9789127455771

Matematik 5000 4

För reviderad ämnesplan!

Varje kapitel har följande innehåll och struktur

KAPITELSTART

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

Sinus- och cosinusfunktioner

Många fenomen är periodiska och upprepar sig regelbundet. Några exempel är dagens längd under ett år, ebb och flod samt olika svängningar och vågrörelser.

2142 Derivera

a) y = sin 5 x

a) y = sin 5 x y ¢ = 5 cos 5 x

ÖVNINGSUPPGIFTER

Yttre: y = sin z Inre: z = 5x

REPETITIONSUPPGIFTER

2142

Derivera

a) y = sin 5 x

4205 Skriv det komplexa talet z på rektangulär form, d.v.s. på formen a + bi. Svara med två decimaler.

a) z = 5 (cos 45° + i sin 45°)

b) z = 4 (cos 250° + i sin 250°)

4206 Skriv talet z i polär form efter avläsning i figuren.

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.

a) b)

Im 45°

SVAR

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg.

Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller symbolhanterande.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

VARIATION I UNDERVISNINGEN

Aktivitet

Kurvan y = A sin k ( x + v) + B

Programmering

Längden av en kurva

Tema

Radiovågor

Problemlösning

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du ett symbolhanterande verktyg som t.ex. GeoGebra eller ett annat CAS-verktyg.

En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.

RELEVANS

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.

Historik

De komplexa talens historia RELEVANS

KAPITELSLUT

Sant eller falskt?

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Sammanfattning 4

Kan du det här?

BEGREPP

PROCEDUR

Testa dig själv 4

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar 4

Blandade övningar 1–4

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Varje uppgift är märkt med den eller de förmågor som främst testas.

Innehåll

1. Trigonometri 8

Inledande aktivitet: Trianglar och enhetscirkeln 9

1.1 Trigonometri och enhetscirkeln 10

Repetition av trigonometri 10

Enhetscirkeln 12

Trigonometriska ekvationer 16

Enhetscirkeln – symmetrier och exakta värden 20

1.2 Trigonometriska formler 25

Trigonometriska ettan 25

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus 29

Formler för dubbla vinkeln 33

Ekvationer och formler 35

Aktivitet: Kurvorna y = A sin kx och y = A cos kx 38

1.3 Trigonometriska funktioner 39

Sinus- och cosinusfunktioner 39

Trigonometriska ekvationer och digitala verktyg 44

Aktivitet: Kurvan y = A sin k (x + v ) + B 46

Förskjutna kurvor 47

Kurvan y = a sin x + b cos x 51

Tangensfunktioner 54

1.4 Radianer 57

Radianer och trigonometriska ekvationer 57

Trigonometriska modeller 62

Programmering: Hur många barn föddes? 66

Tema: Radiovågor 68

Aktivitet: Finn en funktion 70

Aktivitet: Sant eller falskt? 71

Sammanfattning 1 72

Kan du det här? 74

Testa dig själv 1 75

Blandade övningar 1 76

2. Derivata

80

Inledande aktivitet: Lägga derivator 81

2.1 Deriveringsregler I 82

Repetition 82

Derivatan av sin x och cos x 86

Kedjeregeln 90

Programmering: Numerisk ekvationslösning 94

2.2 Deriveringsregler II 96

Derivatan av en produkt och en kvot 96

Derivatan av exponentialfunktioner och logaritmfunktioner 100

Begreppet differentialekvation* 104

Differentialekvationer och matematiska modeller * 106

2.3 Tillämpningar av deriveringsreglerna 108

Derivator och grafer 108

Derivator och tillämpningar 113

Tillämpningar med kedjeregeln 117

Aktivitet: Para ihop formel och graf 122

Aktivitet: Vilken term dominerar? 124

2.4 Skissa grafer 125

Dominerande term 125

Asymptoter 129

Skissa grafer med hjälp av derivata och asymptoter 133

Absolutbeloppet som funktion* 137

Aktivitet: Sant eller falskt? 140

Sammanfattning 2 141

Kan du det här? 142

Testa dig själv 2 143

Blandade övningar 2 144

Blandade övningar 1–2 146

* Ingår i kursen t.o.m. 2021-06-30.

3. Integraler 148

Inledande aktivitet: Lägga primitiv funktion, funktion och derivata 149

3.1 Integraler och areor 150

Primitiva funktioner 150

Integralberäkningar 154

Area under x-axeln 159

Arean mellan två kurvor 163

3.2 Tillämpningar av integraler 168

Integraler och storheter 168

Historik: Riemannsummor och integralens definition 173

Sannolikhetsfördelning 174

Aktivitet: Sannolikheter 180

Aktivitet: Volymen av ett päron 181

Rotationsvolymer 182

Programmering: Längden av en kurva 188

Aktivitet: Sant eller falskt? 190

Sammanfattning 3 191

Kan du det här? 192

Testa dig själv 3 193

Blandade övningar 3 194

Blandade övningar 1–3 196

4. Komplexa tal 200

Inledande aktivitet: Talmängder 201

4.1 Aritmetik med komplexa tal 202

Komplexa tal och imaginära enheten i 202

Beräkningar, konjugat och absolutbelopp 206

Aktivitet: Vad blir i n ? 209

Multiplikation och division med komplexa tal 210

Historik: De komplexa talens historia 213

Avstånd i det komplexa talplanet 214

4.2 Komplexa tal i polär form 218

Polär form 218

Multiplikation och division i polär form 222

Aktivitet: Multiplicera med i 225

Multiplicera och dividera med i 226

4.3 Potenser och komplexa tal 228

de Moivres formel 228

Ekvationen z n = a 231

Programmering: Från rektangulär till polär form 234

Eulers formel 236

Historik: Euler – en produktiv matematiker 238

4.4 Polynomekvationer 239

Andragradsekvationer 239

Polynomdivision 242

Faktorsatsen 246

Historik: Carl Friedrich Gauss 250

Polynomekvationer av högre grad 251

4.5 Bevis och bevismetoder* 255

Inledning 255

Direkta bevis 257

Motsägelsebevis och indirekta bevis 260

Historik: Från Thales till Gödel 264

Aktivitet: Sant eller falskt? 265

Sammanfattning 4 266

Kan du det här? 268

Testa dig själv 4 269

Blandade övningar 4 270

Blandade övningar 1–4 274

Repetitionsuppgifter 278

Svar, ledtrådar och lösningar 284

Register 346

TRIGONOMETRI 1

Trigonometri är ett mycket användbart verktyg inom olika vetenskaper. Många fenomen i naturen och i samhället är periodiska. Det gäller till exempel dagens längd, hjärtats slag eller värdet av en viss aktie. De kan då ofta modelleras med en sinusfunktion och analyseras med hjälp av svaren till trigonometriska ekvationer.

• Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

• Hantering av trigonometriska uttryck.

• Bevis och användning av trigonometriska formler inklusive trigonometriska ettan och additionsformler.

• Egenskaper hos trigonometriska funktioner.

• Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering.

Vi börjar med en repetition. Sinus och cosinus i rätvinkliga trianglar och i enhetscirkeln har du mött tidigare.

Du får lära dig mer om trigonometriska uttryck, formler och ekvationer samt att bestämma och använda trigonometriska funktioner och dess grafer.

Du får också lära dig att arbeta med trigonometriska ekvationer, funktioner och modeller där vinklarna mäts i radianer.

Dessutom får du lära dig problemlösning med algebraiska och grafiska metoder och även med hjälp av digitala verktyg.

För en rätvinklig triangel gäller: sin v = a c cos v = b c tan v = a b

Figurerna visar en enhetscirkel och flera rätvinkliga trianglar. En enhetscirkel har medelpunkt i origo och radien 1.

a) Bestäm vinkeln v

b) Bestäm längden av sträckan a.

c) Ange koordinaterna för punkten A.

3 Använd symmetri och bestäm koordinaterna för punkterna B, C och D.

a) Bestäm längden av sträckorna a och b.

b) Ange koordinaterna för punkten A.

1.1 Trigonometri och enhetscirkeln

Repetition av trigonometri

För rätvinkliga trianglar gäller:

sin v = a

c

motstående katet hypotenusa

Definitioner

cos v = b c tan v = a b

närliggande katet hypotenusa

motstående katet närliggande katet

Exempel 1 I den rätvinkliga triangeln ABC vet vi att vinkeln A = 37° och att längden av hypotenusan AB = 28 cm.

Vi söker längden av den närliggande kateten AC = x.

Vi kontrollerar först att vårt digitala verktyg är inställt på beräkning i grader. Definitionen av cosinus för rätvinkliga trianglar ger:

cos 37° = x 28

x = 28 ∙ cos 37° ≈ 22

Sidan AC är 22 cm.

Om två sidor i en rätvinklig triangel är kända och vi söker vinkeln v kan vi använda någon av operationerna arcsin, arccos eller arctan.

sin v = c ⇔ v = arcsin c

cos v = c ⇔ v = arccos c

tan v = c ⇔ v = arctan c

Ibland används beteckningarna sin –1 c, cos –1 c och tan –1 c.

Exempel 2 I den rätvinkliga triangeln ABC vet vi att längden av den motstående kateten till vinkeln v är 24 cm och att längden av hypotenusan är 60 cm.

Vi söker vinkeln v.

Definitionen av sinus för rätvinkliga trianglar ger:

sin v = 24 60

v = arcsin 24 60 ≈ 24°

Vinkeln v är 24°.

1101 Bestäm med hjälp av definitionerna för sinus, cosinus eller tangens

a) vinkeln v

b) längden av sidan c.

a) tan v = 64 33 , ,

v = arctan ( 64 33 , , ) ≈ 63°

Svar: Vinkeln v är 63°.

b) cos 27° = 64 , c

c ∙ cos 27° = 6,4

c = cos27° 6,4 ≈ 7,2

katet

motstående katet Vinkeln v kan också beräknas med vinkelsumman.

Svar: Hypotenusan c är 7,2 cm.

Längden av c kan också beräknas med Pythagoras sats.

1102 Bestäm längden av de sidor som markerats med x.

1105 Bestäm samtliga okända sträckor och vinklar i triangeln.

1103 Bestäm vinklarna u och v

1106 Vi vet att sin v = 0,6 för någon vinkel i en rätvinklig triangel. Bestäm triangelns samtliga vinklar.

1107 Bestäm sträckorna x och y.

1104 Bestäm samtliga okända sträckor och vinklar i triangeln.

Aktivitet

Kurvorna y = A sin kx och y = A cos kx

I den här aktiviteten får du undersöka utseendet på kurvor av typen y = A sin kx och y = A cos kx Syftet är att lära sig hur konstanterna A och k påverkar utseendet på kurvorna.

Materiel: Grafritande verktyg.

1 Rita grafen till y = sin x.

Kontrollera hur man väljer grader, genom att t.ex. välja DEG på vissa räknare eller skriva y = sin (x °) i GeoGebra.

a) Avläs kurvans största respektive minsta värde.

b) Kurvan y = sin x har perioden 360°. Hur kan man avläsa det i grafen?

2 a) Rita graferna till y = 3 sin x och y = 0,5 sin x och jämför med grafen till y = sin x. Ange likheter och skillnader.

b) Hur påverkar värdet på A utseendet på kurvan y = A sin x?

3 a) Rita graferna till y = sin 2 x och y = sin 0,5 x och jämför med grafen till y = sin x. Ange likheter och skillnader.

b) Hur påverkar värdet på k utseendet på kurvan y = sin kx?

4 Rita grafen till y = cos x och jämför med grafen till y = sin x. Ange likheter och skillnader.

5 Välj några värden på A och k och rita graferna till y = A cos kx. Hur påverkar värderna på A och k utseendet på kurvan y = A cos kx?

6 Försök tänka ut hur graferna till följande funktioner ser ut

a) y = 1,5 sin 3 x

b) y = 3 cos 0,2 x

c) y = –2 sin x Kontrollera genom att rita graferna.

1.3 Trigonometriska funktioner

Sinus- och cosinusfunktioner

Många fenomen är periodiska och upprepar sig regelbundet. Några exempel är dagens längd under ett år, ebb och flod samt olika svängningar och vågrörelser.

För att kunna beskriva dessa fenomen med matematiska modeller behöver vi periodiska funktioner.

y = sin x Vi börjar med att studera funktionen y = sin x.

Vi gör en värdetabell och skissar grafen till y = sin x.

Värdetabell Graf Enhetscirkel

funktion (–1, 0) (1, 0)

y = sin x x y = sin x 0° 0 30° 0,5 60° 0,87 90° 1 180° 0 270° –1 360° 0 y 1 1

y 1 x 1

(0, 1) (0,87; 0,5) (0,5; 0,87) 30 ° 60 °

90° 360°

periodisk y (0, –1)

Vi kan också rita grafen till y = sin x i det större intervallet –360° ≤ x ≤ 720° med ett grafritande verktyg:

y = sin x 720° 360° 360° periodisk 1.3 trigonometriSKA FUnKtioner 39

x

Trigonometriska ekvationer och digitala verktyg

1317 Bestäm grafiskt två lösningar till ekvationen 2 sin 2 x = 1

i intervallet 0° ≤ x ≤ 180°.

Vi ritar graferna till f( x) = 2 sin 2 x och g( x) = 1 i samma koordinatsystem. Skärningspunkterna ger lösningarna till ekvationen.

Se till att ditt digitala verktyg är inställt på grader.

f : y = 2 sin(2x °)

g : y = 1

Skärning (f, g) (15, 1), (75, 1)

Svar: x = 15° och x = 75° är två lösningar till ekvationen.

1318

a) Bestäm två lösningar till ekvationen 2 sin 2 x + cos x = 0,5.

b) Hur många lösningar har ekvationen 2 sin 2 x + cos x = 0,5

i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°?

a) Vi ritar graferna till

y = 2 sin 2 x + cos x och

y = 0,5 och avläser x-värdet

i två skärningspunkter.

Svar: x 1 ≈ –7,1° och x 2 ≈ 84,2°

b) Vi ställer in fönstret så att vi ser 0° till 360° på x-axeln.

Svar: Ekvationen har 4 lösningar i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°.

1319 Lös ekvationen cos 0,5 x = 0,7 grafiskt i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°.

1320 Hur många lösningar har ekvationen sin x = cos x i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° ?

1321 För vilka positiva värden på a har ekvationen sin x = a

i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°

a) två lösningar

b) en lösning

c) ingen lösning?

1322 a) Ange två lösningar till ekvationen 4 sin x = sin x

b) Rita graferna till y = 4 sin x och y = sin x och ange samtliga lösningar till ekvationen 4 sin x = sin x

1323 Lösningarna till olikheterna ligger i intervallet 0° ≤ x ≤ 720°.

Lös olikheterna

a) 4 sin 0,5 x > 3

b) 2 sin x + 3 cos x + 2 < 0 2

1324 För vilka värden på A saknar ekvationen A sin 5 x = 1,2 lösningar?

Motivera.

1325 Bestäm uttryckens största och minsta värden utan digitalt verktyg.

Kontrollera sedan ditt svar med ett digitalt verktyg.

a) 23 + 2 sin x

b) 100 2251 75 2 ,, cos x

1326 För vilka värden på b saknar ekvationen 3 sin 4 x + b = 0 lösningar?

1327 Vilket av följande alternativ ger att ekvationen A cos Bx = 1 har 4 lösningar i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°?

A = 0,5 och B = 2

A = 1 och B = 0,25

A = 2 och B = 2

A = 2 och B = 4

1328 Olikheten cos x < k har i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° lösningarna 120° < x < 240°.

Vilket värde har k?

1329 Det finns ett enkelt samband mellan antalet lösningar till ekvationen sin kx = a

i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° och värdet på k, där k är ett positivt heltal och 0 < a < 1.

Beskriv detta samband.

1330 Figuren visar grafen till en funktion y = A cos kx , där x anges i grader.

Bestäm konstanterna A och k. y x

(345; 2,67)

(45; −2,67)

Programmering

Hur många barn föddes?

Antalet barn som föddes per månad i ett land visade sig följa funktionen

y(n) = 4 000 + 2 000 cos n 6

där y är antalet barn och n är den n:te månaden räknat från årsskiftet.

Funktionen är en anpassning till antalet födda barn under månad 1, månad 2, o.s.v.

Hur många barn föddes totalt under hela året?

1 FÖRSTÅ

När vi ritar grafen till funktionen får vi en bild av hur antalet födda barn varierade under året.

Det totala antalet barn får vi genom att summera antalet som föddes varje månad.

2 PLANERA

A Resultat

När vi kör programmet vill vi att det skriver ut följande resultat:

Under året föddes barn.

där antalet ska stå i stället för strecket.

B Lösning

Antalet barn som föddes i januari får vi genom att sätta in n = 1 i funktionen

y(1) = 4 000 + 2 000 cos ( 6 ·1) ≈ 5 732

Det totala antalet födda barn i januari var alltså 5 732 st.

På samma sätt får vi antalet barn i februari genom att sätta in n = 2 i funktionen

y(2) = 4 000 + 2 000 cos ( 6 ·2) = 5 000

Det totala antalet födda barn under januari och februari var 5 732 + 5 000 = 10 732 st.

Därefter fortsätter vi på samma sätt till och med n = 12.

C Variabler

y n 6

y = 4000 + 2000 cos(πn /6) 4000 12

Programmet ska använda följande variabler:

• n för tiden i månader efter årsskiftet

• summa för det totala antalet barn.

D Algoritm

Programmet ska skrivas i följande ordning:

• Importera cos x och π till programmet.

• Spara värdet 0 i variabeln n.

• Spara värdet 0 i variabeln summa

• Så länge antalet månader är mindre än 12 ska antalet månader öka med 1 och det totala antalet barn öka med antalet barn som föddes den aktuella månaden.

• Skriv ut det totala antalet barn.

3 GENOMFÖRA − KODA

I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: from math import *

n = 0

summa = 0 while n < 12: n += 1

summa += 4000 + 2000 * cos(pi*n/6)

print("Under året föddes", summa, "barn.")

4 TESTA OCH VÄRDERA

Programmet beräknar det totala antalet barn som föddes under året.

Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.

1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.

2 Använd ett annat digitalt verktyg och beräkna det totala antalet barn som föddes under året. Jämför sedan resultaten.

3 Skriv ett program som beräknar summan sin 1° + sin 2° + sin 3° + ... + sin 179° Lägg märke till att Python använder radianer.

4 Skriv ett program som beräknar summan sin 2 (10°) + sin 2 (20°) + sin 2 (30°) + … + + sin 2 (90°). Kontrollera resultatet genom att beräkna samma summa utan hjälpmedel.

Tips: sin v = cos (90° – v)

Tema

Radiovågor

En elektromagnetisk våg, som t.ex. radiovågor, utbreder sig med ljusets hastighet, ca 3 ∙ 10 8 m/s. Radiovågor har hög frekvens. Med frekvens menar vi antal perioder per sekund, vilket mäts i enheten Hertz, Hz. Sambandet mellan en vågs frekvens, f, och dess periodtid, T s, är

f = 1 T eller T = 1 f

Varje radiostation sänder ut en sinusformad bärvåg med hög frekvens. På olika sätt kan vi sedan modulera bärvågen så att den bär med sig informationen om ljudet den ska överföra.

Vi kan t.ex. variera bärvågens amplitud, AM (amplitudmodulering) eller frekvensen, FM (frekvensmodulering).

En antenn kan sedan fånga upp radiovågorna till en mottagare, som sorterar bort bärvågen och överför variationerna till högtalaren. Där blir de ljud igen som vi kan uppfatta.

Den första radiosändningen över Atlanten genom fördes år 1901 av italienaren Marconi. I Sverige startade utsändningarna av radio år 1923 och TV år 1956.

A = amplitud

a = 2π T = 2π f

T = periodtid, s

f = frekvens, Hz

Kaknästornet i Stockholm var tidigare centrum för svensk radiosändning.

Bärvåg: y = A sin at

Exempel på moduleringar om ljudet som ska överföras har signalen y = m sin bt.

Am -våg: y = A ∙ m sin bt ∙ sin at Amplituden moduleras.

Fm -våg: y = A sin (at + m sin bt ). Frekvensen moduleras.

Exempel En radiostation sänder på en bärvåg med frekvensen 106,4 MHz.

Varje sekund svänger då vågen 106,4 ∙ 10 6 perioder vilket ger

Periodtid, T = 1 f = 1 106,4 · 10 6 ≈ 9,40 ∙ 10 –9 s

Om bärvågens amplitud är 1 ger det att bärvågen kan skrivas

y = A sin at = A sin

1 En radiokanal sänder på bärvågen 99,7 MHz.

a) Hur många perioder svänger bärvågen varje sekund?

b) Beräkna bärvågens period.

c) Hur lång tid tar det för radiosignalen att färdas 100 mil?

2 Ett ungt mänskligt öra uppfattar ljud mellan 20–20 000 Hz.

Vilka periodtider har de ljudvågor örat kan uppfatta?

3 En mobiltelefon tar emot signaler med periodtiden 1 ns = 1 ∙ 10 –9 s.

Vilken frekvens har denna signal?

4 En våglängd är den längd en våg färdas under en period, d.v.s (vågens hastighet) ∙ (vågens periodtid).

Vilken våglängd har en bärvåg med frekvensen 100 MHz?

5 Ange en bärvåg på formen y = A sin at som har frekvensen 100 MHz och amplituden 5.

6 En bärvåg y = 3 sin 4t ska överföra signalen y = 2 sin t.

Använd ett grafritande verktyg och bestäm största och minsta värde för

a) AM-vågen: y = 3 ∙ 2 sin t ∙ sin 4t

b) FM-vågen: y = 3 sin (4t + 2 sin t)

7 Undersök med ett grafritande verktyg för några olika värden på a funktionen y = 2 ∙ sin ax ∙ sin 6 x Kan vi få en ”ren” sinuskurva?

8 Undersök med din räknare för några olika värden på a funktionen y = 2 sin (6 x + sin ax).

Vad händer när a > 6?

2323 Värdet på en aktie under en dag kan beskrivas av funktionen

f ( x) = x 2 ∙ 0,6 x + 4 (0 ≤ x ≤ 9,5)

där f ( x) är aktiens värde i kronor och x är tiden i timmar från börsens öppnande.

a) Bestäm aktiens värde efter 7 timmar.

b) Bestäm aktiens största värde under dagen.

c) Med vilken hastighet ändrades värdet 7 timmar efter öppnandet?

d) När ökade värdet på aktien som snabbast?

a) Ett digitalt verktyg ger:

f(x)

= x2 · 0.6x + 4 f(7)

Svar: Värdet var 5,4 kronor.

b) Vi ritar grafen till funktionen f och bestämmer maximipunkten i intervallet 0 ≤ x ≤ 9,5.

Svar: Aktiens största värde var 6,1 kronor.

Svar: Värdet minskade med hastigheten 0,3 kr/h.

d) Vi vill bestämma när derivatan f ¢( x) var störst.

c)

2324 Vid en mätning varierade blodtrycket i ett kärl enligt funktionen

f (t) = 100 + 20 sin 5,5t

där t är tiden i sekunder och f är trycket i mmHg.

a) Bestäm det maximala trycket.

b) Med vilken hastighet ökade trycket som mest?

2325 Johns höjdmätare visade, efter en vandring, en graf som kan beskrivas med funktionen

f(t) = –480 t4 + 1 000 t3 – 400 t + 400

(0 ≤ t ≤ 1,75) där f är höjden över havet i meter och t är tiden i timmar.

a) Bestäm höjden över havet efter en halvtimme.

b) Bestäm högsta höjden under vandringen.

c) Bestäm f ¢(0,25) och tolka svaret.

d) När ökade höjden som snabbast och med vilken hastighet ökade höjden då?

2326 Alva hoppar bungyjump från en bro över en älv. Efter att gummisnodden sträcks ut maximalt kan Alvas höjd över vattenytan, h meter, ungefärligt beskrivas med modellen

h(x) = 40 – 0,9 x ∙ 30 cos ( x 3 )

där x är tiden i sekunder från att gummisnodden sträcks.

a) Beräkna och tolka h(1).

b) När är Alva närmast vattenytan och hur långt ifrån den är hon då?

c) Beräkna och tolka h ¢(3).

d) Är Alva på väg uppåt eller nedåt efter 10 sekunder? Motivera.

2327 På en internatskola sprider sig mässlingen. Antalet elever N som insjuknat följer funktionen

N (t) = 250 1 249 +⋅ e t

där t är antalet dygn efter det att den första eleven blivit sjuk.

a) Lös ekvationen N(t) = 150 och tolka svaret.

b) Lös ekvationen N ¢(t) = 58 och tolka svaret.

c) Bestäm N ¢¢(4) och tolka svaret.

2328 Figuren visar graferna till

f(x) = 0,5e x och g(x) = 3 ln x

a) Bestäm en funktion h, som ger avståndet i y-led mellan graferna.

b) För vilket värde på x är avståndet i y-led minst?

Sannolikheter

I den här aktiviteten får du bestämma en täthetsfunktion utifrån egna mätvärden. Syftet är att du ska bli mer bekant med täthets funktioner som beskriver normalfördelade material.

Materiel: Normalfördelade föremål (100 st), t.ex. mandlar, stora spikar, karameller eller liknande. Noggrant mätinstrument, t.ex. skjutmått eller våg, samt ett normalfördelat verktyg.

1 a) Mät eller väg dina föremål. Redovisa resultaten i en tabell.

b) Beräkna medelvärdet µ och standardavvikelsen σ

c) Ställ upp den täthetsfunktion f

som beskriver din datamängd.

2 a) Välj slumpvis två mätvärden a och b (b > a) från din tabell och beräkna

b) Förklara vilken sannolikhet du har beräknat i 2a).

c) Välj slumpvis ett föremål från ditt material och mät eller väg detta. Lägg tillbaka och upprepa 20 gånger. Hur många gånger fick du ett värde inom intervallet a ≤ x ≤ b? Jämför med 2a).

3 Gör en ”tärning” med hjälp av dina föremål.

a) Bestäm med hjälp av ett digitalt verktyg ett värde c som ger att P = 1/6 för att ett slumpvis val ska ge ett värde inom intervallet ( µ, c).

b) Bestäm på samma sätt ett värde d som ger P = 1/6 för ett värde inom (c, d ).

1/6 cd

1/6

c) Vad är sannolikheten för ett värde > d ?

d) Använd kurvans symmetri och gör 6 intervall, vardera med P = 1/6.

”Provkasta din tärning”, d.v.s. välj ett värde slumpvis.

Hur många gånger får du en 6:a på 20 ”kast”?

Volymen av ett päron

I den här gemensamma aktiviteten får ni göra ett modellförsök som ska ge förståelse för beräkning av rotationsvolymer.

Syftet är att förstå vad skivmetoden innebär.

Materiel: Ett päron som är relativt symmetriskt runt en mittaxel, graderat mått som rymmer hela päronet, en kniv, linjaler och vatten.

Arbeta tillsammans två och två.

1 Bestäm päronets volym genom att lägga det i vatten och mäta hur stor volymökningen blir.

2 Dela päronet i 5–10 mm tjocka skivor. Mät medelradie och tjocklek på skivorna och beräkna volymen på cylinderskivorna. Fördela uppgiften mellan er.

3 Bestäm päronets volym genom att summera volymen av alla skivor.

Jämför med resultatet i uppgift 1.

4 Volymen för den kropp som uppstår när en kurva roterar runt x-axeln kan beräknas

b π y2 dx

V = a

d.v.s. summan av cylinderformade skivor med radien y och tjockleken dx

Ett exempel: Avståndet y cm från mittlinjen till skalet på ett päron kan beskrivas med funktionen

y = 0,03 x 3 – 0,5 x 2 + 2 x (0 ≤ x ≤ 6,6) där x cm är avståndet från päronets botten.

6,6

Beräkna volymen V = 0

π y2 dx

Historik

Från Thales till Gödel

Grekerna införde beviset i matematiken

Thales från Miletos (ca 600 f.v.t.) är en av de första matematikerna i historien som vi vet namnet på. Han inte bara noterade matematiska fakta, som att bas vinklarna i en likbent triangel är lika stora, han bevisade det också. Thales metoder utvecklades av Euklides på 300-talet f.v.t.

Euklides berömda bok, Elementa, sammanfattade sin tids matematiska vetande. Med några självklara grundsatser (axiom) som utgångspunkt, ger Euklides bevis för ett stort antal satser, bl.a. Pythagoras sats och att antalet primtal är oändligt.

Euklides axiom gällande parallella linjer har genom historien varit omdiskuterat och väckt nyfikenhet. Genom att byta ut parallellaxiomet skapade man på 1800-talet nya geometriska system med andra regler. Ett av dessa visade sig lite oväntat bilda ramen för Einsteins relativitetsteori i början av 1900-talet.

Logikens gränser

Euklides metod, med några få axiom och en handfull logiska regler som alla satser kan härledas från, är tilltalande enkel. Metoden har i årtusenden varit en modell för matematiker inom olika områden.

Kan all matematik härledas från en samling axiom?

Det kom som en chock när den 25-årige österrikiske matematikern Kurt Gödel 1931 visade att svaret är nej. Han visade att varje axiomsystem är ofullständigt, d.v.s. innehåller påståenden vars sanningshalt inte går att avgöra inom systemet. För det krävs en mänsklig hjärna som kan gå utanför systemet och välja nya utgångspunkter.

1 Om vi ändrar på förutsättningarna så förändras också satserna. Gör följande tankeexperiment:

Gå från en punkt på ekvatorn rakt norrut till nordpolen. På nordpolen vrider du dig 90° och går rakt ner till ekvatorn och sedan rakt tillbaka till den punkt där du startade.

a) Vilken figur beskriver din vandring?

b) Vilken vinkelsumma har din figur?

kurt Gödel (1906–1978) var en av 1900-talets stora matematiker.

* Ingår i kursen t.o.m. 2021-06-30.

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.

Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Det gäller att i 5 = i.

2 Alla reella tal är också komplexa tal.

3 Det komplexa talet –3 – 2i ligger i fjärde kvadranten i det komplexa talplanet.

4 1 – 2i är konjugatet till –1 + 2i.

5 Geometriskt kan z och z tolkas som en spegling i reella axeln.

6 Absolutbeloppet till z = 3 – i är lika med 10

7 De komplexa tal som beskrivs av |z + 3i| = 2 kan, i ett komplext talplan, ritas som en cirkel med radien 2 l.e. och medelpunkten (0, 3i ).

8 Vid multiplikation av komplexa tal i polär form multiplicerar man argumenten.

RESONEMANG

9 3 + i och 2 cossin 66 i är två olika

representationer av samma komplexa tal.

10 e i 3 och 1 2 (1 + 3 i ) är två olika

representationer av samma komplexa tal.

11 Om den ena roten till en given andragradsekvation är z1 = 2 – i, så är den andra roten z2 = –2 + i.

12 En andragradsekvation kan ha en reell rot och en icke-reell rot.

13 Ett sjundegradspolynom dividerat med ett andragradspolynom är alltid ett femtegradspolynom.

14 x n + 1 är alltid delbart med x + 1.

Sammanfattning 4

Några definitioner

Ett komplext tal z kan skrivas på formen

z = a + b i, där a och b är reella tal.

Om z = a + b i, så gäller:

a är realdelen av z Re z = a

b är imaginärdelen av z Im z = b

i är den imaginära enheten i 2 = –1

är absolutbeloppet av z |z| = ab22 +

z är konjugatet till z z = a – bi

Aritmetik med komplexa tal

För beräkningar med komplexa tal på formen

a + b i gäller de vanliga räknereglerna för de fyra räknesätten samt att i 2 = –1.

Exempel (3 + 2 i )2 = 9 + 12 i + 4i 2 = 9 + 12 i – 4 = 5 + 12 i

Vid division förlänger man med nämnarens

konjugat: 3 2 () i = 32 22 () ()() + −+ i ii = 63 4 2 + i i = 6 5 + 3 5 i

Det komplexa talplanet

Komplexa tal kan tolkas som vektorer i det komplexa talplanet.

Kurvor och ytor i det komplexa talplanet kan beskrivas med likheter eller olikheter.

Exempel

Im z ≥ 1,5 motsvaras av det område där alla punkter har imaginärdelen större eller lika med 1,5. = 2 motsvaras av alla punkter med avståndet 2 till z = i.

Komplexa tal i polär form z = a + bi = r cos v + r sin v ∙ i = = r (cos v + i sin v)

Absolutbeloppet av z: = r = ab22 +

Argumentet av z: arg z = v där tan v = b a

Räknelagar för komplexa tal i polär form

z1 = r1 (cos v1 + i sin v1 )

z2 = r2 (cos v2 + i sin v2 )

Multiplikation

z1 · z2 = r1 · r2 (cos (v1 + v2 ) + i sin (v1 + v2 ))

Division

z z 1 2 = r r 1 2 (cos (v1 – v2 ) + i sin (v1 – v2 ))

Grafisk tolkning

Talet i skrivs i polär form

i = cos 90° + i sin 90°

Vektorn z vrids 90° moturs då z multipliceras med talet i.

Multiplikation med talet – i ger en vridning 90° medurs.

Eulers formel

Om x och y är reella tal, gäller

eiy = cos y + i sin y

ez = e x + iy = e x ∙ eiy = e x(cos y + i sin y)

Exempel

e3 π i /4 = cos 3 4 + i sin 3 4 = –1 2 + 1 2 i

Restsatsen

Om ett polynom p(x) divideras med (x – a)

blir resten r = p(a)

Faktorsatsen

Polynomet p(x) har faktorn (x – a) ⇔ p(a) = 0

Exempel

f (x) = x 3 – 6 x 2 + 3 x + 10

f (2) = 0 betyder att

◗ f (x) har en faktor x – 2

◗ x = 2 är en rot till x 3 – 6 x 2 + 3 x + 10 = 0

◗ divisionen fx x () 2 går jämnt upp

f(1) = 8 betyder att

◗ x – 1 är inte en faktor i f (x)

◗ x = 1 är inte en rot till x 3 – 6 x 2 + 3 x + 10 = 0

de Moivres formel

z n = (r(cos v + i sin v))n = r n(cos nv + i sin nv)

Exempel (1 + i )10 = 2 44

10 cossin i =

= 32 (cos 2,5π + i sin 2,5π) = 32 (0 + i · 1) = 32 i

◗ divisionen fx x () 1 ger resten 8

Polynomekvationer av högre grad

Varje polynomekvation av graden n och med komplexa koefficienter har n komplexa rötter.

För polynomekvationer som har reella koefficienter och icke-reella rötter gäller att rötterna förekommer som konjugerade komplexa tal.

Om t.ex. z = 4 + 3i är en rot, så vet man att z = 4 – 3i också är en rot.

Delkapitel BEGREPP PROCEDUR

4.1 Aritmetik med komplexa tal Imaginära tal och imaginära enheten i Komplexa talplanet Realdel och imaginärdel Konjugat Absolutbelopp Rektangulär form

• lösa enkla andragradsekvationer med komplexa rötter

• rita ett komplext tal som en punkt eller vektor i det komplexa talplanet

• addera, subtrahera, multiplicera och dividera komplexa tal

• bestämma konjugatet respektive absolutbeloppet till ett givet komplext tal

• bestämma avståndet mellan tal i det komplexa talplanet

• beskriva vissa kurvor och ytor i det komplexa talplanet med en likhet eller en olikhet.

4.2

i polär form Komplexa tal i polär form Argument

• skriva ett komplext tal z = a + bi i polär form

• multiplicera och dividera komplexa tal i polär form.

4.3

de Moivres formel Eulers formel

• bestämma potenser av komplexa tal med hjälp av de Moivres formel

• lösa ekvationer av typen z n = a där a är ett komplext tal.

• lösa andragradsekvationer med komplexa koefficienter

• utföra polynomdivisioner

Faktorsatsen

Konjugerade rötter

• använda restsatsen och faktorsatsen

• lösa polynomekvationer, med reella koefficienter, av högre grad

två.

• utföra bevis av

Komplexa tal

Potenser och komplexa tal

4.4 Polynomekvationer Polynomdivision Restsatsen

än

4.5 Bevis och bevismetoder* Direkt bevis, indirekt bevis och motsägelsebevis

matematiska påståenden.

* Ingår i kursen t.o.m. 2021-06-30.

Testa dig själv 4

4.1 Aritmetik med komplexa tal

1 Låt z1 = 2 + 5i och z2 = 3 – 4i Bestäm

a) Re z1 c) z1 + z2 e) z1 · z2

b) Im z2 d) |z2| f) z1 · z2

2 Ange på formen a + bi

a) 3 3 i b) 3 25 + i c) 34 6 + i i

3 Bestäm konjugatet till z = x – iy

4 Talen z1 = 4 + 2i och z2 = –2 + 3i är givna.

a) Markera z1 och z2 i det komplexa talplanet.

b) Bestäm |z1|, |z2| och |z1 – z2|.

5 Markera i det komplexa talplanet de punkter för vilka

a) |z| = 3 c) –3 ≤ Re z < –1

b) Im z < –2 d) Im z > Re z

4.2 Komplexa tal i polär form

6 Skriv de komplexa talen i polär form.

Ange argumentet i grader (med en decimal) och i radianer (med tre decimaler).

a) z = 3 + 4i c) z = –2 + 4i

b) z = –12 – 5i d) z = 5 – 2i

7 Beräkna

a) i 3 b) i 8 c) i 25

8 Figuren visar det komplexa talet z.

9

a) Skriv de komplexa talen z1 och z2 i polär form.

b) Beräkna z1 · z2

10 Lös ekvationerna och svara i polär form med argumentet i radianer.

a) z3 = 8 b) z 4 = – i

11 Skriv i polär form

a) e π i b) e2 + π i /3 c) e1 – 2i

4.4 Polynomekvationer

12 Lös ekvationen 3z + z = 12 + 2i

13 Lös ekvationen

a) z2 – z + 1 = 0

b) 2 z2 = 12iz – 14

c) z2 = i

14 Bestäm resten då f(x) = x 3 – 4x 2 + 8 divideras med

a) x – 1 b) x + 2

Im i

Rita av figuren och markera de komplexa talen i z, –z och z . Re

15 Ekvationen x 4 + 2 x 3 – 5 x 2 – 6 x = 0 har en rot x = –1. Bestäm samtliga rötter.

4.3 Potenser och komplexa tal

Blandade övningar 1−4

B: Begrepp P: Procedur

PL: Problemlösning M: Modellering

R: Resonemang K: Kommunikation

Utan digitala verktyg 1

1 Förenkla

a) 2 – 4i(3 – i ) b) (3 – i )(4 + 3i ) c) i 24 (B, P)

2 Derivera

a) y = 4 sin 0,5 x c) y = x x + 1

b) y = 0,5 x 2 ∙ ln x d) y = 40(1 + 2 x)0,25 (P)

3 Lös ekvationen 8z2 – z3 = 25z (P, PL)

4 Grafen till funktionen g(x) = 2 9 2 x har två lodräta asymptoter.

Vilka? (B, P)

5 Skriv följande kvoter i formen a + bi

a) 45 2 + i i

b) 5 + i i (P)

6 Figuren visar två komplexa tal z1 och z2 .

8 Skriv z3 på polär form om z = 3 (cos 5 2 + i sin 5 2 ) (P)

9 x = –1 är en rot till ekvationen x4 – x 3 – 2 x 2 + x + C = 0

Bestäm C. (PL)

10 Ekvationen sin x = 0,26 har en lösning x ≈ 15°.

Vilka lösningar har ekvationen i intervallet 0° < x < 720°? (B, PL) 2

11 Lös ekvationen cos 2 x = 0,9 om cos 26° = 0,9 (NP) (P)

12 Hur förändras argument och absolutbelopp för ett komplext tal z om det multipliceras med 1 2 i ? (NP) (B, R)

z2

2 z1

–1 –2 –3 –2

Bestäm

a) z1 b) |z1 + z2| (B, P)

7 Bestäm värdet av uttrycket

1 + sin 2 π + cos2 π (B, P)

13 Förenkla sin (x + 2 3 ) så långt som möjligt. (P)

14 Skissa grafen till y = 3 x + 3 x + 3 (B, M)

15 För funktionen f gäller att f(2) = 3 och

f ¢(x) = 0,5 för alla x.

Beräkna f(x)d x (NP) (PL)

16 Figuren visar grafen till funktionen

y = x 3 – 2 x + 4.

Bestäm alla rötter till ekvationen

x 3 – 2 x + 4 = 0.

17 Figuren visar grafen till y = F(x), som är en primitiv funktion till y = f(x).

23 Lös ekvationen sin 2 x = cos2 x (P, PL)

24 Undersök om funktionen har något största och minsta värde.

a) y = x x 2 1 + b) y = 5 1 cos x (PL, R)

25 Bestäm k så att x n – 1 dx = 1/n (n ≠ 0) (P)

26 Lös ekvationen z − z + 1 z − i = 0 (NP) (P, PL)

27 Undersök om det finns något komplext tal z sådant att

a) z z = 2 + i b) z z = 13 2 – i (PL, R)

28 Kurvorna y = bx 2 och y = ln x tangerar varandra. Beräkna konstanten b exakt. (PL)

29 Finn alla reella och positiva tal K så att z = (2 + Ki )3 är reellt. (PL, R)

Ange funktionen f. (B, M)

18 Är (z2 – 2) en faktor i polynomet

p(z) = z 4 + z3 – 2 z2 – 2 z – 2?

Motivera. (B, P)

19 Visa formeln för en cylinders volym med hjälp av en rotationsvolym. (P, M)

20 Undersök antalet lösningar till ekvationen

a sin 2 x = 5, då värdet på konstanten a varierar och 0° ≤ x ≤ 360°. (B, R)

21 Bestäm var tangenten till kurvan

y = cos x – 0,5 x i punkten (π, –1 – 2 ) skär x-axeln. (PL)

22 Visa att sinsin cos 2 21 vv v + + = sin v för alla v

där uttrycken i båda leden är definierade. (P, R)

30 En ton låter olika på olika instrument. Förklaringen till detta är att klangen består av en grundton och flera övertoner och att övertonerna är olika starka på olika instrument.

Om y = a sin x motsvarar grundtonen, så beskriver y = b sin 2 x den 1:a övertonen, y = c sin 3 x den 2:a övertonen o.s.v.

Figuren visar grafen till y = a sin x + c sin 3 x. Funktionen beskriver en grundton och dess andra överton.

Bestäm konstanterna a och c.

Matematik 5000

för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med programmering och användning av digitala verktyg.

Matematik 5000+ är en omarbetning och uppdatering av Matematik 5000. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.

Problemlösning med programmering i alla kapitel

Symbolhanterande och andra digitala verktyg såsom

kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter

Utmanande uppgifter på alla nivåer

Aktivitet, Tema och Historik med fokus på förmågorna

Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer

Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne 4