R
θ r
A
Figura 15.2
Entonces, la energía cinética de rotación es: 2
KR
1 2 1 ⎛v⎞ 1 v2 = Iω = I ⎜ ⎟ = I 2 2 ⎝r⎠ 2 ( R cos θ ) 2
Para la esfera, I= 2MR2, luego la energía cinética de rotación es: 5 2
KR
1⎛2⎞ 1 v2 1 v2 ⎛ v ⎞ 2 = ⎜ ⎟ MR 2 ⎜ = M ⎟ = MR 2⎝5⎠ 5 5 cos 2 θ ⎝ R cos θ ⎠ R 2 cos 2 θ
La energía total:
Mgh =
1 1 Mv 2 + Mv 2 2 2 5 cos θ
De donde, obtenemos para la velocidad del centro de masas:
v2 =
gh 1 ⎛1 ⎞ ⎜ + ⎟ 2 ⎝ 2 5 cos θ ⎠
En la expresión anterior, θ tiene que ver con la relación entre el radio de la esfera y el tamaño del canal por el que se desliza. Esta relación está dada por cos2 o = 1 A2 4r2
Podemos ver, como caso particular, si θ vale cero, el coseno de cero tiene el valor de uno, entonces la relación anterior se reduce a la expresión para la esfera rodando por un plano inclinado.
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