LÖSNINGSBOK
THOMAS ÖSTBERG
M 2c LĂśsningsbok Thomas Ă–stberg
ISBN 978-91-47-10495-6 © 2014 Thomas Östberg och Liber AB Förläggare: Calle Gustavsson Layout: Thomas Östberg Omslag: Cecilia Frank Illustrationer: Thomas Östberg Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro (Omslag): Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Kina 2014
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
2359c
De tre linjerna i samma koordinatsystem:
2362c
2362d
2363
2360a
2360b
2360c
2360d
2361
2362a
2362b
S¨att in punkterna (0, 0) och (4, 3) i k = 4y 3−0 3 ar genom 4x : 4−0 = 4 . Eftersom linjen g˚ 3 origo ¨ar m = 0. Svar: y = 4 x. Ans¨att hypotenusan till x le. Pythagoras sats ger: x2 = 42 √ + 32 ⇒ x2 = 16 + 9 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x = ± 25 ⇒ x = ±5. Negativa l¨osningen f¨orkastas. Svar: Hypotenusan ¨ar 5 le. Ans¨att ena diagonalens k-v¨arde till k1 och den andra till k2 . Vi vet att de tv˚ a diagonalerna ¨ar vinkelr¨ata mot varandra om k1 · k2 = −1. 0−4 = −4 k1 = 6−(−2) 8 = −0, 5 −4−8 k2 = −1−5 = −12 −6 = 2 k1 · k2 = −0, 5 · 2 = −1, VSV.
Linjen har k-v¨ ardet 1, eftersom linjen ¨ar 2364 Linjen L, som bildar 45◦ mot y-axeln, har parallell med y = x + 4. S¨ att in k = 1 och k-v¨ardet 1. F¨or varje o¨kning av x o¨kar punkten (5, 2): ¨aven linjens y-v¨arde med lika mycket. S¨att 2 = 1 · 5 + m ⇒ m = −3. Svar: y = x − 3 in punkten (0, 3) och k = 1: En linje som ¨ ar parallell med x-axeln har 3 = 1 · 0 + m ⇒ m = 3. k = 0. S¨ att in (−4, 1) och k = 0: Linjen M, som ¨ar vinkelr¨at mot L, har k = 1 = 0 · (−4) + m ⇒ m = 1. Svar: y = 1 − 11 = −1. S¨att in punkten (4, 0) och k = Ber¨ akna k-v¨ ardet med hj¨ alp av de tv˚ a −1: punkterna (120, 6) och (100, 0): 0 = −1 · 4 + m ⇒ m = 4. 0−6 −6 k = 100−120 = −20 = 0, 3. S¨ att in (100, 0) Svar: L har ekvationen y = x + 3 och M och k = 0, 3: har ekvationen y = −x + 4 0 = 0, 3 · 100 + m ⇒ m = −30. Svar: y = 0, 3x − 30 2365 Se facit i matematikboken. 1 = 0, 5. S¨att in Linjen har k-v¨ ardet − −2 (−2, −5) och k = 0, 5: −5 = 0, 5 · (−2) + m ⇒ m = −5 + 1 ⇒ R¨ ata linjens ekvation p˚ a allm¨ an form m = −4. Svar: y = 0, 5x − 4 2366a 5x + y − 8 = 0 ⇒ y = −5x + 8. Linjen M och L sk¨ ar varandra p˚ a y-axeln Svar: k = −5 och m = 8 och har d¨ arf¨ or samma m-v¨ arde, 4. Linjen 2366b 6x + 3y + 3 = 0 ⇒ 3y = −6x − 3 ⇒ y = M har k = −1 eftersom den ¨ar parallell −2x − 1. med y = 2 − x. Svar: y = −x + 4. Svar: k = −2 och m = −1 Arean f¨ or en r¨ atvinklig triangel ber¨aknas genom b·h , d¨ a r basen ¨ ar b och h¨ojden h. 2 Sk¨ arningspunkten (4, 3) ger oss informationen att L sk¨ ar y-axeln i (0, 3) och att M g˚ ar igenom origo (0, 0). Basen i triangeln ar s˚ aledes 3 le och h¨ ojden 4 le. Triangelns ¨ 12 ae = ae ⇒ 6 ae. area = 3·4 2 2 Eftersom linjen ¨ ar parallell med x -axeln ar k = 0 och m = 3 eftersom linjen sk¨ar ¨ y-axeln i (0, 3). Svar: y = 3 46
2367a
2367b
2368a 2368b
7x − 2y + 4 = 0 ⇒ 2y = 7x + 4 ⇒ y = 3, 5x + 2. Svar: k = 3, 5 och m = 2 y + 4 = 0 ⇒ y = −4. Svar: k = 0 och m = −4 3x − 2y = 0 ⇒ 2y = 3x ⇒ y = 1, 5x. Svar: k = 1, 5 och m = 0 x − 3y − 12 = 0 ⇒ 3y = x − 12 ⇒ y = 1 1 3 x − 4. Svar: k = 3 och m = −4
2369
Linje a): L¨ os ut y: 3x + y − 1 = 0 ⇒ y = −3x + 1. k = −3 = −3 1 ⇒ ∆x = 1; ∆y = −3 och m = 1 ⇒ linjen sk¨ ar y-axeln i (0,1). Linje b): L¨ os ut y: 2y + 6 = 0 ⇒ y = −6 ¨r parallell med 2 ⇒ y = −3. Linjen a x -axeln. De tv˚ a linjerna:
2371d
12 k = 10−(−2) = 0,2 = 60. Linjen sk¨ar y0,2−0 axeln i y = −2. Svar: y = 60x − 2
2372
Ta fram r¨ata linjens ekvation f¨or linjerna. kontrollera sedan om lutningen k ¨ar densamma. 8x + 4y + 16 = 0 ⇒ 4y = −8x − 16 ⇒ y = −2x − 4 8x−2y+8 = 0 ⇒ 2y = 8x+8 ⇒ y = 4x+4 24x − 6y + 2 = 0 ⇒ 6y = 24x + 2 ⇒ y = 4x + 31 6x + 3y + 18 = 0 ⇒ 3y = −6x − 18 ⇒ y = −2x − 6 Svar: Linjerna a) och d) med k = −2 a¨r parallella. Linjerna b) och c) med k = 4 ¨ar parallella.
a b c d
2373 a 2370
b
Linje a): L¨ os ut y: x − 2y + 6 = 0 ⇒ 2y = x + 6 ⇒ x = 12 x + 3. k = 12 ⇒ ∆x = 2; ∆y = 1 och m = 3 ⇒ linjen sk¨ ar y-axeln i (0,3). Linje b): L¨ os ut y: 5x − 5y − 15 = 0 ⇒ 5y = 5x − 15 ⇒ y = x − 3. k = 1 = 1 1 ⇒ ∆x = 1; ∆y = 1 och m = −3 ⇒ linjen sk¨ ar y-axeln i (0, −3).
2374
a b c d
2375a 2375b
2375c 2371a 2371b 2371c
10−0 k = 0−(−1) = 10 ar y1 = 10. Linjen sk¨ axeln i y = 10. Svar: y = 10x + 10 −5−0 k = 0−(−1) = −5 ar y1 = −5. Linjen sk¨ axeln i y = −5. Svar: y = −5x − 5 4 10−6 = 0,2 = 20. Linjen sk¨ ar y-axeln k = 0,2−0 i y = 6. Svar: y = 20x + 6
47
2375d
2x + 6y − 12 = 0 ⇒ y + 62 x − 12 6 = 0 ⇒ y + 31 x − 2 = 0 ⇒ y = − 31 x + 2 = 0. Svar: Efter omskrivningen ser vi att k = − 31 och m = 2. N¨ar linjen sk¨ar x-axeln ¨ar y-v¨ardet 0. 0 = − 13 x + 2 ⇒ x = 3 · 2 ⇒ x = 6. Svar: D˚ a x = 6. Linjen g˚ ar igenom (14, 26) om h¨ogerledet (HL) a¨r lika med v¨ansterledet (VL). S¨att in x = 14 och y = 26 i varje ekvation. VL= 26, HL= 4 · 14 − 27 = 29. Svar: Nej d˚ a HL6=VL VL= 5 · 14 − 3 · 26 = −8, HL= 8. Svar: Nej d˚ a HL6=VL VL= 2 · 14 + 3 · 26 − 106 = 0, HL= 0. Svar: Ja d˚ a HL=VL VL= 3 · 14 = 42, HL= 42. Svar: Ja d˚ a HL=VL En linje som stiger har alltid k > 0. Svar: Ja, men k > 0 m˚ aste g¨alla. F¨or linjer som ¨ar vinkelr¨ata g¨aller k1 ·k2 = −1. k1 · k2 = 4 · 0, 25 = 1. Svar: Nej S¨att in y = 0 och l¨os ut x: 0 = 2x − 10 ⇒ x = 10 2 ⇒ x = 5. Svar: Ja S¨att in a = 2 och skriv om den andra ekvationen: 2y + 3 · 2x + 10 = 0 ⇒ 2y + 6x + 10 = 0 ⇒ y = − 62 x − 10 2 ⇒ y = −3x − 5 Linjerna har inte samma k-v¨arde och ¨ar d¨arf¨or inte parallella. Svar: Nej
1c 1d 1e 1f
a b c
3479a
Vi ser i grafen att v¨ ardem¨angden a¨r f (x) ≥ 0. Vi ser i grafen att definitionsm¨angden ¨ar x √≥ −8. x + 8 = −0, 25x ⇒ (x + 8)0,5 = −0, 25x ⇒ (x+8)0,5·2 = (−0, 25x)2 ⇒ x+ 2 2 8 = 0, 0625x2 ⇒ 0, 0625x p −x−8 ⇒ x − 2 ⇒ 16x − 128 ⇒ x = 8 ± (−8) − (−128) √ √ x = 8 ± 64 + 128 ⇒ x = 8 ± 192 ⇒ x ≈ 8 ± 13, 86 ⇒ x1 ≈ 21, 9 x2 ≈ −5, 86. x1 f¨ orkastas. Svar: x ≈ −5, 86 Anv¨ and grafritande hj¨ alpmedel f¨or att rita grafen:
2a 2b 2c 2d 2e 2f
3a
3b
3479b
I grafen ser vi att sk¨ arningspunkterna ligger vi x ≈ 0, 11 och x ≈ 2, 9. I r¨aknaren kan du f˚ a fram det exakta x -v¨ardet, men h¨ ar ska vi avrunda till 2 v¨ ardesiffror. Vi ser i grafen som ¨ ar ritad 4152a att 0, 5x − 1 > lg x d˚ a 0 < x < 0, 11 och x > 2, 9.
Test 3 1a 1b
4a
4b
f (−2) = 2 · (−2)2 − 3 · (−2) + 2 = 2 · 4 + 6 + 2 = 8 + 6 + 2 = 16 f (a) = 2a2 − 3a + 2
5a
88
f (2a) = 2 · (2a)2 − 3 · 2a + 2 = 2 · 4a2 − 6a + 2 = 8a2 − 6a + 2 f (a2 ) = 2 · (a2 )2 − 3 · a2 + 2 = 2a4 − 3a2 + 2 2f (a) = 2 · (2a2 − 3a + 2) = 4a2 − 6a + 4 f (a + h) − f (a) = 2 · (a + h)2 − 3 · (a + h) + 2−(2a2 −3a+2) = 2·(a2 +2ah+h2 )−3a− 3h + 2 − 2a2 + 3a − 2 = 2a2 + 4ah + 2h2 − 3a − 3h + 2 − 2a2 + 3a − 2 = 2h2 + 4ah − 3h Vi ser i grafen att n¨ar x = −4 ¨ar y = −5. Svar: f (−4) = −5 Vi ser i grafen att n¨ar x = 0 ¨ar y = 3. Svar: f (0) = 3 Vi ser i grafen att y = 0 d˚ a x = −3 eller x = 1. Svar: x = −3 eller x = 1 Vi ser i grafen att d˚ a y = 3 ¨ar x = −2 eller x = 0. Svar: x = −2 eller x = 0 Ekvationen har exakt en l¨osning d˚ a y = 4, d.v.s. d˚ a a = 4. Svar: a = 4 Vi ser att d˚ a x = 1 ¨ar y = 0, d.v.s. f (1) = 0. Vidare ser man i grafen att f (f (1)) = 3. Svar: f (f (1)) = 3 Koefficienten framf¨or x2 ¨ar positiv och funktionen har d¨arf¨or en minimipunkt. S¨att f (x) = 0: 2 2x2 + 8x + √ 2 = 0 ⇒ x + 4x +√1 = 0 ⇒ 2 x = −2 ± 2 − 1 ⇒ x = −2 ± 3. Vi ser h¨ar att symmetrilinjen ligger vid x = −2. S¨att in x = −2 i funktionen: f (−2) = 2·(−2)2 +8·(−2)+2 = 8−16+2 = −6. Svar: Minimipunkt i (−2, −6). Koefficienten framf¨or x2 ¨ar negativ och funktionen har d¨arf¨or en maximipunkt. S¨att f (x) = 0: 2 −4x2 −16x−7 =0⇒ p = 0 ⇒ x +4x+1, 75 √ 2 x = −2 ± 2 − 1, 75 ⇒ x = −2 ± 2, 25. Vi ser h¨ar att symmetrilinjen ligger vid x = −2. S¨att in x = −2 i funktionen: f (−2) = −4 · (−2)2 − 16 · (−2) − 7 = −4 · 4 + 32 − 7 = −16 + 32 − 7 = 9. Svar: Maximipunkt i (−2, 9). Utveckla VL: lg 25 + lg 4 = 2 ⇒ lg(25 · 4) = lg 100 = 2, VSV. Utveckla VL: 3 lg 3 − lg 30 = lg( 30 ) = lg 0, 1 = −1, VSV. 2 lg x + lg x + lg x3 = lg(x · x2 ) + lg x3 = lg x3 + lg x3 = lg(x3 · x3 ) = lg x6 = 6 lg x
5b
6a 6b
7
8
1/2
lg x1/2 − lg x−1/3 = lg( xx−1/3 ) 1/2−(−1/3) lg x = lg x1/2+1/3 5 3/6+2/6 5/6 lg x = lg x = 6 lg x
1
6 = 2 · a6 ⇒ a6 = 3 ⇒ a = 3 6 ⇒ a ≈ 1, 2
= = 14a
lg x = 3 lg 4−2 lg 9 ⇒ lg x = lg 43 −lg 92 ⇒ 3 64 lg x = lg( 492 ) ⇒ lg x = lg 64 81 ⇒ x = 81 2 lg x + 2 lg x = lg 8 ⇒ lg x + lg x = lg 8 ⇒ lg(x · x2 ) = lg 8 ⇒ lg x3 = lg 8 ⇒ x3 = 1 8 ⇒ x = 83 ⇒ x = 2
14b
S¨att in de 2 punkterna. Vi f˚ ar f¨ oljande ekvationer: (1): 4 = C · 2p·0 (2): 32 = C · 2p·1 Ekvation (1) ger: 4 = C · 20 ⇒ 4 = C. S¨ att in C = 4 i ekvation (2): 32 = 4 · 2p·1 ⇒ 8 = 2p ⇒ lg 8 = p lg 2 ⇒ 8 p = lg lg 2 ⇒ p = 3
14c
5x = 22x+1 ⇒ x lg 5 − (2x + 1) lg 2 = 0 ⇒ x lg 5−2x lg 2−lg 2 = 0 ⇒ x(lg 5−2 lg 2)− lg 2 lg 2 lg 2 = 0 ⇒ x = lg 5−2 lg 2 ⇒ x = lg 5 ⇒
15
S¨att in C = 4, 0, T = 1600 och x = 200: 200 y = 4, 0 · 0, 5 1600 ≈ 3, 67 Svar: 3, 7 mg
16
lg(x + 1) = 2 lg x ⇒ lg(x + 1) = lg x2 ⇒ lg(x + 1) − lg x2 = 0 ⇒ lg x+1 x2 = 0 ⇒ x+1 x+1 0 = 10 ⇒ = 1 ⇒ x + 1 = x2 ⇒ 2 2 x x p 2 x − x − 1 =√0 ⇒ x = 0, 5 ± 0, 52 + 1 ⇒ x = 0, 5 ± 1, 25 ⇒ x ≈ 0, 5 ± 1, 12 ⇒ x1 ≈ 1, 62 x2 ≈ −0, 62, negativa roten ¨ar falsk och f¨orkastas. Svar: x ≈ 1, 62
17
Antag att oms¨attning fr˚ an b¨orjan var z kr. St¨all upp ekvationen och l¨os ut tiden x : 1, 20 · z = z · 1, 013x ⇒ 1, 20 = 1, 013x ⇒ 1,20 lg 1, 20 = x lg 1, 013 ⇒ x = lglg1,013 ⇒x≈ 14. Svar: Ca 14 ˚ ar
18
S¨att in punkterna i funktionen: (1): 5 = k · a1 ⇒ k = a5 (2): 20 = k · a2 S¨att in k = a5 i (2): 20 = a5 · a2 ⇒ 20 = 5a ⇒ a = 4 S¨att in a = 4 i (1): 5 = k · 41 ⇒ k = 54 ⇒ k = 1, 25
19
S¨att in M = 7, 0 och l¨os ut E: 7, 0 = 2/3(lg E − 4, 2) ⇒ 3·7,0 = lg E − 2 3·7,0 4, 2 ⇒ lg E = + 4, 2 ⇒ E = 2 3·7,0 10 2 +4,2 ⇒ E ≈ 5 · 1014 . Svar: 5 · 1014 J.
22
x= 9
lg 2 lg 1,25
S¨att y(x) = 0 och l¨ os ut x: 2 2x2 −4x−5 = 0 ⇒ x −2x−2, 5√= 0 ⇒ x = p 1 ± 12 − (−2, 5) ⇒ x = 1 ± 1 + 2, 5 ⇒ x ≈ 1 ± 1, 87 ⇒ x1 ≈ 2, 87 x2 ≈ −0, 87 0,6
0,6
10
2x −1 3 = 5 ⇒ 2x x = 4 0,6 ⇒ x ≈ 10, 1
11
2 lg x + 3 lg x = 8 ⇒ (2 + 3) lg x = 8 ⇒ 8 lg x = 85 ⇒ x = 10 5 ⇒ x ≈ 39, 8
12a 12b
13
=8⇒x
0,6
=4⇒
lg 7 4x = 7 ⇒ x lg 4 = lg 7 ⇒ x = lg 4 ⇒ x ≈ 1, 40 100 · 1, 05x = 300 ⇒ 1, 05x = 3 ⇒ 3 ⇒ x ≈ 22, 5 x lg 1, 05 = lg 3 ⇒ x = lglg1,05
S¨att in de 2 punkterna. Vi f˚ ar f¨ oljande ekvationer: (1): 2 = C · a0 (2): 6 = C · a6 Ekvation (1) ger: C = 2. S¨ att in C = 2 i ekvation (2):
89
2 · 2x = 23x−4 ⇒ lg 2 · 2x = lg 23x−4 ⇒ lg 2 + x lg 2 = (3x − 4) lg 2 ⇒ lg 2 + x lg 2 = 3x lg 2 − 4 lg 2 ⇒ lg 2 + 4 lg 2 = 3x lg 2 − x lg 2 ⇒ lg 2 + 4 lg 2 = x(3 lg 2 − lg 2) ⇒ lg 2 x = (3lglg2+4 2−lg 2) ⇒ x ≈ 2, 5 lg x2 − 10−0,8 = lg x ⇒ 2 lg x − 10−0,8 = lg x ⇒ 2 lg x − lg x = 10−0,8 ⇒ (2 − 1) lg x = 10−0,8 ⇒ lg x = 10−0,8 ⇒ x = −0,8 1010 ⇒ x ≈ 1, 44 6x 5 = 3 · 52x ⇒ lg 56x = lg 3 · 52x ⇒ 6x lg 5 = lg 3 + 2x lg 5 ⇒ 6x lg 5 − 2x lg 5 = lg 3 ⇒ x(6 lg 5 − 2 lg 5) = lg 3 ⇒ x = lg 3 6 lg 5−2 lg 5 ⇒ x ≈ 0, 171
M-seriens lösningsböcker innehåller fullständiga lösningar till kursböckernas uppgifter. Böckerna är tänkta att underlätta självstudier och förbättra förståelsen för hur man löser matematiska problem.
Best.nr 47-10495-6 Tryck.nr 47-10495-6