B B-kurs
i matematik
B
är en bok för gymnasiets
B
Matematik
Matematik
Matematik
Anna Norberg Gunilla Viklund Lars Burström
Matematik B har en mycket tydlig struktur med
• • •
en modell för varje viktigt delmoment t ypexempel och övningsuppgifter till varje modell blandade övningar på tre nivåer Bonniers
Matematik B är avsedd för SP, ES och gymnasiets yrkesinriktade program. Matematik B är en fortsättning på Matematik A från Bonnier Utbildning.
Volym
M ED
G
D RA
789162 288150 (8815-0)
www.bonnierutbildning.se
Matematik B omslag.indd 1
U PP
9
M ED
ET
ISBN 978-91-622-8815-0
D RA
G
U PP
ET
Radie
x 2 – 6x + 5 = 0 första snurren
andra snurren
tredje snurren
08-06-10 13.22.17
B
Matematik Anna Norberg Gunilla Viklund Lars Burstrรถm
Bonnier Utbildning
Matte B - s i-v.indd 1
08-05-26 10.40.26
Bonnier Utbildning Postadres: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order/ Läromedelsinformation Telefon 08 - 696 86 00 Telefax 08 - 696 86 10 Redaktör: Karolina Danström Grafisk form och grafiska bilder: Bånges Grafiska Form AB Teckningar: Magdalena Wennberg-Lavebratt Bildredaktör: Lena Nistell Matematik B ISBN: 978-91-622-8815-0 © 2002 Anna Norberg, Gunilla Viklund, Lars Burström och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Andra upplagan Första tryckningen Bildförteckning
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck Korotan, Ljubljana 2008
Matte B - s i-v.indd 2
Omslag: Anna Hult/Tiofoto 2 Magnus Fond/Pressens Bild 3 Bonnier Utbildning 20 Pictor/IBL Bildbyrå 21 Bonnier Utbildning 22 Karolina Danström 24 Frank Chmura/Tiofoto 28 Martin Skoog/Megapix/eyeQnet 30 Magnus Bergström/Pressens Bild 40 PhotoDisc 43 Magnus Fond/Pressens Bild 49 Harry Nowell/First Light/Megapix 50 Henrik Montgomery/Pressens Bild 65 Tony Norström/SCANPIX 68 SCANPIX 72 Folke Hellberg/Pressens Bild 79 Burger King 85 Adobe Image Library 87 Svenska Shell 92 Jan Rietz/Tiofoto 97 Lena Paterson/Tiofoto 112 Rob Lewine/Corbis Stock Market/SCANPIX 128 Ingvar Andersson/Pressens Bild 130 Roger Turesson/Pressens Bild 134 Jessica Gow/Pressens Bild 136 Södra 151 Mathias Rahm/Pressens Bild 162 Jeppe Wikström/Pressens Bild 169 PhotoDisc 172 Peter K-Henriczon/Pressens Bild 174 Burger King
08-05-26 10.40.27
1
Sannolikhetslära
Modell 1
3 Beräkna sannolikheter för slumpförsök i flera steg 11
4 Beräkna sannolikheter för slumpförsök i två steg 15
5 Sannolikheter som är beroende av tidigare slumpförsök 18
Blandade övningar 21
Utvärdering 27
2
Statistik
Modell 1
Hur gör man en statistisk undersökning? 33
2 Jämför lägesmått och tolka spridningsmått 36
3 Bortfallsanalys 39
4 Felmarginal 41
Blandade övningar 43
Utvärdering 47
3
Olikheter
Modell 1
Intervall på tallinjen 52
2 Linjära olikheter 56
3 Tolka diagram för olikheter och likheter 59
4 Problemlösning med olikheter 63
Blandade övningar 65
Utvärdering 70
4
Ekvationssystem
Modell 1
Matte B - s i-v.indd 4
Utfall och sannolikhet 5
2 Göra undersökningar och uppskatta sannolikheten 8
Förenkla uttryck 74
2 Lösa ekvationssystem med additionsmetoden 75
3 Lösa ekvationssystem med substitutionsmetoden 80
4 Problemlösning med ekvationssystem 82
Blandade övningar 85
Utvärdering 90
08-05-26 10.40.40
5
Geometri
Modell 1
2 Pythagoras’ sats 99
3 Rand- och medelpunktsvinklar 103 Blandade övningar 105
Utvärdering 110
6
Andragradsekvationer
Modell 1
Multiplicera med parenteser 115
2 Kvadreringsregeln och konjugatregeln 117
3 Fullständiga andragradsekvationer 120
4 Fler andragradsekvationer 122
5 Problemlösning med andragradsekvationer 125
Blandade övningar 127
Utvärdering 132
7
Funktioner
Modell 1
Bestäm k- och m-värdet för räta linjer 137
2 Räta linjens ekvation på formen y = kx + m 141
3 Rita grafen till räta linjens ekvation 143
4 Grafisk lösning av linjära ekvationssystem 146
Matte B - s i-v.indd 5
Likformiga figurer 95
Blandade övningar 149
5 Funktioner och beräkning av funktionsvärdet 154
6 Exponentialfunktioner 156
7 Andragradsfunktioner 158
Blandade övningar 163
Utvärdering 167
Uppdraget
170
Repetitionsuppgifter
194
Facit
207
Register
227
08-05-26 10.41.02
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.42
1
Sida 2
Sannolikhetslära
Mål:
För att uppnå målet måste du kunna:
Du ska kunna beräkna och uppskatta sannolikheter, både teoretiskt och experimentellt.
• ange utfall och beräkna sannolikheter • göra undersökningar och uppskatta sannolikheten • beräkna sannolikheter för slumpförsök i flera steg • beräkna sannolikheter för slumpförsök där
Vilket är mest troligt?
sannolikheten är beroende av tidigare slumpförsök.
• Du vinner ett tärningsspel med två andra deltagare.
• Du vinner i ett lotteri med 30 % vinstchans. • Du drar ett kort högre än nio ur en kortlek.
• Du får krona två gånger i rad när du singlar slant två gånger.
2
Tärningen har sex sidor, och det är lika lätt att få en sexa som att få en etta eller tvåa. Men tänk om det är en fusktärning? Hur många gånger måste du kasta en tärning för att bevisa att alla sidor förekommer lika ofta?
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.42
Sida 3
Sannolikhetslära
1
Du kan göra försök och mäta resultatet och på så sätt beskriva olika fenomen. Då beskriver du hur någonting redan är. Om du i stället vill föreslå hur något blir i framtiden, bestämmer du sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa.
I en chokladkartong finns 60 chokladpraliner. Av dessa innehåller 16 körsbärslikör, 32 ägglikör och resten hasselnöt. Pralinerna ser likadana ut. Linn är nötallergiker men vill gärna ta en pralin. Hur stor är risken att hon får i sig en hasselnöt? Sannolikheten kallas risk när man inte vill att något ska inträffa. Det är 12 av de 60 pralinerna som innehåller nötter. Risken är alltså 20 % att hon får i sig nötter, eftersom 12/60 = 0,2. Risken är för stor för att Linn ska våga ta en pralin. Tant Augusta älskar likör, både körsbärslikör och ägglikör. Hur stor är chansen att hon får en pralin med likörsmak? Sannolikheten kallas chans när man vill att något ska inträffa.
Chansen är 80 % att hon får en likörpralin, eftersom 48/60 = 0,8. 3
Matte B - s 2-29 - 1
1
08-05-26
11.42
Sida 4
Sannolikhetslära
Om du provsmakar en bit choklad ur chokladkartongen kan man säga att du utför ett slumpförsök. Slumpförsöket kan ge tre olika utfall: körsbärslikör, ägglikör och hasselnöt. Vill du veta hur många praliner det finns av varje sort? Då måste du göra en undersökning för att ta reda på det. Kanske räcker det med att läsa på kartongen, eller kanske måste du smaka på chokladbitarna! Ju fler bitar du smakar på, desto säkrare blir du på hur stor andel det finns av varje sort. Ett annat slumpförsök är att kasta en tärning. Det finns sex möjliga utfall: etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa. Om tärningen är helt symmetrisk behöver du inte göra någon undersökning, utan kan beräkna sannolikheten teoretiskt. Sannolikheten är en sjättedel för varje utfall. När du beräknar den teoretiska sannolikheten måste du förstås veta exakt hur många gynnsamma utfall och hur många möjliga utfall det finns. Gynnsamma utfall är sådana man vill ha, och möjliga är alla som finns. Slumpförsök
Möjliga utfall
Kasta tärning
Etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa
Välja en veckodag
Måndag, tisdag, onsdag, torsdag, fredag, lördag, söndag (7 möjliga utfall)
Tappa en smörgås
Smörsidan upp, smörsidan ner
(2 möjliga utfall)
Singla slant en gång
Krona, klave
(2 möjliga utfall)
Singla slant två gånger
Krona-krona, krona-klave, klave-krona, klave-klave (4 möjliga utfall)
(6 möjliga utfall)
Gemensamt för alla slumpförsök är att man inte i förväg kan säga vad resultatet kan bli. DAGEN S VINS T EN VA NDR GLÖDA ING PÅ NDE K OL
Vadå risk? Chans menar du?
Hur stor är risken att man vinner på det lotteriet? 4
Får jag trehundra lotter, tack?
Det är vinst på alla lotter!
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.42
Sida 5
Sannolikhetslära
1
MODELL
1
Utfall och sannolikhet Sannolikheten förkortas p efter det engelska ordet probability som betyder sannolikhet. Sannolikheten kan anges i decimalform, som procent eller i bråkform. Om man är helt säker på att något ska ske blir sannolikheten 1 (eller 100 %), om man är säker på att det inte ska ske är sannolikheten 0. Sannolikheten blir alltså ett tal mellan noll och ett. Sannolikheten p beräknas: p =
antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall
där gynnsamt utfall är det man vill ha, och möjliga utfall är samtliga utfall som finns. Om du vet hur stor sannolikheten är för att något ska inträffa, kan du enkelt räkna ut komplementhändelsen, som är sannolikheten för att det inte ska inträffa. 1 – p kallas komplementhändelsen. E X E M P E L
A
Joel slår ett slag med sin tärning. a)
LÖSNING
p=
b) LÖSNING
Hur stor är sannolikheten att han får en fyra? 1 6
p = antalet gynnsamma utfall/antalet möjliga utfall. Tärningen har sex möjliga utfall. Det finns bara ett gynnsamt utfall, nämligen en fyra.
Hur stor är sannolikheten att han inte får en fyra?
Sannolikhet för att få en fyra: 1 p= 6 Sannolikhet för att inte få en fyra: 1 5 1–p=1– = 6 6 c)
LÖSNING
Att han inte får en fyra är komplementhändelse till att han får en fyra.
Hur stor är sannolikheten att han får ett udda tal?
p=
3 1 = = 0,5 6 2
Svar:
a)
1 6
b)
5 6
c)
1 2
Det finns tre udda tal på tärningen, alltså tre gynnsamma utfall. Du kan svara med bråk eller decimaltal. 5
Matte B - s 2-29 - 1
1
08-05-26
11.42
Sida 6
Sannolikhetslära
E X E M P E L
B
Olivia har köpt en godispåse med skumtomtar. Det finns 24 tomtar i hennes påse: tre med vaniljsmak, åtta med banansmak och resten med jordgubbssmak. Olivia tar en skumtomte utan att titta. Hur stor är sannolikheten att hon tar en med vaniljsmak? 3 1 p= = ≈ 0,13 Det finns 3 gynnsamma utfall av 24 möjliga. 24 8 Förkorta bråket eller använd miniräknaren. a)
LÖSNING
Hur stor är sannolikheten att hon inte tar en med banansmak? 8 16 2 1–p=1– = = ≈ 0,67 Att hon inte tar en med banansmak 24 24 3 är komplementhändelse till att hon tar en med banansmak. b)
LÖSNING
Hur stor är sannolikheten att hon varken tar en med banansmak eller en med jordgubbssmak?
c)
LÖSNING
Beräkna först sannolikheten att hon tar en tomte med banansmak eller en med jordgubbssmak. p=
8 13 21 + = 24 24 24
Beräkna sedan komplementhändelsen till det.
E X E M P E L
C
1–p=1–
21 3 1 = = ≈ 0,13 24 24 8
Svar:
1 8
6
b)
2 3
c)
1 8
I ett lotteri finns det 500 lotter. Man kan vinna visselpipor eller ficklampor. Sannolikheten att vinna en visselpipa är 0,2. Sannolikheten att vinna en ficklampa är 0,05. a)
LÖSNING
a)
Komplementhändelsen är att hon tar en tomte med vaniljsmak!
Hur många lotter med vinst i form av visselpipor finns det?
0,2 · 500 = 100
Sannolikheten är 0,2 = 20 %. Antalet möjliga utfall är 500. Beräkna 20 % av 500.
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.42
Sida 7
Sannolikhetslära
b) LÖSNING
Hur många vinstlotter finns det?
0,05 · 500 = 25
5 % av lotterna är ficklampsvinster och 100 var visselpipsvinster.
Antalet vinstlotter: 100 + 25 = 125 c) LÖSNING
1
Hur många nitlotter finns det?
500 – 125 = 375 Svar:
a)
100
b)
125
c)
375
101
Stefan slår ett slag med tärningen. Beräkna sannolikheten att han a) får en trea b) får en tvåa eller en fyra c) får ett jämnt tal d) inte får en sexa
102
Det finns 40 stenkulor i påsen. Annika tar en kula. Hur stor är sannolikheten att kulan är a) röd b) blå c) gul d) röd eller vit e) röd eller grön
103
Misse tar en kula ur påsen. Hur stor är sannolikheten att kulan a) inte är blå b) inte är grön c) varken är blå eller vit d) varken är grön eller vit
104
Stina och Farsad säljer lotter åt hockeylaget. Sannolikheten att dra en högvinst är 0,05 och sannolikheten att dra en lågvinst är 0,15. Resten är nitlotter. Totalt finns det 1 260 lotter. a) Hur många högvinstlotter finns det? b) Hur många lågvinstlotter finns det? c) Hur stor är sannolikheten att få en vinst? d) Hur många nitlotter finns det?
105
Sannolikheten att dra ett klätt kort ur en vanlig kortlek är ungefär 0,23. Hur många av de 52 korten är klädda kort? UPPDRAG P1 K1
7
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.43
Sida 11
Sannolikhetslära
3
MODELL
1
Beräkna sannolikheter för slumpförsök i flera steg Om man upprepar ett slumpförsök flera gånger så blir det svårare att hålla reda på alla kombinationer av utfall. Då kan man ta hjälp av grafiska metoder genom att rita bilder och diagram. Ett träddiagram kan ge en överskådlig bild av de olika möjliga utfallen.
E X E M P E L
A
Under ett hus springer 100 råttor i avloppssystemet. I första förgreningen springer hälften åt väster och hälften åt öster. I andra förgreningen delar råttorna upp sig på 70 och 30 %, respektive 60 och 40 %.
väster
100 råttor
50%
70 %
a) LÖSNING
50 %
60 %
40 %
Hur många kommer fram till högen med matrester?
50 % av 100 råttor: 0,5 · 100 = 50 Det är 50 råttor som sticker mot matresterna i första förgreningen. 70 % av 50 råttor: 0,7 · 50 = 35 Det är 35 råttor som slutligen når maten. Detta kan skrivas: 0,5 · 0,7 · 100 = 35 Multiplicera andelen i varje förgrening med Svar: 35 råttor når matresterna. totala antalet råttor. b)
LÖSNING
30 %
öster
Hur många procent av råttorna hamnar i råttfällorna?
Det är 50 % av råttorna som viker av mot råttfällorna i första förgreningen, och 40 % av dessa hamnar till sist i fällorna. p = 0,5 · 0,4 = 0,2 = 20 %
Välj rätt gren och multiplicera andelarna.
Svar: 20 % av råttorna hamnar i råttfällorna. 11
Matte B - s 2-29 - 1
1
08-05-26
11.43
Sida 12
Sannolikhetslära
c) LÖSNING
Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.
Skriv andelarna på varje förgrening. väster
öster 0,5
0,5
0,3
0,7
matrester
E X E M P E L
B
råttbo
0,4
råttbo
råttfällor
Ludvig singlar slant två gånger. Han kan få krona eller klave. a)
LÖSNING
0,6
Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.
Han kastar myntet två gånger. Sannolikheten är 0,5 att det blir krona och 0,5 att det blir klave.
krona
0,5
0,5
klave
0,5
0,5
A
b) LÖSNING
0,5
B
C
0,5
D
Hur stor är sannolikheten att han först får krona och sedan klave?
Gren B innebär först krona och sedan klave: p = 0,5 · 0,5 = 0,25
Välj rätt gren och multiplicera sannolikheterna.
Svar : Sannolikheten är 0,25. Hur många gånger bör han få krona-krona om han gör 40 kastomgångar?
c)
LÖSNING
Gren A innebär krona-krona: p = 0,5 · 0,5 = 0,25 0,25 · 40 = 10
Multiplicera sannolikheten med antalet omgångar.
Svar : Han bör få krona-krona 10 omgångar. 12
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.43
Sida 13
Sannolikhetslära
E X E M P E L
C
Robin spelar tre gånger på chokladhjulet. Han kan få vinst eller nit.
nit
vinst
nit
Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.
1
nit
a)
LÖSNING
nit
nit
nit
Av 10 fält är det bara ett som ger vinst. Sannolikheten för vinst är 1/10 = 0,1, och för nit 0,9.
nit nit
nit
vinst 0,1
första snurren
andra snurren
0,1
tredje snurren
A
0,1
0,9
0,9
0,1
B
C
0,9
0,9
D
nit
0,1
0,9
0,9
0,1
0,1
E
F
G
0,9
H
De olika grenarna har olika betydelse, t.ex. betyder gren A vinst alla tre gångerna.
b) LÖSNING
Hur stor är sannolikheten att hjulet stannar på nit alla tre gångerna?
Gren H innebär nit alla tre gångerna: p = 0,9 · 0,9 · 0,9 = 0,729 ≈ 0,73
Välj rätt gren och multiplicera sannolikheterna.
Svar : Sannolikheten för nit alla tre gångerna är 0,73.
c) LÖSNING
Hur stor är sannolikheten att han får exakt en vinst?
En vinst finns det på grenarna D, F och G: Sannolikhet för gren D: 0,1 · 0,9 · 0,9 = 0,081 Sannolikhet för gren F: 0,9 · 0,1 · 0,9 = 0,081 Sannolikhet för gren G: 0,9 · 0,9 · 0,1 = 0,081 Lägg ihop sannolikheterna för de tre grenarna. p = 0,081 + 0,081 + 0,081 = 0,243 ≈ 0,24 Svar : Sannolikheten för exakt en vinst är 0,24. 13
Matte B - s 2-29 - 1
1
08-05-26
11.43
Sida 14
Sannolikhetslära
109
Råttor springer i ett rörsystem. I första förgreningen springer 25 % till öster och 75 % till väster. I de andra förgreningarna springer 10 % till öster och 90 % till väster. a) Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen. b) Hur stor är sannolikheten att en råtta springer först till öster och sen till väster? c) Av 1000 råttor, hur många springer till väster i båda korsningarna?
110
Olle har ett par svarta och ett par blå jeans. Han har en röd och tre gröna tröjor. På morgonen väljer han slumpmässigt mellan de olika kläderna. 0,5
0,25
a) b) c) d)
14
0,75
0,5
0,25
0,75
Hur stor är sannolikheten att han tar blå byxor och röd tröja? Hur stor är sannolikheten att han tar svarta byxor och grön tröja? April har 30 dagar. Hur många dagar i april har Olle på sig blå byxor och grön tröja? Hur många av terminens 84 dagar har Olle svarta byxor och röd tröja?
111
Klara singlar slant två gånger. a) Hur stor är sannolikheten att hon får klave-klave? b) Hur stor är sannolikheten att hon får krona och klave, oberoende av ordningen?
112
Det är fotbollskväll och familjen har dukat med både grillchips och dillchips, och man kan välja mellan Coca Cola och Fanta. Pernilla väljer slumpmässigt mellan sorterna. Hur stor är sannolikheten att hon äter grillchips och dricker Fanta?
113
Cecilia drar tre gånger i den enarmade banditen. Vinstchans 25 % står det på maskinen. a) Hur stor är sannolikheten att Cecilia vinner exakt en gång? b) Hur stor är sannolikheten att hon vinner någon gång, alltså en, två eller tre gånger?
114
Ian satsar på hästar. Det körs tre lopp. I varje lopp deltar fem hästar. Hur stor är sannolikheten att han slumpmässigt prickar in tre vinnare?
UPPDRAG K2
Matte B - s 2-29 - 1
1
08-05-26
11.43
Sida 20
Sannolikhetslära
118
Tim har en påse med äpplen. Det finns 5 Golden delicious (gult)och 8 Red delicious (rött). Utan att titta i påsen tar han två äpplen och ger till sina snälla lärare Anna och Gunilla. Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen. a) Hur stor är sannolikheten att både Anna och Gunilla får röda äpplen? b) Hur stor är sannolikheten att Anna först får ett gult äpple och att Gunilla sedan får ett rött?
119
Ingrid har 6 vita och 1 gul golfboll i sin golfbag. Hon tar upp en boll utan att titta, och slår i väg den. Bollen hamnar ute i vattnet. Hon måste ta en boll till. Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.
a) b)
Hur stor är sannolikheten att hon använder två vita bollar? Hur stor är sannolikheten att hon använder en vit och en gul boll?
120
Fares är med i ”Fångarna på fortet”. I en burk finns det tio spindlar. På fem av spindlarna finns det lösenord. Han plockar upp tre spindlar och lägger dem i en annan burk. a) Hur stor är sannolikheten att han först får en spindel med lösenord, sedan en utan, och sist en med lösenord? b) Hur stor är sannolikheten att Fares fått upp exakt en spindel med lösenord?
121
Mimmi förvarar gamla odugliga batterier ihop med nya i en låda. Hon behöver tre nya batterier till sin cd-spelare. Hur stor är chansen att hon direkt får spelaren att fungera om det finns 5 nya och 12 gamla batterier i lådan?
20
UPPDRAG K3 L2
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.43
Sida 21
Sannolikhetslära
G 122
BL ANDADE ÖVNINGAR
Para ihop uttrycken nedan. Risken är 0,8 Chansen är 99,9 % Risken är 99,9 % Chansen är 0,2
123
1
att bli blöt när du går i regnet. att svara fel när du gissar på en kryssfråga med 5 alternativ. att hinna med bussen när du kommer 7 minuter innan den avgår. att svara rätt när du gissar på en kryssfråga med 5 alternativ.
Para ihop sannolikheterna. 0,5
0,25
0,000 0006
1
0,0027
Sannolikheten att den väntade bebisen är en flicka b) Sannolikheten att slumpmässigt få 13 rätt på stryktipset c) Sannolikheten att det är höst d) Sannolikheten att det är din födelsedag i dag e) Sannolikheten att det blir julafton inom loppet av 12 månader a)
124
Det finns cirka 4 miljoner hushåll i Sverige. Ett av dessa hushåll ska väljas ut till ett underhållningsprogram i tv. Uppskatta sannolikheten att det blir ditt hushåll.
125
Det finns 52 kort i en kortlek, 13 av varje färg. Jack drar slumpmässigt ett kort. Hur stor är sannolikheten att kortet a) är en ruter? b) är en trea? c) är en ruter trea? d) är ett ess eller en kung? e) inte är en klöver? f) inte är spader ess?
21
Matte B - s 2-29 - 1
1
24
08-05-26
11.43
Sida 24
Sannolikhetslära
134
Du drar tre kort ur en vanlig kortlek. Vad är sannolikheten att du får triss i ess om du a) varje gång lägger tillbaka det dragna kortet i kortleken innan du tar ett nytt? b) tar alla tre kort på en gång?
135
Zack har fyra sura och sju salta godisbitar i en påse. Han tar först en och äter upp den, och sedan en till, utan att titta. a) Hur stor är sannolikheten att han får två salta? b) Hur stor är sannolikheten att han får en sur och en salt?
136
Youseff har en kartong med ett dussin ägg, varav fyra är kokta och resten råa. Han behöver tre ägg till pannkakssmeten. a) Hur stor är sannolikheten att han tar tre kokta ägg? b) Hur stor är sannolikheten att han får minst ett kokt?
137
Det är 1 000 personer som åker med färjan till Djurgården under en dag. Av dessa går 400 på Gröna Lund och resten på Skansen. Av dem som gick på Gröna Lund kommer hälften att äta där. Av dem som gick på Skansen kommer 75 % att äta där. a) Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt utvald person på färjan går på Skansen och äter där? b) Hur stor är sannolikheten att en person äter på något av ställena? c) På Gröna Lund kostar en måltid i genomsnitt 85 kr, på Skansen kostar en måltid i genomsnitt 125 kr. Hur mycket äts det för den dagen på Gröna Lund? På Skansen?
Matte B - s 2-29 - 1
08-05-26
11.43
Sida 25
Sannolikhetslära
G
— --
BL ANDADE ÖVNINGAR
nit
vinst nit
nit
nit
138
1
ånger de fem g kladhjulet la e p s g Ja på cho Det skulle nummer g. på olika na en enda gån elat på p s in v g t ja t utan a rit bättre om er. a m v m a h nit mma nu sa
vinst
nit
nit
nit
Det spelar väl ingen roll om man spelar på samma eller olika nummer. Det är ändå bara 20 % chans att vinna. Det gör det väl. Om man spelar på samma nummer varje gång måste det ju dyka upp någon gång.
Vem har rätt? Hur många procents chans är det att vinna minst en gång när man spelar fem gånger på olika nummer och vinstchansen för varje spel är 20 %? Blir det någon skillnad om man spelar på samma nummer? 139
Hur stor chans är det att få alla lika (Yatzy) när du kastar fem tärningar? Spelar det någon roll om man slår alla tärningar på en gång, eller en i taget?
140
I en klass på 22 elever varav 12 är flickor heter tre elever Emma, och två elever Tobias. En pojke och en flicka ska lottas ut till ett tävlingslag. a) Hur stor är sannolikheten att en av flickorna som väljs ut heter Emma? b) Hur stor är sannolikheten att en som heter Emma och en som heter Tobias väljs ut? c) Hur stor är sannolikheten att en som heter Tobias och en som inte heter Emma väljs ut?
141
Caroline fyller år den 25 maj. a) Caroline träffar sin kompis Peter. Hur stor är sannolikheten att Peter har samma födelsedag som Caroline? b) Caroline och Peter träffar André. Hur stor är sannolikheten att alla tre har samma födelsedag? 25
U ppdraget Människor har i alla tider försökt lösa problem och lära sig mer om det okända. Det är viktigt att kunna strategier för att lösa problem och att kunna kontrollera andras lösningar för att inte bli lurad. I detta kapitel får du olika uppdrag att lösa. Det ska du göra ensam eller tillsammans med dina klasskamrater, teoretiskt eller praktiskt. Du ska presentera dina lösningar så att de är lätta att följa och förstå. Du ska också försöka använda ett så korrekt matematiskt språk som möjligt. Problemlösning P1–P20
Begåvning är visserligen bra att ha, men det räcker inte för att bli en bra problemlösare. Alla behöver övning. Kreativitet, självförtroende, tålamod och förmågan att tänka logiskt behöver utvecklas, men vikti gast är nog att använda de kunskaper som man redan har. Eftersom det inte finns några enkla regler för hur matematiska problem ska lösas så gäller det att tänka efter vad man känner till sedan tidigare, och då inte bara det man lärt sig på matematiklektionerna.
Kommunikation K1–K16
Ofta finns det flera lösningar på ett problem. De olika lösningarna kan ha både för- och nackdelar. Det kan också finnas flera vägar som leder fram till lösningarna. När du arbetar tillsammans med andra och kommunicerar kring problemet finns det goda chanser att värdera olika metoder och på så sätt komma fram till den bästa lösningen. Kommunikationsuppgifterna passar väldigt bra att arbeta med i grupp. I det här avsnittet finns uppgifter som kan lösas på olika sätt, och ni behöver kanske leta fakta i andra böcker eller på internet för att hitta den information som krävs för att lösa uppgiften.
Laborationer L1–L11
Här ska du lösa problem praktiskt. Detta kan du göra genom att mäta, väga och konstruera men också genom att söka data, mönster och samband. Du kan dessutom ofta kontrollera ditt resultat. I flera av uppgifterna är det dock inte resultatet utan processen som är det viktiga för din inlärning. Därför måste du vara mycket noggrann med att göra anteckningar så att de är lätta att följa när du ska redogöra för vad du har gjort. Du har stor användning av din räknare eller av en dator. Ledning till några av uppdragen finns på sidan 193.
170
Matte B - s 170-179 - Problemlo�170 170
08-05-26 12.56.40
Problemlösning P1
Spel och dobbel
P11 Skugghastighet
P2
Tre lådor med lappar
P12 Mer om andragradsekvationer
P3
Mer om felmarginal
P13 Olsson han hade en bonnagård …
P4
Kul med kulor!
P14 Jeopardy!
P5
Vad gäller?
P15 Martas trädgård
P6
Medellängden i ES2A
P16 Stolsfabriken
P7
Näringsinnehållet i maten
P17 Kul nästan jämt!
P8
Tända ljus
P18 Utsläpp som kostar
P9
Samma triangel – olika problem
P19 Funktioner och ekvationer
P10
Mullebyn
P20 Köpa ny bil?
Kommunikation K1
Skylttrubbel
K9
Statistikskolan
K2
Tunnelbanan
K10 Break even
K3
Spela kula
K11
K4
Fruktstunden
K12 Syltfabriken
K5
Playlists
K13 Randvinkelsatsen
K6
Skyhöga bensinpriser …
K14 Andragradsekvationer
K7
Biostatistik
K15 Goda nyheter
K8
Vill du plugga vidare?
K16 Mer om funktioner
Du är värsta läraren!
Laborationer L1
Bulls eye
L7
Likformiga vikningar
L2
Trådigt värre!
L8
Trianglar och kvadrater
L3
Hur långt är lika långt till skolan?
L9
Snöret
L4
Triangelolikheten
L10 Räta linjer på grafritande räknare
L5
En skruv lös …
L11 McDonalds
L6
Tändsticksaskar
171
Matte B - s 170-179 - Problemlo�171 171
08-05-26 12.56.40
Problemlösning
P15 Kapitel 6 sidan 131
Upp draget
Martas trädgård I Martas trädgård finns ett rektangulärt område som är 4,82,4 m. Marta tänker göra en blomrabatt i mitten av området och lägga plattor runt rabatten. • H ur stor area upptar plattorna om de är kvadratiska med sidan 0,4 m? • Visa att plattornas area bestäms av andragradsekvationen A = − 4,0x 2 + 14,4x, där x är plattornas sida. • H ur stora plattor ska hon i stället välja om hon vill att rabatten ska vara 4,32 m2? Hur många plattor behöver hon då?
P16
Stolfabriken
Kapitel 7 sidan 145
Vid produktion av pinnstolar i Stolbolaget AB är de fasta kostnaderna 340 000 kr och de rörliga kostnaderna 35 kr per stol. • F örklara att kostnaden kan skrivas y = 35x + 340 000 och rita grafen till funktionen. Teckna den funktion som beskriver försäljningssumman om varje stol säljs för 103 kr och rita funktionens graf. • Hur många stolar måste säljas för att försäljningssumman ska vara lika med kostnaderna? • Vilket pris ska man sätta på stolarna om man vill få igen kostnaderna vid försäljning av 4 000 stolar? Hur stor blir då vinsten vid försäljning av 10 000 stolar?
P17 Kapitel 7 sidan 148
Kul nästan jämt! Nora jobbar i leksaksbutik där man säljer glaskulor i lösvikt. Hon försöker väga en glaskula, men den rullar bara av vågen. Hon väger istället en glasburk med 5 kulor i. Den väger 695 g. Med 3 glaskulor i burken väger den 479 g. • V ad väger en kula? • Hur många kulor finns det i en glasburk som väger 1 343 g? • Låt vikten y g vara en funktion av x kulor i burken. Använd värdena i uppgiften och rita upp den linjära funktionen. Ange funktionens formel.
178
Matte B - s 170-179 - Problemlo�178 178
08-05-26 12.56.57
U pp d r a get
P18 Kapitel 7 sidan 158
Problemlösning
Utsläpp som kostar En fabrik släppte år 1990 ut 60 ton koldioxid. De fick då åläggande att minska utsläppen med 16 % per år till dess att utsläppet hade halverats. Funktionen för koldioxidutsläppet y kan skrivas som y = 60 ∙ 0,84t , där t är tiden i år efter 1990. • Hur stort är koldioxidutsläppet år 1992? Rita funktionens graf. • Bestäm efter hur många år koldioxidutsläppet har halverats. • En annan fabrik som släpper ut A ton koldioxid får samma åläggande. Hur många år dröjer det innan den fabriken har halverat utsläppet? Redogör för hur du kom fram till ditt resultat.
P19 Kapitel 7 sidan 162
Funktioner och ekvationer • Lös ekvationerna x2 – 4x + 3 = 0 och (x – 3)(x – 1) = 0. • Rita upp graferna y = x2 – 4x + 3 och y = (x – 3)(x – 1). Kan du utläsa ekvationslösningarna i första punkten med hjälp av graferna? • Vilka tre hör ihop? Formulera en regel för hur B och C hör ihop.
P20 Kapitel 7 sidan 164
A x2 + x – 6 = 0 x2 – 1 = 0 x 2 + 5x + 6 = 0
B (x + 1)(x – 1) = 0 (x + 3)(x + 2) = 0 (x + 3)(x – 2) = 0
C x1 = –3 x2 = 2 x1 = –1 x2 = 1 x1 = –3 x2 = –2
Köpa ny bil? I en tabell på en bilfirma kan man läsa ut att värdet på en ny bil minskar med 15 % varje år de tre första åren. Därefter är värdeminskningen 10 % varje år i 4 år. Bilens värde, y kr, efter tre år kan beräknas med formeln: y = 197 000 ∙ 0,85 3 • Vad betyder 197 000 och 0,85 i funktionen? Beräkna bilens värde efter 3 år. • Gör en värdetabell som visar bilens värde från det den köptes till 7 år senare. • S kriv funktionen för bilens värde mellan 3 och 7 år. Rita grafen till funktionen. Hur skulle grafens utseende ha förändrats om bilens värde i stället minskat med 10 000 kr varje år under samma tid?
179
Matte B - s 170-179 - Problemlo�179 179
08-05-26 12.56.58
Uppdraget
Kommunikation
K O MMUNIKatION MÅL Du ska utveckla din förmåga att i grupp arbeta med olika metoder
för problemlösning. Du ska kunna formulera och motivera dina val samt tolka och värdera lösningarna.
I kommunikationsavsnittet måste ni själva ta fram en del information eller göra vissa antaganden och det finns därför många olika svar som kan vara rätt. Här ska ni arbeta i grupp om två eller fler. En fördel med att arbeta i grupp är att ni tillsammans kan hitta flera infallsvinklar, och sedan diskutera vilken metod eller vilken lösning som verkar bäst. Det är viktigt att ni skriver upp de olika förslagen, och motiverar varför ni väljer att göra på ett visst sätt. När ni har hittat en lösning måste ni bedöma om den är tillräckligt bra, eller om ni bör testa en annan metod.
K1
Skylttrubbel
Kapitel 1 sidan 7
MeÅ Bokstaven ”U” från en skylt med texten ”UMEÅ” har lossnat. • V ad är sannolikheten att ett litet barn som varken kan läsa eller skriva eller bor i Umeå sätter upp det på rätt plats igen? • Ä r det mer sannolikt att en annan bokstav skulle hamna på rätt plats om den lossnande och barnet skulle sätta tillbaka den? Motivera. • V ad är sannolikheten att barnet skulle sätta upp två bokstäver på rätt plats om de fallit ned? Hur blir det för exempelvis bokstäverna E och M?
U
180
Matte B - s 180-187 - Kommunikat180 180
08-05-26 12.57.13
U p p d r a get A^c_Zc~ih`VgiV IjccZaWVcV
K2
Kommunikation ;Â&#x17D;g`aVg^c\Vg IjccZaWVcV GÂ&#x17D;YV A^c_Zc IjccZaWVcV <gÂ&#x17D;cV A^c_Zc IjccZaWVcV 7aÂ&#x20AC; A^c_Zc
Tunnelbanan
/- 2
)-. $)& 1
*+-. )
8, 2 ).,/(
& ''
%/'-.
Kapitel 1 sidan 14
) ,2 - -%/&#/-
$-.
,"-# (,
$--)
''*) ," )
/0 *
*') ).,/(
, . )
5, .
6 &,*- )
/) 1 ,"- ).,/(
/0/ -.
)$0 ,-$. . . &)$-& #8"-&*' )
. $*)
,' +' )
. -# " )
)., ' )
," *, $' -+ ' )
6 #/- .
)-
$ )&
.
( (
)
./ '' * ,) -
#* '( $ '%
(' -. ) '/-- ) *," ,+' .- )
6' ,#8% ) , 6)"
$ -*(( ,&, )- )
/''( ,-+' )
6.,
&5,( , ,$)& '* ) ' !*)+' )
7, ,"
' 2
''&,*" )
6,,.*,+
/ 5)" )
) # " )
7& ,5)" )
8" ' )
5-. ,.*,+
%8,&# " )
&*"-&1,&*"6, )
./, 2
'6-/. ) - *,"
* & )+' ) 0 (2,
5" ,-. )-6- )
''/)
*,- *,"
(( , 2#8% )
)-& "7,
7, 2 "7,
$..%
& )-./''
&6,#*'( )
-(*
/)"- .,5 "6, )
$) , $.
) -
+/
,"
,"
' 1
4, )-
4-. ,( '(-.*,"
#
-' 1 " 6, * # )) '/ ) 5 ''$ )" 1 6 & -. ' & ," ' ) -. *, " 2) . " 1+ ' ) 3& -# , *0 *( ( + ' , ) # ( - . ," *, ( *)
5
' 0$ &
'0$&
4& -#*0
, $ .* ,"
5-- ' 1 -., )
, $ # ( -+ ' . ) ,$& -+' ) )+ ' ) 6 ( ) -" 7 . .* ) ," .
5-., -&*" )
" ,(*-- )
,-.
7"-0
& ,+)6 & ,-. -., )
"-6.,
,/6)" )
â&#x20AC;˘ D u och dina kompisar kliver pĂĽ tunnelbanan i Farsta (grĂśn linje) i Stockholm och ska ĂĽka till Vällingby. Ni upptäcker att ni mĂĽste byta till en annan grĂśn linje fĂśr att komma till rätt plats. Vad är sannolikheten att ni väljer en linje som gĂĽr ända fram till Vällingby om ni byter till en annan grĂśn linje vid T-centralen? Vi antar att alla tunnelbanetĂĽg ĂĽker med lika stort tidsmellanrum. â&#x20AC;˘ Ni ska ĂĽka mellan Hornstull och Ă&#x2026;keshov. Hur stor är chansen att ni fĂśrst ĂĽker med linje T14 och efter byte till fĂśrsta bästa tĂĽg pĂĽ grĂśn linje kommer hela vägen till Ă&#x2026;keshov? â&#x20AC;˘ Kalle kommer ned till T-baneperrongen vid Skanstull och väntar pĂĽ fĂśrsta bästa norrgĂĽende tunnelbanetĂĽg pĂĽ grĂśna linjen. Enligt tidtabellen gĂĽr tĂĽgen var tjugonde minut enligt fĂśljande: Linje T17 Linje T18 Linje T19
00 15 10
20 35 30
40 55 50
00 15 10
20 35 30
osv. osv. osv.
Vi antar att Kalle inte känner till tidtabellen. Viken linje är det stÜrst chans att han kommer att üka med? VarfÜr dü? Motivera.
181
Matte B - s 180-187 - Kommunikat181 181
08-05-26 12.57.13
Uppdraget
Laborationer
l a borationer Mål Du ska kunna ställa upp en hypotes och praktiskt undersöka om den
stämmer. Du ska också kunna söka efter data, mönster och samband.
I laborationsavsnittet behöver du oftast lite extra material utöver papper och penna. Ibland går det bra att arbeta enskilt, ibland passar det bättre att vara flera. Läs noga igenom problemet, fundera igenom olika lösningsmetoder och vart de leder. Ofta är det bra att ställa upp en hypotes (en gissning) innan du börjar. Gör anteckningar under laborationens gång och utvärdera din hypotes (kontrollera om den stämde). Gör gärna en s.k. laborationsrapport och låt din lärare ta del av den.
Du behö ver r Du beh öve
L1 Kapitel 1 sidan 10
Bulls Eye
en pås Sto rt vitt e Ah pap lgrper ens, bilar. mynt att kasta
Ni ska kasta ett mynt på en måltavla. Rita måltavlan med 16, 17, 23, 24, 39 och 40 poäng. Lägg tavlan på golvet och tävla! Du får kasta så många gånger du vill, och det gäller att få högst 100 poäng. Får du mer åker du ur tävlingen. Det gäller att sluta i tid. Om två får samma poäng vinner den som behövde minst antal kast. Spela fem omgångar så att ni sedan kan diskutera spelstrategier.
40 39 24 23 17 16
• H ur ska man träffa för att få exakt 100 poäng? Det finns bara en kombination! • Det finns 11 sätt att få 96 poäng. Hur många kan du hitta? Vilken kombination vinner om alla får 96 poäng? • Om man får mer än 84 poäng så stoppar man givetvis, för att inte åka ut ur tävlingen. Hur många sätt finns det att få mer än 84 poäng med bara tre mynt?
188
Matte B - s 188-193 - Laboration188 188
08-05-26 12.56.09
U p p d r a get
L2
Laborationer Du Du beh behöve överr
Trådigt värre!
Sex gröevre en pås tråens Ahlgr darbila
r.
Kapitel 1 sidan 20
Arbeta två och två. • E n av er får sex trådar. Håll dem så att trådändarna syns på båda sidor av handen. Den andre knyter ihop trådändarna två och två på övre sidan av handen. Sedan gör man på samma sätt på nedre sidan av handen. Hur många i klassen fick en ring av snörena? Gör om försöket ett antal gånger och anteckna resultatet. • Beräkna den teoretiska sannolikheten att det ska bli en ring. Jämför med det ni fick vid försöket. • Hur förändras sannolikheten att få en ring om man ändrar antalet trådar?
L3 Kapitel 2 sidan 45
Hur långt är lika långt till skolan?
Du Du beh behöve överr
Int en ern påset, lok e Ah lgralk ensart a bila
r.
Låt alla i din klass undersöka hur lång väg de går eller åker till skolan. Använd kartverktyg på webben för att mäta sträckan (t.ex. google karttjänst, hitta.se eller eniro.se). Låt också samtliga ange hur lång tid det tar att ta sig till skolan, från det man lämnar hemmet tills man är på plats i skolan. Räkna även med väntetid vid bussbyten och liknande. Om någon cyklar ibland, kör bil ibland eller går ibland, så ta tiden för det vanligaste färdsättet. • M arkera på kartan var alla bor. Beräkna mediansträckan och mediantiden. • Sammanbind med linjer den halvan av klassen som har kortast väg till skolan. Gör likadant med den hälft som har längst väg. • Diskutera resultatet. Finns det elever som har nära till skolan fågelvägen, men måste färdas långt? Vem har längst väg och vem behöver längst tid? Borde er skola ha legat på ett annat ställe om den fanns där enbart för er klass?
189
Matte B - s 188-193 - Laboration189 189
08-05-26 12.56.09
B B-kurs
i matematik
B
är en bok för gymnasiets
B
Matematik
Matematik
Matematik
Anna Norberg Gunilla Viklund Lars Burström
Matematik B har en mycket tydlig struktur med
• • •
en modell för varje viktigt delmoment t ypexempel och övningsuppgifter till varje modell blandade övningar på tre nivåer Bonniers
Matematik B är avsedd för SP, ES och gymnasiets yrkesinriktade program. Matematik B är en fortsättning på Matematik A från Bonnier Utbildning.
Volym
M ED
G
D RA
789162 288150 (8815-0)
www.bonnierutbildning.se
Matematik B omslag.indd 1
U PP
9
M ED
ET
ISBN 978-91-622-8815-0
D RA
G
U PP
ET
Radie
x 2 – 6x + 5 = 0 första snurren
andra snurren
tredje snurren
08-06-10 13.22.17