9789140688743

Matematikdidaktik i praktiken ATT UNDERVISA I ÅRSKURS 1 – 6

Natalia Karlsson & Wiggo Kilborn

Författarpresentation Natalia Karlsson är docent i matematik och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Natalia arbetar som lärarutbildare vid Södertörns högskola. Hen­ nes forskning är inriktad mot elevers och studenters uppfattning om matematik.

Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.

Förord Den här boken vänder sig i första hand till lärare och lärarstudenter som redan undervisar eller kommer att undervisa i matematik på grundskolan, årskurs 1–6.

Boken är givetvis också intressant för övriga lärare i grundskolan och för för­ äldrar till elever i grundskolan.

En avgörande fråga är vad som menas med matematik. Ett svar får man i Nationalencyklopedin nämligen en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling.

Man läser vidare att Matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald av situationer …

I Nationalencyklopedins definition står det alltså att ”matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen”. Stämmer detta verkligen med synen på skolans matematikundervisning? Svaret på den frågan är entydigt ja. Visserligen krävs det en väl genomtänkt konkretisering för att speciellt yngre barn ska förstå och finna en mening i det matematiska innehållet, men denna konkretisering är inte ett mål – bara ett medel. Målet är abstraktion, alltså ett tänkande frigjort från materialet, ett tänkande som kan utvecklas och generaliseras.

Avsikten med en konkretisering är att eleverna ska bygga upp ett tänkande med vars hjälp de kan utveckla de förmågor som nämns i kursplanens syfte. Det här innebär att synen på ämnet matematik, liksom innehållet, måste anpassas till individ och situation. Teorier för en sådan anpassning till skolans värld, finns i matematikämnets didaktik. Det är en sådan didaktisk ämnesteori för mate­ matik som den här boken bygger på. (Du kan läsa mer om konkretisering av matematikundervisningen i Karlsson & Kilborn, 2014.)

Matematikämnets didaktik handlar i första hand om undervisningens inne­ håll och hur elever kan tillägna sig det. Det handlar inte minst om att se mate­

matiska strukturer och förstå de räkneregler ämnet bygger på. Matematik bygger nämligen inte på en massa fristående regler och formler utan på ett fåtal generellt giltiga strukturer. De som lärt sig se dessa strukturer behöver t.ex. inte börja om från ruta 1, så fort de möter ett nytt talområde, utan kan utgå från redan kända strukturer, eventuellt efter en mindre modifiering.

I skolan förekommer en stor variation av arbetssätt och arbetsformer. Det gäller emellertid att ha rätt fokus. Det är arbetssätt och arbetsformer som ska anpassas till det innehåll som ska läras för att nå inlärningens syfte, inte tvärt­ om. Att aktivera eleverna och göra undervisningen attraktiv för dem höjer givet­vis motivationen, men detta är trots allt enbart ett medel, inte ett mål för undervisningen. Målet är givetvis att eleverna ska tillägna sig ett bra förhåll­ ningssätt till ämnet matematik och en förmåga att förstå och använda ett visst matematikinnehåll. Strukturerna för detta innehåll och hur elever kan tillägna sig det, beskrivs i den didaktiska ämnesteorin. Valet av undervisningsmetoder är självklart en viktig del av en planering. Men först när man tagit ställning till vad eleverna ska lära, och har kunskaper om hur detta kan gå till, är det aktuellt att ta ställning till hur ett visst ämnesinnehåll kan konkretiseras eller att välja arbetsformer och arbetssätt som passar till det valda innehållet.

I dagens skola talar man ofta om vikten av variation. Man menar då oftast variation av arbetsform och arbetssätt. På så sätt vill man göra undervisningen mer attraktiv för eleverna, alltså mindre tråkig. Vi vill vända på den synen och istället lyfta fram variation av innehållet. Olika elever har olika förförståelse för det som ska läras och olika förmåga att lära. Genom att variera sättet att för­ klara eller konkretisera innehållet, ger man fler elever möjligheter att hänga med i undervisningen. Det är detta som är kärnan i en individualisering av undervisningen och en förutsättning för att undervisningen ska bli intressant.

En individualisering kan ske på olika sätt, men den bärande idén är att under­ visningen anpassas till individens förmåga att lära det aktuella innehållet. Det förutsätter att man som lärare är medveten om respektive elevs förkunskaper.

Dessa förkunskaper tar man successivt, och vid behov, reda på med hjälp av korta diagnoser. För att dessa diagnoser ska ge en korrekt helhetsbild måste de vara byggda på en matematikdidaktisk teori, en teori som ger en adekvat be­ skrivning av såväl innehållet som vad det innebär att på olika nivåer behärska innehållet. Det måste också klart framgå hur man ska tolka diagnosresultaten och hur aktuella tillkortakommanden kan följas upp. I annat fall blir den for­ mativa bedömningen ett självändamål och inte ett verktyg för att underlätta inlärningen och att nå uppställda mål.

Boken är upplagd så att vi i det första kapitlet ger en syn på skolans mate­ matikundervisning. Vi utgår då från kursplanen i matematik och dess syfte. Här är det främst de matematiska förmågorna som ställs i fokus. Därefter reder vi ut vad forskningen säger om förmågorna och ger därför en mer praktiskt inrik­

tad tolkning av dem. Vi avslutar kapitlet med några praktiska exempel på hur man kan arbeta med förmågorna.

I det andra kapitlet ger vi vår syn på lärarrollen och ämnesinnehållet. Här betonar vi vikten av att synliggöra räknelagar och räkneregler för eleverna efter­ som räknelagar och räkneregler genomsyrar all matematikundervisning. Vi tar också upp de viktiga frågorna om hur man kan individualisera och konkreti­ sera undervisningen.

Resten av boken handlar om matematikämnets didaktik och är uppdelad enligt kursplanens centrala innehåll. Vi vet, genom att studera och analysera lektioner och intervjua lärare, att det kan vara svårt att på en konkret nivå tolka texten i kursplanen. Detta gäller inte minst kursplanens syfte. Vi har därför strävat efter att hela tiden koppla det innehåll vi beskriver till kursplanens syfte och kursiverar i dessa sammanhang citat från kursplanen.

Lycka till med boken Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn

Innehåll

1. En bakgrund Kursplanens syfte och förmågorna Matematiska förmågor och kompetenser Tänkande och språklig förmåga Tolkning av förmågorna Att arbeta med förmågorna Fundera vidare

2. Skolan och matematiken

17 18 18 21 22 26 31

33

Lärarrollen och ämnesinnehållet 33 Att behärska ett ämnes innehåll 34 Räknelagar och räkneregler 35 Individualisering och konkretisering 37 Återkoppling och reflektion 39 Lektionen 40 Fundera vidare 41

3. Taluppfattning och tals användning De naturliga talen Gelmans och Galistels fem principer Tal och antal vid skolstarten Några erfarenheter om grundläggande taluppfattning Fundera vidare Arbete i talområdet 0–9 Addition, subtraktion och öppen utsaga Arbete med flyt

43 43 44 46 47 48 49 49 53

Addition i talområdet 0–9 54 Subtraktion och öppna utsagor 57 Fundera vidare 59 Generalisering till talområdet 10–19 60 Talen inom talområdet 0–19 60 Additioner och subtraktioner utan tiotalsövergång i talområdet 0–19 62 Generalisering till talområdet 0–99 64 Tiokamrater och tiotalsövergångar 66 Fundera vidare 67 Addition och subtraktion som huvudräkning 68 Huvudräkning och taluppfattning 68 Addition och huvud­­­räkning 69 Subtraktion och huvud­­­räkning 70 Fundera vidare 71 Addition och subtraktion som skriftlig räkning 71 Idén bakom skriftlig addition 71 Lång algoritm vid addition 72 Kort algoritm vid addition 73 Skriftlig subtraktion med utfyllnadsmetoden 73 Skriftlig subtraktion med lånemetoden 77 Fundera vidare 78 Multiplikation och division 78 Multiplikation och division med 2 och 10 78 Multiplikation och division med 3, 4 och 5 80 Hela multiplikationstabellen och generaliserad multiplikation 81 Uppdelning av tal i faktorer 82 Divisionstabellen 83 Fundera vidare 83 Multiplikation och division som huvudräkning 83 Multiplikation och huvudräkning 84 Division och huvudräkning 84 Tals delare 85 Fundera vidare 85

Multiplikation och division som skriftlig räkning 86 Skriftlig multiplikation 86 Skriftlig division 88 Skriftlig multiplikation med flersiffriga faktorer 89 Skriftlig division med flersiffrig nämnare 90 Fundera vidare 91 Rationella tal 92 Bråk som tal 92 Bråk som del av en helhet 93 Bråk som del av ett antal 95 Bråk i decimalform 96 Decimalutveckling 97 Rationella tal i vardagen 99 Fundera vidare 100 Addition och subtraktion av rationella tal 100 Addition och subtraktion av bråk med samma nämnare 100 Förlängning och förkortning samt addition och subtraktion av bråk 101 Blandad form 103 Fundera vidare 103 Multiplikation och division av rationella tal 104 Multiplikation av tal i bråkform 104 Division av tal i bråkform 106 Multiplikation och division av tal i decimalform 107 Fundera vidare 107 Negativa tal 108 Motsatta tal 108 Addition och subtraktion av hela tal 109 Multiplikation och division av negativa tal 110 Laborationer med hela tal 111 Fundera vidare 112 Kvadrater och kvadratrötter 112 Kvadratroten 112 Fundera vidare 113

4. Algebra 115 Grundläggande algebra 116 Fundera vidare 117 Talmönster 118 Enkla talmönster 118 Talmönster och räkneoperationer 119 Fundera vidare 120 Talföljder 121 Triangeltalen 122 Pascals triangel 123 Mönster i multiplikationstabellen 124 Fler talmönster 127 Aritmetiska talföljder 128 Den geometriska serien 129 Några algebraiska uttryck 130 Mera om parenteser 131 Fundera vidare 132 Ekvationer 133 Att lösa en ekvation 133 Ekvationslösning och annulleringslagarna 134 Ekvationsspelet 135 Hur går man vidare?

137 Fler typer av ekvationer 138 Fundera vidare 139 Enkel kombinatorik 139 Permutationer 140 Kombinationer 142 Några avslutande kommentarer 143 Fundera över 144

5. Geometri 145 Förberedande geometri Lägesord och jämförelseord Konservering av area och volym Enkla geometriska figurer

145 145 146 147

Symmetri 147 Fundera vidare 148 Mätning 149 Mätandets idé 149 Mätning av en sträcka 150 Längdenheter och enhetsbyten 151 Klockan och almanackan 151 Mätning av vinklar 153 Massa, volym och enhetsbyten 154 Mätning av area och volym 155 Fundera vidare 155 Plana figurers geometri 156 Triangeln 156 Konstruktion av trianglar 157 Fyrhörningarnas namn och egenskaper 158 Rektangelns omkrets och area 161 Parallellogrammens och triangelns area 161 Cirkelns egenskaper 165 Begreppen inskriven och omskriven figur 167 Cirkelns omkrets 168 Cirkelområdets area 168 Cirkelsektorns och cirkelsegmentets area 170 Skala, kongruens och likformighet 171 Relationen mellan längdskala och areaskala 173 Fundera vidare 174 Kroppar 175 Kroppars namn och egenskaper 175 Vätskors och oregelbundna kroppars volym 176 Rätblockets begränsningsarea och volym 177 Prismats volym 178 Cylinderns volym och begränsningsarea 180 Konen och pyramiden 180 De platonska kropparna 182 Klotets volym 183 Relationen mellan längdskala och volymskala 184

Fundera vidare Geometriska konstruktioner Spegling i en linje Konstruktioner med passare och linjal Konstruktion av en bisektris och av medianernas skärningspunkt Vinkelsumman i en triangel och en fyrhörning Fundera vidare Geometriska bevis Några satser om vinklar De fyra kongruensfallen Pythagoras sats Fundera vidare

6. Sannolikhet och statistik

184 185 185 186 188 189 191 192 192 193 194 196

197

Förberedande statistik 197 Sortera och klassificera 198 Klassificering med hjälp av tabell 198 Enkla stapeldiagram 199 Fundera vidare 200 Presentation av data med hjälp av diagram och lägesmått 200 Stapeldiagram 200 Stapeldiagram med dubbla staplar 202 Stolpdiagram 202 Cirkeldiagram 203 Linjediagram 205 Klassindelning och histogram 206 Befolkningspyramiden 208 Lägesmått 209 Låddiagram 209 Fundera vidare 210 Sannolikhet 211 Sannolikhet och den relativa frekvensens stabilitet 211 Klassisk sannolikhet 212 Kast med två mynt 212 Kast med två tärningar 213

Betingad sannolikhet Multiplikationsprincipen Om stickprov Fundera vidare

7. Samband och förändringar

214 215 215 216

217

Enkla samband och förändringar 217 Fundera över 219 Procent och proportionalitet 219 Begreppet andel 219 Proportionalitet i vardagen 220 Enkel procenträkning 220 Procenträkning i vardagen 221 Ränta 222 Ränta på ränta 223 Fundera vidare 223 Grafer 224 Koordinatsystemet 225 Proportionalitet 225 Linjära funktioner 227 Den räta linjens enpunktsform 228 Fler grafer 228 Fundera vidare 230

8. Problemlösning 231 Undervisning om problemlösning Strategier för problemlösning Om undervisningen Fundera vidare Matematisk modellering Aritmetiska modeller Modeller som bygger på mönster Variation och generalisering av lösningsstrategier Generalisering av mönster Modellering och kombinatorik

231 232 233 234 234 235 237 237 239 241

Kombination av olika modeller 242 Fundera vidare 243 Tematiskt arbete 243 Myshรถrnan 244 Fundera vidare 247

Referenser 249 Sakregister 251

1 En bakgrund En förutsättning för att kunna undervisa enligt kursplanens intentioner, är att man kan tolka kursplanens syfte och speciellt de s.k. förmågorna. Det räcker alltså inte att som lärare behärska ett visst ämnesinnehåll. Man måste även veta varför eleverna bör lära sig detta innehåll. I det avseendet är det en stor skillnad mellan de senaste kursplanerna och tidigare kursplaner där man fokuserade på undervisningens innehåll och där innehållet beskrevs relativt detaljerat och dessutom uttolkades i supplement eller kommentarmaterial.

För att kunna tolka kursplanen på ett adekvat sätt krävs det en hel del kun­ skaper och erfarenheter. Varje ny kursplan skrivs som en reaktion på tidigare kursplaner. Det är något man vill förändra i den nya kursplanen och ofta hand­ lar det om synen på kunskap och undervisning. Samtidigt har innehåll som fungerade tillfredsställande i tidigare kursplaner, ofta tagits för givna. Det innebär att viktiga förändringar i en ny kursplan måste tolkas och diskuteras i relation till erfarenheter från tidigare kursplaner.

Nya inslag i en kursplan bygger i allmänhet på ny pedagogisk eller ämnes­ didaktisk forskning. För att förstå varför man fokuserar på syfte och förmågor i kursplanen och för att förstå innebörden i begreppet förmåga, måste man därför vara insatt i den forskning förändringarna bygger på. Ett viktigt doku­ ment i det här sammanhanget, är Skola för bildning (SOU 1992:94).

För att kunna planera och genomföra undervisningen enligt en ny kursplan, krävs det också beprövad erfarenhet. En ny kursplan innebär givetvis inte att man ska kasta bort all tidigare kunskap och erfarenhet och börja om från ruta 1. Det handlar istället om att med kontinuitet utveckla sin lärarskicklighet, men nu med hänsyn tagen till de nya direktiv som ges i kursplanen.

Avsikten med det här kapitlet är att ge en bakgrund, mot vilken man som lärare ges möjligheter att uppfatta och ta ställning till kursplanens innehåll, och speciellt till dess syfte. Förmågan att göra detta är i hög grad beroende av lära­ rens kunskaper i matematik och matematikämnets didaktik.

17

matematikdidaktik i praktiken

Kursplanens syfte och förmågorna I kursplanen för matematik beskrivs den syn på, och det förhållningssätt till matematik som ska utvecklas i under­visningen. Undervisningen ska även bidra till att ge eleverna förståelse för matematikens natur och om möjligt göra dem intresserade av ämnet. Matematikundervisningen ska således inte bara handla om att räkna.

En central del av kursplanens syfte är de s.k. förmågorna som beskrivs så här: Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förut­ sättningar att utveckla sin förmåga att • formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, • använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, • välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, • föra och följa matematiska resonemang, och • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Med tanke på att de här förmågorna, dels är nya begrepp, dels saknar uttolkning i kursplanen, ägnar vi stort utrymme åt att beskriva och ge vår tolkning av innebörden i dessa förmågor. Förmågorna lever ju inte ett eget liv utan är intimt kopplade till ett matematiskt innehåll.

Matematiska förmågor och kompetenser Utgående från de ovan citerade syftena, lyfter man i kursplanen fram de förmå­ gor eleverna ska ges möjlighet att utveckla. Det finns emellertid få konkreta exempel på vad dessa förmågor faktiskt innebär och hur man kan bedöma, om eleverna verkligen har dessa förmågor. En av orsakerna till detta lyfts fram av Mogens Niss i boken Matematik­didaktik – ett nordiskt perspektiv (B. Grevholm (Red), 2001). Han skriver där att: … för ganska många matematikdidaktiska forskare är det främst ”rena” grund­forsk­ ningsperspektiv som står i fokus. Vi kan emellertid påstå att det över­gripande syftet med hela verksamheten i grunden är att främja och förbättra elevers och studenters matematikinlärning och att de skall tillägna sig matematisk kompetens. (s. 25)

Men Niss skriver också, att många idéer i själva verket stannar kvar på forskarens skrivbord. De används visserligen i retoriken kring skolan, men ges inte en sådan uttolkning att de når fram till lärare och elever. Detta gäller inte minst forsk­ ningen om förmågor. Vi ska här ge vår tolkning av vad som avses med förmågor.

18

1. En bakgrund Olika forskargrupper har försökt sammanfatta vad det innebär att kunna matematik, och hur detta kunnande kan beskrivas i form av ramverk. Det handlar då om att uttrycka kunnandet i form av kompetenser eller förmågor som är generella och inte är kopplade till något specifikt område inom mate­ matiken. Problemet med detta är att en kompetens eller en förmåga inte kan utvecklas i sig, och inte heller uttryckas på ett uttolkbart sätt, annat än via en situation och/eller ett ämnesinnehåll.

När det gäller innebörden i begreppet förmåga är det två internationella källor som är intressanta. Den ena källan är en forskningssammanfattning, Ad­ ding it up: Helping children learn mathematics. (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Här talar man om förmågorna i termer av Mathematical Proficiencies, som omfattar Conceptual understanding – förståelse av begrepp, operationer och samband.

Procedural fluency – förmåga att utföra beräkningar med variation, effektivt och korrekt.

Strategic competence – förmåga att formulera, representera och lösa matematiska problem.

Adaptive reasoning – förmåga till logiskt tänkande och reflektioner samt att kunna resonera och förklara.

Productive disposition – att se matematik som viktig, användbar och värd att studera. Detta handlar också om tilltron till den egna förmågan.

Författarna poängterar att det här inte handlar om ett antal separata förmågor utan att de är sammanvävda och snarare visar olika aspekter av ett matematik­ kunnande. Det är detta kunnande som karaktäriserar en person som behärskar ämnet matematik och det är detta man bör sträva efter att utveckla i skolans matematikundervisning.

I den andra källan Kompetencer og matematiklæring, framtagen på uppdrag av det danska undervisnings­ministeriet (Niss & Højgaard-Jensen, 2002), redovisas en liknande syn, men man lägger till en viktig aspekt, nämligen att det finns olika nyanser av en förmåga, eller kompetens. Förmågorna kan nämligen se olika ut i olika åldrar och i olika situationer. Man menar att man kan betrakta en förmåga eller kompetens ur tre aspekter: Täckningsgrad, aktionsradie och teknisk nivå. (Se även Ola Helenius artikel Kompetenser och matematik i Nämnaren 2006:3.)

• Täckningsgraden beskriver de olika aspekter som kompetensen täcker. När det t.ex. gäller argumentationskompetens, så har kompetensen hos den som kan föra en argumentation högre täckningsgrad än hos den som bara kan följa argumentationen.

19

matematikdidaktik i praktiken • Aktionsradien beskriver de olika situationer och områden av matematiken som kompe­tensen omfattar. Det kan handla om att lösa problem algebraiskt, geometriskt eller grafiskt.

• Den tekniska nivån beskriver hur tekniskt avancerade situationer kompe­ tensen omfattar, alltså vilka matematiska modeller en person behärskar och förmår använda vid problemlösning.

Det här innebär, att en förmåga inte är något statiskt och att det inte finns en förmåga i sig. En förmåga utvecklas ständigt och kan skilja sig avsevärt och i flera avseenden från elev till elev och från tid till annan.

I den sista punkten förekommer begreppet matematisk modellering, ett nyckelbegrepp vid problemlösning. För att utreda begreppet ger vi först den definition av matematisk modell som finns i boken Matematiktermer för skolan (Kiselman & Mouwitz, 2008).

Med matematisk modell menas en matematisk struktur eller teori som avser att kvalitativt eller kvantitativt återge viktiga aspekter av verkligheten

Exempel på en kvalitativ matematisk modell är en världskarta som ger en två­ dimensionell och något deformerad bild av ett klot. Det kan också vara ett dia­ gram eller grafen till en funktion. Exempel på en kvantitativ modell är formeln 1,04n (som beskriver hur ett kapital växer år för år om räntesatsen är 4 %) eller formeln för hur en körd sträcka förhåller sig till hastighet och tid.

En matematisk modell kan emellertid också vara mycket enkel. Om man har tre par skjortor och två par byxor att välja på kan man klä sig på 3 · 2 olika sätt.

Ett annat exempel är att 3 · 12 = 3 · 10 + 3 · 2.

Matematisk modellering handlar om hur man använder sig av matematiska modeller vid problemlösning. När man löser problem börjar man oftast med att tolka problemet på ett sådant sätt att det kan beskrivas matematiskt. Man söker med andra ord efter matematiska modeller som man förmodar kan lösa problemet. Redan detta innebär en matematisk modellering. I många fall finner man inte någon färdig matematisk modell. Det gäller då att formulera om pro­ blemet eller att kombinera eller utveckla redan kända modeller.

Det är inte bara i gymnasieskolan som matematisk modellering bör före­ komma. Redan i förskolan använder sig barn av matematiska modeller, t.ex. när de ska räkna föremål. De gör då först en parbildning mellan föremål och talrad och väljer sedan räkneordet i det sista paret för att ange antalet. Vi åter­ kommer till detta i kapitlet om problemlösning.

20

1. En bakgrund

Tänkande och språklig förmåga På grund av matematikens abstrakta karaktär, spelar språket en avgörande roll såväl för att förstå matematik som för att tillämpa och kommunicera matema­ tik. En styrka med det matematiska språket är att det är exakt och entydigt till skillnad från vardagsspråkets subjektiva karaktär. Detta leder emellertid till konflikter mellan elevers tänkande på ett vardagsspråk och på ett matematiskt språk. Det här utreds av Kinard och Kozulin (2012) som hänvisar till hur Vy­ gotskij betraktade språket ur två aspekter • som ett symboliskt redskap för att organisera och omvandla elevernas var­ dagsspråk och oreflekterade begrepp, till enhetliga abstrakta och symboliska uttryck.

• som ett redskap för att uttrycka matematiskt tänkande och begreppsförstå­ else. Det matematiska språket utgör även, som kognitiv process, själva be­ greppsinnehållet i elevernas tänkande.

Det matematiska språket är alltså grundläggande både som redskap och funktion när eleverna ska gå från symboltänkande genom kognitiv bearbetning till mate­ matiska uttryck. Det är det som ger möjlighet till muntliga och skriftliga redo­ görelser för samband och mönster i verbal och symbolisk form, liksom genom de andra matematikspecifika redskapen, [ …]. Eleverna lär sig att uttrycka mening på ett sätt som inte är möjligt i vardagsspråket (s. 128–129).

Enligt Vygotskijs (1986) terminologi kan man säga att elevernas ”upplevda” matematiska tänkande bör översättas till skriven matematisk text som stämmer med allmän begreppsförståelse. När så sker börjar detta ”upplevda” tänkande formas av de symboliska redskap som det matematiska språket tillhandahåller. (s. 128)

Vad Kinard och Kozulin beskriver, handlar inte minst om den kognitiva process som vid en konkretisering språkligt omvandlar vardagens erfarenheter till ett abstrakt matematiskt vetande. Detta ställer stora krav på såväl valet av konkre­ tiseringsmetod som på lärarens egna kunskaper inom det område som ska ab­ straheras (se vidare Karlsson & Kilborn, 2014).

Att tillägna sig ett adekvat språk för att lära och kommunicera matematik har stora likheter med att lära sig att tänka och kommunicera på ett andraspråk.

Om detta skriver Hajer (2003) att lärare ofta, istället för att aktivt arbeta med ett språkutvecklande arbetssätt, försöker förenkla undervisningen och använda ett begränsat språk. Problemet med detta är att • Lärarna litar på att ett begripligt inflöde räcker för att lära sig ett nytt språk och nya begrepp 21

matematikdidaktik i praktiken • Lärarna ger inte eleverna tillfälle att själva producera nya språkliga element genom att tala och skriva.

• Detta i sin tur leder till att det inte heller finns tillfälle att ge eleverna åter­ koppling på hur de formulerar sig så att de kan förbättra sitt språk och ställa upp nya hypoteser (s. 47) Vad Hajer efterlyser är med andra ord ett aktivt arbete med de förmågor som nämns i kursplanens syfte: att formulera, analysera, föra matematiska resone­ mang, använda matematikens uttrycksformer etc. De ovan nämnda problemen leder, enligt Hajer, till en tendens att lärare • • • •

minskar antalet svåra ord i undervisningen förkortar texter fokuserar på endast fakta, snarare än på djup förståelse av fakta undviker att följa upp elevers bristande formuleringar i tal och skrift, istället för att utveckla deras språk.

Den här typen av förenklad undervisning leder till en mycket ytligt kunskap i det nya språket och försvårar därmed de nyanlända elevernas möjligheter att förstå och producera texter inom andra skolämnen. Vad värre är, det Hajer beskriver stämmer väl överens med hur undervisningen i matematik ofta kan se ut. I en ambition att tillrättalägga undervisningen för sina elever är det många lärare som försöker förenkla språket genom att undvika ”svåra” ord. Man hop­ par över ”krånglig” text och undviker akuta problem genom att låta elever använda formler de inte förstår, istället för att förklara formlernas innebörd. På det sättet utarmar man successivt elevernas förmåga att språkligt bygga upp matematiska förmågor.

Tolkning av förmågorna De ovan beskrivna förmågorna lever, som redan nämnts, inte ett eget liv, iso­ lerat från matematikens innehåll. Det är vid undervisningen av det centrala innehållet, man som lärare förväntas förmedla en viss syn på matematik och hjälpa eleverna att utveckla förmågorna.

Det är mot denna bakgrund vi nu, dels ska ge vår tolkning av innebörden i de förmågor (A-D) som nämns under rubriken Syfte i kursplanen, dels ge kon­ kreta exempel på hur man kan arbeta med utgångspunkt i dessa förmågor.

A) Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder samt använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp.

22

3 Taluppfattning och tals användning Taluppfattning och tals användning förekommer inom de flesta områden i skolans matematik. Efter hand utvecklas taluppfattningen från enkla naturliga tal till att omfatta även rationella tal, negativa tal, irrationella tal och kanske även komplexa tal. Det som är gemensamt för alla dessa talområden är att samma räknelagar gäller. Av det skälet är det viktigt att eleverna lär sig förstå räknelagarna, först informellt och senare mer formellt. För den som tidigt lär sig förstå räknelagarnas betydelse, blir det betydligt lättare att längre fram ut­ vidga talområdet och lära sig att utföra räkneoperationer med förståelse inom nya talområden.

En bra taluppfattning och en förståelse för räknelagar och andra räkneregler är också en förutsättning för att förstå algebra och arbeta med algebraiska be­ grepp. För den som förstått räknelagar och räkneregler för rationella tal brukar steget vara kort till att förstå de regler som gäller inom algebran. Ofta är det exakt samma regler, fast man inom algebran ofta arbetar med variabler och parametrar istället för med tal.

Detsamma gäller för arbete inom områden som geometri och sannolikhet.

För att kunna bestämma storleken av en vinkel, när de övriga vinklarna är kända, räcker det inte att veta att vinkelsumman i en triangel är 180°. Det krävs också en beräkning. På motsvarande sätt räcker det inte att förstå uppgiften, för att bestämma sannolikheten för att få summan 6 vid kast med två tärning­ ar.

Det här innebär att en bra taluppfattning, och ett bra flyt i räknandet, kan var helt avgörande för hur eleverna klarar andra delar av matematikundervis­ ningen. Detta gäller inte minst förmågan att göra överslagsräkningar, vilket ofta är en förutsättning för att lyckas med problemlösning.

De naturliga talen Redan i tidig ålder börjar barn intressera sig för tal och antal. En del lär sig de första talen i talraden, andra är intresserade av antal, t.ex. i form av fingertal, eller av att känna igen siffror. Denna nyfikenhet ska givetvis stimuleras. Till en början är emellertid dessa kunskaper om tal fragmentariska. Barn behärskar 43

matematikdidaktik i praktiken ofta början av talraden, åtminstone som en ramsa, men får problem när talen blir större. Det kan ofta se ut så här: Ett, två, tre, fyra, fem, sex, sju, nio, elva, tjugo, hundra eller … tjugoåtta, tjugonio, tjugotio, tjugoelva …

Om ett barn inte behärskar talraden blir även en uppräkning fel: ett

två

tre

fyra fem

sex

sju

nio

elva

Även om ett barn behärskar talraden kan en uppräkning bli fel om hon inte gör en korrekt parbildning mellan tal och föremål: ett två tre fyra fem sex sju åtta nio tio elva tolv tretton

För att kunna följa med i den grundläggande matematikundervisningen, krävs det att barnen har en korrekt uppfattning om tal och antal, eftersom större delen av undervisningen bygger på detta. När barnen kommer till skolan/för­ skoleklassen är det därför viktigt att kartlägga deras uppfattning om tal och antal. För att kunna göra det krävs det att läraren behärskar didaktiken inom det här området.

Gelmans och Galistels fem principer En bra modell för antalsbegreppet finner man i de fem principer som utarbetats av Gelman och Galistel (1978): 1. Abstraktionsprincipen.

2. Ett-till-ett principen.

3. Principen om talens stabila ordning.

4. Antalsprincipen.

5. Principen om godtycklig ordning.

Vi övergår nu till att beskriva vad de här principerna innebär.

44

3. Taluppfattning och tals användning

Abstraktionsprincipen En förutsättning för att barn ska kunna lära sig läsa, är att de har ”knäckt läs­ koden”, dvs. att de förstår vad läsandet innebär. Detsamma gäller när barn ska lära sig räkna. De måste då förstå vad som menas med antal, samt när och hur man använder sig av antal. De måste också veta att det är möjligt att bestämma antalet föremål (element) i varje väl avgränsad mängd.

Ett-till-ett principen En förutsättning för att kunna bestämma antal är att man behärskar ett-till-ett principen, vilket de flesta barn gör i tidig ålder. Ett exempel på detta är när barn ska dela ett antal karameller mellan sig och sina kamrater. De brukar då vara noggranna med att var och en först ska ha en karamell och därefter en karamell till. När det gäller antalsbegreppet, handlar det om parbildning. Om man t.ex. ska hjälpa till att duka för frukosten ska varje barn ha var sin tallrik och var sin sked. Det ska då vara lika många skedar som tallrikar.

För att avgöra detta bildar man par, alltså lägger en sked på varje tallrik. Man finner då att det i det här fallet finns fler skedar är tallrikar.

Principen om talens stabila ordning En annan förutsättning för att kunna bestämma antalet föremål i en mängd är att man behärskar tillräckligt många tal i talraden. Detta måste övas systema­ tiskt. Ett barn, vars talrad är ett, två, tre, fyra, fem, sju, nio, tio, tror att åtta föremål är tio.

Antalsprincipen Att räkna föremål innebär att man gör en parbildning mellan talen i talraden och de föremål som ska räknas. I det här fallet innehåller det sista paret talet 7.

Antalsprincipen säger då att det är sju föremål.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

45

matematikdidaktik i praktiken Man kan även uttrycka detta som att varje föremål får sitt eget namn och att antalet uttrycks med hjälp av det sist nämnda namnet. Lägg märke till att en del barn inte säger att det finns 7 föremål utan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 föremål. De nämner således alla namnen, inte bara det sista.

Under uppräkningen är det viktigt att skilja mellan de föremål som räknats och de som ännu inte är räknade. Till en början bör man därför låta barnen flytta på föremålen efter hand som de räknas. Det är annars lätt att de hoppar över ett föremål eller räknar något av föremålen två gånger.

Principen om godtycklig ordning Den här principen handlar om ”konservering av antal”, alltså att antalet föremål i en mängd är lika många, hur man än räknar dem eller hur man än flyttar omkring dem. Detta är i sin tur grunden för att förstå addition. För en elev som inte förstår detta kan ju svaret på en addition som 4 + 5 bli olika, beroende på hur man räknar. Detta handlar inte om bristande mognad utan om bristande insikt. Om det är 14 barn i ett rum, så är de fortfarande 14 barn, även om alla springer runt, oberoende av vem som räknar dem eller i vilken ordning man räknar dem. Har ingen gått ut och ingen kommit in, så är det fortfarande samma barn och därmed lika många. Konservering av antal bygger på samma idé som konservering av längd, area och volym.

Gelmans och Galistels principer har i det här avsnittet kopplats till naturliga tal och till elever i ung ålder. Men principerna är lika aktuella under resten av skoltiden. Den grund som här läggs är avgörande för elevernas förmåga att suc­ cessivt utveckla sin taluppfattning till nya talområden och allt mer närma sig algebran. Som exempel utvecklas principen om godtycklig ordning till den kommutativa och den associativa lagen för addition. Talens ordning utvecklas till arbete med talföljder som de jämna talen och tiotalen osv.

Tal och antal vid skolstarten Gelman och Galistel menar att förmågan att använda en del av de här princi­ perna är genetiskt nedärvd och att förmågorna utvecklas i mycket tidig ålder.

För att barn skall kunna hantera dem på ett adekvat sätt krävs det emellertid en miljö där de kan möta dessa prin­ciper och använda dem. Man kan jämföra detta med hur barn i tidig ålder börjar bygga upp ett modersmål. Även förmågan hos barn att bygga upp en grammatik är enligt modern språkforskning genetiskt nedärvd. Grammatiken konstrueras av barnen själva. Detta förutsätter emel­ lertid att de lever i en miljö där de ständigt möter språkliga element på vilka grammatiken kan tillämpas. Barn som lever i en språkligt fattig miljö får därför svårigheter med att bygga upp ett rikt språk. Mot denna bakgrund är det enkelt att se problemet med att generera en korrekt ”grammatik” för matematik.

46

3. Taluppfattning och tals användning Under sina första levnadsår vistas inte alla barn i en numerisk miljö där de kan utveckla sin genetiskt nedärvda förmåga. Många av de barn som kommer till förskoleklassen saknar därför viktiga element i en grundläggande taluppfatt­ ning, i det här fallet hur de naturliga talen är uppbyggda. Detta bör uppmärk­ sammas tidigt, redan i förskolan, och åtgärdas i så god tid att barnet förmår tillgodogöra sig matematikundervisning när de kommer till skolan. Detta förutsätter att det finns instrument med vars hjälp man kan avgöra vilka för­ mågor ett barn har och vilka som saknas. Ett sådant instrument finns i Skol­ verkets Diamantdiagnoser och kallas AF, Förberedande aritmetik.

Diagnosen AF är muntlig och tar ca 15 minuter per elev att genomföra. Med hjälp av diagnosen får man inte bara besked om elevers aktuella kunskaper, utan även förslag till hur diagnosresultaten kan följas upp i undervisningen. Vi vill i det här sammanhanget peka på vikten av att de problem som har diagnostiserats verkligen följs upp och åtgärdas så snabbt som möjligt. Ju längre en elev använ­ der en olämplig eller felaktig strategi, desto svårare blir det att byta strategi.

Några erfarenheter om grundläggande taluppfattning Elever som behärskar talraden och kan skriva siffror vid skolstarten brukar lyckas bra i skolan. Erfarenheter från studier med Diamantdiagnoserna visar att nästan varannan elev behärskar talraden upp till 100 när de lämnar försko­ leklassen. De flesta av de övriga eleverna behärskar talraden upp till 29. Men det finns också elever, ofta ett par i varje klass, som är osäkra på talraden och snarast bör ges extra stöd. Med tanke på talens inkonsekventa namn mellan 10 och 20, är det många elever som uppfattar talraden som linjär, alltså som en lång ramsa utan struktur. De har alltså inte insett hur talen efter tio byggs upp av tiotal och ental. Sådana elever får givetvis problem med att utvidga talom­ rådet eftersom de inte förstått tiotalets betydelse vid konstruktion av tal.

Förmågan att kunna skriva tal med siffror visar sig vara en bra prognos för skolframgång. Observera samtidigt att förmågan att skriva siffror kan vara ett hinder i inlärningen. Det kan därför till en början vara praktiskt att använda talkort, innan eleverna lärt sig skriva siffrorna. Man kan då lägga uppmärksam­ heten på själva uppgiften, inte på skrivandet. För vissa elever tar det lång tid att skriva siffror. Ofta beror det på att eleven inte håller pennan på ett funktionellt sätt. Alltför många elever, långt upp i åldrarna, håller faktiskt pennan på ett sätt som hindrar dem från att kunna skriva läsligt och med flyt. Det visar sig att ju längre man väntar med att rätta till det här problemet, desto svårare blir det för eleverna att korrigera det. Detta måste alltså uppmärksammas och korrigeras tidigt.

Ett stabilt antalsbegrepp är en förutsättning för att kunna utföra enkla ad­ ditioner och subtraktioner. Ett första steg på den vägen är att behärska talet 47

5 Geometri Ordet geometri betyder enligt NE lantmätarkonst. Redan på 600-talet f.Kr. började geometrin utvecklas till att omfatta ett område av matematiken inom vilket man studerar figurers egenskaper i ett rum genom att utgå från en upp­ sättning av grundläggande geometriska objekt, axiom och definitioner. En modernare, mer skolnära, definition ges av Kiselman och Mouwitz (2008) som menar att geometri är en gren av matematiken som behandlar avstånd, vinklar, ytor, kroppar och former.

Skolans geometriundervisning har genomgått stora förändringar under de senaste 100 åren. Före 1960 handlade en stor del av skolans geometriundervis­ ning om att bevisa satser ur Euklides Elementa, skriven ca 300 år f. Kr. och som består av en serie böcker som bl.a. sammanfattar dåtidens kunskaper i geo­metri.

Från mitten av 1960-talet försökte man byta ut den typen av geometri mot en s.k. avbildningsgeometri. Detta rönte ingen framgång bland lärare, utan ledde snarare till en osäkerhet om innehållet i skolans geometriundervisning. Resul­ tatet blev en urvattnad geometriundervisning som på många håll saknade struktur. Det kommer att dröja ytterligare ett antal år innan skolans geometri­ undervisning helt har repat sig från den krisen. Vad som krävs är en didaktisk syn på geometri och geometriundervisning. Det är en sådan syn vi vill presen­ tera i det här kapitlet.

Förberedande geometri Redan i förskoleklassen förekommer en hel del förberedande geometri och det handlar då i första hand om att orientera sig i omvärlden. Samtidigt är det angeläget att den geometrin knyter an till, och med kontinuitet förbereder, den geometri som undervisas på grundskolan.

Lägesord och jämförelseord För att uppfatta och beskriva omvärlden krävs det, dels ett antal begrepp, dels ord, med vars hjälp man kan beskriva och kommunicera begreppen ifråga. En central förmåga är att kunna beskriva ett föremåls placering i rummet. Det 145

matematikdidaktik i praktiken handlar då om att behärska ord som över och under, framför och bakom, höger och vänster, något som kan övas med olika lekar. Ett exempel är att eleverna får placera sig själva på en linje, i en ruta, framför Eva, till vänster om Erik osv.

Detta kan med fördel göras under idrottslektioner. Eleverna kan också få pla­ cera ett föremål på en viss plats i förhållande till någon eller något, eller be­ skriva ett föremåls läge i förhållande till en referenspunkt. Exempel på detta är: Lägg bollen på bänken, i papperskorgen, till vänster om bokhyllan. Det är också viktigt att diskutera föremåls placering på en bild: Hunden ligger under bordet, klockan hänger ovanför byrån, lillan står mellan mamma och pappa.

För dem som vill fördjupa sina kunskaper inom det här området rekommende­ rar vi boken Förskolebarn i matematikens värld (Doverborg & Pramling Samuels­ son, 1999).

På motsvarande sätt som man arbetar med lägesorden bör man arbeta med jämförelseorden, både i verkligheter och på bilder: Den svarta hunden är stör­ re än den vita hunden men den bruna hunden är störst. En liter mjölk är tyngre än ett paket ägg, men lättare än min katt.

Arbetet med lägesord och jämförelseord är minst lika viktigt vid inskolning av nyanlända elever. Just den typen av ord, och dess användning, skiljer sig en hel del mellan olika språk och kulturer.

Konservering av area och volym Det här handlar inte om att bestämma area eller volym utan om att förstå inne­ börden i begreppen area och volym. I sina studier om barns uppfattningar om area och volym visade Jean Piaget (1896–1980) att det krävs en viss mognad för att uppfatta dessa begrepp. Ett exempel på detta är när man ger ett barn två lika stora klot med modellera. Sedan barnet accepterat att kloten är lika stora, visar man barnet hur man plattar till det ena klotet. Yngre barn menar därefter att det finns mera lera i det utplattade klotet än i det andra. Det ser ju större ut.

Vad man inte inser är att det måste vara lika mycket modellera som det var från början, eftersom man inte lagt till mera modellera. Ett barn som inte förstår detta, som alltså inte kan konservera volym, kan inte förstå begreppet volym eller hur man på ett enkelt sätt kan härleda olika kroppars volym.

Detsamma gäller för begreppet area. Följande figurer består av lika många kvadrater av samma storlek. Det finns alltså lika mycket papper i båda figu­ rerna. Man har ju bara flyttat om samma rutor och lagt dem på olika ställen.

146

5. Geometri För den elev som är osäker på konservering av area blir det svårt att förstå grund­ läggande geometriska begrepp, såsom att härleda parallellogrammens och triang­ elns area ur rektangelns area. Det här kan jämföras med konservering av antal, där antalet föremål är lika många hur man än räknar dem eller om man låter dem byta plats. Som exempel är 3 + 5 lika mycket som 5 + 3 och alltid lika med 8.

Enkla geometriska figurer I förskoleklassen brukar eleverna lära sig hur en kvadrat, en liksidig triangel och en cirkel ser ut och att känna igen dem i vardagen. Men detta räcker inte. Elev­ erna bör även lära sig vad som kännetecknar en kvadrat, en triangel och en cirkel och med ord beskriva dessa former. Kvadraten har t.ex. till skillnad från övriga rektanglar fyra lika långa sidor, och en figur med tre sidor är en triangel även om den inte är liksidig. Vi utvecklar detta längre fram i det här kapitlet.

Det är också viktigt att från början använda rätt termer. Kvadraten heter t.ex. kvadrat och inte fyrkant. Och kvadraten har inte fyra kanter utan fyra hörn!

Kanter finns f.ö. bara hos tredimensionella figurer och det går inte att konstru­ era en tredimensionell figur med fyra kanter.

Det här området kan diagnostiseras med Diamantdiagnos MGF.

Symmetri Symmetri är ett av de mest grundläggande begreppen inom geometrin. Sym­ metri förekommer i stort sett överallt i vår omvärld, såväl i naturen som i hem­ met. Människor och djur är liksom många växter (i stort sett) symmetriskt byggda. Detsamma gäller de flesta möbler och byggnader.

För yngre elever kan man enklast förklara begreppet symmetri genom vik­ ning. Följande figurer är symmetriska eftersom det går att vika figurerna så att deras ena halva exakt täcker den andra halvan. Den streckade linje utefter vilken vikningen sker kallas för symmetrilinje.

En del figurer har flera symmetrilinjer. Den femuddiga stjärnan har t.ex. fem symmetrilinjer, och en liksidig triangel har tre symmetrilinjer. Cirkeln är ur den synvinkeln unik eftersom den har oändligt många symmetrilinjer. Att be­ 147

matematikdidaktik i praktiken härska begreppet symmetri kring en rät linje, innebär att man kan bestämma alla symmetrilinjer till en figur.

Man kan öva begreppet symmetri genom att vika ett papper, klippa ut en figur och därefter vika upp papperet igen. Till en början kan man låta eleverna rita enkla bilder som i figurerna till vänster och därefter klippa ut dem. Man kan också lägga en liten klick vattenfärg på den ena halvan av ett papper och sedan vika ihop papperet. Man kan då få många intressanta fantasifigurer. Den här typen av aktiviteter har en lång tradition i skolan, inte mint i samband med julpyssel.

Det här ger eleverna möjligheter att uppleva estetiska värden, men också att tolka vardagliga situationer och att formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycks­ former.

Den här aspekten av symmetri kan diagnostiseras med Diamantdiagnos GFo1. Vi återkommer och studerar symmetri ur en mer formell synvinkel mot slutet av kapitlet.

Fundera vidare 1. Utför gärna Piagets experiment om konservering av volym och area med elever i förskoleklassen och även med några äldre elever. För att undersöka konservering av area kan man använda sig av två lika stora (gröna) rektang­ lar som ska symbolisera stora gräsmattor. Man bygger sedan ett antal hus på den ena gräsmattan och lika många hus på den andra gräsmattan. I det ena fallet placeras husen hur som helst och i det andra fallet längs kanterna. Man sätter sedan en liten häst på vardera gräsmattan och frågar vilken häst som har mest mat (mest gräs att beta av).

148

Matematikdidaktik i praktiken Att undervisa i årskurs 1–6 Natalia Karlsson & Wiggo Kilborn

Matematikämnets didaktik handlar i första hand om undervisningens inne­ håll och hur elever kan tillägna sig matematiken. Målet är att eleverna ska få ett bra förhållningssätt till ämnet och en förmåga att förstå och använda matematiken.

I den senaste kursplanen i matematik, Lgr 11, sammanfattas undervisning­ ens syfte i de förmågor man önskar att eleverna ska utveckla. I den här boken diskuteras innebörden i dessa förmågor och hur man på ett konkret sätt kan arbeta med dem i undervisningen. Stor uppmärksamhet ägnas åt begreppen konkretisering och variation. Konkretiseringen handlar då inte om att ”göra”, utan om att förstå. Målet med konkretisering är abstraktion. Variationen handlar i första hand om att elevanpassa ämnesinnehållet, det vill säga att individualisera. Först när innehållet är elevanpassat är det möjligt att variera arbetsform och arbetssätt.

I boken behandlas alla centrala områden i kursplanen ur ett matematikdidak­ tiskt perspektiv. Syftet är att man som lärare, utifrån en genomtänkt didaktik, ska kunna erbjuda eleverna förståelse för olika matematikinnehåll samt kon­ tinuitet i inlärningen, från förskoleklassen till högstadiet.

Natalia Karlsson är docent i matematik och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar som lärarutbildare vid Södertörns högskola. Hennes forskning är inriktad mot elevers och studenters uppfattning om matematik.

Wiggo Kilborn, tidigare universitetslektor i matema­ tikdidaktik vid Göteborgs universitet, arbetar som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.

ISBN 978-91-40-68874-3

9 789140 688743