9789144094007 by Smakprov Media AB

28 mm

Jonas Hall Thomas Lingefjärd

Jonas Hall är förstelärare i matematik och IKT på Rodengymnasiet i Norrtälje. Thomas Lingefjärd är docent i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet. Författarna driver Svenska GeoGebrainstitutet, skriver artiklar i Nämnaren, och representerar Sverige i nordiska GeoGebraprojekt.

Handbok för matematisk modellering | med GeoGebra

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra Att undervisa mot förmågorna Hur får man elever att utveckla de förmågor som styrdokumenten skriver fram? Här finns en god hjälp på vägen. Modellering är ett sätt att iscensätta resonemang och kommunikation. Matematisk modellering kräver begreppsförståelse och procedurer och ger upphov till problemlösning och relevansdiskussioner. Boken • fungerar som en konkret handbok i GeoGebra, både för nybörjaren och för den vana användaren. • visar hur du får eleverna att nå alla förmågor genom att utgå från modellering • ger konkreta exempel på hur du organiserar både klassrums arbetet och bedömningen • innehåller ca 15 fullständigt lösta, omfattande, inlämningsuppgifter för var och en av kurserna matematik 1–5. Målgrupp är blivande och verksamma ämneslärare inom matematik i gymnasieskolan.

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra Att undervisa mot förmågorna

Begrepp

Kommunikation

Procedurer

Modellering

Problemlösning Relevans Resonemang Art.nr 37847

www.studentlitteratur.se

978-91-44-09400-7_01_cover.indd 1

Jonas Hall Thomas Lingefjärd

2014-07-15 15:28

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av a llmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Art.nr 37847 ISBN 978-91-44-09400-7 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2014 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Ladislav Kosa Printed by Graficas Cems S.L., Spain 2014

0.1 Om denna bok

Innehåll Introduktion .......................................................................................... 8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10 0.11 0.12

Om denna bok.................................................................................. 8 Kursplanen ..................................................................................... 12 Modellering .................................................................................... 16 Modelleringstekniker ..................................................................... 22 En bra modellerare ........................................................................ 24 Uppgifterna .................................................................................... 25 GeoGebra ....................................................................................... 26 WolframAlpha ............................................................................... 26 Noteringar kring skrivsätt ............................................................. 27 Om författarna............................................................................... 27 Digitalt material på GeoGebraTube ............................................. 28 Referenser ....................................................................................... 28

1. Matematiken i kurs 1 ...................................................................... 30 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21

Biljettpriser ..................................................................................... 31 Hur länge räcker betet i en hage? .................................................. 36 Olympiska stavhopp ...................................................................... 39 Kvinnor snabbare än män? ........................................................... 45 Saltsyralösningen ........................................................................... 48 Snickaren........................................................................................ 55 Sydney Harbour bridge .................................................................. 64 Perspektiv ....................................................................................... 67 Taxibolagen.................................................................................... 70 Vätterns area ................................................................................. 78 Brottsutveckling ............................................................................. 82 Zebra Crossing ............................................................................... 87 Väder .............................................................................................. 94 Ekorrar ........................................................................................... 98 Personliga mått ............................................................................ 101 Knutar på rep ............................................................................... 101 Ljuset ............................................................................................ 102 Kroppens längdmått .................................................................... 102 Lyktstolpar ................................................................................... 102 Skyskrapa ..................................................................................... 102 Staketet ......................................................................................... 102

Antalet dimensioner vi lever i, 1! + 2!, F4, T2, {3}

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra: Att undervisa mot förmågorna

1.22 1.23

Gången ......................................................................................... 103 Hookes lag .................................................................................... 103

2. Matematiken i kurs 2 .................................................................... 104 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23

Keplers tredje lag.......................................................................... 106 Densitet ........................................................................................ 110 Varmblodiga djur ........................................................................ 114 Metalltråden ................................................................................ 118 Bekämpning av skadeinsekter ..................................................... 122 Body Surface Area ....................................................................... 124 Jultidningar .................................................................................. 127 Optioner ....................................................................................... 136 Tumör .......................................................................................... 141 Penna på stöd ............................................................................... 144 Jämföra areor ............................................................................... 147 Korsande linjer ............................................................................ 150 Punkt i triangel ............................................................................ 154 Tredelad area ............................................................................... 161 Spirograf ....................................................................................... 165 Hoplänkade LP-spelare ............................................................... 171 Rekordet för 1 mile....................................................................... 177 Raketen......................................................................................... 177 Stoppsträcka ................................................................................. 177 Flaska med hål ............................................................................. 177 Pendeln ......................................................................................... 178 Radioräckvidd .............................................................................. 178 Rangordning ................................................................................ 178

3. Matematiken i kurs 3 .................................................................... 179 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

Galaxrotation .............................................................................. 180 Avsvalning I ................................................................................. 182 Fritt fall ........................................................................................ 187 Jästodling...................................................................................... 191 Fiskodlingen ................................................................................. 194 Klor ............................................................................................... 200 Avsvalning av kopparkula ........................................................... 205 Koncentration av lösning ............................................................ 210 Modellering av mänskliga populationer ..................................... 216 Hjorthägn ..................................................................................... 219 Regel 72 ........................................................................................ 223 Skåpet ........................................................................................... 227

{2·2}, Kvadrattal, Tetraedertal, Alla heltal är summan av maximalt 4 kvadrater

0.1 Om denna bok

3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23

Vildsvin ........................................................................................ 230 Fiskodling II ................................................................................. 234 Titrering ....................................................................................... 239 Vika A4 ........................................................................................ 245 Konditionsträning ....................................................................... 249 Medellivslängd och medelinkomst .............................................. 249 Maximal lådvolym....................................................................... 249 Sergels Torg .................................................................................. 250 Arbetsstyrka ................................................................................. 250 Sveriges befolkning ....................................................................... 250 Vem dödade vargen?.................................................................... 251

4. Matematiken i kurs 4 .................................................................... 252 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24

Bunken ......................................................................................... 253 Flygplansvingen ........................................................................... 257 The Gateway Arch i St. Louis ...................................................... 259 Päronets volym............................................................................. 264 Luftström ...................................................................................... 266 Stormfloden .................................................................................. 269 Motion .......................................................................................... 273 Cykelreflexer................................................................................. 281 Hjärtminutvolym ......................................................................... 285 Medicinintag ................................................................................ 290 Lokomotivet ................................................................................. 295 Ny låt på Spotify .......................................................................... 299 Temperaturen i New Orleans ...................................................... 306 Temperaturförändring ................................................................ 308 Tidvatten ...................................................................................... 311 Tjära ............................................................................................. 313 Tyngdpunkten i en läskburk ........................................................ 318 Toalettpapper ............................................................................... 318 Tältet ............................................................................................ 319 Glassen ......................................................................................... 319 Föreläsningssalen ......................................................................... 320 Mätstickan ................................................................................... 320 Skateboardramp .......................................................................... 320 Bränsleförbrukning ...................................................................... 321

5. Matematiken i kurs 5 .................................................................... 322 5.1 5.2

Analys av talföljd ......................................................................... 323 Inre area i kvadrat ....................................................................... 326

V, Det finns 5 Platonska kroppar, F5, P2, C3, {5}

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra: Att undervisa mot förmågorna

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25

Inre area i triangel ....................................................................... 332 Avsvalning II ................................................................................ 336 Älgjakt .......................................................................................... 340 Vattenbehållaren ......................................................................... 346 Fallskärmshoppning .................................................................... 349 Influensaepidemier ...................................................................... 355 Bilköer .......................................................................................... 363 USA:s befolkning .......................................................................... 371 Predatorer .................................................................................... 382 Klimatmodell baserad på albedo ................................................ 394 Rök................................................................................................ 400 Alkoholkonsumtion ..................................................................... 406 Skogsbranden ............................................................................... 410 Vem dödade matematikläraren? ................................................ 419 Flodmusslor .................................................................................. 424 Dämpad svängning ...................................................................... 424 Kalium–argon-metoden .............................................................. 424 Barium, lanthan och cerium ....................................................... 425 Jod................................................................................................. 425 Endemiska epidemier .................................................................. 425 Krig ............................................................................................... 426 Bönder, banditer och härskare .................................................... 426 Epidemi utan immunitet ............................................................. 427

6. Modellering i klassrummet ........................................................... 428 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11

Läraren ritar diagram ................................................................. 429 Eleverna laborerar ....................................................................... 429 Instruktioner med skärmklipp .................................................... 429 Demonstrationer .......................................................................... 430 Eleverna undersöker konstruktioner ........................................... 430 Grupparbete ................................................................................. 431 Eleverna konstruerar modeller .................................................... 431 Större uppgifter ............................................................................ 432 Samma eller olika uppgifter ........................................................ 433 Tidigare uppgifter ........................................................................ 433 Konsultbyrån ............................................................................... 434

7. Att utvärdera modellering ............................................................ 437 7.1 7.2 7.3

Att utvärdera modelleringsuppgifter .......................................... 437 Konkretiserade betygskriterier .................................................... 438 Bedömning av elevarbeten .......................................................... 443

{2·3}, T3, 3!, 1 + 2+ 3 = 1·2·3, Perfekt tal

0.1 Om denna bok

8. Att utvärdera modeller ................................................................. 445 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Relativt fel .................................................................................... 445 Korrelation ................................................................................... 446 SSE, Felens kvadratsumma ......................................................... 447 Regression ..................................................................................... 447 Konfidensintervall ....................................................................... 450

9. Funktionsbibliotek, och parametriseringar av vanliga modelleringssituationer .................................................................... 453 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Funktioner och deras parametriseringar .................................... 454 Generella linjärtransformationer ................................................ 472 Att dra i en funktion i GeoGebra ................................................ 473 GeoGebras generella regressionsverktyg...................................... 473 Exempel på godtycklig regression ................................................ 474

10. Introduktion till GeoGebra ........................................................ 478 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

GeoGebraTube ............................................................................. 479 Användargränssnittet .................................................................. 482 Att anpassa GeoGebra ................................................................. 490 Glidare.......................................................................................... 498 Baskunskaper och övningar......................................................... 500

Index .................................................................................................. 520

As I was going to S:t Ives…, 1/7 = 0,142857…, {7}

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra: Att undervisa mot förmågorna

Introduktion 0.1

Om denna bok

Denna text är framför allt skriven för dig som tänker undervisa om matematisk modellering inom lärarutbildningen för matematiklärare eller för dig som är matematiklärare på gymnasiet och som tänker arbeta med matematisk modellering i dina kurser på gymnasiet. Vi tar vår utgångspunkt i kursplanen i matematik som bland annat tar upp begreppet modelleringsförmåga. Vår huvudtes är att om vi utgår ifrån modelleringsförmågan och arbetar med den i klassrummet, kommer alla de andra förmågorna att följa efter automatiskt. I stället för att arbeta med rutinuppgifter och få frågan ”Vad ska vi ha det här till?” kommer arbetet att bli intressant och verklighetsanknutet och begrepp, rutinuppgifter, problemlösning, resonemang, kommunikation och relevans kommer med på köpet utan större ansträngning. Just modelleringsförmågan och relevansförmågan kan kännas svår att ta tag i, hinna med eller få in i planeringen och det här är en beskrivning, en handbok om du så vill, av hur du i stället, åtminstone ibland, kan utgå från modelleringen i din undervisning. Det finns många omständligheter att ta hänsyn till när vi skriver en text om matematisk modellering. Vi kan antingen fokusera på processen matematisk modellering eller på testande av matematiska modeller. I det första fallet så får vi själva ta fram modeller, i det andra så får vi testa oss fram med modeller som någon annan har tagit fram. Vi kommer i denna text att ge exempel på båda dessa företeelser. I början kan det vara lämpligt att låta eleverna arbeta i färdiga modeller för att senare gå över till att skapa modeller själva. Det finns många sätt att beskriva matematisk modellering, men ett sätt är att tänka sig att matematik till stor del består av problemlösning som antingen är ”ren matematik” eller tillämpad matematik. I den sistnämnda finns det mängder av matematiska modeller. Vi kommer att försöka anknyta till många olika ämnesområden i våra val av exempel för att kunna visa på hur matematiska modeller genomsyrar vårt samhälle. Från början hade mänskligheten bara sin fantasi, sin retorik och sitt minne. Så småningom kom papper och penna och sent därefter räknestickan. Vi har 8

{2·2·2}, Kubtal, F6, Enda Fibonaccital som är en kub utom 1, 4!!

0.1 Om denna bok

sedan 1970-talet vant oss vid miniräknarna, sedan 1980-talet vid grafiska miniräknare och i slutet av förra seklet har vi sett datorerna göra entré. Sedan några år tillbaka har allt fler skolor gått över till att erbjuda sina elever en dator per elev. I matematikundervisningen kan vi då plötsligt låta varje elev använda kraftfulla matematiska verktyg vilka gör det möjligt att gå vidare och angripa svårare och mer realistiska problem. Då vi gör detta blir matematikundervisningen mer intressant, begrepp och procedurer går att koppla till verkliga situationer och kommunikationen blir mer nyanserad. Vi har valt att arbeta i första hand med programmet GeoGebra, men även stundtals med andra verktyg, företrädesvis WolframAlpha. GeoGebra skapades 2002 av Marcus Hohenwarter och kan närmast liknas vid ett matematiskt laboratorium. Det är gratis, plattformsoberoende och hanterar bland annat dynamisk geometri, grafritning, kalkylblad, symbolisk algebra och statistik. Det är översatt till svenska och runt 50 andra språk och används flitigt ute i världen. Ett av målen med den här boken är att den ska kunna fungera som en handbok för de aspekter av GeoGebra som har med modellering att göra. Olika fenomen som ska modelleras eller olika modeller som ska testas kräver ofta olika förkunskaper i matematik. Vi har därför valt att koppla våra modelleringsexempel till de olika matematikkurser som finns inom den svenska gymnasieskolan. För dig som är en van användare av GeoGebra så rekommenderar vi att du läser kapitlen i nummerordning. Om du däremot inte är van vid att använda GeoGebra är det kanske bra att läsa kapitel 10 först och därefter kapitlen i nummerordning. Kapitel 1 till 5 ger modelleringsexempel för gymnasiets kurser 1 till 5. I varje kapitel finns ett antal lösta uppgifter med minst ett, ibland flera olika lösningsförslag. Lösningsförslagen är detaljerade och visar på både matematiska tekniker som tekniker i GeoGebra. En av grundidéerna med boken är att du, genom att pröva att lösa uppgifterna och sedan följa lösningarna, ska kunna lära dig både en del teoretisk bakgrund och handfasta tekniker för att bli en bra modellerare och problemlösare. I slutet av vart och ett av dessa kapitel finns också ett antal olösta uppgifter. Varje uppgift kan användas på ett flertal olika sätt. Ibland behöver bara ett värde beräknas, ibland behöver vi göra flera olika modelleringsförsök, ibland måste vi göra felanalyser och rapporter. Vi har valt att blanda dessa olika arbetssätt fritt i uppgifterna.

9-punktcirkeln, Kvadrattal, 9 = 81 och 8 + 1 = 9, 1! + 2! + 3!, {3·3}

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra: Att undervisa mot förmågorna

Uppgifterna, både de som är lösta och de ännu inte lösta, är ofta omfattande och kan sällan lösas på bara en lektion. De är i första hand tänkta som inlämningsuppgifter där eleverna har minst en vecka på sig att arbeta med uppgiften. Detta kan antingen läggas intensivt, men kanske hellre parallellt med annan undervisning så att eleverna kan ha tid på sig att smälta nya begrepp, formulera frågor, lära sig tekniker och diskutera uppgiften med läraren och övriga gruppdeltagare, om den ges som gruppuppgift. Det är till stor del i detta arbete som de övriga förmågorna kommer in som resonemang, kommunikation med flera. Vi tror också att elever behöver se många exempel på skriftliga resonemang och matematik i skrift för att själva kunna börja producera matematiska texter. Betygskriteriernas skrivelser om detaljerade och nyanserade resonemang bör så långt möjligt exemplifieras så att eleverna vet vad som krävs av dem. Rimligen är ett detaljerat resonemang ett som tar fasta på flertalet detaljer i problemet som diskuteras och ett nyanserat resonemang ett som vänder och vrider på dessa detaljer, belyser dem från flera håll och slutligen värderar de olika synpunkterna. Fraser som ”å ena sidan… å andra sidan…”, ”men vi ser samtidigt att…” eller ”en annan tolkning är att…” tillsammans med felanalyser och värderingar bör tillhöra det som vi verkligen undervisar om och inte bara förväntar oss att eleverna kommer på själva. Det är vår förhoppning att den här boken med sina omfattande lösningsexempel kan vara en sådan källa med exempel som kan inspirera lärare och elever att utveckla dessa förmågor. Kapitel 6 tar upp det praktiska arbetet med att organisera eleverna i klassrummet och ger en del exempel på hur det ska gå till. Lärare blir lätt handledare vid modelleringssituationer och får utgå ifrån att eleverna har viss förförståelse och erfarenheter, utgå ifrån att eleverna har viss inre motivation och förmåga att själva skaffa sig kunskap och kompetens. Vidare bygger lärandet i denna situation på att eleverna hela tiden får möjlighet att testa och förändra tidigare kunskaper. Här kan elevernas lärande av varandra och det sociala samspelet bli viktigt. Genomgångar eller föreläsningar ska ses mer som ett komplement, inte ett huvudinnehåll. Kapitel 7 och 8 handlar om utvärdering. Kapitel 7 knyter an till eleverna och diskuterar hur elevernas arbete ska utvärderas, medan kapitel 8 är mer tekniskt och handlar om utvärdering av modeller med matematisk felanalys. Uppenbarligen är det en relativt komplex uppgift att utvärdera matematiska modeller och matematisk modellering. Här ingår inte bara den rent matematiska förmågan att kunna analysera och välja den ”bästa” modellen. En 10

{2·5}, T4, Basen för decimalsystemet, Tetraedertal, X

0.1 Om denna bok

modellerare måste ha en viss teknisk kunskap för att kunna utföra modelleringen. Elever som har genomfört en modelleringsuppgift bör ges tid och rum att förklara och diskutera sitt arbete. Här kommer på ett naturligt sätt alla förmågor in i den situationen. I kapitel 7 ges exempel på hur en sådan redovisningssituation kan se ut. Även en relativt enkel modell som beskriver avsvalningen i en kopp kaffe eller en linjär modell som beräknar resultat i stavhopp är behäftad med vissa genomgående brister. Det innebär att modeller sällan är ”rätta” i samma avseende som ”vanliga” uppgifter i läroboken, som kanske svarar mot rätt svar i facit. Då vi konfronterar en modells förutsättningar med verkligheten ser vi att överensstämmelsen i vissa fall är god. Populationen av många djur och växtarter, både globalt och i Sverige, minskar exponentiellt. Dessa arter kommer, om inget radikalt görs, att dö ut. Som ett exempel kan vi ta pilgrimsfalken på svenska västkusten, som minskade exponentiellt från 1950talet fram till 1970-talet, då omfattande räddningsinsatser sattes in. Då ändrades populationens avtagande, och då stämmer inte tidigare modeller längre. Vi kan också hitta populationer som växer exponentiellt. Bakterier kan under vissa förhållanden öka exponentiellt. Detta gäller också större djur. Storskarven har exempelvis ökat exponentiellt sedan mitten av 1950-talet. Men andra djurpopulationer kan svänga fram och tillbaka i sina avtaganden eller tillväxter, beroende på många komplexa samband. I kapitel 8 ger vi grundläggande tekniker för att åtminstone bedöma felens storlek i olika modeller. Kapitel 9 och 10 är återigen tekniska kapitel och skulle kanske snarast liknas vid appendix. Kapitel 9 är ett funktionsbibliotek som visar hur olika, på gymnasiet mer eller mindre vanligt förekommande funktioner kan parametriseras för att användas i modelleringsarbetet. Kapitel 10 slutligen, utgör en introduktion till GeoGebra för dem som ännu inte hittat fram till detta utmärkta matematiklaboratorium.

Börja med kapitel 10 om du är nybörjare på GeoGebra!

Detta är ingen lärobok i matematik, utan den tar upp matematisk modellering som ett sätt att tillämpa matematik på många olika sätt. Det är vår övertygelse att den som sysslar med matematisk modellering också lär sig att använda matematik på ett nytt sätt, samt därigenom också lär sig mer matematik. Den som lär sig modellera, lär sig också att betrakta matematik som ett användbart verktyg i många sammanhang runt om oss. Denna text ska ses om en ingång till matematisk modellering, inte som en heltäckande text i ämnet.

11 ger Pascals triangel på rad n, Palindromtal, P-tvilling, {11}

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra: Att undervisa mot förmågorna

När är rätta tillfället att ta upp matematisk modellering i skolan? I vissa länder tar lärarna upp det redan i grundskolan, i Sverige väntar vi till gymnasiet innan vi talar om modelleringskompetens. I grannlandet Danmark anses matematisk modellering vara lämplig redan i årskurs 7 – 9. Men många elever sysslar nog med informella modeller över vilket mobilabonnemang de ska satsa på redan tidigt i livet, oavsett om skolan tar upp det eller inte. Den här boken tar upp modellering utifrån gymnasiekurserna, men det går alldeles utmärkt att börja tidigare. Som nämnts ovan är huvudsyftet med den här boken alltså att visa på hur vi med modelleringsförmågan som utgångspunkt kan komma åt de andra förmågorna, men flera syften finns:  att fungera som handbok för modelleringsarbete i programmet GeoGebra och därigenom på sikt fungera som ett fortbildningsverktyg för lärare  att tillsammans med extramaterialet på nätet fungera som uppgiftsbank för lärare som vill arbeta med modellering  att ge så ordentliga lösningsförslag att eleverna kan arbeta med lösningarna som exempel på medellånga matematiska texter. Vi tror att många lärare aldrig arbetat med vare sig uppgifter av denna typ eller med GeoGebra på det här sättet förut. Boken därför kan vara lämplig både i lärarutbildningen och för individuell eller lagvis fortbildning.

0.2

Kursplanen

Skolämnet matematik handlar inte enbart om att räkna och lära sig en samling regler utantill. En del i matematiken är just att hantera procedurer och räkna, men enligt flera studier har detta fått en alltför stor dominans i svensk skolas matematikundervisning. I denna kursplan ges därför stort utrymme åt att belysa fler sidor av matematiken – matematik som verktyg, hjälpmedel, språk och logik. Det betonas också att matematikämnets styrka är möjligheten att kunna uttrycka mönster och samband generellt på ett internationellt matematiskt språk. Målen i kursplanen i matematik uttrycks som matematiska förmågor. Förmågorna är generella, det vill säga de är inte kopplade till något specifikt matematiskt innehåll. Förmågorna utvecklas dock genom att det kursspecifika innehållet bearbetas. Till exempel ska eleverna utveckla förmågan att använda begrepp, men i målet står det inte vilka begrepp det rör sig om. Det centrala

{2·2·3}, P3, Antalet pentaminos, Dodekaederns sidantal, Ett dussin, 3·4

0.2 Kursplanen

innehållet anger vilka begrepp, metoder och sammanhang som eleven ska få möjlighet att möta i undervisningen. De sju förmågorna är:

0.2.1

Begreppsförmåga

Att beskriva innebörden av ett begrepp och samband mellan begrepp med egna ord innefattar att kunna redogöra för definitioner, egenskaper och relationer hos begrepp och samband mellan begrepp. Ett begrepps innebörd, syfte och mening ges framför allt genom hur begreppen används i olika sammanhang inom matematiken eller i tillämpningssituationer. För att kunna kommunicera kring begrepp behöver vi kunna representera begreppet med hjälp olika uttrycksformer, till exempel ord, symboler och bilder. Ett sätt att representera begreppet funktion är till exempel med symbolen f(x). Representationer ger oss möjlighet att kommunicera effektivt och säkerställa att vi ungefär tänker på samma begrepp när vi ritar en graf av funktionen y = 2x. Begreppsförmåga innebär att kunna använda begrepp och veta varför begreppen är viktiga, i vilka situationer de är användbara och hur olika representationer kan vara användbara för olika syften. Sambanden mellan begreppen medför att matematiken formar en helhet varvid nya begrepp knyts till och fördjupar kunskapen om redan bekanta begrepp.

0.2.2

Procedurförmåga

Procedurförmåga innebär att tillämpa olika matematiska procedurer och rutiner, så att säkerhet, precision och effektivitet stärks efter hand. Här ingår att kunna lösa uppgifter av standardkaraktär, som kan benämnas rutinuppgifter, liksom hantering av digitala verktyg samt att kunna välja en lämplig procedur. Det senare innebär i sin tur att kunna identifiera vilken procedur, normalt i form av en algoritm, som lämpar sig för en viss typ av uppgifter samt att kunna genomföra proceduren.

0.2.3

Problemlösningsförmåga

I syftestexten betonas problemlösningens betydelse som både mål och medel. Detta ställningstagande bygger på både nationella och internationella erfarenheter. Ett problem är en uppgift som inte är av standardkaraktär och därför inte kan lösas på rutin. Det innebär att varje frågeställning där det inte på förhand finns en för eleven känd lösningsmetod kan ses som ett problem. I många av de nationer som är framgångsrika med sin matematikundervisning bedrivs en undervisning som baseras på problemlösning och där problemen © Författarna och Studentlitteratur

Det finns 13 Arkimediska polyedrar, F7, P-tvilling, {13}

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra: Att undervisa mot förmågorna

innehåller många kvalitativa nivåer. En sådan undervisning medför att alla elever, oberoende av kunskapsnivå, har möjlighet att utmanas och utveckla sina matematikkunskaper. Problemlösning som mål innebär att undervisningen ska ge eleverna förmåga att lösa matematiska problem. Problemlösningsförmåga innebär att kunna analysera och tolka problem, vilket inkluderar ett medvetet användande av problemlösningsstrategier som att till exempel förenkla problemet, införa lämpliga beteckningar, ändra förutsättningarna. Att lösa problemet innebär att genomföra ett resonemang där grunderna för resultatets giltighet blir tydligt och resultatet korrekt. Det ingår att värdera både resonemanget och resultatet. Ibland behöver vi utföra olika procedurer. I problemlösning ingår också att själv och i sampel med andra aktivt kunna formulera och uppmärksamma egna relevanta matematiska problem och vidareutveckla andras. Problemlösning kan också ses som ett medel för att utveckla övriga matematiska förmågor och är därför också en del av det centrala innehållet. Genom att arbeta med strategier för problemlösning kan den ofta kaotiska, kreativa och icke-linjära problemlösningsprocessen lättare systematiseras. Om eleverna ges förutsättningar för metakognitiva reflektioner kan de utveckla sin problemlösningsförmåga. Det handlar om situationer där eleverna får tänka högt, söka alternativa lösningar, diskutera och värdera lösningar, metoder, strategier och resultat.

0.2.4

Modelleringsförmåga

Modelleringsförmåga innebär att kunna formulera en matematisk beskrivning – en modell – utifrån en realistisk situation. Denna situation kan till exempel vara problem eller uppgifter inom karaktärsämnena samt problem eller situationer relevanta för privatekonomin eller med relevans för deltagandet i samhällslivet. Det handlar om att i första hand själv utforma en koppling i form av en modell snarare än att använda färdigformulerade modeller. När modellen är färdig innebär modelleringsförmåga att kunna använda modellens egenskaper, för att till exempel lösa ett matematiskt problem eller en standarduppgift. Modelleringsförmågan innebär också att kunna tolka resultatets relation till den verklighetssituation vi hade från början. Det innebär även att kunna utvärdera modellens egenskaper och begränsningar i förhållande till den verkliga situationen. Inom till exempel naturvetenskap, teknik, samhällsvetenskap och ekonomi har matematiska modeller en viktig funktion som redskap för att analysera specifika frågeställningar.

{2·7}, C4, Pyramidtal, Kuboktaederns sidantal

0.2 Kursplanen

0.2.5

Resonemangsförmåga

Resonemangsförmågan innebär att kunna föra matematiska resonemang som involverar matematikens begrepp, metoder och utgör lösningar på problem och modelleringssituationer. Att föra ett resonemang innefattar även att själv och tillsammans med andra till exempel testa, föreslå, förutsäga, gissa, ifrågasätta, förklara, finna mönster, generalisera, argumentera. Det innefattar även att kunna formulera och allmänt undersöka hypoteser samt genomföra bevis i tal och skrift. Detta inkluderar att uppmärksamma betydelsen av och kunna redogöra för de bärande idéerna i ett matematiskt bevis och inse skillnader mellan gissningar och välgrundade påståenden. Matematiska resonemang kan till exempel utgöras av formella skriftliga bevis för matematiska påståenden, där resonemanget består av logiska slutsatser utifrån givna definitioner, axiom och satser. Ett resonemang kan utgöra lösningen på ett problem och besvara en frågeställning, till exempel varför sin 30 grader = 1/2. Att besvara detta kan till exempel innebära att i resonemanget reflektera kring en bild på en liksidig triangel, användningen av förhållandet att alla vinklar är 60 grader i en liksidig triangel och definitionen av begreppet sinus.

0.2.6

Kommunikationsförmåga

Kommunikationsförmåga är inte bara att kunna kommunicera med hjälp av termer, symboler, tabeller, grafer, utan även med hjälp av ord, bilder, ritningar, gestaltningar och modeller och att anpassa sin kommunikation till sammanhanget. Sammanhangen kan till exempel vara ett experiment i naturkunskap eller elektronik, nyheter i en dagstidning eller medicindosering på ett äldreboende. Kommunikationen kan vara så enkel som snabba anteckningar till sig själv, men också så komplicerad som en ordbehandlad rapport med korrekt matematisk skrift och korrekt typsatta formler adresserad till en extern kund. Den muntliga kommunikationen kan vara ett samtal med läraren eller en kompis, men också en aulapresentation med datorstöd.

0.2.7

Relevansförmåga

Relevansförmågan slutligen, innebär att kunna sätta in matematiken i ett större sammanhang. Relevansförmågan kan till exempel utvecklas i arbete med matematiska problem som har betydelse för privatekonomi, samhällsliv, tillämpning i andra ämnen och då inte minst i karaktärsämnena. Undervisningen har också möjlighet att stötta utvecklingen av denna förmåga

Radsumman i en magisk 3x3-kvadrat, 5!!, T5, {3·5}

28 mm

Jonas Hall Thomas Lingefjärd

Handbok för matematisk modellering | med GeoGebra

Handbok för matematisk modellering med GeoGebra Att undervisa mot förmågorna

Begrepp

Kommunikation

Procedurer

Modellering

Problemlösning Relevans Resonemang Art.nr 37847

www.studentlitteratur.se

978-91-44-09400-7_01_cover.indd 1

Jonas Hall Thomas Lingefjärd

2014-07-15 15:28