9789127426337 by Smakprov Media AB

5 LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE

Matematik 5000

Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.

Välj mellan RÖD SERIE

för serviceinriktade yrkesprogram

GUL SERIE

för tekniskt inriktade yrkesprogram

Matematik 5000

är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.

Matematik

5000

GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE

för NA och TE

BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning

För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000

ISBN 978-91-27-42633-7

9 789127 426337

Matematik5000_BLA_5.indd 1

2013-07-12 13:55

M5000 Kurs 5 Bla.indb 1

2013-07-11 15:34

Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Varje kapitel avslutas med:

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

• K an du det här? och Diagnos som tillsammans

Denna bok, Kurs 5 Blå lärobok, riktar sig främst till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet.

Hur är boken upplagd? • T eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel

som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera

undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade

till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard-

karaktär, uppgifter anpassade främst till teknikoch naturvetenskapsprogrammet och uppgifter som kräver matematisk problemlösning.

• E n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-

tion: Sant eller falskt?

• E n kort Sammanfattning av kapitlet.

ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper.

• O m en elev behöver repetera delar av kapitlet

finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt.

• T vå olika varianter av Blandade övningar av-

slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik

förord

M5000 Kurs 5 Bla.indb 3

2013-07-11 15:34

Innehåll 1. Diskret matematik I

2. Diskret matematik II

Centralt innehåll 66 Inledande aktivitet: Hittar du mönstret?

Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Hur många? 7 Lådprincipen 8 Multiplikations- och additionsprincipen 11 Permutationer 15 Kombinationer 19 Kommer du ihåg sannolikhetslära? 23 Kombinatorik och sannolikhetslära 26 Tema: Poker och Yatzy 28 Binomialsatsen 30 Historik: Pascals triangel 32

1.2 Mängdlära 35

1.3 Grafteori 46 Inledning 46 Historik: Fyrfärgsproblemet 49 Några klassiska problem 50 Träd 54 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 57 Sammanfattning 1 58 Kan du det här? 1 60 Diagnos 1 61 Blandade övningar kapitel 1 62

M5000 Kurs 5 Bla.indb 4

2.1 Talteori 68

1.1 Kombinatorik 8

Mängder – Grundbegrepp 35 Mängdoperatorer 39 Venndiagram 41 Aktivitet: Undersök – Kan du rita utan att lyfta pennan?

Delbarhet och primtal 68 Gemensamma och icke gemensamma faktorer 71 Aktivitet: Upptäck – Räkna med rester 74 Kongruens och moduloräkning 75 Historik: Diofantiska ekvationer och Fermats stora sats Talsystem med olika baser 80 Tema: RSA-kryptering 82

2.2 Talföljder 84 Inledning 84 Aktivitet: Undersök – Sierpińskis triangel 87 Rekursionsformler 88 Aritmetiska talföljder 90 Geometriska talföljder 92 Aktivitet: Undersök – Hur högt blir trädet? 95 Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar 96 Aktivitet: Laborera – Hur högt studsar bollen? 101 Historik: Fibonaccis talföljd 102

2.3 Induktionsbevis 103 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 2 109 Kan du det här? 2 110 Diagnos 2 111 Blandade övningar kapitel 2 112 Blandade övningar kapitel 1–2 114

108

innehåll

2013-07-11 15:34

3. Derivator och integraler

118

4. Differentialekvationer

Centralt innehåll 118 Inledande aktivitet: Finn grafen 119

Centralt innehåll 174 Inledande aktivitet: Bestäm en funktion

3.1 Derivator 120

Grundläggande begrepp 176 Historik: Newton 179 Differentialekvationer och primitiva funktioner 180 Verifiering av en lösning 182

4.2 Differentialekvationer av första ordningen 184 Differentialekvationen y ¢ + ay = 0 184 Den inhomogena ekvationen y ¢ + ay = f ( x) 188

3.2 Extremvärden 137 Tillämpningar och problemlösning 137 Historik: Den första läroboken 144

3.3 Integraler 145

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 162 Sammanfattning 3 163 Kan du det här? 3 164 Diagnos 3 165 Blandade övningar kapitel 3 166 Blandade övningar kapitel 1–3 170

145

Aktivitet: Upptäck – Riktningsfält 191 Riktningsfält 192 Historik: Euler och hans stegmetod 196

4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer 198 Enkla förändringsmodeller 198 Blandningsproblem 200 Avsvalning 202 Fritt fall med luftmotstånd 203 Tillväxt med begränsningar 204 Lösning med digitala verktyg 206 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 4 211 Kan du det här? 4 212 Diagnos 4 213 Blandade övningar kapitel 4 214 Blandade övningar kapitel 1–4 218

5. Omfångsrika problemsituationer Repetitionsuppgifter

M5000 Kurs 5 Bla.indb 5

210

224

237

Svar, ledtrådar och lösningar

innehåll

175

4.1 Inledning 176

Repetition 120 Några bevis 126 Tangenter och linjär approximation 128 Förändringshastigheter och derivator 130 Aktivitet: Laborera – Ballongen 136

Primitiva funktioner, integraler och areaberäkningar Geometriska sannolikheter 150 Partiell integration 151 Volymberäkning med skivmetoden 154 Historik: Kepler och vintunnornas geometri 157 Volymberäkning med cylindriska skal 158 Generaliserade integraler 160

174

242

283

2013-07-11 15:34

DISKRET MATEMATIK I

Centralt innehåll ✱ begreppen permutation och kombination. ✱ metoder för beräkningar av antalet kombinationer och permutationer. ✱ begreppet mängd, operationer på mängder, mängdlärans notationer och Venndiagram. ✱ begreppet graf, olika typer av grafer och dess egenskaper samt några kända grafteoretiska problem. ✱ Strategier för matematisk problemlösning. ✱ matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 6

2013-07-11 15:34

894789475849

89478947584

112 777

482398678567

7547 55

238876744

15343274

Inledande aktivitet HUR MÅNGA? Diskret matematik är en gren av matematiken som sysslar med objekt som är åtskilda från varandra och som går att räkna upp. 1 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1,2 och 3 om varje siffra bara får förekomma en gång? Skriv upp alla talen. b) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas av siffrorna 4 och 7 om varje siffra får förekomma flera gånger? Skriv upp alla talen. c) Du ska bilda en summa av ett av de tresiffriga och ett av de tvåsiffriga talen i uppgift a) och b). Hur många olika summor kan du få?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 7

2 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1, 2 och 3 om varje siffra får förekomma flera gånger? b) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 8, 9 och 0 om varje siffra får förekomma flera gånger? 3 a) Hur många fyrsiffriga tal finns det? b) Hur många fyrsiffriga tal finns det som är delbara med 11?

2013-07-11 15:34

1.1 Kombinatorik Lådprincipen kombinatorik

Kombinatorik är den gren av matematiken som handlar om hur vi kan välja ut, ordna och kombinera olika föremål. Frågorna ”Hur många…” och ”På hur många sätt…” är vanliga. Vi visar några generella verktyg som kan användas för att lösa kombinatoriska problem.

Exempel lådprincipen

Om en brevbärare ska lägga 6 brev i 5 brevlådor, så måste åtminstone en brevlåda innehålla två eller flera brev. Detta är ett exempel på lådprincipen. Om brevbäraren istället har 16 brev att lägga i de 5 lådorna så kommer åtminstone en brevlåda att innehålla 4 eller flera brev. Motivering: 16 = 5 ∙ 3 + 1 (3 brev i varje låda och ytterligare 1 brev)

Lådprincipen

Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla två eller fler av föremålen. Om n ∙ k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen. I detta kapitel betecknar n och k positiva heltal. Det är förvånande att denna enkla princip kan användas för att lösa så många olika problem. Som problemlösare ska du försöka identifiera vad som är ”låda” respektive ”föremål”. Tyvärr är detta inte alltid så lätt!

M5000 Kurs 5 Bla.indb 8

1.1 KombinatoriK

2013-07-11 15:34

1101

Visa att i en grupp på 13 personer har minst två personer födelsedag i samma månad. Lådor: Årets 12 månader Föremål: De 13 födelsedagarna Placera de 13 födelsedagarna i de 12 månaderna. Enligt lådprincipen innehåller då åtminstone en månad två eller flera födelsedagar.

1102

Visa att om fem punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det minst två punkter vars avstånd är högst 3 cm. Triangeln delas i fyra kongruenta liksidiga deltrianglar med sidan 3 cm. Lådor: De fyra deltrianglarna (n = 4) Föremål: De fem punkterna (n + 1 = 5) Placera de fem punkterna i de fyra deltrianglarna. Enligt lådprincipen innehåller då minst en triangel två eller fler punkter. Avståndet mellan två sådana punkter är högst 3 cm.

1103

T ex

6 cm

Storstockholm har 1 510 000 invånare. Vi antar att en människa har färre än 500 000 hårstrån på huvudet. Visa att åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån. Lådor: 500 000 st, dvs 0, 1, 2, . . ., 499 999 hårstrån Föremål: 1 510 000 stockholmare Eftersom 1 510 000 > 500 000 ∙ 3 + 1 så säger lådprincipen att åtminstone en låda innehåller minst 3 + 1 föremål. Det innebär att minst 4 stockholmare har samma antal hårstrån på huvudet.

1.1 KombinatoriK

M5000 Kurs 5 Bla.indb 9

2013-07-11 15:34

1104 I en låda ligger enfärgade, osorterade strumpor i färgerna svart, vit, blå och grå. Hur många strumpor måste man ta ur lådan för att vara säker på att få ett par av samma färg? 1105 Visa att det i en klass på 32 elever finns åtminstone två som har födelsedag på samma datum i någon månad. 1106 Visa att om fem punkter placeras i en kvadrat med sidan 2 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst √2 cm. 1107 Till en nordisk skolkonferens kom det sammanlagt 31 elever från Sverige, Norge, Danmark, Finland och Island. a) Vilket tal är n (antalet ”lådor”)? b) Visa att något land representeras av minst 7 elever. 1108 EU-parlamentet består av 754 personer från 27 olika stater. Visa att minst 28 personer kommer från samma stat.

1111 En låda innehåller 50 tröjor i fyra olika färger. Förklara varför det är a) minst 13 tröjor av samma färg b) minst 14 tröjor av samma färg om man vet att det finns exakt 8 röda tröjor. 1112 År 2010 fanns 7,2 miljoner invånare i Sverige, som var 20 år eller äldre. Av dessa hade 47 % en månadsinkomst före skatt som var mindre än 20 000 kr. Visa att det år 2010 fanns åtminstone 160 svenskar som hade exakt på kronan samma månadsinkomst. 1113 Enligt SCB hade Sverige 9 551 781 invånare den 30 november 2012. Det finns en dag på året (även skottår)då åtminstone x svenska invånare har födelsedag. Bestäm x. 1114 Visa att om 10 punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst 2 cm. 1115 I ett rum finns det n gifta par.

1109

Hur många av dessa 2n personer måste väljas ut för att man ska vara säker på att få minst ett gift par? Motivera. I en skål ligger 8 röda och 5 blå kulor. Hur många kulor måste du slumpvis ta upp för att säkert få två av a) samma färg b) olika färg c) varje färg?

1110 En musiker övar 110 timmar under en period på 12 dagar. Visa att hon övar sammanlagt åtminstone 19 timmar under två på varandra följande dagar. (Hon övar i hela timmar.)

M5000 Kurs 5 Bla.indb 10

1.1 KombinatoriK

2013-07-11 15:34

Multiplikations- och additionsprincipen Exempel 1

När Alma ska träna har hon följande kläder att välja på: ◗

linne, kortärmad tröja eller långärmad tröja

◗

korta byxor, knälånga byxor eller långa byxor

◗

löparskor eller inomhusskor.

Vi visar med ett träddiagram på hur många olika sätt hon kan klä sig.

kort

linne

korta

knä

långa

korta

knä

Tröja

lång

långa

korta

knä

långa

Byxor

Skor löp inom

löp inom löp inom

löp inom

löp

inom löp inom

löp inom

löp inom löp inom

Diagrammet visar att Alma kan klä sig på 18 olika sätt. Utan träddiagram kan vi tänka att hon har tre val att göra: 3 olika tröjor, 3 olika byxor och 2 olika skor. Detta ger beräkningen 3 ∙ 3 ∙ 2 = 18. multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen

Den regel inom kombinatoriken som ger det totala antalet möjliga kombinationer när flera val görs oberoende av varandra kallas multiplikationsprincipen. Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen utförda efter varandra göras på p ∙ q sätt. En förutsättning för detta är att det första valet inte påverkar det andra valet.

1.1 KombinatoriK

M5000 Kurs 5 Bla.indb 11

2013-07-11 15:34

MENY Förrätt:

Exempel 2

På en restaurang kan man välja förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr. Erik undrar på hur många sätt man kan välja två rätter.

Soppa Sallad Huvudrätt: Fis k Kött Vegetariskt Efterrätt: G lass Tårta Paj Välj förrätt oc h huvudrätt eller huvudrät t och efterrätt för 200 kr

Multiplikationsprincipen ger att: Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 ∙ 3 = 6 olika sätt. Huvudrätt + Efterrätt kan väljas på 3 ∙ 3 = 9 olika sätt. Sammanlagt finns det alltså 6 + 9 = 15 olika sätt att välja 2 rätter på restaurangen. Allmänt gäller:

Additionsprincipen

Om man ska välja 1 föremål från en mängd med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, så kan detta ske på p + q olika sätt. Obs! En förutsättning är att mängderna inte har något föremål gemensamt.

1116

När William ska köpa en surfplatta står han inför tre val trots att han har bestäm vilket märke kan ska köpa. Det finns tre olika skärmstorlekar och liten eller stor hårddisk. Båda hårddiskarna finns till alla skärmar och surfplattorna finns i färgerna svart, rött, grönt, blått eller vitt. Hur många olika surfplattor har William att välja på? Han står inför tre valsituationer där antalet valmöjligheter är 3, 2 respektive 5. Inget val påverkar det andra. Antalet varianter av surfplattor är 3 ∙ 2 ∙ 5 = 30.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 12

1.1 KombinatoriK

2013-07-11 15:35

1117

Conrad ska välja en karamell ur vardera skålen. a) På hur många sätt kan detta ske? b) På hur många sätt kan detta ske om han vill ha minst en röd karamell? a) Multiplikationsprincipen ger 4 ∙ 5 = 20 sätt. b) Den runda röda kan kombineras med de 5 fyrkantiga karamellerna, vilket ger 5 sätt. Den fyrkantiga röda kan kombineras med de 4 runda karamellerna, vilket ger 4 sätt. Här måste vi minska med 1 sätt eftersom ”två röda” ingår i båda fallen ovan. Additionsprincipen ger 5 + 4 – 1 = 8 sätt.

1118 I en klass går det 11 pojkar och 15 flickor. På hur många sätt kan man välja a) en elevrepresentant b) två elevrepresentanter, en pojke och en flicka?

1121 Hur många fyrsiffriga pinkoder finns det? 1122 Lubna ska låna ljudböcker på biblioteket. Hon väljer mellan fem deckare, tre självbiografier och fyra fantasyböcker. På hur många sätt kan hon välja

1119 Lukas som ska köpa en cykel ställs inför flera val. ◗ Herr eller damcykel? ◗ Vilket av fem märken? ◗ Mountainbike, streetcykel eller racer? ◗ 3, 5, 7, 18 eller 21 växlar? ◗ Pakethållare eller inte? ◗ Vilken av fyra färger? Lukas leker med tanken på att alla varianter kan kombineras med varandra.

a) en bok b) tre böcker med en i varje genre c) två böcker i olika genrer? 1123 Sex personer är med i utlottningen av två lika stora vinster. Varje person kan bara få en vinst. Det är herr och fru Alm, herr och fru Olsson samt herr och fru Raciz. På hur många sätt kan de två vinsterna fördelas om åtminstone en av personerna i familjen Alm vinner?

Hur många cyklar har han då att välja på? 1120 När man spelar på V75 ska man välja vilken häst som vinner i sju olika lopp. Vid ett tillfälle startade 9, 10, 9, 9, 11, 10 respektive 10 hästar i de olika loppen.

1124 Hur många olika svenska bilregistreringsskyltar för bilar kan man göra enligt modellen ”först 3 bokstäver och sedan 3 siffror”? Bokstäverna I, Q, V, Å, Ä och Ö används inte.

På hur många olika sätt kan man skriva en V75-rad till den spelomgången?

1.1 KombinatoriK

Bla 5 Kap 1.1.indd 13

2013-10-22 09:31

1125 En kokbok innehåller 50 förrätter, 100 huvudrätter och 50 efterrätter. På hur många sätt kan man ur boken komponera en två- eller trerättersmiddag som innehåller en huvudrätt? 1126 En myra kryper kortaste vägen från A till B längs kubens kantlinjer.

1130 I sin garderob har Kim Hur många vägar kan myran krypa? 1127 I en av två parallellklasser går 17 killar och 9 tjejer. I den andra klassen går 13 killar och 15 tjejer. En elev från vardera klassen ska utses till elevrepresentanter. På hur många olika sätt kan detta ske om a) båda representanterna ska vara killar b) en kille och en tjej ska utses c) åtminstone en tjej ska utses? 1128 Evy har gjort en tipspromenad med 16 frågor som ska besvaras med 1, X eller 2. Hon påstår att a) det finns fler än 16 miljoner olika möjligheter att skriva en sådan tipsrad. Stämmer det? b) det bara finns 17 tipsrader med minst 15 rätt. Stämmer det? Motivera dina svar. 1129 Ett binärt tal skrivs med enbart nollor och ettor. T ex 5310 = 110101två Hur många binära tal med sex eller färre siffror finns det? 14

M5000 Kurs 5 Bla.indb 14

◗ 1 röd, 1 blå, 1 vit och 1 grön skjorta ◗ 2 par blå jeans, ett par grå finbyxor och ett par chinos ◗ 1 par stumpor vardera av färgerna röd, blå, svart och vit ◗ 1 par boots, 1 par sneakers och ett par svarta lackskor. På hur många sätt kan han klä sig, om a) alla skjortor, byxor, strumpor och skor kan användas tillsammans b) bootsen bara kan användas till jeans eller chinos c) han bara kan ha svarta strumpor till lackskorna och alltid vit skjorta till finbyxorna? På fredag ska Kim på födelsedagsfest till sin faster som fyller 34 år. d) Vad tycker du han ska ha på sig? 1131 Visa att ett val bland p föremål följt av ett val bland q föremål alltid leder till fler valmöjligheter, än ett val bland p + q föremål, förutsatt att p ≥ 2 och q > 2. 1132 Hur många binära tal mindre än 256 börjar och/eller slutar med två ettor? 1.1 KombinatoriK

2013-07-11 15:35

Permutationer

Exempel 1

Johannes har en spellista som innehåller 10 favoritlåtar. Om han trycker ”shuffle” (blandning) spelas varje låt en gång i slumpartad ordning.

permutation

Varje sådant ordnat urval utan upprepning kallas en permutation. Varje låt på listan spelas endast en gång. På hur många olika sätt kan listans låtar spelas? När den första låten ska väljas finns det 10 valmöjligheter. Den andra låten kan sedan väljas på 9 sätt och den tredje på 8 sätt osv. Antalet möjliga sätt blir då enligt multiplikationsprincipen 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3 628 800 Antalet permutationer av 10 föremål (element) kan skrivas 10! 10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

n -fakultet

Produkten av alla heltal från 1 till n kallas n-fakultet och betecknas n! Allmänt gäller:

Antalet permutationer av n element

Exempel 2

Antalet permutationer av n element är n ! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 där n är ett positivt heltal. Om endast 3 låtar ska väljas från listan med 10 låtar kan detta göras på 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 olika sätt. Antalet permutationer (ordnade urval) av 3 låtar bland 10 låtar kan skrivas 10! 10! = P(10, 3) = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7! = 7! (10 ‒ 3)! 7! Vi förlänger med 7!

1.1 KombinatoriK

M5000 Kurs 5 Bla.indb 15

2013-07-11 15:35

Allmänt gäller:

Antalet permutationer av k element bland n

Antalet permutationer av k element bland n givna element är n! P ( n, k ) = n ∙ (n – 1) ∙ … ∙ (n – k + 1) = (n − k)! Elementen väljs endast en gång och med hänsyn till ordningen. Två specialfall: Om vi väljer n element av n får vi P(n, n) = n! = n! = n! om vi definierar 0! = 1 (n ‒ n)! 0! Om vi väljer 0 element av n får vi P(n, 0) = n! = 1 med tolkningen: ”noll element kan väljas på ett sätt”. n!

1133 A

Julia ska sätta upp förstoringar av tre fotografier i sitt rum. De ska hänga på rad. a) Utgå från det tre fotona A, B och C och gör en lista över de olika permutationerna. b) Hur många permutationer finns det? c) Julia lägger till fem foton och har nu åtta att välja på. På hur många sätt kan då tre foton hängas upp? a) A B C

BAC

CBA

ACB

BCA

CAB

b) Antalet permutationer av 3 element är 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 Svar: Det finns 6 permutationer. c) Antalet permutationer av 3 element bland 8 är P (8, 3) = 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336 eller P (8, 3) = 8! = 8! = 336 (8 ‒ 3)! 5! Svar: På 336 olika sätt.

M5000 Kurs 5 Bla.indb 16

1.1 KombinatoriK

2013-07-11 15:35

1134

Hur många olika ”ord” kan man bilda av bokstäverna i ordet a) KEMI b) MATTE a) Fyra bokstäver kan ordnas på 4! = 24 olika sätt. (De flesta orden saknar dock betydelse.) b) Fem bokstäver kan ordnas på 5! = 120 olika sätt. Eftersom det finns två T i ordet MATTE kommer flera av de 120 orden att vara lika. Två bokstäver kan ordnas på 2! = 2 sätt så antalet olika ord ges av 5! = 120 = 60 2! 2 Svar: a) 24 ord

1135

b) 60 ord

Tolka och beräkna a) P (6, 6)

b) P (8, 5)

c) P (8, 1)

d) P (8, 0)

a) P (6, 6) är antalet permutationer (ordnade urval) av 6 element. P (6, 6) = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 b) P (8, 5) är antalet permutationer när man väljer 5 element av 8. P (8, 5) = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6 720 eller P (8, 5) =

8! = 8! = 6 720 (8 – 5)! 3!

c) P (8, 1) är antalet sätt att välja 1 element bland 8. P (8, 1) = 8 d) P (8, 0) är ”antalet sätt att välja 0 element bland 8”. P (8, 0) = 1

På många räknare finns verktyg för beräkning av n! och P (n, k). T ex 9 nPr 4 ger att P (9, 4) = 3 024

1.1 KombinatoriK

Bla 5 Kap 1.1.indd 17

2013-10-24 16:57

1136 Sju personer ska skriva sitt namn på en lista. På hur många sätt kan listan se ut om man tar hänsyn till namnens inbördes ordning?

1144 a) Hur många olika ”ord” kan man bilda av bokstäverna i ordet BANAN? b) Hur många av orden i uppgift a) börjar med AN?

1137 Beräkna utan räknare a) 4! b)

c) 2! ∙ 3!

11! (11 ‒ 2)!

100! (100 ‒ 1)!

1138 I styrelsen till en idrottsförening ska man välja ordförande, sekreterare och kassör. På hur många sätt kan dessa väljas om styrelsen består av a) 6 personer

1145 Tolv damer och tolv herrar kommer till en danskurs. a) Först hälsar alla på varandra genom att ta i hand. Hur många handskakningar innebär detta? b) Sedan bildas danspar av en dam och en herre. Hur många olika danspar kan bildas? 1146 a) Bestäm värdet på k utan räknare då 5 ∙ 9! + 5 ∙ 8! = k ∙ 8!

b) 12 personer? 1139 Beräkna och tolka a) P (9, 3)

c) P (15, 1)

b) P (4 ,4)

d) P (100, 0)

1140 En vanlig kortlek innehåller 52 olika kort. På hur många sätt kan man dra fem kort om man tar hänsyn till ordningen och a) lägger tillbaka kortet efter varje dragning b) inte lägger tillbaka korten? 1141 Hur många tresiffriga tal a) finns det b) med endast jämna siffror finns det c) med endast udda siffror finns det, om varje siffra endast får förekomma en gång? 1142 a) Teckna och beräkna antalet permutationer av tre element bland fem.

b) Visa att a ∙ n! + a(n + 1)! kan skrivas a ∙ n!(n + 2). 1147 I ett klassrum med 30 bänkar och 30 elever säger läraren: ”Vi prövar en ny placering varje dag.” Hur många läsår dröjer det innan alla tänkbara placeringar är prövade? (Vi antar att ett läsår har 200 dagar.) 1148 Ett spelbolag har ett spel, där det gäller att bland åtta deltagare i en tävling tippa de n första i rätt ordning. Hur stort måste n minsta vara, om antalet olika tipsrader ska bli mer än 1 000? 1149 Visa att P (n, n) = P (n, n – 1) genom att a) förenkla båda uttrycken b) använda multiplikationsprincipen.

b) Förklara vad du beräknat i a). 1143 Hur många fyrsiffriga koder finns det med a) siffrorna 0, 6, 8, 9 b) olika siffror c) siffrorna 3, 5, 5, 9

M5000 Kurs 5 Bla.indb 18

1.1 KombinatoriK

2013-07-11 15:35

M5000 Kurs 5 Bla.indb 19

2013-07-11 15:35

Träd Exempel 1

Nya el-ledningar ska dras mellan fem byar. På hur många sätt kan detta göras? Figurerna visar två sätt att sammanbinda de fem byarna.

En sammanhängande graf utan cykler kallas för ett träd. uppspännande träd

I vårt exempel ingår alla hörnen i grafen, dvs grafen ”spänner över” alla hörn och kallas då ett uppspännande träd. Vi börjar med att studera antalet sätt att skapa förbindelse mellan tre byar.

Vi ser att det finns 3 sätt när antalet byar är tre. Antalet sätt växer snabbt då antalet byar ökar. Det finns 16 sätt att sammanbinda fyra byar utan cykler och i vårt inledande exempel med fem byar är antalet sätt 125. Den engelske matematikern Arthur Cayley (1821 – 1895) kom fram till: Antalet sätt

Exempel 2

Antalet sätt att sammanbinda n hörn (utan cykler) är n n − 2

Minimalt uppspännande träd Figuren visar de planerade kostnaderna (i miljoner kr) för att sammanbinda varje par av byar med ledningar. D

M5000 Kurs 5 Bla.indb 54

a−B

a−C

a−D

a−e

B−C

B−D

B−e

C−D

C−e

D−e

1.3 Grafteori

2013-07-11 15:36

kantens vikt

Vi visar en metod som minimerar kostnaden för att sammanbinda byarna. Värdena i tabellen brukar kallas kanternas vikter. Vi börjar med att dra den ledning som kostar minst (lägst vikt), dvs mellan A och D (8 miljoner kr).

Sedan drar vi den ledning som kostar näst minst, dvs mellan B och C (9 miljoner kr).

Vi fortsätter att dra den billigaste ledningen, så länge den inte bildar en sluten krets med de tidigare ledningarna. Vi fortsätter alltså med AE (11 miljoner kr) och till sist BD (14 miljoner kr). Obs! Ledningen DE (12 miljoner kr) dras inte, eftersom då bildas en sluten krets.

Den minsta kostnaden för att sammanbinda byarna är (8 + 9 + 11 + 14) miljoner kr = 42 miljoner kronor.

Kruskals algoritm

Den här metoden ger alltid den minsta kostnaden (lägsta vikten). Detta bevisades år 1956 av den amerikanske matematikern Joseph Kruskal. Metoden kallas för Kruskals algoritm. Kruskals algoritm kan användas i många sammanhang vid t ex olika typer av ledningsdragning.

1314

b) Beräkna den sammanlagda vikten av kanterna i trädet du ritat.

a) Utgå från figuren och rita ett minimalt uppspännande träd.

9 8

12 5 3

a) Ett uppspännande träd går genom alla hörn utan att bilda en sluten krets. Trädet bildas av kanten med lägsta vikten 3, sen kanten 5 (inte kanten 6 eftersom då bildas en sluten krets) och till sist kanten 8.

b) 3 + 5 + 8 = 16

1.3 Grafteori

M5000 Kurs 5 Bla.indb 55

2013-07-11 15:36

1315 a) Bestäm antalet hörn och kanter i följande träd.

1319 Inom kemin använder man träd för att göra modeller av t ex alkaner.

Alkaner är kemiska föreningar som endast består av kol- och väteatomer. I modellen är varje hörn en kolatom och varje kant är en bindning mellan två kolatomer.

En kolatom kan binda en, två, tre eller maximalt fyra andra kolatomer. C

Namn

Formel

Metan

CH4

Etan

C2H6

b) Rita ett träd med fyra hörn och bestäm antalet kanter.

Propan

C3H8

c) Rita ett träd med fyra kanter och bestäm antalet hörn.

Butan

C4H10

d) Skriv en formel för sambandet mellan antalet hörn och kanter i ett träd. 1316

För alkaner med fyra kolatomer eller fler kan strukturen för samma ämne se olika ut. Det olika strukturerna kallas för isomerer.

3 8

Observera att t ex inte är isomerer, utan samma molekyl.

a) Rita de möjliga uppspännande träden och beräkna kanternas sammanlagda vikt för varje träd.

b) Av hexan C6H14 finns det fem isomerer. Rita trädstukturen för dessa.

1317 Rita och beräkna vikten av ett minimalt uppspännande träd till figuren. b)

c) Hur många strukturisomerer finns det av heptan C7 H16?

och

a) Av pentan C5H12 finns det tre isomerer. Rita trädstukturen för dessa.

b) Vilket träd kallas minimalt uppspännande träd?

Strukturformel

1318 Bestäm n om antalet sätt att sammanbinda n städer utan cykler är större än 1 miljon. 56

M5000 Kurs 5 Bla.indb 56

1.3 Grafteori

2013-07-11 15:36

Aktivitet

Diskutera

Sant eller falskt? Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret! 1 Antalet permutationer för ett givet urval är alltid större än antalet kombinationer. 2 A ∩ B och A ∪ B kan aldrig vara lika i en sluten graf. 3 Om antalet kanter från ett hörn i en sluten graf är udda finns det ingen Eulerslinga i grafen.

()

4 7 betyder antalet sätt man kan välja 3 3 element av 7 med hänsyn till i vilken ordning de väljs. 5 I en skål ligger fem kulor, 2 gula och 3 blå. Sannolikheten att få 2 gula om man, utan att titta, tar 2 kulor är lika stor som sannolikheten att få 3 blå om man tar 3 kulor. 6 n(n – 1)! kan skrivas n! 7 Utvecklingen av (a + b)n ger efter förenkling bl a termerna nbn och (n – 1)an – 1 8

9 Om 80 % av medlemmarna i en motionsförening går på gym och 70 % går på gruppträning, så går hälften av medlemmarna på både gym och gruppträning. 10 Om A ∪ B = 18, |A ∩ B|= 7 och |B \ A| = 5 så gäller |A\ B |= 11. 11 6 personer kan sätta sig på 6! sätt kring ett bord med 6 platser. 12

Du tar slumpvis kulor ur skålen. Antalet resvägar som börjar och slutar i A och passerar alla hörn en gång är ca 40 000.

1 diskret matematik i

M5000 Kurs 5 Bla.indb 57

Du måste ta fler kulor för att vara säker på att få två av samma färg än två av olika färg.

2013-07-11 15:36

Sammanfattning 1 Kombinatorik Lådprincipen

Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla två eller fler av föremålen. Om n · k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen. Multiplikationsprincipen

Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen göras på p · q sätt.

Kombinationer

Antalet kombinationer (oordnade urval) av k element bland n element är n! n = k k!(n – k)!

()

Exempel: 3 personer av 8 kan väljas utan hänsyn till ordningen på 8 olika sätt. 3 8! 8! 8·7·6 8 = = = = 56 3 3!(8 – 3)! 3! · 5! 1 · 2 · 3

()

Glöm inte symmetriegenskapen: 8 = 8 = 8 3 8–3 5

Det första valet får inte påverka det andra valet.

() ( ) ()

Additionsprincipen

Sannolikheter

Om man ska välja 1 föremål från en grupp med p olika föremål eller från en grupp med q olika föremål, så kan detta ske på p + q sätt. Permutationer

Antalet permutationer (ordnade urval) av n element är n! (n-fakultet). Exempel: 5 personer kan bilda en kö på 5! olika sätt. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 Antalet permutationer (ordnade urval) av k element bland n element är n! P (n, k) = (n – k)! Exempel: 3 personer av 8 kan väljas med hänsyn till 8! olika sätt. ordningen på P (8, 3) = (8 – 3)! 8! P (8, 3) = = 8 · 7 · 6 = 336 5!

M5000 Kurs 5 Bla.indb 58

Vid likformig sannolikhetsfördelning gäller antalet gynnsamma utfall P (H) = antalet möjliga utfall Binomialsatsen

() ()

()

(a + b)n = n an + n an – 1 b + ... + n an – k b k + 1 0 k n bn ... + n

() ()

Talen n kallas binomialkoefficienter. k Pascals formel

() ( ) ( ) n = n–1 + n–1 k k k–1

1≤k≤n–1

Exempel: I en skål ligger fem kulor, en röd och fyra blå. Antalet sätt att välja fyra kulor: 5 = 5. 4 Antalet sätt då en röd ingår: 4 = 4. 3 Antalet sätt då en röd inte ingår: 4 = 1. 4 5 Kontroll med Pascals formel: = 4 + 4 4 4 3

() () () () () () 1 diskret matematik i

2013-07-11 15:36

Mängdlära

Inkludera och exkludera

Mängder

En mängd är en samling objekt (element). En mängd kan beskrivas på olika sätt: Z är mängden av de hela talen. Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Z = {x|x är ett heltal} A ⊆ B betyder att A är en delmängd av B. A ⊂ B betyder att A är en äkta delmängd av B. (A och B är inte lika).

Exempel : Mängden A innehåller 17 element, mängden B 12 och snittet till mängderna A och B 10 element dvs |A| = 17 |B| = 12 och |A ∩ B| = 10 Då är antalet element i unionen A ∪ B = 17 + 12 – 10 = 19 Vi inkluderar (tar med) elementen i A och B och exkluderar (tar bort) elementen i A ∩ B. Grafteori

Grundmängden G är den mängd som innehåller alla element som kan komma i fråga i en viss situation.

En krets är en sluten väg, dvs den passerar inte samma kant flera gånger.

Den tomma mängden ∅ saknar element och är en delmängd av varje mängd.

En cykel är sluten stig, dvs den passerar inte samma kant och inte samma hörn flera gånger.

En mängd med n element har totalt 2n delmängder.

En Hamiltoncykel passerar alla hörn i grafen.

Mängdoperationer och Venndiagram

En handelsresandes problem

1 Snittet A ∩ B = {x|x ∈ A och x ∈ B} 2 Unionen A ∪ B = {x|x ∈ A och/eller x ∈ B} 3 Mängddifferensen A \ B = {x|x ∈ A och x ∉ B} 4 Komplementmängden till A A = {x|x ∈ G och x ∉ A} A

A∩B A

Antalet resvägar mellan n hörn i en graf, där alla hörn är sammanbundna med varandra och man startar och slutar på samma ställe, är (n – 1)! Antalet reslängder är (n – 1)!/2. En av de kortaste resvägarna hittar man med ”närmaste granne metoden”.

A∪B B

En Eulerkrets passerar alla kanter i grafen.

Träd

Sammanhängande grafer utan cykler kallas för träd. Om trädet når till alla hörn kallas det ett uppspännande träd. Antalet sätt att sammanbinda n hörn (utan cykler) är n n−2.

Kruskals algoritm

A\B

Kruskals algoritm ger lägsta kostaden / vikten för ett uppspännande träd i en graf. A

Algoritmen: Börja med kanten med lägst vikt och fortsätt sedan med den som nu har lägst vikt osv. Hoppa över de kanter som bildar en sluten krets. Sluta när alla hörn är sammanbundna. Summera vikterna på kanterna i grafen.

1 diskret matematik i

M5000 Kurs 5 Bla.indb 59

2013-07-11 15:36

Kan du det här? 1 Moment

Begrepp som du ska kunna använda och beskriva

Kombinatorik

Permutation Kombination

()

”n över k” n k n-fakultet n!

Utfall och slumpförsök Beroende händelse och komplementhändelse

Du ska ha strategier för att kunna • använda lådprincipen, multiplikationsprincipen och additionsprincipen • beräkna antalet permutationer respektive kombinationer för olika urval • beräkna sannolikheter vid likformig sannolikhetsfördelning • lösa kombinatoriska problem.

Binomialsatsen och binomialkoefficient

Mängdlära

Mängd och element Grundmängd, tom mängd och delmängd Snittet, unionen, mängddifferensen och komplementet Venndiagram

• ange om ett element tillhör en väldefinierad mängd • kunna beskriva en mängd på olika sätt • beräkna antalet delmängder av en given mängd • avgöra vilka element som tillhör snittet, unionen, mängddifferensen och komplementet • använda principen om inklusion och exklusion för enklare tillämpningar.

Grafteori

Graf, hörn och kant Köningsbergs broar Väg, stig, krets och cykel Eulerkrets

• känna till några klassiska grafteoretiska problem och lösningen på dessa (om det finns någon) • rita och beräkna totala vikten av ett minimalt uppspännande träd.

Hamiltoncykel Den handelsresandes problem Träd och uppspännande träd Kruskals algoritm

M5000 Kurs 5 Bla.indb 60

1 algebra och 1 diskret linjära matematik modelleri

2013-07-11 15:36

Diagnos 1 Mängdlära

Kombinatorik 1 I en skål ligger tre röda och sju gröna äpplen. Hur många måste du slumpvis ta för att säkert få två av a) samma färg

b) olika färg?

2 Isik kommer ihåg att första siffran i hans fyrsiffriga pinkod är 2. Hur många sådana pinkoder finns det om a) han vet att alla siffror i pinkoden är olika b) han inte kommer ihåg mer än att första siffran är en tvåa? 3 Beräkna utan räknare a) 4! · 2!

c) C(5, 2)

b) P(5, 2)

d) 101 99

( )

4 På en arbetsplats ingår alla åtta anställda i en utlottning av tre vinster. Varje person kan bara få en vinst. På hur många sätt kan vinsterna fördelas om a) alla vinster är likadana b) det finns en 1:a, en 2:a och en 3:e vinst? 5 Klas ska köpa läsk och snacks till en fest. Han ska välja tre av fem läsksorter och två sorters snacks av popcorn, chips, ostbågar eller nötter. På hur många olika sätt kan han välja sitt inköp? 6 Utveckla a) (1 + a)6 b) (2x – y)5

7 Sant eller falskt? a) 7 ∈ {x|x primtal och x < 10} b) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2} c) Mängden {4, 6} har fyra delmängder. d) {x|x2 + 9 = 0 och x ∈ R} = ∅ 8 Låt A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} och C = {5, 6, 7}. Grundmängden G = {x|0 < x < 10 och x ∈ Z} Bestäm a) A ∩ B

c) B \C

b) B ∪ C

d) (A ∪ B) ∩ C

9 Beskriv med symboler det skuggade området. A

B C

10 I en undersökning deltog 500 personer varav 310 kvinnor. Av dessa 310 var 110 under 25 år. 60 personer var män som var 25 år eller äldre. a) Hur många var under 25 år i undersökningen? b) Mängden män och mängden kvinnor är disjunkta. Vad betyder det? Grafteori 11 Vad menas med en Eulerkrets? 12 a) Hur många vägar måste minst dras för att sammanbinda sex städer? b) Hur många vägar måste dras om sex städer ska ha direktförbindelse med varandra?

Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sid 237.

1 diskret algebramatematik och linjära i modeller

M5000 Kurs 5 Bla.indb 61

2013-07-11 15:36

Blandade övningar kapitel 1 Del I

Utan räknare

1 I en godispåse ligger 10 röda, 10 gröna och 10 gula karameller av samma typ. Du tar, utan att titta, karameller ur påsen. Hur många måste du ta för att vara säker på att få minst 5 av samma färg?

d) B ∩ C

b) B \C

e) A ∩ B ∩ C

c) A ∩ C

f) |A ∪ B ∪ C|

b) innehåller bara nya batterier c) innehåller minst ett gammalt batteri?

( ) ( ) n n–2

a) n 3

b) n + 1 2

d) n + 1 n–1

8 Hur många permutationer kan man göra av de fyra symbolerna, om de ska placeras på rad? c)

a) ✚

b) A

a) är möjliga

() ( )

3 Beskriv med symboler den färgade delen av Venndiagrammet. a)

Hur många sådana urval

7 Utveckla

2 Låt A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e, f} och C = {a, c, d, g}. Bestäm a) A ∪ B

6 I en låda med åtta nya batterier har det hamnat två gamla som ska slängas. Du tar tre batterier ur lådan.

♥✸▼ b) ✚ ♥ ✚ ✸

✚♥✚♥ d) ✸ ▼ ✸ ✸

9 Varför är alla fakulteter utom 1! jämna tal? 4 Har grafen en a) Hamiltoncykel b) Eulerkrets? Motivera. 5 I skolcafeterian kan man köpa ett mellanmål för 25 kr. Man får då antingen en dryck och en smörgås eller en dryck, en yoghurt och en frukt. Det finns te, kaffe eller saft, tre olika smörgåsar, fyra yoghurtsmaker och äpple eller banan att välja på. På hur många sätt kan man välja sitt mellanmål för 25 kr?

M5000 Kurs 5 Bla.indb 62

10 Visa att

( ) ( ) ( ) ( )

m m a) m2 = 2 2 + 1 b) 2n = 2 2n – 1 n n–1

för alla n ≥ 1.

11 A och B är mängder. a) Beskriv innebörden av mängddifferensen (A ∪ B)\(A ∩ B) med ord. b) Vad innebär (A ∪ B)\(A ∩ B) = ∅? 12 Går det att hitta mängder A, B och C som uppfyller A ∪ C = B ∪ C, A\C = B \C och A ≠ B

1 algebra och 1 diskret linjära matematik modelleri

2013-07-11 15:36

17 Utveckla

Med räknare

13 En träningsgrupp i fotboll består av 20 utespelare och en målvakt. På hur många sätt kan ett 11-mannalag väljas ut om man inte tar hänsyn till att de tio utespelarna helst vill spela på vissa positioner? 14 Hedvig kastar 4 tärningar.

a) (3x2 – y3)

c) (x – y)4

b) (a + 2b)3

d) (z2 + 3u)5

6 6 18 Utveckla och förenkla uttrycket (x + h) – x h

19 Rita och beräkna totala vikten av ett minimalt uppspännande träd som sammanbinder A – F. A

Hur stor är sannolikheten att hon får a) åtminstone en sexa

b) exakt tre sexor?

15 En undersökning inför en friluftsdag, i årskurs 4, visar elevernas val.

2 10

65 % vill åka skidor

55 % vill åka skridskor

25 % vill åka både skidor och skridskor.

A B

b) Hur många procent av eleverna vill varken åka skidor eller skridskor?

() ()

16 a) Visa att 9 = 9 3 6

b) Beskriv en vardaglig situation där

() ()

9 och 9 är lika. 3 6

1 diskret algebramatematik och linjära i modeller

M5000 Kurs 5 Bla.indb 63

C 12

a) Rita ett Venndiagram som presenterar undersökningen.

13 6

Del II

G = {alla trianglar} A = {likbenta trianglar} a) Var bör de liksidiga trianglarna finnas? b) Var bör de rätvinkliga trianglarna finnas? c) Vilka trianglar är det färgade omådet? Motivera dina svar.

2013-07-11 15:37

2267 a) 96 049 kr

b) 114 076 kr

2268 6 268 kr 2269 Ca 2,6 ∙ 1047 Ledtråd: a = 1 och k = 3 2270 27 923 kr Ledtråd: Lös ekvationen x(1, 075 − 1) = 100 000 · 1,077 1, 07 − 1 2271 40(1 – 0,5n) mg 2272 a) Cirka 0,33 % (0,327…) Ledtråd: Lös ekvationen x 12 = 1,04 b) Ungefär 9,6 miljoner Ledtråd: Beräkna summan av alla nuvärden. 1 och n = 300 k= 1,00327 2273 a) Om ca 45 år b) Om ca 30 år (32) Ledtråd: Ställ upp och lös en ekvation med en geometrisk summa där x är antal år. c) Om ca 110 år.

Historik: Fibonaccis talföljd 1 a) 233, 377 b) an + 2 = an + 1 + an, a1 = 1, a2 = 1 2

månad

kaninpar

1+1 = 2

1+2 = 3

2+3 = 5

månad 1 månad 2 månad 3 månad 4

3 Kvoterna 13 21 ≈ 1,625 ≈ 1,6154 8 13 34 55 ≈ 1,6190 ≈ 1,6176 21 34 verkar närma sig Gyllene snittet, 1+ 5 ≈ 1,6180 2 4 a) 1 5 10 10 5 1 b) Diagonalernas summa blir Fibonaccis talföljd. 2304 a) (p + 5)2 Ledtråd: Kvadreringsregeln baklänges. b) 2(p – 1)2 c) (p – 3)(p + 4) Ledtråd: Lös ekvationen p2 + p – 12 = 0 för att hitta nollställen och faktoriera. d) (p + 2)(3p – 2) Ledtråd: Lös ekvationen 3(p2 + 4p/3 – 4/3) = 0 2305 a) En aritmetisk talföljd. n(2 + 2n) b) sn = = n(n + 1) 2 c) Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = 2 HL = 1(1 + 1) = 2 VL = HL dvs formeln gäller för n = 1. 2. Antagande (formeln gäller för n = p) 2 + 4 + 6 +...+ 2p = = p(p +1) Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 2 + 4 + 6 + ... + + 2p + 2(p + 1)= = (p + 1)(p + 2) Bevis VL = 2 + 4 + 6 + + ... + 2p + 2(p + 1)= = p(p + 1) + 2(p + 1) = = p2 + 3p + 2 = = (p + 1)(p + 2) = HL V.S.V.

2306 a) En geometrisk talföljd. n b) sn = 2(2 – 1) = 2 n + 1 – 2 2–1 c) Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = 21 = 2 och HL = 21 + 1 – 2 = 2 VL = HL dvs formeln gäller för n = 1

2. Antagande (formeln gäller för n = p) 2 + 4 + 8 + … + 2p = = 2p + 1 – 2 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 2 + 4 + 8 + … + 2p + + 2p + 1 = 2p + 2 – 2 Bevis VL = 2 + 4 + 8 + … + 2p + 2p + 1 = = 2p + 1 – 2 + 2p+1 = = 2 · 2p + 1 – 2 = 2p + 2 – 2 = = HL V.S.V. 2307 a) 62 = 36 63 = 216 64 = 1 296 b) 6 n, där n är ett heltal, slutar på siffran 6. c) Lösning: 1. n = 1 ger 61 = 6 2. Antagande: 6 p har slutsiffran 6 dvs 6 p = m ∙ 10 + 6 Påstående: 6 p + 1 slutar på siffran 6 Bevis: 6 p + 1 = 6 p ∙ 61 = = (m ∙ 10 + 6) ∙ 6 = = 6 ∙ m ∙ 10 + 36 = = 6m ∙ 10 + 3 ∙ 10 + 6 = = (6m + 3) ∙ 10 + 6 3. 6 p + 1 är ett tal som slutar på 6. Vi har visat att om det gäller för 6 p så gäller det också för 6 p + 1 vilket innebär att det gäller för samtliga fall.

månad 5

256

Bla 5 facit.indd 256

svar, ledtrådar och lösningar

2013-10-24 17:25

2308 a) Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = 6 ∙ 1 – 3 = 3 och HL = 3 ∙ 12 = 3 VL = HL, dvs formeln gäller för n = 1. 2. Antagande (formeln gäller för n = p) 3 + 9 + 15 + ... + + (6p – 3) = 3p2 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 3 + 9 + 15 + ... + +(6p – 3)+(6(p + 1)–3)= = 3(p + 1)2 Bevis: VL = 3 + 9 + 15 + ... + +(6p – 3)+(6(p + 1)–3)= = 3p2 + (6(p + 1) – 3) = = 3p2 + 6p + 3 = = 3(p + 1)2 = HL V.S.V. b) Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = 6 ∙ 1 – 2 = 4 och HL = 1 ∙ (3 ∙ 1 + 1)= 4 VL = HL, dvs formeln gäller för n = 1 2. Antagande (formeln gäller för n = p) 4 + 10 + ... + (6p – 2) = = p(3p + 1) Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 4 + 10 + ... + +(6p – 2)+(6(p+1) – 2)= = (p + 1)(3(p + 1) + 1) Bevis VL = 4 + 10 + ... + +(6p – 2)+(6(p+1) – 2)= =p(3p+1)+(6(p+1) – 2)= = 3p2 + p + 6p + 4 = = 3p2 + 7p + 4 = = (p + 1)(3p + 4) = = (p + 1)(3(p + 1) +1 = = HL V.S.V. Kommentar: 3p2 + 7p + 4 faktoriseras på liknande sätt som i uppg 2301. Man kan också visa att VL = HL genom att skriva om båda leden.

svar, ledtrådar och lösningar

M5000 Kurs 5 Bla.indb 257

2309 Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = 1 och HL = 1(3 ∙ 1 – 1) = 1 2 VL = HL, dvs formeln gäller för n = 1. 2. Antagande (formeln gäller för n = p) 1 + 4 + 7 + ... + 3p – 2 = = p(3p – 1) 2 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 1 + 4 + 7 + ... + + 3p – 2 + 3(p + 1) – 2 = = (p + 1)(3(p + 1) – 1) 2 Bevis VL = 1 + 4 + 7 + ... + + 3p – 2 + 3(p + 1) – 2 = = p(3p – 1) + 3(p + 1) – 2 = 2 3p2 – p + 6p + 6 – 4 = = 2 3p2 + 5p + 2 = 2 HL = (p + 1)(3(p + 1) – 1) = 2 3p2 + 5p + 2 = 2 VL = HL V.S.V. 2310 Lösning: 1. För n = 1 får vi 1 1 = VL = (2 ∙ 1 – 1)(2 ∙ 1 + 1) 3 1 1 = HL = 2∙1 + 1 3 VL = HL, dvs formeln gäller för n = 1 2. Antagande (formeln gäller för n = p) 1 1 + 1 + ... + + 1∙3 3∙5 5∙7 p 1 + = (2p – 1)(2p + 1) 2p + 1 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 1 1 + ... + + 1∙3 3∙5 1 + + (2p – 1)(2p + 1) 1 = + (2(p+1) – 1)(2(p+1)+1) p+1 = 2(p + 1) + 1

Bevis 1 1 + ... + VL = + 1∙3 3∙5 1 + + (2p – 1)(2p + 1) 1 = + (2(p+1) – 1)(2(p+1)+1) = p + 2p + 1 1 + = (2(p+1)–1)(2(p+1)+1) = p + 2p + 1 1 + = (2p + 1)(2p + 3) = p(2p + 3) + 1 = (2p + 1)(2p + 3) =

2p2 + 3p + 1 = (2p + 1)(2p + 3)

HL =

p+1 = 2(p + 1) + 1

= (p + 1)(2p + 1) = (2p + 3)(2p + 1) =

2p2 + 3p + 1 (2p + 3)(2p + 1)

VL = HL V.S.V. 2311 Lösning: Formeln ska gälla för n = 1 vilket ger VL = 1 ∙ (3 ∙ 1 – 1) = 2 HL = 12 ∙ (1 + t) = 2 t=1 Antagande (formeln gäller för n = p) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 8 + ... + + p(3p – 1) = p2(p + 1) Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 8 + ... + +p(3p –1)+(p+1)(3(p+1)– 1) = = (p + 1)2(p + 2) Bevis VL = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 8 + ... + +p(3p –1)+(p+1)(3(p+1)– 1) = = p2(p + 1) + (p + 1)(3p + 2) = = (p + 1)(p2 + 3p +2) = = (p + 1)(p + 1)(p + 2) = (p + 1)2(p + 2) = HL VL = HL V.S.V.

257

2013-07-11 15:45

2312 a) an = 12 + (n – 1)10 = 10n + 2 b) sn = n(12 + 10n + 2) = 2 = n(7 + 5n) c) Ledtråd: Visa att 12 + 22 + 32 + … + + (10n + 2) = n(7 + 5n) 2313 Lösning: 1. För n = 1 får vi 22 ∙ 1 – 1 = 3 som är delbart med 3. VL = HL, dvs formeln gäller för n = 1 2. Antag att det gäller för n = p 22p – 1 är delbart med 3. Påstående 22(p+1) – 1 är delbart med 3 vilket kan skrivas 22(p+1) – 1 = = 3 ∙ m. Bevis 22(p + 1) – 1 = 22p + 2 – 1 = = 22p ∙ 22 – 1 = 4 ∙ 22p – 1 = = 3 ∙ 22p + 22p – 1 = = 3 ∙ 22p + 3 ∙ m = 3(22p + m) Vi har alltså visat att 22(p + 1) – 1 är delbart med 3. 2314 a) A 8n – 6 är inte en formel 2 för summan. Motivering: n = 1 ger s1 = 1 Stämmer n = 2 ger s2 = 5 Stämmer n = 3 ger s3 = 9 Stämmer inte n(n + 2) är inte en formel 3 för summan. Motivering: n = 1 ger s1 = 1 Stämmer n = 2 ger s2 = 8/3 Stämmer inte B

n(n + 1)(2n + 1) verkar C 6 vara en formel för summan. Motivering: n = 1 ger s1 = 1 Stämmer n = 2 ger s2 = 5 Stämmer n = 3 ger s3 = 14 Stämmer

258

Bla 5 facit.indd 258

b) Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = 1 HL = 1(1 + 1)(2 ∙ 1 + 1) = 1 6 VL = HL dvs formeln gäller för n = 1. 2. Antagande (formeln gäller för n = p) 12 + 22 + 32 + … + p2 = = p(p + 1)(2p + 1) 6 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 12 + 22 + 32 + … + +p2 + (p+1)2 = (p+1)(p+2)(2(p+1)+1) = 6 Bevis VL = 12 + 22 + 32 + … + + p2 + (p + 1)2 = p(p+1)(2p+1) +(p+1)2= = 6 p(p+1)(2p+1)+6(p+1)2 = = 6 (p+1)(p(2p+1))+6(p+1) = = 6 (p + 1)(2p2 + 7p + 6) = = 6 (p + 1) ∙ 2(p + 2)(p + 1,5) = = 6 (p + 1)(p + 2)(2p + 3) = = 6 (p+1)(p+2)(2(p+1)+1) = = 6 = HL VL = HL

V.S.V.

2315 a) Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = (1 + 1)2 = 4 och HL = 1 + 12 = 2 VL ≥ HL, dvs formeln gäller för n = 1 2. Antagande (formeln gäller för n = p) (1 + p)2 ≥ 1 + p2 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) (1 + (p + 1))2 ≥ 1 + (p + 1)2 Bevis (1 + (p + 1))2 ≥ 1 + (p + 1)2 1 + 2(p + 1) + (p + 1)2 ≥ ≥ p2 + 2p + 2 1 + 2(p + 1) + 1 + p2 ≥ ≥ p2 + 2p + 2 (enligt antagandet)

p2 + 2p + 4 ≥ p2 + 2p + 2 4≥2 Påståendet är sant och formeln gäller alltså för n = 1, 2, 3,… b) Lösning: 1. För n = 4 får vi VL = 42 = 16 och HL = 24 = 16 VL = HL För n = 5 får vi VL = 52 = 25 och HL = 25 = 32 VL < HL VL ≤ HL, dvs formeln gäller för n = 4 och n = 5. 2. Antagande (formeln gäller för n = p) p2 ≤ 2 p Påstående (formeln gäller för n = p + 1) (p + 1)2 ≤ 2p + 1 Bevis (p + 1)2 ≤ 2p + 1 p2 + 2p + 1 ≤ 2 · 2p p2 + 2p + 1 ≤ 2 · p2 (enligt antagandet) 2p + 1 ≤ p2 2+ 1 ≤p p 2+1 ≤p Påståendet är sant för p ≥ 3 och formeln gäller alltså för n = 4, 5, 6, … 2316 Lösning: y = x n har derivatan y¢ = n ∙ x n – 1 där n ∈ Z+ 1. För n = 1 får vi y = x 1 vilket ger y¢ = 1 ∙ x0 = 1 Stämmer. 2. Antagande (formeln gäller för n = p) y = x p vilket ger y¢ = pxp – 1 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) y = x p + 1 vilket ger y¢ = (p + 1)x p Bevis y = xp + 1 = x ∙ xp Derivatan av en produkt ger y¢ = 1 ∙ x p + x ∙ p ∙ x p – 1 = = x p + p ∙ x p = (p + 1)x p V.S.V.

svar, ledtrådar och lösningar

2013-10-24 17:28

7 a) a1 = 4 a2 = 6 a3 = 8 a4 = 10

Diagnos 2 1 a) Sant. Motivering: 23 är en delare till 575. b) Sant. Motivering: 17 är inte en delare till 341. c) Falskt. Motivering: 14 dividerat med 12 ger resten 2 28 dividerat med 12 ger resten 4 14 är alltså inte kongruent med 28 (mod 12) d) Sant. Motivering: Vi kan t ex visa att det är sant genom 16 ≡ 0 (mod 4) 82 ≡ 2 (mod 4) 16 + 84 ≡ 0 + 2 = 2 (mod 4) 2 3 060 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 17 Lösning: 3 060 är ett jämnt tal: 2 ∙ 1 530 1 530 är ett jämnt tal: 2 ∙ 2 ∙ 765 765 slutar på 5: 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 153 153 har siffersumman 9: 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 9 ∙ 17 9 är delbart med 3: 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 17 3 x = 17

x = 30

x = 43

4 a) 6 (mod 8) b) 2 (mod 7) c) 1 (mod 3) 5 a) SGF(128, 152) = 8 MGM(128, 152) = 2 432 b) SGF(66, 325) = 1 MGM(66, 325) = 21 450 c) SGF(78, 114) = 6 MGM(78, 114) = 1 482 6 T ex 36 och 120 Ledtråd: Dela upp 12 och 360 i primfaktorer och använd begreppen gemensamma och icke-gemensamma faktorer.

svar, ledtrådar och lösningar

Bla 5 facit.indd 259

b) Nej. Motivering: Kvoten mellan ett tal och det närmast föregående är inte konstant. 8 a) a10 = 98 415 Lösning: 5 ∙ 39 = 98 415 b) s10 = 147 620 9 a) 71 element Ledtråd: Lös olikheten 500 > 5 + 7 (n – 1) b) 34 element Ledtråd: Lös olikheten 500 > (6/5)n 10 a) 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 = 90 b) 4 0 + 41 + 42 + … + 47 = 21 845 11 a) 2, 6, 10, 14 b) a1 = 2 an + 1 = an + 4 n 12 a) sn = 2 000(1,03 – 1) 1,03 – 1 b) s1 = 2 000 sn + 1 = sn + 2 000 ∙ 1,03n

13 Lösning: 1. För n = 1 får vi VL = 1(3 + 1) = 4 och HL = 1(1 + 1)2 = 4 VL = HL, dvs formeln gäller för n = 1. 2. Antagande (formeln gäller för n = p) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + ... + p(3p + 1) = = p(p + 1)2 Påstående (formeln gäller för n = p + 1) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + ... + p(3p + 1) + + (p + 1)(3(p + 1) + 1) = = (p + 1)(p + 2)2 Bevis VL = 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + ... + +p(3p+1)+(p+1)(3(p+1)+1) = = (p(p + 1)2+(p + 1)(3p + 4) = = (p + 1)(p(p + 1) + 3p + 4) = = (p + 1)(p2 + 4p + 4) = = (p + 1)(p + 2)2 = HL VL = HL V.S.V.

Blandade övningar kapitel 2 1 6 och 11 (dvs a6 och a11 ) Motivering: 35 och 65 är inte primtal. 2 8 190 Ledtråd: Beräkna 12 s12 = 2(2 – 1) utan räknare. 2–1 3 a) 88 ∙ 75 ≡ 7 ∙ 3 = 21 ≡ 3 (mod 9) b) 86 ∙ 78 ≡ 26 ∙ 18 = 64 ≡ 4 (mod 6) c) 94 + (–6)4 ≡ 24 + 14 = = 17 ≡ 3 (mod 7) 4 a1 = 1

an + 1 = 2an + 2

5 Nej, m2 – 2 är inte delbart med 4. Motivering: Det räcker med ett motbevis: k = 1 ger (4 ∙ 1 + 2)2 – 2 = 34 4 | 34 6 a) a|b utläses ”a är en delare till b” Det betyder att b = n ∙ a för något heltal n. T ex 4|24 4 är en delare till 24 vilket också kan skrivas 24 = n ∙ 4. b) SGF (a, b) utläses ”största gemensamma faktor till a och b”. Det betyder produkten av alla gemensamma primfaktorer i talen a och b. T ex SGF (12, 20) = 2 ∙ 2 = 4 eftersom 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 och 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5. c) MGM (a, b) utläses ”minsta gemensamma multipel till a och b”. Det betyder det minsta talet som är en multipel av både a och b. T ex MGM (12, 20) = = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60 d) a ≡ b (mod n) utläses ”a är kongruent med b modulo n. Det betyder att talen a och b ger samma rest om man dividerar dem med talet n. T ex 27 ≡ 15 (mod 12) eftersom både 27 och 15 ger resten 3.

259

2013-10-24 17:32

5 LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE

Matematik 5000

Välj mellan RÖD SERIE

för serviceinriktade yrkesprogram

GUL SERIE

för tekniskt inriktade yrkesprogram

Matematik 5000

är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.

Matematik

5000

GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE

för NA och TE

BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning

För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000

ISBN 978-91-27-42633-7

9 789127 426337

Matematik5000_BLA_5.indd 1

2013-07-12 13:55