Universidad de El Salvador Facultad de Cienciad Naturañes y Matemática Escuela de Física Materia: Ecuaciones diferenciales Docente: M. Sc. Carlos Gámez Alumno: Ronald Eduardo Martínez Estrada. Me10005 Tarea de Auxilio ejercicios del capitulo (1.4:17, 37), (1.5: 20, 15), (1.6: 15). 1.4.17- Encuentre las soluciones generales (implicita si es necesario, o explicita) de las ecuaciones diferenciales. y 0 = 1 + x + y + xy (Sugerencia: Factorizar el lado derecho) dy Factorizando dx = (x + 1)(y + 1) Luego resolvemos por el metodo de separación de variables ´ dy ´ = (x + 1)dx (y+1)
ln(y + 1) = x +
x2 2
+c
1.4.37- (Interes continuo compuesto) Previo al nacimiento de su primer hijo, una pareja deposito 5 000 dolares en una cuenta que paga 8 % de interes compuesto continuamente. Los pagos de interes son acumulables al capital. ¾Cuanto habra en la cuenta en el dieciochoavo cumpleaños del niño?
= rA, donde r = 0.08 y A0 = 5000 Por de variables ´ dA separacion ´ = rdt A ln(A) = rt + c A(t) = ert+c = A0 ert Entonces al dieciochoavo cumpleaños del hijo la cuenta habra acumulado A(18) = k(5000)e(0.08)(18) = 21103.47908 dA dt
1.5.20- Encuentre la solucion general de la ecuación diferencial y la solución particular corespondiente a las condiciones iniciales.
y 0 = 1 + x + y + xy , Para y(0) = 0 Como en el primer problema de la tarea la solucion general es: x2 y + 1 = c1 ex+ 2 x2 y(t) = −1 + c1 ex+ 2 y(0) = −1 + c1 = 0 c1 = 1 Por tanto la solucion particular es: x2 y(t) = −1 + ex+ 2
1
1.5.35- Repita el ejemplo 4 Considere que el lago Erie tiene un volumen de 480km3 de agua y que la tasa de ujo de entrada (del lago Huron) y la de salida (al lago Ontario) son ambas de 350km3 /a˜ no por año. suponga que el tiempo t = 0(en años) La contaminacion de contaminantes del lago Erie - Causada por la contaminacion industrial en el pasado y que ahora ha cesado - es cinco veces mayo que la del lago Huron. Si el ujo hacia afuera está perfectamente mesclado con el agua del embalse, ¾Cuánto tomada reducir la concentracion de contaminantes del lago Erie de tal manera que sea dos veces la del lago Huron? para el caso del lago Ontario, el cual recibe un ujo del lago Erie (vía el río Niágara). La diferencia es que este lago solo tiene un volumen de 1640km3 y que la razon de entrada y salida del ujo es de 410km3 /a˜ no.
sea V = 1640km3 , ri = r = 410km3 /a˜ no y ci = c (la concentracion de contaminantes en el lago ontario x0 = x(0) = 5cV ¾Para que tienpo x(t) = 2cV ? dx r dt = rc − V x dx dt + px = q Con coeficientes constantes p = r/V ,q = rc, y el factor integrante ρ = ept . Por la ecuacion (12) del libroh obtenemos que: h i ´ t pt i −pt x(t) = e x0 + 0 qe dt = e−pt x0 + pq (ept−1) h i rt rc x(t) = e− V 5cV + r/V (ert/V − 1) x(t) = cV + 4cV e−rt/V Para encontrar x(t) = 2cV cV + 4cV e−rt/V = 2cV 4cV e−rt/V = 2cV − cV 4cV e−rt/V = 1cV Simplificando cV 4 = ert/V ln(4) = rt V t = ln(4) Vr 3 t = 1640km ln(4) km3 410
ano ˜
t = 5.5452a˜ nos
2
1.6.15- Encuentre la solución general de la ecuacion diferencial, Las primas signi can derivadas con respecto a x.
x(x + y)y 0 + y(3x + y) = 0, despejamos y 0 dy dx
= − xy ( 3x+y x+y ), dividnimos arriba y abajo por x
dy dx
= − xy ( 1+ xy ), luego hacemos la sustitución v =
v+
3+ y
x
y x
entonces y = vx y
dy dx
=
dv x dx
Entonces dv dv v + x dx = −v( 3+v 1+v ), despejamos dx dv = − xv ( 3+v 1+v + 1), ´luego resolvemos por separacion de variables ´dx 1+v dv = − dx x ´ v(3+v+1+v) 1+v dv = −ln(x) + c1 v(4+2v) Resolvemos el lado izquierdo de la ecuacion diferencial por medio de fracciones parciales. 1+v v(4+2v)
=
A v
+
B 4+2v
1 + v = A(4 + 2v) + Bv 1 + v = 4A + 2Av + Bv Por tanto A = 14 , y 2A + B = 1, entonces B = 1 − 2A = 1 − 2 14 =
1 2
Luego el lado izquierdo de la ecuaciónn queda: ´
dv 4v
+
´
dv 4(2+v)
= −ln(x) + c1
1
1
ln(v) 4 + ln(2 + v) 4 + ln(x) = c1 ln(x(v(2 + v)) 4 = c1 , aplicamos las propiedades logaritmicas siendo c = ec1 y sustituyendo para v = xy 1
1
x( xy (2 + xy )) 4 = c2 x(2 xy +
y 2 14 x2 ) 2
= c2 , sumando lo del parentesis
x( 2xy+y ) 4 = c, elevando a la cuarta donde c = c42 se obtiene x2 1
2
x4 ( 2xy+y ) = c, al final simplificamos y la solución es: x2 x2 (2xy + y 2 ) = c
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