o que estabelece a igualdade pretendida.
Os conceitos de Complemento de Schur e de transformada principal tˆem um papel importante no estabelecimento de algumas propriedades de classes de matrizes que por sua vez ser˜ao determinantes para a an´ alise dos m´etodos a discutir nos pr´ oximos cap´ıtulos. At´e ao fim deste cap´ıtulo iremos apresentar uma revis˜ ao dessas classes.
3.2
Matrizes diagonalmente dominantes
Existem matrizes diagonalmente dominantes por linhas (RDD), por colunas (CDD) e por linhas e colunas (DD), assim como matrizes estritamente diagonalmente dominantes (SRDD, SCDD e SDD). Essas classes de matrizes s˜ao definidas do seguinte modo: Defini¸ c˜ ao 3.1 Seja A ∈ IRn×n . Ent˜ ao A ∈ RDD ⇔ |aii | ≥
n
|aij |, i = 1, . . . , n
j=1
j =i
A ∈ CDD ⇔ |ajj | ≥
n
|aij |, j = 1, . . . , n
i=1
i =j
A ∈ SRDD ⇔ |aii | >
n
|aij |, i = 1, . . . , n
j=1
j =i
A ∈ SCDD ⇔ |ajj | >
n
|aij |, j = 1, . . . , n
i=1
i =j
A ∈ DD ⇔ A ∈ RDD e A ∈ CDD A ∈ SDD ⇔ A ∈ SRDD e A ∈ SCDD Al´em disso A ∈ RDD+ (CDD+ , DD+ ) ⇔ A ∈ RDD(CDD, DD) e aii ≥ 0, i = 1, . . . , n A ∈ SRDD+ (SCDD+ , SDD+ ) ⇔ A ∈ SRDD(SCDD, SDD) e aii > 0, i = 1, . . . , n Das defini¸c˜oes apresentadas facilmente se conclui que A ∈ SRDD(RDD) ⇔ AT ∈ SCDD(CDD)
(3.13)
Por essa raz˜ao iremos apenas apresentar as propriedades para as matrizes diagonalmente dominantes por linhas. Todos esses resultados s˜ao verdadeiros para matrizes diagonalmente dominantes por colunas devido a` equivalˆencia (3.13). Como consequˆencia imediata da defini¸c˜ao, ´e poss´ıvel obter as seguintes inclus˜ oes: SCDD ∩ CDD
⊃ SDD ∩ ⊃ DD
⊂ ⊂
SRDD ∩ RDD
Estas inclus˜oes s˜ao estritas, conforme mostram os seguintes exemplos:
30
(3.14)