9789127457157

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

Matematik

BASÅRET

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2018 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik 5000+ är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Matematik

3c

BASÅRET

5000

5000

3c

Matematik

5000

Nyheter: Problemlösning med programmering i alla kapitel Symbolhanterande och andra digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Fler utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik med fokus på förmågorna Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer

ISBN 978-91-27-45715-7

9 789127 457157

M5000Plus_3C Basår_omslag_190712_NY RYGGBREDD.indd 1-3

3c

BASÅRET

Utökat facit med fler lösningar och ledtrådar

2019-07-17 11:56

Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet.

En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Integral och area

m/s

En bil kör med konstant hastighet, v = 25 m/s.

Hur långt hinner bilen från t = 0 s till t = 6 s?

Sträckan ges av formeln s = v · t s = 25 m/s · 6 s = 150 m

Hastighet, v v (t ) = 25

25

Tid, t 1

2

3

4

5

6

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

s

2338 Förenkla

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

a) ln 5 + ln 0,2 a) ln 5 + ln 0,2 = ln (5 · 0,2) = ln 1 = 0 REPETITIONSUPPGIFTER 2338 Förenkla a) ln 5 + ln 0,2

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter.

De är identiska med bokens lösta uppgifter.

ÖVNINGSUPPGIFTER 2 1255 Lös ekvationen 2 x + 1 = 2 x +1 x +1 a) algebraiskt

b) med symbolhanterande verktyg.

1273 Skriv ett förenklat uttryck för kvoten av sfärens och konens volymer.

36 – x x x

SVAR

4

Kap 0_3c_Basår_190712.indd 4

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator).

Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg.

Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller symbolhanterande.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.



2019-07-12 14:53

VARIATION I UNDERVISNINGEN Aktivitet

begrepp

Talet e

Programmering

Problemlösning

Derivering med programmering

Tema

RELEVANS

Hastighet och acceleration

Historik

RELEVANS

Matematik till och från Sverige

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du ett symbolhanterande verktyg som t.ex. GeoGebra eller ett annat CAS-verktyg.

En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

Sammanfattning 4 Kan du det här?

BEGREPP

PROCEDUR

Testa dig själv 4

Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet.

Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Varje uppgift är märkt med den eller de förmågor som främst testas.

 5

Kap 0_3c_Basår_190712.indd 5

2019-07-12 14:53

Innehåll +

1

Inför kurs 3c 8

9 Geometri 96 Implikation och ekvivalens 96 Pythagoras sats 98 Likformighet 101 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 103 Bevis med likformighet 107

Inledande aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 9

Tal och beräkningar 10 Räkneordning och hela tal 10 Beräkningar med tal i bråkform 14 Avrundning och gällande siffror 18

2

Tal i potensform 20

10 Trigonometri och vektorer 109 Räkna med tangens 109 Sinus och cosinus 113 Beräkningar med vektorer 117 Aktivitet: Vektorer med digitala verktyg 119 Komposanter, koordinater och vektorlängd 120 Tema: Krafter och hastigheter 123

Potenslagar och definitioner 20 Grundpotensform 24

3

Omskrivning av algebraiska uttryck 26 Algebraiska uttryck 26 Multiplikation av parentesuttryck 28 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 31 Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna 33 Faktorisera 35

4

Ekvationer, olikheter och formler 38 Linjära ekvationer 38 Lösning av linjära olikheter 42 Lösa ut ur formler 46

5

Funktioner 49 Funktionsbegreppet 49 Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion 54 Lösa ekvationer med digitala verktyg 56 Räta linjens ekvation 58 Tema: Några linjära fysikaliska samband 62

6

Linjära ekvationssystem 64 Lösning av ekvationssystem 64 Några speciella ekvationssystem 68 Ekvationssystem med tre obekanta 70

7

Andragradsekvationer 72 Enkla andragradsekvationer 72 Kvadratkomplettering 75 En lösningsformel 77 Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 81 Rotekvationer 82

8

Exponentialfunktioner och logaritmer 85 Exponentialfunktioner 85 Exponentialekvationer och logaritmer 88 Mer om logaritmer 90 Logaritmlagarna 93

6

Kap 0_3c_Basår_190712.indd 6

1. Algebra och funktioner 126

Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 127

1.1 Algebra och polynom 128 Repetition – Algebra och aritmetik 128 Polynom 131 Tema: Pascals triangel 134 Polynomekvationer 135 Faktorisera polynom 139 Programmering: Ekvationslösning med intervallhalveringsmetoden 142 Absolutbelopp 144

1.2 Rationella uttryck 147 Vad menas med ett rationellt uttryck? 147 Förlängning och förkortning 149 Ekvationer och rationella uttryck 153 Multiplicera och dividera rationella uttryck 157

1.3 Funktioner 160 Funktionsbegreppet 160 Aktivitet: Funktioner och nollställen 164 Polynomfunktioner 165 Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 170 Tangent och sekant 171 Kontinuerliga och diskreta funktioner 174 Gränsvärde 177 Aktivitet: Sant eller falskt? 181 Sammanfattning 1 182 Kan du det här? 184 Testa dig själv 1 185 Blandade övningar 1 186

INNEHÅLL

2019-07-12 14:53

2. Derivata 190

Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 191

2.1 Ändringskvoter och derivata 192 Ändringskvoter 192 Begreppet derivata 197 Numerisk derivering och derivering med digitalt verktyg 202 Programmering: Derivering med programmering 206 Derivatans definition 208

2.2 Deriveringsregler 211 Derivatan av polynomfunktioner 211 Mer om derivatan av polynomfunktioner 215 Aktivitet: Derivatans värde på flera olika sätt 217 Tema: Hastighet och acceleration 218 Derivatan av potensfunktioner 220 Tangenter och derivata 223 Historik: Tangenter och derivata 226

2.3 Derivatan av exponentialfunktioner 227 Exponentialfunktioner 227 Aktivitet: Talet e 230 Talet e och derivatan av f ( x) = e k x 231 Naturliga logaritmer 235 Derivatan av f ( x) = a x 239 Tillämpningar och problemlösning 241 Aktivitet: Sant eller falskt? 245 Sammanfattning 2 246 Kan du det här? 248 Testa dig själv 2 249 Blandade övningar 2 250 Blandade övningar 1–2 253

3. Kurvor, derivator och integraler 256

Inledande aktivitet: Max och min 257

3.1 Vad säger derivatan om funktionens graf? 258 Växande och avtagande 258 Extrempunkter och terrasspunkter 261 Andraderivatan 265 Andraderivatan och funktionens graf 266 Funktionens graf och derivatornas grafer 269 Aktivitet: Funktioner och derivator 272 Största och minsta värde 274 Historik: Matematik till och från Sverige 277

3.2 Problemlösning med derivata 278 Extremvärdesproblem 278 Aktivitet: Vem tillverkar största lådan? 281 Fler extremvärdesproblem 282 Tillämpningar och asymptoter 286 Tillämpningar och problemlösning 289 Deriverbarhet 293

3.3 Från derivata till funktion 295 Primitiva funktioner 295 Primitiva funktioner med villkor 298 Integral och area 300 Aktivitet: Finn arean 305 Integralberäkning med primitiv funktion 306 Programmering: Integraler med programmering 310 Mer om integraler 312 Tillämpningar och problemlösning 316 Aktivitet: Sant eller falskt? 319 Sammanfattning 3 320 Kan du det här? 322 Testa dig själv 3 323 Blandade övningar 3 324 Blandade övningar 1–3 327

4. Trigonometri 332

Inledande aktivitet: Trigonometri i rätvinkliga trianglar 333

4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 334 Repetition 334 Några exakta trigonometriska värden 337

4.2 Trigonometri och enhetscirkeln 338 Cirkelns ekvation 338 Enhetscirkeln 340 Aktivitet: Enhetscirkeln 344 Trigonometriska ekvationer 346

4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar 349 Areasatsen 349 Sinussatsen 352 När ger sinussatsen två fall? 354 Cosinussatsen 358 Tillämpningar och problemlösning 362 Programmering: Heronska trianglar 366 Aktivitet: Sant eller falskt? 368 Sammanfattning 4 369 Kan du det här? 370 Testa dig själv 4 371 Blandade övningar 4 372 Blandade övningar 1–4 374

Repetitionsuppgifter 380 Svar, ledtrådar och lösningar 387 Register 462

INNEHÅLL 7

Kap 0_3c_Basår_190712.indd 7

2019-07-12 14:53

INFÖR KURS 3C I det här inledande kapitlet kommer du få en kort repetition av algebra-, geometri och funktionsinnehållet från kurs 1 och 2. Du som har läst kurs 1a och 2a eller kurs 1b och 2b kommer dessutom att få bekanta dig med moment som ingick i c-spåret men inte i a- eller b-spåret.

8

Basar_Kap 1_190711.indd 8

2019-07-12 14:48

Inledande aktivitet VÄRDET AV ETT ALGEBRAISKT UTTRYCK Materiel: Två tärningar, en vit och en röd.

Arbeta tillsammans med en kamrat.

Kasta en röd och en vit tärning och låt v vara den vita tärningens poängtal och r den röda tärningens poängtal med negativt tecken.

Om till exempel den vita tärningen visar 3 prickar och den röda 4 prickar så är v = 3 och r = – 4 Värdet av uttrycket 2v + r är då

• Kasta tärningarna en gång var och beräkna det första uttryckets värde.

2 ∙ 3 + (– 4) = 6 – 4 = 2

Uttryck

v

r

2v + r 2v – r v2 + r2 v2 – r2 (v + r)

1 Skriv en tabell var.

2

Summa av uttryckets värde:

Beräkning av uttryckets värde

• Kasta tärningarna igen och fortsätt med nästa uttryck o.s.v.

• När ni har kastat 5 gånger var summerar ni resultatet.

Högst poängsumma vinner!

2 a) Vilken är den största möjliga summan du kan få i tävlingen? b) Vilken är den minsta möjliga summan du kan få i tävlingen?

9

Basar_Kap 1_190711.indd 9

2019-07-12 14:48

4 Ekvationer, olikheter och formler Linjära ekvationer

ekvation En ekvation är ett matematiskt påstående som är en likhet.

Den innehåller ofta en eller flera variabler. y = 2 x + 1 är en ekvation med två variabler.

2 x – 4 = 8 är en ekvation med en variabel.

lösning

Lösningen till en ekvation med en variabel är alla värden på variabeln som gör att ekvationens vänstra led (VL) är lika med dess högra led (HL).

rot

Varje sådant värde kallas en rot till ekvationen. En ekvation kan ha en rot, flera rötter eller helt sakna rötter.

Ekvationen Ekvationen Ekvationen Ekvationen

2 y – 4 = 8 har en rot, y = 6. x 2 + 3 = 4x har två rötter, x1 = 1 och x2 = 3. z + 1 = z + 2 har inga rötter, ekvationen saknar lösning. x + y = 10 har oändligt många lösningar.

0198 Lös ekvationen 3x + x – 12 = 32 3x + x – 12 = 32

Börja med att förenkla vänster led, VL.

4 x – 12 = 32

Addera 12 till båda leden.

4 x – 12 + 12 = 32 + 12

Förenkla.

4 x = 44

Dividera båda leden med 4.

4x 44 = 4 4

Förkorta i VL och beräkna HL.

x = 11

0199 Lös ekvationen 36 – 3y = 21 Vi väljer att ändra i ekvationen så att vi får en positiv y-term.

36 – 3 y = 21

Addera 3y till båda leden.

36 – 3 y + 3 y = 21 + 3 y

36 = 21 + 3 y

Subtrahera 21 från båda leden.

36 – 21 = 21 + 3 y – 21

15 = 3 y

y = 5

38

Basar_Kap 1_190711.indd 38

Skriv y i HL i svaret.

INFÖR KURS 3C

2019-07-12 14:49

0200 Lös ekvationerna. a) 5y = 2( y – 3) b) x – 2(2 x – 3) = 18 a)

b) x – 2(2 x – 3) = 18

5 y = 2( y – 3)

5 y = 2 y – 6

5 y – 2 y = 2 y – 2 y – 6

–3 x + 6 = 18

3 y = –6

–3 x = 12

y = –2

x – 4 x + 6 = 18

12 −3 x = –4

x=

0201 Summan av tre på varandra följande heltal är 36. Vilka är talen?

Om vi kallar det minsta talet för x, så är de andra talen x + 1 och x + 2.

Vi ställer upp en ekvation och löser den. x + ( x + 1) + ( x + 2) = 36 3 x + 3 = 36 3 x = 33 x = 11 x + 1 = 12 och x + 2 = 13 Svar: Talen är 11, 12 och 13.

0202 Lös ekvationerna algebraiskt. a) a)

z z 1 12 − x 2 – = b) = 5 8 20 x 3 z z 1 – = 5 8 20 40 ⋅ z 40 ⋅ z 40 ⋅ 1 – = 5 8 20

8z – 5z = 2 3z = 2 2 z = 3

12 − x 2 = x 3 3 x(12 − x ) 3 x ⋅ 2 = x 3 3(12 – x) = 2 x

36 – 3 x = 2 x

36 = 5 x

b) Multiplicera båda leden med MGN = 40

x=

Multiplicera båda leden med MGN = 3x

36 = 7,2 5

4 EKVATIONER, OLIKHETER OCH FORMLER 39

Basar_Kap 1_190711.indd 39

2019-07-12 14:49

Komposanter, koordinater och vektorlängd

I ett rätvinkligt koordinatsystem skär två tallinjer,

koordinater

koordinataxlarna, varandra i origo, O. Om vi genom en punkt P drar linjer parallella med koordinataxlarna, får vi koordinaterna för P.

Vi kan skriva P = (3, 2) x-koordinat.

y P

2 1

y-koordinat.

x 0

I ett rätvinkligt koordinatsystem kan en vektor v delas upp i två komposanter, en komposant v x längs komposanter

x-axeln och en komposant v y längs y-axeln.

v = vx + v y

2

1

3

y v = (3, 2) v

vy 1

x

Om vi inför två enhetsvektorer ex och e y med koordinatform

v längden 1, som figuren visar, kan

vektorn skrivas v = 3 ∙ ex + 2 ∙ e y eller kortare v = (3, 2) vilket kallas koordinatform.

Talen 3 och 2 kallas vektorn v:s koordinater och är lika med vektorspetsens koordinater då vektorn har sin utgångspunkt i origo.

vx

2

1

y 2 ey

v

ey x 3 ex

ex

En vektor med annan utgångspunkt än origo, t.ex. vektorn med utgångspunkten A = (5, 1) och i B = (2, 3), kan i koordinatform skrivas uspetsen uur AB = (2 – 5, 3 – 1) = (–3, 2)

y 4 3 2 1

B AB = (−3, 2) 1

Sammanfattning

120

Basar_Kap 1_190711.indd 120

2

3

A 4

5

x 6

I ett rätvinkligt koordinatsystem kan vektorn v • delas upp i en komposant längs x-axeln och en komposant längs y-axeln.

v = vx + vy

• i koordinatform skrivas v = (x, y) där x och y är vektorspetsens koordinater då vektorns utgångspunkt är origo.

INFÖR KURS 3C

2019-07-12 14:51

Hur ska vi nu räkna med vektorer i koordinatform?

Vi väljer v1 = (2, 5) och v2 = (4, –1) och bestämmer

y 5

v1

v1 + v2

summan v1 + v2 med parallellogrammetoden.

Vi får v1 + v2 = (6, 4) Samma resultat ger beräkningen v1 + v2 = = (2, 5) + (4, –1) = (2 + 4, 5 – 1) = (6, 4) Vi kan på liknande sätt genomföra beräkningar för multiplikation av en vektor med ett tal och för subtraktion av vektorer. Detta ger tre räknelagar för vektorer i koordinatform.

Räknelagar för vektorer i koordinatform

1

x 1

v2

5

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (x1, y1) – (x2, y2) = (x1 – x2, y1 – y2) k (x, y ) = (kx, ky ) Längden av en vektor som är given på koordinatform i ett rätvinkligt koordinatsystem, kan beräknas med Pythagoras sats.

vektorlängd Vektorn v = (a, b) har längden |v| =

a2 + b2

Längden av vektorn v1 = (2, 5) är

|v1| = 22 + 52 = 4 + 25 = 29 r

0608 Vektorerna a = (1, –3) och b = (–2, 3) är givna. r a) Bestäm koordinaterna för a – b r

b) Bestäm i exakt form längden av 2a + 5b r

c) Bestäm vektorn c så att 3b + c = a

a) a – b = (1, –3) – (–2, 3) = (1 + 2, –3 – 3) = (3, –6)

b) 2a + 5b = 2(1, –3) + 5(–2, 3) = (2, –6) + (–10, 15) = (2 – 10, –6 + 15) = (–8, 9) Svar: Längden = ( 8)2 92 = 64 81 = 145

c) Anta att c = (x, y)

3b + c = a ⇔ 3(–2, 3) + (x, y) = (1, –3)

(–6, 9) + (x, y) = (1, –3)

–6 + x = 1 ger x = 7 och 9 + y = –3 ger y = –12

Svar: Vektorn c = (7, –12)

10 TRIGONOMETRI OCH VEKTORER 121

Basar_Kap 1_190711.indd 121

2019-07-12 14:51

Numerisk derivering och derivering med digitalt verktyg Derivatans värde i en punkt kan bestämmas på många olika sätt. numerisk derivering

Numerisk derivering innebär att man beräknar differenskvoten

(ändringskvoten) för en sekant i ett litet intervall runt den aktuella punkten. Då liknar sekantens lutning tangentens lutning och differenskvotens värde ger ett närmevärde till derivatans värde i punkten.

Vi visar med ett exempel.

Exempel Figuren visar grafen till funktionen f ( x) =

x

Vi vill bestämma f ¢(2), alltså derivatans värde i den punkt där x = 2, med numerisk derivering.

Här nedanför visar vi två olika sätt att beräkna differenskvoten.

y 1,5

f (x ) = x 1,0 0,5 x 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Differenskvot framåt Vi utgår från x = 2 och väljer en punkt lite till höger om x = 2, t.ex. x = 2,1.

Differenskvoten ger då följande närmevärde till derivatan: f ¢(2) ≈

2,1 2 f (2,1) − f (2) = ≈ 0,3492 0, 1 2,1 − 2

Om vi väljer en punkt ännu närmare x = 2, t.ex. x = 2,01, får vi ett bättre närmevärde:

y 1,5

f (x ) = x

1,0 0,5

x

2, 01 − 2 f (2, 01) − f (2) f ¢(2) ≈ = ≈ 0,3531 0, 01 2, 01 − 2

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Central differenskvot Vi väljer en punkt på vänster sida och en på höger sida om x = 2, t.ex. x = 1,9 och x = 2,1.

Differenskvoten ger då följande närmevärde till derivatan: 2,1 1, 9 f (2,1) − f (1, 9) = ≈ 0,3537 f ¢(2) ≈ 0, 2 2,1 − 1, 9

y 1,5

0,5

Om vi väljer de två punkterna ännu närmare x = 2, t.ex. x = 1,99 och x = 2,01, får vi ett bättre närmevärde: f ¢(2) ≈

f (x ) = x

1,0

x 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

2, 01 1, 99 f (2, 01) − f (1, 99) = ≈ 0,3536 0, 02 2, 01 − 1, 99

Med hjälp av numerisk derivering kan vi alltså bestämma derivatans värde för f ( x) när x = 2 till f ¢(2) ≈ 0,35.

202

Kap 2_3c till Basår_190712.indd 202

derivata

2019-07-12 15:18

Allmänt gäller att vi får ett ungefärligt värde på derivatan där x = a, om vi beräknar lutningen på en sekant genom punkterna där x = a respektive x = a + h.

y f (a + h) f (a)

f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) = f ¢(a) ≈ (a + h) − a h differenskvot framåt

Detta kallas en differenskvot framåt.

central differenskvot

På motsvarande sätt får vi en central differenskvot genom att beräkna lutningen på en sekant mellan punkterna där x = a – h och x = a + h. f ¢(a) ≈

h

x

a +h

a

y f (a + h) f (a)

f (a + h) − f (a − h) f (a + h) − f (a − h) = (a + h) − (a − h) 2h

f (a – h)

2h

x

a−h a a +h

2134

Alice kör 100 m på 10 s enligt funktionen f ( x) = x 2 där f ( x) är sträckan i meter och x är tiden i sekunder. f (4, 2) − f (4) 4, 2 − 4 b) Rita en graf och förklara vad du har beräknat i a).

a) Beräkna differenskvoten

c) Teckna och beräkna en differenskvot framåt i intervallet 4 ≤ x ≤ 4 + h för h = 0,1 och h = 0,01. d) Vilket värde verkar troligt på derivatan i punkten där x = 4? Tolka derivatan. a)

f (4, 2) − f (4) 4, 22 42 1, 62 = = = 8,2 0, 2 4, 2 − 4 0, 2

b) Vi har beräknat lutningen på en sekant mellan en punkt P där x = 4 och en punkt Q där x = 4,2.

f (x ) = x 2

Detta ger att medelhastigheten är 8,2 m/s mellan tidpunkterna t = 4,0 s och t = 4,2 s. c) h = 0,1 och h = 0,01 ger: f ¢(4) ≈

P

f (4,1) − f (4) 4,12 42 0, 81 = = = 8,1 4 ,1 − 4 0, 1 0, 1

f (4, 01) − f (4) 4, 012 42 = = 4, 01 − 4 0, 01 0, 0801 = = 8,01 0, 01 f ¢(4) ≈

Q

sekant 2

4

6

d) Tangentens lutning verkar vara 8. Det innebär att derivatan är 8 när x = 4, f ¢(4) = 8.

Alice hastighet efter 4 sekunder är 8 m/s.

2.1 ÄNDRINGSKVOTER OCH DERIVATA 203

Kap 2_3c till Basår_190712.indd 203

2019-07-12 15:18

Tema

RELEVANS

Pascals triangel Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker, vetenskapsman, filosof och författare som bland annat utvecklade talteorin.

Figuren visar en del av Pascals triangel.

Siffrorna i de färgade kvadraterna motsvarar koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b)n där n är ett positivt heltal.

Rad 1: Rad 2: Rad 3: Rad 4:

1 1 a+

1 b

0

(a + b) = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = ...

1 a2 + 3 2

Gradtalet för en term med flera variabler, t.ex. a b , är summan av graderna på de ingående variablerna.

Termen a3b2 har graden 5.

1 a) Utveckla och förenkla (a + b)3 genom att skriva (a + b)(a + b)2. b) Utveckla (a + b)3 med symbolhanterande verktyg, t.ex. med hjälp av Expandera( ).

4

2 Utveckla och förenkla (a + b) .

Kontrollera svaret med symbolhanterande verktyg.

3 a) Skriv av triangeln ovan och fyll i koefficienterna i den fjärde raden. b) Utöka triangeln med en femte rad som visar utvecklingen av (a + b)4.

a3 +

2 ab + a2b +

1 b2 ab2 +

b3

5 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad med exponenten i (a + b)n.

Vad upptäcker du? b) Utgå från det mönster som du har upptäckt.

Vilka är de två första termerna i utvecklingen av (a + b)10?

6 Går det att använda Pascals triangel för att utveckla (a – b)2 , (a – b)3, ... ?

Vad blir det för skillnad? Undersök med symbolhanternade verktyg.

c) Förklara hur du kan finna koefficienterna i en rad med hjälp av koefficienterna i raden ovanför.

4 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b)5 utvecklas och skrivs som ett polynom? b) Utveckla (a + b)5. c) Utveckla (a + b)6.

134

Kap 1_3c till Basår_190712.indd 134

algebra och funktioner

2019-07-12 15:12

Aktivitet

PROCEDUR

Derivatans värde på flera olika sätt

I den här aktiviteten ska du bestämma derivatans värde. Syftet är att du ska repetera och jämföra alla metoder du lärt dig för att bestämma derivatans värde i en punkt.

Materiel: Digitala verktyg

m y 100 y = h (t )

90

Filip släpper en liten sten från en klippa som är 100 m hög.

Stenens höjd över vattnet, h(t) meter, efter t sekunder ges av funktionen h(t) = 100 – 5t 2 I figuren visas grafen till funktionen.

80 70 60 50 40

1 Bestäm stenens hastighet efter 2 sekunder med så många olika metoder som möjligt.

30 20

2 Ange om metoderna ger ett exakt eller approximativt värde.

3 I vilka fall är respektive metod lämplig?

10 t 1

2

3

4

s

2.2 DERIVERINGSREGLER 217

Kap 2_3c till Basår_190712.indd 217

2019-07-12 15:18

Aktivitet

BEGREPP

Talet e I den här aktiviteten får du undersöka exponentialfunktioner för att hitta talet e.

Syftet är att hitta ett tal a så att exponentialfunktionen f ( x) = a x har derivatan f ¢( x) = a x.

Materiel: Applikation som du hittar på nok.se/matematik5000plus

1 Klicka i rutan f ( x) = 2 x för att se grafen till exponentialfunktionen. Klicka därefter i rutan för tangenten till kurvan. Dra punkten A längs kurvan för att se olika tangenter i intervallet –2 ≤ x ≤ 2.

Klicka i rutan som ger tangentens lutning.

Skriv av och fyll i tabellen genom att läsa av y-värdet och lutningen för de olika värdena på x. x

Funktionsvärdet y = f (x )

Derivatans värde f ' (x )

–2

3 Jämför värdena på f ( x) och f ¢( x) i tabellerna. a) Är det sant att f ( x) > f ¢( x) för f ( x) = 2 x? b) Är det sant att f ( x) > f ¢( x) för f ( x) = 3x? c) Klicka i rutan f ( x) = a x Genom att dra i glidaren kan du välja värde på a mellan 2 och 3.

Ställ in funktionen f ( x) = 2,5x och undersök vilket som är störst, y-värdet eller derivatan.

Skriv av och fyll i tabellen.

Funktion

–1 0

f (x ) = 2x

1

f (x ) = 3x

2

f (x ) = 2,5x

Vilket är störst, y-värdet eller derivatan?

f (x ) = 2,8 x

2 Klicka i rutan för f ( x) = 3x Skriv av och fyll i tabellen. x

Funktionsvärdet y = f (x )

–2 –1 0 1

Derivatans värde f ' (x )

f (x ) =

d) Det finns ett värde på a för funktionen f ( x) = a x som gör att y-värdet och derivatans värde är lika i alla punkter, d.v.s. f ( x) = f ¢( x).

Kan du bestämma talet med två decimalers noggrannhet?

Talet kallas e.

2

230

Kap 2_3c till Basår_190712.indd 230

derivata

2019-07-12 15:19

Talet e och derivatan av f ( x ) = e k x

Exempel 1

Vi vill bestämma derivatan av en exponentialfunktion f ( x) = a x och använder derivatans definition.

Först ställer vi upp och förenklar differenskvoten: f ( x + h) − f ( x ) a x h a x a x ah = = h h h

ax

=

a x (ah 1) ah 1 = ax ∙ h h

Bryt ut a x .

Därefter ställer vi upp gränsvärdet av differenskvoten. f ¢( x) = lim

h→0

ax

( ah

1) h

= a x ∙ lim

h→0

ah

1 h

I uttrycket för derivatan ovan har vi brutit ut a x eftersom det inte innehåller h.

Gränsvärdet är då ett tal som är oberoende av x. Vi kallar gränsvärdet för k.

Funktionen f ( x) = a x har alltså derivatan f ¢( x) = a x · k Vi väljer några olika värden på basen a och bestämmer gränsvärdet k ah 1 . numeriskt genom att sätta in allt mindre värden på h i kvoten h  ah − 1   h   

Funktion f (x ) = a x

Derivata f ' (x ) = a x · k

h = 0,01

h = 0,001

h = 0,0001

f (x ) = 2x

0,695555

0,693387

0,693171

f ' (x ) ≈ 2x · 0,69

f (x ) = 3x

1,104669

1,099216

1,098673

f ' (x ) ≈ 3x · 1,10

f (x ) = 2,72x

1,005655

1,001133

1,000682

f ' (x ) ≈ 2,72x · 1

Tabellen visar att om basen a ≈ 2,72 är gränsvärdet k ≈ 1 och f ( x) ≈ f ¢( x).

Vi kan dra slutsatsen att det finns ett värde på basen, ett tal mellan 2 och 3, som ger k = 1 och f ( x) = f ¢( x). talet e Derivatan av f (x ) = e x

Detta viktiga tal kallas e och har närmevärdet e ≈ 2,72.

Funktionen f (x ) = e x har derivatan f' (x ) = e x y

Funktionsvärdet och derivatans värde är detsamma för alla x för funktionen f ( x) = ex.

4 f (x ) = e x

3

T.ex. i punkt A gäller att f (0) = 1 och f ¢(0) = 1 och i punkt B gäller f (1) ≈ 2,7 och f ¢(1) ≈ 2,7.

B

2 1

y-värdet är 2,7 och tangentens lutning är 2,7.

–2

–1

A

x 1

2

3

2.3 EXPONENTIALFUNKTIONER OCH DERIVERINGSREGLER 231

Kap 2_3c till Basår_190712.indd 231

2019-07-12 15:19

Mer om integraler Vi har visat att arean mellan en kurva och x-axeln kan approximeras med hjälp av arean av ett stort antal rektanglar.

Vi kan göra på motsvarande sätt när vi vill bestämma arean A mellan två kurvor f och g.

A≈

Approximera betyder "ge ett närmevärde".

n

∑ ( f(x ) – g( x )) ∙ Δ x i =1

i

i

y

y = f (x )

5

Bas: ∆x Höjd: f (x ) – g (x )

I intervallet 0 ≤ x ≤ 4 är y = f (x ) övre funktion och y = g (x ) undre funktion

4 3 2 1

y = g (x )

–1

1

2

3

4

x 5

6

7

När n → ∞ går ∆x → 0 och summan går mot en integral: A = ( f ( x) – g ( x)) d x

Area mellan två kurvor

Arean A mellan två kurvor y = f (x ) och y = g (x ) i intervallet a ≤ x ≤ b, där f (x ) ≥ g (x ) för alla x i intervallet, ges av integralen A = (f (x ) – g (x))dx

Exempel Figuren visar grafen till f ( x) = 2 – x i intervallet 0 ≤ x ≤ 4

och två områden A1 och A2 där arean A1 = arean A2 = 2 a.e.

Vi jämför detta värde med värdet på två integraler.

2

(

)

(

)(

2   22 (2 – x) dx =  2 x − x  = 2 ∙ 2 – – (0 – 0) = 2 2 2 0  4

)

2 22   42 (2 – x) dx =  2 x − x  = 2 ∙ 4 – – 2∙2– = –2 2 2 2 2 

y 2 1

–1

A1

f (x ) = 2 – x

1

x 2

3A 4 2

–2

Vi ser att integralens värde är positivt och lika med A1 när grafen ligger över x-axeln och negativt och lika med −A2 när grafen ligger under x-axeln. area under x -axeln

Arean A2, som ligger under x-axeln, kan vi beräkna med en integral där vi sätter x-axeln ( y = 0) som övre funktion och y = f ( x) som undre funktion.

A2 = (0 – (2 – x)) dx = 2

312

Kap 3_3c till Basår_190712.indd 312

kurvor, derivator och integraler

2019-07-12 15:22

Slutligen beräknar vi integralen över hela området.

(

4

)

2  x2  (2 – x) dx =  2 x − = 2 ∙ 4 – 4 – (0 – 0) = 0  2 0 2 

Det innebär att vi kan skriva (2 – x) dx = A2 – A1 = 0 En geometrisk tolkning av integralen f(x) dx är att värdet motsvarar "Arean över x-axeln" – "arean under x-axeln" i intervallet a ≤ x ≤ c.

I figuren ser vi att följande gäller för integralernas värde

y

y = f (x )

f ( x) dx > 0 och f ( x) dx < 0 a Arean = A

b

f ( x) dx = 0 eftersom arean av området över x-axeln

x

c Arean = A

är lika stor som den under x-axeln.

Den totala arean är A + A = 2 A.

Sammanfattning

En integral kan anta både positiva och negativa värden.

Den kan också vara noll.

En area har alltid ett positivt värde.

3368 I figuren visas grafen till funktionen y = g(x) Bestäm

y 2

y = g (x )

1

a) integralen g( x) dx b) arean av det färgade området.

(

a) g( x) dx= 3 ∙ 2 +

)

2⋅2 – 3,5 = 4,5 2

Svar: Integralens värde är 4,5.

(

)

2⋅2 + 3,5 = 11,5 2 Svar: De färgade arean är 11,5 a.e. b) Arean = 3 ∙ 2 +

–1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Arean ovanför x-axeln – Arean under x-axeln Integraler saknar enhet.

Arean ovanför x-axeln + Arean under x-axeln

3.3 FRÅN DERIVATA TILL FUNKTION 313

Kap 3_3c till Basår_190712.indd 313

2019-07-12 15:22

Trigonometriska ekvationer

Exempel 1

Vi söker lösningen till ekvationen sin v = 0,72 i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°.

I enhetscirkeln ser vi att det finns två vinklar i intervallet med y-koordinaten 0,72.

Ett digitalt verktyg ger oss den ena vinkeln: sin v = 0,72 v1 = arcsin 0,72 ≈ 46°

1

y

y = 0,72 v2

Symmetri i cirkeln ger oss den andra vinkeln: v2 ≈ 180° – 46° = 134°

x

v1

O

–1

1

–1

Ekvationens lösning är v1 ≈ 46° och v2 ≈ 134°.

Exempel 2

Vi söker lösningen till ekvationen cos v = 0,64 i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°.

I enhetscirkeln ser vi att det finns två vinklar i intervallet med x-koordinaten 0,64.

Ett digitalt verktyg ger oss den ena vinkeln: cos v = 0,64 v1 = arccos 0,64 ≈ 50°

1

–1

Symmetri i cirkeln ger oss den andra vinkeln: v2 ≈ 360° – 50° = 310°

v2

y

x = 0,64

x

v1

1

–1

Ekvationens lösning är v1 ≈ 50° och v2 ≈ 310°.

De fyra punkterna i figuren till höger ligger symmetriskt placerade på enhetscirkeln.

1

Jämfört med sin v har sin (180° – v) samma y-värde, sin (180° + v) och sin (360° – v) har motsatt y-värde. (–a, b)

Samband för sinus

sin (180° – v ) = sin v sin (180° + v ) = –sin v

y

180° – v

(a, b) x

v

1

–1 (–a, –b)

180° + v 360° – v

(a, –b)

sin (360° – v ) = –sin v –1

Jämfört med cos v har cos (360° – v) samma x-värde, cos (180° – v) och cos (180° + v) har motsatt x-värde.

Samband för cosinus

cos (180° – v ) = – cos v cos (180° + v ) = – cos v cos (360° – v ) = cos v

346

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 346

Trigonometri

2019-07-12 15:24

4230 Lös ekvationerna i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°. Svara med hela grader. a) sin v = 0,47

b) cos v = 0,47

c) cos v = –0,47

Ett digitalt verktyg ger den ena vinkeln v1. Symmetrin i figuren eller sambanden på föregående sida ger den andra vinkeln v2. a) b) c) y y 1

1

x = 0,47

y = 0,47 x 1

–1

y 1

x = –0,47

x

x

1

–1

1

–1

–1

–1

–1

cos v = 0,47 v1 ≈ 62° v2 ≈ 360° – 62° = 298°

sin v = 0,47 v1 ≈ 28° v2 ≈ 180° – 28° = 152°

cos v = –0,47 v1 ≈ 118° v2 ≈ 360° – 118° = 242°

4231 Använd tabellen och ange koordinaterna för den punkt P på enhetscirkeln som motsvarar vinkeln 330°.

Vinkel v

0°

30°

45°

60°

90°

sin v

0

1 2

1 2

3 2

1

cos v

1

3 2

1 2

1 2

0

Vi ritar en enhetscirkel och vinkeln v = 330° och ser att radien har samma läge som för v = –30°.

y 1

Vi tar hjälp av att vinkeln v = 30° har koordinaterna 3 2 y = sin 30° = 1 2 x = cos 30° =

x –1

330°

–30°

1 P

Symmetri ger att

3 2 1 y = sin 330° = sin (–30°) = –sin 30° = – 2 3 1 Svar: Punkten P = , – 2 2 x = cos 330° = cos (–30°) = cos 30° =

(

–1

)

4.2 TRIGONOMETRI OCH ENHETSCIRKELN 347

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 347

2019-07-12 15:25

Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.

RESONEMANG

Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Ekvationen sin v = 0,4 har två lösningar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.

9 Om punkten P har koordinaterna (a, 2a) så är vinkeln v = 60°. y

2 Ekvationen cos v = 0,4 har två lösningar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.

P

3 Summan sin 90° + sin 180° + sin 270° har värdet noll.

v

x (1, 0)

4 Areasatsen gäller endast för trianglar med spetsiga vinklar.

5 Om sidan AB är den kortaste sidan i en triangel så måste vinkeln A vara mindre än 90°.

6 Om vi vet två vinklar och en sida så kan sinussatsen ge två olika trianglar.

7 Punkten (3, –3) ligger på en cirkel med ekvationen ( x – 5)2 + ( y + 2)2 = 5.

8 Om vi vet längden på alla sidor i en triangel så kan vi beräkna storleken på vinklarna med sinussatsen.

368

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 368

10 Om AB > AC i

A B C så är ∧ A > ∧ C.

11 Värdet på sin 300° är dubbelt så stort som värdet på sin 150°.

12 Om cos x = 0 så är sin x = 1.

13 Om vi vet två vinklar och en sida i en triangel så kan vi beräkna längden av de två andra sidorna med cosinussatsen.

14 En cirkel med ekvationen x 2 + y 2 + 4 y = 5 har medelpunkten (0, −2) och radien 3.

TrigonomeTri

2019-07-12 15:25

Sammanfattning 4 Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Enhetscirkeln

A BC är en rätvinklig triangel.

OP är radie i en enhetscirkel.

B P (cos v, sin v) c

a (–1, 0)

A

v

v

x

O

(1, 0)

C

b

(0, –1)

a sin v = c

motstående katet hypotenusa

cos v =

b c

närliggande katet hypotenusa

tan v =

a b

motstående katet närliggande katet

sin v = y-koordinaten för P cos v = x-koordinaten för P sin (180° – v) = sin v sin (180° + v) = –sin v sin (360° – v) = –sin v Triangelsatserna

Två speciella trianglar

a

30°

2

1

2

3

60°

45° 1 halv kvadrat

1 halv liksidig triangel

Med hjälp av figurerna kan vi t.ex. bestämma 1 1 och sin 30° = 2 2

Cirkelns ekvation En cirkel med medelpunkt i (a, b) och radien r har ekvationen ( x – a)2 + ( y – b)2 = r 2.

A

cos (180° – v) = –cos v cos (180° + v) = –cos v cos (360° – v) = cos v

C

b

45°

cos 45° =

y (0, 1)

c

B

Areasatsen Arean T =

ab sin C ac sin B bc sin A = = 2 2 2

Sinussatsen sin A sin B sin C = = a b c Cosinussatsen a2 = b2 + c 2 – 2bc cos A Sinussatsen kan ibland ge två fall. Detta sker då sinussatsen ger en ekvation som har två möjliga lösningar mellan 0° och 180°.

En triangel kan inte ha två trubbiga vinklar.

Bestämmer vi den största vinkeln först, vet vi att övriga vinklar är spetsiga. Den vinkel är störst som står mot den längsta sidan.

TrigonomeTri

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 369

369

2019-07-12 15:25

Kan du det här?

Delkapitel

BEGREPP

4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Motstående och närliggande katet, hypotenusa

• beräkna vinklar och sidlängder i rätvinkliga trianglar

Sinus, cosinus och tangens

• bestämma exakta värden på sin v och cos v för v = 30°, 45° och 60°.

4.2 Trigonometri och enhetscirkeln

Cirkelns ekvation

• bestämma ekvationen för en cirkel där medelpunkten och radien är given

Enhetscirkeln

PROCEDUR

• avgöra om en given punkt ligger på en given cirkel • använda enhetscirkeln för att bestämma närmevärden till sinus och cosinus för en vinkel mellan 0° och 360° • lösa enkla trigonometriska ekvationer för vinklar i intervallet 0° ≤ x < 360°.

4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar

Areasatsen Sinussatsen Cosinussatsen

• bestämma arean av en godtycklig triangel med hjälp av areasatsen • bestämma vinklar och längder i godtyckliga trianglar med hjälp av sinus- och cosinussatsen • bevisa area-, sinus- och cosinussatsen • använda triangelsatserna i några naturvetenskapliga och tekniska tillämpningar.

370

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 370

TrigonomeTri

2019-07-12 15:25

Testa dig själv 4 4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 1 I triangeln ABC är vinkeln A rät. Rita figur och bestäm med en decimal triangelns minsta vinkel då

4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar 7 Beräkna triangelns area.

C 30

a) AB = 41,5 cm och AC = 73,1 cm b) AB = 37,9 cm och BC = 92,3 cm c) AC = 54,2 cm och BC = 83,6 cm.

2 Skriv i storleksordning med det minsta värdet först. cos 90°

sin 45°

tan 45°

4.2 Trigonometri och enhetscirkeln

(m)

A

43°

B

80

8 I triangeln ABC har AB längden 25 cm och AC 18 cm. Triangelns area är 175 cm 2.

Beräkna vinkeln A. 9 Hur långa är sidorna AC och AB i C triangeln ABC ?

(m)

3 Lös ekvationerna om v är i intervallet 0° ≤ v ≤ 360°. a) sin v = 0,65

c) sin v = –0,56

b) cos v = 0,72

d) cos v = –0,22

4 Beräkna vinkeln v och x-koordinaten a för punkten P i figuren. y P (a; 0,936)

v

x (1, 0)

43

A

82°

32°

B

10 Beräkna den största vinkeln i en triangel med sidorna 9 m, 10 m och 15 m.

Svara i hela grader.

11 Från en ubåt syns toppen av ett isberg under vinkeln 24,5°. Efter att båten kommit 140 m närmare syns samma topp under vinkeln 31,8°.

Bestäm isbergets höjd över havet.

5 Bestäm med enhetscirkeln de vinklar x i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° för vilka a) sin x = 0

c) cos x = 0

b) sin x = –1

d) cos x = 1

6 Bestäm ekvationen för en cirkel med diametern 8 cm och medelpunkten (–2, 5).

24,5°

31,8°

140 m

12 I triangeln ABC är sidan AB = 18 cm, sidan AC = 12 cm och vinkeln B = 30°.

Beräkna längden av sidan BC med a) cosinussatsen

TrigonomeTri

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 371

b) sinussatsen.

371

2019-07-12 15:25

Blandade övningar 4 B: Begrepp PL: Problemlösning R: Resonemang

2

P: Procedur M: Modellering K: Kommunikation

6 Ordna följande tal i storleksordning: a = sin 24°

1 Utan digitala verktyg

b = cos 100°

Motivera ditt svar.

1 Punkten P i en enhetscirkel har koordinaterna (a, b).

8 Visa att cos v =

(B, P)

7 8 (cm)

x

v

(B, R)

(NP)

7 Bestäm det exakta värdet av sin 240°.

y P (a, b)

c = sin 165°

(1, 0)

v 4 4

Uttryck med hjälp av koordinaterna för punkten P a) sin v

b) cos v

c) tan v

(B)

2 Ekvationen sin x = 0,47 har en lösning x ≈ 28°.

Har ekvationen någon mer lösning i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°?

Motivera ditt svar.

(B, R)

2

(R, K)

3 9

(cm) 1

3 Ekvationen cos x = 0,47 har en lösning x ≈ 62°.

Har ekvationen någon mer lösning i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°?

Motivera ditt svar.

v

(B, R)

4 En cirkel med radien 3 och medelpunkten i (1, 2) har ekvationen ( x – 1)2 + (y – 2)2 = 9.

Undersök om punkten (3, 0) ligger på cirkeln.

(P, R) 5

(B, P)

1 + 16 cos C 15 b) Bestäm cos A exakt, om fyrhörningen är inskriven i en cirkel.

(P, R)

1

a) Visa att cos A =

v 2

Bestäm med hjälp av figuren a) sin v

c) sin (90° – v)

b) cos v

d) cos (180° – v)

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 372

För vinkeln v i figuren gäller att sin v + cos v =k· 5 sin v ⋅ cos v Bestäm talet k.

10 Fyrhörningen AB C D har sidorna AB = 5 cm, BC = 4 cm, C D = 4 cm och D A = 3 cm.

5

372

2

(B)

11 Visa att linjen 3x + 4y – 5 = 0 är en tangent till enhetscirkeln.

(R, K)

TrigonomeTri

2019-07-12 15:25

1

3

Med digitala verktyg

16 I en triangel med arean 88 m2 är en vinkel 75° och en annan 65°.

Beräkna triangelns längsta sida.

(P, PL)

12 a) Beräkna längden av sidan AB. C (cm) 44

A

41°

38°

b) Bestäm triangelns area.

17 Bestäm tan 22,5° med hjälp av figuren.

Svara exakt.

B

(B, P)

C D E

13 Hur stor är den största vinkeln i en triangel med sidorna 6,5 cm, 7,2 cm och 9,8 cm?

(B, P)

A

1

22 ,5° 22,5°

2

(PL, K)

1 2 3 Med digitala verktyg

14 I triangeln ABC är vinkeln B = 30°, sidan AB = 18 cm och sidan AC = 12 cm.

Beräkna längden av sidan BC. 15

B

1

S

(B, P)

Denna typ av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

F

• vilka matematiska kunskaper du har visat • hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser

105°

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar.

Du kan visa förmågorna B, P, PL, M, R och K.

K

18 a) Beräkna (sin 30°)2 + (cos 30°)2 b) Beräkna (sin 127°)2 + (cos 127°)2

En solig och vindstilla vinterdag är Helen och Lotta ute och åker långfärdsskridskor.

Klockan 12.00 kommer de fram till Kapellskär. De vet att det tar 35 minuter att åka från Kapellskär till Sundskär och att det tar 60 minuter att åka från Kapellskär direkt till Furusund. Bussen från Furusund går kl.

14.30.

Vinkeln mellan siktlinjerna mot Sundskär och mot Furusund uppskattas till 105°. De bestämmer sig för att åka till Sundskär och fika och sedan åka raka vägen från Sundskär till Furusund. Hur lång fikapaus kan de ta och ändå hinna med bussen som går 14.30?

Vi förutsätter att Helen och Lotta färdas med konstant fart. (NP) (P, PL)

TrigonomeTri

Kap 4_3c till Basår_190712.indd 373

c) Välj en vinkel v mellan 0° och 180° och beräkna (sin v)2 + (cos v)2 d) Vad upptäcker du? e) Bevisa din upptäckt.

19 I en parallellogram är två sidor 24 cm och 15 cm. a) Beräkna parallellogrammens area om den mellanliggande vinkeln är 130°. b) Anta att den mellanliggande vinkeln varierar mellan 30° och 150°.

Mellan vilka värden varierar då parallellogrammens area? c) En parallellogram har två sidor a och b och en mellanliggande vinkel v. Bestäm en formel för parallellogrammens area.

373

2019-07-12 15:25

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

Matematik

BASÅRET

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2018 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik 5000+ är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Matematik

3c

BASÅRET

5000

5000

3c

Matematik

5000

Nyheter: Problemlösning med programmering i alla kapitel Symbolhanterande och andra digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Fler utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik med fokus på förmågorna Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer

ISBN 978-91-27-45715-7

9 789127 457157

M5000Plus_3C Basår_omslag_190712_NY RYGGBREDD.indd 1-3

3c

BASÅRET

Utökat facit med fler lösningar och ledtrådar

2019-07-17 11:56