här ska du beräkna summan av ett antal parenteser (n + 1), där n ska ha värdena från 1 till och med 5. Vi kan beräkna summan 5 (6 2) 5 8 = = 20 så här: 2 2
6
∑ n2 = 2
2
c)
n=2
+ 32 + 42 + 52 + 62 = 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90
Här ska du beräkna summan av ett antal potenser med exponenten 2, där basen n ska ha värdena från 2 till och med 6. Här är differensen olika mellan termerna och därför får du addera term för term.
Svar: a) 45
1
b) 20
Teckna summorna med summatecken.
c) 90
B M
a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 b) 1 + 2 + 3 + … + 100
2
Skriv ut summorna och beräkna dem. 9
a)
10
∑n
b)
Beräkna summorna.
∑3n n=5
10
c)
∑(n − 1)2 n=3
M K
10
a)
∑(n − 1) n=1
n=0
3
M K
9
b)
∑(2n + 1) n=3
10
c)
n
∑2 n=1
1 . TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G
s 4-14 Z Utmaning kap 1 FINAL.indd 5
5
2019-05-29 14:05
4
Teckna summorna med summatecken.
B M
a) 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 b)
5
1 1 1 1 1 + + +…+ + 2 3 4 19 20
Beräkna summorna.
M K
2
2
⎛1 1 ⎞ a) ∑⎜ + ⎟ ⎝ n n + 1⎠ n=1
6
b)
⎛ 1
1 ⎞
∑⎜⎝ n + 1 − n + 2 ⎟⎠ n=1
Vilken av summorna är lika med 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160? Motivera ditt svar. P R 5
6
A:
∑ 5n
B:
n=1
7
Beräkna summorna.
∑ 5 ⋅ 2n
n=0
∑n n=1
6
∑ 5n n=1
M K
1000
a)
6
C:
1000
b)
∑ 2n n=1
999
c)
∑(2n + 1)
n=0
1 . TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G
s 4-14 Z Utmaning kap 1 FINAL.indd 6
2019-05-29 14:05
VÅRT VANLIGA TALSYSTEM
EXEMPEL
Det talsystem vi använder oss av kräver tio siffror – tiosystemet. Vilket värde de olika siffrorna i talet har beror på deras plats, deras position. Om vi tittar på talet 3 456 så representerar till exempel siffran 3 antalet tusental. Vi kan skriva talet 3 456 som 3 000 + 400 + 50 + 6. Men samma tal kan också skrivas med tiopotenser.
3 456 = 3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100 1,45 = 1 · 100 + 4 · 10–1 + 5 · 10–2
1 tal
Det binära talsystemet
I vårt vanliga talsystem är de ”byggstenar” vi använder potenser med 10 som bas: 1 = 100, 10 = 101, 100 = 102, 1 000 = 103 och 10 000 = 104 Talet 3 456 kan också skrivas 345610 för att visa att det är skrivet i tiosystemet.
DET BINÄRA TALSYSTEMET
EXEMPEL
Det finns andra talsystem än det vi använder till vardags. Det binära talsystemet används i datorer och använder sig endast av två siffror: 0 och 1. Genom att nollorna och ettorna placeras på olika positioner kan datorn avgöra vad de står för. I en dators ”hjärna” finns transistorer. Mycket förenklat kan det beskrivas så att siffran 0 innebär att en transistor är av, medan siffran 1 innebär att transistorn är på.
Vi tittar på ett tal skrivet i binär form, 11012. Den nedsänkta tvåan anger att talet är skrivet i tvåsystemet, det binära talsystemet. Talet utläses ”ett ett noll ett bas två”. Vilket tal i tiosystemet motsvarar det?
I det binära talsystemet är det potenser med basen 2 som är ”byggstenar”. Dessa är:
11012 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 Alltså skrivs vårt ”vanliga tal” 13 i det binära talsystemet som 11012.
20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 och så vidare …
1 . TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G
s 4-14 Z Utmaning kap 1 FINAL.indd 7
7
2019-05-29 14:05
Utmaning
utmaning Z Utmaning Z ingår i serien Matematik XYZ och erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med Matematik Z. I Utmaning Z finns: • genomgångar • typexempel • uppgifter som täcker kursplanens alla förmågor, med extra fokus på problemlösning • ledtrådar och lösningsförslag Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.
Matematik Z
Bas Z
www.matematikxyz.com
Utmaning Z
matematik
Lärarguide Z
Matematik XYZ hemsida
Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Best.nr 47-12655-2 Tryck.nr 47-12655-2
Omslag Z Utmaning FINAL.indd 1
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén
2019-06-12 08:42