Borgen Synnöve Carlsson Gunilla Liljegren Margareta Picetti
Mera Tornet 6 innehåller fler uppgifterav den typ som >> finns i Tornet i grundboken följer kapitelindelningen i MatteDirekt >> Borgen 6A och 6B
Borgen
6
Matte Direkt är en serie för fk–9. Matte Direkt Borgen åk 6 består av två elevböcker, två lärarhandledningar, två läxböcker, två träningshäften samt en fördjupningsbok.
Mera Tornet 6
ISBN 978-91-523-3278-8
(523-3278-8)
BorgenNY_6_MeraTornet_omslag.indd Alla sidor
2016-03-31 14:41
Samband och förändring Mål I det här kapitlet kan du lära dig > att läsa av och tolka samband och förändring i diagram > att beskriva proportionella samband med hjälp av diagram och formler
37
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 37
2016-03-31 14:47
Samband i diagram Några elever har en löpartävling. I diagrammet ser du sambandet mellan sträcka och tid för tre av eleverna.
Sträcka
A
B C
I diagrammet ser du att alla har sprungit lika långt och att A har kortast tid och att C har längst tid. Det betyder att A har sprungit snabbast.
Tid
1 På tävlingen kom Dejan näst sist. Ella vann och Filip kom sist.
Vilket kryss är de olika eleverna? Använd diagrammet i rutan. Sträcka 2 Vilket kryss är de olika eleverna? B Motivera dina svar. a) Alice sprang på den längsta tiden.
C
b) Janika sprang kortast sträcka.
A
c) Soran sprang längst sträcka. d) Vem av eleverna sprang snabbast?
3 Rita av diagrammet och sätt ut bokstäver och kryss för de olika eleverna.
Tid Sträcka
A – Olle hade den kortaste tiden. B – Poya hade den längsta tiden. C – Rebecka sprang längsta sträckan. D – Sara sprang kortaste sträckan.
4 Motivera dina svar i uppgift 3.
38
Tid
Sam band och förä ndring
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 38
2016-03-31 14:47
Skolvägen Frida, Khalid, Rikard, Osman och Julia åker till skolan längs samma väg varje morgon. Julia åker bil med sin mamma. Frida cyklar och Rikard går. Sträcka (km)
Kartan visar var alla bor. Diagrammet visar sambandet mellan sträcka och tid för varje elev.
B
3
D C
2
5 Vilken punkt visar a) Julia
b) Frida
c) Osman
d) Khalid
A
1
e) Rikard
E
5
10
15
Tid (min)
6 Hur tror du att Khalid och Osman tar sig till skolan? 7 Förklara hur du kom fram till ditt svar i uppgift 6. 8 Diagrammet visar sambandet mellan ålder och längd för några personer. Vilken person hör till vilken punkt? Motivera ditt svar. Längd A
C E
Arrax
Malvin
Zendra
B
D
Ålder
David
Sarah
9 Hur skulle diagrammet se ut om diagrammets axlar byter plats? Rita ett nytt diagram och markera punkterna.
S a m ba n d o ch fö r ä n dr in g
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 39
39
2016-03-31 14:47
Cykeltur till träningen Diagrammet visar Adams cykeltur fram och tillbaka till fotbollsträningen. Sträcka (km) 10
5
12.00
13.00
14.00
15.00
Tid (h)
10 Svara sant eller falskt på följande påståenden: a) Fotbollsplanen ligger 10 km bort. b) Det tog en halvtimme att cykla dit. c) Han var en timme på träningen. d) Han cyklade hemåt klockan 13.15. e) Han cyklade fortare till träningen än hem från träningen. f) Han kom hem klockan 15.20. g) Mellan klockan 14.00 och 14.20 cyklade han rakt fram. h) Hemresan tog 1 h 40 min.
11 Vad kan ha hänt klockan 14.00? 12 Hur långt cyklade Adam a) mellan klockan 13.30 och klockan 14.00 b) efter klockan 14.00
40
Sam band och förä ndring
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 40
2016-03-31 14:47
Till affären A
B
Affär
Hem
C
Affär
Tid
Affär
Tid
Hem
Tid
Hem
Anna cyklar till affären. När hon har cyklat en stund kommer hon på att hon har glömt pengarna hemma. Hon cyklar snabbt tillbaka och letar hemma en stund. Sedan cyklar hon ännu snabbare tillbaka till affären.
13 Vilket av diagrammen visar det som berättas? 14 Förklara hur du kan se på linjens lutning om Anna cyklar fort eller långsamt.
15 Skriv en egen berättelse till de övriga diagrammen. 16 Skriv en egen berättelse och rita ett diagram som beskriver berättelsen. 17 Estelle brukar gå, springa
och cykla. Vilken graf visar sambandet mellan sträcka och tid när hon a) cyklar b) går c) springer
18 Hur långt hinner hon på en timme när hon a) cyklar b) går c) springer
Sträcka (km) 60
A
50
B
40 30
C
20 10
1
2
3
4
5
Tid (h)
S a m ba n d o ch fö r ä n dr in g
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 41
41
2016-03-31 14:47
Proportionalitet Om jämförpriset för äpplen är 15 kr/kg kan sambandet mellan kostnaden (K) och vikten (x), skrivas med formeln: K = 15 · x Kostnaden är proportionell mot vikten. Det betyder att kostnaden ökar lika mycket för varje kilogram. Vikt
Pris
1 kg
15 kr
2 kg
30 kr
3 kg
45 kr
Kostnad (kr) 50 40 30 20 10
0
Ett proportionellt samband kallas också en proportionalitet.
1
2
3
4
Vikt (kg)
Om man ritar ett proportionellt samband i ett diagram, får man en rät linje som går genom origo.
19 Diagrammet visar sambandet mellan
Kostnad (kr)
kostnad och vikt för tre olika grönsaker. Hur mycket kostar ett kilo
60
a) potatis
40
b) gurka
tomat
50
gurka
30
potatis
20
20 Kombinera varje grönsak med den formel som visar sambandet mellan kostnad (K) och vikt (x).
K = 10 ∙ x
K = 25 ∙ x
10 0
K = 40 ∙ x
1
2
Vikt (kg)
K = 20 ∙ x
21 Sambandet mellan kostnad (K) och vikt (x) när man köper bananer kan skrivas K = 24 ∙ x. Vad kostar
a) 2 kg 42
b) 3 kg
Sam band och förä ndring
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 42
2016-03-31 14:47
Godispåsar Pia och Oskar köper sex påsar med lösgodis i olika affärer. Sambandet mellan kostnad och vikt för varje påse syns i diagrammet.
Kostnad
C
22 Titta på diagrammet och svara på
D F
frågorna. Motivera alltid ditt svar. a) Vilken påse kostar mest?
B
b) Vilka påsar kostar lika mycket? c) Vilka påsar väger lika mycket?
E A
d) Vilken påse ger mest godis för pengarna?
Vikt
e) Vilka påsar har samma kilopris?
23 Rita av diagrammet och gör ett kryss i diagrammet för en ny påse G som har samma kilopris som påse A.
24 Påse B kostar 40 kr. Vad kostar a) påse A
b) påse D
25 Vilket kilopris har a) E om F har kilopriset 140 kr/kg? b) D om A har kilopriset 60 kr/kg?
S a m ba n d o ch fö r ä n dr in g
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 43
43
2016-03-31 14:47
Gå vidare själv Sträcka (km)
A 3
2
20
1
10
Neo
Luna
1
2
Tid (h)
Väg-tid-digrammet visar hur Neo och Luna cyklar längs samma väg. Neo startar först och och cyklar sedan med jämn fart. Luna startar 30 minuter efter Neo och cyklar med en högre hastighet. I punkt 1 cyklar hon om Neo och fortsätter med samma hastighet tills hon stannar i punkt 2. Efter en stund kommer Neo fram till Luna och i punkt 3 stannar han tillsammans med Luna.
1 Svara på frågorna med hjälp av diagram A. a) Hur långt hade Neo cyklat när Luna cyklade förbi honom? b) Hur långt cyklade de innan de stannade? Sträcka (km) c) Hur länge väntade Luna på Neo?
2 Fundera på vad diagram B kan visa. Vad kan ha hänt vid de markerade punkterna?
3 Rita ett eget diagram
och skriv en berättelse till ditt diagram.
20
2
10
1
Tindra
Sam
44
B
1
2
Tid (h)
Sam band och förä ndring
BorgenNY_MeraTornet6_Kap4.indd 44
2016-03-31 14:47
Tal Mål I det här kapitlet kan du lära dig > mer om stora tal > stora tal med prefix > små tal med prefix > tal i potensform > räkna med tal i potensform > skriva tal i olika talsystem
59
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 59
2016-03-31 14:48
Stora tal med prefix Det kan vara jobbigt att skriva stora tal med siffror. I stället kan man ta hjälp av olika prefix. Pre betyder ”före” och ett prefix skriver man före en enhet. Då slipper man att skriva så många nollor.
5 000 m kan skrivas 5 km och 70 000 000 000 B kan skrivas 70 GB. Prefix
Förkortning Namn
Tal
kilo
k
tusen
1 000
mega
M
miljon
1 000 000
giga
G
miljard
tera
T
biljon
1 000 000 000 1 000 000 000 000
Skriv med prefix.
1 a) 6 tusen kr
b) 6 miljarder kr
c) 6 biljoner kr
d) 6 miljoner kr
2 a) 9 000 m
B betyder bytes och är en enhet för hur mycket information man kan lagra på t.ex. en cd-skiva eller en hårddisk.
6 kkr 6 Tkr 6 Gkr 6 Mkr
b) 9 000 000 000 m
c) 9 000 000 m
d) 9 000 000 000 000 m
9 Mm 9 km 9 Tm 9 Gm
3 Hur många meter är a) 8 km
c) 5,9 kkr
b) 6 200 m
c) 42 000 m
6 Hur många bytes är a) 4 MB
60
b) 25 kkr
5 Skriv med prefix. a) 3 000 m
c) 4,5 km
4 Hur många kronor är a) 6 kkr
b) 12 km
b) 60 MB
c) 5 GB
Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 60
2016-03-31 14:48
Små tal med prefix Även små tal kan vara lättare att skriva med prefix. I stället för att skriva många nollor i början av talet kan man skriva ett prefix. 0,9 meter är lika mycket som 9 decimeter. 0,9 m = 9 dm 0,06 meter är lika mycket som 6 centimeter. 0,06 m = 6 cm Siffersumman i 336 är 3 + 3 + 6 = 12.
0,003 meter är lika mycket som 3 millimeter. 0,003 = 3 mm Siffersumman i 12 är 1 + 2m = 3. Prefix
Förkortning Namn
deci
d
tiondel
centi
c
hundradel
milli
m
tusendel
Tal 0,1 0,01 0,001
Skriv med prefix.
7 a) 0,8 m
b) 0,007 m
c) 0,04 m
8 a) 0,09 liter
b) 0,3 liter
c) 0,002 liter
Skriv som meter utan prefix.
9 a) 3 cm
b) 5 dm
c) 9 mm
10 a) 12 cm
b) 125 cm
c) 97 cm
11 a) 795 mm
b) 1 500 mm
c) 25 mm
Skriv som liter utan prefix.
12 a) 5 ml
b) 8 cl
c) 3 dl
13 a) 50 cl
b) 75 cl
c) 150 cl
14 a) 250 ml
b) 900 ml
c) 1 250 ml
Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 61
61
2016-03-31 14:48
Räkna med tiopotenser Det är enkelt att multiplicera och dividera tal i tiopotensform. Det har man stor användning för när man ska multiplicera och dividera med stora tal. Exempel 100 ∙ 1 000 = 100 000 102 ∙ 103 = 105
102 · 103 = 102+3 = 105 Vid multiplikation adderar man exponenterna. 105 _ 2 = 105–2 = 103
100 000 = 1 000 _______
10 Vid division subtraherar man exponenterna.
100 105 ___2 = 103 10
15 Vilket tal ska stå i stället för x? a) 106 ∙ 103 = 10x
b) 102 ∙ 10x = 1010
c) 10x ∙ 103 = 107
b) 105 ∙ 102
c) 104 ∙ 105 ∙ 102
16 Skriv som en tiopotens. a) 103 ∙ 104
17 Vilket tal ska stå i stället för x? 109 a) ___6 = 10x 10
18 Skriv som en tiopotens. 107 a) ___5 10
106 b) ___x = 104 10
10x c) ___4 = 103 10
1012 b) ____ 109
108 c) ___7 10
19 Räkna ut. a) 103 + 104 b) 104 – 103 c) 109 + 106 d) 109 – 106
62
104 – 102 = = 10 000 – 100 = 9 900
Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 62
2016-03-31 14:48
Räkna med tal i grundpotensform Ett tal är skrivet i grundpotensform när talet framför tiopotensen är ett tal mellan 1 och 10. Till exempel 5 200 = 5,2 ∙ 103 Så här kan man räkna med tal i grundpotensform: 4 ∙ 102 ∙ 5 ∙ 103 = 4 ∙ 5 ∙ 102 + 3 = = 20 ∙ 105 = 2 ∙ 10 ∙ 105 = 2 ∙ 106
400 ∙ 5 000 = = 2 000 000
Svaret är i grundpotensform.
8 ∙ 106 __ 8 ______4 = ∙ 106 – 4 = 4 ∙ 102 2 ∙ 10 2 8 000 000 = 400 _________ 20 000
Skriv i grundpotensform.
20 a) 43 ∙ 105
b) 19 ∙ 103
c) 50 ∙ 106
21 a) 16 ∙ 107
b) 25 ∙ 103
c) 495 ∙ 103
Räkna ut och svara i grundpotensform.
22 a) 2 ∙ 103 ∙ 4 ∙ 102
b) 5 ∙ 103 ∙ 8 ∙ 106
c) 4 ∙ 105 ∙ 3 ∙ 104
∙ 10 23 a) 6______ 5
9 ∙ 106 b) ______4 3 ∙ 10
4 ∙ 109 c) ______3 2 ∙ 10
8
3 ∙ 10
24 En rymdraket som ska kunna lämna jorden
måste ha en hastighet av minst 11 000 m/s. Månen befinner sig 380 000 000 meter bort. a) Skriv hastigheten och avståndet i grundpotensform. b) Räkna ut hur lång tid det tar för raketen att nå månen med den hastigheten. Svara först i sekunder, gör sedan om till timmar. Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 63
63
2016-03-31 14:48
Potensform Som du tidigare har lärt dig, kan man skriva 10 ∙ 10 som 102. Man kan skriva på samma sätt med andra tal. Exempel 6 ∙ 6 = 62
Sex upphöjt till två.
62
Två sexor som multipliceras med varandra.
Det kallas att skriva ett tal i potensform.
25 Skriv i potensform. a) 4 ∙ 4 ∙ 4
b) 5 ∙ 5
c) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
d) 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7
Skriv som en multiplikation och räkna ut.
26 a) 42
b) 23
c) 34
d) 105
27 a) 53
b) 72
c) 25
d) 81
Vilket tal ska stå i stället för x?
28 a) 2x = 8
b) 2x = 16
c) 2x = 64
29 a) 3x = 27
b) 4x = 64
c) 5x = 625
b) 52 eller 25
c) 102 eller 210
30 Vilket tal är störst? a) 34 eller 43
31 Arrax viker ett pappersark så att han får 32 lager papper. a) Hur många vikningar har Arrax gjort? b) Skriv 32 i potensform med basen 2.
32 a) 36 = 729. Hur mycket är 37? b) 47 = 16 384. Hur mycket är 46?
64
Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 64
2016-03-31 14:48
Att skriva tal med andra baser Tiosystemet
När vi skriver tal använder vi oss av tiosystemet. Vi använder siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. När vi kommer till talet 10, byter vi position. Ettan skrivs i tiotalspositionen och nollan skrivs i en talsposition för att man ska förstå att ettan är i tiotalspositionen. 10 000-tal
1 000-tal
100-tal
10-tal
1-tal
104
103
102
101
100
3
6
0
4
3 604tio
3 604 = 3 ∙ 1 000 + 6 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + 4 ∙ 1
Femsystemet
När man skriver tal i femsystemet använder man sig av siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4. När man kommer till talet 5 byter man position och skriver en etta i 5-talspositionen och en nolla i entalspositionen. 5tio = 10fem 625-tal
125-tal
25-tal
5-tal
1-tal
54
53
52
51
50
2
1
3
213fem
213fem = 2 ∙ 25 + 1 ∙ 5 + 3 ∙ 1 = 50 + 5 + 3 = 58tio
33 Skriv talen 20 till och med 40 i femsystemet. Skriv så här: 20tio = 40fem 21tio = 41fem 22tio = Rita av tabellen med femsystemet. Skriv siffrorna i rätt position och räkna ut hur talet ska skrivas i tiosystemet.
34 a) 100fem
b) 123fem
c) 141fem
35 a) 204fem
b) 333fem
c) 444fem
36 a) 1032fem
b) 2403fem
c) 4230fem
37 a) 10000fem
b) 23412fem
c) 44400fem Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 65
65
2016-03-31 14:48
Det binära talsystemet I det binära talsystemet använder man endast siffrorna 0 och 1. När man kommer till talet 2 byter man position och skriver en etta i 2-talspositionen och en nolla i entalspositionen. 32-tal
16-tal
8-tal
4-tal
2-tal
1-tal
25
24
23
22
21
20
1
0
1
101två
101två = 1 ∙ 4 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = 4 + 1 = 5tio Rita av tabellen med det binära talsystemet. Skriv siffrorna i rätt position och räkna ut hur talet ska skrivas i tiosystemet.
38 a) 100två
b) 110två
c) 111två
39 a) 1000två
b) 1001två
c) 1101två
40 a) 10000två
b) 11000två
c) 10101två
41 a) 100000två
b) 110011två
c) 111111två
Skriv talen i det binära talsystemet.
42 a) 25tio
b) 31tio
c) 35tio
43 a) 40tio
b) 50tio
c) 65tio
44 a) 125tio
b) 260tio
c) 510tio
Det binära talsystemet används i våra datorer. Bi betyder två och i det binära talsystemet används bara två siffror, ettor och nollor. I datorer betyder ettan ”ström på” och nollan ”ström av”. Men det binära talsystemet är ingen modern uppfinning. Man kan läsa om gamla kulturer som räknade med basen två.
66
Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 66
2016-03-31 14:48
Tre-, fyra- och sexsystemet När man skriver tal i tresystemet använder man siffrorna 0, 1 och 2. När man ska skriva talet 3 måste man byta position och skriva en etta i tretalspositionen. 81-tal
27-tal
9-tal
3-tal
1-tal
34
33
32
31
30
1
2
0
120tre
120tre = 1 ∙ 9 + 2 ∙ 3 + 0 ∙ 1 = 9 + 6 + 0 = 15tio
45 Skriv talen 1 till och med 20 i tresystemet. Skriv så här: 1tio = 1tre 2tio = 2tre 3tio = 10tre 4tio = Rita av tabellen med tresystemet. Skriv siffrorna i rätt position och räkna ut hur talet ska skrivas på vanligt sätt i tiosystemet.
46 a) 12tre
b) 21tre
c) 100tre
d) 102tre
47 a) 1000tre
b) 1020tre
c) 2111tre
d) 12222tre
c) 30tio
d) 100tio
48 Skriv i tresystemet. a) 12tio
b) 25tio
Nu får du verkligen tänka till! Skriv talen i tiosystemet.
49 a) 10fyra
b) 23fyra
c) 101fyra
d) 132fyra
50 a) 11sex
b) 23sex
c) 105sex
d) 214sex
51 Vilka siffror använder man i a) fyrasystemet b) sexsystemet
Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 67
67
2016-03-31 14:48
Gå vidare själv Stora tal i USA Stora tal namnsätts annorlunda i USA jämfört med Europa. Jämför det amerikanska sättet att skriva stora tal med det europeiska. För att få fram information kan du söka på ordet billion på nätet.
Äldre talsystem Ta reda på hur man skrev tal för länge sedan. Använd uppslagsböcker och sök på nätet. >>Det romerska talsystemet >>Det egyptiska talsystemet >>Det babyloniska talsystemet >>Mayafolkets talsystem
68
Tal
BorgenNY_MeraTornet6_Kap6.indd 68
2016-03-31 14:48
Borgen Synnöve Carlsson Gunilla Liljegren Margareta Picetti
Mera Tornet 6 innehåller fler uppgifterav den typ som >> finns i Tornet i grundboken följer kapitelindelningen i MatteDirekt >> Borgen 6A och 6B
Borgen
6
Matte Direkt är en serie för fk–9. Matte Direkt Borgen åk 6 består av två elevböcker, två lärarhandledningar, två läxböcker, två träningshäften samt en fördjupningsbok.
Mera Tornet 6
ISBN 978-91-523-3278-8
(523-3278-8)
BorgenNY_6_MeraTornet_omslag.indd Alla sidor
2016-03-31 14:41