9789127460560 by Smakprov Media AB

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

Matematik

5000

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar Problemlösning med programmering i alla kapitel

ISBN 978-91-27-46056-0

9 789127 460560

M5000Plus_1c_Omslag_NY.indd 1-3

2021-06-09 16:39

Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Koordinatsystem

2:a kvadranten

För att beskriva läget eller positionen av en punkt i ett plan behövs två koordinataxlar, en x-axel och en y-axel.

1:a kvadranten x

3:e kvadranten

4:e kvadranten

2150 Skriv utan potenser.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

a) 5,41 ∙ 10 6 a) 5,41 ∙ 106 = 5 410 000

6 steg

REPETITIONSUPPGIFTER 2150 Skriv utan potenser. a) 5,41 ∙ 10 6

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

ÖVNINGSUPPGIFTER 3455 Vilka av följande tal ingår i värdemängden om y = 8 – x och –2 < x ≤ 4? –3

5,5

3456 En koppargruva beräknas innehålla 500 miljoner ton brytbar malm. Man planerar att varje år bryta 20 miljoner ton malm. a) Ställ upp en funktion som beskriver hur mycket brytbar malm, y miljoner ton, som finns kvar efter x år. b) A nge funktionens definitionsmängd och värdemängd.

SVAR

00_Kap 0_1c_210608.indd 4

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller ekvationslösande verktyg.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

2021-06-10 13:47

VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Aktivitet Vilka uttryck är lika?

Programmering

En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.

Ekvationslösning

Tema

högskoleprov

Algebra

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Historik Algebra genom tiderna

KAPITELSLUT

Sant eller falskt? Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

PROCEDUR

Testa dig själv 4

Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

00_Kap 0_1c_210608.indd 5

2021-06-10 13:47

Innehåll

2. Potenser och formler 86

2.1 Potenser 88

1. Aritmetik och algebra 8

Potenslagar 88 Exponenten noll och negativa exponenter 92 Aktivitet: Vilka är lika? 94 Repetition av grundpotensform och prefix 95

Inledande aktivitet: Lägga tal 9

1.1 Repetition av räkneregler 10 Tal och prioriteringsregler 10 Negativa tal 14 Aktivitet: Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal 18

1.2 Repetition av bråk och decimaltal

Inledande aktivitet: Upptäck ett samband 87

2.2 Potensekvationer 98 Kvadratrötter och ekvationen x2 = a 98 Potensekvationen x n = a 102 Potenslagar och kvadratrötter 106 Ekvationslösning med digitalt verktyg 108 Programmering: Ekvationslösning 110 Tema: Potenser 112

Tal i bråkform 19 Historik: Historiska bråk 24 Tal i decimalform 25 Tema: Aritmetik 28 Avrundning och gällande siffror 29 Aktivitet : Värdet av ett algebraiskt uttryck 31

2.3 Uttryck och formler 113 Multiplikation av uttryck 113 Faktorisera 117 Aktivitet: Förenkla med digitalt verktyg 120 Formler 121 Lösa ut ur formler 125 Tema: Algebra 128 Tema: Hastighet och acceleration 129

1.3 Algebraiska uttryck 32 Algebraiska uttryck 32 Förenkling av algebraiska uttryck 35 Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 39

1.4 Linjära ekvationer 40 Lösning av linjära ekvationer 40 Mer om ekvationslösning 44 Uttryck, ekvationer och bråk 47 Historik: Algebra genom tiderna 51 Tillämpningar och problemlösning 52 Programmering: En problemlösningsstrategi med programmering 57 Programmering: Reaktionssträcka 58

1.5 Procent och förändringsfaktor 60 Repetition av procentberäkningar 60 Repetition av procentenheter och jämförelser 63 Förändringsfaktor 66 Procentuella förändringar i flera steg 70 Programmering: Procentuella förändringar 74 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 76 Aktivitet: Sant eller falskt? 77 Sammanfattning 1 78 Kan du det här? 80 Testa dig själv 1 81 Blandade övningar 1 82

2.4 Formler och generella samband 132 Algebra och geometriska formler 132 Upptäcka och uttrycka mönster 136 Upptäcka och uttrycka generella samband 138 Aktivitet: Sant eller falskt? 143 Sammanfattning 2 144 Kan du det här? 146 Testa dig själv 2 147 Blandade övningar 2 148 Blandade övningar 1–2 151

3. Funktioner 154

Inledande aktivitet: Hitta regeln 155

3.1 Grafer och funktioner 156 Koordinatsystem 156 Historik: René Descartes 156 Funktion – Formel, värdetabell och graf 160 Räta linjer i vardagliga sammanhang 165 Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 170 Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 172

3.2 Räta linjens ekvation 173 Avläsa k-värdet och m-värdet 173 Bestämma räta linjens ekvation 178 Parallella och vinkelräta linjer 182 Olika former för räta linjens ekvation 185 Tema: Några linjära fysikaliska samband 188

00_Kap 0_1c_210608.indd 6

INNEHÅLL

2021-06-10 13:47

3.3 Olikheter 190 Intervall 190 Linjära olikheter 193

3.4 Mer om Funktionsbegreppet 196 Skrivsättet f (x) 196 Tema: Olikheter och funktioner 200 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 201 Aktivitet: Tårtljus 205 Definitionsmängd och värdemängd 206

3.5 Olika typer av funktioner 209 Linjära funktioner 209 Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a x 212 Exponentialfunktioner 213 Potensfunktioner 217 Programmering: Funktion, graf och area 222 Aktivitet: Para ihop formel och graf 224 Matematiska modeller – egenskaper och begränsningar 225 Aktivitet: Sant eller falskt? 231 Sammanfattning 3 232 Kan du det här? 234 Testa dig själv 3 235 Blandade övningar 3 236 Blandade övningar 1–3 240

4. Trigonometri och vektorer 244

Inledande aktivitet: Tangens för en vinkel 245

4.1 Trigonometri 246 Beräkna sträckor med tangens 246 Beräkna vinklar med tangens 249 Sinus och cosinus 251 Sträckor och vinklar i koordinatsystem 255 Programmering: Pythagoreiska tripplar 258

4.2 Vektorer 260 Vad är en vektor? 260 Aktivitet: Vektorer med digitala verktyg 264 Beräkningar med vektorer 265 Vektorer i koordinatform 268 Tema: Krafter och hastigheter 271 Aktivitet: Sant eller falskt? 274 Sammanfattning 4 275 Kan du det här? 276 Testa dig själv 4 277 Blandade övningar 4 278 Blandade övningar 1–4 280

5. Sannolikhet och statistik 282

Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 201

5.1 Repetition av sannolikhet 284 Sannolikheten för en händelse 284 Sannolikhet och relativ frekvens 288

5.2 Slumpförsök i flera steg 290 Försök med två föremål 290 Träddiagram 293 Aktivitet: Lika eller olika färg? 297 Beroende händelser 298 Aktivitet: Byta eller inte byta? 300 Komplementhändelse 301 Historik: Tärningsspel och sannolikhetens födelse 303 Programmering: Kasta fyra tärningar 304 Tema: Sannolikhet 306

5.3 Matematik och ekonomi 307 Lån, ränta och amortering 307 En introduktion till kalkylprogram 310 Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 312

5.4 Statistik 316 Stickprov och urvalsmetoder 316 Signifikans och felkällor 320 Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 325 Korrelation och kausalitet 326 Aktivitet: Sant eller falskt? 331 Sammanfattning 5 332 Kan du det här? 334 Testa dig själv 5 335 Blandade övningar 5 336 Blandade övningar 1–5 338

Repetitionsuppgifter 342 Svar, ledtrådar och lösningar 350 Register 412

INNEHÅLL 7

00_Kap 0_1c_210608.indd 7

2021-06-10 13:47

ARITMETIK OCH ALGEBRA Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal. Algebra, som lite förenklat kan beskrivas som bokstavsräkning, är en mycket viktig del av matematiken. Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr som finns i titeln på en lärobok av en persisk matematiker, alKhwarizmi, som levde för ca 1 200 år sedan.

Centralt innehåll

Med andra ord

• Hantering av algebraiska uttryck.

I början av kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning du ska räkna vid beräkningar med flera olika räknesätt och hur du räknar med negativa tal, bråktal och tal i decimalform.

• Begreppen förändringsfaktor och beräkningar av förändringar i flera steg. • Metoder för att lösa linjära ekvationer. • Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen. • Exempel på hur programmering kan användas som verktyg i problemlösning.

I fortsättningen av kapitlet får du repetera och lära dig mer om hur du kan ställa upp och hantera uttryck och ekvationer. För att beräkna förändringar i procent får du lär dig att använda förändringsfaktor, ett begrepp som kommer att återkomma många gånger under kursens gång.

01_Kap 1_1c_210608.indd 8

2021-06-09 14:16

Inledande aktivitet LÄGGA TAL Skriv upp beräkningar och resultat. Finns det flera lösningar till några av uppgifterna? Arbeta gärna i par eller grupp. Placera talen 1, 2, 5 och 7 i rutorna så att … 1 summan av de två tvåsiffriga talen + blir så nära 60 som möjligt. 2 produkten (

)·(

) blir

a) så nära 60 som möjligt b) så stor som möjligt. Hur ändras beräkningen och resultatet om parenteserna tas bort?

a+b med c+d talen 1, 2, 5 och 7 så att uttryckets värde är 2 a) det rationella talet 3 b) decimaltalet 0,25.

3 Ersätt bokstäverna i uttrycket

a−b med c−d talen 1, 2, 5 och 7 så att uttryckets värde är

4 Ersätt bokstäverna i uttrycket a) det naturliga talet 2 b) det negativa talet –2.

01_Kap 1_1c_210608.indd 9

2021-06-09 14:16

1.1 Repetition av räkneregler Tal och prioriteringsregler

När vi räknar behöver vi olika typer av tal. Vi börjar med att presentera de talmängder som vi använder i denna kurs. talmängd En talmängd är en avgränsad samling av tal och

beskrivs ofta med hjälp av symbolen { }.

naturliga tal

Naturliga tal är tal som anger antal, dvs. talen i mängden N. N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

hela tal

Med naturliga tal klarar vi många beräkningar men inte t.ex. 6 – 8. För det krävs negativa tal. De naturliga talen och de negativa heltalen bildar tillsammans de hela talen, Z. Z = {…, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

rationella tal

De rationella talen Q definieras på följande sätt: Q = {alla tal a/b där både a och b är heltal och b ≠ 0} 3 7 Decimaltal kan skrivas som bråk, t.ex. 1,5 = och 0,07 = 2 100 Men inte ens de rationella talen räcker till i alla situationer. Det exakta värdet på diagonalen i en kvadrat med sidan 1 är 2 .

irrationella tal

Talet kan inte skrivas som ett bråk. 2 är ett exempel på ett irrationellt tal.

Slutligen kan de reella talen R definieras på följande sätt:

reella tal

R = {alla rationella tal tillsammans med alla irrationella tal} Av figuren kan vi se att ett naturligt tal också är ett heltal, ett heltal också är ett rationellt tal och att alla talmängder ovan är exempel på reella tal.

1 − 2

17 4

–1 0 7

1 π

–8

–5 – 4 – 3 – 2 –1

7/9

–13

Alla reella tal kan hittas på tallinjen, t.ex:

–2/3

Vi kommer i de kommande sidorna att repetera räkneregler för olika typer av tal.

01_Kap 1_1c_210608.indd 10

ARITMETIK OCH ALGEBRA

2021-06-09 14:16

Exempel Hilda har börjat träna judo och har betalat

300 kr i medlemsavgift och 70 kr per träningstillfälle.

När hon tränat 10 gånger beräknar hon den genomsnittliga kostnaden i kr per träning: 300 10 70 300 700 1 000 = = = 100 10 10 10 Det har kostat 100 kr/träning. Hon kontrollerar svaret på räknaren: 300+10*70/10

370

Räknaren visar 370. Varför blir det så? Räknaren gör en annan beräkning än den Hilda tänkte sig: 300 + 10 · 70 /10 = 300 + 700 /10 = 300 + 70 = 370

Multiplikation och division beräknas före addition.

För att få ett korrekt svar på räknaren finns två alternativ: ◗ Beräkna uttrycket i täljaren innan divisionen utförs: 300 10 70 1 000 = = 100 10 10 ◗ Använda en parentes: (300 + 10 · 70) /10 = 100 Prioriteringsreglerna anger i vilken ordning vi ska räkna: 1 Först beräknas uttryck inuti parenteser. Prioriteringsreglerna

2 Därefter potenser (upphöjt till). 3 Sedan multiplikationer och divisioner. 4 Till sist additioner och subtraktioner.

potens

Ett uttryck med en upprepad multiplikation med samma faktor kan skrivas som en potens, t.ex. 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23.

bas 23 utläses ”två upphöjt till tre” och är en potens med basen 2 exponent och exponenten 3.

Exponent

Bas

1.1 REPETITION AV RÄKNEREGLER 11

01_Kap 1_1c_210608.indd 11

2021-06-09 14:16

Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:

De fyra räknesätten

Addition: 4 + 3 = 7

Multiplikation: 3 · 12 = 36

Term adderad med term ger en summa.

Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt.

Subtraktion: 9 – 1 = 8

Division: 15 = 5 3 Täljare dividerad med nämnare ger en kvot.

Term subtraherad från term ger en differens.

1101 Beräkna utan digitalt verktyg. a) 5 · 4 + 32 – 2

b) 10 + 4 · (5 – 2)

Vi använder prioriteringsreglerna. a)

5 · 4 + 3 2 – 2 =

= 5 · 4 + 9 – 2 = b)

Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9 Sedan multiplikation

= 20 + 9 – 2 = 27 10 + 4 · (5 – 2) =

= 10 + 4 · 3 =

= 10 + 12 = 22

Först parentesen Sedan multiplikation

1102 Beräkna med digitalt verktyg

13 ⋅ 19 + 5 4 ⋅ 17 − 50

Metod 1: Vi skriver uttrycket med parenteser. (13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14 Metod 2: Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först. 13 ⋅ 19 + 5 252 = = 14 4 ⋅ 17 − 50 18 Svar: 14

* En ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 , betyder att du får använda

digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften. Övriga uppgifter ska du kunna lösa utan hjälp av digitalt verktyg.

01_Kap 1_1c_210608.indd 12

ARITMETIK OCH ALGEBRA

2021-06-09 14:16

1 1103 Beräkna a) (3 + 5) ∙ 8 c) 14 – 6/2 b) 3 + 5 ∙ 8 d) (14 – 6)/2 1104 Beräkna a) 2 ∙ 52 c) 4 + 52

1110 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13. Vilket svar får du? 1111 Vilket tal ska stå i rutan? a) 8 ∙ 50 – 40 ∙

b) (2 ∙ 5)2 d) 4 + 5 ∙ 2 1105 Beräkna a) 9 + 2 ∙ 3 – 1 b) 17 – 3 ∙ 2 + 5 – 18/3

a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen. Bestäm det nya värdet.

d) (12 + 12)/3 ∙ 2

b) Bestäm de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes.

1106 Beräkna b) (8 – 2)2/3 – 1 c)

3 ⋅ 23 + 24 32 ⋅ 4 + 22

1107 Elisa använder sin räknare till beräkningen

42 + 18 2+8

Hon trycker 42 + 18 / 2 + 8

1113 Produkten av 39 ∙ 40 = 1 560. Vad är då a) 39 ∙ 41 b) 39 ∙ 38 + 2 ∙ 39? 1114 Vi antar att siffertangenten 4 är trasig på din räknare. Hur räknar du då ut a) 14 ∙ 34 b) 478 ∙ 444 ? 1115 Uttrycket (30 – a) /(2 + 4) har värdet 3. Vilket blir värdet om a) parentesen runt täljaren tas bort

a) Vilket resultat visar räknaren?

b) parentesen runt nämnaren tas bort

b) Vilket fel gör Elisa? c) Vilket är rätt svar? 1108 Beräkna 6 279 ⋅ 6 ) 138 + 17 b) a 31 23 ⋅ 39 c) 3 ∙ (12 + 19) + 83 – 9 ∙ 3 1109 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5. b) Eric skriver på ett prov: 2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45 Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför? c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.

□ – 1) = 36

b) 4 + 8 ∙ (

1112 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30.

c) 12 – 12/3 – 3 + 1

a) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3

□ = 200

c) båda parenteserna tas bort?

1116 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a/10) a) mindre än 1

c) mindre än 9

b) större än 36

d) större än 3?

1117 Ett tal multipliceras med 4. Från produkten subtraheras 7. Differensen divideras med 3. Kvoten höjs upp med 3. Potensens värde är 27. Vilket var det ursprungliga talet?

1.1 REPETITION AV RÄKNEREGLER 13

01_Kap 1_1c_210608.indd 13

2021-06-09 14:16

Programmering Procentuella förändringar En koloni med 1 000 fåglar minskar med 10 % varje år. Efter hur många år har antalet fåglar halverats?

1 FÖRSTÅ Antalet fåglar minskar inte lika mycket varje år. Istället beror minskningen på hur många fåglar som är kvar från föregående år.

2 PLANERA A Resultat

C Variabler

När vi kör programmet vill vi att det skriver ut följande resultat:

Programmet ska använda följande variabler:

Antalet har halverats efter

år.

där antalet år ska stå istället för strecket.

• y för antalet fåglar. D Algoritm

B Lösning Så länge antalet fåglar är större än 500 multiplicerar vi antalet med förändringsfaktorn 0,9: År 1 År 2 År 3 …

• x för antalet år

1 000 ∙ 0,9 = 900 900 ∙ 0,9 = 810 810 ∙ 0,9 = 729

Vi sammanfattar hur programmet steg för steg ska lösa uppgiften. • Spara värdet 0 i variabeln x. • Spara värdet 1 000 i variabeln y. • S å länge antalet fåglar är större än 500 ska antalet år öka med 1 och antalet fåglar multipliceras med 0,9. • S kriv ut antalet år när antalet fåglar är 500 eller mindre.

3 GENOMFÖRA − KODA I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: x = 0 y = 1000

# Antalet år från början # Antalet fåglar från början

while (y > 500): x = x + 1 y = y * 0.9

# Så länge antalet fåglar är större än 500 # ökar antalet år med 1 # antalet fåglar multipliceras med 0,9

print("Antalet har halverats efter", x, "år.")

01_Kap 1_1c_210608.indd 74

# Skriver ut resultatet

ARITMETIK OCH ALGEBRA

2021-06-09 14:18

4 TESTA OCH VÄRDERA Programmet löser uppgiften men skulle kunna utvecklas så att det frågar både efter antalet fåglar och den årliga procentuella förändringen.

Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin. 1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar. 2 Ändra programmet i uppgift 1 så att det beräknar och skriver ut hur många år det tar för antalet fåglar att halveras, om kolonin istället minskade med 2 % per år. 3 Ändra programmet igen så att det beräknar och skriver ut hur många år det tar för antalet fåglar att fördubblas, om antalet ökar med 10 % per år. 4 Charlie skriver ett program för att lösa en uppgift. x = 0 y = 400

5 Skriv ett program som frågar efter antalet fåglar och den procentuella minskningen. Om antalet fålar är 747 stycken och minskningen är 5 % varje år ska programmet skriva ut följande resultat:

while (y < 600): x = x + 1 y = y * 1.05 print("Antalet har

efter", x, "år.")

Vilket alternativ ska stå på sista raden, där det nu är ett streck?

Hur många fåglar finns det i kolonin? 747

I halverats

III minskat med 50 %

Med hur många procent minskar antalet varje år? 5

II ökat med 50 %

IV fördubblats

Antalet har halverats efter 14 år.

1.5 PROCENT OCH FÖRÄNDRINGSFAKTOR 75

01_Kap 1_1c_210608.indd 75

2021-06-09 14:18

Potenslagar och kvadratrötter Vi ska visa några räkneregler som gäller för beräkningar med kvadratrötter. Eftersom a kan skrivas a1/2 kan vi utgå från potenslagarna.

Exempel 1

= (51/2) = 52

och 2⋅

52 = (52)1/2 = 5

1 2

⋅2

= 51 = 5

Potenslagen (ax)y = axy

= 51 = 5

Exempel 2

18 = 9 ⋅ 2 = (9 ∙ 2)1/2 = 91/2 ∙ 21/2 = 9 ∙ 2 = 3 2

Exempel 3

2 2 = 9 9

1/2

21 / 2 2 2 = = 3 91 / 2 9

Potenslagen (ab)x = axbx

( ) = ab

Potenslagen a b

x x

Om a ≥ 0 och b ≥ 0 gäller:

Räkneregler för kvadratrötter

= a 2 = a

a a = b b

(b ≠ a)

ab = a ∙ b a 2b = a b

2249 Förenkla och skriv utan kvadratrötter. a)

11 c) 3 ∙ 27 1 100 d) 49 ⋅ 36

b) a)

= 11 c) 3 ∙ 27 = 3 ⋅ 27 = 81 = 9

1 1 1 = = d) 49 ⋅ 36 = 49 ∙ 36 = 7 ∙ 6 = 42 100 100 10

1 2251 Vilket tecken >, < eller = ska stå i rutan?

2250 Beräkna a) 4 2 och b)

och

c) 9 ∙ 9 och

10 10⋅∙⋅ 10 10

Kontrollera ditt svar med digitalt verktyg.

106

02_Kap 2_1c_210603.indd 106

□ 16 ⋅∙ 99W □ 16 ⋅ 916 · 9 16 ⋅– 9 9W □ 16 ⋅ 9 16 – 9 16 16 16 16 W□W 9 9

9 16 ⋅ 916 + 9 a) 16 ⋅+9 W

3, 52

b) c) d)

9 9

potenser och formler

2021-06-09 14:24

2252 Beräkna eller förenkla. a) ( 16 (

2257 Visa och förklara varför likheterna gäller.

45 c) 5

1/2

2 a b) 25a 2 d)

a) 27 = 3 ∙ 3 2

3 2

b) 0, 75 =

c) 7 + 7 = 28 2253 Förenkla och skriv utan kvadratrötter.

25 b) 9 ⋅ 4 d) 64

2258 Skriv talen i storleksordning med det minsta först. Motivera ditt svar.

2254 Bestäm a) 10 49 – 5( 11 (

( 2 )2

b) 4 13 + 12 – 3 13 – 12 c)

0, 01 0, 09

xy zw x z w y

12 =2 3

20 2 2 c) = 2 3

□=

□ 2 1 □ 1 b) = d) = 2 0, 1 2 □ a)

1 53

b) 2 500 18 – 1 + 3 = x2 c) (HP)

2256 Visa och förklara varför likheterna gäller.

2260 Vilket tal ska stå i rutan?

C I är lika med II

b) 10 3 = 300

□

a) ( 52x ) =

B II är större än I

a) 8 = 2 2

2261 Lös ekvationerna.

A I är större än II

D informationen är otillräcklig

2255 Avgör vilken kvantitet som är störst om x, y, z och w är positiva tal.

Kvantitet II:

66 3 31 /12/2 WW 22 22

Kontrollera ditt svar med digatalt verktyg.

Kvantitet I:

( 2)

2259 Vilket tecken, >, < eller =, ska stå i rutan? Motivera ditt svar.

d) 26 92 64

3⋅ 5 10

d) 0, 45 =

a) 132 c) 2 ∙ 18

= 5 ∙ 102 25

2262 Vilket av följande alternativ stämmer om 1 = 8 ? 5 x x I x = 1/2 III x =

2 II x = 2 IV x = 2

(HP)

2.2 POTENSEKVATIONER 107

02_Kap 2_1c_210603.indd 107

2021-06-09 14:24

Aktivitet Förenkla med digitalt verktyg I den här aktiviteten ska du förenkla algebraiska uttryck för hand och med ett digitalt verktyg. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att hantera procedurer med och utan digitala verktyg. Materiel: Digitalt verktyg som kan förenkla uttryck.

1 Förenkla följande uttryck för hand och undersök sedan hur ditt digitala verktyg förenklar. Kontrollera om svaren överensstämmer. a + 2 a2 + 7 – 3 a2 b) 5 y + 2 + y2 – 6y c)

a) 8 + 2 x – 5 + 9 x

Förenkla (2x + 4x) 6x

I vilken ordning skriver ditt verktyg termerna i svaret?

2 Förenkla följande uttryck för hand och undersök sedan hur ditt verktyg förenklar. Kontrollera att svaren överensstämmer. Ett uttryck som

4x + 6 måste skrivas in med parenteser: (4x + 6)/2 2

a) 4 x + 6 2

b) 4 y – 6/2

a−2 c) 5 x 8 d) 2 2

3 Multiplicera in faktorerna och förenkla uttrycken för hand. Undersök sedan hur ditt verktyg förenklar och jämför svaren. a) 5(7 + 2 y) – 3( y – 8)

b) 4 a – a(5 – a)

c) 5 x( x – y) – x ( y – x)

4 Multiplicera in

Faktorisera (3x + 6) 3 (x + 2)

3(x + 2) = 3x + 6 Bryta ut

Faktorisera genom att bryta ut, först för hand och sedan med ditt verktyg. Jämför svaren. a) 4 x + 8

5 a) Förenkla

b) x2 + 3 x

117 x 2

78 x 3 13 x

c) 6 a – 6

d) 2 ab – 4 b

195 x

b) Bryt ut så mycket som möjligt 153 x5 – 221 x3 c) Förenkla

120

02_Kap 2_1c_210603.indd 120

x 2 2x 1 x 1

potenser och formler

2021-06-09 14:25

Historik Algebra genom tiderna Matematiker har genom alla tider löst problem med obekanta tal. I Kina och Egypten förekom tidigt en sorts ”retorisk algebra” där man beskrev matematiken med ord i stället för symboler. Såväl frågeställningar som lösningar innehöll mycket text och blev därför svåra att förstå. I det antika Grekland infördes vissa symboler i algebran men den var ändå till största delen retorisk. Matematikern Diofantos, som levde i dagens Egypten runt år 250, kallas ofta den första algebraikern. Han arbetade bland annat med ekvationer skrivna på formen Ax + Bx = C, där A, B och C är heltal. Sådana ekvationer är uppkallade efter honom och kallas diofantiska ekvationer. Ordet ”algebra” kommer från ett verk från år 825 av matematikern al-Khwarizmi, som verkade i Bagdad i dagens Irak. Titeln innehöll ordet al-Jabr, vilket kan översättas till återförening. Verket innehöll bland annat metoder för att lösa ekvationer. Algebran var fortfarande till största delen retorisk. Den symboliska algebran infördes på allvar på 1400-talet av matematikern Al-Qalasādī, som levde i dagens Spanien. Han använde bl.a. symboler för de fyra räknesätten, upphöjt och lika med. Först drygt 100 år senare införde fransmannen François Viète standarden att använda bokstäver som x och y.

1 Utgå från ekvationen 2x + 3y = C där x, y och C är positiva heltal. a) Vad är x om y = 4 och C = 26? b) Vad är y om x = 5 och C = 25? c) Bestäm samtliga positiva heltalslösningar till 2x + 3y = 25 respektive 2x + 3y = 26.

2 I antikens Grekland var det vanligt med matematiska gåtor. Följande är hämtad från boken Matematikens kulturhistoria av John McLeish: ”Ett antal äpplen skall delas mellan sex personer. Den förste får 1/3 av det totala antalet, den andre 1/8, den tredje 1/4, den fjärde 1/5. Den femte får 10 äpplen, varefter endast 1 äpple återstår till den sjätte personen. Hur många äpplen finns det allt som allt?” a) Lös uppgiften med en ekvation. b) Lös uppgiften utan att använda algebra.

1.4 LINJÄRA EKVATIONER 51

01_Kap 1_1c_210608.indd 51

2021-06-09 14:17

Aktivitet Vektorer med digitala verktyg I den här aktiviteten får du en liten introduktion till hur man kan arbeta med vektorer i digitala verktyg. Syftet är att visualisera addition och subtraktion av vektorer, samt multiplikation av en vektor och ett tal (en skalär). Materiel: Digitalt verktyg som kan rita vektorer. Vi visar hur man skriver för att rita vektorer i GeoGebra. Kontrollera hur du gör i ditt digitala verktyg. Om du skriver Vektor i inmatningfältet i GeoGebra får du två val: Vektor(<Punkt>) om du vill skriva vektorn i koordinatform. Vektor(<Punkt>, <Punkt>) om du vill ha en annan startpunkt än origo.

w = Vektor((3, 2)) w= 3 2

( (

2 1

Vektor((3,w 2)) 3 2 1 0 1 2 3 4

( (

2 1

1 0 ru = Vektor((–1, 2), (3, 1))

3 2 1

ru( =( Vektor((–1, 2), (3, 1)) 4 –1

( –14 (

2 1 0

1 2 3 4

3 2 1

2 1 0 1 a) Rita vektorerna v = (4, 1) och u = (–2, 2) i samma koordinatsystem. b) Rita 2v och avläs i vilken punkt vektorn slutar.

264

04_Kap 4_1c_210607.indd 264

w 1 2 3 4 y

1 2 3 4

c) Gissa i vilken punkt du tror vektorn slutar om den utgår från origo. Kontrollera med ditt digitala verktyg. A 3u B –v C v – 2u D u + v E v – u F u – 2v

TRIGONOMETRI OCH VEKTORER

2021-06-10 14:05

Sträckor och vinklar i koordinatsystem Vi börjar med att repetera Pythagoras sats, som beskriver sambandet mellan sidornas längder i en rätvinklig triangel. För en rätvinklig triangel där hypotenusan har längden c och kateterna har längderna a och b gäller: Pythagoras sats

a 2 + b 2 = c 2

Med hjälp av Pythagoras sats och trigonometri kan vi beräkna sträckor och vinklar i trianglar och koordinatsystem. Exempel Vi ska beräknar avståndet mellan punkterna A = (2, –1) och B = (–4, 3)

i ett koordinatsystem. Vi markerar punkterna A och B och en punkt C för att få en rätvinklig triangel. Se figuren nedan. Pythagoras sats ger: Sträckan AC = 3 – (–1) = 4 Sträckan BC = 2 – (–4) = 6 2

B (–4, 3)

(AB) = (AC) + (BC) AB = 42 + 62 = 52 ≈ 7,2 Avståndet mellan punkterna A och B är 7,2 längdenheter (l.e.).

–5 –4 –3 –2 –1

Allmänt gäller:

Avståndsformeln

4 3 2 1

C (2, 3)

x 1

–2

3 4 A (2, –1)

Avståndet d mellan två punkter (x1, y1) och (x2, y2) är d=

x1 y 2 y 1 2

4153 Bestäm längden av sträckan AB om A = (–5, 3) och B = (1, 4). Vi använder avståndformeln AB =

x2 x1

y2 y1

AB = (1 ( 5))2 (4 3)2 = 62 + 12 = 37 ≈ 6,1 Svar: Sträckan är 6,1 längdenheter.

4.1 TRIGONOMETRI 255

04_Kap 4_1c_210607.indd 255

2021-06-09 14:45

4154 Beräkna sidan x i den rätvinkliga triangeln. a)

(cm) x

14,1

(cm) 10,0

8,0

18,3

b) Vi använder Pythagoras sats.

a) Vi använder Pythagoras sats. 2

x2 + 8,02 = 10,02 och x > 0

x = 14,1 + 18,3 och x > 0

x = 14,12 + 18, 32

x = 23,101… ≈ 23,1

x = 10, 02 − 8, 02 x = 6,0

Svar: Hypotenusan är 23,1 cm.

Svar: Kateten är 6,0 cm.

4155 Bestäm den spetsiga vinkeln v mellan linjen och x-axeln.

Vi ritar en rätvinklig triangel och använder sambandet

a b 2 tan v = 4 2 v = arctan ≈ 26,6° 4 tan v =

y 1

a=2 x v b = 5 – 1 = 4 1

Svar: Vinkeln v ≈ 26,6°

1 4156 Beräkna längden av den med x markerade sträckan. 13,2 a) b) (cm)

25,3

C (cm)

30,5

27,3

04_Kap 4_1c_210607.indd 256

y B A

1 D

Bestäm längden av sträckan a) AC b) BD c) AB

256

4157

4158 Bestäm avståndet mellan punkterna (2, –5) och (–6, 1). TRIGONOMETRI OCH VEKTORER

2021-06-09 14:45

4159 Punkterna A, B och C är hörn i en rätvinklig triangel.

4163 a) Bestäm den spetsiga vinkeln v mellan linjen och x-axeln.

y B

b) Bestäm linjens k-värde.

Bestäm längden av sträckan

1 3

4165 Visa att en triangel med hörnen A = (–1, 0), B = (1, 4) och C = (3, –2) är likbent. 4166 Bestäm den spetsiga vinkeln mellan den räta linjen y = 3x + 1 och x-axeln.

x 2

i kvadraten är 50 cm. a) omkrets b) area.

4160 Punkten A = (3, 1) ligger på linjen i figuren.

4167 Bestäm den spetsiga vinkeln mellan de räta linjerna x y = 2x och y = 3

a) Bestäm avståndet mellan punkt A och origo.

b) Bestäm den spetsiga vinkeln v mellan linjen och x-axeln.

4168 Omvändningen av Pythagoras sats säger att om sidorna i en triangel uppfyller a2 + b2 = c2 , vet man att triangeln är rätvinklig.

4161 Utgå från punkterna A = (–3, 2) och B = (6, –4). a) Bestäm längden av sträckan AB.

1 2 3 4 5 6

Bestäm kvadratens

a) AC b) BC c) AB

4164 Längden av diagonalen

–1

–1 –2

c) Jämför värdet på tan v med k-värdet. Vad finner du? Kan du ge en förklaring?

x 5

3 2 1

Visa att en triangel med hörnen i A = (2, 3), B = (8, 1) och C = (10, 7) är rätvinklig.

b) Bestäm den spetsiga vinkeln mellan linjen genom A och B och x-axeln.

3x som 4 har avståndet 40 längdenheter till origo.

4169 Bestäm de punkter på linjen y =

4162 En rät linje skär axlarna i punkterna (0, a) och (a, 0). Linjen bildar tillsammans med x- och y-axeln en rätvinklig triangel. Bestäm konstanten a om triangelns hypotenusa har längden 24,0 l.e.

4170 Visa att höjden h i en liksidig triangel med sidan a är x

3a 2

4171 Punkten P delar sträckan AB i förhållandet 3:4, så att sträckan AP < sträckan BP. Bestäm koordinaterna för P då a) A = (1, –2) och B = (8, 12) b) A = (x1, y1) och B = (x2, y2).

4.1 TRIGONOMETRI 257

04_Kap 4_1c_210607.indd 257

2021-06-09 14:45

Tema

högskoleprov

Sannolikhet Följande uppgifter är hämtade från tidigare högskoleprov. Du får inte använda räknare. Ett av alternativen A–D är korrekt. Vilket? 1 På en parkeringsplats finns det fyra bilar med fyra hjul vardera och två motorcyklar med två hjul vardera. Hur stor är sannolikheten att ett slumpmässigt valt hjul på parkeringsplatsen tillhör en motorcykel? A 1/5

B 1/4

C 1/3

D 1/2

2 Adam, Bertil, Cesar och David sätter sig slumpmässigt ner på var sin sida av ett litet kvadratiskt bord. Hur stor är sannolikheten att Cesar sitter mitt emot David? A 1/2

B 1/3

C 1/4

D 1/5

3 Vad är sannolikheten att man vid två på varandra följande kast med en vanlig sexsidig tärning inte slår någon sexa? A 1/36

C 31/36

B 25/36

D 35/36

4 a och b är två på varandra följande heltal. Hur stor är sannolikheten att a + b är jämnt delbart med 2? A 0

B 0,25

C 0,5

D 1

5 I en låda finns r röda och b blå bollar. Om man lägger till 5 röda och 7 blå bollar i lådan, vad är då sannolikheten att få en röd boll vid ett slumpmässigt val av en boll ur lådan? r r C A r + b + 12 r+b+5 B

r+5 r+b+5

306

05_Kap 5_1c_210607.indd 306

r+5 r + b + 12

I de följande uppgifterna får du en kortare information följt av två kvantiteter. Du ska avgöra vilket alternativ som stämmer. A I är större än II B II är större än I C I är lika med II D informationen är otillräcklig 6 Eva satsar på fyra fält på ett lyckohjul med 20 fält. Lyckohjulet snurras en gång. Endast ett fält ger vinst och alla fält har lika stor chans att ge vinst. Kvantitet I: Sannolikheten att Eva får vinst. Kvantitet II: 1/4 7 Ett mynt kastas två gånger. Kvantitet I: Sannolikheten att samma sida hamnar uppåt i de två kasten. Kvantitet II: Sannolikheten att olika sidor hamnar uppåt i de två kasten. 8 Samuel har en påse med endast röda, gröna och blå enfärgade kulor. 2/5 av kulorna är röda och 3/10 av kulorna är gröna. Samuel plockar slumpmässigt upp en kula ur påsen. Kvantitet I: Sannolikheten att kulan är blå. Kvantitet II: Sannolikheten att kulan är röd. 9 x är ett heltal sådant att 1 ≤ x ≤ 100 000 Kvantitet I: Sannolikheten att 4x är ett jämnt tal Kvantitet II: 0,5

sannolikhet och statistik

2021-06-09 14:57

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Om antalet gynnsamma utfall för en händelse är detsamma som antalet möjliga utfall, är sannolikheten 0,5. 2 Vid ett kast med två vanliga tärningar är P (7 poäng) = P (högst 4 poäng).

8 Om månadsräntan är 4 % så är även årsräntan 4 %. 9 Om räntesatsen under lånetiden är konstant så minskar räntekostnaden efter varje amortering.

3 Sannolikheten att en familj med två barn har två flickor är 0,25.

10 Inom statistiken är ett stickprov detsamma som ett mindre urval av en population.

4 Om B är en komplementhändelse till A, så är alltid P ( B ) < P ( A ).

11 En totalundersökning innebär att man samlat in alla data från ett slumpmässigt urval av populationen.

5 Sannolikheten att ett frö ska gro är 0,8. Om tre frön sätts så är chansen mindre än 50 % att alla fröna gror. 6 I en burk ligger en svart och tre vita kulor. Om du tar två kulor ur burken så är P (lika färg) = P (olika färg). 7 Om räntan på ett lån är hög så är även amorteringen hög.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

05_Kap 5_1c_210607.indd 331

12 Om värdet på en variabel minskar samtidigt som värdet på en annan variabel minskar innebär det en negativ korrelation. 13 Två stickprovsundersökningar visade en ökning från 2,0 % till 3,0 %. Felmarginalen var ±0,4 % vid båda tillfällena, vilket betyder att resultatet är statistiskt signifikant.

331

2021-06-09 14:57

Sammanfattning Sammanfattning5 Enkla slumpförsök Antalet gynnsamma utfall Sannolikhet = Antalet möjliga utfall

Beroende händelser Exempel:

Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1. Exempel: Vi bestämmer sannolikheten att ta en grön kula om vi slumpvis tar en kula. 3 gynnsamma utfall (3 gröna kulor) och 7 möjliga utfall (totalt 7 kulor) ger 3 P (grön) = 7

Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor. Vi tar två kulor. Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten för färgen på den andra. Vi beräknar sannolikheten att ta två röda kulor.

Motsvarande för en vit kula är 4 P(vit) = 7 Summan av sannolikheterna är 1 = 100 %. 3 4 7 + = = 1 = 100 % 7 7 7 Slumpförsök i flera steg

Sannolikheten för den första: 3 P(röd) = 5 Sannolikheten för den andra om en röd är tagen: 2 P(röd) = 4 3 2 6 3 P(röd,röd) = · = = 5 4 20 10 Komplementhändelse Exempel:

En skytt skjuter två skott mot en tavla. För båda skotten gäller: P (träff) = 0,7

P (bom) = 0,3

Försöket kan beskrivas med ett träddiagram: 0,7

0,7 träff 0,49

Skålen innehåller 7 röda och 3 vita kulor. Vi tar två kulor.

0,3

träff

bom 0,3 bom 0,21

0,7 träff 0,21

0,3 bom 0,09

Sannolikheten för ”en gren” = produkten av sannolikheterna längs grenen. Summan av sannolikheterna för alla grenar är 1. 0,49 + 0,21 + 0,21 + 0,09 = 1 Exempel: P (träff, träff) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 P (en träff) = P (träff, bom) + P (bom, träff) = = 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42

332

05_Kap 5_1c_210607.indd 332

Händelse A = minst en röd Händelse B = ingen röd Tillsammans täcker händelserna A och B alla utfall. Det betyder att B är komplementhändelsen till A och tvärtom. Då gäller P(A) + P(B) = 1 Om vi vill beräkna P(A) är det i detta fall enklare att beräkna P(B): 3 2 6 1 ∙ = = P(B) = 10 9 90 15 1 14 P(A) = 1 – P(B) = 1 – = 15 15 SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2021-06-09 14:57

Lån, ränta och amortering

Felkällor och signifikans

Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis.

Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor, t.ex. urvalsfel, för litet stickprov, stort bortfall, mätfel eller tolkningsfel.

En månadsränta på 10 % motsvarar en enkel årsränta på 120 %. När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs. betalar av på själva lånet.

Resultatet av en stickprovsundersökning anges ofta tillsammans med en felmarginal.

Vid beräkningar av ränta och amorteringar kan vi använda kalkylprogram.

Om en förändring är större än felmarginalen kan man säga att förändringen är statistiskt säkerställd eller statistiskt signifikant.

Kalkylprogram

Korrelation och kausalitet

I cellerna i ett kalkylblad kan vi skriva text, tal eller en formel.

Om det finns ett samband mellan två variabler kan vi säga att det finns en korrelation mellan variablerna.

Exempel: I A2 skriver vi lånets storlek i kr: 10 000 I B2 skriv vi räntan i %: 5 I C2 skriver vi en formel: =A2*B2/100 I C2 kommer värdet 500 att visas. 1 2

Negativ korrelation

A B C Lån i kr Ränta i % Ränta i kr 10 000 5 =A2*B2/100

Om vi ändrar lånet eller räntesatsen ändras värdet i C2 automatiskt. Stickprov och urvalsmetoder Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population. En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population. Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs. man gör en stickprovsundersökning eller en urvalsundersökning. Om man väljer ett slumpmässigt urval från populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen.

Ingen korrelation

Positiv korrelation

Om en ökning av den ena variabeln är orsaken till att den andra variabeln ökar eller minskar har vi ett orsakssamband. Detta kallas en kausalitet.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

05_Kap 5_1c_210607.indd 333

333

2021-06-09 14:57

Kan du det här? Delkapitel

BEGREPP

5.1 Repetition av sannolikhet

Sannolikhet Händelse, utfall P (händelse) Frekvens

PROCEDUR • beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall • uppskatta sannolikheten för en händelse med hjälp av statistik.

Relativ frekvens 5.2 Slumpförsök i flera steg

Beroende och oberoende händelser

• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg

Träddiagram

• bestämma och beräkna komplementhändelser.

Komplementhändelse 5.3 Matematik och ekonomi

Ränta, amortering

5.4 Statistik

Population

Kalkylprogram

Urvalsmetoder Stickprov Felmarginal

• göra beräkningar av ränta och amortering av lån med hjälp av kalkylprogram.

• ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhälle och inom vetenskap.

Konfidensintervall Spridningsdiagram Signifikans Korrelation Kausalitet

334

05_Kap 5_1c_210607.indd 334

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2021-06-09 14:57

Testa dig själv 5 5.1 Repetition av sannolikhet 1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken.

5.3 Ekonomi och matematik 7 Sara sparade 8 000 kr i en fond. Fondens värde ökade med 1,75 % per år.

Beräkna sannolikheten a) att du tar en svart kula b) att du tar en kula som inte är svart. 2 I en kommun föddes ett år 840 barn.

Hur mycket var fonden värd efter tre år? 8 Karin har en kontokortsskuld på 5 400 kr som ska amorteras med lika stora belopp varje månad i ett år. Månadsräntan är 2,5 %. Använd ett kalkylprogram för att beräkna hur mycket hon har betalat totalt i ränta när lånet är avbetalat.

Ungefär hur många av dessa kan man vänta sig var pojkar som föddes på en fredag? 5.2 Slumpförsök i flera steg 3 Två vanliga tärningar kastas. a) Vad är sannolikheten för poängsumman 5? b) Hur många gånger kan du förvänta dig att få poängsumman 5 om du kastar två tärningar 100 gånger? 4 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla. P (träff) = 0,4 för varje pil. a) Rita ett träddiagram till denna händelse.

5.4 Statistik 9 Ge exempel på några felkällor vid statistiska undersökningar. 10 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser. Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpmässigt utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet. Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 60 elever positiva. a) Hur stor var populationen, stickprovet respektive bortfallet?

b) Beräkna P (miss, miss). c) Beräkna sannolikheten att precis en av pilarna träffar. 5 Enligt en undersökning håller 8 av 10 värmepumpar av ett märke i 15 år. Tre pumpar installeras samtidigt. Hur stor är sannolikheten att a) ingen håller i 15 år b) minst en inte håller i 15 år? 6 I en låda ligger fyra uppladdningsbara batterier. Två är fulladdade och två är urladdade. Rasmus tar två batterier på måfå. Hur stor är chansen att han tar de två som är fulladdade?

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

05_Kap 5_1c_210607.indd 335

b) Hur många av skolans elever kan man förvänta sig var positiva? 11

102

Finns det någon korrelation mellan variablerna x och y? 12 Vid en väljarundersökning svarade 12,8 % att de tänkte rösta på A-partiet. Vid senaste valet före undersökningen fick partiet 10,7 %. Partiets uppgång i undersökningen är statistiskt signifikant. Vad vet man då om felmarginalen?

335

2021-06-09 14:57

Blandade Blandadeövningar övningar1–5 1 1 Utan digitala verktyg

9 Figuren visar grafen till y = g(x). y

1 Vilken förändringsfaktor motsvararar en ökning med 0,5 %?

6 5

2 a) Förenkla uttrycket. 3x(x + 1) – (x2 – 5x)

4 3

b) Faktorisera det förenklade uttrycket i a). 3 Vilket eller vilka av talen –3

–2

–1

–4 < x < 2 och x > –1?

b) Använd grafen för att lösa ekvationen g(x) = 3.

a) 4(3 + x) = 3(2x – 1) b) 2x2 – 1 = 31 2x 4 = 11 33

10 Ge exempel på två räta linjer som går genom punkten (–2, 4).

d) 5 –2 · (54) = 5x 5 Ge ett eget sifferexempel på ett uttryck man kan förenkla med potenslagen ax = a x – y och där y > x. ay

13 Förenkla så långt som möjligt.

b) Var skär linjen y-axeln? c) Avgör om punkten (3, 8) ligger på linjen. 7 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först. 3

3x + 7 x x

x +1+ x +1 x +1

x 2( x − 1) − x 2 x2

14 Bestäm tan v, cos v och sin v.

1 000

8 Bestäm värdet av uttrycket då x = 18,95.

r b) Bestäm vektorn w som motsvarar 2u – v.

12 Bestäm ett uttryck för y + 2 om x + y = 3.

a) Ange linjens ekvation.

10 –4

r 11 Utgå från vektorerna u = (2, –1) och v = (3, 4). r a) Bestäm längden av vektorn u.

6 En rät linje går genom punkterna (1, –4) och (5, 12).

10 0

a) Bestäm g(3).

4 Lös ekvationerna.

104

ingår i båda intervallen

y = g(x)

10x

v 8x

338

05_Kap 5_1c_210607.indd 338

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

2021-06-09 14:57

15 I figuren är fyra räta linjer A, B, C och D ritade.

Ekvationen för linje B är y = –x – 2.

(2, 9)

Linje C är parallell med x-axeln. Linje A går genom origo och skär linje C i punkten (1, 2). (0, 4)

Linje D skär linje B på x-axeln och linje C på y-axeln. y

Figuren visar grafen till en exponentialfunktion som går genom de markerade punkterna.

C x

Vilken är funktionen? 22

9 8

7 6

Ange ekvationen för a) linje A

b) linje C

c) linje D

4 3

16 Två sexsidiga tärningar kastas.

20 En rät linje går genom punkterna (0, –2) och (18, a) och är parallell med linjen x y= +7 2 Bestäm talet a.

SANNOLIKHET OcH STATISTIK

05_Kap 5_1c_210607.indd 339

9 10

För vilka värden på x är a) f( x) < g( x)

f(4) – f(2) = 10 och f(–2) = –2.

19 Bestäm b om a = –1 och 3a2 b – 2a + b = 52.

I figuren visas graferna till funktionerna f och g.

17 Bestäm den funktion f(x) = kx + m för vilken gäller att

Motivera ditt svar.

x 1

b) är större än 3.

18 Finns det något värde på k sådant att linjen y = kx + 2 aldrig skär linjen 2x + 3y + 2 = 0?

f (x )

Bestäm sannolikheten att differensen mellan tärningarnas poängtal a) är 1

g (x )

b) f( x) > g( x) c) g( x) = f( x) – 2?

3 23 I en låda ligger 3 st högerskor och 2 st vänsterskor. Någon råkar stöta till lådan så att 3 skor ramlar ur. Beräkna sannolikheten att det är en högersko och en vänstersko som ligger kvar i lådan. 1 3 dubbelt så stort som värdet av uttrycket x +1 ? 4

24 För vilket x är värdet av uttrycket 2x +

339

2021-06-09 14:57

SVAR Kapitel 1 1103 a) 64 b) 43 1104 a) 50 b) 100 1105 a) 14 b) 10 1106 a) 13

c) 11 d) 4 c) 29 d) 14 c) 6 d) 16 b) 11

c) 1

1107 a) 59 b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte. c) 6 Lösning: Metod 1 Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. 42 + 18 60 = =6 2+8 10 Metod 2 Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren. 42 + 18 = (42 + 18)/(2 + 8) = 6 2+8 1108 a) 5

b) 42

c) 578

1109 a) 45

c) 2 ∙ 52 – 5 = 2 ∙ 25 – 5 = = 50 – 5 = 45 1110 4 1111 a) Talet 5 ska stå i rutan. b) Talet 5 ska stå i rutan. 1112 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84 b) 42, 84 och 96 b) 1 560

1114 a) T.ex. (15 – 1) ∙ (33 + 1) b) T.ex. (500 – 22) ∙ (500 – 56)

350

07_Facit_1c_210609.indd 350

c) 28

1116 a) För a större än 360. Ledtråd: Kvoten har värdet 1 då a = 360 b) För alla positiva heltal mindre än 10.

1125 a) 5 Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet. 3 + 7 10 = =5 2 2 b) 2 c) 1

c) För a större än 40.

d) –5

d) För alla positiva heltal mindre än 120.

e) –2,5

1117 Talet är 4. 1120 a) –2 < 5 b) 5 > –2 1121 a) –4 b) –9

c) –2 > –5 d) 0 > –7

1126 a) –3 Lösning: 20 − 5 15 = = –3 −4 − 1 −5 b) 4

d) 150

c) –1 Lösning: −4 − (−5) −4 + 5 1 = = = –1 −1 4 + (−5) 4−5

b) –10 Lösning: –8 + (–2) = = –8 – 2 = –10

d) 3 e) –2 f) 11

c) 4 d) 8 e) 1 f) 7 1123 a) –10

f) –14

c) –5

1122 a) –3

b) –4

b) Det matematiska språket är inte korrekt. Likhetstecknen används felaktigt.

1113 a) 1 599

1115 a) 28 b) 13 Ledtråd: a = 12

c) 12 d) 5

1124 –12 ska minskas med 5. Resultatet blir –17. Kalle tänker nog: Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Minustecknen står inte intill varandra, dvs. de är inte två negativa tal multiplicerade med varandra. –12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5. Resultatet blir ett ännu mindre tal än –12, nämligen –17.

1127 a) Nej. Motivering: Summan av två negativa tal är alltid negativ, t.ex. –10 + (–10) = –20 b) Ja. Motivering: T.ex. –25 – (–5) = –20 1128 a) –8 b) –20 1129 a) 2 b) –9

c) –27 d) –4 c) –36 d) 32

1130 a) –1 b) 36 c) –13 1131 a) T.ex. (–4) ∙ (–8) = 32 b) T.ex. (–4) + (–6) = –10 c) T.ex. (–4) – (–12) = 8 d) T.ex. (–12) – (–4) = –8

SVAR

2021-06-10 15:56

1132 –4 Motivering: b – a = –a + b = –(a – b) = –4 (−1) = (−1) = –1 + 1 ∙ 1 = 0

1133 a) –1 – (–1) ∙

(−1) = b) –1 – (–1) ∙ (−1) = –1 – 1 ∙ 1 = –2 2

1134 a) –3 Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = –3 b) 31 Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31 c) –11 Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11 d) 15 Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15 1135 Värdet ändras från 2 till –10. 1136 a) 40

c) 30

b) –7

d) –5

1137 a) –14

b) –7

1138 a) Ja, 6 rätt och 4 fel ger 0 poäng. b) Nej, det krävs 5 frågor, 3 rätt för varje 2 fel om summan ska bli noll. Antalet frågor måste vara 5, 10, 15 ... 1139 Din kompis har rätt. Motivering: Skillnaden mellan två på varandra följande udda tal är 2. Skillnaden mellan två udda tal är därför alltid något tal multiplicerat med 2, vilket är ett jämnt tal. 1140 Förklaring: (–3) ∙ (–4) = 12 kan tolkas ”För tre dagar sedan var glaciären 12 dm längre fram eftersom den minskar 4 dm varje dag”.

SVAR

07_Facit_1c_210609.indd 351

1206 a) 9/24

b) 24/64

1207 a)

1 6

1 20

3 4

1 12

1219 a) 5

1220 a) Värdet blir dubbelt så stort. b) Värdet blir hälften så stort. c) Värdet blir dubbelt så stort. 4 1221 a) 13

1209 a) 18 min b) 36 min

c) 16 min

5 3 är färgad och är 8 8 ofärgad.

Med digitalt verktyg:

( )

108 Förenkla 252 3 7

1211 Lösning: 3 9 1 8 = och = 8 24 3 24 9 8 > 24 24 b) 5 : 3 eller

1213 a) 3/8

c) 1/6

b) 1/4

d) 3/22

1214 a) 1/4

c) 1/6

f) 7/18

1216 a) 5/6

c) 3/7

b) 3/4

d) 2/3

b) 3/5

67 112

5 8

47 48

1224 a)

1 3

c) 1 91 = 30 30

2 9 5 d) 12 b) 3/5

b) 1/4 d) 35/12 e) 1/10

1218 a) 23/24

c) 6/11

1226 a) 1/28 Ledtråd: Beräkna differensen av 2/7 och 1/4.

b) 6/18 = 1/3

b) 8

5 3

b) 13/9

5 12

1223 a)

1225 a) 34/9

c) 2/15 Ledtråd: 1/3 = 5/15 3 1 d) = 15 5

1217 a) 10/27

1222 a) 11/16

b) 3

b) 3/8 Ledtråd: 1/2 = 4/8

1215 a) 6/7

3 7 Utan digitalt verktyg: 108 108 /2 54 = = = 252 252 /2 126 27 27 /9 3 54 /2 = = = = 126 /2 63 63 /9 7

3 1 = är färgad och 9 3 2 6 = är ofärgad. 3 9

1212 a) 1 : 4 eller 1 4

1 8 d) 4

b) 3/40

1208 2/3 = 4/6 = 10/15

1210 a)

1 5

c) 2/13

1227 a) 32 b) 9/4

c) 14/15 d) 8

1228 25/48 Ledtråd: Beräkna summan och dividera med 3.

d) 5/7 c) –9/10 d) –10

351

2021-06-10 15:56

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

Matematik

5000

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik

5000

För reviderad ämnesplan!

ISBN 978-91-27-46056-0

9 789127 460560

M5000Plus_1c_Omslag_NY.indd 1-3

2021-06-09 16:39