Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar C
Triangelns vinkelsumma Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180°
A
B
CC
Likformiga trianglar
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
4,0 4,0
5,0 5,0
FF
2,0 2,0
Matematik 1a Gul för Bygg- och anläggningsprogrammet, El- och energiprogrammet, Fordons- och transportprogrammet, Industritekniska programmet och VVS- och fastighetsprogrammet.
AC BC AB = = FE DE DF CC
Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
EE AA
BB
Pythagoras sats a +b =c 2
2
2
FF
• en Modell för varje viktigt delmoment DD
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation • Blandade övningar på tre nivåer
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
hypotenusa c
katet a
Matematik 1a
I likformiga trianglar är DD a motsvarande vinklar lika A EE BB a Aförhållandet mellan motsvarande sidor lika.
Matematik 1a
Matematik 1a PROGRAM
UPPDRAG MODELLER
b katet
I samma serie fi nns
d = (x 2 − x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) där d är avståndet mellan punkterna (x1 , y1) och (x2 , y2). 2
2
Tangens, sinus och cosinus För de spetsiga vinklarna v i rätvinkliga trianglar gäller att motstående katet tan v = usa ten närliggande katet po motstående sin v = cos v =
motstående katet hypotenusa
närliggande katet
hy
v
Matematik 1a Grön (Barn-och fritidsprogrammet, Naturbruksprogrammet, Vård- och omsorgsprogrammet) Matematik 1a Orange (Handels- och administrationsprogrammet, Hantverksprogrammet, Hotell- och turismprogrammet, Restaurang- och livsmedelsprogrammet)
katet till v
närliggande katet till v
ISBN 91-523-0808-0
hypotenusa www.bonnierutbildning.se
MatematikA_omslag1gul.indd 1
(523-1355-8)
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Avståndsformeln
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
GUL
2011-09-20 14.40
Sanoma Utbildning Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10 Telefax 08-587 642 02 Redaktör: Lena Bjessmo, Karolina Danström Grafisk form, layout och omslag: Kolofon, Lena Eklund Illustrationer: Ingrid Flygare Bildredaktör: Lena Eklund, Lena Nistell
Matematik 1a Gul program, uppdrag, modeller (för BA, EE, FT, IN, VF) isbn 978-91-523-0808-0 © 2011 Gunilla Viklund, Birgit Gustafsson, Anna Norberg och Sanoma Utbildning ab, Stockholm Tredje upplagan Tredje tryckningen
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Tryck: Livonia Print, Lettland 2016
Matematik1a_Inledning.indd 2
2016-03-08 15:30
Till läsaren Denna bok är skriven för dig som ska läsa kursen Matematik 1a i gymnasieskolan och som går på ett tekniskt inriktat yrkes program. Boken innehåller 8 kapitel med samma struktur. Varje kapitel inleds med en beskrivning av det centrala innehåll som behand las i kapitlet. Där hittar du också viktiga begrepp som du bör känna till mer om efter att ha studerat kapitlet. Varje kapitel introduceras med ett Uppdrag. Uppdragen är mer omfattande uppgifter som du kan välja att göra. Dessa finns på flera ställen i kapitlet. Uppdragen kan med fördel lösas i grupp och ger dig möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor som att lösa matematiska problem, både teoretiskt och praktiskt och att kommunicera matematik. Det matematiska innehållet i kapitlet presenteras i Modeller. Varje modell består av en kortfattad teorigenomgång med lösta exempel samt uppgifter på olika nivåer. Många uppgifter anknyter till dina karaktärsämnen. Efter kapitlets Modeller kommer en första kontrollstation i form av en tipsrad: Välj rätt svar. Där kan du testa dina kunskaper innan du går vidare till Blandade övningar. Blandade övningar finns på tre nivåer, grundnivå, + och ++. Här finns mer krävande uppgifter som ibland är riktiga utmaningar. I slutet av varje kapitel finns en sammanställning av de begrepp som behandlats i kapitlet. Kapitlet avslutas med ett test där du ska visa dina kunskaper med fullständiga lösningar. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
3
Matematik1a_Inledning.indd 3
2011-04-19 14.06
Innehåll 1 • ta l o c h rä k n i n g
Modell 1 Prioriteringsreglerna...................................................................8 Modell 2 Teckna sammansatta uttryck................................................. 10 Modell 3 Avrundning och överslagsräkning........................................12 Modell 4 Negativa tal..................................................................................15 Modell 5 Bråkräkning.................................................................................. 18 Modell 6 Potenser och kvadratrot..........................................................22 Modell 7 Problemlösning...........................................................................24 Blandade övningar........................................................................................28 Begrepp och test.....................................................................................36–37
2 • pro c e nt o c h l å n
Modell 1 Procentberäkningar.................................................................. 40 Modell 2 Promille och ppm.......................................................................43 Modell 3 Förändringsfaktor......................................................................45 Modell 4 Att beräkna ränta......................................................................48 Modell 5 Procentenheter............................................................................51 Modell 6 Rak amortering av lån.............................................................. 53 Modell 7 Kreditköp.......................................................................................56 Modell 8 Indexserie.....................................................................................59 Blandade övningar....................................................................................... 64 Begrepp och test...................................................................................... 71–73
3 • stati sti k o c h u n d e rs ö k n i n ga r
Modell 1 Tolka och granska diagram......................................................76 Modell 2 Rita diagram med kalkylprogram.........................................82 Modell 3 Lägesmått.....................................................................................87 Modell 4 Granska en statistisk undersökning.................................... 91 Modell 5 Bortfall.......................................................................................... 94 Modell 6 Felmarginal................................................................................. 96 Blandade övningar......................................................................................100 Begrepp och test....................................................................................111–113
4 • san n o l i k h e ts l ä ra
Modell 1 Utfall och sannolikhet..............................................................116 Modell 2 Odds..............................................................................................120 Modell 3 Sannolikhet och riskbedömning......................................... 123 Modell 4 Sannolikheter med diagram................................................ 128 Modell 5 Sannolikheter för slumpförsök i flera steg...................... 132 Modell 6 Beroende händelser................................................................ 137 Blandade övningar...................................................................................... 142 Begrepp och test...................................................................................151–153
4
Matematik1a_Inledning.indd 4
2011-04-19 14.06
5 • e kvati o n e r och formler
Modell 1 Att lösa ekvationer................................................................... 156 Modell 2 Andra typer av ekvationer..................................................... 158 Modell 3 Teckna och tolka uttryck........................................................160 Modell 4 Räkna med parenteser...........................................................162 Modell 5 Sätt in värden i formler..........................................................164 Modell 6 Lös ut värden ur formler........................................................166 Modell 7 Enkla andragradsekvationer.................................................168 Modell 8 Problemlösning med ekvationer........................................ 170 Blandade övningar...................................................................................... 174 Begrepp och test................................................................................. 182–183
6 • g e om e tr i o c h e n h e te r
Modell 1 Tiopotenser och prefix............................................................ 187 Modell 2 Omvandla enheter med olika prefix..................................189 Modell 3 Omvandla area- och volymenheter....................................191 Modell 4 Beräkna omkrets och area....................................................193 Modell 5 Beräkna volym...........................................................................196 Modell 6 Problemlösning........................................................................198 Blandade övningar..................................................................................... 202 Begrepp och test.................................................................................. 210–211
7 • mate mati s ka sam ba n d
Modell 1 Samband mellan grafer och händelser............................. 214 Modell 2 Proportionalitet........................................................................ 218 Modell 3 Linjära samband.......................................................................222 Modell 4 Exponentiella samband........................................................ 226 Modell 5 Problemlösning........................................................................ 229 Blandade övningar..................................................................................... 234 Begrepp och test................................................................................ 243–245
8 • vi n k l a r o c h tr i g o n om e tr i
Modell 1 Beräkna vinklar i trianglar och fyrhörningar.................. 249 Modell 2 Skala............................................................................................. 251 Modell 3 Vektorer.......................................................................................253 Modell 4 Likformighet..............................................................................257 Modell 5 Pythagoras sats.........................................................................261 Modell 6 Bestäm sidor med trigonometri........................................ 265 Modell 7 Bestäm vinklar med trigonometri..................................... 268 Blandade övningar......................................................................................272 Begrepp och test.................................................................................281–283 Facit ................................................................................................................ 284 Register........................................................................................................... 312
5
Matematik1a_Inledning.indd 5
2011-04-19 14.06
1
ta l o c h räkning
C e n t r a lt i n n e h å l l a Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslags- räkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier för att använda digitala verktyg. a Strategier för att använda hjälpmedel från karaktärsämnena. a Strategier för matematisk problemlösning. Då m å st e d u k u n n a a i vilken ordning man ska räkna de olika räknesätten – prioriteringsreglerna a teckna och beräkna sammansatta uttryck
a regler för avrundning och överslagsräkning a räkna med negativa tal a bråkräkning
a beräkna kvadraten på ett tal a räkna med potenser
a dra kvadratroten ur ett tal
a strategier för problemlösning.
Begrepp Sammansatta uttryck Prioriteringsregler Avrundning Överslagsräkning
Bråk Förlänga Förkorta Potens
Bas Exponent Kvadraten på ett tal Kvadratroten ur ett tal
6
Matematik1a_Tal.indd 6
2011-04-19 14.14
l ångr esan u ppdrag
Anders och Millie har bestämt att de ska ut och resa när de tagit studenten. Millie vill gärna bestiga Kilimanjaro medan Anders är sugen på att bada i Döda havet. De tar reda på fakta om dessa platser. 1) Lufttrycket vid Döda havet är ca 1 060 mb (mb betyder millibar). Normalt lufttryck vid havsytan är 1 010 mb och lufttrycket sjunker med ungefär 1 mb när man förflyttar sig 8 m uppåt. 2) Det är ca 6 300 meters höjdskillnad mellan Kilimanjaros topp och Döda havet och temperaturen förändras med ca 1 grad när man förflyttar sig 100 m uppåt. Arbeta i grupp och besvara frågorna tillsammans. Går det att besvara någon av följande frågor med de fakta som finns i 1, de fakta som finns i 2 eller behöver man fakta från både 1 och 2? a På vilken nivå ligger Döda havet? a Hur högt är Kilimanjaro?
a Hur kallt kan man räkna med att det är på toppen av Kilimanjaro om det är +20 °C vid basstationen som ligger på 2 000 meters höjd?
Den här typen av uppgifter testas på högskoleprovets NOG-del. Försök att göra en liknande uppgift.
När vi placererar in de positiva talen på en tallinje ser vi att ju större ett tal är desto längre till höger ligger det. Ibland behöver vi andra tal än de positiva heltalen. Negativa tal är mindre än 0. De ligger till vänster om talet 0 på tallinjen. –7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
De fyra räknesätten: addition
13 + 8 = 21 term
multiplikation
term
subtraktion
summa
2 · 6 = 12
faktor faktor produkt
27 – 11 = 16
term
division
term differens
12 = 4 nämnare 3 täljare
kvot
1 • ta l o c h r ä k n i n g
Matematik1a_Tal.indd 7
7
2011-04-19 14.14
modell 2
Teckna sammansatta uttryck När du löser matematiska problem i dina karaktärs ämnen är det bra att kunna förklara hur du har tänkt. Du ska visa vilka tal och vilka räknesätt du an vänder. I matematiken kallas det för att du tecknar uttryck. När du har tecknat ditt uttryck kan du sedan direkt utföra beräkningen. Det finns ofta flera sätt Beroende på vilka värden du har utgått ifrån att teckna uttryck på. måste du avrunda på ett lämpligt sätt.
exempel a
lösn i ng
Ç
Olof planerar en laboration med mätövningar. Han ska ha fyra stationer och köper in material till dessa. På den första ska det fi nnas tre skjutmått som kostar 192,50 kr/st och en plastlinjal för 19,90 kr. På två av stationerna ska det fi nnas en vinkelhake för 29,90 kr och en meterstav för 112 kr. På den fjärde stationen ska det fi nnas en låda med passbitar för 974 kr. Hur mycket kommer materialet till laborationen att kosta? Teckna vad det kommer att kosta i kronor och utför beräkningen med räknaren:
Vinkelhaken kostar 29,90 kr och meterstaven 112 kr. Den utrustningen ska finnas på två stationer. 2 · (29,90 + 112)
3 · 192,50 + 19,90 + 2 · (29,90 + 112) + 974 = = 577,50 + 19,90 + 2 · 141,90 + 974 = 1 855,20 ≈ 1 855 Svar: Materialet till laborationen kostar 1 855 kr. exempel b
lösn i ng
Jenny vill bygga staket runt sin hästhage. Hon mäter det virke hon har med en tumstock. Hon har 34 plankor som är 3,5 m långa, 28 plankor som är 3 m, 23 plankor som är 2,5 m och 7 plankor som är 4 m. Hon behöver sammanlagt 320 m virke. Hur många meter måste hon minst köpa för att det ska räcka till staketet? Hon har så här många meter virke: 34 · 3,5 + 28 · 3 + 23 · 2,5 + 7 · 4 = 119 + 84 + 57,5 + 28 = 288,5 Hon måste köpa så här många meter: 320 – 288,5 = 31,5 Du kan också teckna hela uttrycket på en gång och använda parenteser: 320 – (34 · 3,5 + 28 · 3 + 23 · 2,5 + 7 · 4) = 31,5 Svar: Hon måste köpa minst 31,5 m virke.
10
1 • ta l o c h r ä k n i n g
Matematik1a_Tal.indd 10
2011-04-19 14.14
I följande uppgifter ska du först teckna ett uttryck och sedan beräkna det med räknare eller med huvudräkning. 1 06 Nina ska räkna ihop sina slag efter tävlingen i minigolf. På två banor slog hon i bollen på första slaget, på fyra banor krävdes tre slag och på tre banor sju slag. Hur många slag slog hon sammanlagt? 1 07 Fredrik köper säkerhetsutrustning åt sig och sina två arbetskamrater. Både Lars och Mikael ska ha hörselkåpor för 199 kr och visir för 269 kr. Själv behöver Fredrik en skyddshjälm för 249 kr. Hur mycket ska han betala sammanlagt? 1 08 Vid ett bygge ska man lägga kablar. Det behövs tre stycken kablar som är 179 m och två som är 75 m. Hur mycket kabel fi nns det sedan kvar av en rulle med 1 000 m? 1 09 Artur köper två paket skruvar för 99 kr/st och tre paket spik som kostar hälften så mycket per paket. Han betalar med en 500-kronors sedel. Hur mycket får han tillbaka? 1 10 Maarit vill ha en stor hamburgare och strips, Charles en ostburgare och en liten hamburgare och Liza en stor hamburgare. Maarit och Liza vill dessutom ha var sin glass och alla tre vill ha var sin medelstor Coca Cola. a) Teckna ett uttryck för hur mycket var och en ska betala.
b) Liza är den enda som har peng ar så hon betalar allt ihop. Hon har 300 kr. Räcker pengarna? Om inte, ge förslag på vad de kan byta ut.
Meny kr Liten hamburgare (90 g) 29 kr 59 g) (150 Stor hamburgare kr 49 Ostburgare (120 g) 14 kr Strips Coca Cola, liten Coca Cola, medel Coca Cola, stor Glass
14 kr 16 kr 19 kr 22 kr
1 • ta l o c h r ä k n i n g
Matematik1a_Tal.indd 11
11
2011-04-19 14.14
3 01 En grupp elever frågade lärarna vid en skola hur många minuter de använde internet under en dag. Resultatet ser du i diagrammet.
a) Hur många lärare använde internet 90 minuter per dag? b) Hur många minuter var det vanligaste alternativet?
c) Hur många lärare tillfrågades?
Antal lärare 7 6 5 4 3 2 1 0
0
60 90 120 150
30
Antal minuter
3 02 Antalet motorcyklar som nyregistrerades mellan januari 2008 och januari 2011 visas i linjediagrammet nedan. a) När registrerades flest motorcyklar?
b) När registrerades minst antal motorcyklar? Ge en förklaring till det.
c) När var nyregistreringen av motorcyklar ungefär 2 000? Nyregistrerade MC i Sverige Antal 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 2009
2010
303 Nedanstående diagram visar för delningen av antalet anställda i olika sektorer i Sverige år 2010. a) Inom vilken sektor arbetar flest personer?
b) Uppskatta hur många procent som arbetar inom kommun och landsting.
78
Tid
2011
Statlig Landsting
Kommunal Privat
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
Matematik1a_Statistik.indd 78
2011-04-19 14.27
3 04 Vad är det för fel på linjediagrammet? Frekvens 30 25
20 15
10 5
0
5
10
20
25
27
30
Dagar
3 05 Ett bryggeri producerade 1,2 miljoner liter öl och läsk år 1990. År 2000 var produktionen 1,7 miljoner liter, medan den var 2,4 miljoner liter år 2010. Bryggeriet illustrerade produktionsutvecklingen på detta sätt.
a) Ge synpunkter på det sätt som bryggeriet beskriver produktionsutvecklingen.
b) Hur stor var den procentuella förändringen från 1990 till 2010? + 3 06 Varje dag under september 1998 mättes regnmängden på en ort i norra Jämtland. I nedanstående diagram presenteras resultatet. a) Under hur många dagar föll det mer än 10 mm regn?
b) Någon påstår felaktigt följande: ”Diagrammet visar att det föll mest regn under de första dagarna i månaden.”
Förklara vad det är för fel i detta påstående.
c) Ungefär hur många mm regn föll det totalt under månaden?
antal dagar 16 14 12 10 8 6 4 2 0
mm regn 5
10
15
20
25
Np Ma A vt 1999
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
Matematik1a_Statistik.indd 79
79
2011-04-19 14.27
709 Love jobbar extra som telefonintervjuare. Hans månadslön är proportionell mot antalet personer som han intervjuar.
a) Hur mycket tjänar Love om han under en månad intervjuar 150 personer?
b) Hur mycket får han betalt för varje intervjuad person? kr
Lön
10 000
9 000 8 000 7 000
6 000
5 000
4 000 3 000
2 000 1 000
0
Antal intervjuer 50
100
150
200
250
710 Priset för muttrar är proportionellt mot vikten. Priset är 14 kr/hg.
a) Hur mycket ska du betala om du köper 2,5 hg muttrar?
b) Skriv en formel som visar vad du ska betala om du köper x hg muttrar.
c) Hur mycket muttrar kan man köpa för 21 kr? 7 11 Antalet skruvar och priset för dem ser du i tabellen. Undersök om priset är propor tionellt mot antalet skruvar.
Antal skruvar Pris (kr) 200 69,9 150 47,5 25 18
7 12 Laleh betalar 50 kr varje gång som hon ser en film på filmklubben. Mia som har köpt ett medlemskort för 200 kr betalar bara 20 kr för varje film hon ser. Är Lalehs eller Mias kostnad en proportionalitet? Motivera ditt svar. 7 13 Enligt Ohms lag är spänningen U volt proportionell mot strömstyrkan I ampere.
a) Skriv en formel för sambandet mellan spänning och ström i en krets om proportionalitetskonstanten, som kallas resistens, är 30 ohm. b) Bestäm spänningen då strömstyrkan är 0,4 A.
c) Hur stor är strömstyrkan om spänningen är 18 V?
220
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
Matematik1a_Samband.indd 220
2011-04-19 14.54
+ 7 14 Familjen Svenssons energiförbrukning är 24 600 kWh per år och de betalar 23 124 kr exklusive fasta avgifter för elen. Deras grannar förbrukar 21 300 kWh per år. Hur mycket ska grannarna betala för sin elförbrukning om priset är proportionellt mot förbrukningen? + 7 15 Massan m hos en bit järn är proportionell mot volymen V. En järnbit som väger 177 g har volymen 22,5 cm3. Hur mycket väger då en järnbit med volymen 90,0 cm3? två l astb i l ar u ppdrag
Följande diagram beskriver två lastbilar A och B. 1
2
3
Motorstyrka
Kostnad
Bränsleförbrukning A
A
B
A
B
B
Storlek
Ålder
Lastkapacitet
a Diagram 1 visar att lastbil A är dyrare än lastbil B. Vad visar diagrammet mer? a Är följande påståenden sanna eller falska? Motivera ditt svar. 1) Den äldsta lastbilen är billigast.
2) Lastbilen med starkast motor är mindre.
3) Den större lastbilen är äldre.
4) Den dyrare lastbilen kan lasta mer. a Rita av diagrammen här nedanför. Markera två punkter i varje diagram som får representera lastbil A och lastbil B. Motivera dina diagram. Ålder
Bränsleförbrukning
Motorstyrka
Storlek
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
Matematik1a_Samband.indd 221
221
2011-04-19 14.54
4 37 Mimmi förvarar trasiga lampor ihop med nya i en låda. Hon behöver tre nya lampor till sin badrumsbelysning. Hur stor är chansen att hon direkt får belysningen att fungera om det finns 5 nya och 12 trasiga lampor i lådan? 4 38 Du drar tre kort ur en vanlig kortlek. Vad är sannolikheten att du får triss i ess om du
a) varje gång lägger tillbaka det dragna kortet i kortleken innan du tar ett nytt?
b) tar alla tre kort på en gång?
+ 4 39 Är följande två händelser beroende eller oberoende, eller kan de vara både och? Motivera. a) Att få klave även andra gången om man kastar ett mynt två gånger.
b) Att smöret hamnar nedåt båda gångerna om man tappar sin smörgås två gånger.
c) Att dra två kungar ur en kortlek utan återläggning. d) Att missa två bussar i rad.
e) Att vara med om samma typ av olycka två gånger. f) Att vinna på två trisslotter.
+ 4 40 ”Betala 10 kr och dra tre kort ur en vanlig kortlek. Om alla tre korten har samma färg (röd eller svart) vinner du 200 kr.” Hur ska du göra? Spela eller avstå? Motivera ditt val med resonemang och beräkningar! Spel a ku l a u ppdrag
Arvid och Frans spelar ett spel. De lägger tre kulor, två röda och en blå, i en burk. Arvid skakar burken och Frans drar kulor utan att titta. Först drar han en kula och sedan en till utan att lägga tillbaka den första. Om Frans får två kulor av samma färg så vinner han och annars vinner Arvid. a Är det lika stor chans för båda att vinna? a Därefter lägger de dit en blå kula till. Ändras chansen för Frans att vinna? I så fall hur? a Ge ett förslag på hur många kulor man ska ta totalt, och hur många av varje färg för att spelet ska bli rättvist.
140
4 • san noli kh etslära
Matematik1a_Sannolikhet.indd 140
2011-04-19 14.33
Välj rätt svar 1 Hur stor är sannolikheten att Maja tar en röd kula ur påsen? 5 3 1 X. 2. 1. 8 8 2
2 Maja tar en röd kula. Hur stor är sannolikheten att nästa kula hon tar också blir en röd? 2 3 2 X. 2. 1. 8 7 7 3 Vad är komplementhändelsen till fråga 1?
1. Hon tar en röd X. Hon tar en röd eller vit kula 2. Hon tar en vit 4 Evelina kastar en tärning två gånger och får en etta båda gångerna. Hur stor är sannolikheten att hon även får en etta i nästa kast? 1 1 1 1. > X. < 2. 9 0 6 6 6 8 1 5 Niklas ska snurra på lyckohjulet. Ska 7 2 han välja högre eller lägre än 5 för att ha störst chans att vinna? 6 3 5 4 1. lägre
X. högre
2. lika stor chans på båda
6 Ludvig ska slå i en spik med ett slag. Det är 20 % chans att han lyckas. Hur stor chans är det att han lyckas slå i två spikar med två slag? 1. 40 %
X. 4 %
2. 20 %
7 Hur högt är oddset att Ludvig misslyckas slå i två spikar på två slag? 1. 1,04
X. 1,25
2. 1,56
8 Hur stor är sannolikheten att få två kungar när man drar två kort ur en kortlek 2 12 8 1. X. 2. 52 ⋅ 52 52 ⋅ 51 52 ⋅ 51 9 Vilket är mest troligt?
1. Du vinner ett tärningsspel med två andra deltagare. X. Du vinner i ett lotteri med 30 % vinstchans. 2. Du drar ett kort högre än nio ur en kortlek.
4 • san noli kh etslära
Matematik1a_Sannolikhet.indd 141
141
2011-04-19 14.33
Blandade övningar 5
6 45 Du har fem minuter på dig att lösa följande uppgifter 1 Vilket prefix kan du byta följande potenser mot? a) 103
b) 10-3
c) 106
2 Vilken eller vilka av följande volymenhet är lika med 1 milliliter? 1 m3
1 dm3
1 cm3
1 mm3
1 000 mm3
3 Beskriv hur du gör när du ska beräkna omkretsen av en cirkel med radien 5 cm? 4 Hur ska du göra när du ska omvandla 2,1 km till meter? 5 En bil kör 18 km på 20 minuter. Bestäm medelhastigheten. Omvandla
646 a) 37 mg = … g
b) 0,3 kg = … mg
647 a) 72 mm2 = … cm2 b) 0,5 m3 = … liter 6 48 Skriv med lämpligt prefix
a) 2 · 10–9 s
b) 12 · 1012 m
c) 7 896 W = … kW c) 100 m/s = … km/h c) 9,2 · 10–3 g
649 En snickare har en 5 m lång bräda. Först sågar han av 2,4 m, sedan 85 cm och därefter 1 m och 2 dm. Hur lång är den bit som är kvar? 650 Gissa omkretsen på följande figurer. Jämför med en klass kompis och kontrollera sedan din gissning genom att mäta.
6 51 Aina ska lägga ny matta och sätta nya golvlister i ett sovrum som är 6,30 m långt och 3,45 m brett. a) Hur många kvadratmeter behöver hon av mattan? b) Hur många meter list behöver hon?
202
6 • geometri och enheter
Matematik1a_Geometri_enheter.indd 202
2011-04-19 14.51
652 En plåt har arean 1,25 m2. Hur många bitar med arean 25 cm2 kan man maximalt göra av plåten? 6 53 Beräkna volymen och begränsningsarean av en liten tändsticksask (Solstickan). 6 54 a) Spikars längd anges numera oftast i mm men fortfarande förekommer det gamla måttet tum. Ordna följande spikar efter ökande längd. Räkna med att 1 tum är 25,4 mm. 50 mm dyckert
2 1/2 tums trådspik 35 mm pappspik
65 mm bandad spik 1 1/2 tums dyckert 40 mm ankarspik 3 tums trådspik
b) Enligt en omvandlingstabell i byggvaruhuset motsvarar 3 1/2-tums bandad spik 90 mm och 1 1/2 -tums dyckert 38 mm. Hur många mm motsvarar 1 tum i dessa fall? Varför skiljer sig värdet från det givna i a)-uppgiften?
6 • geometri och enheter
Matematik1a_Geometri_enheter.indd 203
203
2011-04-19 14.51
+ 8 77 Gunilla och Anna diskuterar:
– Jag har en rätvinklig triangel med den ena kateten 14 cm och den andra kateten 24 cm. Om jag ska beräkna hypotenusan så använder jag Pythagoras sats.
– Men det går väl inte?
– Jag vill hellre beräkna hypotenusan med trigonometri.
Kan båda ha rätt? Om Anna har rätt så visa hur man kan beräkna hypotenusan med hjälp av trigonometri.
+ 8 78 Rita följande figurer om det går. Om det inte går, motivera varför. a) En trubbvinklig triangel b) En rätvinklig liksidig triangel c) En spetsvinklig likbent triangel
+ 8 79 Anton bygger om i sin källare och ska köpa golvfärg. På ritningen som är i skala 1:150 är golvet i gillestugan 2,2 cm brett och 3,1 cm långt. a) Till hur stor golvarea måste han köpa färg om han ska måla gillestugegolvet? b) Golvarean i pannrummet är 2,8 cm2 på ritningen. Hur stor är arean i verkligheten?
[foto]
276
8 • vinklar och trigonometri
Matematik1a_Vinklar_trigonometri.indd 276
2011-04-19 15.00
+ 8 80 Visa att triangeln som bildas av sträckorna mellan punkterna (–3, 2), (–1, 4) och (–4, 5) är likbent. + 8 81 Bestäm vinklarna x och y i figuren.
y x
38
81
79
+ 8 82 I figuren nedan finns två vektorer ritade. Vad stämmer för deras resultant? Du ska kunna avgöra det utan att mäta i figuren. A 670 N och 62° från vågräta planet. B 320 N och 42° från vågräta planet.
C 670 N och 42° från vågräta planet. Lodräta planet
430 N
350 N Vågräta planet (mm)
+ 883 Avståndet mellan två motstående sidor på en mutter kallas nyckelvidd. Beräkna mutterns sida om nyckelvidden är 12 mm.
120° 12
8 • vinklar och trigonometri
Matematik1a_Vinklar_trigonometri.indd 277
277
2011-04-19 15.00
Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar C
Triangelns vinkelsumma Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180°
A
B
CC
Likformiga trianglar
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
4,0 4,0
5,0 5,0
FF
2,0 2,0
Matematik 1a Gul för Bygg- och anläggningsprogrammet, El- och energiprogrammet, Fordons- och transportprogrammet, Industritekniska programmet och VVS- och fastighetsprogrammet.
AC BC AB = = FE DE DF CC
Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
EE AA
BB
Pythagoras sats a +b =c 2
2
2
katet a
FF
• en Modell för varje viktigt delmoment
DD
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation • Blandade övningar på tre nivåer
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
hypotenusa c
Matematik 1a
I likformiga trianglar är DD a motsvarande vinklar lika A EE BB sidor lika. a Aförhållandet mellan motsvarande
Matematik 1a
Matematik 1a PROGRAM UPPDRAG MODELLER
b katet
I samma serie finns Matematik 1a Grön (Barn-och fritidsprogrammet, Naturbruks programmet, Vård- och omsorgsprogrammet)
d = ( x2 − x 1 ) + ( y2 − y 1 ) där d är avståndet mellan punkterna (x1 , y1) och (x2 , y2). 2
2
Tangens, sinus och cosinus För de spetsiga vinklarna v i rätvinkliga trianglar gäller att motstående katet tan v = usa ten närliggande katet po motstående sin v = cos v =
motstående katet hypotenusa
närliggande katet
hy
v
Matematik 1a Orange (Handels- och administrationsprogrammet, Hantverksprogrammet, Hotell- och turismprogrammet, Restaurangoch livsmedelsprogrammet)
katet till v
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
närliggande katet till v ISBN 978-91-523-0808-0
hypotenusa (523-4092-9)
MatematikA_omslag1gul.indd 1
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Avståndsformeln
GUL
2016-03-08 15:28