Ejercicios de Determinantes Por: Segundo Silva Maguiña

Otra alternativa es calcular A2 yhacer la inversa después.

a) Halla su rango en función del valor de t b)Calcula su inversa para el valor o valores de t para los que el determinante de esa matriz vale 1. a) Determina los valores de k para los que b) Calcula B 1 para k = 1.

Otros problemas

0 2

Encuentra los valores de λ para los que la matriz AB tiene inversa.

Para que tenga inversa es necesario que AB  0

32. Unamatriz A esortogonalcuando A · At = I. Demuestraqueeldeterminantedeunamatriz ortogonal vale 1 ó 1.

Solución:

Se sabe que para un par de matrices A yB, multiplicables, se cumple que A B = A B Por tanto,si A At = I  A At = A At = I =1.

Como,además, A = A

33. Dadalamatriz a) Calcula AAt , det(AAt) y(AAt)-1 b) Las matrices AAt y (AAt)-1 anteriores son simétricas. ¿Es esto una coincidencia?

Solución: b) Efectivamente, las matrices anteriores son simétricas. Esto no es una coincidencia, pues siempresecumple.Enefecto,si Aesunamatriz cualquieradedimensiónn  m,elproducto AAt es una matriz de cuadrada de orden n. Serásimétricasicumplequeesigual asu traspuesta. En efecto:

(Recuérdenselaspropiedadesdelasmatricestraspuestasvistas en el párrafo 6del Tema1).

34. (Propuesto en Selectividad 2016, Asturias)

Dados los números reales a y b se considera la matriz a) Obtenga el determinante de A. b) Estudie el rango de A dependiendo de los valores de a y b. Solución: a) Haciendo transformaciones de Gaauss: sumado las tres columnas y sacado “factor común” 3a + b de la primera columna) → b) Como (3a + b)b2 = 0 cuando b = 0 o b = 3a se tendrá:

• Si b ≠ 0 y b ≠ –3a el rango de A será 3.

• Si b = 0, la matriz es A =  a a a  , cuyo rango es 1 si a ≠ 0; y 0 si a = 0.  a a a 

2a a a

• Si b ≠ 0 pero b = –3a, la matriz es A = a 2a

(sumando las tres columnas).

Sus menores de orden dos no nulos valen 3a2 . Por tanto, si b = 3a con a ≠ 0, el rango valdrá 2.