MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos En todo triángulo rectángulo, si a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa se cumple que:
a2 + b2 = c2 Es decir, el área del cuadrado de lado c (hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados del lado a y lado b (catetos). A esta propiedad de los triángulos rectángulos se le llama el teorema de Pitágoras. Para analizar más ejemplos con demostraciones de este teorema, pueden ver el programa Algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras.
Sugerencia didáctica. Dibuje en el pizarrón una figura parecida a la del paso 2 de la actividad anterior. Indique la medida de los catetos con las letras a y b y la medida de la hipotenusa con la letra c. Pregunte a los alumnos cuál es el área de cada uno de los cuadrados. Si lo considera conveniente, pida a los alumnos que investiguen sobre la historia del teorema de Pitágoras.
Lo que aprendimos En tu cuaderno, construye cuatro triángulos rectángulos iguales entre sí y acomódalos como se indica en la figura (a es la medida del cateto menor, b la del mayor y c la de la hipotenusa):
Propósito de la actividad. Los alumnos van a realizar otra justificación geométrica para el teorema de Pitágoras.
b
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que justifiquen sus respuestas con base en argumentos geométricos y que no den respuestas como “sí son cuadrados porque así quedan” o “con las figuras se forma un cuadrado”.
c a
a) ¿El cuadrilátero que forman las hipotenusas de los cuatro triángulos rectángulos es un cuadrado?
Respuestas.
. ¿Qué razones darías para asegurarlo?
a) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto, por lo que la suma de los otros dos ángulos es de 90°. En las esquinas del cuadrilátero grande se está juntando esos dos ángulos, entonces todos los ángulos del cuadrilátero son rectos. Además todos los lados miden lo mismo, ya que se forman con la hipotenusa de los triángulos.
b) ¿El cuadrilátero que se forma en el interior de la figura es también un cuadrado? . ¿Por qué? ¿Cuánto mide por lado ese cuadrado? c) ¿Cuál es la suma de las áreas de las cinco figuras que forman el cuadrado que tiene por lado a la hipotenusa c? d) ¿Cómo podrían verificar que el área del cuadrado grande c 2 es igual a a 2 + b 2?
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Propósito del programa 41. Presentar diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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b) Cada ángulo del cuadrilátero interior es suplementario al ángulo recto de los triángulos, por lo que todos los ángulos del cuadrilátero interior son rectos. Cada lado de este cuadrilátero mide b – a, por lo que todos sus lados miden lo mismo. c) El área de cada triángulo es ab , el área del 2 cuadrilátero interior es ( b – a )2 . Es decir que la suma es igual a 4 ab + ( b – a )2 2 Al desarrollar la suma de las áreas de las cinco figuras se obtiene:
( )
4 ab + ( b – a)2 = 2 ab + b 2 – 2 ab + a 2 2 = b 2 + a 2
( )
d) El cuadrado grande está formado por las cinco figuras, como la suma de las áreas de las cinco figuras es a 2 + b 2 , entonces c 2 = a 2 + b 2 .
Li b r o p ara e l maestro
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