9789144141275

VARIABEL B Lärarhandledning – Digitalt + Tryckt LÄS OCH SAMTLIGAELEVPAKETETSPROVADELAR

Till varje avsnitt finns en kort filmad introduktion och i lärarhandledningen finns filmen även som en tavla så att läraren själv kan styra över presentationen.

Variabel B Lärarhandledning är ett stöd för dig med elever som arbetar med Variabel B1, B2 och B3. Lärarhandledningen innehåller bland annat ett omfat tande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika

+ Tryckt

Innehåller filmerna från elevböckerna samt en avskalad version som läraren själv kan styra över. ochpåklickabildenprova I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie med problemlösningsuppgifter. Lärarhandledningen innehåller en text som beskriver matematiken i elevboken samt ett facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna.

LärarhandledningVARIABELuppgifterna.LÄRARHANDLEDNINGB–Digitalt

Fungerar på dator, surfplatta mobiltelefonoch

DIGITAL LÄRARRESURS

B 1 MATEMATISKVARIABELPROBLEMLÖSNING Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn B 2 VARI A B EL MATEMATISK PR O BLEMLÖSNING Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn B 3 MATEMATISKVARIABELPROBLEMLÖSNING Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn VARI A B EL MATEMATISK PR O BLEMLÖSNINGB Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn Lärarhandledning

Printed by

Övriga

Group, 2022 Studentlitteratur AB Box 141 221 00 Besöksadress:LUNDÅkergränden 1 Telefon 046-31 20 studentlitteratur.se00 alri/Shutterstock.comBilder:

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Figurer:

Shutterstock.com

©UpplagaISBNArt.nrtryckprocess.43412978-91-44-14127-51:12022FörfattarnaochStudentlitteratur formgivning, omslag och figurer: Karin Österlund Jonny Hallberg Eurographic 29 bilder:

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning.

AB Grafisk

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och

DettaKopieringsförbudverkärskyddatav upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. Kopieringsunderlag får dock kopieras under förutsättning att kopiorna delas ut endast i den egna undervisningsgruppen. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

• behärska och använda lämpliga metoder för de beräkningar som krävs vid problemlösning.

Därmed hindras de från att möta den variation i undervisningen som kan väcka intresse för matematik och ge positiva attityder till ämnet. Avsikten med det här materialet är att erbjuda dig som lärare ett undervisningsmaterial som ger dina elever en undervisning som visar hur intressant matematiken kan vara och samtidigt visar hur olika delar av matematiken hänger samman i intressanta mönster. Lycka till med Variabel B. Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn

• behärska ett språk som möjliggör en meningsfull kommunikation om matematik.

Det här är den andra delen av serien Variabel som består av tre delar, Variabel A avsedd för lågstadiet, Variabel B avsedd för mellanstadiet och Variabel C avsedd för högstadiet. Materialet vänder sig till elever som är begåvade, som är intresserade av matematik och/eller som vill lära sig mera matematik. Ett syfte med Variabel är att ge elever möjligheter att utveckla matematiska förmågor som att • lösa problem genom ett målinriktat resonemang och utgående från varierande matematiska strategier och modeller.

• uppfatta och uppskatta matematikens estetiska natur. När vi följer undervisningen i olika årskurser finner vi att undervisningen inte alltid handlar om dessa förmågor utan i första hand om att räkna. Det innebär att många elever aldrig ges möjligheter att lära sig de grundläggande matematiska begrepp som krävs för att utveckla ett matematiskt tänkande.

• uppfatta innebörden i, och använda sambandet mellan, matematiska begrepp.

3 FÖR O RD

4 INNEH Å LL 1B1TALMÖNSTER 24 Triangeltal 25 Pascals triangel 29 Addition av talföljder 31 De udda talen och kvadrattalen 33 Konjugatregeln och huvudräkning 36 Kvadrattal och kubiktal 39 2 DELBARHET 42 Delbarhet med 2, 3 och 5 43 Delbarhet med 9 44 Delbarhet med 7, 11 och 13 46 Primtal 48 3 KVADRATER KVADRATRÖTTEROCH 50 Kvadratrötter 51 En kvadreringsregel 54 Pythagoras sats 56 FORSKNING OCH FÖRFATTARE Grundläggande tankar om undervisning och matematikdidaktik 12 Konkretisering 13 Induktiv konkretisering 14 Laborationer och deduktiv konkretisering 15 Kunskap och förmåga 16 Procedurell och konceptuell kunskap 17 Presentation av författarna till Variabel 18 KÄLLOR 20 INNEHÅLL, MÅLGRUPP OCH SYFTE Innehåll 6 Målgruppen är begåvade och matematikintresserade elever 6 Syfte 7 Inspirerande fördjupning och grundläggande begrepp 7 PRAKTISKA FÖRSLAG OM UPPLÄGG OCH ARBETE Individualisering inom klassens ram 10 Arbete i grupp 10 Eleven och materialet 11

5 1B2TAL I BRÅKFORM 62 Talens plats på tallinjen 63 Förlängning och förkortning 65 Euklides algoritm 68 2 ADDITION OCH SUBTRAKTION AV TAL I BRÅKFORM 70 Addition av tal i bråkform 71 Subtraktion av tal i bråkform 73 3 AVMULTIPLIKATIONTALIBRÅKFORM 74 Multiplikation med ett naturligt tal 75 Multiplikation av två tal i bråkform 76 4 AVDIVISIONTALIBRÅKFORM 78 Division med ett naturligt tal 79 Division med ett tal i bråkform 81 Inverser och formler 83 5 TAL I DECIMALFORM 86 Tal i decimalform och bråkform 87 Operationer med tal i bråkform 90 6 ALGEBRA 92 Räknelagar och inverser 93 Parametrar 96 Ekvationer 97 1B3SAMBANDOCHFÖRÄNDRING 104 Procent som andel 105 Rabatt och pålägg 106 Grafer och proportionalitet 107 Tolkning av grafer 109 2 GEOMETRI 111 Triangeln och vinkarna i en månghörning 112 Fyrhörningen 114 Cirkeln 116 Inskrivna och omskrivna figurer 118 Area 120 Volym 122 3 STATISTIK 125 Lägesmått 126 Spridningsmått 128 Population och stickprov 130 4 SANNOLIKHET 131 Begreppet sannolikhet 132 Additionsprincipen 134 Multiplikationsprincipen 136 5 OCHPROBLEMLÖSNINGMÖNSTER 138 Vem vinner? 139 Ett smart erbjudande 139 Tennisturneringen 140 Hunden på elljusspåret 140 Den målade kuben 142 Kuberna i tornet 142 Kvadratiska mönster 145 Syskonen 145 Friluftsdagen 146 Huvuden och ben 146 FACIT TILL B1, B2 OCH B3 148

6 INNEHÅLL, M Å LGRUPP OCH SYFTE

Innehåll Variabel B omfattar den här lärarhandledningen och tre elevböcker, B1, B2 och B3. Till uppgifterna finns här i lärarhandledning ett facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen i elevböckerna. Till varje avsnitt i häftena finns en digital introduktion som berättar vad avsnittet handlar om. Du kan använda den för att förbereda eleverna inför arbetet. En motsvarande presentation finns även som en film i elevernas digitala läromedel.

Målgruppen är begåvade och matematikintresserade elever När vi studerar vad som händer i undervisningen finner vi att många av de begåvade eleverna saknar grundläggande begrepp och kunskaper som de borde ha utvecklat under tidigare skolår. Det medför att de ofta tvingas lära sig formler och tekniker som leder till rätt svar, men inte till några djupare kunskaper i matematik. Detta påverkar givetvis elevernas intresse för och attityder till matematik, samtidigt som det utgör ett hinder vid fortsatta studier av mate matik. Vi finner också att de begåvade och intresserade eleverna sällan möter en stimulerande matematik som gör det möjligt för dem att uppleva intressanta matematiska samband. En bidragande orsak till detta är att många lärare på låg och mellanstadiet, i sin välvilliga ambition att alla elever ska kunna följa med i undervisningen, väljer att lägga undervisningen på en så enkel nivå att alla kan följa med. Det innebär emellertid att de mer intresserade och begåvade eleverna inte ges den stimulans de behöver för att utveckla kunskaper och färdigheter på sin nivå vilket inte minst gäller deras förmåga att resonera. Redan under 1960 talet, alltså i grundskolans barndom, upptäckte man att många elever inte fick en undervisning som leder till uppställda mål. (Se till exempel direktiven till SIA utredningen, SOU 1974:53.) För att råda bot på detta gjordes speciella satsningar, till exempel på baskunskaper i matematik (Skolöverstyrelsen, 1973). Resultatet på internationella mätningar av elevers matematikkunskaper (IEA och senare TIMMS) visade trots detta under flera år på nedslående resultat för svenska elever. Resultatet blev ett ökat fokus på att anpassa undervisningen till de lägre presterande eleverna. Som en konsekvens av detta räckte tiden oftast inte till för att ge de mer intresse rade eleverna den stimulans de behövde för att utveckla sina kunskaper. Att man från olika universitet och högskolor år efter år ifrågasatte studenters ingångskunskaper i matematik ägnades föga uppmärksamhet. Samtidigt har det saknats lämpliga och stimulerande material för begåvade elever. Detta har givetvis bidragit till svårigheter med att individualisera undervisningen för att möta dessa elevers behov av stimulans.

INNEHÅLL, MÅLGRUPP OCH SYFTE

INNEHÅLL, MÅLGRUPP OCH SYFTE

Syfte Syftet med det här materialet är att du ska kunna erbjuda alla dina elever möjligheter att utveckla sina kunskaper och färdigheter utgående från sina individuella förmågor. De intresserade och begåvade eleverna ges därmed möjligheter att uppleva estetiska värden i sina möten med matematik och inte minst erövra en nödvändig allmänbildning i matematik. När strävan är att så många elever som möjligt ska kunna tillgodogöra sig undervisningen i sammanhållen klass, förenklas ofta innehållet på ett sätt som gör det möjligt för de flesta av dem att lösa enklare, ofta förutsägbara typer av uppgifter. Detta sker ofta med hjälp av något knep eller en formel, något som i sin tur leder till att viktiga grundläggande kunskaper försummas. Exempel på detta är högstadieelevers problem med att arbeta med tal i bråkform, med proportionalitet, med geometriska begrepp och inte minst med matematiska modeller vid problemlösning. De mer intresserade eleverna går miste om en undervisning som skulle ge dem förutsättningar att utveckla en förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder, och deras användbarhet. De går därmed miste om begrepp och metoder som är nödvändiga för ett framgångsrikt fortsatt lärande. I läromedlet Variabel B finner du därför en systematisk genomgång av grundläggande kunskaper på en nivå som krävs för att utveckla gedigna kunskaper i matematik. Samtidigt ges rikliga tillfällen för eleverna att utveckla en problemlösningsförmåga. En viktig del av undervisningen handlar om att väcka intresse för ämnet matematik. I Variabel ges därför rika tillfällen att möta intressanta aspekter av matematiken och låta eleverna uppleva estetiken i själva matematiken. Det finns en rad sådana exempel som är möjliga att lyfta fram även i den mest grundläggande matematikundervisningen. Ett exempel är symmetri som inte bara har estetiska egenskaper utan även kan användas för att klassificera och konstruera månghörningar. Symmetri förekommer även inom algebran där man till exempel kan upptäcka de kommutativa räknelagarna som en symmetri i addition och multiplikationstabellerna.

Innehållet i Variabel B är av två slag: • En del av innehållet är en repetition av vad eleverna förhoppningsvis redan mött i skolan. Vi har emellertid i vår forskning upptäckt att alldeles för många elever och studenter har missuppfattat väsentliga delar av skolans undervisning. Detta gäller inte minst deras uppfattning av multiplikation, subtraktion med negativa tal, operationer med tal i bråkform,

7

Inspirerande fördjupning och grundläggande begrepp Tanken är att intresserade elever med hjälp av det här materialet ska ges tillgång till ett kompletterande material som ger dem möjligheter att fördjupa sig i den matematik som skolan erbjuder och samtidigt möta nya aspekter av matematik och nya utmaningar.

8 proportionalitet, grundläggande geometri, sannolikhet med mera. Samtidigt är en förståelse för grundläggande begrepp inom dessa områden helt avgörande för att eleverna ska kunna utveckla en matematisk förmåga. Mot denna bakgrund repeterar vi i Variabel B ett antal viktiga, grundläggande begrepp som är nödvändiga för att komma vidare i ämnet, och gör det på ett sätt som vid utprövning gett tillfredsställande resultat.

• En annan, större del av innehållet handlar om en fördjupning inom olika områden av matematiken. Som exempel händer det att elever får möta begreppet triangeltal, men man följer sällan upp detta eller knyter det till andra intressanta områden av matematiken. När man studerar triangeltalen lite närmare så finner man att de inte bara bildas av summor av udda naturliga tal utan att det också finns ett intressant samband mellan triangeltal och kombinatorik, vilket i sin tur leder till intressanta mönster i Pascals triangel. Via triangeltalen och de udda naturliga talen leds eleverna därefter fram till nya mönster som bildar kvadrattal och kubiktal liksom metoder att summera aritmetiska serier. På det här sättet kan eleven upptäcka hur en rad till synes helt olika områden av matematiken hänger ihop. När man upptäckt detta ser man också att flera av de formler man lärt sig i själva verket inte alls är olika utan bygger på samma grundläggande idé. Sådana grundläggande idéer ägnas stort utrymme i materialet. Det handlar om att förstå matematikens grammatik, alltså en grundläggande algebra, som de flesta elever kan använda intuitivt för de naturliga talen men sedan inte förmår generalisera vid arbetet med negativa tal, rationella tal eller irrationella tal.

Men är inte detta väldigt svårt för eleverna att förstå? Svaret är att det finns en hel del intressant matematik som kan förstås av elever redan på lågstadiet. Det handlar om att presentera innehållet på ett lämpligt sätt, vilket är ett syfte med Variabel. När elever i skolan möter ett nytt begrepp eller en ny metod, möter de oftast bara en enda aspekt av begreppet eller metoden. Detta leder ofta till att de inte förstår andra aspekter av begreppet eller andra tillämpningar av metoden. Det är därför angeläget att eleverna verkligen förstår de kritiska aspekterna, alltså vad som är avgörande för att förstå ett nytt innehåll. Men det räcker inte. De måste även erbjuda en variation som lyfter fram olika aspekter av begreppet eller metoden (Marton & Booth, 2000; Marton, 2015). Det gäller således inte bara att förstå vad något är eller innebär. Lika viktigt är det att förstå vad något inte är eller inte innebär. Forskning visar att elever som bara har uppfattat en enda aspekt av ett begrepp ofta misslyckas när de möter andra aspekter av begreppet och ger då upp. Detta påverkar i sin tur deras motivation och tillit till ämnet (Pajares, 1992). Det här gäller även för begåvade elever. Om elever som missuppfattat ett begrepp hade fått möta varierande aspekter av begreppet, hade deras uppfattning om begreppet sannolikt klarnat och eleven skulle ha fått helt andra attityder till ämnet.

INNEHÅLL, MÅLGRUPP OCH SYFTE

INNEHÅLL, MÅLGRUPP OCH SYFTE

9

För att undvika att elever ger upp, är Variabel uppbyggt på ett sådant sätt att eleverna successivt leds fram till ett nytt begrepp eller en ny metod och att de därefter, med hjälp av varierande uppgifter får ta del av olika aspekter av begreppet och dess koppling till andra närliggande begrepp. Till varje uppgift finns det i allmänhet, inte bara ett svar i facit, utan även en förklaring till hur man kan lösa uppgiften. Det innebär att en elev som kört fast, kan reflektera över svaret och sedan gå vidare. En ny varierad uppgift kan därefter bidra till att reda ut begreppet, något som den som studerat matematik säkert känner igen. Ofta har man i sina studier kört fast på någon uppgift men lärt sig att inte ge upp. Eftersom varje sådant problem har lett till en reflektion har det också lett till en djupare förståelse av det aktuella området. Samtidigt är det stimulerande och bra för självförtroendet att reda ut och klara av ett för tillfället knepigt problem. En viktig fråga i sammanhanget är hur du som lärare ska kunna hjälpa en elev om du själv inte är insatt i det aktuella området. För att underlätta detta finns det i Variabel inte bara ett elevfacit med lösningar. Det finns också här i lärarhandledningen förslag till hur man kan resonera när man ska lösa problem som kan upplevas som mer komplicerade. Dessa förlag finner du i anslutning till respektive avsnitt i handledningen.

Samtidigt är det inte bara att spontant bilda grupper med elever och förutsätta att det leder till konstruktiva resonemang. Att bilda lämpliga grupper kräver i själva verket en hel del förarbete samtidigt som eleverna måste lära sig att ta ansvar för varandras inlärning. Några enkla regler kan se ut så här:

Arbete i grupp När elever löser problem, eller laborerar på egen hand, kan de bara använda sig av sina egna idéer och erfarenheter. De går därmed miste om den variation av idéer som ett resonemang med andra elever (och läraren) kan innebära. När man arbetar på egen hand är man dessutom hänvisad till sitt eget språk och sin egen resonemangsförmåga. Dessa faktorer utgör var för sig ett hinder när det gäller att utveckla ett språk för att lära sig matematik.

10 PRAKTISKA F Ö RSLAG OM UPPLÄGG OCH ARBETE

PRAKTISKA FÖRSLAG OM UPPLÄGG OCH ARBETE

Möjligheterna att arbeta med begåvade och mer intresserade elever förut sätter en väl genomtänkt planering och individualisering. Vi vill här ge några förlag till hur det kan gå till. Individualisering inom klassens ram Oftast brukar eleverna arbeta självständigt under en del av lektionen. De begåvade eleverna brukar då bli färdiga med sina uppgifter före sina kam rater. I allmänhet får de då fler uppgifter av samma slag att arbeta med, fast svårare. Detta ger dem inte någon stimulans och sällan nya kunskaper. Ett alternativ är att de, efter hand som de är klara med dagen uppgifter, över går till att arbeta med Variabel. Det innebär att de i så fall kan lösa ett eller flera problem den lektionen och sedan fortsätter under en annan lektion, där de slutade senast. För att skapa mer kontiutet kan de även få arbeta hemma.Mycket av det sker i skolans matematikundervisning handlar om repetition. För elever som redan har förstått det som repeteras ger detta ett begränsat utbyte. Intresserade elever kan då istället för att arbeta med samma uppgifter som övriga elever i klassen, få arbeta med Variabel.

Om det finns två eller flera parallella klasser på skolan, kan man planera veckans lektioner på ett sådant sätt att alla de intresserade eleverna, till exempel en gång i veckan, samlas hos en av lärarna som kanske själv är intresserad av matematik. Att samla eleverna på det här sättet ger dessutom möjligheter för eleverna att ta del av varandras kunskaper och tillsamman med läraren på en djupare nivå diskutera matematik.

Den som snabbt ser en lösning ska inte direkt beskriva lösningen för sina kamrater utan först låta alla komma till tals. I annat fall blir problemlösningen en enmansshow med kamraterna som statister.

Genom arbete med Variabel kan eleverna få såväl en allmänbildning i matematik som en uppfattning om matematikens rikedom, något som i sin tur kan utgöra en god grund för vidare studier i matematik.

•

•

Först när alla elever i gruppen har förstått lösningen har gruppen löst sin uppgift. Eleven och materialet Ett problem med ett fördjupande material av det här slaget kan vara, att du som lärare själv inte är intresserad av matematik eller saknar djupare kun skaper i ämnet. Detta ställer givetvis större krav på elevens förmåga att arbeta självständigt. Här följer några råd om hur du och dina elever kan lösa detta. Många av de problem som dyker upp brukar kunna kan lösas genom samtal med en kamrat. Det är därför gynnsamt om eleverna arbetar i par och även har möjligheter att diskutera med andra par. Ett annat viktigt råd är att uppmuntra dem att inte ge upp om de inte direkt ser en lösning på ett problem. Stigler och Hiebert (1999) beskriver hur amerikanska elever som inte kan lösa ett problem ofta ger upp inom en minut. Det ser likadant ut i Sverige. Men matematik handlar inte om att räkna fort utan om att reflektera över vad man gör. Vi som studerat matematik på en mer avancerad nivå har många gånger suttit i timmar, ja till och med i dagar och brottats med ett problem och därefter fått känna glädjen över att ha löst det. Detta borde alla elever få uppleva.

11 •

Alla i gruppen ska ha förstått uppgiften innan de börjar resonera.

•

En problemlösning i grupp handlar inte primärt om att snabbt komma fram till ett resultat utan om att alla i gruppen ska förstå hur man löser uppgiften (helst med en variation) och att alla lär sig resonera kring uppgiften.

Det handlar som redan nämnts inte om att räkna fort utan att ta god tid på sig och reflektera. Finns det andra lösningar, finns det smartare lösningar, kan man lösa andra problem på liknande sätt osv? Uppfattningen att man lär sig mer genom att lösa många uppgifter är en sanning med modifikation.

Som lärare bör du även vara medveten om att en kunskap kan se ut på olika sätt. Det kan handla om kunskaper i något, alltså att man behärskar ett innehåll. Det kan också handla om kunskaper om något, alltså att man för står vad det handlar om och vilka problem man kan lösas inom det området, även om man inte kan lösa problemen själv. Inom många ämnen i skolan handlar undervisningen faktiskt om att ge eleverna kunskaper om något. Vad vi vill säga med detta är att om ett avsnitt verkar vara svårt, så kan man ändå lära sig en hel del matematik genom att med hjälp av facit försöka förstå vad det handlar om. Detta kan på sikt leda till att kunskapen om något, i sin tur leder till kunskaper i något.

PRAKTISKA FÖRSLAG OM UPPLÄGG OCH ARBETE

För att finna en metod kan man börja med att studera det sjunde triangeltalet lite närmare.

Den här metoden är intressant eftersom den kan användas även för att addera aritmetiska serier. Vi återkommer till detta i ett senare avsnitt. Det n:te triangeltalet är n · (n + 1) 2

Därefter tar vi en exakt likadan triangel (röd), vrider den ett halvt varv och placerar den ovanför den första triangeln. Vi får då en rektangel med sidorna 7 och (1 + 7) enheter. Den innehåller alltså 7 ∙ (1 + 7) = 56 kvadrater. Antalet vita kvadrater är hälften så många kvadrater vilket innebär att det sjunde triangeltalet är 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 7 · (1 + 7) 2 = 28. Mer generellt kan man konstarea att

26 HANDLEDNING TILL ELEVBÖCKERNABB11

En intressant fråga är om man på ett enkelt sätt kan bestämma summor av det här slaget. Som exempel är det 10:e triangeltalet: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55, det 20:e triangeltalet: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 19 + 20 = 210 och det 100:e triangeltalet: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 = 5 050.

Det n:te triangeltalet är n · (n + 1) 2

ELEVBOK: s. 6–11

2021-06-17 16:05

6 1 TALMÖNSTER 1.1 Vilket är det a) sjätte triangeltalet? Svar: b) sjunde triangeltalet? Svar: c) åttonde triangeltalet? Svar: TRIAN G ELTAL De första naturliga talen är 1, 2, 3, 4, 5, 6 och så vidare. Om du adderar de här talen i tur och ordning, får du en ny typ av tal som kallas för triangeltal. De fem första triangeltalen är 11 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Anledningen till att de här talen kallas för triangeltal kan du se i följande figurer: Vi ska nu arbeta med triangeltalen och deras egenskaper och inleder med några uppgifter. 1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Film: Triangeltal 978-91-44-14491-7_01_book.indd 6 2021-06-17 16:05 7 TRIANGELTAL Vill

Det finns en rad problem som kan lösas på ett enkelt sätt om man känner till triangeltalen. I det här avsnittet används triangeltalen för att bestämma hur många handskakningar det blir när alla personer i en grupp ska hälsa på var andra. Samma matematiska modell kan emellertid användas för att modellera en lång rad andra problem, till exempel hur många skärningspunkter det kan bli om man ritar ett anta räta linjer i ett plan, hur många fotbollsmatcher det blir under en säsong i allsvenskan eller hur många diagonaler man kan dra i en sexhörning.

27 B1 1 TALMÖNSTER

En av poängerna med det här avsnittet är således att visa värdet av att be härska matematiska modeller. Men hjälp av en enda matematisk modell, och variationer av den modellen, kan man ofta lösa ett stort antal till synes helt olika problem. Det är det som är syftet med att lära sig matematik. du ta reda på vilket som är det tionde eller tjugonde triangeltalet blir det jobbigt att addera alla talen. Det finns betydligt smartare metoder.

Du ska se hur en sådan teknik ser ut genom att studera det sjätte triangeltalet och vi börjar med att avbilda det. 1.2 a) Hur många rutor finns det i hela rektangeln? Svar: b) Hur många rutor finns det i den ljusa delen av rektangeln? Svar: c) Hur kan du bestämma det sjunde triangeltalet? Svar: 1.3 Bestäm med samma teknik a) det tionde triangeltalet. Svar: b) det tjugonde triangeltalet. Svar: Vi gör därefter en kopia av det sjätte triangeltalet, vrider kopian och placerar den ovanför originalet. Vi får då en rektangel som ser ut så här:

Det här innebär att vi har funnit ett mönster och en formel för hur man bestämmer triangeltal nummer n 1.4 När den kände matematikern Carl Friedrich Gauss (1777–1855) gick i skolan fick han till uppgift att addera de naturliga talen från 1 till 100. Han listade snabbt ut hur formeln fungerade. Vilken summa fick han? Svar: 978-91-44-14491-7_01_book.indd 7

1.5 Vi utgår från att fyra personer redan har skakat hand och att det sedan kommer en femte person som ska hälsa på de fyra andra personerna.

978-91-44-14491-7_01_book.indd 8

Vi

a) Hur många nya handskakningar blir det om det kommer en femte person? Svar: b) Hur många handskakningar blir det sammanlagt om fem personer träffas? Svar: c) Vilket mönster kan du se när det gäller att beräkna antalet handskakningar? Svar: 1.6 Använd mönstret för att ta reda på antalet handskakningar om a) 10 personer träffas. Svar: b) 15 personer träffas. Svar: Tre linjer som ligger i samma plan kan skära varandra i högst

28 HANDLEDNING TILL ELEVBÖCKERNABB11 8 1 TALMÖNSTER

När ett antal personer träffas brukar de hälsa på varandra genom att skaka hand. Vi ska nu undersöka hur många handskakningar det blir när fyra personer träffas. Vi börjar med att två personer träffas och det blir då en handskakning. Om det kommer en tredje person, ska denna skaka hand med de två andra som redan har hälsat. Det blir då två nya handskakningar. Sammanlagt blir det alltså 1 + 2 = 3 Omhandskakningar.detkommer en fjärde person, ska denna skaka hand med de tre andra som redan har hälsat. Det blir då tre nya handskakningar och sammanlagt 1 + 2 + 3 = 6 Antalethandskakningar.handskakningar beskrivs av triangeltalen och vi kommer nu att utveckla detta.

Vi ska nu undersöka hur många diagonaler man kan dra i en femhörning. Från var och ett av de 5 hörnen kan man dra 2 diagonaler. Det verkar alltså bli 5 ∙ 2 = 10 diagonaler samman lagt. Men diagonalen från A till C är densamma som diagonalen från C till A och diagonalen från A till D är densamma som diagonalen från D till A osv. Det blir därför bara 5 · 2 2 = 5 diagonaler. 1.10 Hur många diagonaler kan du dra i a) en sjuhörning? Svar: b) en tiohörning? Svar: 1.11 Hur många diagonaler du kan dra i olika månghörningar? Fyll i tabellen. Antalet hörn 3 4 5 6 7 8 9 10 Antalet diagonaler Ser du något samband mellan antalet diagonaler och triangeltalen? Svar: Vi varierar problemen och väljer ett problem.geometriskt C D E

a)

978-91-44-14491-7_01_book.indd 10

TRIANGELTAL A B

Att studera matematiska mönster är intressant i sig och en stor del av matematiken har utforskats av ren nyfikenhet. Ofta har mönstren visat sig vara praktisk användbara för att lösa problem. ska visa några exempel på hur du kan använda dig av triangeltalen vid problemlösning och börjar med att handskakningar.studera 2021-06-17 16:05 9

När3 punkter.treräta linjer skär varandra kan det bli 1, 2 eller 3 skärningspunkter. Vi tar ett nytt exempel som handlar om räta linjer som skär varandra. 978-91-44-14491-7_01_book.indd 9 2021-06-17 16:05 10 1 TALMÖNSTER

TRIANGELTAL

978-91-44-14491-7_01_book.indd 11 2021-06-17 16:05

b)

1.7 Fem räta linjer som ligger i samma plan skär varandra. Du ska ta reda på hur många skärningspunkter det (som mest) kan bli. a) Finns det någon känd matematisk modell (formel) som hör ihop med det här Svar:problemet? b) hur många punkter kan fem räta linjer (som mest) skära varandra? Svar: c) hur många punkter kan tio räta linjer (som mest) skära varandra? Svar: Uppgift 1.7 c är speciellt intressant. Att lösa problem genom att rita tre eller fyra skärande linjer är ganska lätt. Att lösa uppgift 1.7 c genom att rita tio räta linjer är däremot svårt och kräver att man känner till en matematisk modell, i det här fallet triangeltalen och handskakningsmodellen. 1.8 På ett fat finns det nio kakor och alla kakorna är av olika sort. Du får välja två kakor. På hur många olika sätt kan du välja två kakor om det inte spelar någon roll i vilken ordning du väljer de två kakorna? Svar: 1.9 Det finns 12 lag damallsvenskan i fotboll. Under en säsong möter varje lag alla de andra lagen två gånger. a) Hur många matcher blir det sammanlagt om alla lagen möter alla de andra lagen en gång? Svar: b) Hur många matcher blir det sammanlagt om alla lagen möter alla de andra lagen två gånger? Svar:

Vi ska nu ge fler exempel på hur man kan lösa problem med den här modellen. Det är genom att leta mönster och använda lämpliga matematiska modeller, som du blir en bra problemlösare. 2021-06-17 16:05 11

Pascals triangel är ett verktyg som kan användes inom en rad olika områden av matematiken. I det här avsnittet studerar vi hur Pascals triangel är upp byggd och ger samtidigt några exempel på vad man kan avläsa i tabellen. Tabellen är uppbyggd på följande sätt. Som andra och tredje tal rad 6 finner man talen 6 och 15. Mitt emellan dessa tal och på raden under finner man dess summa 6 + 15 =21. På motsvarande sätt är det fjärde talet på samma rad 20 och det femte talet 15. Mitt emellan dessa tal och på raden under finner man talens summa. 35.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 Med hjälp av Pascals triangel kan man dels se en rad intressanta samman hang, dels lösa en rad intressanta problem. Pascals triangel dyker därför upp i flera av de följande avsnitten. Avsnittet avslutas med att knyta triangeltalen till kvadrattalen. Om man adderar ett triangeltal med det föregående triangeltalet så får man ett kvadrattal. Detta blir tydligt i följande serie av additioner: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 + 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 Det här är ett exempel på hur matematiken bjuder på en rad överraskande samband. En rad liknande samband dyker upp i de följande kapitlen. 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ELEVBOK: s. 12–14

29 B1 1 TALMÖNSTER PA S CALS TRIANGEL

Pascals triangel, som är uppkallad efter den franske matematiken Blaise Pascal (1623–1662), är i själva verket en omfattande formelsamling. Man kan där finna en rad olika mönster såsom triangeltalen och deras summor och samtidigt få svar på en rad kombinatoriska frågor såsom på hur många sätt man kan välja 3 representanter från en grupp på 12 personer. I figuren är triangeltalen markerade med fet stil.

30 HANDLEDNING TILL ELEVBÖCKERNABB11 12 1 TALMÖNSTER PA S CALS TRIANGEL 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 I en tabell som kallas för Pascals triangel kan man hitta triangeltalen. Blaise Pascal (1623–1662), lade tillsammans med kollegan Pierre Fermat (1601–1665) grunden till sannolikhetsläran. Pascals triangel har visat sig vara ett mycket användbart verktyg inom många olika områden av matematiken, inte minst inom sannolikhetsläran. Innan vi fördjupar oss i detta ska vi bekanta oss med själva tabellen. 1.12 Försök lista ut hur Pascals triangel är uppbyggd. Svar: 1.13 Vi kallar nästa rad i Pascals triangel för rad 7. Hur ser den sjunde raden ut? Svar: 1 1 1 (rad 1) 1 2 1 (rad 2) 1 3 3 1 (rad 3) 1 4 6 4 1 (rad 4) 1 5 10 10 5 1 (rad 5) 1 6 15 20 15 6 1 (rad 6) 1 7 21 35 35 21 7 1 (rad 7) Det andra talet i varje rad är skrivet med fet stil. Vi kommer i fortsättning att benämna raderna i Pascals triangel efter det andra talet på varje rad, alltså det tal som här skrivits med fet stil. Raden 1 3 3 1 kallas rad 3 och raden 1 4 6 4 1 kallas för rad 4. Pascals triangel. Film: Pascals triangel 978-91-44-14491-7_01_book.indd 12 2021-06-17 16:05 13 1.14 Försök lista ut var tabellen du kan finna summan av de fyra första naturliga talen, alltså det fjärde triangeltalet. Svar: 1.15 Bestäm med hjälp av Pascals triangel a) det femte triangeltalet, alltså 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Svar: b) det sjätte triangeltalet. Svar: PASCALS TRIANGEL 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1.16 Vad är speciellt med de fetare skrivna talen? Svar: 1.17 Var i Pascals triangel finner du a) summan av de tre första triangeltalen 1 + 3 + 6? Svar: b) summan av de fem första triangeltalen 1 + 3 + 6 + 10 + 15? Svar: Vi övergår nu till att studera fler egenskaper hos talen i Pacals triangel. I det här fallet har vi skrivit vart tredje tal på varje rad med fetare stil. 978-91-44-14491-7_01_book.indd 13 2021-06-17 16:05 14 1 TALMÖNSTER 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 Rad 8, 9, 10 och 11 i Pascals triangel ser ut så här. Triangeltalen är markerade. 1.18 a) Vilket är det nionde triangeltalet? Svar: b) Bestäm summan av de nio första triangeltalen. Svar: 1.19 Bestäm summan av a) det andra och tredje triangeltalet. Svar: b) det tredje och fjärde triangeltalet. Svar: c) det fjärde och femte triangeltalet. Svar: d) Vad ser du för mönster? Svar: Du kan också se sambandet mellan triangeltal och kvadrattal genom att skriva ner en serie med triangeltal två gånger så här, och sedan addera talen två och två. 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 + 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 Alla summorna här är kvadrattal. Vi återkommer till detta i ett senare avsnitt. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 978-91-44-14491-7_01_book.indd 14 2021-06-17 16:05

area är 5 ∙ (1 + 9) = 50 areaenheter. Triangelns area är hälften så stor, alltså = 25 areaenheter. Vi får därmed följande matematiska modell: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 · (1 + 9) 2 = 25 Man kan också utföra additionen så här (utan figurer), genom att först skriva ner talraden och sedan addera den med sig själv, men då med talen i omvänd ordning.1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 5 ∙ 10 För att få summan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 får man sedan dividera 50 med 2.

En talföljd där differensen mellan två på varandra följande termer är kon stant, kallas för en aritmetisk talföljd. Den summa som bildas vid addition av termerna såsom 1 + 3 + 5 + 7 + 9, kallas för en aritmetisk serie. För att bestämma summan av en aritmetisk serie kan man använda sig av samma teknik som vid addition av de naturliga talen tal. Ett av många exempel på generaliserbara matematiska mönster.

31 B1 1 TALMÖNSTER ADDITION AV TALF Ö LJDER

För att förklara modellen använder vi samma teknik som för triangeltalen. Representera först summan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 som den vita triangeln till vänster. Eftersom differensen mellan termerna hela tiden är densamma, kan man lägga en likadan (färgad) triangel ovanpå (se figuren till höger) och får då en Rektangelnsrektangel.

längd är summan av den första och den sista termen betyder att rektangelns

alltså 1 + 9 och rektangels höjd är antalet termer, alltså 5. Det

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 +

två och två lodrätt. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 10 + 10 + 10 + 10 + 10 Vi tar ett exempel.nytt 978-91-44-14491-7_01_book.indd 16 2021-06-17 16:05 ELEVBOK: s. 15–17

Den här tekniken alltså för att bestämma summan en aritmetisk alltså en serie där mellan ett och För att bestämma summan man således den första och den sista multiplicerar man detta med antalet termer, det här man produkten 2. Man får på nytt formeln summan av en aritmetisk serie kan sammanfattas så här: Många elever har problem med att arbeta med negativa och rationella tal. Orsaken är ofta att de inte lärt sig att de flesta formler de mött gäller för alla reella tal. avslutar därför det här avsnittet med att visa att den formel som en aritmetisk inte bara gäller

1 + 3 + 5 + 7 + 9 på

för naturliga tal utan även för hela tal och rationella tal. Summan = antalet termer · (den första termen + den sista termen) 2 15 ADDITION AV TALF Ö LJDER 1.20 a) Bestäm rektangelns bas och höjd. Svar: rutor. b) Bestäm rektangelns area. Svar: rutor. c) Hur stor är vita figurens area? Svar: rutor. d) Hur ser en formel ut för att beräkna summan 1 + 3 + 5 + 7 + 9? Svar: ADDITION AV TALFÖLJDER En talföljd där differensen mellan två på varandra följande termer är konstant, kallas för en aritmetisk talföljd. Exempel på aritmetiska talföljder är 1 4 7 10 13 16 19 22 25 där differensen mellan termerna är 3 och 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 där differensen mellan termerna är 2. Den teknik vi använde för att bestämma triangeltalen kan också användas för att bestämma summan av aritmetiska talföljder. Om man summerar termerna i en aritmetisk talföljd 1 + 3 + 5 + 7 + 9 får man en aritmetisk serie Vi ska nu visa en metod för att bestämma en sådan summa. Vi börjar med att avbilda serien 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Eftersom differensen mellan termerna hela tiden är densamma, kan man lägga en likadan figur ovanpå den vita figuren. Det bildas då en rektangel. Film: Addition av talföljder 978-91-44-14491-7_01_book.indd 15 2021-06-17 16:05 16 1 TALMÖNSTER

a)

32 HANDLEDNING TILL ELEVBÖCKERNABB11

Vi

med

då

5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25.

3 + 6 + 9 + 12 + … + 30 + 33 + 36. adderar

c)

b)

differensen

fallet 12. Slutligen dividerar

i

tal

1.21 Du ska nu bestämma summan av serien 1 + 3 + 5 + 7 + 9. a) Bestäm antalet termer. Svar: b) Bestäm summan av den första och den sista termen. Svar: c) Hur mycket är den dubbla summan? Svar: d) Bestäm summan av 1 + 3 + 5 + 7 + 9? Svar: För en aritmetisk serie gäller alltså: Summan = antalet termer · (den första termen + den sista termen) 2 Observera att den här metoden att addera termer bara fungerar för en aritmetisk serie, alltså bara när differensen mellan två termer i följd är konstant. 1.22 Bestäm summan av den aritmetiska serien 26. Svar: den aritmetiska serien Svar: en aritmetisk serie med 13 termer där den första termen är och den sista termen är Svar: kan också summan ett annat sätt. serien gånger olika ordning, och addera termerna

serie,

föregående tal är konstant.

40.

två

3 + 6 + 9 + 12 + … + 30 + 33 + 36 = 12 · (3 + 36) 2 = 234 Formeln för

få

i

serie

Du

4

gäller för att bestämma summan av

gäller

termen vilket ger (3 + 36) och därefter

av

Skriv

33 B1 1 TALMÖNSTER 17 Formeln för att beräkna summan av en aritmetisk serie gäller inte bara för naturliga tal. Den gäller också för hela tal och för rationella tal. 1.23 Bestäm summorna av följande aritmetiska serier. a) (-11) + (-8) + (-5) + (-2) + 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 Svar: b) 0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + 1,0 + 1,2 + 1, 4 + 1,6 + 1,8 Svar: c) 31 + 32 + 1 + 1 31 + 1 32 + 2 + 2 31 + 2 32 + 3 + 3 31 + 3 32 + 4 + 4 31 + 4 32 Svar: ADDITION AV TALFÖLJDER Kom ihåg: 978-91-44-14491-7_01_book.indd 17 2021-06-17 16:05 DE UD D A TALEN OCH KVADRATTALEN De udda talen är intressanta på flera sätt. Studera t.ex. de här summorna: 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Man ser direkt att summan av de här serierna av udda tal är kvadrattal och att summan av de 4 första udda talen är 42.

34 HANDLEDNING TILL ELEVBÖCKERNABB11

Genom att jämföra två på varandra följande figurer upptäcker man ett annat mönster som i sin tur kan utvecklas. I följande figur ser man till vänster två kvadrattal 32 och 22. Genom att studera antalet vita cirklar som är 3 + 2, finner man att 32 – 22 = 3 + 2. På motsvarande sätt ser man i figuren till höger kvadrattalen 42 och 32. Genom att studera de vita cirklarna finner man att 42 – 32 = 4 + Generaliserar3. man det här mönstret kan man också enkelt utföra beräkningar som 132 – 122 = 13 + 12 och 202 – 192 = 20 + 19. Man kan nu ta ett steg till och beräkna differenser som 72 – 52 genom att studera följande mönster där differensen mellan termerna 7 och 5 är 2. I det här fallet ser vi att 72 – 52 = 2 ∙ 7 + 2 ∙ 5 = (7 + 5) ∙ 2. För att på sikt få en mer generell formel, nämligen konjugatregeln, byter vi nu ut 2 mot differensen mellan de kvadrerade talen, alltså (7 – 5). Vi får då det mer generella uttrycket 72 – 52 = (7 + 5) ∙ (7 – 5). Med hjälp av den tekni ken formeln kan eleverna nu lösa en ny grupp av uppgifter. I nästa avsnitt tar vi ett steg till och introducerar konjugatregeln.

Om en elev tycker att uppgifterna 1.29 och 1.30 är jobbiga, så är det OK att kika i facit.ELEVBOK: s. 18–21

35 B1 1 TALMÖNSTER 18 1 TALMÖNSTER DE UD D A TALEN OCH KVADRATTALEN 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1.24 Studera summorna rutan. Vilket mönster ser du? Svar: 1.25 Fortsätter det här mönstret? Undersök det genom att utföra följande additioner med hjälp av formeln för addition av aritmetiska serier. a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 Svar: b) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 Svar: c) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 Svar: d) Vilket mönster ser du? Svar: Vi ska nu gå vidare och studera termerna i en ny talföljd, nämligen de udda naturliga talen. Summan av de första udda talen ser ut så här. 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Man kan beskriva detta med följande mönster: Tal som 1, 4, 9, 16 kan skrivas så här: 1 · 1 = 12, 2 · 2 = 22, 3 · 3 = 32, 4 · 4 = 42 Sådana tal kallas kvadrattal. Talet 42 läser man som fyra i kvadrat. Film: De udda talen och kvadrattalen 978-91-44-14491-7_01_book.indd 18 2021-06-17 16:05 19 1.26 Använd mönstret för att beräkna summan av de a) 10 första udda talen. Svar: b) 20 första udda talen. Svar: c) 100 första udda talen. Svar: 1.27 Pröva om mönstret a2 – b2 = a + b gäller även i följande fall: a) 52 – 42 Svar: b) 62 – 52 Svar: c) 102 – 92 Svar: DE UDDA TALEN OCH KVADRATTALEN På motsvarande sätt ser du i den här figuren att antalet vita cirklar är 4 + 3. Det innebär att 42 – 32 = 4 + 3. Antalet vita cirklar i den här figuren är 3 + 2. Genom att jämföra de två kvadrattalen i figuren, alltså 32 och 22, kan du upptäcka att 32 – 22 = 3 + 2. Gäller det här mönstret för differensen mellan alla närliggande kvadrattal? Vi ska nu undersöka detta. Genom att studera den här figuren på nytt, kan du se ett annat mönster.intressant 978-91-44-14491-7_01_book.indd 19 2021-06-17 16:05 20 1 TALMÖNSTER Gäller något liknande mönster även för subtraktioner som 52 – 32 där differensen mellan 5 och 3 är 2? Vi undersöker därför den här figuren och finner att antalet vita cirklar nu inte är 5 + 3 utan (5 + 3) ∙ 2. Det innebär att 52 – 32 = (5 + 3) ∙ 2. 1.28 Bestäm följande differenser. a) 112 – 102 Svar: b) 169 – 144 Svar: c) 400 – 361 Svar: 978-91-44-14491-7_01_book.indd 20 2021-06-17 16:05 21 1.29 Undersök om mönstret även gäller för 72 – 52 Svar: När vi skriver 72 – 52 = (7 + 5) ∙ 2, så betyder 2 differensen (7 – 5). Vi kan därför skriva om detta som 72 – 52 = (7 + 5) · (7 – 5). Detta är i själva verket en känd formel som kallas för konjugatregeln 1.30 Använd mönstret från föregående uppgift för att huvudet beräkna a) 112 – 92 Svar: b) 132 – 112 Svar: c) 202 – 182 Svar: DE UDDA TALEN OCH KVADRATTALEN Vi ska i nästa avsnitt gå vidare och studera hur man med den här tekniken kan utföra en rad multiplikationer i huvudet och samtidigt lära sig en viktig regel inom algebran. 978-91-44-14491-7_01_book.indd 21 2021-06-17 16:05

Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har nu tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.

Art.nr 43412

Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik. Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.

studentlitteratur.se

I Variabel B1, Variabel B2 och Variabel B3 behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som erbjuder en variation av metoder och lösningar. Till respektive bok hör ett digitalt läromedel. I elevernas digitala läromedel finns filmer och inläst text samt utförligt facit till alla uppgifterna.

Variabel B Lärarhandledning används till elevböckerna Variabel B1, Variabel B2 och Variabel B3. Lärarhandledningen bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt finns också en kort filmad introduktion och en power point presentation. Inledningen till boken presenterar den forskning som författarna utgått från när de skapade serien Variabel. Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik.

”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.”(Karlsson, Kilborn)