9789147112128

teoretisk som en tillämpad synvinkel. Den lämpar sig mycket väl för en första kurs i ämnet på högskolenivå, t.ex. inom högskoleoch civilingenjörsutbildningar. Det är en av landets mest väletablerade läroböcker på området och bygger på material som har utvecklats i mer än 20 år i författarens egen undervisning.

Den nya femte upplagan har moderniserats både till form och till innehåll för att så bra som möjligt svara mot lärares och studenters behov av en komplett och aktuell kursbok.

Till faktaboken finns också en övningsbok med en stor mängd övningar som tränar studentens förmåga att förstå och tillämpa innehållet i bokens samtliga kapitel.

Modern Reglerteknik består av 24 kapitel indelade i

Bertil Thomas är docent vid Chalmers Tekniska Högskola.

Modern Reglerteknik Bertil Thomas

Bertil Thomas

fem delar: Den första delen ger en allmän introduktion till ämnet.

Del 2–4 behandlar grundläggande reglerteori. Här finns bland annat avsnitt om modellering, laplacetransformering, frekvensanalys, dimensionering av reglersystem, tillståndsmodeller, tidsdiskret reglering och fuzzy control.

Bokens avslutande del tar upp praktisk reglerteknik (komponenter, givare, signalöverföring med mera) samt simulering av reglersystem med Matlab och Simulink. Boken är främst avsedd för reglertekniska kurser på högskole- och civilingenjörsutbildningar.

Ett appendix sammanfattar den nödvändiga matematiska bakgrunden.

Modern Reglerteknik

Modern Reglerteknik behandlar reglertekniken, såväl ur en

Best.nr 47-11212-8 Tryck.nr 47-11212-8

9789147112128c1f.indd 1

4/18/16 5:20 PM

Modern Reglerteknik

Bertil Thomas

Liber

321_47-11212-8_Modern.indb 1

4/13/16 11:24 PM

Innehåll Del 1 Inledning 1 1. Vad är reglerteknik? 2

Del 2 Grundläggande systemteori 71

1.1 Vad är reglerteknik? 2 1.2 Komponenter och definitioner 6 1.3 Blockschema 10

5. Differentialekvationer 72

2. Några användningsområden för reglerteknik 13

6. Laplacetransformer och överföringsfunktioner 78

2.1 Processindustri 13 2.2 Verkstadsindustri 16 2.3 Fartyg, flygplan m m 17 2.4 Bilar och bussar 19 2.5 Konsumentprodukter 22 2.6 Människokroppen 23 2.7 Framtida tillämpningar 25 2.8 För- och nackdelar med återkoppling 28

6.1 Laplacetransformen − kortfattad teori 79 6.2 Bestämning av tidsförlopp med laplacetransformen 84 6.3 Sammanfattning 87 6.4 Dynamik hos några vanligt förekommande processmodeller 93

3. Egenskaper hos processer och reglersystem 31 3.1 Statiska och dynamiska egenskaper 31 3.2 Processtyper och stegsvar 33 3.3 Egenskaper hos återkopplade system 40 3.4 Begreppet typsiffra 47 4. Klassiska reglerprinciper 48 4.1 Inledning 48 4.2 Tvålägesreglering 49 4.3 Flerstegsreglering 52 4.4 Proportionell reglering 54 4.5 Integrerande reglering 59 4.6 PI-reglering 64 4.7 Deriverande verkan och PID-reglering 65 4.8 PD-reglering 68 4.9 Sammanfattning 69

321_47-11212-8_Modern.indb 3

5.1 Inledning 72 5.2 Beräkning av stegsvar 73

7. Modellering och identifiering 99 7.1 Inledning 99 7.2 Mekaniska system 101 7.3 Elektriska system 104 7.4 Temperaturreglering 107 7.5 Koncentrations- och nivåreglering 111 7.6 Stegsvarsidentifiering 115 7.7 Linearisering av olineära processer 121 8. Blockschemareduktion 124 8.1 Regler för blockschemareduktion 124 8.2 Ekvationsmetoden 130 9. Frekvensanalys 133 9.1 Sinusformade signaler i lineära system 133 9.2 Bodediagram – inledning 137 9.3 Bodediagrammets asymptoter 142 9.4 Nyquistdiagram 154 9.5 Minimumfassystem 158

4/13/16 11:24 PM

Del 3 Analoga regler system 159

14. Tillståndsmodeller 269

14.1 Inledning 269 14.2 Begreppet tillstånd 273 14.3 Tillståndsmodeller för tre system 275 10. Beräkning av egenskaper hos 14.4 Fördelar med tillståndsmodeller 278 reglersystem 160 14.5 Transformering av överföringsfunktioner till tillståndsmodeller 280 10.1 Stabilitet 160 14.6 Transformering av tillståndsmodeller 10.2 Statisk noggrannhet 170 till överförings­funktioner 283 10.3 Snabbhet 176 14.7 Transformering mellan olika 10.4 Störningsdämpning 177 tillståndsformer 284 10.5 Styrsignalaktivitet 184 14.8 Olineära system på tillståndsform 285 10.6 Robusthet och känslighet 185 14.9 Simulering av system på 10.7 Något om teoretiska begränsningar 189 tillståndsform 291 10.8 Det slutna systemets 14.10 Tillståndsåterkoppling 292 frekvensegenskaper 190 10.9 Sammanfattning 191 11. Dimensionering av analoga reglersystem 194 11.1 Inledning 194 11.2 Tumregelmetoder 196 11.3 Dimensionering med Bodediagram 204 11.4 Kompenseringsfilter 220 12. Mer om dimensionering av analoga regulatorer 226 12.1 Inledning 226 12.2 Olika PID-strukturer 227 12.3 Processer för vilka PID- regulatorn är mindre lämplig 232 12.4 Modellbaserad dimensionering 235 12.5 Reglerprinciper med fler än en givare 243 13.

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Del 4 Tidsdiskret reglering 295 15. Tidsdiskret reglering – introduktion 296

15.1 Inledning 296 15.2 Komponenter i tidsdiskreta reglersystem 297 15.3 Reglerprinciper för tidsdiskreta regulatorer 300 15.4 Tidsdiskret PID-reglering 301 16. z-transformen och tidsdiskreta överföringsfunktioner 304

16.1 Inledning 304 16.2 z-transformen – definition och kortfattad teori 306 16.3 Bestämning av tidsförlopp med z-transformen 309 Multivariabel reglering 249 16.4 Bestämning av tidsförlopp med iterativa beräkningar 314 Exempel på multivariabla processer 249 Modeller för multivariabla 17. Bestämning av tidsdiskreta processer 252 överföringsfunktioner 318 Reglering av multivariabla 17.1 Inledning 318 processer 254 17.2 Diskretisering 320 Mått på interaktionen 260 17.3 Identifiering med minsta Reglering med särkopplingsfilter 262 kvadratmetoden 322 Ett alternativt särkopplingsfilter 268 17.4 Minsta kvadratmetoden – praktiska aspekter 329

321_47-11212-8_Modern.indb 4

4/13/16 11:24 PM

18. Beräkning av egenskaper hos tidsdiskreta system 333 18.1 Inledande exempel 333 18.2 Blockschemareduktion 336 18.3 Frekvensegenskaper 337 18.4 Stabilitet 343 18.5 Statisk noggrannhet 347 18.6 Dynamik och snabbhet 348 19. Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer 353 19.1 Transformering av analoga överföringsfunktioner 353 19.2 Polplaceringsmetoden 358 19.3 Var ska polerna placeras? 362 19.4 Eliminering av kvarstående fel 366 19.5 Polplaceringsmetoden – fördelar och nackdelar 370 19.6 Adaptiv och självinställande reglering 371 20. Fuzzy Control 377 20.1 Inledning 377 20.2 Oskarpa mängder 379 20.3 Tillhörighetsfunktioner 381 20.4 Fuzzy-regler 382 20.5 Fuzzy-regulatorns funktion 384 20.6 En jämförelse mellan fuzzy control och konventionell reglering 388 20.7 Fuzzy Control – Fördjupning 393 20.8 Fördelar och nackdelar, användningsområden m m 399

Del 5 Givare, regulatorer, komponenter m m 403 21. Givare och mätdon 404 21.1 Egenskaper hos givare 405 21.2 Överföring av mätvärden 408 21.3 Temperaturgivare 409 21.4 Flödesgivare 416 21.5 Tryckgivare 422 21.6 Nivågivare 425

321_47-11212-8_Modern.indb 5

21.7 Positionsgivare 428 21.8 Varvtalsgivare 430 21.9 Kalibrering av givare och ­mätsystem 432 22. Praktiska regulatorer, fältbussar m m 437 22.1 Hårdvara för implementering av regulatorer 438 22.2 Exempel på en kommersiell ­regulator 443 22.3 Ytterligare funktioner i regulatorer 446 22.4 Programregulatorer 451 22.5 Reglerbristkostnader 452 22.6 Kommunikation med fältbussar 454 23. Styrdon, reglerventiler, instrumentsymboler 461 23.1 Inledning 461 23.2 Reglerventiler 462 23.3 Några ventiltyper 466 23.4 Ställdon 469 23.5 Kavitation 471 23.6 Något om instrumentscheman (P&I-diagram) 472 24. Simulering av reglersystem med Matlab och Simulink 477 24.1 24.2 24.3 24.4

Matlab – kort introduktion 477 Matlab Control Toolbox 481 Något om Simulink 495 Simulering av störningar 503

Appendix 505 Komplexa tal 506 Lineär algebra – några formler 508 Bevis för några satser 509 Partialbråksuppdelning 511 Bodes integralsats 512 Kristianssons-Lennartsons tumregler 513 Amigo-metoden 514 De viktigaste laplacetransformerna 515 De viktigaste z-transformerna 516 Tabell för diskretisering 517 Sakregister 518

4/13/16 11:24 PM

Förord Reglertekniken är ett tvärvetenskapligt ämne inom tekniken. Det kommer till användning i nästan alla teknikområden: kemiteknik, energiteknik, fordonsteknik, elkraftteknik, elektronik, verkstadsteknik, fartyg, flygplan, konsumentprodukter m m. Reglertekniken är också ett ämne som ”knyter ihop” flera andra teknikämnen. För att bli en duktig reglertekniker räcker det inte att kunna reglerteknik; man måste också ha kunskaper i ellära, mätteknik, datorteknik, fysik och matematik. Icke minst måste man ha kunskaper om de processer som ska regleras. Allt detta gör reglertekniken till ett mycket intressant, men också något speciellt ämne.

De matematiska delarna av reglertekniken kan till en början upplevas som ganska abstrakta. För att inte hela ämnet ska upplevas som för abstrakt inleds denna bok därför med en fyllig och lättläst inledning, där olika tillämpningar presenteras och där olika regler­ principer intuitivt förklaras.

Huvuddelen av boken behandlar därefter den traditionella analoga och digitala regler­ tekniken, samt den matematik som används i dessa sammanhang. Här kan samtidigt påpekas att den matematik som används i reglertekniken också är användbar i många andra fall, där man arbetar med simulering, modellering och analys av dynamiska system. Några exempel på detta är modellering och simulering av kemiska processer, s­ imulering av fjädringsdynamiken i bilar, simulering av ekologiska förlopp, ekonomiska system m m.

För att fylla ut luckan mellan reglertekniken och angränsande ämnen (mätteknik, fysik, styrteknik m m) samt för att fylla ut luckan mellan teori och praktik innehåller boken också mindre avsnitt om modellering, givarteknik, praktiska regulatorer och styrdon.

Författaren önskar tacka alla dem som givit värdefulla synpunkter på innehållet i b ­ oken, det gäller såväl elever på Chalmers som lärare och kolleger på samma skola samt k­ olleger på andra högskolor i Sveriges avlånga land. Det gäller också personalen på b ­ okförlaget ­Liber i Stockholm. Eftersom det blivit ganska många som lämnat synpunkter på b ­ oken under åren väljer jag att inte nämna någon här. Ingen nämnd, ingen glömd, som det ­brukar heta.

I denna nya upplaga av boken har följande förändringar gjorts:

• Ett avsnitt har tillkommit i kapitel 2.

• Ett stort antal förtydliganden och mindre förbättringar har gjorts i alla kapitel.

• Avdelningen om praktisk reglerteknik har moderniserats.

• Kapitlet om dimensioneringsmetoder för analoga regulatorer har förbättrats med tydligare arbetsmetodiker mm.

Göteborg, februari 2016 Bertil Thomas

321_47-11212-8_Modern.indb 6

4/13/16 11:24 PM

DEL 1

Inledning 1 Vad är reglerteknik?

2 Några användningsområden för reglerteknik 3 Egenskaper hos processer och reglersystem 4 Klassiska reglerprinciper

1 . VA D Ä R R E G L E R T E K N I K ?

321_47-11212-8_Modern.indb 1

1

4/13/16 11:24 PM

1. Vad är reglerteknik?

I detta kapitel ska vi ge en kort introduktion till reglertekniken. Vi kommer att nämna några exempel på tekniska system där reglerteknik kommer till användning och se hur dessa system kan vara uppbyggda.

Vi kommer också att introducera ett antal nya begrepp som hör till ämnet. Speciellt visas hur olika reglersystem kan beskrivas schematiskt med hjälp av blockscheman.

1.1 Vad är reglerteknik?

Reglerteknik brukar definieras som läran om automatiska system och speciellt läran om återkopplade* automatiska system. Med automatiska system menar man system som på något sätt sköter sig själva utan mänsklig övervakning. Reglerteknik är ett tvärvetenskapligt ämne inom tekniken. Att det är tvärvetenskapligt betyder att det används inom många branscher såsom farkoster, robotar, kemiteknik, energiteknik, rymdteknik, elektronik, elkraftteknik, fastighetsautomation och verkstadsteknik.

Det betyder också att reglerteknik är ett ämne som studeras i större eller mindre omfattning på de flesta ingenjörsprogram, t ex inom elektroteknik, mekatronik, kemi, data, teknisk fysik och maskin. Teorierna inom ämnet kan dock även användas för att analysera återkopplade system inom många andra områden, t ex biologi, ekonomi och ekologi.

De flesta tillämpningar inom reglertekniken handlar om hur man ska konstruera system för att automatiskt hålla kontroll på olika variabler i olika tekniska system. Några typiska variabler som ofta behöver hållas kontroll på är varvtal, positioner, temperaturer, tryck, flöden, nivåer och koncentrationer. För att ge bättre uppfattning om hur reglersystem kan vara konstruerade ska vi börja med att kortfattat ge tre exempel på typiska tillämpningar: Reglering av temperaturen i bostadshus De flesta moderna bostäder är idag försedda med system för temperaturreglering. Syftet med dessa system är att hålla inomhustemperaturen så konstant som möjligt, trots störningar i form av varierande utetemperatur. *) Begreppet återkoppling och återkopplade system definieras längre fram i kapitlet.

2

321_47-11212-8_Modern.indb 2

4/13/16 11:24 PM

System för temperaturreglering i bostäder kan byggas på många sätt. Gemensamt för dem är att de består av något slags reglerenhet som kan öka och minska värmeeffekten på de värmeelement som finns i huset.

1 = Utetemperatur – givare 2, 3 = Innetemperatur – givare

1

Element

2

3 Reglerenhet

För att reglerenheten ska kunna veta om värmeeffekten ska ökas eller minskas måste den hela tiden få information om det aktuella tillståndet i huset. Systemet innehåller därför också en eller flera temperaturgivare, som kan vara placerade såväl inomhus som utomhus. Dessa givare ger kontinuerligt information till reglerenheten om aktuell temperatur i och utanför huset. Om reglersystemet fungerar bra ska man inte kunna märka några större variationer i temperaturen inomhus, även om temperaturen utomhus varierar kraftigt. Reglersystem för klimatreglering i större byggnader (t ex sjukhus) kan bli mycket komplicerade och kräva hundratals givare.

Autopiloter i flygplan I moderna trafikflygplan finns nästan alltid automatiska system för reglering av flyghöjden, flygriktningen, flygplanets lutningsvinkel och hastighet. Ett vanligt namn på dessa reglersystem är autopiloter. Liksom i fallet med temperaturreglering består en autopilot av en reglerenhet som i detta fallet, ständigt justerar vinklarna på flygplanets roder (skevroder, höjdroder, sidroder m m), varvtalet på flygplanets motorer m m. Autopiloten utför alltså ungefär samma arbete som en mänsklig pilot skulle ha gjort. Reglerenheten i en autopilot får hela tiden information från olika givare om flygplanets flyghöjd, kompassriktning, lutning, acceleration etc.

De vanliga autopiloterna i ett flygplan används för att sköta flygningen då planet väl kommit upp på önskad flyghöjd. Förutom detta finns ofta speciella reglersystem för start och landning, t ex system för att ta ned flygplan på marken helt automatiskt utan manuellt ingripande. Vid 1 . Va d ä r r e g l e r t e k n i k ?

321_47-11212-8_Modern.indb 3

3

4/13/16 11:24 PM

helautomatisk landning får planet information om sitt aktuella läge från radiosändare placerade längs inflygningssträckan. Planet ska följa en given linje som lutar 2,5−3° mot horisontalplanet. Om flygplanet ligger ur kurs aktiveras sidroder, skevroder och höjdroder automatiskt för att korrigera felet.

Höjdroder

Stabilisator

Några av styrdonen på ett flygplan

Skevroder

Sidroder

Motor Skevroder

Nivåreglering i behållare Ett något enklare reglersystem än dem som vi hittills diskuterat är ett system för reglering av vätskenivån i en behållare. Syftet är att hålla vätskenivån i en behållare så konstant som möjligt trots att förbrukningen varierar. Det kan handla om nivåreglering i vattentorn, i behållare inom kemisk industri, i ångpannor m m. Reglerenhetens uppgift i det aktuella fallet är att bestämma hur stort inflödet till behållaren ska vara. Regler­ enheten ska alltså kunna påverka en pump eller en reglerventil som styr inflödet till behållaren. För att systemet ska fungera krävs en eller flera givare som informerar reglerenheten om hur stor den aktuella nivån i behållaren är, hur stort utflödet är m m, se figur.

Pump

1 = Nivågivare 2 = Flödesgivare 3 = Styrsignal till pump

3 Reglerenhet

Nivå U 1 2

Variabelt utflöde U

t

4

321_47-11212-8_Modern.indb 4

4/13/16 11:24 PM

Återkopplade system Karakteristiskt för de flesta reglersystem är, som vi sett av ovanstående exempel, att en eller flera storheter i ett tekniskt system ska kontrolleras på ett föreskrivet sätt. Vad som ska kontrolleras skiljer sig från fall till fall.

I det första exemplet var det temperaturen i en bostad som skulle regleras.

Det var alltså temperaturen som var den reglerade storheten. I det andra exemplet var det bl a flygplanets kursriktning och flyghöjd som skulle regleras. Dessa båda variabler var alltså två av systemets reglerade storheter.

Rent allmänt kan ett reglersystem beskrivas som ett informationsbehandlande system som via en eller flera givare får kännedom om ”tillståndet” i en given ”process” och som sedan använder denna information för att styra processen i önskad riktning. Styrningen sker med hjälp av ett eller flera styrdon. Se nedanstående figur.

Mätsignaler (från givare i anslutning till aktuell process)

Styrsignaler (till olika styrdon, motorer, ventiler mm)

Reglerenhet (Regulator)

Med ett återkopplat system menas ett system där man med givare mäter just den eller de variabler som man vill reglera, och använder den informationen för att bestämma lämpliga styrsignaler. Nivåreglersystemet i ovanstående exempel är ett återkopplat reglersystem, eftersom man bl a mäter nivån (den reglerade storheten) för att kunna bestämma lämpligt varvtal på pumpen till inflödet. Som vi ska se är de flesta reglersystem återkopplade eftersom detta normalt ger bäst reglernoggrannhet.

Reglerenhet (regulator)

Styrdon (ventiler, motorer mm)

Process (t ex flygplan eller bostad)

Reglerade storheter

Givare (mätning av reglerade storheter)

Schematisk figur på ett reglersystem med återkoppling

Själva reglerenheten (regulatorn), som är ”hjärnan” i reglersystemet, innehåller ofta en inbyggd mikrodator. I mikrodatorn finns ett datorprogram som körs gång på gång, kanske fem gånger per sekund eller ännu oftare. Programmets uppgift är att med hjälp av inprogrammerade algoritmer beräkna lämpligt värde på aktuella styrsignaler. Programmet 1 . Va d ä r r e g l e r t e k n i k ?

321_47-11212-8_Modern.indb 5

5

4/13/16 11:24 PM

får information om tillståndet i processen via givare som är kopplade till mikrodatorns AD-omvandlare. De styrsignaler som regulatorn beräknar skickas sedan via DA-omvandlare ut till de styrdon som påverkar processen. AD- och DA-omvandlarna behövs eftersom datorn internt arbetar med binära signaler (nollor och ettor), medan givare och styrdon normalt arbetar med analoga signaler (t ex elektriska spännings- och strömsignaler).

Regulatorn kan också vara byggd med elektroniska komponenter (operationsförstärkare, motstånd, kondensatorer etc) eller med pneumatiska komponenter. Äldre regulatorer, som fortfarande förekommer inom industrin, byggdes ofta med elektroniska komponenter.

1.2 Komponenter och definitioner För att mer i detalj se hur ett traditionellt reglersystem kan vara uppbyggt samt för att introducera några nya begrepp ska vi studera ett enkelt system för temperaturreglering.

Processen som ska regleras utgörs av en vattentank med ett inflöde och ett lika stort utflöde. Det inkommande vattnets temperatur varierar mellan 10 °C och 20 °C. För att värma upp vattnet i tanken finns en elektrisk värmespiral. Vidare finns en omrörare, som ser till att det inkommande vattnet direkt blandar sig med det övriga vattnet. I figuren nedan visas processen utan reglersystem.

Vi ska bygga ett reglersystem för att hålla så konstant temperatur som möjligt på utflödet. Önskad temperatur är 40 °C. Eftersom inloppstemperaturen varierar måste systemet automatiskt kunna öka eller minska värmespiralens effekt vid behov.

Ti

Ti Tu

Värmespiral

20 10 t

Omrörare

Tank med variabel inloppstemperatur

För att bygga systemet behöver vi följande komponenter: Temperaturgivare. Eftersom temperaturen ska regleras behövs först och främst en temperaturgivare. Dess uppgift är att kontinuerligt ge en mät-

6

321_47-11212-8_Modern.indb 6

4/13/16 11:24 PM

signal som motsvarar temperaturen i utflödet. I ett elektriskt reglersystem är givaren av elektrisk typ, vilket innebär att den omvandlar mätvariabeln till en elektrisk signal, dvs en spänning eller en ström. Givare behandlas närmare i kapitel 21.

I vårt fall kan vi anta att temperaturgivaren ger en spänning, som inom ett visst arbetsområde är proportionell mot temperaturen. Ju högre temperatur, desto högre spänning, se figur.

Spänning Ug

Arbetsområde

°C

Temperatur

Börvärdesgivare. En börvärdesgivare är en anordning där man kan ställa in önskat värde på den variabel som ska regleras (det så kallade börvärdet), i detta fall önskad temperatur. Börvärdet kan t ex ställas in med en liten ratt eller med knappar. I vårt fall är börvärdet 40 °C. Börvärdesgivare kan byggas på många olika sätt, i det enklaste fallet räcker det med en vridpotentiometer. Börvärdesgivaren ger en elektrisk signal (elektrisk spänning) som i detta fall är proportionell mot önskad temperatur. Temperaturgivaren och börvärdesgivaren ska givetvis ha samma nollpunkt och skala så att dessa båda signaler sedan kan jämföras med varandra.

Jämförare. Med jämförare menas en anordning, som kan bestämma skillnaden mellan två storheter av samma slag, t ex två elektriska spänningar eller två pneumatiska tryck. I vårt fall behövs en anordning för att ta fram skillnaden mellan spänningen up från potentiometern och spänningen ug från givaren. En sådan anordning kan t ex byggas med hjälp av oprationsförstärkare och motstånd.

På jämförarens utgång får man en spänning vars storlek beror av skillnaden mellan den önskade temperaturen och den aktuella. Denna skillnad brukar kallas systemets reglerfel och betecknas med bokstaven e. up ug

Jämförare

1 . Va d ä r r e g l e r t e k n i k ?

321_47-11212-8_Modern.indb 7

e = up – ug

7

4/13/16 11:24 PM

Regulator. Som fundamental del i reglersystemet används en komponent som vi i denna bok kallar för regulator. I det aktuella systemet är regulatorns uppgift att med kännedom om det aktuella felet bestämma lämplig effekt till värmespiralen. Vid behov ska regulatorn automatiskt öka eller minska effekten till värmespiralen så att temperaturen T ligger så nära 40 °C som möjligt.

Det finns många olika typer av regulatorer som fungerar på olika sätt.

Vi väntar till senare kapitel med att beskriva den exakta funktionen hos dessa. Figuren nedan visar hur de olika komponenterna kopplas samman till ett fungerande reglersystem.

Ti

I Regulator e Jämförare up

Tu Elektrisk temperaturgivare

ug

Potentiometer

Vattentank med reglersystem*

Begrepp Några begrepp som ofta används inom reglertekniken är följande. För exakta definitioner av de olika begreppen hänvisas dock till svensk standard SS 4010601, utgiven av Sveriges Standardiseringskommission.

Reglerobjekt − den process eller det system som ska regleras.

Reglerad storhet − den storhet (variabel) som ska regleras i ett reglersystem.

Börvärde** − den reglerade storhetens önskade värde. Ärvärde − den reglerade storhetens verkliga (aktuella) värde.

*) I många fall är regulator, jämförare och börvärdesgivare sammanbyggda i en enda enhet.

Se kapitlet om praktiska regulatorer. ** Det omvandlade börvärdet, dvs signalen in till jämföraren, kallas ibland ledvärde eller referensvärde.

8

321_47-11212-8_Modern.indb 8

4/13/16 11:24 PM

Störning − en storhet som ger en oönskad påverkan på den reglerade storheten i ett reglersystem.

Styrsignal − storhet som används för att påverka den process som ska regleras. Öppet system − ett system där någon återförening (mätning resp jämförelse) av systemets utsignal inte sker. Värdet på utsignalen kan därför inte påverka styrningen.

Slutet system − ett system där utsignalen återförs och jämförs med börvärdet för att kunna påverka den aktuella styrsignalen. Detta kallas återkoppling.

Styrdon − ett don som används för att styra reglerobjeket. I ovanstående exempel utgörs styrdonet av värmespiralen. I andra fall kan styrdonet vara en reglerventil, en servomotor, en fläkt eller något annat.

Regleravvikelse (reglerfel) − skillnaden mellan börvärde och ärvärde.

För temperaturregleringssystemet ovan gäller följande: Reglerobjekt = vattentanken Reglerad storhet = temperaturen i vattentanken Börvärde = det inställda önskade värdet på temperaturen Ärvärde = aktuellt värde T på temperaturen i tanken Störning = inloppstemperaturen Ti Styrsignal = effekten P från värmespiralen Två ytterligare begrepp som ofta förekommer är följande: Enkelvariabla reglersystem − Reglersystem med en reglerad storhet och en styrsignal. Exempel: Nivåreglersystemet i avsnitt 1.1 och temperaturreglersystemet i detta avsnitt.

Multivariabla reglersystem − Reglersystem med flera storheter som samtidigt ska regleras och med flera styrsignaler. Exempel: Autopiloten i avsnitt 1.1.

I denna bok ska vi huvudsakligen studera enkelvariabla reglersystem.

1 . Va d ä r r e g l e r t e k n i k ?

321_47-11212-8_Modern.indb 9

9

4/13/16 11:24 PM

1.3 Blockschema I föregående avsnitt såg vi hur ett reglersystem för temperaturreglering kan byggas. Som vi ska se i nästa kapitel har de flesta reglersystem en likartad struktur − med standardkomponenter som givare, jämförare och regulatorer.

I detta avsnitt ska vi lära oss en metod att på ett schematiskt sätt beskriva funktionen hos ett reglersystem, nämligen att rita blockschema. Meningen med ett blockschema är att visa hur olika variabler i ett reglersystem påverkar varandra, utan att man för den skull behöver rita exakt hur varje del i systemet är uppbygd.

I ett blockschema används endast tre olika symboler, nämligen block, signaler och summeringspunkter (eller differenspunkter).

Block och signaler Block används för att beskriva de ingående delarna i ett reglersystem. Ett block kan t ex motsvara en viss process, en givare eller en regulator. Blocket ritas som en rektangel. Till och från blocket ritas en eller flera insignaler och utsignaler. Signalerna ritas som linjer, vilka är försedda med pilar för att ange signalriktningen. Signalerna motsvarar olika variabler i ett reglersystem, t ex temperaturvärden, elektriska spänningsnivåer och varvtal.

Insignaler

Block

Utsignaler

Insignaler

Block

Utsignaler

Insignalen eller insignalerna till ett block är variabler som på något sätt påverkar utsignalen eller utsignalerna. Det finns därför alltid ett samband mellan insignalerna till ett block och utsignalerna från ett block.

För vattentanken i avsnitt 1.2 gäller att temperaturen T påverkas av två variabler. Dels av inloppstemperaturen Ti, dels av effekten P från värmespiralen. Detta kan schematiskt beskrivas med nedanstående block.

Inloppstemperatur Ti Värmeeffekt P Inloppstemperatur Ti Värmeeffekt P

Vattentank Vattentank

Temperatur T Temperatur T

Längre fram ska vi uttrycka sambandet mellan in- och utsignalerna hos olika block på matematisk form.

10

321_47-11212-8_Modern.indb 10

4/13/16 11:24 PM

Summeringspunkter och differenspunkter Både summeringspunkten och differenspunkten symboliseras med en ring. Till denna ritas vanligtvis två insignaler men endast en utsignal.

Summeringspunkten visar att utsignalen är summan av de inkommande signalerna medan differenspunkten visar att utsignalen är differensen av de två inkommande signalerna. Insignalerna ska förses med tecken som visar om den aktuella symbolen anger en summeringspunkt eller en differenspunkt. a

+

a

+

+

a+b

a

+

a+b

a

+

+ b

a–b –

a–b

– b

Summeringspunkt b

Differenspunkt b

Summeringspunkt

Differenspunkt

En jämförare brukar ritas som en differenspunkt eftersom dess uppgift är att bestämma skillnaden mellan två signaler.

Ett fullständigt blockschema Nedanstående figur visar det fullständiga blockschemat för reglersystemet i föregående avsnitt.

T i

up Börvärde Börvärde

Potentiometer Potentiometer

+ up – u +g

e e

– ug

Regulator Regulator

u

Elspiral u Elspiral Temperaturgivare Temperaturgivare

Ti P P

Vattentank Vattentank

Temperatur T Temperatur T

Blockschema – temperaturreglering

I nedanstående figur visas det allmänna utseendet på blockschemat för ett enkelvariabelt reglersystem. De flesta reglersystem vi ska behandla i denna bok kan beskrivas med detta blockschema, där dock den reglerade processen, den aktuella givarutrustningen etc är olika från fall till fall.

Avancerade system kan dock ha en mer komplicerad struktur, vilket vi ska se i senare kapitel.

Börvärde Börvärde

Börvärdesgivare Börvärdesgivare

Felsignal Fel+ signal Regulator e – + Regulator e –

1 . Va d ä r r e g l e r t e k n i k ?

321_47-11212-8_Modern.indb 11

Störning

Störning Styrdon Styrdon Ärvärdesgivare Ärvärdesgivare

Process (reglerobjekt) Process Styr-(reglerobjekt) signal Styr- Ärvärde signal

Reglerad storhet Reglerad storhet

11

Ärvärde

4/13/16 11:24 PM

Felsignal Börvärde

Börvärdesgivare

+ –

e

Störning

Regulator

Styrdon

Ärvärdesgivare

Process (reglerobjekt)

Reglerad storhet

Styrsignal Ärvärde

Två huvuduppgifter Oberoende av inom vilket område ett reglersystem används gäller att det kan sägas ha följande två huvuduppgifter: 1. Att kompensera för störningar så att dessa inte får för stor inverkan på den reglerade storheten (systemets utsignal). Regulatorn ska snabbt upptäcka avvikelser mellan börvärdet och den reglerade storheten och vid behov justera styrsignalen så att avvikelsen försvinner.

2. Att följa ändringar i börvärdet. Om börvärdet ändras ska regulatorn se till att systemets reglerade storhet svänger in sig till detta nya värde.

Vilken uppgift som är viktigast varierar. Det förekommer t ex system där börvärdet alltid är konstant, s k konstantreglering. I sådana fall är störkompenseringen den viktigaste uppgiften. Det finns också fall där störningarna är försumbara vilket betyder att följande av börvärdesändringar blir systemets huvuduppgift. Sådan reglering kallas följe­reglering.

Det finns också fall där återkopplingen har ett annat huvudsyfte än något av ovanstående. Vi återkommer till detta i kapitel 2.

12

321_47-11212-8_Modern.indb 12

4/13/16 11:24 PM

2. Några användningsområden för reglerteknik I föregående kapitel såg vi några exempel på olika reglersystem, bland annat ett system för temperaturreglering i en vattentank. Syftet med systemet var att hålla så konstant temperatur som möjligt på utflödet trots varierande inflödestemperatur. I detta kapitel kommer vi att ge ytterligare exempel på några områden där reglerteknik ofta används.

Bland annat kommer vi att ta upp följande områden: Reglerteknik i processindustrin, reglerteknik i verkstadsindustrin, styrning av fartyg och flygplan, kraftverk och energiproduktion, bilar och fordon samt konsumentprodukter.

I slutet av kapitlet diskuterar vi för- och nackdelar med återkopplade system ur ett allmänt perspektiv.

2.1 Processindustri Ett mycket stort tillämpningsområde för reglertekniken är inom processindustrin. Det kan t ex gälla följande typer av industrier:

• Petrokemisk industri • Pappersmassefabriker • Reningsverk • Stålverk • Raffinaderier • Livsmedelsindustrier etc

För att en kemisk processanläggning ska fungera optimalt krävs att temperaturer, tryck, flöden, koncentrationer etc hela tiden hålls inom noga föreskrivna gränser. Stora avvikelser kan leda till att produktkvaliteten försämras, att energiåtgången blir onödigt stor eller att det uppstår kostsamma avbrott i driften.

Om man skulle försöka hålla en kemisk anläggning igång utan någon form att automatisk processreglering skulle det krävas mängder av operatörer som ständigt övervakade varje del av anläggningen och utförde justeringar. Detta skulle givetvis vara ekonomiskt orimligt. Antalet reglersystem i en medelstor kemisk processanläggning varierar från några

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 13

13

4/13/16 11:24 PM

hundra till några tusen beroende på anläggningens storlek och på graden av automatisering.

Exempel på processer som kan behövas regleras i en kemisk fabrik är värmeväxlare, kemiska reaktorer, destillationskolonner, kokare och tryckbehållare. Den vanligaste variabeln för reglering är temperatur. I många kemiska processer måste temperaturen hållas inom noga bestämda gränser för att resultatet ska bli det önskade. Temperaturreglering förekommer dock även i många andra sammanhang, t ex i masugnar, pannanläggningar, cementbränningsugnar, stålverk, bostäder, strykjärn, flygplanskabiner, bakugnar och kylskåp.

I vissa kemiska processer krävs samtidig reglering av ett flertal storheter som sinsemellan påverkar varandra vilket ställer höga krav på aktuella styr- och reglersystem. I pappersmaskiner är det t ex viktigt med noggrann reglering av såväl ytvikt som fukthalt. Destillationskolonner, ångpannor och valsverk är andra exempel på processer där avancerade reglersystem erfordras, och där regleringen är nödvändig för att driften över huvudtaget ska fungera.

Kontinuerlig drift kräver mängder av reglersystem. Bilden visar ett olje­raffinaderi i Kuwait.

14

321_47-11212-8_Modern.indb 14

4/13/16 11:24 PM

EXEMPEL Figurerna nedan visar schematiskt fyra typer av reglersystem som ofta förekommer inom den kemiska industrin. I alla fallen används elektriska reglerventiler som styrdon, dvs flödesventiler som kan styras med elektriska signaler. De fyra systemen har följande uppgifter: a) Nivåreglering (störning = variabelt utflöde) b) Temperaturreglering (störning = variabel inloppstemperatur) c) Flödesreglering (störning = variabelt vätsketryck och densitet) d) Koncentrationsreglering (störning = variabelt flöde och tilloppskoncentration) 5

Försök själv att tänka igenom funktionen hos de olika systemen. a)

Reglerventil

b)

4

Ti 1 = ventilhus Värme2 = säte Regler- växlare 3 = kägla ventil Het 4 = ventilspindel ånga 5 = packbox

-h 3 2 Nivågivare

Variabelt utflöde

Regulator Börvärde

Temperaturgivare

Regulator 1

+

T

Börvärde

−

c)

+

−

d) Koncentrerad syra Reglerventil

Reglerventil

Flödesgivare Φ

Regulator Utspädd syra −

Regulator Börvärde

+

−

Omrörare

+ Börvärde

Koncentrationsgivare

Eftersom reglerventiler av olika slag väldigt ofta används som styrdon i reglersystem diskuteras dessa närmare i kapitel 23

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 15

15

4/13/16 11:24 PM

2.2 Verkstadsindustri Ett annat vanligt tillämpningsområde för reglerteknik är inom verkstadsindustrin. Två typer av uppgifter är speciellt vanliga, nämligen positionsreglering och varvtalsreglering.

Positionsreglering – dvs att flytta och positionera laster i önskade lägen.

Positionsreglering förekommer bl a i följande fall: • Positionsreglering av verktyg i numeriskt styrda verktygsmaskiner.

• Inriktning av gripdon m m i industrirobotar.

• Styrning av kranar.

• Styrning av självgående truckar.

• Fjärrstyrning av antenner, raketer och satelliter.

Typiskt för positionsreglering (i en eller flera dimensioner) är att störningarna normalt är ganska små medan börvärdet varierar snabbt. Reglersystemens huvuduppgift är att följa förändringar i börvärdet, s k följereglering.

Det kan nämnas att dagens industrirobotar (monteringsrobotar, sprutmålningsrobotar m m) har mycket avancerade reglersystem som bidrar till att åstadkomma optimal precision och maximal snabbhet. Reglersystemen i roboten är av avgörande betydelse för industrirobotens tekniska prestanda Varvtalsreglering − dvs att hålla konstant varvtal på roterande maskiner och motorer trots att den yttre belastningen varierar. Det kan t ex gälla motorer som används till pumpar, automatsvarvar, fläktar, transportband och slipmaskiner.

Industrirobotar har vanligen ett reglersystem för varje axel

16

321_47-11212-8_Modern.indb 16

4/13/16 11:24 PM

2.3 Fartyg, flygplan m m I både fartyg och flygplan finns många reglersystem. Ett av de viktigaste reglersystemen i ett flygplan är autopiloten som ser till att flygplanet håller sig på önskad flyghöjd och i önskad kursriktning. Detta har vi redan diskuterat i avsnitt 1.1. Ett system för start och landning av ett flygplan är givetvis mycket mer komplicerat än ett system för t ex temperaturreglering i en ugn. Landningssystemet kräver exempelvis avancerad utrustning för kontroll av flygplanets position, hastighet och riktning, många styrdon och avancerad databehandling för att fungera. Trots detta är de grundläggande principerna för regleringen densamma i de båda fallen.

I båda fallen används återkopplingsprincipen för att åstadkomma den nödvändiga styrningen. Styrsignalernas värden grundas i båda fallen på mätinformation från aktuella givare.

75 m

1 km 7 km

Radiosändare längs inflygningssträckan ger information om flygplanets läge i höjd och sidled

Utöver de reglersystem som kontrollerar själva flygningen (inklusive start och landning), kan vi nämna de system som reglerar klimatet i kabinen (dvs tryck, temperatur och syrehalt). Vid flygning på hög höjd är sådana system nödvändiga eftersom det yttre lufttrycket och temperaturen snabbt avtar på högre höjder, samtidigt som sammansättningen av olika gaser i atmosfären varierar. Enligt internationella bestämmelser får man inte flyga på högre höjd än 3048 meter utan syretillförsel och kabintrycksreglering. Moderna reglersystem för kabintrycksreglering arbetar på elektronisk väg och styr såväl lufttillförseln in till kabinen som avgångsluften från densamma. Även på fartyg förekommer ofta system för reglering av kursriktningen (kursvinkelreglering). Detta gäller såväl för fiskebåtar och segelbåtar som för större lastfartyg, se nedanstående exempel. För manövrering av fartyg i trånga hamnar finns ibland reglersystem som hjälper besättningen att 2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 17

17

4/13/16 11:24 PM

framföra fartyget på ett säkert sätt. Ofta används radar och infrarött ljus för att i realtid mäta upp fartygets exakta position i förhållande till andra fartyg, kajkanter m m. Dessa system gör att fartygets position kan bestämmas även vid dimma och i fullständigt mörker. För styrning av fartyget används olika komplement till de vanliga akterpropellrarna, t ex bogpropellrar (som förflyttar fartyget i sidled) och andra styrorgan som förbättrar fartygens manövreringsförmåga. De mest avancerade systemen fungerar ungefär som flygplanens landningssystem, dvs automatiken ser till att fartyget kommer in till kaj på ett säkert sätt utan att besättningen alls behöver ingripa.

Ett annat reglersystem som ofta förekommer på fartyg är aktiva stabilisatorer, som minskar rullningen i sidled och gör båtfärden behagligare för passagerarna. Syftet med dessa system är alltså att hålla fartyget så ”upprätt” som möjligt trots störningar i form av vågor och vind. Det finns många sätt att konstruera stabilisatorer. En typ använder sig av rörliga fenor som sticker ut från båtens köl. Genom att låta fenorna röra sig på ett sätt som motverkar rullningen hos fartyget erhålls en stabiliserande effekt. En annan typ av stabilisatorer använder vatten som pumpas mellan olika behållare i kölen och ytterligare en typ stabiliserar fartyget med hjälp av snabba roderrörelser.

EXEMPEL

För ett fartyg gäller att kursvinkeln (den kompasskurs som fartyget går på) inte enbart påverkas av roderutslaget, utan även av yttre störningar i form av vindbyar, vågor, vattenströmmar m m. För att hålla fartyget på en konstant kurs krävs därför hela tiden små korrektioner med rodret, antingen åt det ena eller det andra hållet. Dessa korrektioner kan naturligtvis göras manuellt. Större fartyg har dock ofta reglersystem som utför denna

18

013-030 kap_02.indd 18

29/03/16 11:14 AM

uppgift. Systemets uppgift är således att efterlikna de roderrörelser en människa skulle göra. Figuren nedan visar i stora drag hur ett sådant system kan vara uppbyggt. Observera att reglerobjektet (processen) i blockschemat utgörs av hela fartyget, medan givaren och regulatorn är små komponenter ombord.

stömingar rodervinkel

Fartyg

Roder motor

styrsignal till motor

kursvinkel

Givare (gyrokompass)

Reglerdator

mätsignal börvärde

2.4 Bilar och bussar Moderna bilar och bussar är idag försedda med många sofistikerade reglersystem. Ett exempel är de låsningsfria bromsar (ABS-bromsar, antilock braking systems) som de flesta nya bilar är försedda med. Syftet med ABS-bromsar är att förhindra att hjulen låser sig vid kraftiga inbromsningar, eftersom låsta bromsar dels medför att bromseffekten minskar avsevärt, dels gör att bilen i praktiken blir omöjlig att styra. Genom experimentella försök har man funnit att den optimala bromseffekten hos en bil erhålls vid en viss differens mellan bilens hastighet och hjulens periferihastighet − vanligen då hjulens periferihastighet är ca 10−20% lägre än bilens hastighet.

Reglersystemets syfte i ett ABS-system är alltså att träda i kraft vid kraftiga inbromsningar och att då anpassa hydraultrycket i bromscylindrarna så att hjulen inte låser sig och så att bromseffekten hela tiden är optimal. Systemen använder elektroniska givare som hela tiden individuellt mäter hastigheten hos varje hjul samt givare för att mäta bilens fart och

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 19

19

4/13/16 11:24 PM

acceleration. Utgående från denna information bestämmer reglerenheten, som vanligen är implementerad i en 16-bitars mikrodator, lämpligt hydraultryck till bilens olika bromskretsar. Blockschemat nedan visar i grova drag funktionen hos systemet. Tack vare ABS-bromsarna har man kunnat minska bromssträckan hos moderna bilar med flera meter vid kraftiga inbromsningar. De modernaste ABS-bromsarna har förmågan att anpassa sig till olika typer av vägbanor (torr asfalt, våt asfalt, grus, snö m m) och kan bestämma lämpligt hydraultryck med hänsyn till detta.

Störningar (krafter från vägbana mm)

Önskad periferihastighet

+ −

Reglerenhet

Styrsignal

Elhydraulisk omvandlare

Tryck på bromscylindrar

Bilhjul med bromssystem

Hjulets periferihastighet

Givare för hjulhastighet

Schematiskt blockschema för ABS-bromsar, där den önskade periferihastigheten vid kraftiga inbromsningar är ca 80–90 % av fordonets hastighet

Ett system som delvis använder samma hårdvara som ABS-bromsarna är de antislir-system som förekommer för att förhindra att bilar och bussar slirar på halt underlag. Dessa system kommer främst till användning på vintern, då problemet med slirande fordon är störst.

När ett fordon slirar beror det på att man givit för mycket gas till motorn.

De drivande hjulens periferihastighet är då avsevärt större än fordonets egen hastighet. För att upptäcka när ett hjul börjar slira mäter anti-slirsystemet hela tiden hjulens periferihastighet. Om denna hastighet är mycket större än bilens egen hastighet, minskar reglerenheten automatiskt gaspådraget till motorn så att slirningen upphör. Automatiken kan göra detta långt innan en människa överhuvud taget märkt att bilen börjat slira. De mest avancerade säkerhetssystemen är anti-sladdsystem som även kan motverka sladdning i sidled, vid kurvtagning på hala vägar. De kan bromsa varje hjul individuellt för att på så sätt häva sladden. Vi ska dock inte gå in på hur dessa system är konstruerade.

20

321_47-11212-8_Modern.indb 20

4/13/16 11:24 PM

Figuren visar ett system för att undvika låsta hjul vid bromsning eller spinnande hjul vid gaspådrag. Det består av varvtalsgivare vid de fyra hjulen. Från regle­ renheten går signaler dels till motorn (gaspådraget) och dels till de ventiler som påverkar trycket i ledningarna till respektive hjulbroms. (Från Bosch)

Ett annat område där sofistikerade reglersystem används är i motorn, där mikrodatorbaserade regulatorer styr bränsleblandning samt tidpunkt för bränsleinsprutning och tändning. Reglersystemet i en förbränningsmotor har flera delvis motstridiga syften: ett syfte är att minimera motorns bränsleförbrukning, ett annat är att få ut maximal kraft från motorn vid acceleration, ett tredje är att minimera emissionen av miljöfarliga avgaser.

Den optimala bränsleblandningen och tändningstidpunkten beror av ett flertal faktorer, bl a motorns temperatur och varvtal, dess vridmoment, syrehalten i avgaserna och luftfuktigheten, vilket gör att ett flertal variabler kontinuerligt måste mätas för att bestämma den optimala arbetspunkten.

Genom moderna datorstyrda insprutningssystem har man kunnat minska bensinförbrukningen med flera procent, samtidigt som utsläppen av skadliga avgaser reducerats avsevärt.

Ytterligare exempel på reglersystem som förekommer i moderna bilar är system för automatisk hastighetsreglering (s k farthållare), system för att bestämma optimal tidpunkt för byte av växel i datorstyrda automatiska växellådor, system för temperatur- och klimatreglering i bilens kupé, datorstyrd fjädring (som snabbt och aktivt kompenserar för ojämnheter i vägbanan), system för reglering av temperaturen i bilens kylsystem

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 21

21

4/13/16 11:24 PM

samt system för att reglera hastigheten så att ett säkert avstånd hålls till framförvarande fordon (s k intelligenta farthållare). I det senare fallet mäts avståndet till framförvarande fordon med radar eller ultraljud. Reglersystemet ska själv kunna bromsa fordonet om avståndet blir mindre än vad som är tillfredsställande ur säkerhetssynpunkt.

2.5 Konsumentprodukter Utöver de reglersystem vid redan nämnt finns inbyggda reglersystem i många olika typer av konsumentprodukter, t ex i mikrovågsugnar, tvättmaskiner, segways, kameror och CD-spelare. Reglersystemet för skärpeinställningen i en kamera är ett positions-reglersystem. Positionen hos kamerans objektivlinser motsvarar ett visst ”inställt avstånd” till objektet. Genom att mäta det verkliga avståndet till objektet och jämföra detta med det objektivlinsernas position fås en felsignal som på vanligt sätt kan användas för att styra de elmotorer som ställer in objektivet.

Avståndsmätningen görs vanligen med infraröda pulser som sänds iväg av kameran till objektet och reflekteras av detsamma. Tidsskillnaden mellan utsänd och mottagen puls blir ett mått på avståndet till objektet.

Hos en videokamera sker skärpeinställningen i realtid, dvs kameran sänder kontinuerligt iväg pulser med infrarött ljus och objektivet justeras flera gånger per sekund.

Ett annat reglersystem i en kamera är systemet för inställning av exponeringstid och bländaröppning. Som givare används en eller flera optiska mätceller som kontinuerligt mäter hur myckt ljus som objektivet tar emot per tidsenhet. Med ledning av dessa mätvärden ställer kameran in lämplig exponeringstid och bländaröppning. Vid behov kopplas blixtbelysning in. Den ljusmängd som behövs för en lyckad exponering kan betraktas som systemets börvärde, medan slutartid och bländaröppning är systemets styrsignaler. Börvärdet påverkas i sin tur av manuella inställningar på kameran.

Ytterligare reglersystem som förekommer i avancerade filmkameror är system för automatisk bildstabilisering (systemet tar bort eller dämpar de oundvikliga skakningarna då du filmar på fri hand) och system med intelligenta auto-focus (auto-focuset följer dina ögonrörelser och ställer in skärpan på den del av motivet som du tittar på).

Ett av reglersystemen i en CD-spelare är det som används för positionering av läshuvudet på rätt spår av CD-skivan. Detta system kräver så hög precision att det enligt Karl-Johan Åström* kan jämföras med att framföra ett fullsatt jumbojetplan i hög hastighet på en meters höjd över marken.

*) Internationellt känd reglerteknikprofessor i Lund.

22

321_47-11212-8_Modern.indb 22

4/13/16 11:24 PM

En segway behöver avancerade reglersystem för att fungera

2.6 Människokroppen Människokroppen är något som sällan diskuteras i böcker om reglerteknik. Det kan dock vara värt att nämna att människokroppen innehåller ett stort antal återkopplade system som hela tiden ser till att kroppens funktioner inte går över styr. Några exempel på våra biologiska reglersystem är följande: Ögat. Innehåller ett reglersystem som ser till att ögat får lämplig ljusmängd in till näthinnan och de ljuskänsliga syncellerna. Vid mycket svagt ljus och i mörker är ljusöppningen (pupillen) helt öppen för att kunna ta emot så mycket ljus som möjligt. Vid andra tillfällen anpassar sig pupillen efter hur starkt ljus det är. Ju starkare ljus, desto mindre blir pupillen. Ögat innehåller också ett reglersystem som ställer in linsens brytningsförmåga, så att vi kan se skarpt på olika avstånd. När vi betraktar ett föremål på nära håll trycks linsen ihop och blir tjockare, medan den plattas ut då vi betraktar föremål på långt håll.

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 23

23

4/13/16 11:24 PM

Näthinnan Linsen

Synnerven

Pupillen

Hornhinnan

Människokroppen innehåller flera biologiska reglersystem, t ex ögats skärpeinställning och pupillen

Balanssinnet. Hela balanssinnet kan ses som ett komplicerat reglersystem. Som givare i systemet fungerar de tre båggångarna nära snäckan i innerörat. Båggångarna är ställda i tre plan mot varandra, vilket gör att vi kan uppfatta rörelser i alla riktningar. Informationen från båggångarna sänds till lilla hjärnan som, i detta fall, är systemets reglerenhet. Om vi håller på att falla sänder hjärnan direkt signaler till lämpliga muskler (ben, armar m m) för att förhindra detta från att ske.

Temperaturreglering. Som bekant är människans ideala kroppstemperatur ca +37 °C. Om kroppen plötsligt skulle värmas upp eller kylas ned inträder snabbt olika biologiska funktioner som strävar efter att återställa kroppstemperaturen på dess ideala värde. Vid nedkylning ökar förbränningen i cellerna samtidigt som vi börjar skaka för att alstra extra värme. Vid uppvärmning börjar vi svettas för att utnyttja avdunstningens avkylande effekt. Återkopplade system då vi utför olika aktiviteter Vi kan slutligen konstatera att vi själva fungerar som kompletta reglersystem i många sammanhang, t ex då vi cyklar, springer, tecknar, spelar tennis eller kör bil. Vid cykling känner vi hela tiden av cykelns och kroppens lutning med balanssinnet. När du håller på att falla skickar balanssinnet genast signaler till hjärnan, som i sin tur (efter viss bearbetning av signalerna) skickar impulser till musklerna i armar och ben för att generera de muskelrörelser som förhindrar dig från att falla omkull. Vid bilkörning är det främst ögonen som fungerar som givare. Ögonen sänder information till hjärnan om att vägen kröker och hjärnan skickar i sin tur signaler till musklerna om att vrida på ratten för att se till att du inte åker i diket.

24

321_47-11212-8_Modern.indb 24

4/13/16 11:24 PM

I alla dessa fall ser vi att en eller flera av våra sinnen (syn, hörsel, känsel, balans mm) fungerar som givare, hjärnan fungerar som regulator och musklerna fungerar som styrdon. Funktionen kan beskrivas med nedanstående figur.

Aktivitet Löpning, cykling, teckning mm

Muskler ben, armar, fingrar mm

Sinnen ögon, känsel mm

Hjärnan + nervsystem

2.7 Framtida tillämpningar Hittills har vi diskuterat sådana tillämpningar av reglerteknik som är vanligt förekommande i dagens samhälle. Hit hör reglersystem för processindustrier, fabriker, fartyg, flygplan, bilar och bostäder (fastighetsautomation). I framtiden är det dock troligt att det växer fram ytterligare många tillämpningar till följd av den snabba tekniska utvecklingen. Två områden som alldeles säkert kommer att explodera inom de närmaste årtiondena och som utan tvekan kräver mycket reglerteknik är självgående robotar (humanoider) och självkörande fordon. Vi ska kortfattat diskutera dessa tillämpningar här.

Självgående robotar (humanoider) Ett annat stort framtidsområde för reglertekniken är framtidens självgående robotar (humanoider). Med en humanoid avser man en fritt rörlig robot som till det yttre fungerar, ser ut och beter sig som människor.

Redan idag finns ett antal fabrikat av humanoider på marknaden. De är emellertid fortfarande ganska klumpiga jämfört med oss människor. De

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 25

25

4/13/16 11:24 PM

har t ex svårt för att gå på ojämnt underlag, de har inte samma uppfattningsförmåga och inte lika mångsidiga och användbara händer och armar som oss människor. För att humanoider ska bli verkligt användbara krävs bland annat att de förses med mycket avancerade seende, kännande och hörande system som i princip kan uppfatta och förstå sin omgivning lika bra som oss människor. Utöver detta behöver de förses med mikromotorer som kan åstadkomma lika avancerade rörelser i alla kroppsdelar som oss människor. Uppgiften är inte enkel eftersom människokroppen består av inte mindre än 206 ben och 639 muskler som styrs med signaler från hjärnan. Men om 25 eller 30 år kanske robotarna utvecklats så långt att de börjar bli verkligt användbara för oss människor.

Asimo – en av dagens mest avancerade humanoider

Självkörande bilar (autonoma fordon) Med självkörande bilar menas bilar som själva kan köra utan att någon människa behöver vrida på ratten eller påverka gas- och bromspedaler.

Redan idag är det ju vanligt att bilar är försedda med farthållare som kan hålla önskad hastighet trots att lutningen på vägen varierar. En självkörande bil måste dock hålla reda på allt i omgivningen som har betydelse

26

321_47-11212-8_Modern.indb 26

4/13/16 11:25 PM

för säkerheten och bilens framförande. Den måste ha givare för kontroll av bilens position på vägbanan, den måste ha något seende system som kan observera alla slags föremål i omgivningen, t ex cyklister på vägbanan, fotgängare, mötande fordon, katter, håligheter i vägbanan, hinder på vägen, isfläckar mm. Fordonet måste också hålla reda på hastighetsbegränsningar, vägarbeten, lämpliga färdvägar och allt annat som mänskliga förare behöver ta hänsyn till under körning. Vidare behövs styrdon som kan öka och minska på gasen, vrida på ratten, bromsa, växla, växla mellan hel- och halvljus mm.

Datorn i ett reglersystem för ett framtida självkörande fordon måste alltså samla in data från ett väldigt stort antal givare och informationen från dessa givare måste i många fall behandlas och bearbetas i flera steg för att få fram den information som är verkligt viktig för körningen.

Samtidigt med detta måste den, vid behov, kunna interagera med föraren och informera honom/henne om vilka beslut den tar rörande färdvägar och andra saker.

Forskning kring självkörande bilar förekommer i många länder och många bilfabrikat har program för utveckling av sådana fordon. Förhoppningen är att det i princip ska vara omöjligt att krocka med framtidens fordon, oavsett om automatiken är inkopplad eller om bilen framförs av en människa. Bilen ska i båda fall upptäcka om det finns risk för sammanstötning och om så är fallet ska den ta över styrningen, bromsa och svänga undan för att undvika en krock. För att åtgärderna ska bli så optimala som möjligt måste bilen också kunna kommunicera med omgivande bilar för att de tillsammans ska komma fram till den optimala gemensamma strategin för att förhindra skador.

Självkörande bilar kräver många reglersystem

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 27

27

4/13/16 11:25 PM

2.8 För- och nackdelar med återkoppling Fördelar med återkoppling Som vi har sett av exemplen i detta kapitel är de flesta reglersystem återkopplade, dvs utsignalen från processen mäts och återkopplas så att dess värde kan påverka insignalen (styrsignalen). Eftersom de flesta reglersystem är återkopplade brukar reglerteknik beskrivas som läran om återkopplade system. Huvudsyftet med återkopplingen är i de flesta fall (men inte alltid) att åstadkomma system som dämpar inverkan av olika störningar. För ett kursregleringssystem på ett fartyg vill man t ex motverka den inverkan störningar i form av vågor och vindbyar har på kursvinkeln, (se kap 2.3).

Utöver egenskapen att dämpa störningarnas inverkan används återkoppling även i flera fall där huvudsyftet är något annat. Rent allmänt kan man tala om (minst) fyra olika huvudsyften med återkoppling i samband med olika tekniska system: • Störningsdämpning. Det vanligaste syftet med återkoppling är, som sagt, att dämpa inverkan av störningar. Huvudsyftet med återkopplingen är i detta fall att åstadkomma system som är ”självkorrigerande”, dvs system som motverkar de störningar som verkar på en viss process. I detta kapitel har vi beskrivit flera exempel på sådana system, t ex autopiloter i flygplan, varvtalsreglering för motorer, nivåreglering i tankar m m.

• Börvärdesföljning. Detta är också en mycket viktig tillämpning av återkoppling. Huvudsyftet i detta fall är att åstadkomma system, där utsignalen så snabbt och noggrant som möjligt följer ett varierande börvärde*. Det kan t ex gälla system för inriktning av robotarmar eller styrning av traverskranar. I dessa fall är störningarna ofta försumbara.

System av denna typ kallas ibland servosystem.

• Robusthet och dämpning av dynamikvariationer. Ytterligare ett primärt syfte hos vissa återkopplade system är att åstadkomma system som är robusta mot variationer i dynamiken hos de ingående delarna.

Ett tidigt exempel på detta var återkopplade elektriska förstärkare, en tillämpning som började utvecklas redan på 1930-talet. Problemet som man löste med hjälp av återkoppling var att råförstärkningen hos dåtidens telefonförstärkare varierade starkt beroende på temperatur *) Det bör sägas att återkoppling inte är helt nödvändig för att åstadkomma börvärdesföljning, dvs det går även att bygga sådana system enbart med öppen styrning. I de allra flesta fall gäller dock att återkopplingen gör att noggrannheten i styrningen ökar avsevärt. Öppen styrning kräver mycket bättre modeller av processen än man vanligen har tillgång till.

28

321_47-11212-8_Modern.indb 28

4/13/16 11:25 PM

och andra yttre omständigheter och gav väldigt ojämn samtalskvalitet.

Genom återkoppling kunde man dock bygga förstärkare där dessa variationer nästan helt eliminerats. Man kan alltså visa att återkoppling som sådan medför att det slutna systemet blir mindre känsligt för dynamikvariationer hos de ingående delarna. (Vi återkommer till detta längre fram i boken.)

• Stabilisering. Ett sista primärt syfte hos vissa återkopplade system är stabilisering av instabila processer. I detta fall är återkopplingen nödvändig för att över huvud taget åstadkomma ett fungerande system.

Några exempel som vi diskuterar längre fram är stabilisering av instabila flygplan (t ex JAS-flygplanet) och stabilisering av instabila kemiska reaktionsprocesser. Möjligheten att stabilisera instabila processer med hjälp av återkoppling är viktig även i många andra tillämpningar.

Det bör vidare nämnas att det finns många fall där flera av ovanstående huvudsyften samtidigt ska uppnås. Återkoppling är slutligen en nödvändig och viktig teknik i samband med de flesta adaptiva och självlärande system, t ex artificiella neurala nätverk. Denna tillämpning kommer vi dock inte att beröra i denna bok.

Syftet i detta fall kan dock sägas vara att bygga tekniska system som kan utvecklas och lära sig av egna försök, t ex självgående robotar, schackspelande datorer m m.

Nackdelar med återkoppling Finns det några nackdelar med återkopplade system jämfört med icke återkopplade system? Några nackdelar som kan nämnas är att komplexiteten ökar, att återkopplade system kan bli instabila samt att återkopplade system är beroende av fungerande och noggranna givare. Vi ska mycket kortfattat diskutera dessa tre nackdelar här. Vi återkommer dock till dessa problem närmare längre fram.

• Ökad komplexitet. Självklart gäller att komplexiteten och kostnaden för ett återkopplat system nästan alltid är större än för ett icke-återkopplat system. Det är t ex beroende av fler komponenter. Samtidigt är det svårare att få en intiutiv känsla för egenskaperna hos ett återkopplat system jämfört med ett öppet system. Detta är dock ett pris som i många fall är nödvändigt för att åstadkomma fungerande tekniska system.

• Risk för instabilitet. En fundamental nackdel med återkopplade system är att de kan bli instabila, vilket innebär en potentiell risk för att utsignalen skenar iväg utan kontroll. Återkopplingen i sig kan alltså göra att det totala återkopplade systemet blir instabilt även om de ingående delarna (blocken) är stabila. Vi återkommer till detta viktiga problem flera gånger i denna bok, bl a i kapitel 3.

2 . N Å G R A A N VÄ N D N I N G S O M R Å D E N F Ö R R E G L E R T E K N I K

321_47-11212-8_Modern.indb 29

29

4/13/16 11:25 PM

• Ökat beroende av fungerande mätgivare. För att ett återkopplat system ska fungera tillfredställande krävs att de givare som används för mätning av utsignalen fungerar och ger någorlunda korrekta mätvärden.

Detta är självklart, eftersom regleringen baserar sig helt och hållet på signalerna från givarna. Om givarna är brusiga kan mätstörningarna i sig göra att reglersystemets utsignal blir mer ”orolig” än vad den skulle vara utan återkoppling. Även detta är en viktig aspekt som vi ska återkomma till längre fram i boken.

Något om överordnade syften I det ovanstående har vi beskrivit de vanligaste huvudsyftena med enskilda återkopplade reglerloopar. Vi har också beskrivit några nackdelar som återkoppling i sig kan medföra. Förutom de huvudsyften som finns på enskilda reglerloopar förekommer självklart att de enskilda reglerlooparna i sig utgör delar av ett större system, som har sina överordnade syften och mål. Mycket vanligt är t ex att det finns överordnade system som bestämmer börvärdet till de underordnade reglerlooparna. Några exempel: • I en kemisk processindustri (t ex en pappersmasseindustri) kan det finnas tusentals enskilda reglerloopar för reglering av temperaturer, tryck, flöden, nivåer, koncentrationer m m. Ovanför dessa enskilda reglerloopar finns vanligen överordnade styrsystem för optimering av driften på hela anläggningen. Det överordnade syftet med hela styrsystemet är att det ska bidra till jämnare produktkvaliteter, färre driftsstörningar och maximerat utbyte av driften. Det yttersta syftet kan sägas vara att maximera den ekonomiska vinsten för processanläggningen.

• I en kontorsfastighet eller ett sjukhus kan det finnas ett stort antal reglersystem för att reglera temperaturer och luftflöden i enskilda rum, för att reglera lufttillförseln i oljepannor m m. Börvärdena till dessa enskilda reglersystem bestäms ofta av ett överordnat styrsystem. Det överordnade syftet är att systemet som helhet ska leda till minimal energiförbrukning under bivillkoret att gällande normer för luftkvalitet, temperatur och ventilation upprätthålls i byggnaden.

I denna bok kommer vi inte att uppehålla oss vid dessa överordnade system, utan kommer huvudsakligen att ägna oss åt analys och konstruktion av enskilda reglerloopar.

30

321_47-11212-8_Modern.indb 30

4/13/16 11:25 PM

Appendix Komplexa tal Lineär algebra – några formler Bevis för några satser Partialbråksuppdelning Bodes integralsats Kristianssons-Lennartsons tumregler Amigo-metoden De viktigaste laplacetransformerna De viktigaste z-transformerna Tabell för diskretisering

APPENDIX

321_47-11212-8_Modern.indb 505

505

4/13/16 11:26 PM

Komplexa tal Detta avsnitt innehåller en sammanfattning av de viktigaste reglerna för komplexa tal.

Komplexa tal z = x + jy kan representeras som vektorer i det komplexa talplanet, se figur.

Im z z

y r Φ x

Re z

Det komplexa talet z = x + jy representerat som en vektor i det komplexa talplanet

Absolutbeloppet av ett komplext tal är lika med r = z = x 2 + y 2 vilket motsvarar längden av vektorn (z) i det komplexa talplanet.

Argumentet av ett komplext tal definieras som vinkeln mellan vektorn (z) och realaxeln i det komplexa talplanet. För talet z = x + jy gäller: y Argumentetφø==∠zz = arctan x ± π

Argumentet hos ett komplext tal z kallas även fasvinkeln hos z.

Om det komplexa talet z har negativ realdel gäller för dess argument: y φø==∠zz = arctan x ± π Med hjälp av absolutbeloppet r och argumentet ø kan ett komplext tal även skrivas på polär form:

z = x + jy = r (cos ø + j sin ø)

Detta kan vidare skrivas om med hjälp av Eulers formel: z = r (cos ø + j sin ø) = r · ejø För addition, multiplikation och subtraktion av komplexa tal gäller räknereglerna: Addition/subtraktion: (a + jb) ± (c + jd) = (a ± c) + j(b ± d)

506

321_47-11212-8_Modern.indb 506

4/13/16 11:26 PM

Multiplikation: (a + jb) · (c + jd) = (ac – bd) + j(ad + bc) Vid division av två komplexa tal brukar man använda metoden att multiplicera täljaren och nämnaren med konjugatkvantiteten till nämnaren.

Vi visar detta med ett enkelt exempel.

EXEMPEL Skriv talet z =

3− j på formen z = a + jb.

1+ 2 j

Lösning: Multiplicera först med konjugatkvantiteten till nämnaren så att nämnaren blir rent reell: z=

3− j ( 3 − j )( 1 − 2 j ) ( 3 − j )( 1 − 2 j ) = = 1 + 2 j ( 1 + 2 j )( 1 − 2 j ) 1+ 4

Multiplicera därefter ihop faktorerna i täljaren: z=

( 3 − 2 ) + ( −6 − 1) j 1 − 7 j = = 0 , 2 − 1, 4 j 5 5

Multiplikation och division av komplexa tal är enklare om de är uttryckta på polär form. Vid multiplikation av två komplexa tal gäller att absolutbeloppen ska multipliceras med varandra medan argumenten ska adderas, dvs: Om z 1 = r1 ⋅ e jφ1 och z 2 = r2 ⋅ e jφ2

så gäller z = z 1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ r2 e

j ( φ1 + φ2 )

Vid division av två komplexa tal ska absolutbeloppen divideras och argumenten subtraheras, dvs: Om z 1 = r1 ⋅ e jφ1 och z 2 = r2 ⋅ e jφ2 så gäller z r z = 1 = 1 ⋅ e j ( φ 1−φ 2 ) z 2 r2

APPENDIX

321_47-11212-8_Modern.indb 507

507

4/13/16 11:26 PM

Inom reglertekniken stöter man ofta på problemet att absolutbeloppet och fasvinkeln (argumentet) hos komplexa tal av följande typ ska bestämmas: z=

( a1 + jb1 ) ⋅ ( a2 + jb2 )... ( c1 + jd1 ) ⋅ ( c 2 + jd2 ),...

I stället för att multiplicera ihop och därefter bestämma absolutbelopp och fasvinkel för z är det enklare att först bestämma dessa storheter för faktorerna var för sig och därefter använda reglerna ovan. Vi visar detta med ett enkelt exempel:

EXEMPEL Bestäm absolutbeloppet och fasvinkeln för följande komplexa tal. z=

( 2 + j )( 3 + 2 j ) ( 5 + 2 j )( 4 + j )

Lösning: Absolutbeloppet blir enligt reglerna ovan: z =

2 2 + 12 2

5 +2

2

⋅

32 + 2 2 2

2

4 +1

=

5 ⋅ 13 65 = = 0 , 36 493 29 ⋅ 17

Argumenten blir på samma sätt: 1 2 2 1 z = arctan + arctan − arctan − arctan = 2 3 5 4

= 26,57° + 33,69° – 21,80° – 14,04° = 24,42° Svar: Absolutbelopp

Fasvinkel

 z  = 0,36

z = 24,42°

Lineär algebra – några formler Multiplikation av 22-matriser  a11 a12  b11 b12   a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22  a ⋅ =   21 a22  b21 b22  a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 

508

321_47-11212-8_Modern.indb 508

4/13/16 11:26 PM

Enhetsmatrisen 1 0  I=  0 1  Invertering av en 22-matris −1

−a12  a11 

1  a22  a11 a12  = a  a11a22 − a12 a21  − a21  21 a22 

Determinanten för en 22-matris  a11 a12  det   = a11a22 − a21a12 a21 a22 

Bevis för några satser Faltningssatsen Låt g(t) vara impulsfunktionssvaret till överföringsfunktionen G(s), och låt u (t) vara en godtycklig insignal till systemet. Då gäller att utsignalen med följande integral: y (τ) vid tidpunkten τ kan bestämmas g (t) ∞

y (τ ) = ∫ g ( t ) ⋅ u(τ − t )dt 0

g (t)

t t

Bevis Betrakta insignalen u som summan av ett oändligt antal impulsfunktioner enligt nedanstående figur. Varje sådan impuls u (τ – t) ger bidraget g(t) · u (τ– t) · dt till utsignalens värde y (τ) vid tidpunkten τ. u u

dt dt

En impuls med arean u (τ – t) · dtarean En impuls med u (τ – t) · dt

τ t

τ

t

Om systemet är lineärt gäller därför enligt superpositionsprincipen att utsignalens totala värde vid tidpunkten τ fås som integralen ∞

y (τ ) = ∫ g ( t ) ⋅ u(τ − t )dt 0

Appendix

321_47-11212-8_Modern.indb 509

509

4/13/16 11:26 PM

Bevis för sats 9.1 Låt insignalen till det lineära systemet G(s) vara en sinussignal sin ωt som legat på sedan t = – ∞: u(t) = sin ω t = Im e jω t Enligt faltningssatsen blir då utsignalen ∞

y ( t ) = ∫ g (τ ) ⋅ u( t − τ )dτ = 0

∞

= Im ∫ g (τ ) ⋅ e −jω t dτ ⋅ e

jω t

0

∫

∞

0

g (τ ) ⋅ Im e jω ( t −τ )dτ =

= Im G( jω ) ⋅ e

jω t

Om det komplexa talet G( jω) skrivs på polär form G( jω) = G( jω) · e där ø = G(jω) erhålls:

jø

y (t) = Im G( jω) · ej(ω t + ø) = G( jω) · sin (ωt + ø) Usignalen blir alltså sinusformad med amplituden A(ω) = |G(jω)| och fasvridningen ø(ω) = G(jω).

Bevis för formler för beräkning av kvarstående fel: V R +

E

–

+

GR

GP

+

Regulator

Y

Process

För systemet ovan gäller: GTOT =

GRGP Y Y GP GSTORN = = =

R 1 + GRGP V 1 + GRGP

Enligt definitionen på kvarstående fel och slutvärdessatsen för laplacetransformer gäller: Kvarstående fel = lim e (t) = lim s · E = lim s(R – Y)

t → ∞

s → 0

s→0

• Vid steg- och rampformade börvärdesändringar får vi: GRGP  a e0 = lim sR( 1 − GTOT ) = lim s 1 − = s →0 s →0 s  1 + GRGP  a s →0 1 + G G R P

= lim

e1 = lim sR( 1 − GTOT ) = lim s s →0

= lim s →0

s →0

GRGP  h 1− = 2  s  1 + GRGP 

h s( 1 + G R G P )

510

321_47-11212-8_Modern.indb 510

4/13/16 11:26 PM

• Vid stegformade störningar får vi: a GP ev = lim s( 0 − V ⋅ GSTORN ) = lim − s ⋅ ⋅ =

s →0 s →0 s 1 + GRGP −G P a = lim s →0 1 + G G R P

Partialbråksuppdelning Med partialbråksuppdelning menas metoden att dela upp en rationell funktion G(s) i en summa av två eller flera enklare termer. Metoden används bl a vid inverstransformering av laplacetransformer.

Antag att vi har en rationell funktion med reella koefficienter där nämnarens gradtal är högre än täljarens: G( s ) =

b s m + b s m−1 + ... + bm B( s ) = n 0 n −1 1 A( s ) s + a1s + a2 s n− 2 + ... + an

Enligt matematiken kan nämnaren till en sådan rationell funktion alltid delas upp i en produkt där faktorerna är av gradtal ett eller två: G( s ) =

b0 s m + b1s m−1 + ... + bm ( s − p1 )( s − p2 )...( s 2 + q1s + r1 )( s 2 + q2 s + r2 )...

Förstagradsfaktorerna motsvarar reella rötter medan andragradsfaktorerna motsvarar komplexkonjugerade rötter. Antag nu att alla faktorer (s – p1), (s – p2) … är olika.* I så fall gäller, enligt matematiken, att det finns en uppdelning, s k partialbråksuppdelning, sådan att: A1 A2 B s + C1 B s + C2 + + ... + 2 1 + 2 2 G( s ) = ( s − p1 ) ( s − p2 ) ( s + q1s + r1 ) ( s + q2 s + r2 ) För bestämning av täljarkoefficienterna A1, A2, B1, B2 etc multipliceras termerna ihop till ett bråkstreck, varefter identifiering sker med det ursprungliga uttrycket. På detta sätt fås ett ekvationssystem för bestämning av täljarkoefficienterna. Metodiken visas i följande exempel:

EXEMPEL Gör en partialbråksuppdelning av följande funktion: G( s ) =

12 s + 54 ( s + 2 )( s + 5 )( s + 7 )

APPENDIX

321_47-11212-8_Modern.indb 511

511

4/13/16 11:26 PM

Lösning: Vi vet att det finns en uppdelning av typen: G( s ) =

A B C + + s+2 s+5 s+7

Ihopmultiplicering av detta uttryck ger: G( s ) = =

A( s + 5 )( s + 7 ) + B( s + 2 )( s + 7 ) + C( s + 2 )( s + 5 ) = ( s + 2 )( s + 5 )( s + 7 )

s 2 ( A + B + C ) + s( 12 A + 9 B + 7 C ) + ( 35 A + 14 B + 10C ) ( s + 2 )( s + 5 )( s + 7 )

Vi får följande ekvationssystem för bestämning av koefficienterna A, B och C: A + B + C = 0  12 A + 9 B + 7 C = 12 35 A + 14 B + 10C = 54 

Lösning av detta ekvationssystem ger: A = 2  B = 1 C = −3 

Slutsats: Partialbråksuppdelningen blir G( s ) =

2 1 3 + − s+2 s+5 s+7

* För partialbråksuppdelning av uttryck med multipelpoler [(s – p1) n där n ≥ 2] hänvisas till böcker i matematik

Bodes integralsats Antag att kretsöverföringen GPGR för ett system inte har några poler i högra halvplanet, samt att dess amplitudkurva har lutningen –40 dB/ dekad eller mer då ω → ∞. För systemets känslighetsfunktion S (se avsnitt 10.4 och 10.6) gäller då: ∞

∫ ln S(jω ) dω = 0 0

512

321_47-11212-8_Modern.indb 512

4/13/16 11:26 PM

Detta innebär att ytan under nivån |S| = 1 är lika stor som ytan över denna nivå i ett diagram där S ritas i logaritmisk skala, medan ω räknas i lineär skala. Detta betyder i praktiken att reducering av processtörningar i ett frekvensområde alltid innebär en förstärkning i ett annat område.

Bevis: Se t ex boken Glad, Ljung ”Reglerteori – Flervariabla och olineära metoder”

Kristianssons-Lennartsons tumregler Kristianssons-Lennartsons tumregler för PID-regulatorer bygger på samma experiment som Ziegler-Nichols metod, men erfordrar dessutom kännedom om processens lågfrekvensförstärkning |G( j 0)|.

Beräkningarna börjar med att processens kappatal beräknas:

κ=

G( jω π ) G( j 0)

Metod för PID-regulatorer då κ>0,1 PID-regulatorn förutsätts ha ett justerbart lågpassfilter på derivatadelen och ska vara parametriserad på följande form: GPID (s ) = K i ⋅

1 + 2ς sτ + (sτ )2 τ s(1 + s ) β

Använd följande formler för att bestämma Ki , τ, β och ς: K∞ =

(13 − 20κ ) G(j 0 )

fallet κ ≤ 0,5 for

K∞ =

3,0 G( j 0)

f or fallet κ ≥ 0,5

K1 =

(1,6κ 2 − 2,3κ + 1,1)ω π G( j 0)

1 = ω π (0,37 + κ ) τ ς = 0,8 K β= ∞ τ Ki

Kristianssons-Lennartsons metod ger i allmänhet en parameterinställ­ ning med god stabilitet, måttlig styrsignalaktivitet samt god förmåga att dämpa processtörningar.

Appendix

321_47-11212-8_Modern.indb 513

513

4/13/16 11:26 PM

Metod för PID-regulatorer då κ<0,1 Då κ är mycket liten eller icke-existerande används parametern κ135 i stället för κ (dvs kvoten mellan processens amplitudförstärkning vid den frekvens där fasen är –135 grader och dess lågfrekvensförstärkning |G( j 0)| ):

κ135 =

G( jω 135 ) G( j 0)

Använd följande formler för att bestämma Ki , τ, β och ς : K∞ = Ki =

13 G( j 0)

(3,7 − 6 ⋅κ 135)ω 135 G(j 0)

1 = (0,3 +1, 8 ⋅κ 135)ω 135 τ ς = 0,8

β=

K∞ τ Ki

Amigo-metoden Amigo-metoden är en ny tumregelmetod som togs fram i början av 2000-talet. Den baserar sig på undersökning av ett stort antal simulerade processer där man försökt finna approximativa inställningsregler som gör att den yta som reglerfelet bildar då ett reglersystem utsätts för en stegformad störning minimeras. Metoden bygger på att man mäter upp samma processparametrar (Ks, L och T) som i Lambdametoden.

AMIGO-reglerna för en PI-regulator är: 2  1  .T− T + 0,15 0,35  2 Ks  L ( L +T )  13 . LT 2 TI = 0,35 . L + 2 T + 12 . LT + 7 . L2

K=

och reglerna för en PID-regulator är: 1  T  0,2 + 0,45 .  L Ks 0,4 . L +0,8 . T .

L TI = L +0,1 . T 0,5 . LT TD = 0,3 . L + T K=

514

321_47-11212-8_Modern.indb 514

4/13/16 11:26 PM

De viktigaste laplacetransformerna Laplacetransform F(s)

Tidsfunktion f(t) för t > 0

1

Impulsfunktion δ(t)

Stegfunktion σ (t) 1 s 1 Rampfunktion t s2 1 t2 3 2 s 1

e–at s+a 1 e − at − e − bt ( s + a )( s + b ) b−a

t 1 − a 1− e s( 1 + as )

1 s( 1 + as )( 1 + bs ) 1 ( s + a )( s + b )( s + c ) s+a ( s + b )( s + c ) 1 ( s + a )2 1 2 s + a2 s 2 s + a2 1 2 s( s + a 2 ) 1 s 2 ( s 2 + a2 ) s+a

( s + a )2 + b 2 b

( s + a )2 + b 2

−

t

−

t

a ⋅e a b ⋅ e b 1− − a−b b−a e − at e − bt e − ct + + ( b − a )( c − a ) ( c − b )( a − b ) ( a − c )( b − c ) ( a − b )e − bt − ( a − c )e − ct c −b t ⋅ e − at 1 ⋅sin at a cos at 1 [1- cos at ] a2 1 [at - sin at ] a3

e–at · cos bt e–at · sin bt

Tabellen kan användas åt båda håll – både för att bestämma den tidsfunktion som motsvarar en viss transform, och för att bestämma transformen till en viss tidsfunktion.

Appendix

321_47-11212-8_Modern.indb 515

515

4/13/16 11:26 PM

De viktigaste z-transformerna Tidsdiskret z-transform F(z) funktion f(k) Positiv Negativ k ≥ 0 representation representation Enhetspuls Pe (k) 1 Enhetssteg Se (k)

z

z −1

1 1 − z −1

Enhetsramp f(k) = k

z

( z − 1) 2

z −1 ( 1 − z −1 ) 2

Enhetsparabel f (k) = k2

z 2 + z ( z − 1 )3

z −1 + z −2 ( 1− z −1 )3

Exponentialfunktion z z − a f (k) = ak

1 1 − az −1

1

zL

z–L

z 1− L z − 1 z

z − e−a

z −L 1 − z −1 1 1 − e − a z −1

sin ωk

z ⋅ sinω

2 z − ( 2 cosω) z + 1

z −1sinω 1 − ( 2cos ω )z −1 + z −2

cos ωk

z (z ⋅ cos ω )

2 z − (2cos ω)z + 1

z −1 ( 1 − z −1cos ω ) 1 − ( 2cos ω )z −1 + z −2

1 – e–ak

z ( 1 − e − a) ( z − 1)( z − e − a)

( 1 − e − a )z −1 ( 1 − z −1 )( 1 − e − a z −1 )

Fördröjd enhetspuls Pe (k – L) Fördröjt enhetssteg Se (k – L) e–ak

Några vanliga tidsdiskreta funktioner f(k) och deras z-transformer

516

321_47-11212-8_Modern.indb 516

4/13/16 11:26 PM

Tabell för diskretisering Tabell för diskretisering av kontinuerliga processer under antagande om styckvis konstant insignal. Samplingsintervallet = h Kontinuerlig process Diskretiserad process

G(s) H(z) K 1+ Ts K s

K ( 1 − e − h /T ) K ( 1 − e − hIT )z −1 = z − e − h /T 1 − e − h /T z −1 K ⋅ h K ⋅ h ⋅ z −1 = z − 1 1 − z −1

e − hs

z–1

K s( 1+ Ts )

K 2 s + a2

K s2

Kt ⋅

h −1 h )z + ( 1 − e − h /T ( 1 + ))z −2 T T 1 − ( 1 + e − h /T )z −1 + e − h /T z −2

( e − h /T − 1 +

K ( 1 − cos ah) ( z −1 + z −2 ) ⋅ a2 ( 1 − 2 cosah z −1 + z −2 ) Kh 2 ( z −1 + z −2 ) ⋅ 2 ( 1 − 2 z −1 + z −2 )

Vid diskretisering av processer G(s) som ej finns med i tabellen går det även att partialbråksuppdela G(s) i enklare termer, diskretisera termerna var för sig och därefter addera de diskretiserade överföringsfunktionerna.

Appendix

321_47-11212-8_Modern.indb 517

517

4/13/16 11:26 PM

Sakregister ABS-bromsar 19, 431 absolutbelopp 506 absolutlarm 446 absoluttryck 422 AD-omvandlare 298 adaptiv reglering 371, 450 aktiv stabilisator 18 akustiska mätare (ultraljudmätare) 421 aliaseffekten 342 amigometoden 204, 514 amplitudfunktion 338 amplitudförstärkning 133, 138 amplitudmarginal 164 analog reglering 48 andra ordningens system 95 argument 506 artificiella neurala nätverk 29 asymptot 145 automatisk bildstabilisering 22 autopilot 3, 17 autotuning 450 avvikelselarm 446 bandbredd 190, 191 begynnelse- och slutvärdessatsen 84, 309 begynnelsesatsen 84 BIBO-stabilitet 42 bilar och bussar 19 bilineär transform 354 block 10 blockschema 11 blockschemareduktion 124, 336 Bodediagram 137, 138 Bodes integralsats 190, 512 brytfrekvens 143 bubbelrörsmätare 426 börvärde 8 börvärdesfaktor 360 CAN-bussen 459 Center of Area 398 Center of Maximum 385 cykeltid 449 DA-omvandlare 298 datorbaserad reglering 296 datorbaserat reglersystem 298 datorstyrd fjädring 21

dead-beat-reglering 363 dead-beat-regulator 296 defuzzifiering 385, 397 deplacementmätare 419 deriverande block (D-block) 65 deriverande verkan 65 deriveringssatsen 83 determinant 509 diagonalform 280 differensekvation 304 differensoperator 314 differenspunkt 10 differenstransformen 355 differentialekvation 72 differentialgivare 429 differentialtransformator 424, 429 digital reglering 48, 296 digital pulsräknare 418 digitalt filter 304 dimensionering 194, 353 Direct Synthesis method 235 diskretisering 320 dynamik 348 dynamiska egenskaper 32 dynamiska system 32 dämpare 101 dämpningssatsen 84 dödtid 35 ECA600 443 egensäkra kretsar 451 egenvärden 281 ekonivågivare 427 elektrisk givare 404 elektriska system 104, 106 elektriskt lågpassfilter 34 elektromagnetisk flödesmätare 420 energibalanslagen 107 enhetsimpuls 81 enhetsmatris 509 enkelvariabla reglersystem 9 enloops PID-regulatorer 438 entydighetssatsen 84 Euler-transformen 355 ex-klassad utrustning 451 experimentell frekvensanalys 100, 141 exponentialfunktion 81, 307 externt börvärde 445

518

321_47-11212-8_Modern.indb 518

4/13/16 11:26 PM

faltningssatsen 134, 509 farthållare 21 fartyg 17 fasfunktion 338 fasmarginal 164 fasvinkel 506 fasvridning 134, 138 fjäder 101 flerstegsreglering 52 flottörgivare 427 flygplan 17, 249 flödesgivare 416 flödesreglering 15 Foundation fieldbus 459 framkoppling 243 frekvens 138 frekvensanalys 133 frekvensegenskaper 337 frekvenskurvor 137, 340 frekvenssvarsanalysator 142 fullständiga Nyquistkriteriet 162 Fuzzy Control 377 Fuzzy Logic 377 Fuzzy-regler 382 fältbussar 454 följereglering 12 fördröjd stegfunktion 80 fördröjningssatsen 83 förskjutningsoperatorn 88 förstärkning 54 givare 299, 404 halvvärdestid 407 Hart-protokollet 460 hastighetslarm 446 hysteres 405 högfrekvent störning 231 icke-minimumfas-process 38, 98, 158 ideal PlD-regulator 218 identifierbarhet 325 identifiering 99, 322 IMO-mätare 419 impulsfunktion 81 impulsinvariant transform 354 impulssvar 81 induktiv flödesmätare 420

induktiv pulsgivare 431 induktiv positionsgivare 429 Industrial ethernet 459 Industrirobot 251 insignalmatris 271 instabila system 41, 42

instabil process 41, 42, 97 instrumentscheman 472 insvängningstid 43 integration 36 integrationssatsen 84 integratoruppvridning(resetwindup) 447 integrerande reglering 59 integreringstid 59 interaktion 254 interbus 459 Internal Model Control 235 inverstransformering 86 inverterad pendel 39 invertering 509 IP-omvandlare 469 IR-pyrometer 416 jämförare 7 kabintrycksreglering 17 kalibrering 432 kapacitiv nivågivare 426 kapacitiv positionsgivare 429 karakteristisk ekvation 167, 169, 284 kaskadreglering 245, 450 kolvslidventiler 467 kompenseringsfilter 220 komplementär känslighetsfunktion 180 komplex impedans 105 komplexa tal 506 koncentrationsreglering 15, 111 kondensator 105 konstantreglering 12 kretsöverföring 161 Kristianssons-Lennartsons tumregler 513 kul- och kulsektorventil 467 kursvinkelreglering 17 kvarstående fel 44, 171, 174, 347, 510 kvotreglering 248 kägelventil 466 känslighet 185, 188 känslighetsfunktionen 189

519

321_47-11212-8_Modern.indb 519

4/13/16 11:26 PM

lag‑filter 221 lagkvot 222 lambdametoden 202 laplacetransformens definition 79 laplacetransformer 515 laplacetransformering 79 larmfunktion 446 Lead-filter 223 linearisering 121, 290, 448 linearitet 405 linearitetsfel 436 lineär karakteristik 464 lineär algebra 507 lineär differensekvation 300, 305 lineär differentialekvation 72 lineär process 32 lineära reglersystem 49 lingvistisk variabel 382 lingvistiska termer 382 logaritmisk karakteristik 464 lågfrekvensförstärkning 135, 340 låsningsfria bromsar 19 lägesställare 471 massa 101 Matlab 467 Matlab Control Toolbox 481 maximum-likelihoodmetoden 332 Mean of Maximum 398 medianvärdesmetoden 398 mekaniska system 101 membranställdon 469 minimumfas-system 158 minsta kvadratmetoden 322, 326, 329 modellbaserad dimensionering 235 modellering 99 motstånd 104 motståndstermometrar 409 multivariabel process 249 multivariabel reglering 249 multivariabla reglersystem 9 mätområdesfel 436 mätomvandlare 408, 410 mätstörning 177 mättekniskt brus 407 negativ återkoppling 125 Newtons andra lag 101 nivågivare 425 nivåreglering 4, 15, 111, 252 nivåsystem 263 Nyquistdiagram 154, 155 Nyquistkriteriet 160, 161, 162

observerbar kanonisk form 282 olineära reglersystem 49 olineära system 285 optimeringsmetod 195 optisk pulsgivare 431 oskarp logik 377 oskarp reglering 377 oskarpa mängder 377 Otto–Smith-regulator 233 ovalhjulsmätare 419 P&I-diagram 472 P-reglering 54 P-regulator 206 parallellkoppling 125 parameterstyrning 372, 450 parametrisk identifiering 100 partialbråksuppdelning 86, 511 PD-reglering 68 PD-regulator 65 PI-reglering 64 PI-regulator 210 PlD-regulator 65, 218, 438 PlD-regulator på serieform 219, 220 piezoelektriska system 424 piezoresistiva givare 424 PLC-system 439 pneumatiskt ställdon 469 polbestämning 167, 343 poler 167 polplacering med integralverkan 367 polplaceringsekvationen 359 polplaceringsmetoden 358 positionsgivare 428 positionsreglering 16 positiv återkoppling 126 potentiometersystem 423 prediktionsfelsmetoden 332 process med dödtid 35 process med en tidskonstant 33, 93 process med integration 36 process med komplicerad dynamik 234 process med lång dödtid 233 process med omvänt stegsvar 38 process med tre tidskonstanter 95, 118 process med två tidskonstanter 34, 94, 117 process med variabel överföringsfunktion 234 process med översväng 37, 120 processdator 440 processindustri 13 processtörning 178 profibus 457 programregulator 451

520

321_47-11212-8_Modern.indb 520

4/13/16 11:26 PM

proportionell reglering 54 proportionella bandet 54 Pt 100-givare 410 pulsgivare 431 pulsbreddsmodulering 449 rampfunktion 80, 231, 450 rampinvariant transform 354 reglerad storhet 5, 8 regleravvikelse 9 reglerbristkostnader 452 reglerfel 9 reglerobjekt 8 reglerprincip 48, 300 reglerventil 462 regulator 8 regulator med två frihetsgrader 240 rektangelpuls 80 relativ dämpning 96, 147 repeterbarhet 407 reset windup 447 resistiv positionsgivare 428 ringkolvmätare 419 robusthet 28, 46, 185 robust prestanda 46, 188 robust stabilitet 46, 187 rotordrivna mätare 418 Rouths metod 169 samplad signal 302 samplingsintervall 304 samplingstid 49 samplingstidpunkt 300 sant adaptiv regulator 373 Schur–Coons stabilitetskriterium 343 seriekoppling 124 servomotor 37 Shannons samplingsteorem 341 signal 10 Simulink 495 självinställande regulator 375 självlärande system 29 självsvängningsfrekvens 162 slutet system 9 slutvärdessatsen 309 snabbhet 42, 176, 406 snabböppnande karakteristik 464 spole 105 spårbarhet 434 stabilisator 4, 18 stabilisering 29 stabilitet 41, 160, 343

stabilitetsmarginal 164 stationär del 74 stationär utsignal 134 statisk karaktäristik 32 statisk noggrannhet 44, 170, 347 statiska egenskaper 31 statisk förstärkning 32 statiskt särkopplingsfilter 264 stegfunktion 79 stegsvar 32 stegsvarsidentifiering 100, 115 stigtid 43, 176 strikt propra system 272 strålningspyrometer 415 styrbar kanonisk form 282 styrdon 9 styrdon/ställdon 461 styrsignal 9 styrsignalbegränsning 177 ställdon 469 störning 9 störningsdämpning 28, 40, 177 summaoperator 314 summeringspunkt 10, 11 superpositionsregeln 82, 308 Swedac 434 system av typ ett 47 system av typ noll 47 systemmatris 271 system med en frihetsgrad 229 särkopplingsfilter 255, 262 sätesventil 466 takometergenerator 430 temperaturgivare 409 temperaturreglering 2, 14, 107 temperaturregulator 412 teoretisk modellering 99 termiskt system 276 termisk flödesmätare 421 termistor 415 termoelementgivare 413 termostatreglering 50 tidsdiskret enhetspuls 307 tidsdiskreta förskjutningssatsen 309 tidsdiskret PID-reglering 301 tidsdiskret reglering 296 tidsdiskret stegfunktion 306 tidskonstant 33 tillhörighetsfunktion 381, 393 tillhörighetsgrad 381 tillslagstid 449

521

321_47-11212-8_Modern.indb 521

4/13/16 11:26 PM

tillstånd 269 tillståndsform 270 tillståndsmodeller 269 tillståndsåterkoppling 292 torrblockskalibrator 432 transient del 74 trelägesregulator 53 trevägsventiler 468 tryckdifferensmätare 417 tryckgivare 422 tryckkraftmätare 421 trycknivågivare 425 trådtöjningsgivare 424 tumregelmetoder 195 turbinhjulmätare 419 Tustins approximation 354 Två- tre- och fyrledarteknik 412 tvålägesreglering 49 tyngdpunktsmetoden 398 typsiffra 47 ultraljud-, laser- och mikrovagsmätare 429 undertryck 422 upplösningsförmåga 407 utsignalmatris 271 varvtalsgivare 430 varvtalsreglering 16

ventilauktoritet 464 ventilkarakteristiker 464 ventilkoefficient 462 venturimunstycke 418 venturirör 418 verkstadsindustri 16 vinghjulsmätare 418 virvelmätare 421 vitt brus 331, 504 volymflödesmätare 419 vortexmätare 421 vridpluggsventiler 467 z-transformen 306 z-transformens definition 306 z-transformer 516 Ziegler–Nichols svängningsmetod 196 återkopplat system 5 ärvärde 8 öppet system 9 överbestämda ekvationssystem 328 överföringsfunktion 85 överkorsningsfrekvens 177 överordnade system 30 översväng 37 övertryck 422

522

321_47-11212-8_Modern.indb 522

4/13/16 11:26 PM

ISBN 978-91-47-11212-8 © 2016 Bertil Thomas och Liber AB Redaktör: Björn Magnusson Teckningar: Eva Henningsson

Ingvar Andersson

Björn Magnusson Grafisk form: Björn Larsson Ombrytning och repro: Integra Software Services, Indien Femte upplagan 1 Tryck: People Printing, Kina 2016

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUSavtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/ universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

321_47-11212-8_Modern.indb 2

4/13/16 11:24 PM

teoretisk som en tillämpad synvinkel. Den lämpar sig mycket väl för en första kurs i ämnet på högskolenivå, t.ex. inom högskoleoch civilingenjörsutbildningar. Det är en av landets mest väletablerade läroböcker på området och bygger på material som har utvecklats i mer än 20 år i författarens egen undervisning.

Den nya femte upplagan har moderniserats både till form och till innehåll för att så bra som möjligt svara mot lärares och studenters behov av en komplett och aktuell kursbok.

Till faktaboken finns också en övningsbok med en stor mängd övningar som tränar studentens förmåga att förstå och tillämpa innehållet i bokens samtliga kapitel.

Modern Reglerteknik består av 24 kapitel indelade i

Bertil Thomas är docent vid Chalmers Tekniska Högskola.

Modern Reglerteknik Bertil Thomas

Bertil Thomas

fem delar: Den första delen ger en allmän introduktion till ämnet.

Del 2–4 behandlar grundläggande reglerteori. Här finns bland annat avsnitt om modellering, laplacetransformering, frekvensanalys, dimensionering av reglersystem, tillståndsmodeller, tidsdiskret reglering och fuzzy control.

Bokens avslutande del tar upp praktisk reglerteknik (komponenter, givare, signalöverföring med mera) samt simulering av reglersystem med Matlab och Simulink. Boken är främst avsedd för reglertekniska kurser på högskole- och civilingenjörsutbildningar.

Ett appendix sammanfattar den nödvändiga matematiska bakgrunden.

Modern Reglerteknik

Modern Reglerteknik behandlar reglertekniken, såväl ur en

Best.nr 47-11212-8 Tryck.nr 47-11212-8

9789147112128c1f.indd 1

4/18/16 5:20 PM