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Propósito de la actividad. Que los alumnos escriban la expresión que describe la relación entre la longitud del lado de la base y el área del desarrollo plano para la caja de leche.
Para empezar a trabajar este problema, tenemos que recordar algunas cosas. Primero, el volumen de un prisma de base cuadrada se puede calcular multiplicando la medida de la altura por el cuadrado del lado de la base. Segundo, el material necesario para hacer la caja de leche se puede calcular usando el desarrollo plano del prisma (ver figura ante rior). Por último, 500 ml equivalen a 500 cm3.
Posibles dificultades. Para encontrar al menos dos prismas que cumplan con la condición de tener un volumen de 500 cm3 , los alumnos deberán percatarse de que hay una dependencia entre la medida del lado y la de la altura h. Si lo considera necesario, indíqueles que primero den un valor a una de las medidas: si midiera 10 cm, h tendría que medir 5 cm.
En resumen, los productores de leche están buscando un prisma rectangular de base cuadrada con volumen de 500 cm3 y cuyo desarrollo plano tenga la menor área posible.
Consideremos lo siguiente Diseñen un empaque de leche con la menor cantidad de material posible. a) Busquen varias posibilidades y escriban en la siguiente tabla dos de sus mejores pro puestas para obtener los empaques a y B.
También les puede ser de ayuda leer la información del Recuerden que.
Respuesta. Partiendo de la fórmula h = 500, los alumnos deberán despejar h para obtener 2
Posibles dificultades. Hacer un despeje en una fórmula puede ser difícil para los alumnos. Es importante que ellos comprendan la mecánica del despeje, no basta con que se aprendan una serie de pasos.
V = 2h
Volumen (cm3)
500
B
500
Recuerden que: El volumen de un prisma de base cuadrada se puede calcular usando la siguiente fórmula:
500
Altura (cm)
A
2
h=
Lado (cm)
Empaque
Área del desarrollo plano (cm2)
Representen con la letra el lado de la base y con la letra h la altura del empaque de 500 cm3. b) Escriban una expresión que permita calcular h a partir de .
h= c) Escriban una expresión que permita calcular el área a del desarrollo plano únicamente a partir de (la medida del lado de la base). a=
Recuerden que: Para calcular el área del desarrollo plano de un prisma rectangu lar se usa la siguiente fórmula: a = 4 h + 2 2
Para ello, puede ser útil que les plantee el problema con números en vez de con literales, por ejemplo, en lugar de V = 2 h anote en el pizarrón 6 = 3 × 2, que es una expresión “similar”. Debajo, escriba 6 = 3 × y pregunte ¿cómo encontrarían el número que falta? Hay que despejar la expresión, para que quede = 6 ÷ 3.
Comparen las medidas de sus diseños propuestos y decidan cuál de ellos requiere menor cantidad de material. Por último, verifiquen si la expresión que encontraron en el inci so c) sirve para calcular el área del desarrollo plano a partir del lado en cada uno de los empaques a y B.
2
Para la fórmula V = h hay que hacer un tratamiento similar con lo que se obtiene
h=
V 2
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. Como ya se sabe que V = 500,
quedaría h =
500
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2
Posibles dificultades. En este inciso es importante explicar el significado de la palabra “únicamente”. Se pretende que los alumnos escriban una expresión para calcular el área A sin que en ella utilicen el valor de h. Para hacerlo, deben utilizar la expresión para calcular h que obtuvieron en el inciso anterior. La fórmula A = 4 h + 2 A=4
(
500 2
)+2
2
quedaría así:
2
Respuesta. Al escribir una expresión algebraica siempre es posible escribir otras que sean equivalentes, pero en este caso al sustituir h se obtiene la expresión: A=4
( 500 ) + 2
2
2
Esta expresión puede ser reducida en el primer término, cancelando con uno de los factores de 2 y multiplicando 4 por 500: A=
2000
+2
2
Si los alumnos no logran obtenerla, dígales que sigan resolviendo la sesión, más adelante encontrarán ayuda para hacerlo.
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L ib ro pa ra e l m a e st r o
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