9. Februar 2006
Hougardy: Graphen und Algorithmen 1, WS2005/2006
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t u
Der nachfolgende Satz zeigt nun, dass in Lemma 148 fast immer Gleichheit gilt. Die einzige Ausnahme ist γ¯ (K7 ) = 3. Der Beweis dieses Satzes erstreckte sich u¨ ber die Jahre 1890 bis 1969. Der wesentliche Anteil wurde dabei von G. Ringel geleistet. Satz 149 e i) γ¯ (Kn ) = d (n−3)(n−4) 6
f¨ur n ≥ 3, n 6= 7
ii) γ(Kn ) = d (n−3)(n−4) e 12
f¨ur n ≥ 3 t u
8.7 Die chromatische Zahl von Fl¨achen h¨oheren Geschlechts H EAWOOD ging auch der der 4-Farben-Vermutung analogen Fragestellung f¨ur Fl¨achen h¨oheren Geschlechts nach. Die chromatische Zahl χ(Sγ ) (χ(Nγ )) einer orientierbaren (nicht-orientierbaren) geschlossenen Fl¨ache Sγ (Nγ ) vom Geschlecht γ ist χ(Sγ ) := max {χ(G) : G auf Sγ einbettbar} ,
χ(Nγ ) := max {χ(G) : G auf Nγ einbettbar} . Die 4-Farben-Vermutung besagt also gerade χ(S 0 ) = 4 (und nicht 5). H EAWOOD zeigte die Wohldefiniertheit von χ(S γ ) bzw. χ(Nγ ) auch f¨ur γ > 0: Satz 150 (H EAWOOD Map Coloring Theorem, 1890) Sei γ > 0. √ 7 + 1 + 48γ =: H(γ) χ(Sγ ) ≤ 2 √ 7 + 1 + 24γ χ(Nγ ) ≤ =: H(γ) 2
(2) (3)
Beweis. Wir zeigen nur den orientierbaren Fall, der nicht-orientierbare l¨auft analog. Sei G = (V, E) ein Graph auf Sγ (2-cell-embedding) mit χ(G) = k. Ohne Einschr¨ankung sei G kritisch k-chromatisch, d.h. χ(G − v) = k − 1 ∀v ∈ V