9789144085784 by Smakprov Media AB

Denna bok är tredje upplagan av författarnas sedan lång tid väl etablerade läromedel i mekanik för högskolan. Sedan 2002, då den föregående upplagan gavs ut, har mycket hänt inom ingenjörsutbildningen. En följd av detta är att bokens webbplats, www.studentlitteratur.se/6273, utnyttjas i högre grad än tidigare för publicering av kompletterande material. Sedan föregående upplaga har dessutom textavsnitten gjorts mera lättillgängliga genom att vissa delar skurits bort, givetvis utan att avkall gjorts på sammanhang och stringens.

Boken innehåller en omfattande exempelsamling med uppgifter klassificerade efter svårighetsgrad. Svar ges till samtliga uppgifter. Dessutom ges mer eller mindre utförliga ledningar till ett stort antal av exemplen på bokens webbplats. Textdelarna i boken innehåller också ett stort antal illustrationsexempel med utförliga lösningar och kommentarer.

Ragnar Grahn Per-Åke Jansson

Ragnar Grahn och Per-Åke Jansson har under många år varit verksamma som lärare i mekanik vid Chalmers tekniska högskola och har omfattande erfarenhet av undervisning och pedagogiskt utvecklingsarbete i mekanik och angränsande ämnen.

I varje avsnitt har de tillhörande övningsexemplen utökats med ett antal mycket basala övningsuppgifter avsedda att utgöra en träning på de viktigaste grundbegreppen och lagarna inom avsnittet. Utförliga lösningar till samtliga dessa basuppgifter kan laddas ned från bokens webbplats. Bokens exempelsamling har utvidgats med ett antal datorberäknings uppgifter avsedda att läsas med hjälp av MATLAB, Mathematica, Maple eller liknande program. Lösningsförslag med hjälp av MATLAB finns publicerade på bokens webbplats för ungefär en tredjedel av uppgifterna. Framställningen gjordes ursprungligen främst med tanke på hög skolans treåriga ingenjörsutbildningar. Uppdelningen i kandidat- och masterutbildning har dock medfört att boken även täcker innehållet i de flesta obligatoriska mekanikkurser inom civilingenjörsutbildningen.

Tredje upplagan

Art.nr 6273

3:e uppl.

ISBN 978-91-44-08578-4

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08578-4_01_cover.indd 1

9 789144 085784

2013-10-08 13.19

Studentlitteratur 155x223-Stone-2001-10-11 spaltsticka

9/12

68mm

10/13

71mm

11/14,5

76mm

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 6273 ISBN 978-91-44-08578-4 Upplaga 3:1 © Ragnar Grahn, Per-Åke Jansson och Studentlitteratur 1997, 2013 www.studentlitteratur.se Omslagsbild: Photo Disc™ Omslagslayout: Henrik Hast C

Printed by Elanders Poland, Poland 2013

M Y K

220mm 223mm

6273 Titel

2 okt 2013 13.03:21

sida 2 av 2

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

Innehåll Förord 9 I. 9/12 10/13 11/14,5

Introduktion 12 I.1 Presentation av mekaniken 12 I.2 Grundläggande begrepp 14 I.3 Kraftbegreppet 15 (a) Fysikens grundläggande krafter 15 (b) Krafter i den klassiska mekaniken 15 (c) Fördelade krafter – punktkrafter 18 I.4 Enheter och dimensioner 19 (a) Grundstorheter, enhetssystem 19 (b) Dimension 20 Övningsexempel 22

Kraftgeometri 23 1.1 Kraften som vektor, elementaroperationer 23 Övningsexempel 28 1.2 Krafter i två dimensioner 29 (a) Koordinatsystem, komponenter 29 (b) Kraftmoment 32 (c) Kraftsumma, momentsumma 35 (d) Kraftpar, rent moment 36 (e) Reduktion av kraftsystem 39 Övningsexempel 44 1.3 Krafter i tre dimensioner 50 (a) Koordinatsystem, komponenter 50 (b) Kraftmomentvektorn 52 (c) Kraftsumma, momentsumma 56 (d) Kraftpar, rent moment 58 (e) Reduktion av kraftsystem 61 (f) Speciella kraftsystem 63 Övningsexempel 64

Jämviktslära 72 2.1 Jämviktsvillkor, friläggning 72 (a) Jämvikt, jämviktsvillkor 72 (b) Friläggning 75 2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem 81 (a) Jämviktsvillkor, jämviktsekvationer 81 (b) Frihetsgrader, tvång, tvångskrafter 87 (c) Problemlösning 91

C M Y K

71mm 76mm

6273_hela_bokenTOC.fm

68mm

30 sep 2013 10.28:09

sida 3 av 8

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

2.3

9/12 10/13 11/14,5

C M Y

(d) Statiskt bestämda och obestämda problem 97 (e) Uppdelning i delsystem 98 (f) Fackverk 102 Övningsexempel 108 Tredimensionella jämviktsproblem 123 (a) Jämviktsvillkor, jämviktsekvationer 123 (b) Tvång, tvångskrafter 125 (c) Tillämpningar 130 Övningsexempel 136

Masscentrum – Tyngdpunkt 144 3.1 Grundläggande begrepp och samband 144 (a) Masscentrum, statiskt moment 145 (b) Tyngdpunkt 148 Övningsexempel 150 3.2 Beräkningsmetoder 151 (a) Symmetriegenskaper 151 (b) Kontinuerlig massfördelning 153 (c) Uppdelning i element 155 Övningsexempel 162

Speciella tillämpningar 168 4.1 Friktion 168 (a) Friktion vid vila, friktionsvillkor 168 (b) Friktion vid glidning 170 (c) Lina lindad kring sträv cylinder 175 Övningsexempel 178 4.2 Snittkrafter, balkar 187 (a) Inledning, grundbegrepp 187 (b) Snittkraftens och snittmomentets komposanter, standardbeteckningar 188 (c) Tvådimensionella belastningsfall 190 Övningsexempel 199

Partikelns kinematik 203 5.1 Rätlinjig rörelse 204 Övningsexempel 214 5.2 Kroklinjig rörelse 218 (a) Allmänt 218 (b) Cartesiska koordinater 220 (c) Naturliga riktningar 221 Övningsexempel 227

6273_hela_bokenTOC.fm

30 sep 2013 10.28:09

sida 4 av 8

68mm 71mm 76mm

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

9/12 10/13 11/14,5

C M Y K

Partikelns kinetik 231 6.1 Historik, grundläggande lagar och begrepp 231 (a) Historik 232 (b) Newtons lagar 233 (c) Gravitation, massa 239 (d) Referensramar. Galileitransformationen 242 Övningsexempel 246 6.2 Tillämpningar 249 (a) Rätlinjig rörelse 249 (b) Kroklinjig rörelse 257 Övningsexempel 267 6.3 Härledda lagar 281 (a) Arbete, effekt 281 (b) Lagen för kinetiska energin 285 (c) Potentiell energi, energilagen 291 (d) Rörelsemängd, impuls 300 (e) Rörelsemängdsmoment, impulsmoment 304 Övningsexempel 310 6.4 Svängningsrörelse 322 (a) Fria, odämpade svängningar 323 (b) Fria, dämpade svängningar 332 (c) Påtvingade svängningar 337 Övningsexempel 345 6.5 Relativ rörelse, fiktivkrafter 353 (a) Bakgrund, allmänt 353 (b) Translaterande referensram 355 (c) Roterande referensram med relativ jämvikt 361 (d) De två synsätten, absolut rörelse – relativ rörelse med fiktivkraft 363 (e) Jorden som referensram 364 Övningsexempel 367 Partikelsystem 372 7.1 Lagen för tyngdpunktens rörelse 373 (a) Beteckningar 373 (b) Lagen för tyngdpunktens rörelse 374 Övningsexempel 376 7.2 Arbete, energi 378 (a) Kinetisk energi, Königs sats 378 (b) Arbete, lagen för kinetiska energin 380 (c) Potentiell energi, energilagen 385 Övningsexempel 389

6273_hela_bokenTOC.fm

30 sep 2013 10.28:09

sida 5 av 8

68mm 71mm 76mm

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

7.3

9/12 10/13 11/14,5

Rörelsemängd, rörelsemängdsmoment 394 (a) Rörelsemängd, impuls 394 (b) Rörelsemängdsmoment, impulsmoment 397 Övningsexempel 405

Stela kroppens plana rörelse; kinematik 411 8.1 Inledning, rotation kring fix axel 411 (a) Allmänna definitioner 411 (b) Rotation kring fix axel 413 Övningsexempel 416 8.2 Allmän plan rörelse 419 (a) Vinkelhastighet. Hastighetssamband 419 (b) Momentancentrum 423 (c) Accelerationssamband 425 Övningsexempel 429 Stela kroppens plana rörelse; kinetik 435 9.1 Rotation kring fix axel 435 (a) Lagarna för tyngdpunktens rörelse och rörelsemängdsmomentet 435 (b) Arbete och energi 440 (c) Lagerreaktioner 443 Övningsexempel 445 9.2 Allmän plan rörelse 454 (a) Lagarna för tyngdpunktens rörelse och rörelsemängdsmomentet 454 (b) Arbete och energi 460 (c) Fiktivkrafter 464 Övningsexempel 465

10 System av kroppar 474 10.1 Allmänna tillämpningar, konservering 474 Övningsexempel 482 10.2 Stöt 489 (a) Allmänna begrepp och lagar 489 (b) Rak, central stöt. Stötkoefficient 493 (c) Sned, central stöt 497 Övningsexempel 501 Appendix I Tröghetsmoment 505 (a) Definitioner och egenskaper 505 (b) Steiners sats (parallellförflyttningssatsen) 507 (c) Tillämpningar 509 Övningsexempel 511

C M Y K

6273_hela_bokenTOC.fm

30 sep 2013 10.28:09

sida 6 av 8

68mm 71mm 76mm

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

Appendix II Tabeller, formler 516 (a) Vektorer, deriveringsregler 516 (b) Tyngdpunkter och tröghetsmoment hos homogena kroppar 517 Svar till övningsexempel 522 Sakregister 545 9/12

68mm

10/13

71mm

11/14,5

76mm

C M Y K

6273_hela_bokenTOC.fm

30 sep 2013 10.28:09

sida 7 av 8

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

9/12

68mm

10/13

71mm

11/14,5

76mm

C M Y K

6273_hela_bokenTOC.fm

30 sep 2013 10.28:09

sida 8 av 8

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

Förord

Denna bok är tredje upplagan av författarnas sedan lång tid väl etablerade läromedel i mekanik för högskolan. Revideringen syftar dels till en bättre anslutning till dagens mekanikkurser och studenternas förutsättningar, dels till en bättre samverkan mellan det tryckta läromedlet och kompletterande material på bokens webbplats (www.studentlitteratur.se/6273).

9/12 10/13 11/14,5

Boken är avsedd att fungera som läromedel för ingenjörsutbildningar på högskolenivå. Uppläggningen gjordes ursprungligen främst med tanke på användning vid högskolans treåriga ingenjörsutbildningar. Uppdelningen i kandidat- och masterutbildning har dock medfört att innehållet i de flesta obligatoriska mekanikkurser inom civilingenjörsutbildningen idag väl täcks av denna bok. Sedan 2002, då den föregående upplagan gavs ut, har mycket hänt inom ingenjörsutbildningen. Den kanske största enskilda förändringen torde vara att användningen av datorer blivit en naturlig del såväl av utbildningen som av studenternas vardag. En följd av detta är att bokens webbplats utnyttjas i högre grad än tidigare för publicering av kompletterande material med de möjligheter som internet ger, till exempel kontinuerlig uppdatering. Uppgifter som löses med hjälp av dator är idag ett vanligt förekommande inslag i flertalet mekanikkurser, och den tid då det fanns studenter som valde sin utbildning för att, som de trodde, slippa använda datorer är sedan länge förbi. Som en följd av detta har bokens exempelsamling utvidgats med ett antal datorberäkningsuppgifter. Dessa är avsedda att lösas med hjälp av MATLAB, som förefaller vara den mest använda programvaran inom högskolan. Dock skall tilläggas att flertalet exempel lämpar sig minst lika väl för lösning med hjälp av Mathematica eller Maple. Lösningsförslag med hjälp av MATLAB finns publicerade på bokens webbplats för ungefär en tredjedel av uppgifterna. De studenter som idag kommer till högskolan tillhör i de allra flesta fall den så kallade Nintendogenerationen. Få representanter för denna grupp ägnar sig åt att läsa manualer, utan ”learning by doing” är ett utmärkande drag, som återkommer även i förhållningssättet till akademiska studier. Vi vill inte med bestämdhet hävda att detta är enbart av ondo. Dock kan vi konstatera att det traditionella sättet där man först sätter sig in i den bakomliggande teorin och först därefter försöker lösa övningsexempel sedan länge är på utdöende. En konsekvens av detta är att många studenter ofta får ofullständiga teorikun-

C M Y K

6273 001 förord

2 okt 2013 15.44:21

sida 9 av 11

68mm 71mm 76mm

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

skaper även vad det gäller de mest elementära delarna av ämnet. Som akademisk lärare kan man förfäras över detta, men att kämpa mot utvecklingen har vi sedan länge funnit lönlöst. Vår uppfattning är att en ingenjör som väl behärskar mekanikens grunder ändå kommer att ha goda förutsättningar att i sin yrkesverksamhet vid behov lära sig vad som eventuellt inte fastnat under utbildningen. För den ingenjör som inte lärt sig grunderna ordentligt, utan kan ”lite om mycket”, är denna uppgift väsentligt svårare. Vid Chalmers har vi inom vissa kurser tacklat problemet genom att vid examinationen ge ett antal högst elementära uppgifter, men i gengäld höja kraven för godkänt resultat väsentligt. Våra erfarenheter av detta är övervägande goda. I den nya upplagan av denna bok avspeglar sig detta i att vi i varje avsnitt lagt in ett antal mycket basala övningsuppgifter, rubricerade basuppgifter, som är avsedda att utgöra en träning på de viktigaste grundbegreppen och lagarna inom avsnittet. Dessa är i huvudsak hämtade från mekanikundervisningen vid Chalmers, där de använts på motsvarande sätt och fått ett mycket positivt mottagande av studenterna. Utförliga lösningar till samtliga basuppgifter kan laddas ned från bokens webbplats. I linje med vad som ovan sagts om många studenters ovilja mot teoristudier har vi också försökt göra textavsnitten något mera lättillgängliga genom att skära bort undgängliga delar, givetvis utan att göra avkall på sammanhang och stringens. Det har också varit vår ambition att använda ett något modernare, mindre akademiskt språkbruk.

9/12 10/13 11/14,5

Övriga övningsexempel har som tidigare i första hand ordnats efter innehåll och i andra hand efter stigande svårighetsgrad. För att underlätta för studerande och lärare har vi dessutom försökt gradera exemplen inom varje avsnitt på tre svårighetsnivåer med följande markeringar: o

lägsta nivån

* högsta nivån mellannivån, ”normalproblem”; ingen markering Svar finns till samtliga övningsexempel. Från studenter efterlyses ofta fullständiga lösningar till uppgifter som av lärare rekommenderats för självverksamhet. Vi och de flesta lärare med oss är av uppfattningen att sådana lösningar i fel händer mera stjälper än hjälper. För den student som inte omedelbart kommer på lösningen till en viss uppgift är det mycket frestande att ta en titt på lösningen, försöka förstå denna och sedan gå vidare. Vi anser inte att man kan lära sig saker genom att se på hur andra gör. Detta gäller oavsett om det handlar om att springa marathon, spela violin eller lösa mekanikproblem. Det kan naturligtvis finnas andra lärare som inte delar denna vår uppfattning, och i sådana fall står det naturligtvis vederbörande fritt att på egen hand utarbeta lösningar till sina studenter. Vi har dock valt att inte medverka till detta. Däremot kan vi se ett värde i att ge ledningar till hur problem kan lösas. Sådana har därför utarbetats till ett stort antal av övningsexemplen och kommer att

C M Y K

6273 001 förord

2 okt 2013 15.44:21

sida 10 av 11

68mm 71mm 76mm

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

finnas tillgängliga på bokens webbplats. Textdelarna i boken innehåller dessutom ett stort antal illustrationsexempel försedda med utförliga lösningar och kommentarer. Vi är tacksamma för påpekanden och synpunkter som kan förbättra innehållet; det gäller naturligtvis alla direkta fel och oklarheter av både allvarlig och banal art men även materialets uppläggning och utförande. Göteborg september 2013 68mm

9/12

Författarna

10/13

71mm 76mm

11/14,5

C M Y K

6273 001 förord

2 okt 2013 15.44:21

sida 11 av 11

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

3 Masscentrum – Tyngdpunkt

3 Masscentrum – Tyngdpunkt 3.1 Grundläggande begrepp och samband I kapitel 2.1 introducerade vi begreppet tyngdpunkt för ett materiellt system som angreppspunkten för resultanten till det system av tyngdkrafter som verkar på systemets olika delar. I figur 3.1.1 visas ett sådant materiellt system bestående av ett antal masspunkter med massorna m1, m2...mn. Var och en av dessa påverkas av en tyngdkraft mi g. där i = 1...n. Eftersom tyngdkraftena är parallella kan systemet av tyngdkrafter reduceras till en enda kraft, den totala tyngdkraften mg. Detta förutsätter att angreppspunkten för denna, tyngdpunkten, väljs så att resultantens moment med avseende på en godtycklig momentpunkt är lika med momentsumman för systemet av tyngdkrafter.

9/12 10/13 11/14,5

m1 g mi g

m2 g mg

Figur 3.1.1

I detta kapitel skall vi definiera ett något allmännare begrepp, systemets masscentrum, och vi skall se att för en kropp i ett tyngdkraftfält sammanfaller masscentrum med tyngdpunkten. I nästa avsnitt (3.2) skall vi också se hur man kan beräkna tyngdpunktens läge i ett antal praktiska fall.

C M Y K

144

6273 03 kap3.1

3 okt 2013 10.19:06

sida 144 av 149

68mm 71mm 76mm

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

3.1 Grundläggande begrepp och samband

(a) Masscentrum, statiskt moment Innan vi ger en strikt definition av begreppet masscentrum, skall vi försöka motivera denna genom att betrakta ett trivialt exempel. Vår utgångspunkt är att masscentrum skall sammanfalla med tyngdpunkten. Systemet i figur 3.1.2 består av två masspunkter med massorna m1 och m2. Vi vill ersätta de två tyngdkrafterna i den vänstra figuren med en enda kraft mg som visas i den högra figuren. Hur skall då avståndet x väljas för att kraft- och momentsumma skall vara desamma?

9/12 10/13

11/14,5

m2 g

mg x2 x

Figur 3.1.2

För att kraftsumman skall vara densamma måste förstås m vara lika med m1 + m2. Vi tecknar därefter momentsumman med avseende på y-axeln i de båda fallen och sätter dessa lika. Detta ger m1 x1 + m2 x2 m1gx1 + m2gx2 = mgx ⇒ x = -----------------------------m1 + m2 Med detta resultat som utgångspunkt definierar vi nu masscentrum för ett godtyckligt materiellt system. Vi tänker oss att detta består av ett godtyckligt antal masspunkter, säg n.

Definition: Masscentrum för ett materiellt system är en punkt med koordinaterna Σmixi x = ------------Σmi

Σmiyi y = ------------Σmi

Σmizi z = ------------Σmi

(3.1.1)

Det förutsätts här att summationsindex i löper från 1 till n. Nämnarna i uttrycken ovan är förstås lika med systemets totala massa

C M

m = ∑ mi

(3.1.2)

Det kan ibland vara praktiskt att även införa en särskild benämning på de summor som förekommer i täljarna i ekvationerna (3.1.1). Vi gör därför följande definition:

145

6273 03 kap3.1

71mm 76mm

m1 g

68mm

3 okt 2013 10.19:06

sida 145 av 149

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

3 Masscentrum – Tyngdpunkt

Definition: Ett materiellt systems statiska moment1 med avseende på yz-planet betecknas Syz och ges av Syz = ∑ mixi

(3.1.3a)

På motsvarande sätt kan statiska momentet med avseende på varje plan beräknas. Exempelvis ges statiska momenten med avseende på xz- och xy-planen av Sxz = ∑ mi yi

9/12

10/13

Sxy = ∑ mizi

(3.1.3b)

71mm

Vi får då följande alternativa definition för masscentrums koordinater

11/14,5

Syz x = -----m

Sxz y = -----m

Sxy z = -----m

(3.1.4)

Storheten statiskt moment har en egenskap som kan vara värd att notera. Om ett materiellt system består av två eller flera delar så är det sammansatta systemets statiska moment lika med summan av delarnas, precis som för motsvarande massor. Eftersom masscentrums lägesvektor r = ( x, y, z ) fås sammanfattningsvis Σmiri r = ------------m

(3.1.5)

där ri = (xi, yi, zi). Detta vektoruttryck kan tas som en alternativ definition av masscentrum, som är mera komprimerat skriven än den föregående, ekv (3.1.1).

C M Y K

146

6273 03 kap3.1

68mm

Eftersom koordinaterna ingårt linjärt i S-storheterna benämns dessa också linjära moment. Motsvarande storheter där x, y och z ingår i andra potens införs senare i dynamiken och kallas där kvadratiska moment. – Se kapitel 9 och appendix I.

3 okt 2013 10.19:06

sida 146 av 149

76mm

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

3.1 Grundläggande begrepp och samband

llustrationsexempel 3.1.1

y’

z’

Tre lika partiklar (massan μ vardera) ligger i hörnen av en liksidig triangel med sidan a. a

Beräkna koordinaterna för masscentrum a) i koordinatsystemet Oxyz,

x’

b) i koordinatsystemet O'x'y'z.' 9/12

10/13 11/14,5

Lösning a): Koordinaterna för partiklarna är x

a x1 = – --2 y1 = a z1 = 0

Enligt (3.1.1) fås

68mm 71mm

a x3 = --2

x2 = 0 a 3 y2 = a + ---------2 z2 = 0

76mm

y3 = a z3 = 0

a μ⎛⎝ –--a-⎞⎠ + μ ⋅ 0 + μ⎛⎝ ---⎞⎠ 2 2 x = ----------------------------------------------- = 0 3μ 3 μa + μ⎛⎝ a + a ----------⎞ + μa 2 ⎠ 3 y = --------------------------------------------------- = a + a ---------3μ 6 z=0

+ h/3

Läget beskrivs då enklast som den punkt som ligger på triangelns höjdlinje på avståndet h/3 från basen, om h = a 3 /2 står för triangelns höjd, se figuren till vänster. Lösning b): Koordinaterna för partiklarna är x1' = a y1' = 0 z1' = 0 Uträkningar enligt (3.1.1) ger

3a x2' = -----2 3 y2' = a ---------2 z2' = 0 3a x' = -----2

x3' = 2a y3' = 0 z3' = 0 3 y' = a ---------6

z' = 0

Vi ser att punkten får samma läge i förhållande till partiklarna – på höjden, stycket h/3 från triangelns bas – oavsett om man i själva beräkningarna utgår från Oxyz- eller O'x'y'z'-systemet.

C M Y K

147

6273 03 kap3.1

3 okt 2013 10.19:06

sida 147 av 149

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

3 Masscentrum – Tyngdpunkt

Masscentrum knutet till materien I illustrationsexemplet ovan blev det framräknade läget för masscentrum knutet till partiklarna och oberoende av valet av origo och axelriktningarna. Är detta en allmän regel? Kan man välja origo hur man önskar? Svaret är ja! Detta kan bevisas tämligen enkelt utifrån definitionen (3.1.1) men beviset överlämnas åt läsaren. Masscentrums läge kan alltid beräknas med en lägesvektor från något godtyckligt valt origo. Det ligger alltid i en punkt bestämd endast av lägen och massor hos det materiella systemets delar.

9/12 10/13

68mm 71mm 76mm

11/14,5

(b) Tyngdpunkt Masscentrum för ett materiesystem har vi definierat helt fritt från koppling till krafter av något slag, låt vara att defintionen gjordes så att masscentrums läge kom att sammanfalla med tyngdpunkten för det enkla specuialfallet med två masspunkter som först betraktades. Vi skall nu se, att denna överensstämmelse mellan masscentrum och tyngdpunkt gäller generellt i varje sammanhang där ett homogent tyngdkraftfält verkar. • Om ett tyngdkraftfält råder i en punkt påverkas en partikel, som befinner sig där, med en kraft som är proportionell mot partikelns massa (m). • Om fältet dessutom kan anses homogent inom ett område så är proportionalitetsfaktorn (g) densamma i alla punkter inom området. Även kraftriktningen är densamma överallt i området. Dessa förhållanden kan sammanfattas i vektorsambandet F = mg

(3.1.6)

Vad gäller vektorn g vet vi, att den inom ett område med relativt liten utsträckning i närheten av jordytan är riktad rakt nedåt och har ett belopp i närheten av 9,8 N/kg. ri

mi g

m2 g

O + m1g

Figur 3.1.3 C

Låt oss nu betrakta ett system av partiklar med individuella massor mi (figur 3.1.3). De enskilda tyngdkrafterna (mi g) bildar tillsammans ett parallellkraftsystem. För ett sådant har vi i kapitel 1.3(f) konstaterat att det kan reduceras till en enda kraft, resultanten R. Riktningen för denna sammanfaller med delkrafternas och dess belopp är algebraiska summan av delkrafterna (R = ΣFi), se figur 3.1.4. För det aktuella tyngdkraftsystemets resultant gäller då

∑ mi g = mg

(3.1.7)

O +

Därmed är belopp och riktning för R bestämda. Det återstår då att placera R i rätt angreppspunkt. Detta måste ske så, att dess moment överensstämmer med delkraftsystemets momentsumma.

Figur 3.1.4

148

6273 03 kap3.1

3 okt 2013 10.19:06

sida 148 av 149

Studentlitteratur 170x245-Stone-2001-01-18 1,5 spalt

3.1 Grundläggande begrepp och samband

Vi påstår nu att detta blir fallet om R placeras i systemets masscentrum C. Detta kan visas på följande sätt. Välj godtyckligt en momentpunkt O. Resultantens moment med avseende på O är (R)

MO = r × R Momentsumman för delkraftsystemet är M(d) O = ∑ [ri × mi g] =

9/12

∑ [ mi ri × g ] = ∑ mi ri i

×g

68mm

71mm

10/13

eftersom vektorn g är konstant. Vidare är enligt ekv (3.1.5)

11/14,5

76mm

∑ miri = mr i

vilket ger (d)

MO = mr × g = r × mg = r × R (R)

Alltså är M(d) vilket innebär att placering av kraften R i massO = MO centrum även ger rätt moment. Denna egenskap hos masscentrum motiverar benämningen tyngdpunkt. I statiken är punkten intressant i sin egenskap som angreppspunkt för tyngdkraften. Då är det naturligt att använda benämningen tyngdpunkt. Som vi senare skall finna i dynamiken (kapitel 7.1) är masscentrum. ett vidare begrepp som är av intresse även i sådana fall där systemet inte är utsatt för några tyngdkrafter. I sådana sammanhang är masscentrum den mest relevanta benämningen. Masscentrum är ett begrepp – tyngdpunkt ett annat. I ett homogent tyngdkraftfält sammanfaller de; i ett inhomogent gör de det normalt inte.

Avslutningsvis bör nämnas att benämningen tyngdpunkt kommit att dominera språkbruket så att den ofta används även i den rena betydelsen masscentrum.

C M Y K

149

6273 03 kap3.1

3 okt 2013 10.19:06

sida 149 av 149

Ragnar Grahn Per-Åke Jansson

Tredje upplagan

Art.nr 6273

3:e uppl.

ISBN 978-91-44-08578-4

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08578-4_01_cover.indd 1

9 789144 085784

2013-10-08 13.19