9789147126323

Lära arguid de

algebra Mönster

Uttryck med parenteser

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Antalet tändstickor bildar ett mönster som kan skrivas som en talföljd.

Antalet stickor: 3, 5, 7, 9 …

Antalet ökar med 2 för varje triangel.

Differensen är 2.

Antalet stickor i den n:e figuren kan beräknas med uttrycket 2n + 1.

Differens

a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac a(a + c) = a2 + ac

3x + 7 = 22 vänster led

2n + 1 Variabelterm

Lärarguide Y ingår i serien Matematik XYZ och erbjuder stöd för planering, genomförande och utvärdering av din matematikundervisning och elevernas lärande i matematik. Lärarguiden består dels av den tryckta boken, men också av ett omfattande digitalt material.

Ekvationer

Balansmetoden:

Figurens nummer

Lärarguide Y

höger led

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

Sifferterm

Uttryck med potenser a · 2a = 2a2 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Lägesmått och spridning

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Medelvärde

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla tal och sedan dividera med antalet tal.

Median

Sannolikhet i flera steg Sannolikheten för flera händelser i följd räknar man ut genom att multiplicera sannolikheterna med varandra. Till exempel är sannolikheten att slå två fyror efter varandra med en vanlig tärning: 1 · 1 = 1 6 6 36

Kombinatorik

Typvärde

Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Variationsbredd

Variationsbredd är differensen mellan det största och det minsta värdet i ett statistiskt material.

Tabeller och diagram Frekvenstabell Frekvens f

1 2 3 4 5

4 2 6 7 3 n = 22

Omslag Y LG FINAL.indd 1

Stolpdiagram 10 8

f

Stapeldiagram 10 8 6

6 4

4

2

2 1

2

3

4

5

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Antal rätt x

Linjediagram

Cirkeldiagram

Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9.

I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok och en lärarguide.

Matematik Y

Bas Y

Utmaning Y

Lärarguide Y

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

www.matematikxyz.com Matematik XYZ hemsida

milj. inv. folkmängd 4

12 %

3

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

matematik

Undvall Johnson Welén

Med tre siffror 1, 4 och 7 kan vi bilda tresiffriga tal.

Om varje siffra bara kan användas en gång så är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.

Om varje siffra kan förekomma flera gånger så är antalet kombinationer 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Medianen är det mellersta talet efter att talen skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen.

På hemsidan (www.matematikxyz.com) finns bland annat: • Planeringsförslag • SMART Board- och Powerpointfiler för genomgångar • Filmade genomgångar • Kopieringsunderlag för färdighetsträning • Webbappar för färdighetsträning • Interaktiva övningar • Förslag på digital visualisering och programmering • Bedömningsmatriser och självskattningsblad • Diagnoser, tester och prov

matematIK Y

x =5 V.L. = 3 · 5 + 7 = 22 H.L. = 22 Alltså stämmer lösningen.

Prövning:

I Lärarguide Y finns bland annat: • Didaktiska och metodiska tips • Uppgiftsspecifika kommentarer • Ledtrådar och facit • Förslag på lösningar till de svåraste uppgifterna • Hänvisningar till det digitala materialet på hemsidan

Best.nr 47-12632-3 Tryck.nr 47-12632-3

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2018-08-13 10:18

Innehåll

Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

5. Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xvii

Innehåll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

6. Diagnos och test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

Seriens uppbyggnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

7. Träna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

Lärobokens struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii

8. Utveckla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

Mer än bara en bok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

9. Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx

1. Ingressuppslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

10. Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xxv

2. Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

11. Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xxv

3. Genomgångar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

12. Prov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi

4. Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

Allmänt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xxviii

1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

6

1.1

Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.2

Addition och subtraktion av bråk . . . . 16

Träna Taluppfattning och tals användning . . . 46

1.3

Multiplikation av bråk . . . . . . . . . . . . . . 22

Utveckla Taluppfattning och tals användning 49

1.4

Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6

Tiopotenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

58

2.1

Andelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2

Jämförelser och förändringar . . . . . . . . 66

Träna Samband och förändring . . . . . . . . . . . . 93

2.3

Det hela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Utveckla Samband och förändring . . . . . . . . . 96

2.4

Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5

Ränta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

IV

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd IV

2018-08-15 11:30

3 GEOMETRI

104

3.1

Omkrets och area . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2

Cirkelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.3

Geometri i tre dimensioner. . . . . . . . . 118

Utveckla Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.4

Enheter för volym . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.5

Prisma och pyramid . . . . . . . . . . . . . . . 130

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.6

Cylinder, kon och klot . . . . . . . . . . . . . 135

4 Algebra

158

4.1

Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . 160

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.2

Mönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Träna Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4.3

Uttryck med parenteser . . . . . . . . . . . . 171

Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.4

Multiplikation av parenteser . . . . . . . . 177

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.5

Uttryck med potenser . . . . . . . . . . . . . 183

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.6

Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.7

Ekvationer med parenteser . . . . . . . . . 193

4.8

Problemlösning med ekvationer . . . . 198

5 SANNOLIKHET OCH STATISTIK

220

5.1

Hur stor är sannolikheten? . . . . . . . . . 222

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.2

Träddiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Träna Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . 254

5.3

Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Utveckla Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . 257

5.4

Tabeller och diagram . . . . . . . . . . . . . . 243

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Läxor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Problemlösningsstrategier. . . . . . . . . . . . . . . . 286 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Bildförteckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd V

V

2018-08-15 11:32

Seriens uppbyggnad

Matematik XYZ är ett läromedel i matematik för högstadiet. Matematik X är avsedd för åk 7, Matematik Y för åk 8 och Matematik Z för åk 9. Serien finns för hela grundskolan från förskoleklass till årskurs 9.

Materialet för åk 4-6 heter Alfa, Beta, Gamma.

För var och en av delarna X, Y och Z finns följande komponenter:

Hemsida – innehåller bland annat arbetsblad, extrablad, aktivitetsblad, planeringar, matriser, diagnoser och prov i form av Word- och PDF-filer.

Där finns även filmer till alla avsnitt, webbappar, interaktiva övningar, kalkylblad med data, Powerpointpresentationer och SMART Board-filer.

Adressen är www.matematikxyz.com.

Grundbok – genomgångar av centralt innehåll och uppgifter på tre nivåer.

Utöver detta finns följande årskursövergripande material till serien:

Basbok – lättare uppgifter för elever som behöver mer stöd.

Lathunden – ett häfte med korta sammanfattningar av begrepp och formler.

Utmaningsbok – svårare uppgifter för elever som behöver mer utmaningar.

LänkEn 6-7 – en bok där fokus är att träna det som krävs för betyget E i åk 6.

Lärarguide – information, metodiska tips, facit, ledtrådar, lösningsförslag och hänvisningar till omfattande digitalt material på hemsidan.

LänkEn 9-Gy1 – en bok där fokus är att träna det som krävs för betyget E i åk 9.

Matematik Digital – en ny generation digitala läromedel med teori, övningar, filmer och intelligent återkoppling.

Matematik X

Bas X

Utmaning X

Lärarguide X

Problemboken – ett häfte med problemlösningsstrategier och matematiska problem.

Matematik Digital

www.matematikxyz.com

Bas Y

Utmaning Y

Lärarguide Y

Hemsida

Lathunden

Matematikboken

Matematik Y

Problemboken METODER VID PROBLEMLÖSNING

X Y Z

Undvall

Johnson

Problemboken omslag.indd 1

Matematik Z

VI

Bas Z

Utmaning Z

Lärarguide Z

LänkEn 6–7

LänkEn 9–Gy1

2016-10-12 15:22

Problemboken

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd VI

2018-08-13 10:52

Lärobokens struktur 2. Aktiviteter – i form av till exempel spel eller enklare laborationer.

Matematik Y innehåller vårt förslag till matematikkurs för åk 8, men du är så klart fri att göra vilka anpassningar du vill. Det viktiga är att eleverna uppnår kunskapskraven i åk 9.

Division av bråk 1 tal

1.4

Matematik Y har fem kapitel med rubriker från det centrala innehållet i Lgr11.

AKTIVITET: Bråktavlan 2–3 st

Antal deltagare:

1 1 2

kap  Taluppfattning och tals användning

1 2

1 3

1 3

1 4

kap  Samband och förändring

1 6 1 8

1 12

kap  Geometri

1 4

1 6

1 8

1 3

1 4

1 12

1 6 1 8

1 12

1 12

1 12

1 6

1 8

1 12

1 12

1 12

1 Vilket eller vilka bråk på bråktavlan

är lika med de här talen?

1 1 3 a) b) c) 2 3 4

3 a)

1 1 2 4

b)

1 1 3 12

c)

1 8

1 8 1 12

1 12

1 12

1 12

4 a)

1 2 2

b)

1 3 2

c)

1 4 2

5 a)

4 4 8

b)

3 3 12

c)

2 4 3

B Hitta på egna uppgifter till bråktavlan. Låt en kompis lösa dina uppgifter.

Beräkna med hjälp av bråktavlan.

1 1 1 2 a) 1 b) 1 c) 1 2 4 8

kap  Sannolikhet och statistik

1 6

1 8

A Använd bråktavlan, diskutera med varandra och lös följande uppgifter.

kap  Algebra

1 4

1 6 1 8

1 1 3 6

1.4

DIVISION AV BRÅK

27

Arbetsgång

1. Ingressuppslag – med Kan du det här? samt centralt innehåll för kapitlet och en sammanställning av begrepp som eleverna möter i kapitlet. Kan du det här? finns även att skriva ut från hemsidan samt digitalt via tjänsten Socrative.

3. Genomgångar – till vilka det finns stöd i form av teori och lösta typexempel i läroboken. Det finns även SMART Board-filer, Powerpoint-filer, filmer med mera på vår hemsida att använda vid genomgångarna.

Andel i bråkform, decimalform och procentform

2 samband

Vi tänker oss följande arbetsgång när du arbetar med ett kapitel i Matematik Y.

EXEMPEL

Hur stor andel av pengarnas värde utgör femtiolappen? Svara i

KAN DU DET HÄR?

A: 1,5 C: 1,15

a) bråkform

ETT

?

B: 11,5 D: 1,2

B:

C:

D:

B: 22

C: 6

D: 8

5 Vilket tal saknas i uträkningen 2 – B: 1,4

A:

B: 0,9

7 Hur mycket är A: 3

B: 0,3

B: 0,52

=

?

D: 1,75

C: 0,95

D:

med bild

Tal i potensform. Grundpotensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix.

C: 0,03

Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik.

Metodernas användning i olika situationer.

Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

bråkform

bråkform

100 %

100 1 Β 100 1

1

En halv

50 %

50 1 Β 100 2

0,5

En fjärdedel

25 %

25 1 Β 100 4

0,25

En femtedel

20 %

20 1 Β 100 5

0,2

En tiondel

10 %

10 1 Β 100 10

0,1

Svar: a) 2 5

Du kan också förkorta med 25 direkt för att få bråket i enklaste form (

50 / 25 125 / 25

Eftersom

c) 2 = 40 % 5

decimalform

Eftersom

1 5

1 5

Β 0, 2 så är

2 5

Β 20 % så är

=

2

).

5

Β 0, 4 .

2 5

Β 40 % .

Du kan också tänka så här: 0,4 = 0,40 = 40 hundradelar = 40 %.

b) 0,4

c) 40 %

EXEMPEL

Hur många procent av kulorna är gula?

Det hela: 25 st Delen: 7 st

decimalform förlängning

2.1

ANDE LE N

Det är 25 kulor sammanlagt.

Det är 7 gula kulor.

Andelen gula kulor:

61

förkortning

och 0,64?

D: 0,62

procentform

För att hitta ett bråk med så liten nämnare som möjligt kan du förkorta med 5 två gånger.

blandad form

D: 0,003

C: 0,525

med ord

En hel

TRE

?

8 Vilket tal ligger mitt emellan A: 0,32

?

C: 1,25 ?

b) 2 = 0,4 5

3 3 ⋅ 10 30 = = = 30 hundradelar = 30 % 10 10 ⋅ 10 100

Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.

TVÅ

A: 1 200 B: 20 600 C: 12 000 D: 120 000

A: 0,25

a) Det hela: 125 kr Delen: 50 kr Andelen: 50 / 5 = 10 / 5 = 2 125 / 5 25 / 5 5

3 i procentform så kan vi förlänga Ordet procent betyder ”hundradel”. För att få 10 med 10:

4 Hur mycket är 20 · 600?

6 Hur mycket är

c) procentform

delen det hela

3 Vi kan skriva andelen blåa ballonger som i bråkform, som 0,3 i decimalform 10 och som 30 % i procentform.

3 Hur mycket är 14 – 3 · 2?

A: −8

Tre av de tio ballongerna är blåa. Vi säger då att andelen blåa ballonger är tre tiondelar.

Andelen talar om hur stor delen är jämfört med det hela. andelen =

och tals användning

2 Vilken omvandling är korrekt gjord?

A:

b) decimalform

1 Taluppfattning

1 tal

1 Vilket tal är lika med

7·4 28 7 = 28 % = = 25 25·4 100

Du förlänger med 4 för att få nämnaren 100.

28 hundradelar är lika med 28 %.

enklaste form

Svar: Andelen gula kulor är 28 %.

minsta gemensam nämnare (MGN)

K • Presentera fakta.

• Presentera och redovisa dina beräkningar.

• Visa mellanled.

• Svara med hel mening.

potens

9 Det femsiffriga talet 31 2 ? 4 är jämnt delbart med både 3 och 4. Vilken siffra saknas?

A: 1 B: 4 C: 5 D: 8

6

Begrepp

bas

Vilka begrepp känner du till sedan tidigare?

Kan du beskriva dem?

exponent

62

2.1

ANDE LE N

tiopotens

grundpotensform

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd VII

VII

2018-08-14 07:40

7. Träna – Här får eleverna träna på liknande uppgifter som de haft svårt med på diagnosen.

Träna samband och förändring UPPGIFT

1

145 Hur stor andel av figuren är grön?

Svara i

UPPGIFT

2

150 En kopp kaffe och en bakelse kostar 69 kr. Bakelsen kostar 44 kr. Hur stor andel av hela kostnaden utgör bakelsen? Avrunda till hela B M K procent.

B M

a) bråkform b) decimalform c) procentform

2 samband

4. Uppgifter – 6-8 avsnitt med uppgifter på tre svårighetsnivåer bland annat i form av miniteman. För de elever som tycker nivå ETT är för svår, finns en lättare nivå i Bas Y. För de elever som behöver tuffare utmaningar än nivå TRE så finns sådana i Utmaning Y.

UPPGIFT

146 Vad saknas i tabellen?

10

0,2

c) 35 %

3

korten är röda? a) Hur stor andel av procentSvara i bråkform och B M form. ruter? b) Hur stor andel är form. B M Svara med bråk i enklaste är högre korten av andel stor c) Hur B M m. L än 5? Svara i procentfor

9

11 B M

12

L

154 30 % av en summa pengar

FRUKOSTKOPPE N

a) 0,225 c)

15

b) Hur stor är hela summan?

155 En dag var 2/9 av eleverna i en klass

14 25

ANDE LE N

sjuka. Det innebar att 6 elever var sjuka. Hur många elever går M i klassen? L

B M

3!

17

B M

18

c) 14 hundradelar d) 0,025

K

156 I en skola är 60 % av eleverna pojkar.

b) 95 kr av 930 kr Avrunda till tiondels procent.

Hur många elever går i den skolan M om antalet pojkar är 360? L

B M

2.

Hur stor andel var av märket a) Audi b) Toyota Svara med bråk i enklaste form och i procentform.

M

d) 18 tusendelar

a) 8 kr av 170 kr

Diagrammet visar de bilmärken som fanns parkerade utanför en affär en dag.

14 12 10 8 6 4 2

Köp 4.

Betala för

Skriv som bråk i enklaste form. a) 64 % b) 0,45

M

a) Hur mycket är 10 % av summan?

2

K

antal

Hur många procent

63

är 150 kr.

UPPGIFT

149 Hur många procent är 16 P R

är b) 34 200

4 M

a) 35 kr av 90 kr b) 720 kr av 950 kr

Vilket erbjudande är bäst?

Förklara

MATJÄTTEN

P R

b) Vilket är talet?

Avrunda till hela procent.

13

30% rabatt på alla skjortor

UPPGIFT

148 Hur många procent är

varför.

Aboriginer är Australiens ursprungsbefolkning.

Idag finns ungefär 400 000 aboriginer.

För dem är Uluru en helig plats och de vill därför inte att turister klättrar på klippan.

Köp 5! Betala för 4!

2.1

Förklara hur du tänker.

a) Hur mycket är en fjärdedel av talet?

M K

14

64

a) två skjortor b) tre skjortor

153 Tre fjärdedelar av ett tal är 9.

12

ANDE LE N

rabatt får man om man köper

TRE

14

10 arna är godisbjörn a) Hur stor andel av 8 m decimalfor gula? Svara i bråkform, 6 B M och procentform.

4 grön och b) Martin äter upp en 2 många en gul godisbjörn. Hur arna är P Ä procent av godisbjörn P K orangea? sedan

2.1

152 Hur många procent

B M

c) procentform

Australiens befolkning är 20 miljoner.

Hur stor andel av befolkningen är aboriginer? Svara i procentform.

antal

6

3%

b) decimalform R

Varje år besöker mängder av turister klippan Uluru i Australien. Ungefär 30 % av dem klättrar hela vägen upp på klippan. Hur stor andel av turisterna klättrar inte upp? Svara med ett bråk i enklaste form och i decimalform. B M

d) 24 %

Diagrammet visar hur många äppelträd REA! och hur många % rabatt det finns i en 10päronträd fruktträdgård. Hur många procent av M K träden är äppelträd?

?

?

93

TRÄNA SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

Volvo

0,25

5

0,7

?

a) bråkform (enklaste form)

Toyo ta

1 5

2

D

11 c) d) 0,16 20 och tycker då att Oscar köper två böcker Oscar i rabatt. Har 20 %andelarna som bråk M R han8ska fåSkriv ditt svar.

Motivera i enklaste form. rätt eller fel? a) 75 % b) 60 %

?

3

151 I en klass är 20 % av pojkarna vänsterhänta. Även 20 % av flickorna är vänsterhänta. Hur många procent av eleverna i klassen är vänsterP hänta?

det vill säga spader eller klöver?

Svara i

VW

1,2

2 hundradelar

24 300

b) E

10

M

?

2 samband

d) 100 % a) 9 50

20 hundradelar

b) c)

11 14 20 Vilken av andelarna , eller 17 29 49 är närmast 50 %? Förklara hur P du tänker.

Ford

1 4

B

Procentform

?

100

147 Hur stor andel av korten är svarta,

TVÅ

C

Au di

2

med 20 %?

B

B

Decimalform

17

a)

BM W

Vilka av talen är lika

4

M

Hur många procent är 3 7 b) a) 5 10 24 11 d) c) 200 50

1

A och går ett Du börjar vid punkten pilens riktning. varv runt kvadraten i P du gått Vid vilken bokstav har B A a) 50 % 1 b) F 3 7 % Hur många procent är c) 75

Bråkform

2 samband

ETT

B M K

Mariam är ute och springer en 1,2-milsrunda. Efter 20 minuter har hon sprungit 3,4 km.

Hur mycket längre ska hon springa för att ha sprungit 75 % av sträckan?

P B K

I en klass är 10 % av pojkarna vänsterhänta. Även 10 % av flickorna är vänsterhänta. Hur många procent av eleverna i klassen är vänsterhänta?

Förklara hur du tänker.

8. Utveckla – För elever som snabbt blir klara med Träna eller som inte behöver räkna Träna-uppgifter alls.

P R

utmaning Y KAPITEL 2 2.1

ANDE LE N

65

Utveckla samband och förändring

176 Under en temadag ville 60 % av

5. Blandade uppgifter – uppgifter från alla avsnitt i kapitlet.

179 Jenny arbetade i en glassbar på

Ytterbyskolans elever jobba med ”Världsreligionerna”. De övriga nittiosex eleverna valde ”Skogens ekosystem” eller ”Novellskrivning”. Hur många M K elever gick i Ytterbyskolan? L

177 Räkna ut det som saknas.

sommarlovet. För 1/3 av lönen köpte hon en resa till västkusten. För 3/8 av det som blev kvar köpte Jenny P B kläder.

b) Hur stor andel av lönen fanns kvar efter resa och kläder? Svara med ett bråk och i hela procent.

b) 120 kr – ? % av 120 kr = 60 kr c) 60 kr + ? % av 60 kr = 75 kr d) 90 kr – ? % av 90 kr = 54 kr

180 Ett positivt tal ska multipliceras med 2.

Av misstag divideras talet med 2 istället.

Hur många procent mindre är kvoten P B K än produkten? L

178 I en bokhandel kostar en bok 265 kr.

På en stormarknad kostar samma bok 195 kr.

M

122 Två femtedelar av ett tal är 8.

a) 50 % av 18 kaniner

a) Hur mycket är en femtedel av talet?

1 av 60 bilar b) 3 c) 20 % av 30 elever

b) Vilket är talet?

större än 100 %.

d) tre tiondelar av 400 kr M

det att x är 50 % mindre än y? Förklara M R hur du tänker. L

b) Hur många procent dyrare är boken i bokhandeln än på stormarknaden?

Avrunda till hela procent.

L

182 Talen x och y är positiva heltal och x är x % av y. Vilket tal är y?

B M K

L

P B K

120 Kirsti och Samuel skulle dela på 800 kr.

M R

124 Hur många procent är a) 14 kg av 30 kg

7 c) 50 d) femton hundradelar

b) 78 euro av 560 euro Avrunda till hela procent.

sänks med 30 %.

a) Hur många kronor fick var och en?

a) Med hur många kronor sänks priset?

M

b) Samuel fick sedan 60 kr av Kirsti.

Hur stor andel hade Samuel då fått av pengarna? Svara med ett bråk P B i enklaste form.

M

b) Vilket blir det nya priset?

126 Räkna ut det som saknas i tabellen.

K

b) gurkor B M

a) b) c)

utmaning Y KAPITEL 2

P B K

Kapital

121 Hur stor andel av grönsakerna är Svara med ett bråk i enklaste form och i procent.

B M

125 En dator kostar 19 900 kr. Priset

Kirsti fick 70 % och Samuel fick resten.

a) tomater

181 Talet y är 50 % större än talet x. Betyder

123 Ge exempel på en ökning som är

119 Hur många procent är 3 a) 4 b) 0,015

M

a) Hur många procent billigare är boken på stormarknaden än i bokhandeln?

2 samband

ETT

BLANDADE UPPGIFTER

118 Hur stor är delen?

K

a) Hur stor andel av lönen gick till kläder? Svara med ett bråk i enklaste form. L

P K

a) 60 kr + ? % av 60 kr = 120 kr

Räntesats

Tid

Ränta

6 000 kr

4,5 %

1 år

?

50 000 kr

3%

?

750 kr

40 000 kr

?

3 mån

500 kr

96

2.

UT VECKLA SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

L L

En räntesats höjs från 2 % till 3 %.

Hur stor är höjningen i B M

e) procent

B M

2.

B L A N DA D E U PPG I FTE R

9. Förmågorna i fokus – 8 olika typer av uppgifter som tränar de fem förmågorna. Till två av uppgifterna finns det bedömningsmatriser att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

89

6. Diagnos och Test – finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

förmågorna i fokus

förmågorna i fokus

RESONERA OCH UTVECKLA – MÖBELREA

E C A P B M R K

En möbelaffär ska stänga och säljer ut möbler under några dagar.

Möblerna blir billigare ju längre man väntar. Men risken är då förstås större att någon annan köper den möbel man vill ha.

2 samband

d) procentenheter

VÄRDERA OCH REDOVISA – TANZANIA A Till uppgift 1 finns fyra olika lösningar som alla leder till rätt svar.

– Vems lösning är bäst?

– Vilka brister ser du i de andra lösningarna?

Utförsäljning!

1 Afrikas största sjö, Victoriasjön, ligger till hälften i Tanzania. Sjöns area är 68 800 km2. Sveriges största sjö, Vänern, är 5 600 km2. Hur många procent mindre area har Vänern än Victoriasjön? Avrunda till hela procent.

MATEMATIK

Ludvig Skillnad: 68800 – 5600 = 63200

19 500 kr

Diagnos 1 Träna

1

a) Vilka av bråken är skrivna i enklaste form? b) Skriv de övriga i enklaste form. M

2

3

184–185

B

Procent:

MATEMATIK

Test 1 a) Vilka omvandlingar är riktiga? M b) Rätta de som är fel. M 12 2 3 13 A: = 2 B: 1 = 5 5 7 7 1 13 14 2 D: 2 = E: = 4 6 6 3 3 Vilket tal är störst?

4 7 a) eller 6 9

4

Vilket av bråken

5

a)

3 5 + 4 6

186–188

21 1 = 2 4 4 2 32 F: 3 = 5 5 C:

11 900 kr

1

b)

2 5 7 , eller 3 8 12

5 13 27 , och är närmast 1? Förklara hur du tänker.

6 14 28 b)

8 2 – 9 3

c)

4 3 + 5 4

a)

3 1 · 4 2

b) 6 ·

5 9

c)

7 4 · 8 5

7

a)

3 6 / 4 8

b) 1 /

3 5

c)

3 /2 5

102 b) 2 5

M K

M K

a) 62 + 23

9

Skriv talen utan tiopotens. b) 6,5 · 105 c) 3,25 · 104 a) 7 · 103 d) Vilket tal är x i uttrycket 10x – 5 · 102 = 500? P K

c) 32 · 104

2 P R

M K

B M

a) onsdag

B M

b) Skriv

B M

3

3 5 7 Vilket tal är minst av talen , och ?

4 8 12

4

Olivia är osäker på vilket tal som är störst 0,5 eller

5

a) Vilka beräkningar är riktiga? b) Rätta de som är fel.

4 2 1 3 7 + = A: + = 9 6 18 18 18 3 2 9 15 24 + = =1 C: + = 8 3 24 24 24

198–200

204–206 207–211

M

9

B:

≈

= 92,9... % ≈ 93 % Svar: Vänern är 93 % mindre än Victoriasjön.

Mindre (%):

=

= 92,9... % ≈ 93 % Svar: 93 % mindre

1 11 3 11 8 3 − = − = = 12 4 12 12 12 4 2 1 20 8 5 7 − = − − = 5 4 20 20 20 20

2.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

2.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

101

D: 1 –

5 ·9 6

c)

3 4 · 8 5

M K

5 1 / 6 3

c)

7 /2 8

M K

b)

53 10 2

c) 42 · 102 · 14

Skriv talen i grundpotensform a) 200 000 b) 17 000

säger Tove. Undersök om det stämmer.

5 Hur många procent lägre är priserna på lördag än på torsdag?

b)

Vilket tal är x?

80 000 – 4,5 · 10x = 3,5 · 104

Procent mindre:

Alonzo Skillnad: (68800 – 5600) km2 = = 63200 km2

kommer att kosta på fredagen. Vilket är det ordinarie priset på fåtöljen?

4 ”Om vi väntar till lördag, är alla priser hälften så höga som på fredag”

100

b)

a) 72 − 33

3 Shermin vill köpa en fåtölj. Men hon har bara 3 600 kr. Det är vad fåtöljen

Helena Skillnad: 68800 – 5600 = 63200 km2 Victoriasjön: 68800 km2

M M

2 3

a) 2 /

8

c) lördag

= 92,9 % ≈ 93 % Svar: Vänern är 93 % mindre.

≈

M R

2 2 · 5 3

a)

7

10

M K

50 ?

99 Förklara för henne hur hon ska tänka utan att utföra divisionen.

6

b) torsdag

2 Hur mycket billigare är sängen på lördag än på fredag?

1 i bråkform.

4 14 i blandad form.

3

a) Skriv 2

193–194

195–197

201–203

M K

8

Allt ska bort!

1 Hur mycket kostar soffan på

189–192

M

6

VIII

a) Vilka av bråken är inte skrivna i enklaste form? b) Skriv dessa bråk i enklaste form.

Onsdag: 20 % Torsdag: 40 % Fredag: 60 % Lördag: 80 %

=

Lovisa Vänern är

≈ 7 % av Victoriasjön.

100 % – 7 % = 93 % Svar: Vänern är en 93 % mindre sjö.

M K B M

c) 1 600 000 P K

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd VIII

2018-08-13 10:52

10. Sammanfattning – en kort sammanställning av begrepp och metoder i kapitlet.

Läxor – finns i slutet av Y-boken samt på vår hemsida (www.matematikxyz.com). Basbokens läxor och facit finns bara på hemsidan. Det står angivet i varje läxa efter vilket avsnitt det är lämpligt att ge respektive läxa.

Omkretsen av en månghörning (polygon) får man genom att addera alla sidornas längder. Ett områdes area (A) talar om hur stor yta området har.

Månghörning Polygon

Rektangel

Omkrets

Kvadrat

Area höjd (h)

A=b·h

s

A=s·s bas (b) s

Romb

A=b·h

Parallellogram A=b·h

h

h b

b Triangel

A=

b⋅ h 2

Att arbeta med när det passar:

Parallelltrapets h(a + b) A= 2

h

b

h a

b

Cirkel radie (r) diameter (d)

Läxor

A = Ο· r · r eller A = Ο · r²

O = Ο· d

Volym Prismor Prisma

Rätblock

Pyramid

Läxa 1

Kub

h

2 3 5 c) 1 8

B

V=B·h

V=B·h

V=

V=B·h

Cylinder

B·h 3

Klot

Kon

6 Diagrammet visar hur lång sträcka

B M

Lisa har cyklat vid olika tidpunkter.

1 5 2 d) 4 7

a) 2

B B

B

Efter avsnitt 1.2

1 Skriv talen i bråkform.

h

h

h

b) 3

B

r

V= B·h V=

där B = Ο · r ²

3.

B·h 3

där B = Ο · r ²

V=

1 2 1 c) 3 3 d) 4 2 e) 3

4 · Ο· r ³

b)

3

S A M M A N FAT T N I N G

11. Repetition – med uppgifter hämtade från bokens exempelrutor. Filerna finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com). Där finns även övningsprov som eleverna kan använda för att träna inför provet.

liter liter liter

Alla uppgifter i det här repetitionsavsnittet finns som lösta exempel i Matematik Y. Intill varje uppgift står det på vilken sida du hittar exemplet. Om det är någon uppgift som du inte vet hur du ska lösa, så kan du slå upp den sidan i boken och titta på hur en lösning kan se ut.

sid 2 5 eller ?

3 7

Vilket tal är störst,

2

Hur stor andel av rektangeln är vit? Svara med ett bråk i enklaste form.

3 5

10

a)

5 3 + 8 4

b) 1

4

a)

1 3 · 2 5

b) 3 ·

5

I en spargris finns 120 mynt. Två tredjedelar av mynten är femkronor.

Hur många femkronor finns i spargrisen?

2,5

c)

0,2

0,25

0,4

5 2

d) 0,17

M K

266

klockslag

b)

64 40

c)

1,8 0,06

L

R

M K

visar hastigheten i miles per timme.

Billy kör genom ett samhälle där högsta tillåtna hastighet är 50 km/h. Hur mycket får hastighetsmätaren visa som mest?

P B K Avrunda till heltal. L

B

1,7

14.30

9 Billy kör en bil där hastighetsmätaren

17 100

1 mile = 1 609 m

0,2

13 tiokronor, 35 enkronor och resten är femkronor. Hur många femkronor har Camilla?

10 En fotbollsplan har måtten 112,5 m · 64 m.

Karin ska klippa gräset på planen. Hon går med hastigheten 1,5 m per sekund och klipper 1 m brett. Hur lång tid tar det för P K Karin att klippa hela planen? L

P K

LÄXOR KAPITE L 1

10

2 5

2 8 – 9 9

c)

1 + 0,7 6

4 7

c)

3 6 · 4 7

1 4 3 5

18

Problemlösningsstrategier

23

23

3 /2 4

a) 4 /

29

1. Rita en bild

7

Emma och Sabrye har kokat 6 liter saft. Saften ska hällas i flaskor som rymmer 3/4 liter. Hur många flaskor blir det?

29

EXEMPEL

8

Skriv på ett kortare sätt.

33

b) 1 /

a) 7 · 7 · 7 · 7 · 7

c)

b) 4 + 4 + 4 + 4 + 4

⎛2⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

3

10

a) 24 – 22

11

Skriv talen som tiopotenser.

c) 0,2

3

2 3 ⋅ 32 10 2

c)

Fyra orter A, B, C och D ligger längs en väg. Avståndet mellan A och C är 12 km. Mellan B och D är det 15 km. Avståndet mellan A och B är en tredjedel av avståndet mellan B och D. Hur långt är det mellan C och D?

c) x · x · x · x

2

b) 5 · 32

a) 1 000

12

8 a) 6

5 Camilla har 250 kr i mynt. Hon har

6

a) 5

än

3 2 0 4 4 2 7 d) 0 3 9

14.00

13 är mer eller mindre 27 1 M ? Förklara hur du tänker.

2

7 Hur vet du om

b)

2 5

b)

13.30

C

3

9

10

A B

D E

Problemlösningsstrategier – finns presenterade i slutet av boken. Passar bra att använda när ni arbetar med problemlösning, till exempel i Förmågorna i fokus.

Repetition kap 1

1

30

4 Vilket av talen i rutan är lika med 1 4

R

40

10 dl 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 c) 0,7 2 4

a)

M

km sträcka

20

liter

3 a) 1 2

M

B

problemlösning

156

Vilken av pilarna pekar på 1 liter a) 4

r

B

a) Vilken tid startade Lisa? b) Hur lång sträcka cyklade Lisa första halvtimmen? c) Vad hände 14.00?

2 Bilden visar ett litermått. r

h

2

34

d) (11 – 3)2

34

d) 10 · 0,4

Rita en bild och för in, bit för bit, informationen från texten.

12 km A

B

C

D

39

b) 100 000

5 km

c) tio miljoner

a) Skriv talet 65 000 i grundpotensform.

39

15 km

Avståndet mellan C och D är (15 + 5 – 12) km = 8 km.

b) Skriv talet 4,2 · 105 utan tiopotens.

Svar: Det är 8 km mellan C och D.

2. Gissa och pröva EXEMPEL

12. Prov – med bedömningsanvisningar och resultatblad. Varje prov finns i två varianter (A och B) och det finns flera olika versioner av proven.

Hedvig samlar på fem- och tiokronor.

Hon har totalt 100 mynt som sammanlagt är värda 720 kr.

Hur många mynt av varje sort har Hedvig?

5-kronor

10-kronor

Värde

50 st

50 st

750 kr

60 st

40 st

Kommentar För mycket

700 kr

För lite

55 st

45 st

725 kr

5 kr för mycket

56 st

44 st

720 kr

Stämmer

Svar: Hedvig har 56 st femkronor och 44 st tiokronor.

PROBLEMLÖSNINGSSTRATEGIER

313

Kap 2

Bedömningsmatris ea UTVECKLA – Möbelr RESONERA OCH

Högre Lägre Förståelse och genomförande

Eleven följer Eleven följer instruktionen och löser instruktionen och löser uppgifterna relativt uppgifterna med relativt självständigt. mycket hjälp.

Eleven använder en i e huvudsak fungerand metod för att beräkna priserna i uppgift 1 med godtagbart resultat.

Eleven använder en ändamålsenlig metod och får fram ett korrekt resultat i uppgifterna 1–3.

Metod och begrepp Visar grundläggande kunskaper om andelsbegreppet genom i att ta reda på priserna uppgift 1 och göra en jämförelse i uppgift 2.

Analys och resonemang

Kommer på något sätt fram till en tillfredställande jämförelse i uppgift 2.

en

Prov i matematik

Använder en väl fungerande och effektiv metod för att lösa uppgifterna 1-3, genomföra 4 undersökningen i uppgift och kommer fram till korrekt resultat på uppgift 5.

KAPITEL 1 VERSIO

Till följande uppgifter

1

Visar mycket goda kunskaper om att andelsbegreppet genom i motivera påståendet fram uppgift 4 och komma i till ett korrekt resultat uppgift 5.

Kommer fram till mycket en till fram Kommer goda slutsatser på uppgift korrekt jämförelse i 2, 4 och 5. uppgift 2 samt en god 4. motivering i uppgift

Bemöter påståendet i uppgift 4 på ett sätt som till viss del för resonemanget framåt.

Bemöter påståendet i uppgift 4 på ett sätt som för resonemanget framåt.

Redovisningen är lätt att följa.

Det matematiska språket är enkelt och till viss del anpassat till sammanhanget.

Det matematiska t språket är godtagbar och förhållandevis väl anpassat till sammanhanget.

TID: 60 MIN

behöver du endast

a) Vilket av bråken i rutan

skriva svar.

är skrivet i enklaste

form? Förklara hur

du tänker.

b) Skriv bråket 15 i enklaste form.

25

2

3

Bemöter påståendet i uppgift 4 på ett sätt som för resonemanget framåt och fördjupar eller breddar det.

Redovisningen är klar tydlig.

N 1A

HJÄLPMEDEL: –

DEL I

Visar goda kunskaper om andelsbegreppet genom att ta reda på ursprungspriset i uppgift 3.

Redovisningen går i huvudsak att följa.

Redovisning och matematiskt språk

Eleven följer instruktion och löser uppgifterna självständigt.

4

a) Skriv talet 560 000 i grundpotensform. b) Vilka två tiopotense r har summan 11 000?

Vilken är den minsta gemensamma nämnaren till bråken 3 och 5 ?

Förklara hur du tänker.

8 6 Tre av begreppen nedan hör ihop.

Vilket av begreppen ska bort?

(1/0/0) (0/1/0)

(1/0/0) (1/0/0)

och

är Det matematiska språket korrekt och väl anpassat till sammanhanget.

(1/0/0)

(1/0/0)

5 6

7

Skriv med siffrorna 1, 2, 5 och 9 ett bråk som ligger så nära talet 0,5 som möjligt.

Vilken eller vilka av divisionerna ger ett svar som är större Förklara hur du vet än 1? det utan att räkna.

3 8 A: /2 B: / 1 4 C: 1,1 / 9 3 9 3 D: / 3 11 8 4 Gabriel vet att potenser räknas före multiplika tion och räknar därför så här: 103 + 103 ∙ 2 = 2 000 ∙ 2 = 4 000 Är Gabriels lösning korrekt? Förklara hur du tänker.

(0/1/0)

(0/1/0)

(0/1/0)

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd IX

IX

2018-08-13 10:52

Mer än bara en bok

På vår hemsida (www.matematikxyz.com) finner du och dina elever en stor mängd digitala resurser.

Innehållet är uppdelat på lärare och elever med bland annat följande rubriker:

Lärare Aktivitetsblad – Aktivitetsbladen som hör till bokens aktiviteter samt några extra aktiviteter som inte finns i boken.

Arbetsblad– Arbetsbladen innehåller uppgifter som eleverna kan använda för att träna mera, till exempel om nivå ETT är för svår eller om eleverna behöver träna mera efter diagnosen.

Bedömningsstöd – Här ligger självskattningsblad, matriser samt kopieringsunderlag för E C A P Kan du det här? och Vad minns du?.

B De uppgifter som har en matris är märkta M R med den här symbolen i boken.

K Digitala hjälpmedel – En sida med tips och länkar till digitala resurser på internet.

Doobidoo – Powerpointfiler med Matte-Doobidoo, en fil för varje kapitel.

Extrablad – Uppgifter som till exempel kan användas till elever som gjort klart diagnosen och medan de väntar på att alla blir klara.

Fortbildning – Vi kommer gärna ut till er skola och håller i fortbildning eller informerar om Matematik XYZ. Fyrfältsproblem – Kopieringsunderlag med uppgifterna från boken samt en sida med fyra fält – ett fält till varje strategi. Bladen klistras in i elevernas problemlösningshäften.

Powerpoint – Till varje avsnitt finns det en Powerpoint-fil som du kan använda när du går igenom avsnittet.

Programmering – Uppgifter för programmering.

Repetition – Repetitionsuppgifter hämtade från exempelrutorna i boken. Eleverna kan räkna repetitionsuppgifterna innan provet.

Räkna och häpna – Powerpointfiler med de Räkna och häpna-uppgifter som finns i boken, inklusive ett förslag på lösning. Här finns även några fler uppgifter som inte finns i boken.

SMART Board – Notebook-filer till alla avsnitt för dig som använder SMART Board.

Socrative – Samtliga Kan du det här? och Vad minns du? som digitala Socrative-tester, vilket innebär att de rättas automatiskt. Övrigt – Övrigt kopieringsunderlag som till exempel en multiplikationsmatris, en tallinje, en prefixtabell och formelbladet till nationella proven.

Elever Fel i facit – Här publiceras löpande de fel i facit vi känner till.

Filmer – Länksamling med alla våra matematikfilmer publicerade på vår Youtube-kanal.

Kalkylark – Filer med data att arbeta med.

Läxor – Här ligger alla läxor inklusive facit till både grundboken och basboken, så att eleverna slipper bära hem böckerna.

Nationella prov – Här finns bland annat några filmer om muntliga delen och betygssättning.

Kalkylark – Färdiga uppgifter som tränar hur man skapar olika diagram och hur man gör beräkningar i Microsoft Excel och Google Kalkylark.

Programmering – Material till uppgifter.

Logga in – Här hittar du diagnoser, tester och prov som Word-filer. Till varje prov finns facit, bedömningsanvisningar, förslag på lösningar och resultatblad.

Webbappar – Länkar till våra webbappar som till exempel tränar begrepp.

Planeringar – Veckoplaneringar i Word-filer som du själv kan ändra i om du vill.

X

Sammanfattning – En sammanfattning av alla sammanfattningar som finns i Matematik XYZ.

Övningar – Interaktiva övningar, till exempel för att träna bråkräkning.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd X

2018-08-13 10:52

1. Ingressuppslag

Kan du det här?

Kan du det här? är till för att både du och eleven ska få inblick i elevens förkunskaper innan ni startar arbetet med kapitlet. Uppgifterna finns i boken, som kopieringsunderlag och digitalt via webbtjänsten Socrative som du får tillgång till via vår hemsida (www.matematikxyz.com). Läs mer om hur du kommer igång med Socrative på nästa sida eller titta på instruktionsfilmen på vår hemsida. Om du använder den digitala versionen av Kan du det här? sker rättningen automatiskt och du behöver bara analysera resultatet.

KAN DU DET HÄR?

ETT

1 40 % är lika med A: fyrtio tiondelar C: fyrtio hela

B: fyra hundradelar D: fyrtio hundradelar

2 Hur många procent är A: 1,5 %

B: 15 %

?

C: 20 %

D: 50 %

3 Hur mycket är 25 % av 80 kr?

A: 20 kr

B: 25 kr

C: 320 kr

D: 2 000 kr

TVÅ

4 3 av 12 äpplen är röda.

Hur många procent är röda?

A: 3 %

B: 25 %

C: 36 %

D: 40 %

5 Hur mycket är 6 % av 2 000 kr?

A: 1 200 kr C: 120 kr

B: 2 006 kr D: 26 kr

6 Hur många procent är A: 7 %

B: 25 %

?

C: 28 %

D: 72,5 %

7 Det ligger 10 gula och 40 blåa kulor i en

TRE

Vad du gör efter Kan du det här? beror så klart på resultatet för varje enskild elev. Är det många elever i klassen som gjort fel på någon eller några uppgifter kan du behöva repetera med hela klassen. Tanken är att du med resultatet som grund även ska kunna planera din fortsatta undervisning så att den grundar sig i elevernas förförståelse.

Begrepp Ingressen innehåller en lista på de begrepp som eleverna möter i kapitlet. För att få eleverna att börja reflektera kring begreppen och för att du ska få en snabb bild av gruppens förkunskaper föreslår vi att du använder till exempel handuppräckning, små whiteboardtavlor eller liknande för att låta eleverna tala om vilka begrepp de kan, känner till eller inte kan. I avsnittet Förmågorna i fokus finns samma begreppslista, men eftersom det är i slutet av kapitlet och eleverna då bör känna till begreppen ger vi där förslag på mer omfattande övningar för att arbeta med begreppen.

skål. Hur stor andel av kulorna är gula?

A: 10 % B: 20 % C: 30 % D: 40 %

8 Hur mycket är 1,5 % av 6 000 kr?

A: 15 kr

B: 9 kr

C: 60 kr

D: 90 kr

Ulrika resten. Hur mycket ska Ulrika ha?

A: 0 kr B: 320 kr C: 2 000 kr D: 3 200 kr

58

Kan du det här? är även tänkt att ge eleverna en fingervisning om vilken nivå de ska börja arbeta på.

Ett riktmärke kan vara att elever som är osäkra på ETT-uppgifterna börjar i Bas Y eller på nivå ETT. Elever som klarar nivå ETT utan problem, men har problem med övriga uppgifter, börjar sitt räknande på nivå ETT. Elever som klarar nivå TVÅ utan problem, men inte TRE, börjar på nivå TVÅ. De elever som klarar i princip alla uppgifter i Kan du det här? börjar sitt arbete på nivå TRE. Ta dig tid att analysera elevernas resultat och svar om de har svarat fel. Du kan få mycket värdefull information från ett felaktigt svar. Här i lärarguiden hittar du kommentarer till nästan alla uppgifter. Med hjälp av dessa kan du lättare identifiera gruppens eller enskilda elevers missuppfattningar och bristande förkunskaper. Du får på så sätt information om vad du behöver arbeta extra med under kapitlets gång.

2 samband och förändring

2 samband

9 Av 8 000 kr ska Rikard ha 2/5, Mihir 0,35 och

Procent för att uttrycka förändring samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och i situationer inom olika ämnesområden. andel del det hela bråkform decimalform procentform avrundning

Begrepp Vilka begrepp känner du till sedan tidigare?

Kan du beskriva dem?

kapital ränta räntesats procentenhet

Centralt innehåll Texten under den här rubriken är hämtad ur Lgr11.

Vi har valt att ta med det centrala innehåll som motsvarar det innehåll som vi tar upp i åk 8. Texten kan kännas svårläst för en del elever. Det är bra om ni läser den högt tillsammans och att du förklarar det som eleverna har svårt att förstå.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XI

XI

2018-08-13 10:52

Socrative Så här använder du Socrative:

1. Socrative har en lärardel och en elevdel – Socrative Teacher och Socrative Student. Du skaffar dig en gratis lärarinloggning via deras hemsida (www. socrative.com). Det finns även en lärar-app och en elev-app att tanka ner via Appstore och Google Play att använda i mobiltelefoner, Chromebooks och läsplattor.

2. När du har skaffat dig en lärarinloggning importerar du det quiz du vill köra. Det gör du genom att hämta koden som finns på vår hemsida (www.matematikxyz.com) eller klickar på länken. Klassrumsnamnet som Socrative ger dig är lite krångligt, men du kan enkelt byta namn på rummet.

3. Sedan går du till ”Quizzes”,

Självskattning I läroplanen betonas elevernas eget ansvar för sina studier och forskning har visat att formativ bedömning är en framgångsfaktor vid all inlärning. Därför finns det till varje kapitel ett självskattningsblad som underlag till en del av den formativa bedömningen.

Bladen finns att ladda ner från vår hemsida (www. matematikxyz.com). På dessa blad finns ett antal av de centrala begreppen i kapitlet uppräknade liksom några av de beräkningsmetoder som eleverna möter i kapitlet. Avsikten är att eleverna vid kapitlets början ska reflektera över hur väl de känner till begreppen och hur säkra de är på beräkningarna. I slutet av kapitlet får eleverna på nytt reflektera över detta.

Förhoppningsvis har då osäkerhet bytts mot säkerhet.

Elevens självskattning samt resultatet från Kan du det här? och Vad minns du? kan utgöra underlag till formativa samtal mellan dig och eleven i början och i slutet av kapitlet.

Den här formen av formativ bedömning kan vara ett bra sätt att öka elevernas motivation då de blir medvetna om sin egen utveckling och vad de behöver lära sig. Det är viktigt att poängtera för eleverna att formativ bedömning är något som fortgår löpande och att du som lärare kontinuerligt utvärderar och ger feedback på elevernas förmåga att föra och följa matematiska resonemang, hur de använder matematiska uttrycksformer samt hur de argumenterar för

XII

5. Nu är quizet igång, men innan

väljer ”Add Quiz” och sedan ”Import Quiz” och klistrar in koden för quizet eller klickar på länken. Du startar quizet genom att gå till ”Launch” och sedan ”Quiz”. Nu borde du se det quiz du valt bland dina egna Quizzes. Välj och starta. Nu är det klart för eleverna att göra testet.

Om du väljer ”Open navigation” kan eleverna själva bestämma i vilken takt de vill göra uppgifterna, men de kommer inte kunna se sitt resultat. Du kan även välja om eleverna ska få se om de svarat rätt eller inte.

4. Eleverna startar quizet via valfri enhet genom att gå in på Socrative Student (antingen i appen eller på Socratives hemsida).

Som kod anger eleverna namnet på rummet (vilket står överst på sidan när du loggat in). Eleverna ser då bara det quiz som du för tillfället har aktiverat.

eleverna kan starta måste de ange ett namn. Här är det lämpligt att de använder sina riktiga namn så att du lätt kan förstå vem som svarat vad. Eleverna kan inte se vad de andra har svarat.

Du kan välja om eleverna ska kunna se om de svarar rätt eller inte. Svaren rättas automatiskt och du stänger ner quizet när du ser att alla har svarat. Sedan kan du i lugn och ro analysera resultatet. Du kan även exportera resultatet till en Excelfil.

Om det är första gången du använder Socrative eller om du tycker att den här instruktionen är för svår att följa, kan du se en film där vi visar hur det fungerar. Filmen hittar du på vår hemsida (www.matematikxyz.com).

sina uträkningar och slutsatser. Ett bra sätt för eleverna att hålla ordning på sitt självskattningsblad är att klistra fast det i räknehäftet eller sätta in det i en pärm.

SJÄLVSKATTNING KAP 2

Y

Kapitlets början Begrepp

Kapitlets slut

Kan ej

Osäker

Kan

Kan ej

Osäker

Kan

Kan ej

Osäker

Kan

Kan ej

Osäker

Kan

Bråkform Blandad form Decimalform Förlängning Förkortning Enklaste form Minsta gemensam nämnare Potens Bas Exponent Tiopotens Grundpotensform

Beräkningar

Skriv bråket

15 i enklaste form.

20

3 + 0,17 5 5 3 – 6 8 5 3 / 6 8 Skriv 104 utan potens.

52 + 25 1 – 0,82 Skriv 72 000 grundpotensform.

K O P I E R I N G T I L L ÅT E N © L I B E R A B

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XII

2018-08-13 10:52

2. Aktiviteter

Det är så klart viktigt att du som lärare delar med dig av dina kunskaper, erfarenheter och reflektioner.

Men det är också viktigt att eleverna får göra egna upptäckter, att de får dela med sig av sina egna funderingar och resonemang samt lyssna till andras.

För att uppmuntra till detta har vi i flera avsnitt lagt en aktivitet.

Denna är oftast av praktisk karaktär och uppmuntrar till kommunikation och reflektion kring det matematiska innehållet i avsnittet. Aktiviteterna är oftast

lämpliga att använda som upptakt till de avsnitt de inleder. Eleverna kommer på så sätt in i ämnesområdet och det matematiska språket för avsnittet. Vid aktiviteten finns angivet vilken materiel eleverna behöver och hur många deltagare man bör vara. På hemsidan (www.matematikxyz.com) finns aktivitetsblad att ladda ner och skriva ut. Det kan till exempel vara en spelplan eller en tabell att fylla i. På hemsidan finns även ett antal extra aktiviteter som inte finns med i grundboken.

AKTIVITET: Volymen av två cylindrar Materiel: Antal deltagare:

2 st A4-papper, linjal, miniräknare, tejp 2 st eller fler

A Om du buktar ett A4-papper och för ihop sidorna kan du skapa en cylinder.

Faktum är att du kan göra två olika cylindrar, den ena med kortsidan som höjd och den andra med långsidan som höjd. Den första cylindern blir bred och låg och den andra smal och hög.

C Bilda de två möjliga cylindrarna av var sitt A4-papper med hjälp av tejp.

D Räkna ut volymen av cylindrarna.

Avrunda till tiotal kubikcentimeter.

Tänk på att den ena cylinderns basyta har samma omkrets som kortsidans längd och den andra samma som långsidans längd.

E Spelar det någon roll för volymens storlek vilken sida av papperet som används som höjd?

F Jämför de båda cylindrarnas mantelarea. Vad kommer du fram till då?

B Mät sidorna på A4-papperet och anteckna måtten.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XIII

XIII

2018-08-13 10:52

3. Genomgångar

SMART Board

Filmer

Om du använder en SMART Board Tavla, SMART Interaktiv Projektor, SMART TV eller en SMART Board Skärm kan du ladda ner avsnittsgenomgångar från vår hemsida (www.matematikxyz.com). SMART Board-filerna innehåller texter och bilder samt en del interaktiva moment till varje avsnitt. Du kan själv fylla på med egen text som du skriver direkt på den interaktiva tavlan. För att kunna öppna filerna behöver du programmet SMART Notebook. Programvaran finns att ladda ner från internet (www. smartboard.se) och installeras på datorn som är kopplad till din SMART-produkt. Om du har installerat programvaran men bara har en vanlig projektor kan du endast visa sidorna, klicka med datormusen och skriva med tangentbordet.

Till alla avsnitt i Matematik XYZ finns filmer med inspelade genomgångar. Filmerna ligger på vår Youtubekanal, men nås enklast via vår hemsida (www.matematikxyz.com). Om du själv har ett Youtubekonto kan det vara bra att prenumerera på vår Youtubekanal så att du får en notis när vi lägger ut nya filmer. Men du behöver ett eget konto att logga in på innan du kan prenumerera på våra filmer.

Powerpoint

Även filmerna till den förra upplagan av Matematikboken XYZ finns att se på vår Youtubekanal. Dessa filmer hittar eleverna enklast via vår andra hemsida (www.matematikbokenxyz.se). På Youtube ligger filmerna från de olika upplagorna i olika spellistor, en för varje upplaga. Var noggrann med att förklara för eleverna hur de når filmerna till den här upplagan så att de inte söker på Youtube och ser en film som hör till förra upplagan.

De flesta filmer är gjorda som en genomgång av stoffet i det aktuella avsnittet. Du kan använda filmerna för att flippa klassrummet, visa dem i klassrummet eller låta elever som missat din genomgång se en film i efterhand. Om du har vikarie kan du uppmuntra vikarien att använda sig av filmerna. Det finns även filmer med annat innehåll, till exempel filmer med olika matematiska problem eller instruktioner hur man använder den lite mer avancerade miniräknaren. Filmerna är tänkta som ett stöd till dig i din undervisning och du använder dem som du finner bäst.

Till avsnitten finns också Powerpoint-filer att ladda ner. På dessa finns bilder och diagram som kan användas vid genomgången samt uppgifter som kan lösas gemensamt.

XIV

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XIV

2018-08-13 10:52

3 GEOMETRI

4. Uppgifter ETT ets volym? a) Hur stor är smörpaket Avrunda till tiotal kubikB M K centimeter. gsarean? b) Hur stor är begränsnin Avrunda till tiotal kvadratB M K centimeter.

53

B M K

B M K

5

55

5 5

50

Ett rätblock har kanterna 4 cm och 2 cm. a) Hur stor är volymen?

5 cm,

b) Hur stor är begränsningsarean?

Avrunda till hela kvadratB centimeter.

12

B M K

gsarean? b) Hur stor är begränsnin

51

av ett rätblock En högtalare har formen 2,5 dm och med kanterna 2,0 dm, s 3,0 dm. Hur stor är högtalaren

54

M K

volym?

52

kub också är ett Mehmed påstår att en Förklara hur rätblock. Har han rätt?

B du tänker. L

TVÅ

Dessa bokstavsmarkeringar finns också i Bas Y och Utmaning Y.

8

(cm) a) Hur stor volym har tändsticksasken? Avrunda till hela B kubikcentimeter.

4,5

M K

Tändsticksasken innehåller ungefär 240 tändstickor som är 4,7 cm långa. ”Solstickan” är designad av Einar Nerman.

Det sägs att Nerman fick 200 kr för teckningen som senare blivit en av världens mest återgivna konstverk.

TRE

M K

56 Du ska bygga en kub med hjälp av 4,4 m,som möjligt. så fåhar helamåtten tändstickor Henoks rum Vad väger luften i m.många 5,0 m ocha)2,5 Hur tändstickor kubikmeter) 1 m3 (endu? rummet ombehöver kg? Avrunda till tiotal luft vägerb)1,3 Vilken volym har kuben?

B K P Avrunda L kilogram. till B M hela kubikcentimeter.

(cm)

P

64

5,8

K

Ett paket med 650 g druvsocker har formen av ett rätblock med måtten 6,5 cm, 9,5 cm och 16,5 cm.

Hur mycket kartong går åt för att tillverka sådana paket till ett ton druvsock er? Räkna med att det går åt 10 % extra kartong. Avrunda till tiotal kvadratm eter.

L

65

R

57

a) Vilken eller vilka av figurerna går att vika till en kub?

P

b) Hur stor volym får kuben om alla kanter är 6 cm?

M

1,5 3,5

58

A

Familjen Josefsson har en pool som är formad som ett rätblock. Den är 7,5 m Inför en skidtävling gjorde man en konstgjord bana av 3 2 400 lång, 3,0mm bred ochblev 1,4 m djup. snö.

Banan 1 km lång och 6 Snön fraktades till platsen En kubikmeter vatten på väger 1 000 kg. m bred. lastbilsflak 7 m ∙ 3 m ∙ 2,5 m. med måtten Hur mycket väger allt vatten i poolen när den är fylld till kanten?

61 L kubikme SvaraEn i tiondels ton. ter snö

59

B

B M K

väger 200 kg.

Hur mycket väger snön på den här lastbilen En ask som innehåller gem upp har formen om flaket är fyllt till kanten?

B M K av enSvara kub med kanten 8 cm. i tiondels ton.

a) Beräkna kubens volym. Avrunda

B M K

62 till Hur djupt blev snölagret på banan? tiotal kubikcentimeter.

C 3.3

GRÄNSNING V O LY M O C H B E

122

3.3

SAREA

121

V O LY M O C H B E G R Ä N S N I N G S A R E A

P B K

En kvadratisk pappskiv a har sidan 64 cm. I varje hörn skär man bort en kvadrat med sidan 12 cm. Det som återstår av pappskiv an viks till en låda som får formen av ett rätblock. Hur stor är lådans volym?

Avrunda till hela kubikdecimeter. L

P B K

66

a) En bit guld har formen av ett rätblock och väger 965 g. Ge förslag på vilka mått guldbiten kan ha. L P b) Vihn påstår att man kan göra en större kub av 250 g koppar än av 250 g järn. Har han rätt? Förklara hur du tänker.

P R

Ämne

Svara i centimeter. L b) Hur stor är begränsningsarean?

P B K Avrunda till tiotal kvadratcentimeter.

63 a) Hur stor är sockerpa ketets be60 Mångagränsnin blandargsarea? ihop b Avrunda och B i geometill tiotal kvadratcentimeter. trin. Förklara vad b och B står för. B BR M b) Sockerpaketet är helt fyllt med sockerbitar med måtten 1,6 cm, 1,6 cm och 1,0 cm. (cm) Allt socker i paketet väger 1 kg. Hur mycket 20 väger en sockerbit ?

Svara i gram.

3 GEOMETRI

a) Hur stor är volymen? gsb) Hur stor är begränsnin arean? (cm)

49

Densitet (g/cm3)

Guld

19,3

Silver Koppar Järn

10,5

R

Resonemang

B

Begrepp

K

Kommunikation

M

Metod

EPA

7,9

Tenn

7,3

Aluminium

2,7

8,0

utmaning Y KAPITEL 3 3.3

Problemlösning

9,0

P B K

6,4

P

V O LY M O C H BEGRÄNSNIN

GSAREA

123

Nivåer Eftersom elevernas kunskaper ofta är mycket varierande, är uppgifterna i läroboken indelade i tre svårighetsnivåer: ETT, TVÅ och TRE. Eleverna väljer, kanske med din hjälp, vilken nivå de ska börja på. Kan du det här?, som finns i ingressen till varje kapitel, kan ge viss vägledning. För flertalet elever passar det att börja på någon av de två första nivåerna. Är nivå ETT för svår, kan eleven börja med motsvarande avsnitt i Bas Y. Om en elev snabbt klarar av uppgifterna på nivå TRE, kan eleven fortsätta med motsvarande kapitel i Utmaning Y. Varje elev bör arbeta med alla uppgifter på minst en nivå för att säkerställa att hen tränar samtliga matematiska förmågor. Men uppmana gärna eleverna att räkna mer än så. Tiden på matematiklektionerna kanske då inte räcker till utan eleverna kan behöva lägga mer tid på hemarbete. Det är då viktigt att tänka på att hemarbete ska förstärka inlärningen av det som eleverna arbetat med i skolan. Det är inte meningen att eleverna ska sitta hemma och lära sig nya moment på egen hand. Det är ju inte alla som har föräldrar som kan hjälpa till och även om de har det så är det ju inte säkert att det fungerar bra för eleven.

Förmågorna Varje nivå i läroboken innehåller uppgifter som tränar alla matematiska förmågor. Det finns små bokstavsmarkeringar vid uppgifterna som visar vilka förmågor uppgifterna, enligt vår bedömning, i huvudsak tränar.

Uppgifter som är angivna som EPA-uppgifter här i lärarguiden är tänkt att eleverna först arbetar med Enskilt, sedan i Par och till sist Allihop tillsammans.

Använd uppgifterna för att bryta av det enskilda räknandet med matematiska diskussioner så att eleverna tränar upp att följa och föra matematiska resonemang samt den muntliga kommunikationsförmågan. Det gör inget om den som sitter bredvid inte räknar på samma nivå. Ibland kan det till och med vara mer givande för det matematiska samtalet om eleverna inte befinner sig på samma nivå. Det är viktigt att du ger eleverna tillräckligt med tid när de ska diskutera.”

Miniteman I avsnitten finns det ofta ett par miniteman.

Dessa har två, ibland tre, uppgifter med samma kontext och hänger därför ihop. Till ett minitema hör alltid en bild med en bildtext. Eleverna måste läsa bildtexten och därifrån hämta data som krävs för att lösa uppgifterna. Ibland finns det även data i uppgifterna eller i bildtexten som inte är nödvändig för att lösa uppgiften och ofta behöver man data från första uppgiften för att kunna lösa de andra uppgifterna i minitemat.

En nyfödd elefantkalv väger ungefär 100 kg.

En vuxen elefant väger ungefär 4,5 ton.

70

71

Skriv talen i decimalform. a) 8 %

b) arton hundradelar

c) 4,5 %

d) 120 %

En cykeltidning på internet frågade 1 200 läsare om de cyklat mot rött ljus någon gång. 45 % svarade ”ja” och lika stor andel svarade ”nej”. Resten svarade inte

B

75

En elefantkalv äter 50 % av sin kroppsvikt varje dag. Hur många kilogram M K äter den på en vecka?

76

En vuxen elefant äter 4 % av sin kroppsvikt varje dag. Hur många kilogram B M K äter den per dag? L

Här i lärarguiden finns det kommentarer till bokens avsnitt och där hittar du även mer specifika kommentarer till varje minitema. Många gånger har vi anpassat data i minitemana för att det ska bli lämpliga siffror att räkna med för en lagom svårighetsnivå på uppgifterna.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XV

XV

2018-08-13 10:53

Miniräknare Miniräknaren är ett naturligt hjälpmedel i matematik. Men eftersom det i Matematik XYZ också finns uppgifter där avsikten är att eleverna ska använda huvudräkning eller skriftliga metoder, har vi en miniräknarsymbol vid de uppgifter där vi anser att det är nödvändigt eller lämpligt att använda miniräknare.

Många elever missar att skriva upp sina uträkningar när de använder miniräknare. Du behöver därför påminna dem om hur de ska redovisa sina lösningar för att kommunikationen ska vara god. Uppmana dem att först skriva upp sina uträkningar och sen slå dem på miniräknaren. Annars finns det en risk att de inte kommer ihåg vad de slagit på räknaren när de sedan ska skriva ner vilka uträkningar de har gjort.

Det blir även svårt att felsöka i uträkningarna om eleven inte har skrivit upp vad som slagits in på miniräknaren. Som lärare är det mycket lättare att hjälpa till när du kan se hur eleven har tänkt. Det är även bra om de inte skriver ut onödigt många decimaler. Det räcker oftast att skriva ut några stycken och sen tre punkter efteråt, därefter gör de sin avrundning.

Ledtrådar Efter en del uppgifter i Matematik Y står det L , vilket innebär att det finns en ledtråd till uppgiften.

Det finns ledtrådar i såväl avsnitten som i läxorna.

Om en elev kör fast på en sådan uppgift så kan ledtråden ge eleven möjlighet att lösa färdigt uppgiften genom att sätta igång elevens tankar i rätt riktning. Uppmuntra eleverna att titta på ledtråden innan de tittar i facit om de har kört fast.

Bas Y Bas Y är ett komplement till grundboken. Svagpresterande elever kan behöva börja i Bas Y innan de räknar nivå ETT i grundboken. Men för en del elever är det kanske så att Bas Y helt ersätter grundboken. För att fungera som en fristående bok finns det genomgångar, förklaringar, typexempel, ledtrådar och facit även i Bas Y. Läxor och facit finns på vår hemsida. Uppgifterna i Bas Y är konstruerade så

XVI

att alla förmågor tränas i varje avsnitt. Men det bästa är om en elev, efter att ha räknat ett avsnitt i Bas Y, fortsätter med nivå ETT i grundboken.

Bas Y är också anpassad för elever som kan behöva språkligt stöd. Inslag som ger språklig stöttning är bland annat bilder och bildtexter, begreppsförklaringar och exempel, ledtrådar samt begreppsregister.

Utmaning Y Högpresterande och snabba elever kan välja att börja på nivå TRE i grundboken för att sen fortsätta med mer utmanande uppgifter i Utmaning Y. Precis som i grundboken är kapitlen ordnade i enlighet med det centrala innehållet i kursplanen.

Det matematiska innehållet i Utmaning Y skiljer sig ofta från grundboken. Därför finns det genomgångar av ny teori och nya typexempel, vilket gör att det inte ska behövas en genomgång av dig som lärare. Men det är såklart viktigt att du inte lämnar eleverna ensamma med Utmaning Y utan att du även möter dessa elever i matematiska samtal och resonemang.

Det är tyvärr alltför vanligt att riktigt starka elever lämnas ensamma och att de kan bli ostimulerade och kanske därför inte når sin fulla potential.

Alla kan lyckas på sin nivå Avsikten med den struktur som finns i Matematik XYZ är att gruppen hålls samlad. Alla elever får ägna lika lång tid åt uppgifterna i ett avsnitt, men de räknar olika svåra och olika många uppgifter.

Eftersom gruppen hela tiden hålls samlad skapar det många tillfällen för gemensamma diskussioner, aktiviteter samt möjligheter till att träna både resonemangs- och kommunikationsförmågan i olika grupperingar.

Med tre nivåer i grundboken och var sin nivå i basboken och utmaningen gör det att det sammanlagt finns fem nivåer i Matematik XYZ. Det förbättrar möjligheterna till individuell utveckling för eleverna när de kan hitta uppgifter inom varje avsnitt på en lagom matematiskt utmanande nivå.

Med Matematik XYZ kan alla elever lyckas på sin nivå!

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XVI

2018-08-13 10:53

5. Blandade uppgifter

ETT

BLANDADE UPPGIFTER

118 Hur stor är delen?

M

a) 50 % av 18 kaniner 1 av 60 bilar b) 3 c) 20 % av 30 elever

122 Två femtedelar av ett tal är 8. b) Vilket är talet?

M

Y

Vi repeterar 1 1 Skriv de tal som bilderna visar i blandad form och i bråkform.

1

2 3

120 Kirsti och Samuel skulle dela på 800 kr.

M R

b)

124 Hur många procent är b) 78 euro av 560 euro

c)

Avrunda till hela procent.

sänks med 30 %.

a) Hur många kronor fick var och en?

a) Med hur många kronor sänks priset?

M

M

121 Hur stor andel av grönsakerna är

B M

a) 7 000 = _____________

i tabellen.

Kapital

a) b) c)

3 1 + = _____________ 4 5

b) 1

1 7 − = _______ 2 10

c)

3 1 2 + − = ______ 10 4 5

3 Skriv talen i grundpotensform.

126 Räkna ut det som saknas K

2 Skriv talen i decimalform och beräkna.

a)

b) Vilket blir det nya priset?

b) gurkor

_____________

B M

125 En dator kostar 19 900 kr. Priset

Kirsti fick 70 % och Samuel fick resten.

b) Samuel fick sedan 60 kr av Kirsti.

Hur stor andel hade Samuel då fått av pengarna? Svara med ett bråk P B i enklaste form.

_____________

a) 14 kg av 30 kg

7 c) 50 d) femton hundradelar

Svara med ett bråk i enklaste form och i procent.

ARBETSBLAD 21

a)

större än 100 %.

d) tre tiondelar av 400 kr

a) tomater

De elever som snabbt blir klara med Blandade uppgifter kan arbeta med två arbetsblad som finns till varje kapitel och som heter Vi repeterar. På bladen finns uppgifter från samtliga tidigare kapitel, vilket gör att bladen är ett bra sätt att hålla gammal kunskap färsk i minnet. Det innebär till exempel att bladen Vi repeterar 5 och Vi repeterar 6 har uppgifter från kapitel 1–3.

123 Ge exempel på en ökning som är

119 Hur många procent är 3 a) 4 b) 0,015

M

a) Hur mycket är en femtedel av talet?

2 samband

I avsnittet Blandade uppgifter finns uppgifter som tränar innehållet från alla avsnitt i kapitlet. Uppgifterna ger eleverna repetition inför den diagnos som följer. I Blandade uppgifter finns tre nivåer, precis som i avsnitten. Eleverna börjar arbeta på den nivå som de oftast börjar på i de vanliga avsnitten. Om en elev ska arbeta med en eller två nivåer kan du som lärare behöva bestämma från fall till fall.

b) 120 000 = _________

c) 4 700 000 = ________

P B K

Räntesats

Tid

Ränta

6 000 kr

4,5 %

1 år

?

50 000 kr

3%

?

750 kr

L

40 000 kr

?

500 kr

L

3 mån

En räntesats höjs från 2 % till 3 %.

Hur stor är höjningen i

4 a)

2 1 ∙ = ________ 3 4

5 a)

2 ∙ (16 – 11)2

B M

e) procent

B M

3 5 + = ________ 8 6

c)

b)

4 ∙ 32

2 1 / = ___________ 3 2

= __________

c) 92 − 23 = ___________

b)

3 4

5 8

c)

6 Sätt ut rätt tecken (< eller >.

a)

d) procentenheter

= __________

b)

5 9

2 3

7 7 a) 4 ∙ = ________ 8

13 15

4 5

11 3 b) − = ______ 12 4

2 c) 4 / = ___________ 3

b) 3,6 ∙ 104 = _________

c) 1,75 ∙ 105 = ________

8 Skriv utan tiopotens.

a) 7,5 ∙ 102 = ____________ 9 a) 0,82 + 0,62 = __________

5 10 a) 0,3 ∙ = __________ 8

2.

B L A N DA D E U PPG I FTE R

89

b) (

3 2 ) ∙ 2 = _________ 4

4 b) / 8 = ________ 9

c)

0,42 = _________ 0,23

c) 1

2 3 + 2 = _______ 5 4

K O P I E R I N G T I L L ÅT E N © L I B E R A B

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XVII

XVII

2018-08-13 10:53

6. Diagnos och Test Diagnos Efter Blandade uppgifter gör eleverna en Diagnos för att ta reda på om de kan det grundläggande i kapitlet. Det är viktigt att du som lärare påpekar skillnaden mellan en diagnos och ett prov, eftersom många elever tror att även diagnosen är ett prov.

Diagnoserna, som finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com), är Word-filer så att du själv kan lägga till, ta bort eller ändra i uppgifter om du vill. Facit till varje diagnos ligger sist i filen. De elever som tidigt blir klara med diagnosen kan arbeta med de extrablad som finns till varje kapitel.

MATEMATIK

Diagnos 1 Träna

1

a) Vilka av bråken är skrivna i enklaste form? b) Skriv de övriga i enklaste form. M

2

a) Vilka omvandlingar är riktiga? M b) Rätta de som är fel. M 12 2 3 13 = 2 B: 1 = A: 5 5 7 7 1 13 14 2 D: 2 = E: = 4 6 6 3 3

184–185

B

186–188 21 1 =2 4 4 2 32 F: 3 = 5 5

C:

3

Vilket tal är störst?

4 7 a) eller 6 9

4

5 13 27 Vilket av bråken , och är närmast 1? Förklara hur du tänker.

6 14 28

5

a)

3 5 + 4 6

6

a)

3 1 ∙ 4 2

b) 6 ∙

5 9

c)

7 4 ∙ 8 5

7

a)

3 6 / 4 8

b) 1 /

3 5

c)

3 /2 5

189–192

M

b)

b)

8 2 – 9 3

c)

102 52

2 5 7 , eller 3 8 12

4 3 + 5 4

198–200

M K

a) 62 + 23

9

Skriv talen utan tiopotens. a) 7 ∙ 103 b) 6,5 ∙ 105 c) 3,25 ∙ 104 d) Vilket tal är x i uttrycket 10x – 5 ∙ 102 = 500? P K

c) 32 ∙ 104

193–194

195–197

201–203

M K

8

b)

P R

M K

204–206

M K

207–211 M

Test MATEMATIK

Till varje kapitel finns också ett Test. Testet kan användas på olika sätt. Det kan till exempel användas som en andra diagnos, om man bedömer att det är nödvändigt. Men testet kan också användas just som ett test, som ett prov, på det aktuella kapitlets innehåll. Eftersom uppgifterna är tämligen grundläggande så kan testet i så fall betraktas som en del i utvärderingen på E-nivå. Även testen finns att ladda ner från vår hemsida som Word-filer.

Test 1 1

a) Vilka av bråken är inte skrivna i enklaste form? b) Skriv dessa bråk i enklaste form.

2

a) Skriv 2

B M

b) Skriv

B M

XVIII

1 i bråkform.

4 14 i blandad form.

3 3 5 7 , och ?

4 8 12

3

Vilket tal är minst av talen

4

Olivia är osäker på vilket tal som är störst 0,5 eller

5

a) Vilka beräkningar är riktiga? b) Rätta de som är fel.

4 2 1 3 7 + = A: + = 9 6 18 18 18 3 2 9 15 24 + = =1 C: + = 3 24 8 24 24

M K

50 ?

99 Förklara för henne hur hon ska tänka utan att utföra divisionen.

M R M M

11 3 11 8 3 1 − = − = = 12 4 12 12 12 4 2 1 20 8 5 7 D: 1 – − = − − = 5 4 20 20 20 20

B:

2 2 ∙ 5 3

b)

5 ∙9 6

c)

3 4 ∙ 8 5

M K

2 3

b)

5 1 / 6 3

c)

7 /2 8

M K

b)

53 102

c) 42 ∙ 102 ∙ 14

6

a)

7

a) 2 /

8

a) 72 − 33

9

Skriv talen i grundpotensform a) 200 000 b) 17 000

10

B M

Vilket tal är x?

80 000 – 4,5 ∙ 10x = 3,5 ∙ 104

M K B M

c) 1 600 000 P K

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XVIII

2018-08-14 08:09

7. Träna

För de elever som gjort fel på någon eller några av uppgifterna i kapiteldiagnosen kan det krävas en förnyad genomgång. Då kan det vara bra att använda sig av konkret material. Ta också gärna hjälp av filmerna på vår hemsida (www.matematikxyz.com) när eleverna ska repetera.

Träna GEOMETRI UPPGIFT

1

163 Beräkna trianglarnas omkrets och area. a)

UPPGIFT

(cm)

2

165 Beräkna stekpannans yttre omkrets och stekytans area. Avrunda till B tiotal.

B M K

M K

2Stekyta 9,5

7,0

7,2 28 cm 22 cm

8,4

b)

I avsnittet Träna finns lämpliga träningsuppgifter. På diagnosen finns hänvisningar till uppgifterna i Träna. I boken syns det även till höger om träningsuppgifterna vilken uppgift de hör ihop med på diagnosen.

(cm)

166 En damm är cirkelformad med

3,9 2,3

radien 3,5 m.

2,0

a) ”Det är ungefär 20 m runt om”, säger Astrid. Hur kan hon veta det utan att räkna ut ett svar? M b) Beräkna dammens area.

Avrunda till heltal.

1,9

UPPGIFT

a) Hur stor area har den röda triangeln?

P K

(dm)

a) 2,5 liter

b) 25 cl

c) 5 cl

d) 850 ml

B

168 Skriv volymerna i liter.

10

7

3

167 Skriv volymerna i deciliter.

B M K

b) Beräkna arean av det gula området. L

Om uppgifterna i Träna inte räcker till kan du även använda dig av arbetsbladen som finns till kapitlet.

Arbetsbladens namn och beskrivningar av bladens innehåll hittar du i tabellerna här i lärarguiden.

R

B M K

164 Bilden visar Guyanas flagga.

a) 5 dm3

b) 3 500 cm3

c) 2,5 m3

d) 0,3 m3

B

169 Skriv volymerna i kubikdecimeter.

16

B

a) 0,7 m3

b) 2 700 cm3

c) 13,5 liter

d) 15 dl

170 Skriv volymerna i kubikcentimeter.

146

3.

B

a) 0,3 dm3

b) 45 ml

c) 0,5 cl

d) 0,03 liter

L

TRÄNA GEOMETRI

Om diagnosen går bra eller om eleven snabbt är färdig med de uppgifter hen skulle träna på fortsätter eleven med avsnittet Utveckla. Eftersom en del av dessa uppgifter kan vara lite svåra finns det en hel del ledtrådar och lösningsförslag i detta avsnitt. Elever som blir klara med Utveckla innan de andra eleverna är klara med Träna, kan fortsätta i Utmaning Y eller med något av de extrablad som hör till kapitlet.

Extrabladens namn och beskrivningar av bladens innehåll hittar du i tabellerna här i lärarguiden.

Utveckla GEOMETRI

185 Triangeln ABC är likbent. Sidorna AB och AC är lika långa. Vinkeln A är 44,8°. Hur stora är vinklarna B B och C? L

190 En kula har radien M K

186 Hur stor area har det lila området?

L

P K

3

(cm) 2

2,0 cm. Kulan läggs i en cylinder med vatten så att den kommer helt under vattenytan. Hur mycket stiger vattnet när kulan läggs i? Svara i tiondels centimeter. L

(cm) 2,0

3 GEOMETRI

8. Utveckla

2,5 P B K

3

191 Hur många varv snurrar bakhjulen på en Formel 1-bil, om man kör en och en halv timme med medelhastigheten 270 km/h? Bakhjulen har diametern 67 cm. Avrunda till tiotusental P B varv. L

6

4 8

små kuber. Var och en av de små kuberna har en begränsningsarea som är 96 cm2. Hur stor volym har Camillas P stora kub? L

K

192 Mitt på husväggen sätter Alfred ett rep som är 6,4 m långt. I repet sätter han fast sin get Bruse. Hur stor area har den yta som Bruse kan röra sig på? Avrunda P B K till tiotal kvadratmeter. L

187 Camilla har byggt en stor kub av åtta

K

188 År 2008 invaderades Australien av gräshoppor. En svärm med gräshoppor var 170 m bred och sex kilometer lång.

Hur många fotbollsplaner motsvarade det? En fotbollsplan kan ha arean B M K 7 150 m2. Avrunda till tiotal.

189 En snögrotta har formen av ett halvklot.

På insidan är diametern 1,6 m. Väggarna är 25 cm tjocka. Hur mycket snö består snögrottan av? Svara i kubikmeter P B K och avrunda till tiondelar. L 2,8 m

3.

UTVECKLA GEOMETRI

149

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XIX

XIX

2018-08-13 10:53

9. Förmågorna i fokus

Avsnittet Förmågorna i fokus innehåller uppgifter som tränar förmågorna på ett mer riktat sätt än uppgifterna i avsnitten. Till varje Förmågorna i fokus finns det både SMART Board-filer och Powerpoint-filer att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.se).

Nedan följer några tips på hur du kan arbeta med begreppslistan:

Vad minns du?

• diskutera begreppens betydelse i helklass • låt eleverna avgöra vilka begrepp de kan, känner

Den första delen under rubriken Förmågorna i fokus heter Vad minns du? och är flervalsuppgifter.

Uppgifterna är till för att undersöka om eleverna har kunskaper om grundläggande begrepp och metoder som tagits upp i kapitlet. Vad minns du? finns även som kopieringsunderlag på vår hemsida (www. matematikxyz.com). Facit och kommentarer finns här i lärarguiden, men du kan även låta eleverna göra uppgifterna digitalt i Socrative (se sid XII). Då rättas uppgifterna automatiskt och du kan istället lägga tiden på att analysera resultatet samt justera din undervisning både på grupp- och individnivå. förmågorna i fokus

VAD MINNS DU?

1 En cirkels diameter är 12 cm. Ungefär hur lång är omkretsen?

B: 18 cm

C: 24 cm

D: 36 cm

A: 10 000 cm2 B: 2 400 cm2 C: 1 000 cm2

B⇔ h ? med formeln 3 A: Pyramid och klot

3

C: 1 liter = 100 cm3

B: Pyramid och kon

D: 1 ml = 10 mm3

C: Rätblock och cylinder D: Prisma och kon

3 Vilken av figurerna är ett prisma?

omkrets

8 En cirkel har radien 5 cm.

cirkel

Ungefär hur stor är arean?

diameter A

B

C

D

radie

A: 30 cm2

B: 50 cm2

C: 75 cm2

D: 300 cm2

4 Hur stor area har triangeln?

area parallellogram rektangel

A: 6 cm2

B: 7,5 cm2

C: 10 cm2

D: 12 cm2

9 Vilken är formeln för cylinderns mantelarea?

A: π · d · h

(cm)

romb

C: π · r · h

5

3

kvadrat

B: π · r · h π⋅d⋅h 2

D:

10 Hur många milliliter är 1 dm3?

4

A: 1 ml

5 Hur många kvadratmeter är 1 km2?

kub

A: 1 000 m2

basyta

C: 100 000 m2 D: 1 000 000 m2

B: 10 000 m2

C: 100 ml

prisma pyramid

Välj tre av begreppen och beskriv hur de hör ihop.

D: 1 000 ml

11 Hur många plana ytor har ett sexsidigt prisma?

A: 6 st

volym begränsningsarea

B: 10 ml

B: 7 st

C: 8 st

D: 9 st

12 Ungefär hur lång omkrets har den här halvcirkeln?

cylinder

A: 15 cm

B: 20 cm

C: 25 cm

D: 30 cm

10 cm

triangel rätblock

2

i smågrupper

• låt eleverna välja tre begrepp och diskutera betydelse av och samband mellan begreppen

till eller inte kan genom handuppräckning

• låt elevern rita begreppskartor (se nästa sida) över hur begrepp hänger ihop, till exempel på datorn Du kan även till exempel spela Matte-Doobidoo för att stärka elevernas begreppsförståelse.

Matte-Doobidoo Många elever tycker Matte-Doobidoo är väldigt roligt. Powerpoint-filerna du behöver för att spela spelet finns på vår hemsida (www.matematikxyz. com). Det finns ett Matte-Doobidoo till varje kapitel.

Det fungerar på samma sätt som ”Sista minuten” i spelet Doobidoo på TV.

D: 600 cm2

7 För vilka kroppar beräknas volymen

A: 1 cm3 = 1 cl B: 1 dl = 0,1 dm

6 Om en kub har kanten 10 cm så är begränsningsarean

A: 4 cm

2 Vilket påstående stämmer?

• låt eleverna försöka beskriva begreppen i par eller

kon

Låt en elev stå med ryggen mot tavlan. En annan elev ska förklara begreppet som står på tavlan UTAN att säga själva begreppet. När eleven som står med ryggen mot tavlan gissar rätt, byter de plats. Flest avklarade begrepp på en minut vinner. Det som är så bra med leken är att även de som inte spelar tränar på begreppen, då de sitter och tänker på vad de ska säga om de får begreppet när det är deras tur.

mantelyta klot

150

3.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

Välj tre begrepp Listan i kanten innehåller flertalet av de begrepp som eleverna mött i kapitlet. Uppgiften är tänkt att främst träna begreppsförmågan och till skillnad mot i början av kapitlet bör eleverna nu känna till och vara bekanta med flertalet av begreppen i listan samt relationerna mellan begreppen.

XX

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XX

2018-08-13 10:53

Begreppskartor Det finns en del olika appar, program och tjänster på nätet som kan användas för att visualisera hur olika begrepp hänger ihop i så kallade begreppskartor.

Dela in klassen i mindre grupper och låt dem göra egna kartor med papper och penna eller med något

Det är också bra att eleverna tränar på att formulera relationer mellan begrepp skriftligt. Begreppskartan nedan är ett exempel på hur en färdig begreppskarta

digitalt hjälpmedel. Första bilden nedan är skapad med tjänsten www.bubbl.us. Den kartan innehåller många begrepp, men inga sambandsord. Om eleverna gör en sådan karta är det viktigt att de muntligt förklarar hur begreppen hänger ihop med varandra.

kan se ut. Då skrivs sambandsord eller fraser mellan de olika begreppen för att visa hur begreppen hänger ihop.

… kan kontrolleras genom …

Multiplikation

… som upprepas kan tecknas som en …

Division

… som upprepas kan tecknas som en …

Addition

… och … används ofta vid jämförelser

Subtraktion

… kan kontrolleras genom …

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXI

XXI

2018-08-13 10:53

Vems påstående stämmer?

Uppgiften är en så kallad Concept Cartoon och kan användas på olika sätt. Ett sätt är att först låta eleverna ta ställning till påståendena själva, sedan två och två och därefter låta dem diskutera påståendena i helklass. Denna arbetsgång kallas EPA (enskiltpar-alla) och kan med fördel användas även vid andra delar, till exempel Resonera och utveckla. Läs mer om EPA på sid XV. 3 GEOMETRI

förmågorna i fokus

VILKET PÅSTÅENDE STÄMMER? Här ser du fem geometriska kroppar.

Vad kallas de?

A

B

C

D

Jag tror att alla Jag tror att alla är prismor Men D är väl har olika namn. utom E. inget prisma?

B

E

D

C

– Är det något eller några av påståendena som stämmer?

Diskutera med en kompis och kom överens.

VEMS METOD ÄR KORREKT? Hur stor volym har den här figuren?

Amir Kubens volym: 5·5·5 cm3 = 125 cm3

(cm) 6

Pyramidens volym:

cm3 = 50 cm3

Sammanlagt: (125 + 50) cm3 = 175 cm3 Svar: Volymen är 175 cm3.

5

5 5

Bianca Volym:

cm3 =

= 91,6... cm3 ≈ 92 cm3 Svar: Volymen är 92 cm3.

Cattis Volym:

cm3 =

= 133,3... cm3 ≈ 133 cm3 Svar: Volymen är 133 cm3.

– Vem har löst uppgiften korrekt?

– Vilka fel har de andra gjort?

3.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

151

Vems metod är korrekt?

Uppgiften tränar metodförmågan och går ut på att eleverna ska lista ut vem av de fiktiva eleverna som löst uppgiften korrekt. De ska även förklara vilka fel de andra eleverna har gjort i sina lösningar. Observera att det här inte handlar om hur eleverna kommunicerat sin lösning utan att det handlar om elevens val av metod och hur väl den är utförd.

Fyrfältsproblemen finns även som kopieringsunderlag. Den första sidan innehåller själva problemet och en bild, den andra sidan ett tomt blad med fyra fält (ett fält för varje strategi). Om du låter eleverna ha speciella problemlösningshäften kan de klistra in uppgiften på vänstra sidan på ett uppslag och det tomma bladet med de fyra fälten på den högra sidan.

Använd gärna samma häfte när ni arbetar med Räkna och häpna och Resonera och utveckla. På så sätt har eleverna sina problemlösningsuppgifter på ett och samma ställe, vilket underlättar vid formativa samtal och vid bedömning.

Skaka hand 2 samband

A och B är rätblock.

A

varje grupp finns med vid varje plansch. Sedan får den elev som gjort planschen de står vid redovisa hur deras grupp har tänkt. Efter en stund roterar ni och den elev som varit med och gjort den plansch gruppen nu står vid får redovisa hur deras grupp har tänkt. På det här sättet blir alla involverade och alla i gruppen måste kunna förklara hur gruppen har tänkt. En annan positiv sak är att den enskilda eleven inte behöver prata inför hela klassen, vilket en del elever tycker är jobbigt. Du kan sedan vandra runt och följa några för dig bestämda elever eller välja att följa en viss grupp runt ett helt varv. Du kan även låta eleverna redovisa sina lösningar på liknande sätt när ni arbetar med Räkna och häpna.

förmågorna i fokus – TEATER pappa betalar fullt pris. gå på teater. Mamma och Familjen Bengtsson ska kostar 50 % av hon är student. Albins biljett Jenny får 20 % rabatt eftersom kostar biljetterna 1 485 kr. under 12 år. Sammanlagt fullt pris eftersom han är och pappas biljetter?

Hur mycket kostar mammas

FYRFÄLTSPROBLEM

RITA EN BILD ANVÄND EKVATION

GISSA OCH PRÖVA EGEN STRATEGI

Skaka hand

Rita en bild

Tänka logiskt

lösas på Matematiska problem kan olika sätt – med olika strategier. i boken På sidorna 313–317 här strategier. finns exempel på sådana på strateI rutorna ser du tre förslag för att lösa gier som du kan använda du problemet, men kanske kommer även på en egen fjärde strategi.

E C A

Fyrfältsproblem

– VIKA PAPPER RÄKNA OCH HÄPNA har rekordet vika ett papper? Den som vikt ett Hur många gånger kan man Efter 7 timmar hade eleven var en amerikansk high school-elev. Varje vikning gjordes på mitten. r 12 gånger.

1 200 m långt toalettpappe varje gång på mitten. vika ännu fler gånger och Tänk dig nu att man kunde r får du om du

Låt till sist eleverna redovisa sina lösningar. Du kan fota av dem och visa med projektor eller med hjälp av dokumentkamera på SMART Board. Du kan även låta eleverna redovisa på stora A3-papper och sedan låta dem sätta upp sina planscher runt om i klassrummet och sedan göra en så kallad ”gallery walk”.

Du delar då in klassen så att en representant från XXII

Hitta mönster

Egen strategi

På ett kalas träffas 10 personer.

1 Hur många lager toalettpappe viker 12 gånger?

Bokens Fyrfältsproblem är tänkta att visa att matematiska problem kan lösas på olika sätt – med olika strategier. Låt eleverna försöka lösa uppgifter i olika grupper. Varje grupp ska försöka lösa uppgiften med minst en strategi, men gärna flera. I tre av de fyra rutorna har vi gett förslag på tre olika strategier som eleverna kan använda sig av för att lösa det aktuella problemet. Men kanske eleverna kan komma på en egen strategi. Därför är den fjärde rutan rubricerad ”egen strategi”. I avsnittet Problemlösningsstrategier i slutet av grundboken går vi igenom exempel på problemlösningsstrategier.

P B M R K

Alla skakar hand med alla.

2 Hur tjockt blir det?

Hur många handskakningar

Avrunda till hela decimeter.

blir det sammanlagt?

ett jättelångt

vika 3 Tänk dig nu att du kunde r ännu fler gånger. Hur många

toalettpappe vika för att få en tjocklek gånger skulle du behöva till månen? som är lika med avståndet

2.

FOKUS FÖRMÅGORNA I

99

Räkna och häpna Bakom rubriken döljer sig problemlösningsuppgifter som är öppna till sin karaktär. Det innebär att en del fakta saknas och att eleverna själva får komma fram till vissa av de sifferuppgifter som krävs för att lösa uppgiften. Det innebär också att eleverna oftast kommer fram till olika svar, vilket är en av finesserna med dessa uppgifter. När eleverna redovisar sina lösningar får ni då tillfälle till en bra diskussion om vilka antaganden de gjort, vilka data de använt och hur de räknat. Räkna och häpna ger med andra ord

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXII

2018-08-13 10:53

goda tillfällen till matematiska diskussioner om oväntade svar, noggrannhet och felkällor.

Vår förhoppning är att uppgifterna upplevs som fantasieggande och spännande och att de ger ett överraskande svar. ”Blev det så mycket” eller ”blev det inte mer” blir förhoppningsvis vanliga elevreaktioner.

Ett förslag till arbetsgång ser ut så här: • Uppgiften presenteras för eleverna.

• Eleverna skriver en hypotes.

• Eleverna får enskilt, parvis eller i grupp försöka lösa uppgiften.

• Varje grupp redovisar sina lösningar (eller delar av lösningar).

• Vilka styrkor respektive svagheter har de olika lösningarna?

• Var det någon som hade en hypotes som stämde?

Förslag till lösningar finns vid respektive uppgift här i lärarguiden. Till varje Räkna och häpna finns det också en Powerpoint-fil som du kan ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com). Sista sidan innehåller ett förslag på lösning, men du måste vara beredd på att eleverna har andra lösningar och får andra svar beroende på vilka antaganden de gör.

Räkna och häpna skapar goda möjligheter för eleverna att träna på att argumentera för sina beräkningar och slutsatser genom att använda matematikens olika uttrycksformer. När ni går igenom de olika lösningarna tillsammans i klassen kan du som lärare även hjälpa eleverna att utveckla sitt matematiska språk samt visa på olika sätt att tänka kring en uppgift. Fota av elevernas lösningar och visa med projektor, använd dokumentkamera och SMART Board eller gör en ”gallery walk” i klassrummet (se beskrivningen under Fyrfältsproblem).

Det finns en generell bedömningsmatris kopplad till uppgifterna. Det är bra om eleverna har den tillgänglig under arbetet. Du hittar matrisen på vår hemsida (www.matematikxyz.com). Dela gärna ut bedömningsmatrisen till eleverna innan de börjar arbeta. Du behöver förstås förklara hur det fungerar, men eleverna brukar lära sig ganska snabbt hur de kan använda bedömningsmatrisen. Medvetenheten leder ofta till att de utmanar sig själva lite mer än vad de skulle ha gjort annars. Dessutom är elevernas bedömning av sin egen nivå en resurs som du kan använda dig av i dina egna bedömningar.

Det är svårt att utvärdera elevernas muntliga kommunikativa förmåga på en vanlig provräkning.

Därför är det viktigt att du använder dig av Räkna och häpna och liknande uppgifter för att träna och bedöma eleverna på dessa områden. Matrisen är då till stor hjälp, både för dig och eleverna.

Bedömningsmatris RÄKNA OCH HÄPNA Kap 1 Lägre Förståelse och genomförande

Metoder och resultat

Högre

Eleven visar en grundläggande förståelse förproblemet och ställer någon form av hypotes.

Eleven visar god förståelse för problemet och ställer en relativt genomtänkt hypotes.

Eleven visar mycket god förståelse för problemet samt ställer en genomtänkt och motiverad hypotes.

Eleven genomför uppgiften med viss hjälp och med i huvudsak fungerande metoder.

Eleven genomför uppgiften relativt självständig med ändamålsenliga metoder.

Eleven genomför uppgiften självständigt med välfungerande och effektiva metoder.

Eleven kommer fram till ett godtagbart resultat.

Eleven kommer fram till ett relativt gott resultat.

Eleven kommer fram till ett gott resultat.

Redovisningen går att Redovisning och följa och begreppen används på ett i begreppshuvudsak fungerande användning sätt.

Redovisningen är lätt att följa och begreppen används på ett väl fungerande sätt.

Redovisningen är klar och tydlig och begreppen används på ett mycket väl fungerande sätt.

Eleven bidrar till ett resonemang kring resultatets rimlighet samt bidrar med vissa reflektioner över felkällor.

Eleven resonerar kring resultatens rimlighet samt gör vissa reflektioner över felkällor.

Eleven resonerar på ett väl underbyggt sätt kring resultatens rimlighet med lyhördhet för felkällor.

Resultaten jämförs med minst en kamrat på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt.

Resultaten jämförs med minst en kamrat på ett sätt som för resonemangen framåt.

Resultaten jämförs med flera kamrater på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem.

Analys och Resonemang

Resonera och utveckla Resonera och utveckla är uppgifter som ger möjlighet till resonemang och kommunikation. Uppgifterna inleds med enkla uppgifter som alla elever kan klara av. Sedan utvidgas omfattningen och uppgiften avslutas ofta med jämförelser och generaliseringar.

Låt gärna eleverna först få arbeta individuellt med uppgiften. Efter en stund kan de resonera med en bänkkamrat eller i större grupp. Eleverna för och följer matematiska resonemang utifrån sina förutsättningar och sitt matematiska språk. Avsluta med att gemensamt gå igenom och diskutera framförallt vilka slutsatser grupperna har kommit fram till.

Facit och kommentarer finns vid respektive uppgift här i lärarguiden. För varje Resonera och utveckla finns dessutom en uppgiftsspecifik bedömningsmatris som du kan skriva ut och använda själv eller tillsammans med eleverna. Du hittar alla matriser på vår hemsida (www.matematikxyz.com). Dela gärna ut bedömningsmatrisen till eleverna innan de arbetar med avsnittet.

Eleverna lär sig snabbt hur de kan använda bedömningsmatrisen.

Medvetenheten leder ofta till att de utmanar sig själva lite mer än vad de skulle gjort annars.

Dessutom är elevernas bedömning av sin egen nivå en resurs när du själv ska göra bedömningar.

Bedömningsmatris

Kap 2

RESONERA OCH UTVECKLA – Möbelrea

Förståelse och genomförande

Eleven följer instruktionen och löser uppgifterna med relativt mycket hjälp.

Eleven följer instruktionen och löser uppgifterna relativt självständigt.

Eleven följer instruktionen och löser uppgifterna självständigt.

Eleven använder en i huvudsak fungerande metod för att beräkna priserna i uppgift 1 med godtagbart resultat.

Eleven använder en ändamålsenlig metod och får fram ett korrekt resultat i uppgifterna 1–3.

Använder en väl fungerande och effektiv metod för att lösa uppgifterna 1-3, genomföra undersökningen i uppgift 4 och kommer fram till korrekt resultat på uppgift 5.

Metod och begrepp

Visar grundläggande kunskaper om andelsbegreppet genom att ta reda på priserna i uppgift 1 och göra en jämförelse i uppgift 2.

Analys och resonemang

Kommer på något sätt fram till en tillfredställande jämförelse i uppgift 2.

Bemöter påståendet i uppgift 4 på ett sätt som till viss del för resonemanget framåt.

Redovisningen går i huvudsak att följa.

Redovisning och matematiskt språk

Visar goda kunskaper om andelsbegreppet genom att ta reda på ursprungspriset i uppgift 3.

Kommer fram till en korrekt jämförelse i uppgift 2 samt en god motivering i uppgift 4.

Kommer fram till mycket goda slutsatser på uppgift 2, 4 och 5.

Bemöter påståendet i uppgift 4 på ett sätt som för resonemanget framåt.

Bemöter påståendet i uppgift 4 på ett sätt som för resonemanget framåt och fördjupar eller breddar det.

Redovisningen är lätt att följa.

Redovisningen är klar och tydlig.

Det matematiska språket är enkelt och till viss del anpassat till sammanhanget.

Det matematiska språket är godtagbart och förhållandevis väl anpassat till sammanhanget.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXIII

Visar mycket goda kunskaper om andelsbegreppet genom att motivera påståendet i uppgift 4 och komma fram till ett korrekt resultat i uppgift 5.

Det matematiska språket är korrekt och väl anpassat till sammanhanget.

XXIII

2018-08-13 10:53

Ett av syftena med undervisningen i matematik är att eleverna ska ”utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang”. Det är därför viktigt att eleverna lär sig redovisa sina lösningar på ett så bra sätt som möjligt. Bokens typexempel visar hur redovisningar kan se ut och K-kommentarerna pekar på saker som eleverna bör tänka på för att den matematiska kommunikationen ska vara bra.

Som komplement till detta finns ett blad som heter Redovisning att hämta på på vår hemsida (www. matematikxyz.com). Skriv gärna ut bladet och ge det till dina elever. Förslagsvis kan de klistra in bladet i sina räknehäften.

presenterar du uppgiften till exempel på tavlan eller med projektor. Sedan låter du eleverna lösa uppgiften enskilt innan ni tittar på de givna lösningarna.

Vi har med flit gjort lösningarna med olika kvalitet, fört in felaktigheter och slarvat på sådana sätt som elever ofta gör, för att det ska bli bra diskussioner i klassen.

Låt sedan eleverna arbeta med de övriga uppgifterna som finns i avsnittet Värdera och redovisa. Förutom att lösa uppgifterna och komma fram till rätt svar är avsikten att de ska tänka på att redovisningen blir så bra som möjligt. På så sätt utvecklar eleverna sina förmågor samt befäster nya kunskaper och insikter. förmågorna i fokus

2 samband

Värdera och redovisa

VÄRDERA OCH REDOVISA – TANZANIA A Till uppgift 1 finns fyra olika lösningar som alla leder till rätt svar.

– Vems lösning är bäst?

– Vilka brister ser du i de andra lösningarna?

Utöver exempelrutorna och redovisningsbladet har vi under rubriken Förmågorna i fokus en uppgift som vi kallar Värdera och redovisa. I denna uppgift tränar eleverna framförallt sin skriftliga kommunikativa förmåga. I den första uppgiften ska eleverna bedöma den skriftliga kommunikationen i fyra fiktiva lösningar. Antingen så läser eleverna uppgiften enskilt och därefter de olika lösningarna för att bedöma vilken lösning de tycker är bäst, eller så

Ludvig Skillnad: 68800 – 5600 = 63200 Procent:

63200 = 68800

= 92,9 % ≈ 93 % Svar: Vänern är 93 % mindre.

Helena Skillnad: 68800 – 5600 = 63200 km2 Victoriasjön: 68800 km2 Procent mindre:

63200 ≈ 68800

= 92,9... % ≈ 93 % Svar: Vänern är 93 % mindre än Victoriasjön.

XXIV

1 Afrikas största sjö, Victoriasjön, ligger till hälften i Tanzania. Sjöns area är 68 800 km2. Sveriges största sjö, Vänern, är 5 600 km2. Hur många procent mindre area har Vänern än Victoriasjön? Avrunda till hela procent.

Ludvig Skillnad: 68800 – 5600 = 63200 Procent:

=

= 92,9 % ≈ 93 % Svar: Vänern är 93 % mindre.

Helena Skillnad: 68800 – 5600 = 63200 km2 Victoriasjön: 68800 km2 Procent mindre:

≈

= 92,9... % ≈ 93 % Svar: Vänern är 93 % mindre än Victoriasjön.

Lovisa Vänern är

≈

≈ 7 % av Victoriasjön.

100 % – 7 % = 93 % Svar: Vänern är en 93 % mindre sjö.

Alonzo Skillnad: (68800 – 5600) km2 = = 63200 km2 Mindre (%):

=

= 92,9... % ≈ 93 % Svar: 93 % mindre

2.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

101

Lovisa 5 600 ≈ Vänern är 68800 ≈ 7 % av Victoriasjön.

100 % – 7 % = 93 % Svar: Vänern är en 93 % mindre sjö.

Alonzo Skillnad: (68800 – 5600) km2 = = 63200 km2 Mindre (%):

63200 = 68800

= 92,9... % ≈ 93 % Svar: 93 % mindre

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXIV

2018-08-13 10:53

10. Sammanfattning

I slutet av varje kapitel finns det en Sammanfattning.

Det är en kort sammanställning av begrepp och en del metoder i kapitlet som kan vara bra för eleverna att titta på inför provräkningar. Boken har även en flik längst bak där de viktigaste begreppen och sambanden finns presenterade.

Omkretsen av en månghörning (polygon) får man genom att addera alla sidornas längder. Ett områdes area (A) talar om hur stor yta området har.

Månghörning Polygon

Rektangel

Omkrets

Kvadrat

Area höjd (h)

A=b·h

s

A=s·s bas (b) s

Romb

A=b·h

Parallellogram A=b·h

h

h b

b

Det kan också vara bra att tidigt introducera det formelblad som eleverna får ha med sig på nationella provet i matematik i åk 9, så att de vänjer sig vid hur det ser ut och hur formler och samband är presenterade. Bladet finns att ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com).

Triangel

A=

b⋅ h 2

Parallelltrapets A=

h

b

h a

b

Cirkel radie (r) diameter (d)

A = Ο· r · r eller A = Ο · r²

O = Ο· d

Volym Prismor

Pyramid

Prisma

Rätblock

Kub

h

h

h

h B B

B

B

V=B·h

V=B·h

På hemsidan finns det även en sammanfattning över begrepp och metoder ur det centrala innehållet i hela Matematik XYZ. Den kan vara bra att dela ut och gå igenom på våren i åk 9 när det är dags för de nationella proven i matematik.

h(a + b) 2

Cylinder

V=

V=B·h

r

r

V=

där B = Ο · r ²

3.

r

B

V= B·h

156

3

Klot

Kon

h B

B·h

B·h 3

där B = Ο · r ²

V=

4 · Ο· r ³ 3

S A M M A N FAT T N I N G

11. Repetition

Innan varje prov kan eleverna arbeta med ett repetitionsblad som finns att ladda ner på vår hemsida (www.matematikxyz.com). Bladet är en bra repetition för eleverna inför provet och passar bra att arbeta med hemma. Samtliga uppgifter är nämligen hämtade från typexemplen i boken, så om en elev kör fast på en uppgift finns det en lösning att titta på i grundboken. För elever som i huvudsak arbetar i Bas Y finns särskilda repetitionsblad med de typexempel som finns i Bas Y. Till varje kapitel finns det även två övningsprov som innehåller uppgifter som påminner om uppgifterna på provet. Genom att arbeta med övningsproven lär sig eleverna tolka uppgiftstexter. Eleverna kan till exempel arbeta med det ena övningsprovet i skolan och med det andra hemma.

Repetition kap 1 Alla uppgifter i det här repetitionsavsnittet finns som lösta exempel i Matematik Y. Intill varje uppgift står det på vilken sida du hittar exemplet. Om det är någon uppgift som du inte vet hur du ska lösa, så kan du slå upp den sidan i boken och titta på hur en lösning kan se ut.

sid 2 5 eller ?

3 7

1

Vilket tal är störst,

2

Hur stor andel av rektangeln är vit? Svara med ett bråk i enklaste form.

3

a)

5 3 + 8 4

b) 1

4

a)

1 3 · 2 5

b) 3 ·

5

I en spargris finns 120 mynt. Två tredjedelar av mynten är femkronor.

Hur många femkronor finns i spargrisen?

10

2 5

2 8 – 9 9

c)

1 + 0,7 6

4 7

c)

3 6 · 4 7

1 4 3 5

a) 4 /

7

Emma och Sabrye har kokat 6 liter saft. Saften ska hällas i flaskor som rymmer 3/4 liter. Hur många flaskor blir det?

b) 1 /

2

⎛2⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

10

a) 24 – 22

b) 5 · 32

11

Skriv talen som tiopotenser. a) 1 000

23 29

29 33

b) 4 + 4 + 4 + 4 + 4

a) 53

12

23

Skriv på ett kortare sätt. a) 7 · 7 · 7 · 7 · 7

9

c)

18

3 /2 4

6

8

10

b) 100 000

a) Skriv talet 65 000 i grundpotensform.

c) x · x · x · x

c) 0,23

c)

2 3 ⋅ 32 10 2

d) 10 · 0,42

34

d) (11 – 3)2

34 39

c) tio miljoner 39

b) Skriv talet 4,2 · 105 utan tiopotens.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXV

XXV

2018-08-13 10:53

12. Prov

Kapitelprov På hemsidan (www.matematikxyz.com) har vi lagt ut förslag till prov efter varje kapitel. Proven ligger under den lösenordskyddade delen av hemsidan. Du hittar inloggningsuppgifterna i förordet till lärarguiden. Proven syftar till att hjälpa dig med en del av din summativa bedömning av eleverna, men du kan förstås också använda proven som ett underlag för formativ bedömning.

Varje prov finns i två olika varianter, A och B. Det enda som skiljer de båda varianterna åt är att uppgifterna innehåller olika siffror. Svaren är alltså olika. Om eleverna sitter trångt i klassrummet kan det till exempel vara bra att ge varannan elev variant A och varannan variant B för att undvika att eleverna lockas till fusk. Om någon elev missat provet eller om någon elev behöver göra omprov är det däremot bättre att använda en annan version av provet istället.

Det finns flera olika versioner av proven på vår hemsida.

Proven är indelade i två delar. I del I skriver eleverna bara svar medan eleverna i del II ska redovisa sina lösningar. Intill varje uppgift på provet finns angivet hur många poäng uppgiften kan ge. Vi har använt oss av den modell som används på de nationella proven i matematik. Om det till exempel står (2/1/0) så innebär det att uppgiften kan ge 2 E-poäng, 1 C-poäng och inget A-poäng.

Proven finns som Word-filer. Det är därför lätt för dig som lärare att stryka, lägga till eller ändra på uppgifter. Du kan också ta bort eller ändra poänganvisningar om du så önskar.

Elevernas resultat kan bokföras på särskilda resultatblad. För varje poäng sätts en ring runt motsvarande uppgift på bladet. Antalet ringar blir då lika med det antal poäng som eleven uppnått på provet. Ringarnas spridning visar fördelningen mellan olika förmågor.

Det är viktigt att eleverna visar kunskaper inom alla matematiska förmågor för att du ska kunna sätta betyg på provet. Fördelningen över förmågorna är också värdefull att analysera som en del i den formativa bedömningen.

XXVI

Så här kan ett resultatblad se ut:

Resultatblad till provräkning kapitel 1 Namn:________________________________________

Klass:_______________

Poäng: ( ____ / ____ / ____ )

Maxpoäng: (13/ 7 / 5)

E

Förmågor

Problemlösning

C

Omdöme/ förmåga

A

5 10

10

6

6

11

12

12

1

Begrepp

5 9

12 2

Metod

3

4

7

8

10

7 9

10

11

12

11

12

2

Resonemang

Kommunikation

6

7

8 10

Kommentar:___________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Lärarens signatur:___________________________

Frågan om eleverna ska få betyg på enskilda prov är föremål för diskussion på många skolor. En del lärare tycker att det är bra eftersom det ger en direkt feedback till eleverna, något som både elever och föräldrar efterfrågar. Andra tycker inte att man kan sätta betyg på prov eftersom de inte testar av alla kunskapskrav. Dessa lärare anser att man endast kan sätta betyg vid terminens slut när man gör en sammanvägning av resultaten på terminens prov samt andra tester/övningar man gjort. I instruktionerna till våra prov på hemsidan har vi tagit fram förslag på poäng- och betygsgränser. Men vi vill betona att det endast är förslag från vår sida.

Eftersom ett enskilt prov inte räcker för att helt och hållet testa alla kunskapskrav som finns angivna i Lgr11 är det nödvändigt att du som lärare även gör andra typer av utvärderingar och tester för att få en komplett bild av dina elevers kunskaper. Du kan då

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXVI

2018-08-13 10:53

ha nytta av uppgifterna som finns i avsnittet Förmågorna i fokus. Till några av dessa uppgifter finns det matriser för att eleverna lättare ska kunna bedöma kvaliteten på sina egna matematiska förmågor men också för att du som lärare lättare ska kunna bedöma dem.

Höst- och vårprov

Om du som lärare rättar proven utan att göra kommentarer i elevernas lösningar kan du, vid genomgång av provet, ge eleverna ett tomt resultatblad tillsammans med sina prov samt var sin färgpenna. Du kan sedan gå igenom provet och bedömningsanvisningarna och låta eleverna rätta sina egna prov innan de får ta del av din rättning som du gjort i provets resultatblad. Genomgången blir då ett utmärkt redskap för formativ bedömning och eleverna får lära sig hur bedömningsanvisningar används. En fördel med en provgenomgång på det här sättet är att eleverna tar till sig genomgången på ett bättre sätt än om du bara delar ut proven med den summativa bedömningen.

Provet på höstterminen behandlar tre viktiga delar i matematik: taluppfattning, huvudräkning och problemlösning. Provet består av 20 uppgifter som ska lösas inom 60 minuter. Till uppgifterna i del I krävs endast svar medan det till del II krävs redovisning. Poängsättningen är enligt vårt förslag densamma som till vanliga prov, det vill säga med E-poäng, C-poäng och A-poäng. Även till dessa prov finns det resultatblad.

Förutom de prov som eleverna får efter varje kapitel (fem stycken) finns två andra prov som Word-filer på hemsidan. Det ena är avsett att ges under höstterminen och det andra under vårterminen.

Provet på vårterminen påminner om uppgifterna som heter Resonera och utveckla i läroboken. Det är bra om eleverna har gjort några sådana uppgifter i läroboken innan du ger dem provet på vårterminen.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXVII

XXVII

2018-08-13 10:53

Allmänt

Läxor Efter kapitel 5 finns 20 läxor med vardera 10 uppgifter. Uppgifterna är i stigande svårighetsgrad och eleverna räknar så många uppgifter de klarar av.

Uppgifterna är, precis som i avsnitten, markerade med vilka förmågor de i första hand tränar.

På läxorna finns angivet när läxan kan ges. Om det till exempel står ”Efter avsnitt 2.3” så innebär det att läxan innehåller uppgifter t o m det avsnittet. De fyra första uppgifterna på varje läxa är uppgifter från de senaste avsnitten som eleverna arbetat med. De övriga sex uppgifterna kan vara hämtade från tidigare kapitel. På så sätt får eleverna kontinuerlig repetition. Blandningen från flera olika kapitel utmanar dessutom elevernas förmåga att välja lämpliga lösningsmetoder.

Låt gärna eleverna få ett speciellt räknehäfte för sina läxor, ett häfte som de lämnar in till dig för bedömning. Eftersom det finns facit till läxorna behöver du inte kontrollera att svaren är riktiga. Det kan eleverna göra själva. Men det är bra om du kan ge feedback på deras förmåga att utföra beräkningar och redogöra för sina beräkningar och slutsatser. Du kan be eleverna ringa in uppgifter de tyckte var svåra och som de vill att du går igenom. Om tiden är begränsad kan du då snabbt välja ut de uppgifter som flest elever har önskat hjälp med.

Läxor

Läxa 1

2 a) 2 3 5 c) 1 8

B M

1 liter 3 3 liter d) 4 2 liter e) 3 c)

3 5

c) 0,7 2

b) 1 4

d)

B

1 4

2,5

2 5

c)

0,25

0,4

b)

M R

km sträcka

30

l med linjal.

Jag drar linjalstr eck mellan uppgifterna.

Jag använde r linjal till figurer, tabeller och diagram.

Jag skriver en siffra i varje håller mig på ruta och raden.

Jag använde r vässad penna och sudd.

Jag rättar min läxa.

d) 0,17

13.30

C

8 a) 6

0,2

B

17 100 0,2

13 tiokronor, 35 enkronor och resten är femkronor. Hur många femkronor har Camilla?

14.00

14.30

klockslag

13 är mer eller mindre 27 1 än ? Förklara hur du tänker.

M 2

7 Hur vet du om

D E

M K

1,7

Kommunikat

10

A B

b)

64 40

c)

1,8 0,06

L

R

M K

9 Billy kör en bil där hastighetsmätaren visar hastigheten i miles per timme.

Billy kör genom ett samhälle där högsta tillåtna hastighet är 50 km/h. Hur mycket får hastighetsmätaren visa som mest?

P B K Avrunda till heltal. L 1 mile = 1 609 m

10 En fotbollsplan har måtten 112,5 m · 64 m.

5 Camilla har 250 kr i mynt. Hon har

266

b) Hur lång sträcka cyklade Lisa första halvtimmen?

Jag gör margina

Nr

Nr

Nr

Nr

Nr

Nr

Nr

Nr

Nr

Nr

20

10 dl 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3 2 0 4 4 2 7 0 3 9

5 2

M

40

4 Vilket av talen i rutan är lika med a)

Nr

a) Vilken tid startade Lisa?

c) Vad hände 14.00?

Vilken av pilarna pekar på 1 liter a) 4 1 b) liter 2

Namn:_______ ____________ ____

Struktur

6 Diagrammet visar hur lång sträcka Lisa har cyklat vid olika tidpunkter.

1 b) 3 5 2 d) 4 7

2 Bilden visar ett litermått.

3 a) 1 2

LÄXKORT

Efter avsnitt 1.2

1 Skriv talen i bråkform.

P K

Karin ska klippa gräset på planen. Hon går med hastigheten 1,5 m per sekund och klipper 1 m brett. Hur lång tid tar det för P K Karin att klippa hela planen? L

LÄXOR KAPITE L 1

ion

Jag tecknar uppgifterna.

Jag presente rar fakta.

Jag ritar figurer för att tydliggö uppgiften. ra Jag presente rar beräkningar. och tecknar mina Jag använde r likhetstecken sätt. på korrekt Jag skriver ut enhet och tar varje beräkni med den i ngssteg.

Jag avslutar varje textupp gift med svar.

Så här lång tid tog läxan: Förälders signatur : Jag har tagit del av läxan.

I Bas Y finns det inga läxor. Men det finns läxor till både Bas Y och Matematik Y på vår hemsida (www.matematikxyz.com). Eleverna behöver alltså inte ta med sig en bok hem när de har läxa, utan kommer åt sina läxor och facit på webben.

Om du låter eleverna arbeta med avsnittsuppgifter hemma som läxa är det viktigt att tänka på att hemarbete ska förstärka inlärningen av det som eleverna arbetat med i skolan. Det är inte meningen att eleverna ska sitta hemma och lära sig nya moment på egen hand. Det är ju inte alla som har föräldrar som kan hjälpa till och även om de har det så är det ju inte säkert att det fungerar bra för eleven.

Du kan också låta eleverna få titta på en film i läxa inför en kommande matematiklektion, så kallat flippat klassrum (Flipped Classroom). På så sätt är eleverna förberedda inför lektionen och du kan ha en lektion kring vilka svårigheter eleverna upplever.

Men hur gör man om några elever inte har tittat på filmen då? Ja, det problemet har du i klassrummet också. Troligen kommer det finnas elever som inte lyssnar eller inte hänger med i din genomgång så att du sedan får gå igenom allt igen vid elevens bänk.

Men om du utgår från svårigheter som eleverna själva ger uttryck för så ökar sannolikheten att även de elever som inte tittat på filmen kommer att ha samma problem.

Problemlösningsstrategier

Omdöme Redovisningen är bristfällig att följa. och svår Redovisningen läggande nivå är på en grundoch går att följa.

Redovisningen kvalité. Fåtal har en relativt god förbättringsförs finns. lag Redovis ningen har mycket kvalité. god

Det finns ett läxkort som du kan hämta på vår hemsida (www.matematikxyz.com) och som eleverna kan klistra in vid varje läxa. Kortet fylls i av eleven, signeras av föräldern och sedan kan du ge XXVIII

feedback på kortet istället för att skriva kommentarer i läxboken. Om du skriver kommentarer på läxkortet får även föräldrarna ta del av vad som behöver tränas mera på eller förbättras i övrigt. Det kan också vara bra att låta eleverna få bedöma varandras läxor innan de lämnas in. En metod att använda är så kallad ”två stjärnor och en önskan” – eleverna ger då läxan två positiva omdömen och ett förbättringsförslag.

Efter facit i boken kommer ett avsnitt som heter Problemlösningsstrategier. I avsnittet presenteras 8 olika strategier med lösta typexempel.

1. Rita en bild 2. Gissa och pröva 3. Steg för steg

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXVIII

2018-08-13 10:53

4.

5.

6.

7.

8.

Tänk logiskt Rita ett diagram Hitta mönster Arbeta bakifrån Använd ekvation

Gå gärna igenom de lösta typexemplen tillsammans med eleverna. Samtliga strategier med exempel finns samlade i en Powerpoint-fil som du kan ladda ner från vår hemsida (www.matematikxyz.com). Det är bra om ni repeterar strategierna innan ni börjar arbeta med Fyrfältsproblem, Räkna och häpna samt Resonera och utveckla eftersom eleverna i dessa uppgifter kan ha nytta av de olika strategierna.

Begreppsregister Längst bak i boken finns ett begreppsregister.

Eleverna är ofta omedvetna om att det finns och hur man använder det. Det kan därför vara bra att du visar dem registret samt går igenom hur det fungerar.

Multiplikationstabellerna Om eleverna har automatiserat multiplikationstabellerna kan de lägga sin energi och tankeverksamhet på att tolka problem och hitta lämpliga metoder och strategier för att lösa dem. Det brukar variera mycket hur bra tabellerna är automatiserade. Om eleverna kan tabellerna för dåligt bromsar det deras utveckling eftersom arbetsminnet belastas hårdare och även relativt enkla beräkningar blir mödosamma. Men hur ska man gå tillväga med tabellträningen?

Det finns forskning som visar att utantillinlärning inte behöver vara rätt väg att gå. En del elever klarar av det kortsiktigt och kanske även långsiktigt, men det finns mer effektiva metoder att få tabellerna att fastna i långtidsminnet. Det är bättre att arbeta med elevens taluppfattning och hitta metoder för att lösa uppgiften som eleven inte kan. Om eleven till exempel inte vet att 8 · 7 = 56 kan man lära eleven att gå en omväg. Kanske känner eleven till att 7 · 7 = 49.

I så fall måste ju 8 · 7 vara 7 mer (49 + 7 = 56). Med tiden kommer sedan det korrekta svaret att fastna i långtidsminnet och eleven behöver inte göra denna ”omväg” längre. Ett bra sätt att avdramatisera tabellträningen kan vara att tidigt låta eleverna markera vilka multiplikationer de tycker är svåra, sen tar man bort alla andra (man tar då även bort dubbletter, det vill säga att 7 · 8 är samma sak som 8 · 7). Då syns det oftast att det faktiskt inte är så många som de inte kan och problemet känns lättare att ta tag i. Men hur gör man då?

Troligtvis har eleverna tränat multiplikationstabel-

lerna under flera år i skolan och hemma utan att de lärt sig dem ordentligt ändå. Elever som är dåliga på utantillinlärning är inte sämre i matematik för det.

Tyvärr är det inte ovanligt att de i skolan fått uppfattningen att de är det, vilket är väldigt tragiskt.

Talfakta som man behöver kunna utantill, är en väldigt liten del av matematiken och antagligen den tråkigaste biten. Om en elev har problem med utantillinlärningen av tabellerna blir det inte bättre av att låta dem träna ännu mer på att memorera dem.

Det har ju redan visat sig att det inte fungerar. Det blir inte heller bättre av att göra multiplikationstester på tid. Faktum är att det sista till och med kan vara skadligt. Ungefär en tredjedel av eleverna som utvecklat matematikångest började få det vid tabelltester på tid i skolan (Boaler, 20141). Hos elever som blir stressade blockeras arbetsminnet och de kommer sedan inte åt talfakta som de egentligen kan.

Eleverna börjar utveckla ångest och deras matematiska självförtroende bryts ned (Beilock, 20112 och Ramirez, 20133). Vi har även valt att komplettera med andra typer av arbetsblad som är mer lustfyllda samt lagt till en interaktiv övning på vår hemsida (www.matematikxyz.com) där eleverna kan träna tabellerna individuellt i sin egen takt.

Algoritmer Genom åren har det förekommit en livlig debatt om de räknemetoder som lärs ut i svensk skola. Är de bra eller dåliga? Analyser gjorda av resultaten i TIMMS visar att elever med en dålig taluppfattning oftare gör fel i sina uträkningar om de använder någon form av skriftlig huvudräkning än om om de använder en traditionell vertikal algoritm.

Om en elev har en fungerande skriftlig metod finns det ingen anledning att byta metod. Antagligen har då eleven en god taluppfattning och har med metodens hjälp kanske även blivit duktig i huvudräkning. Men om eleven har en skriftlig horisontell metod och ofta får fel svar vid beräkningar med metoden kan det vara en idé att eventuellt byta metod till en vanlig vertikal algoritm och parallellt med det jobba vidare med positionssystemet och att träna eleven i talfakta och taluppfattning.

1) Boaler, J. (2013, Nov 12 2013). The Stereotypes That Distort How Americans Teach and Learn Math. The Atlantic.

2) Beilock, S. (2011). Choke: What the Secrets of the Brain Reveal About Getting It Right When You Have To. New York: Free Press.

3) Ramirez, G., Gunderson, E., Levine, S., and Beilock, S. (2013). Math Anxiety, Working Memory and Math Achievement in Early Elementary School. Journal of Cognition and Development. 14 (2).

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXIX

XXIX

2018-08-13 10:53

Digitala hjälpmedel Det finns många webbsidor på internet med olika digitala hjälpmedel som är bra att använda i matematikundervisningen. Ett sådant exempel är Geogebra (www.geogebra.org) som är en webbaserad grafräknare för funktioner, geometri, algebra, analys, statistik och 3D-matematik. Det finns ett globalt nätverk av matematiklärare kopplat till tjänsten och som delar med sig av sitt eget material, vilket gör tjänsten till en guldgruva.

för att analysera styrkor och svagheter. Om du har en interaktiv skrivtavla och en dokumentkamera, kan du använda dem för att direkt få upp bilderna på tavlan. Fördelen är då att du även kan skriva på bilderna och enkelt spara dem för dokumentation.

Om du inte har en dokumentkamera i klassrummet kan du så klart använda kameran i din mobiltelefon, mejla bilden till dig själv och sedan visa den på din interaktiva skrivtavla eller med projektor.

Läs mer om digitala hjälpmedel och bra webbresurser på vår hemsida (www.matematikxyz.com) under ”Lärare” och sen ”Digitala hjälpmedel”.

Fördela ordet

Geoboard i Google Chrome

Om eleverna har tillgång till skrivplattor, till exempel iPads, kan de spela in filmer som visar hur de gör när de löser olika typer av ekvationer samtidigt som de berättar vad de gör. Det finns flera appar som klarar av att spela in din röst samtidigt som du skriver på skrivplattan (se vår hemsida). Sedan kan ni titta på filmerna tillsammans i skolan och eleverna kan ge varandra konstruktiv feedback. Första gången tycker många elever att det är jobbigt att höra sin egen röst, men de vänjer sig med tiden. Metoden är både kul och effektiv för att förbättra elevernas metodförmåga samt deras skriftliga och muntliga kommunikationsförmåga.

Det är viktigt när man har gemensamma diskussioner i klassen att alla verkligen får komma till tals, inte bara de som räcker upp handen eller de som ljudligast påkallar din uppmärksamhet. I många klasser finns det också elever som vänjer sig vid att andra tar plats och är ganska nöjda med det. Men kommunikations- och resonemangsförmågan i matematik handlar om att både ta del av och att dela med sig av tankar och argument och alla elever i klassen ska få chansen att utveckla dessa förmågor.

TeachersPick på iPhone

Ett sätt att försäkra sig om att alla får komma till tals är att ha en burk med glasspinnar i klassrummet. På varje glasspinne skriver du en elevs namn så att alla har varsin glasspinne i burken. Sen drar du på måfå pinnar när du vill fördela ordet och lägger de pinnar du redan dragit åt sidan. Fördelen med detta, förutom att alla kommer till tals, är att alla alltid vet att det kan vara deras tur och att de därför behöver vara uppmärksamma på vad som sägs i klassen.

Explain Everything på iPad

Vid många av typexemplen i Matematik Y finns det en orange ruta med punkter som berättar vad man bör göra för att kommunikationen av en lösning ska vara tydlig. Ett sätt att arbeta med kommunikationsförmågan är att fota av några olika lösningar i elevernas häften och sedan titta på dem tillsammans XXX

Du kan även använda dig av glasspinnarna för att slumpa fram grupper vid gruppövningar. Det gör att det alltid kan bli olika grupper, vilket eleverna upplever som rättvist. De tränar sig då även på att samarbeta med olika elever i klassen. Det finns tjänster på nätet och appar till telefoner och läsplattor som gör samma sak (se vår hemsida).

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXX

2018-08-13 10:53

Snabba avstämningar

Mattekit

Ibland kanske man vill att alla elever ska göra någon uträkning och sedan berätta sitt svar. Det kan då vara smidigt att arbeta med små white boards för att kunna göra snabba avstämningar. Eleverna skriver då sina svar eller visar sin uträkning på white boarden genom att skriva på den med en whitebordpenna och sedan hålla upp sin tavla så att du ser vad de har gjort. Om man inte har sådana tavlor kan man tillverka egna genom att plasta in vita A4-papper och låta eleverna skriva med vattenlösliga pennor på dem.

Om du har grupper med bänkar i ditt klassrum kan du göra i ordning ett Matte-kit till varje grupp. Det kan bestå av en låda som innehåller miniräknare, linjaler, bråklinjaler, multiplikationsmatriser, gradskivor, små whiteboards och färgade plastmuggar (en grön, en gul och en röd). Whiteboardpennorna kan vara klokt att dela ut bara när eleverna ska använda dem. Plastmuggarna används så att eleven ställer dem staplade på varandra på sin bänk. Eleven sätter en grön mugg överst om allt ”är grönt”, en röd om de behöver hjälp eller om de inte hänger med i din genomgång och en gul om det är halvsvårt. Det gör att eleverna inte behöver sitta och räcka upp handen hela tiden samt att du, när du har en genomgång, snabbt ser om alla hänger med.

Ett annat sätt att snabbt få en inblick i hur eleverna resonerar och tänker är att göra en så kallad ”exit ticket” när lektionen är slut. Du ställer då en väl avvägd fråga som eleven måste svara på innan de lämnar klassrummet. Frågan kan till exempel läggas in i Google Classroom, Socrative eller annan liknande digital tjänst. Fördelen är att du då slipper rätta svaren och du kan se direkt hur många som svarat rätt på frågan i till exempel ett cirkeldiagram.

Om det är en fråga som kräver en text som svar kan du analysera svaren inför nästa lektion. Kanske är det något ni behöver repetera eller så visar det sig att alla elever har förstått.

Programmering Från och med 2018 ingår programmering som en del av det centrala innehållet i matematik. Vi har av olika anledningar valt att inte ta med dessa uppgifter i läroboken utan lagt dem som fristående övningar på vår webbsida (www.matematikxyz.com). Det finns en sida under ”Elever” med uppgifter och en sida under ”Lärare” där du hittar uppgifterna inklusive en lärarhandledning.

INLE DNING

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd XXXI

XXXI

2018-08-13 10:53

facit Begreppsregister A Algebraiskt uttryck Andel 8, 61 Antagande 198 Area 106 Avrunda 66

171

B Balansmetoden 188 Bas 33, 183 Basyta 118 Begränsningsarea 119 Beroende händelser 231 Blandad form 9 Bråkform 8, 61 C Centiliter 125 Centimeter 124 Cirkel 106 Cirkeldiagram 243 Cylinder 118, 135 D Deciliter 125 Decimalform 8, 61 Del 61 Det hela 61 Diameter 106 Differens 165 Dimension 106 Dragning med återläggning 231 Dragning utan återläggning 231 E Ekvation 188 Enklaste form 9 Exponent 33, 183

292

F Frekvens 243 Förenkling 160 Förkorta 9 Förlänga 9 Förändring 77 G Grundpotensform 38 Gynnsamma utfall 223 H Höger led

Median 244 Milliliter 125 Minsta gemensamma nämnaren (MGN) 9 Månghörning 106 Möjliga utfall 223 Mönster 165

Ränta

N Numeriskt uttryck 171 Närmevärde 106

Slumpmässigt försök 223

83

Räntesats

83

Rätblock

118

S Sidoyta

118 165

Sifferterm

Spridning

244

Stapeldiagram 243 O Obekant tal 188 Oberoende händelser 231 Olikformig sannolikhetsfördelning 223 Omkrets 106

Stolpdiagram

Tiopotens

L Likformig sannolikhetsfördelning 223 Linjediagram 243 Liter 125 Lägesmått 244

P Parallellogram 107 Parallelltrapets 107 Parentes 171 Pi (π) 106 Polygon 106 Potens 33, 183 Prioriteringsregler 33 Prisma 118, 130 Procentenhet 84 Procentform 61 Prövning 188 Pyramid 118, 130

M Mantelarea 135 Mantelyta 135 Medelpunkt 106 Medelvärde 244

R Radie 106 Rektangel 107 Relativ frekvens 243 Romb 107

Volym

188

K Kant 118 Kapital 83 Klot 118, 136 Kombinatorik 237 Kon 118, 136 Konstant 160 Kub 118 Kubikcentimeter 119, 124 Kvadrat 107 Kvadratcentimeter 124

Sträcka

243

106

T Talföljd

160

Term Tid

165

83

Triangel

38 107

Träddiagram Typvärde

224, 232

244

U Utfall

223

Uttrycks värde

160

V Variabel 160 Variabelterm

165

Variationsbredd

244

119

Vänster led

188

Y Yta

106

BEGRE PPSREGISTE R

s 292-294 LG Y Begreppsregister FINAL.indd 292

2018-08-13 17:31

ISBN 978-91-47-12632-3 © 2018 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Interak, Polen 2018

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material.

Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

s I-XXXI LG Y Inledning FINAL.indd II

2018-08-13 10:52

Lära arguid de

algebra Mönster

Uttryck med parenteser

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Antalet tändstickor bildar ett mönster som kan skrivas som en talföljd.

Antalet stickor: 3, 5, 7, 9 …

Antalet ökar med 2 för varje triangel.

Differensen är 2.

Antalet stickor i den n:e figuren kan beräknas med uttrycket 2n + 1.

Differens

a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac a(a + c) = a2 + ac

3x + 7 = 22 vänster led

2n + 1 Variabelterm

Lärarguide Y ingår i serien Matematik XYZ och erbjuder stöd för planering, genomförande och utvärdering av din matematikundervisning och elevernas lärande i matematik. Lärarguiden består dels av den tryckta boken, men också av ett omfattande digitalt material.

Ekvationer

Balansmetoden:

Figurens nummer

Lärarguide Y

höger led

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

Sifferterm

Uttryck med potenser a · 2a = 2a2 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Lägesmått och spridning

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Medelvärde

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla tal och sedan dividera med antalet tal.

Median

Sannolikhet i flera steg Sannolikheten för flera händelser i följd räknar man ut genom att multiplicera sannolikheterna med varandra. Till exempel är sannolikheten att slå två fyror efter varandra med en vanlig tärning: 1 · 1 = 1 6 6 36

Kombinatorik

Typvärde

Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Variationsbredd

Variationsbredd är differensen mellan det största och det minsta värdet i ett statistiskt material.

Tabeller och diagram Frekvenstabell Frekvens f

1 2 3 4 5

4 2 6 7 3 n = 22

Omslag Y LG FINAL.indd 1

Stolpdiagram 10 8

f

Stapeldiagram 10 8 6

6 4

4

2

2 1

2

3

4

5

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Antal rätt x

Linjediagram

Cirkeldiagram

Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9.

I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok och en lärarguide.

Matematik Y

Bas Y

Utmaning Y

Lärarguide Y

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

www.matematikxyz.com Matematik XYZ hemsida

milj. inv. folkmängd 4

12 %

3

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

matematik

Undvall Johnson Welén

Med tre siffror 1, 4 och 7 kan vi bilda tresiffriga tal.

Om varje siffra bara kan användas en gång så är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.

Om varje siffra kan förekomma flera gånger så är antalet kombinationer 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Medianen är det mellersta talet efter att talen skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen.

På hemsidan (www.matematikxyz.com) finns bland annat: • Planeringsförslag • SMART Board- och Powerpointfiler för genomgångar • Filmade genomgångar • Kopieringsunderlag för färdighetsträning • Webbappar för färdighetsträning • Interaktiva övningar • Förslag på digital visualisering och programmering • Bedömningsmatriser och självskattningsblad • Diagnoser, tester och prov

matematIK Y

x =5 V.L. = 3 · 5 + 7 = 22 H.L. = 22 Alltså stämmer lösningen.

Prövning:

I Lärarguide Y finns bland annat: • Didaktiska och metodiska tips • Uppgiftsspecifika kommentarer • Ledtrådar och facit • Förslag på lösningar till de svåraste uppgifterna • Hänvisningar till det digitala materialet på hemsidan

Best.nr 47-12632-3 Tryck.nr 47-12632-3

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2018-08-13 10:18