MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Escriba el diagrama en el pizarrón y complételo con todo el grupo. Comente que, como la diferencia de nivel 2 es constante, la sucesión se genera con una expresión de la forma an 2 + bn + c.
Método de diferencias Para determinar los coeficientes de la expresión an 2 + bn + c, hay que resolver las ecuaciones que se obtienen al considerar que: • El doble del coeficiente a es igual a la constante de las diferencias de nivel 2. • La suma 3a + b es igual al primer término de las diferencias de nivel 1.
Pida a dos alumnos que evalúen en an 2 + bn + c cuando n = 1 y n = 2, pregunte al grupo qué términos de la sucesión se obtienen al hacer esta evaluación (se obtiene 4 y 9, el primer y el segundo término de la sucesión). De ahí se establecen las ecuaciones siguientes:
• La suma a + b + c es igual al primer término de la sucesión.
Del esquema pueden obtenerse varias ecuaciones que al resolverse permiten obtener los valores de los coeficientes a, b, c.
a+b+c
4,
3a + b
2a
9,
5
18, 31, …
9 4
a (1)2 + b (1) + c = 4
13
a (2)2 + b (2) + c = 9,
4
es decir que
b) Completen el esquema y resuelvan las ecuaciones que se obtienen al aplicar el método de las diferencias a esta sucesión. 2a = 2
3a + b = 5
a=
2
b=
–1
c=
3
a + b + c = 4
a+b+c= 4
4 a + 2 b + c = 9, Para obtener 3 a + b se restan los lados correspondientes en las dos igualdades: (4 a + 2 b + c ) – (a + b + c ) = 9 – 4
c) Sustituyan los valores de a , b , c en la expresión an 2 + bn + c y simplifiquen eliminando los paréntesis.
an 2 + bn + c = ( 2 )n 2 + ( –1 )n + ( 3 )=
Pida a los alumnos que realicen estas restas en sus cuadernos, deben obtener
2 n 2 – n + 3
3 a + b = 5. Este procedimiento se puede realizar con cualquier sucesión, es por ello que se utilizan las ecuaciones señaladas en el recuadro azul.
d) Verifiquen si la expresión general cuadrática que obtuvieron funciona para los cuatro primeros términos de la sucesión 4, 9, 18, 31, … Primer término n = 1: ( 2 )12 + ( –1 )1 + ( 3 )=
2 – 1 +3 = 4
n = 2: ( 2 Segundo término )22 + ( –1 )2 + ( 3 )=
8 – 2 +3 = 9
Comente a los alumnos que este método se conoce como el método de las diferencias porque se utiliza las diferencias para encontrar la expresión que representa a la sucesión.
2 Tercer término n = 3: (2 )3 + ( –1 ) 3 + ( 3 ) = 18 – 3 + 3 = 18
Cuarto término n = 4: ( 2 )4
2
+ ( –1 ) 4 + ( 3 ) = 32 – 4 +3 = 31
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Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades, puede comentarles que resuelvan las ecuaciones en el orden en que están, de izquierda a derecha. En el ejemplo, con la primera ecuación se obtiene el valor de a = 2.
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Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que, aunque en la expresión an 2 + bn + c aparece dos veces el signo de suma, como en este caso el valor de b es negativo, en la expresión que representa a la sucesión el término lineal se resta.
Se sustituye la a por este valor en la segunda ecuación: 3(2) + b = 5, y se despeja b. 6 + b = 5
b = 5 – 6 = –1 Se sustituye la a y la b por los valores encontrados en la tercera ecuación: 2 + (−1) + c = 4, y se despeja c. 1 + c = 4
c = 4 – 1 = 3 Li b r o p ara e l maestro
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